Serie de Taylor
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Serie de Taylor En matemáticas, una serie de Taylor de una función f(x) infini tamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto ( a-r , a+r ) se define como la siguiente suma: Aquí, n! es el factorial de n y f (n) (a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a. Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r , a+r ) y la suma es igual a f ( x), entonces la función f ( x) se llama analítica. Para comprobar si la serie co nverge a f ( x), se suele utilizar una estimación del resto de l teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar co n una serie de potencias; los co eficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor. Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin. Esta representación tiene tres ventajas importantes: y La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan op eraciones triviales. y Se puede utilizar para ca lcular valores aproximados de la función. y Es posible demostrar que, si es viable la t ransformación de una función a una serie de Taylor, es la ópt ima aproximación po sible. Algunas funciones no se pueden escribir co mo serie de Taylor porque tienen a lguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véase Serie de Laurent. Por ejemplo f ( x) = exp( 1/ x²) se puede desarrollar como serie de Laurent. Definición La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es infinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejos a, es la serie de potencias: que puede ser escrito de una manera más compacta como
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Serie de Taylor
En matemáticas, una serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real ocompleja) definida en un intervalo abierto (a-r , a+r ) se define como la siguiente suma:
Aquí, n! es el factorial de n y f (n)
(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a.
Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r , a+r ) y la suma es igual a f ( x), entonces la función f ( x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f ( x),
se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica siy solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie sonnecesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.
Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin.
Esta representación tiene tres ventajas importantes:
y La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término atérmino, que resultan operaciones triviales.
y Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función.y Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie
de Taylor, es la óptima aproximación posible.
Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen algunasingularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie
utilizando potencias negativas de x (véase Serie de Laurent. Por ejemplo f ( x) = exp( 1/ x²)se puede desarrollar como serie de Laurent.
Definición
La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es infinitamentediferenciable en un entorno de números reales o complejos a, es la serie de potencias:
que puede ser escrito de una manera más compacta como
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donde n! es el factorial de n y f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f en el punto a; la
derivada cero de f es definida como la propia f y ( x a)0
y 0! son ambos definidos comouno.
Historia
El filósofo eleata Zenón de Elea consideró el problema de sumar una serie infinita paralograr un resultado finito, pero lo descartó por considerarlo imposible: el resultado fueron
las paradojas de Zenón. Posteriormente, Aristóteles propuso una resolución filosófica a la paradoja, pero el contenido matemático de esta no quedó resuelto hasta que lo retomaron
Demócrito y después Arqu medes. Fue a través del método exhaustivo de Arqu medes queun número infinito de subdivisiones geométricas progresivas pod an alcanzar un resultado
trigonométrico finito.1
Independientemente, Liu Hui utilizó un método similar cientos deaños después.2
En el siglo XIV, los primeros ejemplos del uso de series de Taylor y métodos similares
fueron dados por Madhava of Sangamagrama.3 A pesar de que hoy en día ningún registrode su trabajo ha sobrevivido a los años, escritos de matemáticos hindúes posterioressugieren que él encontró un número de casos especiales de la serie de Taylor, incluidos
aquellos para las funciones trigonométricas del seno, coseno, tangente y arcotangente.
En el siglo XVII, James Gregory también trabajó en esta área y publicó varias series deMaclaurin. Pero recién en 1715 se presentó una forma general para construir estas series
para todas las funciones para las que existe y fue presentado por Brook Taylor, de quiénrecibe su nombre.
Las series de Maclaurin fueron nombradas así por Colin Maclaurin, un profesor de
Edinburgo, quién publicó el caso especial de las series de Taylor en el siglo XVIII.
Series de Maclaurin (Taylor alrededor de 0) notables
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La función coseno.
Una aproximación de octavo orden de la función coseno en el plano de los complejos.
Las dos imágenes de arriba puestas juntas.
A continuación se enumeran algunas series de Taylor de funciones básicas. Todos los
desarrollos son también válidos para valores complejos de x.
Función exponencial y logaritmo natural
Serie geométrica
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Teorema del binomio
para
y cualquier complejo
[editar] Funciones trigonométricas
Donde B s son los Números de Bernoulli.
Funciones hiperbólicas
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Función W de Lambert
Los números Bk que aparecen en los desarrollos de tan( x) y tanh( x) son Números de
Bernoulli. Los valores C(,n) del desarrollo del binomio son los coeficientes binomiales.Los E k del desarrollo de sec( x) son Números de Euler.
Varias variables
La serie de Taylor se puede generalizar a funciones de d variables:
donde es un coeficiente multinomial. Como ejemplo, para una función de 2
variables, x e y, la serie de Taylor de segundo orden en un entorno del punto (a, b) es:
Un polinomio de Taylor de segundo grado puede ser escrito de manera compacta así:
donde es el gradiente y es la matriz hessiana. Otra forma:
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Aplicaciones
Además de la obvia aplicación de utilizar funciones polinómicas en lugar de funciones de
mayor complejidad para analizar el comportamiento local de una función, las series deTaylor tienen muchas otras aplicaciones.
Algunas de ellas son: análisis de límites y estudios paramétricos de los mismos, estimación
de números irracionales acotando su error, teorema de L'Hopital para la resolución delímites indeterminados, estudio de puntos estacionarios en funciones (máximos o mínimos
relativos o puntos sillas de tendencia estrictamente creciente o decreciente), estimación deintegrales, determinación de convergencia y suma de algunas series importantes, estudio de
orden y parámetro principal de infinitésimos, etc.
