Separata trigonometria 2017

Trigonometría - Pre - 2017

Prof. Luis Cañedo Cortez Página 1

Medida del ángulo trigonométrico < -; + >

Ángulo Trigonométrico

Es aquel ángulo que se genera por la rotación de un rayo alrededor de un punto fijo llamado vértice u origen desde una posición inicial hasta otra posición final, debiendo considerar que esta rotación se efectúa en un mismo plano. Por lo tanto debemos considerar dos tipos de rotación: Sentido Antihorario. Si el ángulo tiene rotación antihoraria la medida del ángulo será positivo.

Sentido Horario. Si el ángulo tiene rotación horaria la medida del ángulo será negativo.

Observaciones:

1. Ángulo de una vuelta Es aquel ángulo generado, cuando la posición inicial y final coinciden por primera vez, luego de cierta rotación lo denotaremos como: 1v. a) Ángulo de una vuelta

b) Ángulo recto

c) Ángulo llano

2. Los ángulos trigonométricos son ilimitados a diferencia de la geometría.

3. Para sumar o restar ángulos trigonométricos que

no se pueden realizar a simple vista debemos procurar tenerlos en un solo sentido de preferencia antihorario para ello se recomienda el cambio de sentido.

4. Ángulos coterminales y/o cofinales. Son dos o más

ángulos positivos o negativos de diferentes medidas

que tienen el mismo origen, el mismo lado inicial y

el mismo lado final.

Actividad.

1. Hallar “x”

a) 2

º90

b) 2

º90

c) 2

º180

d) 2

º180

e) 2

º270

2. Del gráfico, señalar “x” en función de los otros

ángulos trigonométricos mostrados.

b) α + β +

c) α - β -

d) - α - β

e) - β + α

f) α - + β

Lado Final

Lado Inicial Vértice O

O Vértice

Lado Final

Lado Inicial

es positivo

es negativo

= 360°= 1v

190

4v

1180

2v

O

x

-x

(+) (-)

– = n.360° ; n ϵ Z

= 360° +



3. Del gráfico, calcular “x”. a) 2 b) 4 c) 8 d) 12 e) 10

4. A que es igual + + a partir del gráfico adjunto:

a) -450° b) -360° c) -720° d) 360° e) 0°

5. Del gráfico mostrado, calcula los valores de “x”.

a) {– 5; 6} b) {– 3; –6} c) {– 5; –6} d) {– 1; 6} e) {7; 3}

6. Dos ángulos coterminales son entre sí como 19 es a 3. Hallar la medida del mayor de ellos, si el menor ángulo toma su mínimo valor positivo.

a) 427º 30’ b) 547º 30’ c) 657º 30’ d) 855º e) 927º 30’

7. Sean = (7x2 + 1)° y = (1 – 3x2)° ángulos coterminales, tal que x ϵ IR+. Hallar el mínimo

valor que puede tomar “”.

a) 1009º b) 757º c) 505º d) 253º e) 107º

8. Según el gráfico, reconoce la ecuación con

respecto a , y .

a) – + = 180°

b) + + = 180°

c) – – = 120°

d) + + = 180°

e) + – = 360°

Sistema de medidas angulares.

1. SISTEMA SEXAGESIMAL (INGLÉS) El sistema divide el ángulo de una vuelta en 360 partes iguales y a cada parte denomina grado sexagesimal, que es la unidad de medida angular. Cada grado sexagesimal se divide en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos

Notación Equivalencias

Un grado sexagesimal = 1°

Un minuto sexagesimal = 1’

Un segundo sexagesimal = 1’’

1°= 60’ 1’ = 60’’ 1° = 3600’’

2. SISTEMA CENTESIMAL (FRANCÉS)

Se divide el ángulo de una vuelta en 400 partes iguales y cada parte se llama grado centesimal. Cada grado centesimal contiene 100 minutos centesimales y cada minuto centesimal, 100 segundos centesimales.


Un grado centesimal = 1g

Un minuto centesimal = 1m

Un segundo centesimal = 1s

1g = 100m 1m= 100s 1g =10 000s

3. SISTEMA RADIAL O CIRCULAR (INTERNACIONAL) Este sistema tiene por unidad el radián (1 rad), que es la medida de un ángulo central que subtiende un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia que contiene el arco.


