Series Temporales (Filtros)
-
Upload
gabriela-diaz-jimenez -
Category
Documents
-
view
219 -
download
0
Transcript of Series Temporales (Filtros)
-
7/21/2019 Series Temporales (Filtros)
1/18
Series Temporales: Dominio de las frecuencias
Series de Fourier
Supongamos quex(t)representa una funcin continua en el intervalo temporal [0, T]. Dicha
funcin puede ser expresada como una serie o desarrollo de ourier de la forma
=
=
k
k tTkictx !exp"# #$"
o
=
+
+=
$
0 !sin!
cos!
"#
k
kk tT
kBt
T
kA
Atx
#!"
dondeT
kk
!= son lasfrecuencias#harmnicas" % en particular
T
!0 = es la
frecuencia fundamental#correspondiente al per&odo T". 'n consecuencia kk 0 = .(ara o)tener los coeficientes de ourier nos valdremos de ciertas relaciones trigonom*tricas
a" ,....+,!,$0!
cos!
00
==
=
ksidtt
T
kdtt
T
ksen
TT
ueda como e-ercicio para el alumno el pro)arlo
)"
=
=
=
=
T
TT
dttT
ntT
m
nmsiT
nmsidtt
T
nt
T
mdtt
T
nt
T
m
0
00
0!sin!cos
!.
0!sin
!sin
!cos
!cos
ueda como e-ercicio para el alumno el pro)arlo
/a transformada de ourier de x(t)puede ser o)tenida multiplicando #!" por
tT
kot
T
k !sin
!cos ,e integrando so)re el intervalo [0, T]. (or e-emplo:
ultiplicando #!" por
t
T
k1!cos
e integrando se o)tiene
"0#!
1!cos
!1!cos
!cos
!cos
!
!cos"#
$ 0 0
00
0
=
=
+
+
+
=
=
ksiT
A
dttT
kt
T
ksenBdtt
T
kt
T
kA
dttT
kAdtt
T
ktx
k
k
T T
kk
TT
$
-
7/21/2019 Series Temporales (Filtros)
2/18
's decir:T
Ak!
=
T
dttT
ktx
0
!cos"#
#+"
% en forma similar multiplicando #!" por
tT
k1!sin
o)tendremos
TBk!
=
T
dttT
k
tx0
!
sin"#
#2"
'n forma exponencial
dttT
kitx
Tc
T
k
=
0
!exp"#
$ #3"
donde
-
7/21/2019 Series Temporales (Filtros)
3/18
puntos= peridica con periodo T= % que tanto "#tx como "#> tx sean continuas en el
intervalo [0,T]"= entonces se verifica que
[ ] [ ]=
++=N
k
kk
T
BAA
dttxT
$
!!!0
!
0 !"#
$ #$$"
/a energ&a promedio es la mismo en el espacio temporal que en el de las frecuencias.
Ejemplo: Supongamos una serie de valores medios mensuales #caudales, temperaturamedia, etc." so)re la que reali?amos promedios so)re todos los a;os para cada mes del a;o,555
nx#n=1,@,12
555
$xes el valor promedio para enero,
555
!xpara fe)rero, etc.". 's decir que
podemos o)tener una serie que represen te al ciclo anual con una longitud N=12 % un
intervalo t igual a un mes. T&picamente podemos representar el ciclo anual con al menosdos armnicas, que nos posi)ilite mostrar la falta de simetr&a entre invierno % verano:
+
+
+
+= nBnAnBnA
Ax nA! !
$!
!sin!
$!
!cos$
$!
!sin$
$!
!cos
! !!$$
0"#
'l t*rmino 0A representa el promedio anual #correspondiente a la armnica de frecuencia
cero", los t*rminos $A % $B representan la componente peridica con un per&odo igual a
$! meses #frecuencia fundamental"= mientras que los t*rminos !A % !B representan la
componente peridica con per&odo igual a 4 meses #primera armnica".
/os coeficientes !$!$0 ,,, ByBAAA pueden ser o)tenidos de acuerdo a #
-
7/21/2019 Series Temporales (Filtros)
4/18
N
kt
T
ktkk
!!=== cu%a variacin es entre 0 %
9ote el lector que para el caso de la m8xima frecuencia detecta)lett
Ny =
=
!
