Sesion 09 divisibilidad

Primera Opción 1 Católica - 2009

OBJETIVOSAl finalizar el presente capítulo, el lector estará en la capacidad de:

Reconocer las condiciones que debe de tener un número para ser divisible por otro

Hallar las cifras desconocidas de un numeral que es divisible por cierto módulo

Resolver problemas aplicando ecuaciones Diofánticas.

INTRODUCCIÓN

La Divisibilidad de los números es conocida desde tiempos remotos. Así, los Hindúes ya conocían la divisibilidad por tres, siete y nueve y los egipcios conocían los números pares e impares. El matemático griego Euclides demostró los teoremas básicos de la divisibilidad de los números enteros. Ya posteriormente, el matemático Francés Pascal (1623 – 1662) propuso las reglas para conocer la divisibilidad de cualquier número.

DIVISIBILIDAD

Es la parte de la Aritmética que se encarga de estudiar las condiciones que debe reunir un número para ser divisible entre otro.

OBJETIVOS:

01.Determinar el residuo de una división entera sin necesidad de efectuarla

02.Determinar todas las soluciones posibles de una ecuación Diofantina lineal con dos incógnitas:

Ax + By = C

03.Determinar cifras desconocidas de un numeral

OBSERVACIONES: * El cero es divisible por todo entero positivo* Todo entero positivo es divisible por la unidad* Todo entero positivo es divisible por si mismo

PRINCIPIOS

01."Si un número divide a otro varios, divide también a la suma de ellos".

02.Si un número divide a otro, divide a todo múltiplo de este"

03. "Si un número divide a otros dos, entonces divide también a la diferencia de ellos".

04. "Si un número divide al todo y a una parte, divide necesariamente a la otra parte."

05 "Si un número divide al Dividendo y al divisor de una división inexacta, divide también al residuo de dicha división"

06. "Si un número N no divide a otros dos exactamente, divide a su diferencia siempre y cuando los residuos sean iguales.

07. "Si un número entero acepta ser divisible por diversos módulos simultáneamente, entonces será también divisible por el menor

de todos los múltiplos comunes (MCM) de los módulos considerados ".

Aplicación 01:Pepito, jugando con sus bolitas pudo notar que agrupando las bolitas de 7 en 7; de 8 en 8 y de 12 en 12, siempre le sobraban 3. ¿Cuántas bolitas tiene pepito si es la menor cantidad superior a 500?Respuesta : . . . . . . . .

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

01. Divisibilidad por 2 :

Un número es divisible por dos cuando termina en cero o cifra par.


Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es 3 ó múltiplo de 3


Un número es divisible por 4 cuando las 2 últimas cifras son ceros o forman un número múltiplo de 4. También se puede determinar su divisibilidad por 4 si se multiplica la cifra de las decenas por 2 y la cifra de las unidades por 1; si la suma de ambos resultados es múltiplo de 4 el número es múltiplo de 4; caso contrario se determina el resto.

04. Divisibilidad por 5:

Un número es divisible por 5 cuando termina en cero o en 5.


Un número es divisible por 6 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3 y termina en cifra par


Para averiguar si un número es divisible por 7, se procede del modo siguiente:

“Se multiplica de derecha a izquierda cada una de las cifras por los restos potenciales:

1, 3, 2, -1, -3, -2, 1, 3, 2, -1, . . .

Si la suma de los productos parciales es 0 ; 7 o múltiplo de 7 entonces, el número es divisible por 7 si queda residuo, a partir de este se determina el resto”


Un número es divisible por 8 si las 3 últimas cifras son ceros o un múltiplo de 8. También se puede determinar su divisibilidad por 8 si se multiplica la cifra de las centenas por 4 ; la cifra de las decenas por 2 y la cifra de las unidades por 1; si la suma de ambos resultados es múltiplo de 8 el número es múltiplo de 8 ; caso contrario se determina el resto.

08. Divisibilidad por 9 :Un número es divisible por 9 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 9. Caso contrario se determina el resto


Un número es divisible por 10 cuando termina en cero


Prof. Carlos Avalos Desposorio Cel. 94 8633007 Telef. 231321 E-mail: [email protected]

Asesoría Privada en Ciencias

Alumna: Milagritos Bueno Sánchez


Para averiguar si un número es divisible por 11, se procede de la siguiente manera:Se suman las cifras de orden impar y se le resta la suma de las cifras de orden par; si el resultado es 0, 11 ó múltiplo de 11, entonces el número es divisible por 11. En caso contrario se determina el resto. También se puede determinar el resto si se agrupa de derecha a izquierda las cifras de dos en dos ; si los números así formados suman un número que es múltiplo de 11 , entonces el número es múltiplo de 11. En caso contrario se determina el resto.


