Separata iii integración numerica terry

Mg Victor Terry Calderon Página 1

SEPARATA III

INTEGRACIÓN NUMERICA


LA REGLA DE SIMPSON

La regla de Simpson se utiliza para la integración de funciones, determinando el área bajo

la curva, asimismo se emplea para integrar valores de datos experimentales provenientes de

laboratorio, gabinete o unidad de producción.

La ecuación fundamental de Simpson

b

a

o yyyx

dxxf 21.43

)(

Para 5 puntos

43221 .43

.43

)( yyyx

yyyx

dxxf

b

a

o

yo

y1

y2

x

x


Luego

b

a

o yyyyyx

dxxf 4321 .4.2.43

)(

Para 7 puntos

65443221 .43

.43

.43

)( yyyx

yyyx

yyyx

dxxf

b

a

o

b

a

o yyyyyyyx

dxxf 654321 .4.2.4.2.43

)(

Para n puntos (ecuación general)

b

a

nno yyyyyyyyyx

dxxf 1654321 .4........4.2.4.2.43

)(

CASO I. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES, UTILIZANDO LA ECUACIÓN BASE

DE SIMPSON

Integrar la siguiente función.

7

2

2 ).3,65,4( dxxx

Empleando la ecuación base

Calculo del valor de incremento bandasden

xxx

inicialfinal

.0

5,22

27

x


)3,65,4( 3xx

Construcción de la tabla para la integración

x )3,65,4( 3xx

2 21,1

4,5 53,1

7 97,6

Aplicar la regla de Simpson

7

2

3 6,971,5341,213

5,2)3,65,4( dxxx = 275,9166

Comprobando analíticamente

7

2

7

2

323 333,05,35,4)3,65,4( xxxdxxx =275,197

Utilizando mayores bandas o puntos se puede lograr una mejor aproximación del valor de

la integral

Por ejemplo integrar para 11 puntos la función del ejemplo anterior, 10 bandas.

5,010

27

x

Tabla de la función a integrar

X )3,65,4( 3xx

2 21,1

2,5 26,5

3 32,4

3,5 38,8

4 45,7

4,5 53,1

5 61

5,5 69,4

6 78,3

6,5 87,7

7 97,6


Aplicando la ecuación general se obtiene

7

2

6,977,874............8,3824,3245,263

5,0).( dxxf = 275,197

CASO II. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES ENTRE LIMITES DIFERENTES

Por ejemplo considerando la función anterior integrar entre los siguientes limites:

5,5

3,1

2 ).3,65,4( dxxx

Para tal fin debe construirse la curva integral y determinar su ecuación por análisis de

regresión, de la forma siguiente:

Usando para un 5,0x

X )3,65,4( 3xx 214

3yyy

xA oi

iA

2 21,1

2,5 26,5

3 32,4 26,5833333 26,5833333

3,5 38,8

4 45,7 38,8833333 65,4666667

4,5 53,1

5 61 53,1833333 118,65

5,5 69,4

6 78,3 69,4833333 188,133333

6,5 87,7

7 97,6 87,7833333 275,916667

Organizar la tabla x , iA , de la forma siguiente:

X iA

3 26,5833333

4 65,4666667


5 118,65

6 188,133333

7 275,916667

Grafica de la curva integral

y = 8,15x2 - 19,367x + 11,733R2 = 1

0

50

100

150

200

250

300

0 2 4 6 8

x



Ejemplo: Calcular el área de un circulo cuyo radio es R =3 m, empleando el cálculo

numerico.

