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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚESTUDIOS GENERALES CIENCIAS
Cálculo 3Derivadas parciales, derivada direccional y diferenciabilidad
Semestre Académico 2015-1
1. Calcular las derivadas parciales de las siguientes funciones:
a) f (x, y) =xy
x + y
b) f (x, y) = (x + y2) ln(x − y)
c) f (x, y) = ey(x−1)2ln(x + y2 − 1)
d) f (x, y) = x + lny
x2 + y2
e) f (x, y) =
{ xyx2+y2 , si (x, y) , (0,0)
0, si (x, y) = (0,0)
f) f (x, y, z) = ln√x2 + y2 + z2 + sen(x + 2y − z)
2. Dada la función f (x, y) =
2x2yx4+y2 , si (x, y) , (0,0)
0, si (x, y) = (0,0). Mostrar que f no es
continua en el punto (0,0) y tiene derivada direccional en (0,0) a lo largo decualquier dirección.
3. Sea f (x, y) =
xy(x2−y2)x2+y2 , si (x, y) , (0,0)
0, si (x, y) = (0,0). Analizar la continuidad de f y
mostrar que f es de clase C1.
4. Dada la función f (x, y) =
xy3
x4+y2 , si (x, y) , (0,0)0, si (x, y) = (0,0)
. Encontrar en qué sub-
conjunto de R2 la función f es:
a) continua,
b) admite derivadas parciales,
c) diferenciable.
5. Dada la función f (x, y) = x2 − xy, calcular la derivada direccional de f enel (0,0) a lo largo de cualquier vctor unitario v ∈ R2 y analizar si f esdiferenciable en (0,0).
6. Dada la función f (x, y) =
2xy2
x2+y4 , si (x, y) , (0,0)0, si (x, y) = (0,0)
a) Calcular la derivada direccional de f en el origen de coordenadas en ladirección del vector v = (cos θ, sen θ)
b) Determinar si en el origen es válida la fórmula del gradiente,
c) Analizar si f es diferenciable en el origen de coordenadas.
7. La temperatura en un punto (x, y) de una región del plano es T (x, y) = x2e−y.¿ En qué dirección aumenta más rápidamente la temperatura en el punto(2,1)? ¿ Con qué rapidez aumenta T en esa dirección?
8. Sean α > 1, v = ( 1√
2, 1√
2) y f (x, y) =
|x |α−1
x2+y2 , si (x, y) , (0,0)0, si (x, y) = (0,0)
. Analizar
si existe la derivada direccional Dvf (0,0), al variar α, en caso afirmativocalcularla.
a) Analizar la continuidad de f
b) Mostrar que ∀ (x, y) ∈ R2 \ {(0,0)} las derivadas parciales de primer
orden en (x, y) existen y verifican∂f
∂x(x, y) = −
∂f
∂y(y, x)
c) ¿ Es f de clase C1?
9. Encontrar los puntos de R2 donde la función
f (x, y) =
x2(x2+y2)52
x4+(x2+y2)4 , si (x, y) , (0,0)0, si (x, y) = (0,0)
es diferenciable.
10. Encontrar la dirección de máximo crecimiento de las funciones dadas en elpunto indicado:
a) f (x, y) = ln(x2 + 3y2), (2,1)
b) f (x, y, z) = xe−y2
cos z, (1,1, π)
c) f (x, y, z) = xyz, (1,1,1)
11. Hallar la ecuación del plano tangente al gráfico de la función f (x, y) = ex sen yen (1, π) justificando su existencia. Calcular Dvf (1, π), donde v = (3
5 ,45 ).
12. Analizar la continuidad y diferenciabilidad de la función
f (x, y) =
x3−y3
x2+y2 , si (x, y) , (0,0)0, si (x, y) = (0,0)
13. Dada la función f (x, y) = x2 + y2
a) Mostrar que f es diferenciable en el punto (1,1) usando la definición.
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b) Hallar la ecuación del plano tangente al gráfico de f en el punto (1,1, f (1,1)).
14. Dada la función
f (x, y) =
sen x3−sen y3
x2+y2 , si (x, y) , (0,0)0, si (x, y) = (0,0)
Analizar la continuidad de f , y la existencia y continuidad de las derivadasparciales de primer orden.
15. Si f (x, y) = y4e3x , determinar para que vectores unitarios v = (a, b) la deri-vada direccional Dvf (0,−1) es máxima y para qué vectores es nula.
16. Dada la función f (x, y) =3√x2(y − 1) + 1
a) Verificar que f no es diferenciable en el punto (0,1)
b) Calcular la derivada direccional Dvf (0,1), siendo v vector unitario deR2.
17. Calcular la pendiente de la tangente a la curva de intersección de la super-ficie z =
√36 − 4x2 − 4y2 y el plano z = 1 en el punto P(1,−2,4).
18. La intersección del plano y = 1 con el paraboloide z = 4−x2−y2 es una curvaΓ. Si se traza la recta tangente a Γ en el punto cuya primera coordenada esx = 1
2 , encontrar el punto donde dicha tangente corta al plano YZ .
19. Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie S : z = x2 − xy + y2 quees paralelo al plano 5x − y − z = 1.
20. Encontrar la ecuación cartesiana del plano tangente al elipsoide x2
16 +y2
9 + z2
4 =
3 en el punto (4,3,2).
21. Dada la función f (x, y) =
{(x2 − y2) ln(x2 + y2), si (x, y) , (0,0)
0, si (x, y) = (0,0) .
ABC San Miguel 22 de Mayo de 2015
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