Semana11A
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Ecuaciones Diferenciales
Catalina DomnguezRicardo Prato
Universidad del Norte
Departamento de matematicas y estadstica
Semana 11
04.2014
Pagina 1 Semana 11 04.2014 C. Domnguez -R. Prato
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Ecuaciones Diferenciales Lineales no homogeneas
Recordar:
an(x)dny
dxn+ an1(x)
dn1y
dxn1+ + a1(x)dy
dx+ a0(x)y
=:L(y)
= f(x)
donde L define un operador lineal definido L(y) :=n
i=0
ai(x)diy
dxi
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Propiedades:
La solucion y de una E.D.O lineal es de la forma y = yc + yp donde
yc solucion de la ecuacion homogenea asociada:
an(x)dny
dxn+ an1(x)
dn1y
dxn1+ + a1(x)dy
dx+ a0(x)y = 0
yp solucion particular de la EDO:
an(x)dny
dxn+ an1(x)
dn1y
dxn1+ + a1(x)dy
dx+ a0(x)y = f(x)
Prueba: Supongamos y = yc + yp es solucion entonces
L(yc + yp
)= L(yc)
0
+L(yp) f(x)
= 0 + f(x)
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Ejemplo: Resolver y + y = 4x
la solcuion general de la E.D es de la forma
y(x) = yc(x) + yp(x)
tenemos que una solucion particular es yp(x) = 4x, Por que? y ademas
yc = c1 cos(x) + c2 sin(x)
y(x) = c1 cos(x) + c2 sin(x) + 4x
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Metodo de coeficientes indeterminados
Consideremos la EDO lineal con coeficientes constantes (e.d. ai IR,i = 0, 1, 2, . . . , n, an 6= 0 )
any(n) + an1y
(n1) + + a2y + a1y + a0y = g(x)donde g(x) es una funcion:
constante
polinomial
exponencial
seno o coseno
sumas y productos finitos de las anteriores funciones
Este tipo de funciones tiene la propiedad de que las derivadas de sus sumas yproductos son nuevamente del mismo tipo !
g(x) = 21 g(x) = x3 + x2 + 1 g(x) = 15x + 3 8e2x
g(x) = lnx+x g(x) = ex + x2 g(x) = arcsin(x) +
1
cos x
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Resolver 14y + 2y + 4y = x2 2x
Como la solucion general de la ecuacion es de la forma
y(x) = yc(x) + yp(x).
Determinemos yc: La ecuacion caracterstica es14r
2 + 2r + 4 = 0cuya raz es r1 = 4 con multiplicidad 2 entonces
yc(x) = c1e4x + c2xe
4x
Determinemos yp: Como g(x) = x2 2x es un funcion polinomica, suponemos
una solucion particular de una forma relacionada con g(x), esta funcion lallamaremos funcion de prueba; as se supone:
yp(x) = Ax2 +Bx+ C.
Dificultad
Resolver el sistema para A, B y C !
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14y
+ 2y + 4y = x2 2xDerivando y reemplazando en la ecuacion diferencial
1
4yp+ 2y
p+ 4yp =
1
4(2A) + 2(2Ax+B) + 4(Ax2 +Bx+ C)
= 4Ax2 + (4A+ 4B)x+ (2B + 4C +A
2) = x2 2x
Igualando coeficientes tenemos que
4A = 1, 4A+ 4B = 2, 2B + 4C + A2
= 0
A = 14, B = 3
4, C =
11
32
Por lo tanto
y(x) = c1e4x+c2xe
4x+1
4x2 3
4x+
11
32
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Soluciones particulares de prueba
g(x) Funcion de prueba yp
1 (cualquier constante) A5x+ 7 Ax+B3x2 2 Ax2 +Bx+ Cx3 x+ 1 Ax3 +Bx2 + Cx+Dsin 4x A cos 4x+B sin 4xcos x2 A cos
x2 +B sin
x2
e5x Ae5x
(9x 2)e5x (Ax+B)e5xx2e5x (Ax2 +Bx+ C)e5x
e3x sin 4x Ae3x cos 4x+Be3x sin 4x5x2 sin 4x (Ax2 +Bx+ C) cos 4x
+(Dx2 + Ex+ F ) sin 4xxe3x cos 4x (Ax+B)e3x cos 4x
+(Cx+D)e3x sin 4x
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Resolver y + 2y 3y = 20ex cos 2x
Paso I: Resolver la ecuacion homogenea asociada:
La ecuacion caracterstica es r2 +2r 3 = 0 cuyas races son r1 = 1, r2 =3 entonces
yc(x) = c1ex + c2e
3x
Paso II: Estimar la funcion de prueba:
Analizando la funcion g(x) = 20ex cos 2x se puede suponer que
yp(x) = ex(A cos 2x+B sin 2x)
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Resolver y + 2y 3y = 20ex cos 2xPaso III: Estimar el coeficiente indeterminado A:
Derivando y reemplazando en la ecuacion diferencial
yp + 2y
p 3yp = (4B 3A)ex cos 2x+ (4A 3B)ex sin 2x+ 2(A+ 2B)ex cos 2x+ 2(2A +B)ex sin 2x 3Aex cos 2x 3Bex sin 2x
= 5ex cos 2x
ex((2B A) cos 2x(B + 2A) sin 2x)) = 5ex cos 2x{
2B A = 5,B 2A = 0 A = 1, B = 2
Paso IV: Escribir la solucion general:
y(x) = yc(x) + yp(x) = c1ex + c2e
3x + ex( cos 2x+ 2 sin 2x)
-
Resolver y + 3y 4y = 2ex
Paso I: Resolver la ecuacion homogenea asociada:
La ecuacion caracterstica es r2 + 3r 4 = 0 cuyas races son r1 = 4 yr2 = 1 entonces
yc(x) = c1e4x + c2e
x
Paso II: Estimar la funcion de prueba:
Analizando la funcion g(x) = 2ex se puede suponer que
yp(x) = Aex Debemos determinar A !
