Semana 8 fuerzas internas diagramas v-m
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Dirección Académica | E.A.P. Ingeniería Civil | Telf. 202 4342 Anexo 2037 | www.ucvlima.edu.pe 1
UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA ACADÉMICA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
SEPARATA 8 ESTÁTICA (GEAF 204)
SEMESTRE 2013 – II
CONTENIDO: SEMANA 8
Fuerzas internas
Fuerzas desarrolladas en elementos estructurales.
Ecuaciones y diagramas de fuerza cortante.
AUTOR: Mg. Martín Sandoval Casas.
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FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA ACADÉMICA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
SEPARATA 8
ESTÁTICA (GEAF 204)
1. GENERALIDADES:
FUNDAMENTACIÓN DEL CURSO: La asignatura de Estática corresponde al área de formación profesional y es de naturaleza teórico – práctica y de carácter obligatorio. Esta asignatura tiene como propósito hacer comprender a los estudiantes que en toda estructura, así como en todos sus elementos que lo conforman deben considerarse tres conceptos importantes: equilibrio, estabilidad y resistencia. En este curso se tratan los dos primeros aspectos, es decir, que la estructura y sus partes componentes deben disponerse de tal manera que se asegure el estado de reposo con respecto a su base. COMPETENCIAS.
Identifica los distintos tipos de estructuras de Ingeniería Civil que se presentan en la vida diaria en la práctica profesional.
2. INTRODUCCIÓN
Esta separata desarrolla los puntos contenidos en la programación del sílabo correspondientes a la octava semana: Las fuerza internas.
3. CONTENIDO
SEGUNDA UNIDAD: EQUILIBRIO CUERPOS RÍGIDOS Y ANÁLISIS ESTRUCTURAL
(Duración: 6 semanas)
SEMANA 8
Se
ma
na
Contenidos Capacidad Indicador de
logro Actitudes
Indicador de logro
8
Fuerzas internas en vigas Fuerzas desarrolladas en vigas. Ecuaciones y diagramas de fuerza cortante.
Resuelve situaciones problemáticas sobre fuerzas internas.
Resuelve problemas sobre fuerzas internas producidas en vigas.
Respeto a los demás.
Trata en forma cordial y amable a los demás.
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FUERZAS INTERNAS
8.1 Fuerzas internas vigas
Aplicaremos los principios de la estática para analizar los efectos
internos en las vigas principalmente el efecto de corte y el efecto de
la flexión a lo largo de toda la viga, ambos efectos importantes en el
diseño de viga.
Toda viga puede soportar efectos de tensión, compresión, torsión,
corte y flexión. M representa el momento flexionante, T es el par
torsionante. Estos efectos son aplicados en toda sección transversal de
la viga y actúan simultáneamente como se aprecia en la figura 9.1 d,
sin embargo para su entendimiento analizaremos dichos efectos de
manera individual.
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Consideremos la fuerza cortante V y el momento flexionante M causado por
fuerzas aplicadas a la viga en un determinado plano. Casi todos los autores
han convenido que los valores positivos de V y M son los que se muestran en
la figura 9.2, dependiendo si se toma en cuenta la secciòn izquierda o
derecha de la viga.