Un radián = 1 rad.

1 vuelta = 2 rad. π = 3,14 π = 22/7

3 2

Observaciones:

1 rad. = 57°17’45’’ = 63g66m20s 1 rad. > 1° > 1g

4. RELACIÓN DE LOS TRES SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES Sean S, C y R los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial respectivamente. Se tiene:

S C R 360° = 400g = 2π rad

180

200180 200

S kS C R

k C k

R k

Pero también puede ser:



9

109 10

20

S kS C R

k C k

R k

5. RELACIÓN ENTRE EL SISTEMA SEXAGESIMAL Y CENTESIMAL.

Sabemos que:180 200

S C , simplificando se

obtiene:

6. CONVERSIONES

De un sistema a otro.

De sexagesimal a centesimal

10

9

g

De centesimal a sexagesimal

9

10g

De sexagesimal a radian

180

rad

De radian a sexagesimal

180

rad

De centesimal a radian

200

radg

De radian a centesimal

200g

rad

En un mismo sistema.

Sistema sexagesimal

Sistema centesimal

Grados a minutos

60'

1 100

61

m

g

Minutos a segundos

60''

1' 100

1

s

m

Grados a segundos

3600''

1 10000

1

s

g

Segundos a grados

1

3600''

1

10000

g

s

Segundos a minutos

1'

60'' 1

100

m

s

Minutos a grados

1

60'

1

100

g

m

Actividad.

1. Expresar 110g al sistema sexagesimal.

a) 99° b) 100° c) 110° d) 120° e) 130°

2. Efectuar la siguiente suma:

K = 12°36'18" + 27°49'53"

a) 40°25'11" b) 41º26'11" c) 40º16'11"

d) 40º26'11" e) 42º16'21"

3. Efectuar la siguiente suma:

K = 32g 76m 98s + 37g 99m 63s a) 72g76m61s b) 79g86m71s c) 69g76m61s d) 71g76m51s e) 70g76m61s

4. Siendo: 23°41'17'' + 17°32'56'' = a°b'c''

Calcular: a b

Mc 4

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

5. Del gráfico mostrado:

Halle:

10

9

a

a) 10/3 b) 10 c) 90 d) 9 e) 20/3

6. Al resolver 45 30

9

g

rad

, se obtiene

a) 1,2 b) 2,4 c) 3,6 d) 4,8 e) 5,4

7. Calcular: 7 12' 3 3'

J6 ' 3'

a) 122 b) 133 c) 124 d) 125 e) 136

8. Al reducir la expresión se obtiene

2 2 2

2400

C S C SP

R

, se obtiene:

a) 319 b) 309 c) 303 d) 296 e) 285

9. Expresar el ángulo en centesimal si se cumple:

C...........SSS

a) (1, 2)g b) (1, 9)g c) (1, 8)g d) 1,7g e) 2g



10. Del gráfico, calcular "x".

A. 3 C. 7 B. 5 D. 9

11. Señale la medida circular de un ángulo, sabiendo que la suma de los cuadrados de sus números de grados sexagesimales y centesimales, es al producto de dichos números como 362 veces el

número de radianes es a 45.

a) /4 rad b) /2 rad c) /3 rad

d) /6 rad e) /12 rad

12. Simplifique:

1 1 2 2 3 3' 1 1'40''

3' 1'40''1 2

g m g mM

m m

a) 100 b) 200 c) 300 d) 250 e) 263

13. Calcular:

s m

340 1

K1' 10"

A. 1,24 C. 2,16 B. 2,24 D. 2,4

14. Al simplificar

2 22

C SE

S C S

, se obtiene:

a) 1 b) 1/3 c) ½ d) 0 e) 4

15. Si S, C y R representan el número de grados sexagesimales, centesimales y radianes para un mismo ángulo (no nulo) respectivamente; entonces le valor de R en