!
tenemos que =Ny . 9ote tam)i*n el lector que a la frecuencia de 9%quist # =Ny " slo
el coseno puede ser detectado, el seno es invisi)leE. Blaramente la onda con un per&odot! estar8 po)remente representada. Ftras ondas cortas #con per&odos entre t! % t2
" estar8n tam)i*n distorsionadas para un muestreo a intervalos t . (or e-emplo, sitenemos datos dos veces por d&a, el ciclo diurno estar8 po)remente representado,
necesitaremos datos cuatro veces por d&a o m8s para representar adecuadamente el ciclo
diurno. 'n consecuencia es )astante frecuente el filtrar #suavi?ar" las series temporales para
que las altas frecuencias #no resolu)les" no est*n presentes.De forma introductoria para entender la respuesta de diferentes filtros temporales,
consideraremos algunos e-emplos so)re una serie temporal simple, consistente en una se;al
pura de una determinada frecuencia,N
kk
!= , longitud Ne intervalo de muestreo t .
's decir:
( )nictntN
ikctnxx kkkn
exp
!exp"# =
== #$!"
Geempla?aremos la serie temporal dada en #$!" por una nueva, filtrada de acuerdo alpromedio que se indica a continuacin
2
!
!!!
$ $$$$555
++ ++=
++
+== nnnnnnnnn
xxxxxxxxy #$+"
(ara entender la respuesta dada por el filtro #$+", aplicamos el mismo a la se;al dada por
#$!" en la forma
!
"cos#$
2
! "#"#
"#555
kn
iini
knn xee
ecxykk
k
+=++
==
#$2"
'ntonces la respuesta del filtro para cada frecuencia k #ver igura $", est8 dada por:
!
"#cos$"# k
n
n
kespx
y#
+== #$3"
igura $
2
-
7/21/2019 Series Temporales (Filtros)
5/18
/a igura $ muestra "# kesp# dada por #$3", que suavi?a las altas frecuencias, eliminando
completamente la onda con per&odo tT = ! .Ftro e-emplo es el conocido filtro denominado de medias mvilesE o promedios
mvilesE. Sea el caso particular del filtro en el que promediamos cinco puntos, que
aplicamos a nuestra se;al dada por #$!"
3
"!#cos!"#cos!$
3
"!#cos!"#cos!$
3
$
3
"#
"!#"#"#"!#"#
!$$!
5555
"3#
kk
n
kkni
k
iiiini
k
nnnnn
nn
xec
eeeeec
xxxxxxy
k
kkkk
k
++=
++=
=++++
=
=++++==
++
#$4"
's decir que la respuesta del filtro para cada frecuencia k es #ver igura !":
3
"!#cos!"#cos!$"# kk
n
n
kesp x
y#
++==
#$6"Heamos un poco m8s formalmente como se introduce la teor&a de filtros en series digitales.
'l filtrado digital transforma una funcin temporal "#tx #se;al de entrada" definida en el
intervalo ",# , en una se;al de filtrada de salida "#ty en la forma:
= >">#">#"# dtttxt$ty #$"
igura !
en donde "#t$ es la funcin de pesos o funcin de filtro que opera so)re "#tx . 'l efecto
de la accin del filtrado so)re los datos de entrada es me-or o)servado en el dominio de las
frecuencias.
Sea "#% la transformada de ourier de la funcin de peso "#t$ :
dttit$% "exp#"#"# =
#$
-
7/21/2019 Series Temporales (Filtros)
6/18
donde es la frecuencia .
/a relacin entre el espectro de potencia de la se;al de entrada, que denominaremos "#&
% el espectro de potencia de la se;al de salida que denominaremos "#' , ser8 entonces"#"#"#
! &%' = #!$"
donde "#"#"# I!
%%% = es denominada la entana espectral#la estrella #I" indica el
comple-o con-ugado de "#% ". Bomo por lo general "#% es una funcin comple-a de , tendremos que
"#"#"# )# %i%% += #!!"donde "#"# )# %y% son funciones reales de . 'n algunas circunstancias es 7til
definir "#% en t*rminos de su amplitud % del corrimiento de fase. 'sto es:
"exp#"#"# i%% = #!+"
donde la amplitud #respuesta del filtro" se define como
[ ] !$!! "#"#"# )# %%% += #!2"% el corrimiento de fase , para cada frecuencia , como:
"]#"#[$
#) %%t* =
#!3"
Si "#t$ representa un filtro reali?a)le f&sicamente #mediante un dispositivo tal como uncircuito", entonces el mismo ser8 un filtro denominado oneJside, es decir, que slo act7a
so)re la se;al en el rango ",# t . 'l mismo no puede actuar so)re la se;al en el futuro,es decir para tt >> . 'ntonces para un filtro f&sicamente reali?a)le "#% ser8necesariamente comple-a % tendr8 un corrimiento de fase noJnulo.