RELACION ENTRE LA FUERZA CORTANTE Y EL
MOMENTO FLECTOR
Se puede hallar una relaciòn muy ùtil entre la fuerza cortante y el momento
flector a lo largo de toda la vida. Para ello (fig 9.4) seccionaremos una
pequeña porciòn de la viga de longitud dx, vemos que a la izquierda actùan
V y M y a la derecha toda vez que V y M varìan con el eje X tendremos
valores diferentes de V y M : V +dV y M + dM y por equilibrio de fuerzas y
momentos podemos escribir
V – ω dX – ( V + dV) = 0
Transformando la expresiòn anterior tenemos
ω = − dV
dX ---------- (I)
Esta ecuaciòn indica que la pendiente del diagrama de fuerza cortante
deberà ser igual al negativo del valor de la carga aplicada. Podemos expresar
la fuerza cortante en funciòn de la carga distribuida aplicada ω por medio de
la integraciòn 𝑑𝑉 𝑉
𝑉𝑜= − 𝜔
𝑥
𝑥𝑜𝑑𝑥
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Luego de integrar obtenemos otra expresiòn importante :
𝑉 = 𝑉𝑜 + ( 𝑒𝑙 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑑𝑒𝑙 à𝑟𝑒𝑎 𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑥𝑜 𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑥 )
En esta expresiòn 𝑉𝑜 es la fuerza cortante en 𝑥𝑜 y V es la fuerza cortante en
x . En la fig 9.4 se aprecia que para el equilibrio estàtico la suma de
momentos debe ser cero. Sumando momentos alrededor del lado izquierdo
del elemento obtenemos:
𝑀 + 𝜔 𝑑𝑥𝑑𝑥
2+ 𝑉 + 𝑑𝑉 𝑑𝑥 − 𝑀 + 𝑑𝑀 = 0 --------------------- (II)
en esta expresiòn se cancelan los M y se puede despreciar la expresiòn
resultante 𝜔(𝑑𝑥)2/2 igualmente se puede despreciar el producto (dV dx)
por lo cual la ecuaciòn (II) queda reducida a 𝑉 = 𝑑𝑀
𝑑𝑋 ---- (III)
La expresión (III) indica que la fuerza cortante en cualquier lugar de la viga
es igual a la pendiente de la gràfica del momento flector.
El momento flector M en cualquier lugar del viga se puede expresar en
función de la fuerza cortante V por medio de la integración :
𝑑𝑀𝑀
𝑀𝑂
= 𝑉 𝑑𝑥𝑥
𝑥𝑜
La ecuación anterior se puede escribir como sigue :
𝑀 = 𝑀𝑂 + (à𝑟𝑒𝑎 𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑒𝑙 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑥𝑜 𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑥 )
En donde 𝑀𝑂 es el momento flexionante en 𝑋𝑂 y M es el momento
flexionante en X
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.
Las ecuaciones (I) : ω = − dV
dX y (III) : 𝑉 =
𝑑𝑀
𝑑𝑋 se pueden combinar
−ω = dV
dX=
d(dM
dx)
dx=
d2M
dx2
Es decir :
d2M
dx2= −ω
Por lo tanto si ω es una función conocida en función de x, el momento M se
puede obtener por medio de dos integraciones cuidando evaluar
correctamente los límites de integral en cada integración. Mucho cuidado,
esta expresión es útil sòlo si ω (la carga distribuída sobre la viga) es
continua como una función de x. si la flexión sobre una viga ocurre en màs de
un plano podemos realizar un análisis y al final combinar los resultados en
forma vectorial.
Si la carga distribuìda fuera una función discontinua de x es posible introducir
un juego especial de expresiones llamadas funciones singulares las
mismas que permiten escribir analíticamente expresiones para la fuerza
cortante y el momento flector sobre un intervalo de longitud que incluye
discontinuidades, ese tipo de funciones son analizados en el curso siguiente
Resistencia de Materiales o Mecànica de Sòlidos.
Ejercicio 1 Determine la distribución de fuerza cortante y de momento
flector producido en la viga AB por la carga concentrada de 4 kN aplicada en
el punto C (Fig 1)
Primero calculamos las reacciones en los apoyos usamos un DCL (Fig 1.a)
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En la Fig 1.c planteamos ecuaciones de equilibrio por la izquierda para
hallar las funciones V y M para el primer tramo es decir para x: 0 ≤ 𝑥 < 6
En la misma figura Fig 1.c planteamos un análisis de equilibrio estàtico por la
derecha para hallar las funciones V y M para : 6 ≤ 𝑥 < 10
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Los máximos valores del momento flexionante ocurren donde la fuerza
cortante cambia de dirección.