2102 2

10 2R

S C S C

, es

a) /3 rad b) /13 rad c) /10 rad


16. Si los ángulos de un triángulo se encuentran en progresión aritmética de razón 12°; entonces la medida del menor de dichos ángulos expresado en radianes, es:

a) 2/15 rad b) 4/15 rad c) /15 rad

d) /4 rad e) /5 rad

17. Del gráfico, calcular "x".

A. 1 B. 5 C. 3 D. 6

18. Se mide un ángulo en los 3 sistemas conocidos si se cumple:

R1800R

1

C

1

S

12

Hallar la medida radial.

a) rad10

b)

11

c)

10 d)

100

e)

100

19. Calcular la medida de un ángulo en radianes, sabiendo que su medida en el sistema sexagesimal es: S = 9x y en el sistema centesimal es: C = 5(x + 5).



20. Sabiendo que R, C y S son los números que indican la medida de un ángulo positivo en los sistemas radial, centesimal y sexagesimal respectivamente.

Calcular la medida de dicho ángulo si y son ángulos complementarios.

2

4

RC R

y

22

4

R RS


d) /2 rad e) /6 rad

21. La medida de un ángulo en el sistema sexagesimal es a°a’ y la medida de otro ángulo en el sistema centesimal es agam, si la suma de las medidas de dichos ángulos en el sistema sexagesimal es igual a 57°46’12’’. Calcular su diferencia en el sistema inglés.

a) 3°12’45’’ b) 3°13’48’’ c) 4°15’40’’ d) 4°15’45’’ e) 5°13’38’’



2x+1 3

2x

Razones trigonométricas de ángulos agudos.

Sea el triángulo rectángulo ABC recto en B.

Teorema de Pitágoras.

En todo triángulo rectángulo se cumple:

“La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa”

a2 + c2 = b2 Ejemplo. De la figura mostrada

determine el valor de x.

Solución:

Aplicamos el teorema de

Pitágoras.

32 + (2x)2 = (2x + 1)2

Desarrollamos los elementos y simplificamos

9 + 4x2 = 4x2 + 4x + 1

8 = 4x

x = 2

Las razones trigonométricas para un ángulo agudo

Definimos con respecto a :

Seno de b

a

H

COsen

Coseno de b

c

H

CAcos

Tangente de tanCO a

CA c

Cotangente de cotCA c

CO a

Secante de c

b

CA

Hsec

Cosecante de a

b

CO

Hcsc

Por ejemplo: 3

1sen csc = 3

Ejercicios de aplicación.

1. En un triángulo ABC recto en C simplificar:

E = a . cotA – c . senB

a) 0 b) 1/3 c) a d) b e) 1/2

2. En un triángulo rectángulo ABC recto en B reducir:

E = (secA - senC)cotA - cosC

a) 1 b) 2 c) 0 d) 3 e) -1

3. Del gráfico hallar: 3

2

ctg)tgtg(E

a) 2 b) 3 c) 5

d) 32

e) 15

4. De la figura mostrada. AC = 2CD y CM = MB.

Determine tan . tan a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

5. Del gráfico calcular tg.

a) 1

b) 2

c) 3

d) 2

2

e) 3

3

6. Si: 8

5tg ; determine tg

a) 0,4 b) 0,5 c) 0,6 d) 0,8 e) 1

7. En un triángulo rectángulo, BC = 2AB = 2.

Determine el valor de sen + cos .

A) 2

5

B) 1

5

C) 3

5

D) 4

5

E) 5

C

B A

b a

c

Elementos:

- a: cateto opuesto al

ángulo - c: cateto adyacente

al ángulo . - b: hipotenusa

C

B A

b a

c

I N V E R S A

S

inversas

m

2m



8. En el triángulo mostrado, BH = 2; AC = 3,

determine el valor de tan + tan .

a) 1 b) ½ c) 2 d) 3/2 e) 3

9. En el grafico mostrado AM = BM = 1 entonces el

valor de tan .

A) 3 3 B) 2

2

C) 2 2 D) 2 3

E) 3

2

10. En un triángulo ABC recto

en C se cumple 3senA = 2senB.

