Semana 6 Algebra Vectorial Parte 2 fi
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SEMANA 7
Semestre 2015-1 1
Tema:
PROYECCIÓN ORTOGONAL
Sean ya b dos vectores y 0b , la proyección ortogonal o componente vectorial de a sobre
b , denotado por:
2Pr
b
a boy a b
b
Componente escalar ( proyección escalar ) de a sobre b , es el número denotado por:
b
a b
Comp a b
Observaciones:
1. cosb
Comp a a
2. Dado que2
Pr b
a boy a b
b
, entonces: El vector proyección es: Pr b b
boy a Comp a
b
3. Pr b b
oy a comp a
4. Si 0b
Comp a , entonces el vector Pr b
oy a tiene el mismo sentido que b
5. Si 0b
Comp a , entonces el vector Pr b
oy a tiene el mismo opuesto a b
Propiedades
1. Pr Pr Pr c c c
oy a b oy a oy b
PRODUCTO VECTORIAL
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Semestre 2015-1 2
2. Pr Pr c c
oy a oy a
3. c c ccomp a b comp a comp b
4. c ccomp a comp a
Ejemplo Encuentre la proyección escalar y el vector proyección de a sobre b, Si 1,1,2a sobre
2,3,1b
Solución:
1,1,2 2,3,1 3a b
14b
Luego:
Proyección escalar ó componente escalar: 3
14b
a bComp ab
El vector proyección: 3 ( 2, 3,1) 3 6 9 3
Pr ( 2, 3,1) , ,14 14 14 1414 14
boy a
PRODUCTO VECTORIAL (Ó PRODUCTO CRUZ)
El producto vectorial de los vectores1 2 3
( , , )a a a a y 1 2 3, ,b b b b vectores en 3 , se define como
un vector, donde su dirección es perpendicular al plano de a y b , su sentido lo determina la regla delsacacorchos o de la mano derecha y se denota como:
c a b
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Semestre 2015-1 3
Definición El producto vectorial de a y b es:
2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1a b a b a b i a b a b j a b a b k
NOTA Esta definición es aplicable solamente a vectores en tres dimensiones. El producto vectorial devectores en el plano bidimensional no está definido
Una manera conveniente de calcular a b consiste en usar determinantes
Recordemos que (1,0,0)i , (0,1,0) j , (0,0,1)k , entonces podríamos escribir como:
2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1, ,a b a b a b a b a b a b a b
Esta fórmula se puede escribir en la forma de un determinante como sigue.
1 2 3
1 2 3
i j k
a b a a a
b b b
Ejemplo Si 1,2,3a y 4,0,1b calcular b a
Solución:
4 0 1 2,13, 8
1 2 3
i j k
b a
Ejemplo Si (5,0, 2)u y (2,1, 2)v entonces:
5 0 2 ( 2,3 2,5)
2 1 2
i j k
u v
2 1 2 2,3 2, 5
5 0 2
i j k
v u
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Semestre 2015-1 4
Propiedades del Producto Vectorial
Si a , b y c son tres vectores en 3 R y Rr , es un escalar, entonces se verifican las propiedadessiguientes:
1. a b c a b a c
2. a b c a c b c
3. r a b ra b a rb
4. a b b a
5. 0 0 0a a
6. 0a a
7. a b c a b c
8. a b c a c b a b c
9. 22 2 2
a b a b a b
TEOREMA: Si a y b son vectores no nulos en 3 R y es el ángulo entre a y b , entonces severifican las propiedades siguientes:
1. a b es ortogonal simultáneamente a los vectores a y b .
2. a b a b sen
3. 0 //a b a b
4. a b = área del paralelogramo que tiene a a y b como lados adyacentes.
De la igualdad
22 2 2
a b a b a b
Si
denota el ángulo entre a y b , entonces cosa b a b
, por lo que
22 2 2
a b a b a b
22 2
cosa b a b
2 2 2 22cosa b a b
2 2
2
2 22
1 cosa b
a b sen
Entonces a b a b sen
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Semestre 2015-1 5
Sin embargo b sen es la altura del paralelogramo determinado por a y b
A= (base)(altura) a b sen a b
- En otras palabras, la norma de a b es igual al área del paralelogramo determinado por a y
b .