Ejercicio 2 La viga Cantilever es sometida a la carga distribuida (peso por
unidad de longitud) la cual varía como 𝜔 = 𝜔0 𝑆𝑒𝑛 𝜋𝑥
𝑙 , Determine la fuerza
cortante V y y el momento flector como una función de la razón x/l
El diagrama de cuerpo libre de toda la viga se dibuja primero tal que la fuerza
cortante 𝑉0 y el momento flector 𝑀𝑂 actúan en el apoyo A ( x = 0). Por
convención 𝑉0 y 𝑀𝑂 son mostrados con sus sentidos matemáticos positivos.
Una suma de fuerzas verticales debe estar equilibrada
Una sumatoria de momentos alrededor del extremo izquierdo en x = 0
muestra que
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Diagrama de cuerpo libre de una parte seccionada de la viga de longitud x
por integración podemos hallar la fuerza cortante interna así :
O en forma adimensional
El momento flector se obtiene por integración
O en forma adimensional
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La siguente gráfica muestra ls resultados de momento flector y de fuerza
cortante.
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Problema 9.1 Determine la
fuerza cortante y el momento flector producido en la viga por la carga concentrada. Cúal es
el valor de la fuerza cortante y el momento flector en x = l/2
Problema 9.2 Dibuje los diagramas de fuerza cortante y el momento flector para la viga
Canteliver cargada como se muestra.
Problema 9.3 Dibuje los
diagramas de fuerza cortante y de momento flector y determine la distancia a la
derecha de A donde el momento es cero
Problema 9.4 Dibuje los
diagramas de fuerza cotante y de momento flector de la viga cargada. ¿Cuáles son los
valores de V y M en el punto
medio de la viga?
8
Problema 9.5 Dibuje los diagramas de fuerza cortante y
de momento flector para la viga sometida a las cargas en dos puntos. Determine el máximo
momento flector M max y su localización.
Problema 9.6 Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento flectorpara la viga
cargada uniformemente y halle el máximo momento flector
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PROBLEMAS PROPUESTOS – FUERZAS INTERNAS 7. Calcule la fuerza axial, la fuerza cortante y el momento flector a 7 m a la derecha de A. 8. El eje del arco ABC con
tres goznes en una parábola con vértice en B. Sabiendo que P = 20 kN y Q = 10 kN, determine las fuerzas internas en J.
9. Determinar las fuerzas internas (fuerza axial, fuerza cortante y momento de flexion) en
el punto J de la estructura indicada. 10. Determinar las fuerzas internas
(fuerza axial, fuerza cortante y momento de flexion) en el punto J de la estructura indicada.
A B C D E
400 N/m
200 N/m
250 N
4 m 2 m 2 m 3 m
A
2,5 m
C
5 m 5 m
3 m 2 m
2 m
J
B
P
Q
A B C
D
E F
G
60 N
2 m
1,5 m 1,5 m 1,5 m
J
2 m
A B C E
300 N/m 200 N/m
4 m 2 m 2 m 3 m
J
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11. La ménsula AD se sostiene
por un pasador en A y por el cable DE. Determinar las fuerzas internas justamente a la izquierda de la carga si a = 2 m.
12. Calcule la fuerza axial, la fuerza cortante y el momento flector a 7 m a la derecha de A.
Considere la parte curva como una parábola.
4. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Riley W, Sturges L. Ingeniería Mecánica – Estática. Editorial Reverte, S.A. 2008.
Hibbeler, Russel; Mecánica Vectorial para Ingenieros Tomo I Estática Editorial Pearson Prentice Hill, 2004, Décima Edición.
Meriam,J.L., Kraige L.G.; Mecánica para Ingenieros ESTÁTICA , Editorial Reverté S.A. University of California . 1998 , Tercera Edición
Shames, Irving; Mecánica para Ingenieros Estática Ed. Prentice Hill Cuarta Edición. 1998 Madrid.
Mc Gill, Mecánica para Ingeniería Estática, Grupo Editorial Iberoamérica, México D.F.
Sandor, Bela; Ingeniería Mecánica Estática, Segunda Edición, Editorial Prentice Hall, 2006.
A
B C
D
E
a 3 m
3 m
1 m
450 N
A B C D E
400 N/m
200 N/m
250 N
3 m 3 m 2 m 3 m