El área del elemento es:

Por geometría analítica

Reemplazando

Integrar a 20 bandas 15,020

03

x

0

y

x

dx

y

dx

y

222 yxR

)( 22 xRy

3

0

.dxy

3

0

22 dxxR


X 29( x AI Ai 2 Ai

0 2

0.898

0.898

1.796 0.15 2.996

0.30 2.985

0.45 2.966

0.889

1.787

3.574 0.60 2.939

0.75 2.095

0.871

2.658

5.316 0.90 2.862

1.05 2.810

0.842

3.500

7 1.20 2.750

1.35 2.679

0.803

4.303

8.606 1.50 2.598

1.65 2.505

0.751

5.054

10.108 1.80 2.4

1.95 2.280

0.683

5.737

11.747 2.10 2.142

2.25 1.984

0.594

6.331

12.661 2.40

2.55 1.580

0.471

6.802

13.604 2.70 1.308

2.85 0.937

0.253

7.055

14,110 3.00 0

El área del cuadrante es : A = 7,055 m2

La figura esta compuesta por 4 cuadrantes por lo tanto el área total (At) será:

At= 7,005 x 4 =28,22 m2

El área del circulo por geometría es :

2227,289. mRAt

Cubicar el cilindro con R = 3,00 m y L = 9,00 m

Considerar 1 galón = 3,875 litros

Calculo de la equivalente del volumen en galones y la altura (x) del cilindro colocado en

forma horizontal


x 2 Ai

875,3

1000.LAgal

0

1.796

0.15

0.30 4171,35

0.45

3.574

0.60 8300,90

0.75

5.316

0.90 12346,84

1.05

7

1.20 16258,06

1.35

8.606

1.50 19988,13

1.65

10.108

1.80 23476,65

1.95

11.747

2.10 26649,29

2.25

12.661

2.40 29408,52

2.55

13.604

2.70 31596,39

2.85

14,110

3.00 32771,61

Análisis de regresión para encontrar una correspondencia entre la altura (x) y los galones, la

ecuación que se determino fue:

)(1015,3 02924,15 mGxx (R=0,9976)


G Gal) x (m)

30000 2,4497277

28000 2,27188313

26000 2,09520943

24000 1,91978818

22000 1,74571398

20000 1,57309779

18000 1,40207175

16000 1,23279602

14000 1,065469

12000 0,90034332

10000 0,73775227

8000 0,57815736

6000 0,42224351

4000 0,27114456

2000 0,12716152

3 m


CASO III. CUANDO NO EXISTE FUNCIÓN, TENIENDO SOLO DATOS

EXPERIMENTALES

Una empresa de alimentos vierte al desague un caudal (Q) de efluente de acuerdo al

siguiente registro se pide determinar el volumen vertido por día

Tiempo (t) h

Caudal vertido(Q) m3/h

4 25 6 32 8 15 10 29 12 32 14 14 16 18 18 16 20 18 22 26 24 42

Aplicar la regla de Simpson

Tiempo (t) h

Caudal

vertido(Q) m3/h

2143

yyyx

A oi

iA

4 25

6 32

8 15 112 112

10 29

12 32 108,666667 220,666667

14 14

16 18 70,6666667 291,333333

18 16

20 18 66,6666667 358

22 26

24 42 109,333333 467,333333

El volumen vertido de efluente al desague es V = 467,33 m3

La gráfica de la curva integral


Tiempo (t)

h iA

3 112,0

5 220,666667

7 291,333333

9 358,0

11 467,333333

V = 42,4(t) - 6,9333R2 = 0,991

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

0 5 10 15

Vo

lum

en

(V

) m

3

Tiempo (t) h



La concentración del efluente expresado en mg/l se muestra en la siguiente tabla:

Tiempo (t)

h

Caudal vertido(Q)

m3/h

Concentración ( C )

mg/l

4 25 12350

6 32 15000

8 15 14890

10 29 9875

12 32 10298

14 14 14555

16 18 12880

18 16 13587

20 18 15280

22 26 16800

24 42 12798

Determinar la masa que se envia al desague y la concentración promedio ( C )

Solución:

t (h)