Calcular: tgB6senA13E

a) 7 b) 9 c) 11 d) 13 e) 15

11. Si 2

3sen y

7cos

5 ( y ángulos

agudos). Calcular: cos sec

csc csc

tg ctgR

ctg ctg

a) 3,5 b) 3,6 c) 3,7 d) 3,8 e) 3,9

12. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B) se

cumple que 1

8senA senC . Calcular tg A + tgC

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

13. Si A y B son los ángulos agudos de un triángulo rectángulo. Simplificar:

coscsc csc

csc sec

senA AR B A

B B

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

14. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, los lados están en progresión aritmética de razón 2. Hallar tgA. (A > C)

a) 4/5 b) 5/6 c) 4/3 d) 5/3 e) 2/5

Propiedades de las razones trigonométricas.

Reciprocas.

Complementario.

sen = cos

tg = ctg

sec = csc

Ejercicios de aplicación.

1. Si : tan 3x . cot(x + 40°) = 1. Calcular : Cos 3x

a) 1 b) ½ c) 3 d) 3 /2 e) 3/5

2. Hallar “x” si : cos(2x – 10°) sec(x + 30°) = 1

a) 10° b) 20° c) 30° d) 40° e) 50°

3. Si: sen 7x sec 2x = 1.

Calcular:

E = tg2 6x + tg(x + 42º - y) . tg(3x + y + 8°)

a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

4. Determine “x” :

sec(2x - 8) = sen 40° csc 40° + º75ctg

º15tg

a) 17° b) 20° c) 28° d) 30° e) 34°

5. Calcular: º50csc

º40sec3

º70ctg

º20tg2

º80cos

º10senE

a) 1 b) 2 c) 0 d) -1 e) -2

Razones trigonométricas de ángulos notables. Estas razones se obtienen a partir de triángulos rectángulos notables donde la proporción entre sus lados y la medida de sus ángulos interiores es conocida. Triángulos notables.

Triángulos aproximados.

sen . csc = 1

cos . sec = 1

tg . ctg = 1

Siempre y cuando:

=

Siempre y cuando:

+ = 90°

(Complementarios

)

a

b

c

a

a

45

45

a 2a

60º

30º

a

5a 3a

37º

53º

4a

25a 7a

16º

74º

24a

a

8º

82º

7a



Ejercicios de aplicación. 1. Calcular: E = (sen30º + cos60º)tg37º

a) 1 b) 2 c) ¼ d) 3/4 e) 4/3

2. Determine el valor de “m” para que “x” sea 30º.

1m

1mx2cos

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

3. Del gráfico hallar: ctg

a) 1,6 b) 1,7 c) 0,4 d) 0,6 e) 1,4

4. Calcular: E = (sec245º + tg45º) ctg37º - 2cos60º

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

5. Calcular: “x” 3xsec53º - tg45º = sec60º(sec45º + sen45º)csc30º

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

6. Calcular: E = (tg60º + sec30º - sen60º)sec60º

a) 25/12 b) 25/24 c) 49/12 d) 49/24 e) 7/18

7. Calcular: º45sen

º30cosº37senº60secº30tgE

2

a) 5

3 b)

5

311 c)

5

33 d)

3

35 e)

5

32

8. Determine tg en el gráfico.

a) 3

b) 3

3

c) 2

3

d) 6

3

e) 2

33

9. En el gráfico: tana = 6, calcula tan. A) 1/6 B) 1/12 C) 1/5 D) ¼ E) 1/10

10. Según el gráfico, calcula cot. A) 3 B) 2,5 C) 4 D) 1,4 E) 2

11. Calcular el valor de:

2sec 30 45 cos60 37

csc45 csc30

tg ctgP

Rpta.: 2

2

12. Si: sen (3x + 17°) = cos (x + 23°), calcular el valor de:

2 12 4 5

4 3

sen x ctg xE

tg x

Rpta.: 6/5

13. Del gráfico (cuadrado ABCD), calcular el

valor de “tg ϴ”

Rpta.: 4

14. Si cos(4x – 17°) . sec(x + 16°) = 1 , calcular el valor de:

(4 1) (3 4)

cos(6 6)

ctg x sen xK

x

Rpta.: 4/5

15. Calcular los valores que puede tomar “x” en la igualdad:

x2 csc30° + 3x sec53° – tg260° = 0

Rpta.: {-3; ½}

x + 3

2x + 1 5x - 3

45º

30º

C B

A D

E

45° ϴ



x

y

x

y

90° 180°

-90°

Ángulo en posición normal.