(or el contrario si "#t$ no representa un filtro reali?a)le f&sicamente, pero si es un filtro
computacional, entonces el mismo puede operar so)re am)as partes del pasadoE % el
futuroE en cualquier instante de "#tx . (or lo tanto "#t$ puede ser sim*trica o antiJ
sim*trica alrededor de 0=t . S i "#t$ es sim*trica alrededor de t=0 # "#"# t$t$ = "entonces el corrimiento de fase es nulo= esto implica que "#% es real.
(or e-emplo:
a)J Sea el caso de un filtro promedio reali?a)le f&sicamente.
'ste ser8 el caso de un filtro oneJside cu%o se;al se promedia so)re un intervalo de tiempo
0t . (ara este filtro
=
=
(alorotrocual+uierpara
ttt
t$A
0
0$
"# 00 #!4"
Sustitu%endo "#t$ por #!4" en la ecuacin #$
-
7/21/2019 Series Temporales (Filtros)
7/18
o
=
=
"!.#
"!.#
"!.sin#"#
0
0
0
t
t
t%
A
A
#!"
ientras que la ventana espectral es
!0
0
!!
"!#
"!#sin"#
t
t%A
= #!>t son fuertemente atenuadas en comparacin con las )a-as frecuencias"$# 0
-
7/21/2019 Series Temporales (Filtros)
8/18
=
=
(alorotrocual+uierpara
tttt
t$A
0
!.!.$
"# 000 #+0"
/levando a ca)o la integracin de #$
-
7/21/2019 Series Temporales (Filtros)
9/18
tiene una pendiente m8s a)rupta que el filtro promedio. /a frecuencia para la cual la
amplitud es !$"# =t%/ corresponde a
0!.$
t $.6!2
igura 2d)- iltro Laussiano #computacional"inalmente consideremos otro filtro computacional del tipo pasa-a.os, que se denomina
filtro Laussiano.
"!
#exp!
$"#
!
0
!
!
0t
t
tt$0 =
#+
-
7/21/2019 Series Temporales (Filtros)
10/18
igura 3
Algunos filtros Ideales
'n la pr8ctica se priori?a la forma de la funcin de respuesta % entonces se determinan la
funcin de peso, donde la principal limitante es el n7mero de estos 7ltimos #n7mero depesos" con respecto a la longitud de la serie que se desea filtrar.
(or e-emplo, el filtropasa-a.os ideal, puede definirse como aquel, que con una respuesta
espectral #amplitud " lo m8s aguda posi)le #similar a un escaln", permite, sin corrimiento
de fase, que todas las frecuencias por de)a-o de una determinada frecuencia de corte c
pasen sin cam)io= mientras que todas las c> son removidas. (or lo tanto el filtropasa-a.os idealno puede ser un filtro f&sicamente reali?a)le, de)er8 ser computacional. /osfiltros ideales % en general todos los filtros, son m8s f8ciles de especificar en el dominio de
las frecuencias, que en el temporal. 's decir, que especificamos cual es el comportamiento
que deseamos para "#% , % posteriormente utili?ando la definicin de "#% como
transformada de ourier de "#t$ #$
-
7/21/2019 Series Temporales (Filtros)
11/18
-
7/21/2019 Series Temporales (Filtros)
12/18
'xisten dos pro)lemas fundamentales cuando queremos aplicar las funciones de los filtros
ideales al caso de series discretas.
!- /as funciones esta)an definidas para todo t en ",# , pero eran conocidas7nicamente dentro de un rango finito de t "!,!# TT"!- Sin em)argo al tener una serie digitali?ada las funciones ahora no son conocidas para
todo valor de t en el rango "!,!# TT = solamente a intervalos t . 's decir.,$,...,!,$,0,$,!.....,,$,",# NNNNnparatnx = 9ote el lector que!TtN = .
Bonsideremos el c8lculo de la ecuacin #$", donde suponemos que aproximamos la
integral por una sumatoria
ttmtnxtm$tnyN
Nm
= =
"#"#"#
#3+"Supongamos que $=n . 'ntonces cuando Nm = , el t*rmino de la derecha en #3+" es ]"$[#"# tNxtN$ +pero ]"$[# tNx + es desconocido= pues slo conocemos "# tnx hasta Nn= ./a solucin a este pro)lema es el truncar "#tx para 00 Tt2Tt . 's decir queesta)lecemos una "#tx igual a la "#tx Jidealen el intervalo ",# 00 TT e igual a cerofuera de *l. 'ntonces elegimos 0T tal que
entero3con3t
T=
0 #32"
por simplicidad./a aproximacin para el filtro ser8 entonces
=
=3
3m
mnmn xay
#33"donde
"#
]"[#
"#
tm$ta
tmnxx
tnyy
m
mn
n
#34"
'ligiendo un $apropiado para un filtropasa-a.o, unpasaaltoo unpasa-andapodemos
generar los { }ma #pesos" que nos aproximaran al filtropasa-a.o,pasaaltoo pasa-andaideal4De)emos se;alar que los { }ma solamente generaran una aproximacin al filtro ideal,%a serian necesarios un n7mero infinito de pesos para o)tener una exacta reali?acin de un
filtro digital ideal.