Q m3/h

Q l/h

C mg/l

m kg/h

Ai iA

4 25 25000 1235 30,88

6 32 32000 1500 48,00

8 15 15000 1489 22,34 163,473333 163,473333

10 29 29000 987,5 28,64

12 32 32000 1029,8 32,95 113,225733 276,699067

14 14 14000 1455,5 20,38

16 18 18000 1288 23,18 91,7637333 368,4628

18 16 16000 1358,7 21,74

20 18 18000 1528 27,50 91,7632 460,226

22 26 26000 1680 43,68

24 42 42000 1279,8 53,75 170,6504 630,8764

La masa que se envía al desagüe es 630,87 kg

La concentración promedio del efluente vertido :1,35 kg /m3


Problemas propuestos

1. Integrar y determinar la curva integral 10

xx

dx para 15 puntos

2. Integrar y determinar la curva integral

3

03 1xx

dx para 14 bandas


10

2

34 3.6.7 dxxxx para 11 puntos


4

0

6 34 dxxx para 13 puntos

5. Integrar y determinar la curva integral 10

1

5,0

25,0.75,2dx

x

e x

para 12 bandas

6. Se tiene los siguientes valores que correlaciona el volumen (V) ft3/lb y la

presión (p) psia de acuerdo a la siguiente expresión:

dVp.

La Información se encuentra en la siguiente tabla:

V p

2 68,7

4 31,3

6 19,7

8 14,3

10 11,3

Encontrar el trabajo efectuado por el embolo.

7. La velocidad (v) de un movil es esta dado en km/h , se a determinado cada

cierto periodo de tiempo (t), en minutos, determine el espacio recorrido y

determine la curva integral la información tabulada es la siguiente

Tiempo Velocidad

1 1,0064

3 1,00343

4 1,00435

6 1,00331

8 1,00233

10 1,00149

12 1,00078


8. El consumo de vapor (m, kg/h) por hora esta registrada en la siguiente tabla:

Tiempo Consumo de

vapor

2 325

4 560

6 450

8 468

10 275

12 825

14 320

16 316

18 345

Determinar la cantidad de vapor consumida, construya la curva integral y

determine el consumo de vapor entre la 7 horas y 15 horas.

9. Cada cierto periodo de tiempo (t) un indicador de consumo de petróleo (M,

gal/min), indica el flujo másico que se consume de petróleo. Estos valores han

sido registrados en la siguiente tabla:

Tiempo (h) Flujo másico gal/h

1 45,3

2 22,2

3 55,1

4 35,4

5 40,2

6 62,3

7 55,4

8 49,1

9 47,2

10 55,0

11 45,9

Determine la cantidad de combustible consumido (galones), determine la curva

integral y cual será la cantidad de petróleo consumido entre las 6,5 horas y 9 horas.


CASO III: Cuando suceden reacciones químicas

Entrada tiempo (t) t+ t

Flujo másico (M/T) me me + t

dt

dme .

Salida Tiempo (t) t+ t

Flujo másico (M/T) ms ms+ t

dt

dms .

Acumulación tiempo (t) t+ t

Masa (M) M M+ t

dt

dM.

se mmdt

dM

dtmdtmM se

Entradas – Salidas = Acumulación

Ejemplo:

La planta de producción de lácteos vierte sus efluentes a un bioreactor donde reduce su

carga orgánica antes de ser vertido al desagüe de acuerdo a los siguientes reportes:

Tiempo

(t) h

Entrada

concentración g/min

Salida

concentración

g/min

1 35,21 9,13

2 42,50 8,25

3 33,12 7,12

4 31,31 6,97

5 41,12 8,45

6 30,13 8,93

7 33,45 6,41

8 45,12 6,21

9 40,13 7,13

10 29,92 7,98

11 38,54 6,45


Las muestras han sido tomadas directamente de un sensor

a. Determine la masa que ingrese al bioreactor

b. Determine la masa que sale del bioreactor

c. Determine la masa que ha sido reducida

d. Determine el porcentaje de bioconversión

Cálculo de la masa que ingresa al bioreactor

Tiempo (t)