Es todo ángulo trigonométrico cuyo lado inicial está sobre el semieje positivo X, su vértice coincide con el origen de coordenadas y su lado final se encuentra en cualquier parte del plano.

En la figura , son las medidas de los ángulos en posición normal

Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal. Sea P un punto de coordenadas (x; y) pertenece al lado final

de un ángulo en posición normal, donde. r: radio vector x: abscisa y: ordenada

Siendo:

2 2r x y ……. Teorema de Pitágoras Del gráfico definiremos las Razones Trigonométricas para un ángulo en posición normal los cuales son independientes del sentido de giro o el número de vueltas que pudiera realizar.

. .

Ordenada ysen

R V r . .

cscR V r

Ordenada y

cos. .

Abscisa x

R V r

. .sec

R V r

Abscisa x

Ordenada ytg

Abscisa x cot

Abscisa x

Ordenada y

Regla de los signos.

C R.T.

IC IIC IIIC IVC

sen + + – –

cos + – – +

tg + – + –

cot + – + –

sec + – – +

csc + + – –

Ángulos cuadrantales. Entenderemos por ángulo cuadrantal a aquel ángulo en posición normal cuyo lado final coincida con cualquier semieje del plano cartesiano. La medida de este ángulo

siempre tendrá la forma “2

πn ”; n Z ó “n. 90º”.

Ejemplo:

Para diferentes valores enteros de “n” tendríamos: n = -3;

-2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; ….

n . 90 = -270°; -180°; -90°; 0; 90°; 180°; 270°; 360°;

El siguiente gráfico muestra algunos Ángulos Cuadrantales y su medida.

Razones trigonométricas de ángulos cuadrantales.

m∢ R.T.

0º, 360º 90º 180º 270º

0; 2 /2 3/2

sen 0 1 0 -1

cos 1 0 -1 0

tg 0 N 0 N

cot N 0 N 0

sec 1 N -1 N

csc N 1 N -1

0 = Cero 1 = Uno N = No definido

Razones trigonométricas de ángulos coterminales.

x

y

Segundo Primero

Tercero Cuarto

S P

T C

en csc

ositivas Todas

g cot

os sec

+

+ +



Ejercicios:

1. Del gráfico calcular: tg26cos11E

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

2. Del gráfico calcular: cot4sec5E

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

3. Del gráfico calcular “tg”

Si: ABCD es un cuadrado a) -0,1 b) -0,2 c) -0,3 d) -0,4 e) -0,5

4. Si 1 tan 1 2 , además IIIC . Hallar

sec

a) 23 b) 29 c) 41 d) 65 e) 73

5. De la figura; calcular R = 2csc α + sec β a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

6. Si: 8tg = 4 además IIIC, calcular:

R= sen . cos . a) 2/13 b) 3/13 c) 6/13 d) -6/13 e) -3/13

7. Sabiendo que:

2 11

432

tgtg

; siendo

sen < 0. Calcular: U = 13 sen + 5ctg a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11

8. Si: 1

21

41

45 2

tg

Calcular: 5 csc , sabiendo que IIIC

a) -2 b) -3 c) -6 d) - 3 e) 6

9. Del gráfico, calcular “tg ”; si: ABCD es un

cuadrado.

a) –1,1

b) –1,2

c) –1,3

d) –1,4

e) –1,5

10. Hallar tag , si: C(–4; 6) si ABCD es un cuadrado.

a) –0,2

b) –0,4

c) –0,6

d) –0,8

e) –1,0

11. Si: 1

11 5 13cos

; 270°<<360°. Hallar

el valor de: R= sec – tg .

a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

12. Si: 2 2 2 2 ....tg , además

IIIC; según esto calcular: 5 cscQ tg .