- Área de un paralelogramo cuyas diagonales son los vectores a y b 1
2 A a b .
- Área de un triángulo cuyos vértices son P, Q y R es:1
2 A PQ PR .
Ejemplo El área del triángulo con vértices en ),2,3,1( P )4,1,2(Q )6,1,3( R es:
1 2 6
5 0 2 1140
2 2 2
i j k
PQ QRarea
PRODUCTO MIXTO O PRODUCTO TRIPLE ESCALARDados los vectores a , b y c vectores en 3 R , se llama producto mixto de los vectores a , b y c , en
ese orden, (se representa por ( a , b , c )) al número real definido por :
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Semestre 2015-1 6
, , ( )a b c a b c
Luego el producto mixto de los vectores a , b y c , se obtiene por el determinante:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
a a a
a b c b b b
c c c
Ejemplo Calcular el producto mixto de los vectores (1, 2,4)a , (2,0,1)b , (3,2, 3)c
Solución:
1 2 4
2 0 1 4
3 2 3
a b c
El volumen del paralelepípedo determinado por los vectores a , b y c es la magnitud de su triple
producto escalar , , ( )a b c a b c
El área de la base es b c
La altura h del paralelepípedo es cosh a
Volumen cosV Ah b c a a b c
El volumen del tetraedro determinado por los vectores a , b y c es: 1 1, , ( )
6 6V a b c a b c
Ejemplo Calcular el volumen del paralelepípedo que tiene a 3 5u i j k , 2 2v j k y
3w i j k como aristas adyacentes.
Solución:
( )V u v w
3 5 1
0 2 2 36
3 1 1
Propiedades del producto mixto
Consideremos los vectores a , b y c vectores en 3 R , entonces se verifica:
1. , , ( ) ( ) ( )a b c a b c b c a c a b
2. , , ( ) a
b ca b c a b c b c comp
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Semestre 2015-1 7
3. , , , , , ,a b c b c a c a b
DIRECCIÓNPara definir la dirección de un vector 1 2 3, ,v v v v no nulo en tres dimensiones queda determinado
por tres ángulos de dirección, denominados ángulos directores coordenados, cada uno de los cualessepara a la representación geométrica ordinaria de una de las partes positivas de los ejescoordenadas.
Estos ángulos de dirección se denotan normalmente mediante letras griegas de la siguientemanera:
: Es el ángulo de dirección con respecto a la parte positiva del eje x
: Es el ángulo de dirección con respecto a la parte positiva del eje y
: Es el ángulo de dirección con respecto a la parte positiva del eje z
La definición de los ángulos directores se realiza con los llamados Cosenos directores, los cualesse obtienen a través de los triángulos rectángulos mostrados en las siguientes figuras.
Para la determinación de los ángulos utilizamos las funciones coseno es decir,1 cosv v 2 cosv v 3 cosv v
Por lo tanto:
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Semestre 2015-1 8
1cos v
v 2cos
v
v 3cos
v
v
Así se pueden determinar los ángulos directores , y .
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Calcular el área del triángulo que tiene vértices en P , Q y R
a) (1,5, 2) (0,0, 0) (3,5,1) P Q R b) (2,0, 3) (1,4,5) (7,2,9) P Q R
2. En los siguientes ejercicios obtenga los cosenos directores del vector dado.
a) 1,2,2a
b) 5,0,12a 4, 4,2a
c)
3, 5, 2a
3. Si para un vector v ,2
cos11
y6
cos11
, calcule cos .
4. En los siguientes ejercicios obtenga la componente escalar de v sobre u para los vectores
u y v dados.
a) (2,1,2), (2,1,1)u v b) (12,5,0), (3,1, 2)u v
5. Demuestre que el triángulo cuyos vértices son R , S y T es un triángulo rectángulo.
a) R (2,7,1), S (8,5,5) y T (7,3,4) b) R (3,1,-2), S (8,4,6) y T (6,7,0)
6.