hora

Entrada

g/min

Entrada

g/h Ai Ai

1 35,21 2112,6

2 42,5 2550

3 33,12 1987,2 4766,6 4766,6

4 31,31 1878,6

5 41,12 2467,2 3989,6 8756,2

6 30,13 1807,8

7 33,45 2007 3901,8 12658

8 45,12 2707,2

9 40,13 2407,8 5081,2 17739,2

10 29,92 1795,2

11 38,54 2312,4 3967 21706,2

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 5 10 15

Co

ncen

tració

n g

/min

tiempo (t) min

Entrada

Salida


Calculo de masa que sale del bioreactor

Tiempo(t)

hora

Entrada

g/min

Entrada

g/h Ai Ai

1 9,13 547,8

2 8,25 495

3 7,12 427,2 985 985

4 6,97 418,2

5 8,45 507 869 1854

6 8,93 535,8

7 6,41 384,6 1011,6 2865,6

8 6,21 372,6

9 7,13 427,8 767,6 3633,2

10 7,98 478,8

11 6,45 387 910 4543,2

a. Masa al ingreso: 21 706,2 g

b. Masa a la salida: 4 543,2 g

c. Masa reducida: 21 706,2 –4 543,2 = 17 163 g

d. Bioconversión (%B)

1002,21706

17163% xB

% B = 79,06


Problemas propuestos

1. En una operación de biodegradación de un efluente orgánico se contabilizo el

caudal (Q) litros /hora, saliendo del bioreactor, conociendo que la carga orgánica

inicial fue de 6001 mg /l.

Tiempo

hora

Caudal (Q)

litro/h

Concentración

mg/l

1 4500 500

3 6500 561

5 4350 450

7 5321 325

9 4698 585

11 5331 625

13 4610 351

Determinar el volumen (V) en m3, vertido al desagüe, la masa y concentración del

agente orgánico que se vierte al desagüe y él % de bioconversión

2. Un efluente orgánico conteniendo residuales de azúcar es tratado en un bioreactor,

contabilizando los siguientes datos:

Tiempo (h) Caudal

m3/s

Concentración

entrada

g/l

Concentración

salida

g/l

1 0,210 18 5

2 0,230 15 3,5

3 0,240 12 4,2

4 0,200 15 2,1

5 0,198 17 4,1

6 0,177 19 6,2

7 0,236 15 3,4

8 0,224 32 8,1

9 0,180 16 8,9

a. Determinar el volumen del efluente tratado

b. Cantidad de azúcar que ingresa y sale del bioreactor

c. Material que sé biodegrado

d. % de bioconversión

e. Concentración promedio del efluente que se vierte al desagüe

f. Determinar la cantidad de etanol formado en la bioconversión

2526126 COOHHCOHC


3. Se tiene la siguiente información de salida de un efluente de una planta procesadora

de alimentos, hacia un desagüe publico. La medida del caudal se efectúa cada hora,

determinando el contenido de sólidos solubles orgánico mediante sensores.

Tiempo

hora

Caudal (Q)

m3/min

Concentración

mg/l

1 0,04 200

2 0,25 220

3 0,36 150

4 0,41 75

5 0,31 270

6 0,21 221

7 0,39 79

8 0,75 85

9 0,31 0,31

10 0,32 0,32

11 0,25 0,25

Determine el volumen del efluente que vierte al desagüe, la carga orgánica, y la

concentración promedio del mismo.

4. En un bioreactor se trata un efluente determinándose el flujo másico del agente

contaminante, obteniéndose los siguientes resultados:

Tiempo

hora

Flujo másico

entrada

kg/h

Flujo másico

salida

kg/h

1 45,6 18,3

2 32,5 10,9

3 55,3 12,3

4 53,8 8,25

5 45,9 9,13

6 62,4 8,53

7 44,8 7,23

8 46,8 10,90

9 49,6 11,3

Determinar la carga a la entrada y la salida del bioreactor, la carga orgánica se biodegrada

Determinar la cantidad de material de entrada y salida

La cantidad de material biodegradado y su porcentaje de material biodegradado


.

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