a) –1/2 b) –2 c) –1 d) –3/2 e) –5/2

13. Si se cumple que:

25 Sen2 + 5 Sen – 12 = 0

Además II C, halla M= Sen – Cos + Tg

a) 0,72 b) 0,65 c) 0,6 d) 0,56 e) 0,5

14. Sabiendo que: II C y III C. Halla el signo de la expresión:

cos cot

sen tgE

a) (+) b) (–) c) (+) ó (–) d) (+) ó (–) e) Nulo

15. Simplificar:

º90cscab2

º270sen)ba(º0sec)ba(E

22

a) a b) b c) 1 d) 2 e) 4

16. Del gráfico calcular: E = tg + cot

x

y

(1; -2)

x

y

)2;3(

x

y

C(2; 2) B(-1; 2)

A D



a) 1 b) 2 c) 3 d) 2/3 e) 3/2

17. Calcular:

2 2( ) sec360 ( ) cos180

2 csc270

a b a bE

ab

a) 1 b) 2 c) 3 d) -3 e) -2

18. Indicar el signo de la expresión:

160 cos230 tan350

cot80 sec200 csc300

senB

a) + b) – c) + o – d) + y – e) nulo

19. Del gráfico mostrado, calcular E = sen + cos

a) 41

41 b)

41

40 c)

41

31 d)

41

47 e)

41

37

20. De la figura, hallar csc

a) 2

b) 2 2

c) 3 2

d) 4 2

e) 5 2

21. Si se cumple que:

1

2 8ctg

; IIIC

Calcular “csc ”

a) 13 b) 26 c) 39 d) 42 e) 61

Ejercicios de reforzamiento.

1. SI: 28 tgsen sen

. Hallar : D = 1 + sec2

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

2. Los lados de un triángulo rectángulo miden: (3x + 5); (2x + 4) y (3x – 3). Calcular el seno del mayor ángulo.

a) 3/5 b) 29/24 c) 5/3 d) 6/7 e) 21/29

3. Sean A y B los ángulos agudos de un triángulo rectángulo. Simplificar:

coscsc csc

csc sec

senA AT B A

B B

a) 4ab b) 3bc c) 2 d) a e) b

4. Del gráfico calcular “tg ”

5. Resolver:

2 2csc30 cos60 sec 45 45sec(2 8)

20,2sec53 cos60 60

senx

tg

a) 24° b) 34° c)37° d) 53° e) 60°

6. Hallar “n” 2 1437 csc 45 243

ntg

a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 81

7. Resolver: tg(x – 30°).cot(70° - x) = 1 a) 40° b) 50° c) 60° d) 70° e) 24°

8. Si: 60 . 10 1 0tg x y tg x y

Hallar: cos(x – 55°)

a) 2 /2 b) 2 c) ½ d) 1/3 e) 3 /2

9. Sean y ángulos agudos complementarios, donde:

2 3csc

3

x

y

2cos

4 1x

Hallar: 4

cos5

E sen

a) 12/5 b) 1 c) 3 d) 2 e) 11/5

10. Si: 13,8462 1 0´4 ´´a b c

Calcular: a

Nc b

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

(a-b; b)

(a; a-b)

A(4; 5)

x

y

O

(2a –1; a+4)

x

y



Aplicación de los triángulos rectángulos

Ángulos verticales.

Son aquellos ángulos que se determinan en un plano vertical, formados por la línea de mira visual y la línea horizontal que parten del ojo del observador.

Los ángulos verticales se clasifican en: Ángulo de elevación.

Es el ángulo que se origina por la línea horizontal y la línea de mira cuando el objeto se encuentra por encima de la línea horizontal.

Ángulo de depresión

Es el ángulo que se origina por la línea horizontal y la línea de mira cuando el objeto se encuentra por debajo de la línea horizontal.

Ángulos horizontales. Son aquellos ángulos, cuya medición se realiza en un plano horizontal. El instrumento de medición para estos ángulos se llama brújula. Su estudio también está basado en la resolución de triángulos rectángulos y por ende la aplicación de razones trigonométricas. La Rosa Naútica es el plano, en el cual están contenidas las 32 direcciones notables de la brújula.

