1Centro Preuniversitario de la UNS S-15 Ingreso Directo

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA CEPUNS

Ciclo 2012-III TRIGONOMETRÍA

“ÁNGULOS HORIZONTALES Y VERTICALES”

ÁNGULOS VERTICALES

Son aquellos ángulos ubicados en un plano vertical que, en la práctica, son formados por una línea visual (o línea de mira) y una línea horizontal, como resultado de haberse efectuado una observación. Estos resultados se clasifican en: ángulos de elevación y ángulos de depresión. (ver gráficos).

L ín ea H o rizon ta l

L ínea V isua l

h

: Á ngu lo d e E levación

H

L ín ea H o rizon ta l

L ínea V isua l

: Á ngu lo d e D epresió n

L ín ea H o rizon ta l

L ínea V isua l

h

: Á ngu lo d e E levación

H

L ín ea H o rizon ta l

L ínea V isua l

: Á ngu lo d e D epresió n

C onsiderac ión: E n el gráfico ad ju n to, " " es el á ngu lo b ajo el cu al se d ivisa la to rre. N o teq ue d eb en trazarse las d o s v isu a les; u n a h acia la p arte a lta y la o tra h acia la p arte ba ja.L u ego " " es el án gu lo fo rm ad o p o r la s d o s v isu ales.

C onsiderac ión: E n el gráfico ad ju n to, " " es e l á ngu lo b ajo e l cu al se d ivisa la to r re. N o teq ue d eb en trazarse las d o s v isu a les; u n a h acia la p arte a lta y la o tra h acia la p arte ba ja.L u ego " " es el án gu lo fo rm ad o p o r la s d o s v isu ales.

ÁNGULOS HORIZONTALES

Son aquellos ángulos ubicados en un plano horizontal que, en la práctica, los vamos a ubicar en la Rosa Náutica. Rosa Náutica: (compás marino), es un instrumento de orientación que permitirá localizar una ciudad, persona o punto; respecto de una referencia, mediante el uso de las direcciones:

D irecció n

D irecc ió n

D irecciónAB

C

P

R eferencia

O este (O ) E ste (E )

N o rte (N )

S u r (S )

4 2º

4 0º 3 0º

Note que dichas direcciones en este caso para A; B y C; forman con los ejes principales ciertos ángulos; con quienes se van a denotar dichas direcciones. Por ejemplo:

"A" se halla el E30ºN de "P" ."B" se halla al O40ºN de "P" ."C" se halla al S42ºO de "P" .

3 0º 6 6º

2 4º

1 0º

Q

N

P

EO

S

S

R

R"" de NE66ºal Está

R"" deE N24ºal EstáP

R"" de al Está

R"" de NO30ºal EstáQ

R"" de al Está

R"" deE S10ºal EstáS

Ahora bien, algunas direcciones tienen la particularidad de obtenerse trazando

Semana Nº 15

C onsiderac ión: E n el gráfico ad ju n to, " " es el á ngu lo b ajo el cu al se d ivisa la to rre. N o teq ue d eb en trazarse las d o s v isu a les; u n a h acia la p arte a lta y la o tra h acia la p arte ba ja.L u ego " " es el án gu lo fo rm ad o p o r la s d o s v isu ales.

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bisectrices sucesivas, a partir de los ejes principales; por lo que su notación será también particular. Indicaremos lo que ocurre entre el Norte y el Este, y usted concluye los restantes por analogía.

E E

EE

O O

OO

S S

S S

N N

N N

N E41N

N N EN

41N E

N E

E41N E

E N E

N E41E

En cualquiera de los casos: '15º11 ó rad

16

SITUACIONES COMBINADAS

Cuando los enunciados de los problemas mencionan ángulos verticales (de elevación o de depresión) y ángulos horizontales (uso de direcciones, generalmente), al mismo tiempo, la rosa náutica a emplear asume una posición más real; es decir, ubicada en un plano horizontal. Por ejemplo, grafiquemos la siguiente situación: "Desde un punto en tierra, se divisa al Norte lo alto de un poste con un ángulo de elevación " ". Si luego nos desplazamos hacia el N60ºE, hasta ubicarnos al Este del poste, el ángulo de elevación para su parte

más alta sería " ". Ahora, note la representación gráfica:

6 0º

PROBLEMA DE CLASE

1. Un poste vertical de se

encuentra sujeto a una cuerda tensa de

que está atada a una estaca en el

suelo. Si una persona observa la parte superior del poste con un ángulo de elevación de 53º y observa la cuerda en su totalidad con un ángulo de 30º. Calcular la distancia en la que se encuentra la persona de la estaca.

a) m b) 15 m c) d) 16m e)

2. Una persona observa la parte superior de un edificio de 12m de alto con una ángulo de elevación de de 37º y la parte superior de una antena que se encuentra sobre el edificio (a 4m del filo del edificio) con una ángulo de elevación mayor en 2º al anterior. Entonces la longitud de la antena será : (considerar tg39º = 0,81)

a) 3,3m b) 3,4m c) 4,2m d) 4,3m e) 4,5m

3. Un niño y dos árboles se encuentran en una misma línea. el niño, que está entre los árboles, observa las partes superiores de

dichos árboles con ángulos de elevación x y 2x. si se sabe que sus respectivas visuales miden 30 y 35m, calcule la altura del mayor árbol, teniendo en cuenta que, si la distancia a la que se encuentra el niño de un árbol es igual a la altura del otro árbol y este ultimo el que se opone a 2x.

a) 60/7m b) 40/7m c)

d) e)

4. Dos móviles parten de un punto, el primero en dirección en dirección NE y el segundo con rumbo SE. cuando el primero recorre 20m, el segundo 21m, la distancia que lo separa es 29m. calcular

a)10º b) 30º c) 60º d) 45º e) 20º 5. Una avioneta se desplaza

horizontalmente a una altura H sobre el nivel del suelo, en un determinado instante sufre un desperfecto cayendo con una depresión angular de 37º, el piloto arregla el desperfecto justo a una altura h sobre el nivel del suelo y comienza a elevarse con un ángulo de 16º, llegando a ubicarse nuevamente a una altura; si la velocidad de la avioneta en todo instante es de 1000/21

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m/s, ¿Cuánto tiempo perdió la avioneta debido al desperfecto en su vuelo normal? (H – h = 500 m)

a) 5s b) 10s c) 15s d) 20s e) 25 s

6. Un edificio tiene todos sus pisos de

igual altura . desde un punto en tierra; a

una distancia del edificio, se observa la

parte superior del primer piso con un

ángulo de elevación de medida . El

segundo y tercer piso se visualiza con un

ángulo de observación de medida .

calcular

a) h b) h c) h d) 2h e) 2,5

h

7. Una torre esta al pie de una colina cuya inclinación con respecto al plano horizontal es 10º desde un punto de la colina de 12m de altura respecto al plano horizontal se observa la torre bajo un ángulo de 45º calcular la altura de la torre en metros (ctg 10º = 5,67 )

a) 80,04 b) 90,02 c) 92,30 d) 95,32 e) 98,02

8. Desde lo alto de un edificio de 16 pisos se observa un se observa un punto en tierra con un angulo de depresión de

medida ; desde lo alto del noveno piso de

dicho edificio se observa el mismo punto con un angulo de depresión de medida

; calcular tg .

a) b) c) d) e)

9. El ángulo de elevación de la parte alta de un pedestal mide 68º11`, sobre ella se tiene una estatua de 7,2m de altura, la cual forma un ángulo de 2º10` a la vista del observador. Si tg70º21´ = 2,80 y ctg 68º11` = 0,40. calcular la altura de pedestal en metros.

a) 60 b) 70 c) 80 d) 90 e) 100

10. Una hormiga se encuentra en el centro del piso de una habitación de forma cubica y observo a una de las esquinas del techo con un ángulo de elevación de

medida rad. Calcular ctg /2

a) 2sen15º b) 2cos15º c) 2tg15º

d) e)

11. Calcule la altura de un edificio que proyecta una sombra de 56m a la misma hora que un árbol de 21m de altura proyecta una sombra de 24m.

a) 41m b) 48m c) 49m d) 56m e) 64m

12. En una excavación se coloco intencionalmente un cable tensionado de 5 m de longitud. Un hombre, ubicado en el extremo A del cable divisa un punto ubicado en el fondo de la excavación con un ángulo de depresión de 74º y desde el extremo B se aprecia el mismo punto con un ángulo de presión de 69º. Calcule la distancia desde el extremo B al punto divisado.

