SEMEJANZA
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SEMEJANZA
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Descripción: Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma “forma”, pero no necesariamente el mismo tamaño
La idea de la “misma forma” aparece en las ampliaciones o reducciones.
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¿ Qué observas ?10 cm
5 cm
4 cm 8 cm
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¿Cómo expresamos matemáticamente esta idea de la “ misma forma”?
La respuesta es comparando el largo y el ancho de ambas fotografías :Las razones entre el ancho y el largo de cada foto son iguales; es decir:
las dos fotografías son:
¿IDÉNTICAS O SEMEJANTES ?
cm
cm
cm
cm
10
5
8
4
Así es, ya que los productos “cruzados” son iguales10 x 4 = 8 x 5
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Dos figuras son semejantes porque:
1º Tienen la misma forma, por ampliación o por reducción.
2° Tienen diferente tamaño, porque los lados de la figura mayor son una ampliación en forma proporcional de los lados de la figura menor, manteniéndose constante los
ángulos.
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No son figuras semejantes
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¿Qué elementos determinan la semejanza de las figuras?
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Dos figuras son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales.
Los elementos que se corresponden (puntos, segmentos, ángulos …) se llaman “homólogos”.
¿Qué elementos determinan la semejanza de las figuras?
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Triángulos semejantes
Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son, respectivamente, iguales y sus lados homólogos son proporcionales.
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Dado un triángulo de lados 4m, 5m y 6m.
Multiplica cada uno de los lados por 3.
x 3
Los lados del triángulo se han triplicado.
4m5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
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11
Identificamos algunos elementos :
RAZÓN DE SEMEJANZA : 3
LADOS HOMÓLOGOS AB BC AC
PQ QR
PR
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Criterios de semejanza de triángulos
Existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triángulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus ángulos.
Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triángulos
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Existen tres criterios de semejanza de triángulos
1. AA ( ángulo-ángulo)2. LLL (lado-lado-lado)3. LAL (lado-ángulo-lado)
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Primer criterio : AA Dos triángulos que tienen los dos ángulos
congruentes son semejantes entre sí.
A´
B´C’
A
BC
´
´
´
Es decir: Si ´ ,
´ de lo anterior se deduce que
´Entonces, ABC semejante con A´B´C´
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Ejemplo
¿Son los siguientes triángulos semejantes?
¡SI!Por que al tener dos de
sus ángulos congruentes, cumplen con el criterio AA
65° 25°
A
BC
Q
25°
65°
PR
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Segundo criterio: LLL
Dos triángulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre sí.
A´
B´C’
A
BC
aa´
El cociente obtenido de comparar los lados homólogos entre sí recibe el nombre de
razón de semejanza.
Es decir:aa´ = b
b´ = cc´ =K
b b´
c
c´
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Ejemplo :
Determine si los triángulos ABC y PQR son semejantes
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
1,5 3 = =
3,5 7
510
A
BC
1,5
3,5
5
P
Q
R
3
7
10Efectivamente , así es, ya que los productos la razón entre
los lados correspondientes es constante
Por lo tanto Triángulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
= 0,5
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Tercer criterio:LAL
Dos triángulos que tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es igual, son semejantes entre sí.
A’
B’C’
A
BC
Es decir:
aa’
aa’ = c
c’
c
c’
y = ’
´
Entonces ABC semejante aA’B’C’
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Ejemplo :
¿Son los triángulos ABC y DEF semejantes?
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente así es, ya que los productos
“cruzados” son iguales
3 • 12 = 4 • 9
¿Los ángulos formados por estos dos lados son congruentes?
Por criterio LAL Triángulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente, porque, tal como se señala en el dibujo, ambos son rectos
A
BC
4
3
D
E
F
9
12