En los siguientes ejercicios calcular u v y v u , y demuestre que u v es perpendicular a
u y v .
a) ( 2, 3, 1), ( 1, 2, 1)u v
b) ( 2,1, 1), (2,1, 1)u v
c) (3,5, 3), ( 2,1,7)u v
d) (2, 3,1), (1, 2,1)u v
e) (12, 3,0), ( 2,5,0)u v
f) 6 , 2u j k v i j k
7. Calcular u v , si:
a) (8, 4,2), (2,5,2)u v b) ( 2,6,10), (3,8,5)u v
8. Calcular el área del paralelogramo que tiene a los vectores dados como lados adyacentes
a) ,u j v j k
b) (3,2, 1), (1,2,3)u v
c) ,u i j k v j k
d) (2, 1,0), ( 1,2,0)u v
9. En los siguientes ejercicios calcular u v w
a) , ,u i v j w k b) (1,1,1), (2,1,0), (0,0,1)u v w
10. Calcular el volumen del paralelepípedo con lados u , v y w
a) , ,u i j v j k w i k b) (1,3,1), (0,5,5), (4,0,4)u v w
11.
Dados los puntos (3,6, 3) A , ( 3,0, 3) B y (6,3,6)C
a) Demostrar que es un triángulo rectángulo
b) Calcular la magnitud de la proyección del cateto AB sobre la hipotenusa BC .
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Semestre 2015-1 9
12.
Dados los vectores ( ,15,0), (9, 6,3) (3,3, 3)a x b y c , calcular el valor de x para que el
volumen del paralelepípedo determinado por dichos vectores sea 72 3u .
13. Un tetraedro ABCD tiene volumen 33u . Si A(4,3,1) , B(6,4,2) y C(1,5,1), determinar el vértice D
sabiendo que está sobre el eje x .
14. El módulo de la suma de los vectores es 34 , su producto escalar es 4 y su producto vectorial
tiene módulo 3. Hallar:
a) El ángulo que forma dichos vectores.
b) El módulo de cada uno de los vectores.
15. Calcular a b sabiendo que 13a , 19b y 24a b
16. Los vectores a y b forman un ángulo 60º , se sabe además que 5a y 8b .
Determinar a b
y a b
17. Si el vector (2,1, 1)a forma un ángulo de 60 con el vector PQ determinado por los puntos
3;1; 2 P , 4;0;Q x . Hallar x .
18. sean a y b dos vectores que forman entre si un ángulo de 45 y el módulo de 3a . Hallar el
módulo de b para que a b forme con a un ángulo de 30 .
19.
Sea 4 3 A i j k , 4 B bi a j k , para que valores de a y b ; el vector A es perpendicular
con B sí 36 B .
20.
Halle el valor de t , de manera que a tb sea ortogonal a b , también halle el valor de h , tal que:b ha sea ortogonal a a ; donde 3 3a i j k y 2 2b i j k .
21. Determinar para que valores de los vectores 3 2a i j k y 2b i j k son
perpendiculares entre sí.
22. Si 3; 1;0a , 1.5;0;2.5b , 3 2c i j k , 2d k . Hallar el módulo de
2 3a b c a b
23. Hallar el valor de sabiendo que 1 1 2i j k .
24.
Halla un vector V en la dirección de a i j k y cuya longitud sea la mitad del vector a .
25. Si 1;0; 1 A y 3;4; 5C son los extremos de una diagonal de un rombo ABCD . Hallar
vectorialmente los vértices B y D si el lado AB es paralelo al vector 8;10;6a .
26. Los vectores a , b y c de 2 cumple que: 2 3a b c y 3 2 5a b c siendo a un vector
unitario, calcular la norma de b c .
27. Sean a , b y c vectores diferentes, mostrar con un ejemplo que si se cumple a b a c , no se
puede afirmar que b c .
28.
Hallar el valor de 4 5 7 M x y z , si el modulo del vector 4 12; 2 ;3a x x y z x z esigual a cero.
29. Pruébese que: si 0c y si a y b son paralelos al vector c , entonces a y b son paralelos.
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Semestre 2015-1 10
30. Demostrar que el vector b a c c a b es perpendicular al vector a .
31. Demostrar que si a y b son vectores paralelos en 2 entonces a b a b .
32.