Paso III: Estimar el coeficiente indeterminado A:
Derivando tenemos y = Aex y y = Aex y reemplazando en la ecuacion
Aex + 3Aex 4Aex = 2ex 0 = 2ex Absurdo!
Que fallo?
-
Falla del metodo!
Observe que la funcion de prueba
yp(x) = Ae2x
es solucion de la ecuacion homogenea asociada. Por que? Al derivar yreemplazar en la ecuacion
Aex + 3Aex 4Aex = 0
Para subsanar esta falla suponemos que la funcion de prueba para yp es
yp(x) = (Ax+B) ex.
Compruebe (y justifique!) que de igual forma es valida la eleccion
yp(x) = Ax ex
-
Resolver y + 3y 4y = 2e4x
1 Paso I: Resolver la ecuacion homogenea asociada: La ecuacioncaracterstica es r2 + 3r 4 = 0 cuyas races son r1 = 4 y r2 = 1entonces yc(x) = c1e
4x + c2ex.
2 Paso II: Determinar la funcion de prueba para yp: Puesto queg(x) = 2e4x es solucion de la ecuacion homogenea asociada,debemos suponer
yp = Axe4x
3 Paso III: Determinar el coeficiente indeterminado A: Derivandoyp = e
4x(4Ax+A) yp = e4x(16Ax 8A) y reemplazando enla ecuacion
e4x(16Ax 8A) + 3e4x(4Ax+A) 4Axe4x = 2e4x
5Ae4x = 2e4x A = 25
4 Paso IV: Escribir la solucion general:y(x) = yc + yp = c1e
4x + c2ex +
2
5xe4x
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Solucion de la falla del metodo:
Si algun termino de la funcion g(x) es solucion de la ecuacion homogeneaasociada, entonces debe suponer que ese termino de g(x) estamultiplicado por x y de esta manera determinar la funcion de prueba.
Ejemplo 1: Resolver y = 4x.1 Paso I: Resolver la ecuacion homogenea asociada:
yc(x) = c1 + c2x.
2 Paso II: Determinar la funcion de prueba:
Si yp(x) = Ax+B 0 = 4x (absurdo) Por que no es valida yp? Si yp(x) = Ax
2 +Bx 2A = 4x (absurdo) Por que no es valida yp? Si yp(x) = Ax
3 +Bx2 6Ax+ 2B = 4x3 Paso III: Determinar los coeficientes: A = 2/3, B = 04 Paso IV: Escribir la solucion general
y(x) = c1 + c2x+2
3x3
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Resolver y 4y + 4y = 6e2x
1 Paso I: Resolver la ecuacion homogenea asociada: La ecuacioncaracterstica es r2 4r + 4 = 0 cuya raz es r = 2 con mult. 2entonces yc = c1e
2x + c2xe2x
2 Paso II: Determinar la funcion de prueba para yp Observe queg(x) = 6e2x es solucion de la EDO homogenea asociada. Si
yp = Ae2x no es valida por que?.
yp = Axe2x no es valida por que?.
yp = Ax2e2x es valida por que?.
3 Paso III: Determinar el coeficiente A Derivando y reemplazandoen la ecuacion
(Verificar)! 2Ae2x = 6e2x A = 3
4 Paso IV: Escribir la solucion general
y(x) = yc(x) + yp(x) = c1e2x + c2xe
2x + 3x2
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Resolver y + 2y + 5y = 4ex(cos 2x 2 sin 2x)
1 Paso I: Resolver la ecuacion homogenea asociada:
yc = c1ex cos 2x+ c2e
x sin 2x
2 Paso II: Determinar la funcion de prueba para ypObserve que g(x) = 4ex(cos 2x 2 sin 2x) hace parte de yc, por lotanto vamos a suponer
yp = ex(Ax cos 2x+Bx sin 2x)
3 Paso III: Determinar los coeficientes A y B Derivando yreemplazando en la ecuacion tenemos
ex(B cos 2xA sin 2x) = ex(cos 2x 2 sin 2x)entonces A = 2, B = 1.
4 Paso IV: Escribir la solucion general
y = c1ex cos 2x+ c2e
x sin 2x+ xex(2 cos 2x+ sin 2x)
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