El Rumbo o dirección, es la desviación angular que sufre la Rosa náutica con respecto a las direcciones principales (norte, sur, este y oeste), al ubicar un punto. Ejemplos: N30°E. Se lee “Del norte se desvía 30° al este” S48°O. Se lee “Del sur se desvía 48° al oeste” N15°E. Se lee “Del norte se desvía 48° al este” NE. Es la bisectriz de la dirección Norte y Este. SE. Es la bisectriz de la dirección Sur y Este.

NO. Es la bisectriz de la dirección Norte y Oeste. SO. Es la bisectriz de la dirección Sur y Oeste

Problemas de aplicación.

1. Una persona observa la parte más alta de un edificio con un ángulo de elevación de 45°, acercándose 48m el nuevo ángulo es 53°. Hallar la altura del edificio.

a) 168m b) 192m c) 176m d) 196m e) 200m

2. Un niño de 1,30m de estatura está situado a 5,40m de la base de un poste y observa la parte más alta de dicho poste con un ángulo de elevación de 53°. Hallar la altura del poste.

a) 8,50m b) 8,20m c) 8,76m d) 7,96m e) 8,00m

3. Una persona situada en la parte superior de una

torre de 15 3 m de altura observa a 2 personas

con ángulos de depresión de 30° y 60° respectivamente. Hallar la distancia que separa a las personas.

a) 16m b) 19m c) 76m d) 30m e) 20m

4. La elevación de la cumbre de una montaña, vista desde un punto A es 45°, caminando desde A una distancia de 50m, en un plano horizontal en dirección a la cumbre, y luego otros 260m, sobre un plano ascendente cuya inclinación tiene como cotangente 2,4 respecto a la horizontal, se encuentra que la elevación de la cumbre, vista desde éste último punto es 53°. Hallar la altura de la cumbre respecto al nivel del punto A.

a) 800m b) 840m c) 860m d) 820m e) 900m

5. Desde un acantilado una persona observa un barco con un ángulo de depresión de 45°, luego que el barco se aleja 80m en el mismo plano vertical. Desde ésta última posición del barco se observa al primer observador con un ángulo de elevación de 37°. Hallar la altura del acantilado.

a) 100m b) 120m c) 180m d) 240m e) 260m

6. Un avión vuela a 150km con rumbo N60°O, luego cambia su dirección volando con rumbo N60°E hasta un punto situado al norte de su punto de partida. Hallar la distancia entre su punto de partida y llegada.

a) 150km b) 120km c) 100km d) 80km e) 60km

7. Desde lo alto de un muro de 2 m de alto, se ve lo alto de un edificio con un ángulo de elevación de 53°. Si el muro está a 36 m del edificio, ¿cuál es la altura del edificio?

a) 50 m b) 48 c) 56 d) 64 e) 72

8. Desde el borde de un acantilado de 500 m de altura sobre el nivel del mar, el ángulo de depresión de dos boyas situadas en un mismo plano vertical con el observador miden 45° y 30°. Calcule la distancia entre

las boyas. (Considere 3 1,73 )

a) 365 m b) 360 m c) 300 m d) 340 m e) 250 m



Permanece igual

Depende del cuadrante

cambia

Depende del cuadrante

9. Desde la parte superior de una torre se observa en el

suelo un objeto con un ángulo de depresión y desde el punto medio de la torre de depresión angular con que se observa el mismo objeto es el complemento de

. Calcular tg .

a) 2 b) 2 2 c) 3 2 d) 4 2 e) 5 2

10. Desde un acantilado una persona observa un barco con un ángulo de depresión de 45°, luego que el barco se aleja 80m en el mismo plano vertical. Desde ésta última posición del barco se observa al primer observador con un ángulo de elevación de 37°. Hallar la altura del acantilado.

a) 100m b) 120m c) 180m d) 240m e) 260m

11. Una persona de 1,7 m de estatura divisa lo alto de un edificio con un ángulo de elevación de 37°. Si la persona está a 24 m del edificio, ¿cuál es la altura del edificio?

a) 33,7 m b) 19,7 c) 27,7 d) 28,7 e) 37,7

12. Una antena de radio está colocada en la azotea de un edificio. A 12 m de distancia del edificio sobre el suelo, los ángulos de elevación de la punta de la antena y de la parte superior del edificio son 53° y 37° respectivamente. Halle la longitud de la antena.