a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12

13. Dos lanchas parten a las 8:00 horas en forma simultánea de un mismo punto, con velocidades de 7km/h y 8km/h y con rumbos SO y S75ºE respectivamente. ¿a qué hora su distancia será de 32,5 km?

a) 9h30min b) 10:00h c) 10h30min d) 11:00h e) 11h 30min

14. Desde un punto ubicado a 15 m de un poste se ve su parte más alta con un ángulo de elevación de 53º. Caminamos 3 m en dirección al poste y el ángulo de elevación para su parte más alta es " ". Calcular: "Ctg ".

a) 1/5 b) 2/5 c) 3/5 d) 4/5 e) 6/5

15. Una hormiga observa la copa de un árbol con un ángulo de elevación de 37º, luego se acerca 7 m y observa el mismo punto con un ángulo de elevación de 53º. Calcular la altura del árbol.

a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 2016. Desde dos puntos separados 52 m

se observa lo alto de un poste con ángulos

de elevación 53º y

52Tg

. Si el poste

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se encuentra entre los dos puntos. Determine su altura.

a) 12 m b) 16 c) 18 d) 9 e) 11

17. Se observa un poste con ángulo de

elevación " " nos acercamos "L" y el ángulo de elevación es 45º. Si la altura de

poste es "2 L". Determinar: Tg .a) 1/3 b) 2/3 c) 1 d) ½ e) 3/2

18. Desde un edificio de 12 m de altura se observa un automóvil con ángulo con

ángulo de depresión " “

31Tg

. Luego se observa una señal más cerca del edificio con ángulo de depresión 45º. Determine la distancia entre la señal y el automóvil.

a) 12 m b) 18 c) 24 d) 36 e) 10

19. Luciano observa a Luciana en la dirección NE y a de distancia; a su vez Luciana observa a Lucio en la dirección E37ºS.

Determine la distancia que separa a Luciano y a Lucio, si Lucio se encuentra al Este de Luciano. a) 41 m b) 40m c) 24m d) 18 m e) 42 m

20. Desde una ciudad "A" se divisan a otras dos "B" y "C" en las direcciones O80ºN y E40ºN, respectivamente. Además desde "B" se divisa a "C" al E50ºS a una distancia de 173 km.

¿Cuál es la distancia entre "A" y "B"?a) 100 km b) 200 km c) 150 kmd) 273 km e) 300 km

21. ¿Cuál es la dirección de la bisectriz del menor ángulo formado por las direcciones N20ºE y S80ºO?

a) N10ºO b) N20ºO c) N30ºOd) N40ºO e) N50ºO

22. Dos embarcaciones A y B parten de un puerto a un puerto al mismo tiempo; en las direcciones ENE y SSE respectivamente, después de un cierto recorrido desde B se observa a A en direcciones NE, si en ese

instante están separados k,

calcular la suma de las distancias recorridas por A y B en km.a) 4 b) 6 c) 5 d) 3 e)

2

23. Se tiene una torre en el borde de un acantilado, cuyas partes alta y baja son vistas desde un punto de la superficie horizontal con ángulos de elevación " " y

" " respectivamente )Tan4Tan3( . La altura del acantilado es de 212,31 m.

¿Cuál es la altura de la torre? a) 141,54 m b) 28,308 mc) 159,2325 m d) 70,77 m e) 35,385 m

24. Un móvil recorre 150m en dirección E15ºN, luego cambia de dirección al N60ºO, hasta ubicarse al norte de su punto de partida. Calcular en metros la distancia de su punto de partida hasta su punto de llegada.

a) b) c)

d) e)

25. Se tienen dos faros A y B. el faro B está en la dirección E30ºN con respecto al faro A y la distancia entre ellos es de 12km. A las 2p.m. desde A y B se observa un barco I en las direcciones NE y NO respectivamente. Si dicho barco navega en la dirección S30ºE a la velocidad de 18km/h. ¿a qué hora cruza la recta que une los faros?

a) 2h10´ b) 2h20´ c) 2h30´ d) 2h40´ e) 2h50´

26. Rosita sale de su casa y camina 160m en la dirección NNE, luego 90m con dirección ESE y sube a la azotea de un edificio de 30m observando, en la dirección ESE, un accidente con un ángulo de depresión de 45º. Calcular en metros la distancia que separa su casa del accidente.a) 180 b) 190 c) 200 d) 220 e) 23