Halle u , 2 3u v ; si 6v y u v , además los vectores u v y 4 9u v son
ortogonales.
33. Los puntos A , B y C son colineales, tales que 1;0;2 A , 5;3; 10 B y 39 AC . Hallar el
punto C , si B se encuentra entre A y C .
34. Si 1;3;2 A y 3; 5;0C son los extremos de una diagonal del rectángulo ABCD . Hallar B y
D si el lado AB es paralelo al vector 1;1;1 x .
35. Si 0a b c d , calcular 2c d , sabiendo que 6a b , 3c , 4d
36. Si 3;1;1 A , 0; 2;1 B , 2;1;0C y D son puntos coplanares. Halle el punto D , de modo que
el triángulo ABD sea equilátero.
37. Dados los vectores 1;2;3;4;5a y1 1 1 1
1; ; ; ;2 3 4 5
b
, hallar los vectores c y d con la
condición / /c a , d a y b c a .
38. Se dan tres vectores 2 3a i j k , 3 2b i j k , 3 2 4c i j k . Hallar el vector x , de
modo que verifique las condiciones 5 x a , 11 x b , 20 x c .
39.
Dados 1a
, 23b
, 30a b
. Calcular a b
.40. Hallar el vector x , que es colineal al vector 2;1; 1a y satisface la condición 3 x a .
41. Si 0a b c , 3a , 4b y 6c . Hallar el valor de 2a b a
42.
Sean los vectores a , b y c tales que 26a , 3 2b y 12b c , si a b c . Hallar c
43. Si 0a b c y 2a , 4 3b , 8c . Calcular a c
44. Dados los vectores 5; 2;1a , 6;1; 4b y 1;2;1c . Calcular el producto de las
componentes de un vector x , tal que 3a x
, 62b x
, 15c x
.45. Sabiendo que 3a , 1b , 4c y 0a b c . Calcular a b b c a c .
46. Si 3 2 3a i j k , 0;0; 1b , 1 2 32 3 2c e e e . Calcular
b c a
a c bb proy comp
47. Los lados de un triangulo son los vectores a , b y a b , si 5a , 3b , además
5
2
a
bcomp . Hallar a b .
48. Los lados de un triangulo son los vectores a , b y a b , si 4a , 6b y 2a
bcomp .
Hallar a b .
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Semestre 2015-1 11
49. Los lados de un triangulo son los vectores a , b y a b , tales que 3a , 2 2b y
53a b . Calcular
2a a b
b acomp comp
.
50.
Los vectores a y b son los lados de un paralelogramo si 6a , 2a b y10
3
a
bcomp .
Determinar a b
51. Si 4a b , 3b y22
3
a b
bcomp
. Hallar la norma de a .
52. Sea 65a , 164a b y102a b
a acomp
. Hallara b
bcomp
53. Sean los vectores a y c ortogonal al vector j que satisface las condiciones 6a c ,
1a
bcomp . Hallar c .
54. Si a y b son dos vectores no nulos tal que a b k , y el ángulo entre a y b es3
y la
norma de su diferencia es 2 k . Hallar k .
55. Dados los vectores 3 3 3 A i j k y 2 3 B i j k encontrar: la proyección de A sobre B .
El ángulo entre los dos vectores.
56.
Dado el ABC con 45 A , 8 AB , 6 2 AC , encontrar BC y las componentes de
las proyecciones de AB y AC sobre BC .
57. Dado ABC con 10 AB , 9 AC , 7 BC , encontrar las componentes de las
proyecciones de AC y BC sobre AB .
58.
Si 3a , 26b y 72a b . Calcular a b
59. Los vectores a y b forman un ángulo de2
3
, sabiendo que 1a , 2b . Calcular: a b ,
2 2a b a b y 3 3a b a b .
60.
Si 2;1; 3a y 1; 2;1b . Hallar un vector de modulo 5 perpendicular al vector a b .
61. Sea 2; 1;2a y 3;4; 1c . Hallar un vector b tal que a b c y 1a b .
62. Los vectores a y b son perpendiculares si 3a y 12b . Hallar el valor de
2 3 3a b a b .
63. Calcular el seno del ángulo formado por los vectores 2; 2;1a y 2;3;6b