a) 7 m b) 6 m c) 5 m d) 8 m e) 6,5 m

Reducción al primer cuadrante

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE DE ARCOS POSITIVOS MENORES DE UNA VUELTA. Consiste en comparar el valor de las razones trigonométricas de un ángulo de cualquier magnitud con respecto al valor de la razón trigonométrica de un ángulo del primer cuadrante (agudo). Para poder entender mejor daremos las siguientes observaciones:

I. Razones trigonométricas de ángulos negativos

Sen (–) = –Sen

Cos (–) = Cos

Tg (–) = –Tg

II. Cofunción ó Co -razón

Sen Cos ; Tg Ctg ; Sec Csc

III.

R.T.

º360º180 = R.T. ()

Ejemplo : Tg 300° (300° IV)

Tg 300° = Tg (360° – 60°)

= –Tg 60° = – 3

(en el IVC la Tg es –)

Tg 300° = – 3

R.T.

º270º90 = Co. R.T. ()

Ejemplo : Sen 120° (120° IIC)

Sen 120° = Sen (90° + 30°) = +Cos 30° = 2

3

(en el IIC el Sen es +)

Sen 120° = 2

3

Ejercicio de aplicación.

1. Reducir: )xcos(

)xº360cos(

)x(sen

)xº180(senE

a) 0 b) 2 c) -2 d) 2cosx e) -cosx

2. Calcular: E = sen150° + tg225° + cos300°

a) 0 b) 1 c) 2 d) -1 e) -2

3. Si:

2cos)x2(sen)x

2(sen

Calcular: “secx”

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 3/2

4. Reducir: º130cot

º140tg

º310sen

º230senE

a) 0 b) 1 c) 2 d) -1 e) -2

5. Halle el valor de la expresión:

cos 150 240

tan 300

senE

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

6. Hallar el valor de:

2 100 3 280

cos(10 )

sen senF

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

7. Simplificar: (230 ) (50 )

(40 )

tg x tg xE

ctg x

a) –tg x b) –cotg x c) tg x d) -2 e) 2

8. Sumar:

Sen2 20° + sen2 73° + sen2 110° + sen2 163°

a) 0 b) 1 c) 2 d) -1 e) 3

Ctg (–) = –Ctg

Sec (–) = Sec

Csc (–) = –Csc

Cambia por su co - razón



PARA ÁNGULOS MAYORES DE UNA VUELTA Para este caso la medida angular que es mayor a una

vuelta () será dividida entre 360º; tomando el resto () de dicha operación como medida angular resultante; manteniéndose la R.T. original, esto es:

360° = 360º . n + R.T. = R.T.

n

Ejemplo.

Reducir al primer cuadrante: 1. Sen 1985°

1985° 360° 1800° 5 Residuo 185°

Luego : Sen 1985° = Sen 185° = Sen (180° + 5°) …… (*) = -Sen 5º

Sen 1985° = -Sen 5°

2. Tg 5535° 5535° 360°

5400° 15 Residuo 135°

Luego : Tg 5535° = Tg 135° = Tg (90° + 45°) …… (*) = -Ctg 45°

Tg 5535° = -1 Ejercicios de aplicación.

1. Calcular : º990Sen

º3780Cosº1170Sen2

a) -1 b) 2 c) -2 d) 1 e) 0

2. Simplificar : E = 2 Tg (1485°) + 6 Cos 2200° - 2 Sen 750°

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

3. Simplificar :

)x9(Ctg)x7(Csc)x5(Cos

x2

9Secx

2

7Senx

2

5Tg

a) Ctg x b) -1 c) 1 d) -2 e) 2

4. Simplificar :

E = )x(Sen

)x4(Sen

+

)x5(Cos

)x(Cos

+ Tg 6

a) 1 b) 2 c) -1 d) -2 e) 0

5. Reducir : E = )x14(Cos)x26(Cos

)x8(Sen)x12(Sen

a) Tg x b) Ctg x c) Sen x d) 1 e) 0

6. Calcular : E = º3870Sen

º540Cosº900Sen4

2

a) 1 b) 2 c) -1 d) -2 e) 0

Separata trigonometria 2017

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