/a pregunta que surge es la siguiente: NBu8n aproximadamente nos acerca un dado
con-unto de pesos al filtro idealO
Sea "#3% una aproximacin de la funcin de filtro, en el dominio de las frecuencias,
generada por un con-unto de "$!# +3 pesos { }ma en el dominio temporal. (odemoscalcular "#
3% tomando la ecuacin #$
-
7/21/2019 Series Temporales (Filtros)
13/18
{ }
=
==
+=
===
3
3m
m
3
3m
3
3m
3
tmitma
tmittm$ttmitm$%
"#sin[]#cos[
"exp#]"#["exp#"#"#
#36"
Heamos a continuacin la reali?acin digital de los diferentes filtros ideales comentadosanteriormente
a)- Filtropasa-bajos
'l filtropasa-a.os ideal, con una frecuencia de corte c , esta)a dado por la #26"
t
tt$ c1
"#sin"# = (56)
Dada una serie con intervalo de muestreo t , los correspondientes pesos para dicho filtro,
estar8n dados por
c
c
m
a
mtm
tma
=
=
0
0"sin#
#3"
De acuerdo a la #36"
"]#cos["sin#
!"#$
0 =
+=3
m
c3
tmm
tma%
#3"
/a igura 4 muestra "# t%3
1 , para una frecuencia de corte
-
7/21/2019 Series Temporales (Filtros)
14/18
Filtro pasa-bajos
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5frecuencias (nDt)
Pesos=2M+1=5Pesos=2M+1=15
Pesos=2M+1=21
Pesos=2M+1=41
igura 4
/os resultados para "# t% 3
71 muestran en la igura 6, donde se perci)e la disminucindelfenmeno de i--s.
b)- Filtropasa-altos
'l filtropasaaltos ideal, para una frecuencia de corte c esta)a dado por la #30"
t
ttt$ c% "#sin"#"# = (80)
'sto puede ser interpretado seg7n la #$" como
>"#>
">sin#"#>">#">#"# > dtttx
t
ttxdtttxt$ty c% ==
#4$"
/a #4$" significa que la funcin filtrada por elpasaaltosconsiste en la funcin original
menos la funcin filtrada por un pasa-a.os#ver ecuacin #26"". /os pesos para elfiltropasaaltosser8n
c
cm
a
mpara
m
mta
=
=
$
0"sin#
0
#4!"
mientras que los pesos suavi?ados tomar8n la forma
mm a3
mc
= $ #4+"
$2
-
7/21/2019 Series Temporales (Filtros)
15/18
Filtro pasa-bajos suai!a"o
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5frecuencias # nDt $
Pesos=2M+1=5
Pesos=2M+1=15
Pesos=2M+1=21
Pesos=2M+1=41
igura 6
c)- Elfiltro pasa-banda
'lfiltro pasa-andacentrado en la frecuencia c % con un ancho de )anda $! est8 dado
por la #3!"
"cos#"sin#!
"# 0$ t
t
tt$B
= (82)
'n consecuencia los pesos del filtro estar8n dados por
$0
$
!
0"cos#"sin#
!
(a
mparamtt
mta cm
=
=
#42"
% los pesos suavi?ados como
mm a3
mc
= $ #43"
(or otra parte
"]#cos["#cos"sin#2"#$
$0
=
+= 3m
c
3
B tmmttmtmat%
#44"
/a igura muestra la respuesta del filtro pasa-anda con !.$=tc % un ancho de)anda $! con 3.0$ =t % $=t = utili?ando los pesos mm cya para un n7merototal de pesos 3$$! =+3 .
$3
-
7/21/2019 Series Temporales (Filtros)
16/18
Filtro pasa-ban"a
#%&'ero total "e pesos=2M+1=51$
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.(
0.8
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5Frecuencias #nDt $
)in suai!ar
)uai!a"os
igura
Filtro de #anczos
igura