Procedimiento similar que para divisibilidad por 7, siendo los restos potenciales ahora;

1, -3, - 4, -1, 3, 4, 1, -3, -4, -1, ...


Un número es divisible por 17, si lo es la diferencia entre sus decenas y el quíntuple de sus unidades (Este método no determina el resto)


Un número es divisible por 19, si lo es la suma de sus decenas con el duplo de sus unidades.(Este método no determina el resto)

14. Divisibilidad por o :

Un número es divisible por o si las "n" últimas cifras son

divisibles por o .

15. Divisibilidad por 37

Un número es divisible por 37 si al agrupar las cifras del número dado de derecha a izquierda en grupos de 3 en 3 forman números que al sumarlos son divisibles por dicho número 37. En caso contrario determina el resto.

16. Divisibilidad por 33 ó 99

Un número es divisible por 33 si al agrupar de dos los números de derecha a izquierda se obtienen números que suman 33 o un múltiplo de 33. El mismo criterio se aplica para divisibilidad por 99

DIVISIBILIDAD APLICADA AL BINOMIO DE NEWTON

k es par = n +

k es impar = n

PRÁCTICA DE CLASE

01. Sabiendo que: . Hallar “a”:

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

02. Sabiendo que: . Hallar : a + b.

a) 9 b) 8 c) 7d) 6 e) N.A.

03. Se conoce que: . Hallar “a”:

a) 2 b) 4 c) 8d) 1 e) 5

04. ¿Cuál es el resto de dividir: entre 7 ?

a) 0 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

05. ¿Cuántos números de 3 cifras al ser divididos entre 4 y entre 7 dejan como restos 2 y 5 respectivamente?

a) 35 b) 30 c) 32d) 31 e) N.A.

06. Hallar residuo que deja la siguiente división:

a) 6 b) 7 c) 5d) 3 e) 2

07. Hallar el residuo de la siguiente división:

a) 4 b) 2 c) 3d) 1 e) 5

08. ¿Cuál es el residuo al dividir entre 11 ?

a) 2 b) 1 c) 8d) 7 e) 3

09. Hallar el resto de dividir entre 9.

a) 7 b) 8 c) 1 d) 3 e) 5

10. ¿Cuántos valores puede tomar “x”, si:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.a.

11. Sabiendo que:

Hallar el valor de: “a + b + c”

a) 5 b) 9 c) 11d) 8 e) 10

12. ¿Cuántos números de la forma son múltiplos de 36?



a) 1 b) 5 c) 4d) 3 e) 2

13. 8i a b y

¿Cuántos números cumplen la igualdad?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

14. Determine el resto de la expresión dividido entre 8.E =

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

15. Si al dividir un número – 15 entre otro número + 6

se obtiene como cociente a un número y como residuo a 5,

16. Un granjero compró pavos, patos y pollos. Si cada pavo costó 100 soles, cada pato 50 soles y cada pollo en 5 soles. Si compro en total 100 animales con 1000 soles. Cuántos pollos compró ?.

a) 50 b) 10 c) 85d) 90 e) 70

17. Raquel dispone de S/. 604, para adquirir artículos de diferentes cualidades, cuyos precios por unidad son S/. 13 y S/. 17. Hallar cuántos artículos ha comprado si estos tienen la misma preferencia.

a) 40 b) 46 c) 38d) 42 e) 36

18. Óscar comprando artículos en el mercado ha gastado S/. 8 156. Si ha pagado S/. 217 y S/. 125 por cada uno de los artículos diferentes que ha llevado, hallar cuántos artículos ha comprado.

a) 27 b) 38 c) 45d) 52 e) 64

19. Entre las curiosidades del partido final entre Brasil e Italia por la Copa del Mundo de Uno de los últimos mundiales se sabe que los 40/69 del número de asistentes fueron con prendas de vestir amarilla; 7/200 de los asistentes lloraron luego de que Baggio perdió un penal y los 4/7 de dichos asistentes se retiraron bailando zamba del estadio. Según estos supuestos datos, ¿Cuántos fueron los asistentes?

a) 99800 b) 97400 c) 95200d) 98000 e) 96600

20. Cuál es el resto de dividir ?

a) 12 b) 4 c) 8d) 16 e) 10

21. Hallar el año en que nació don Andrés A. Cáceres, sabiendo que fue presidente a los 53 años (un año que era

+31); ocho años después volvió a ser presidente (ese

año era múltiplo de su edad más 3)a) 1792 b) 1808 c) 1833

d) 1821 e) NA

22. Si en el número = , se reemplaza “b” por 2 se

obtiene un múltiplo de 25 y si se reemplaza “c” por 8 se obtiene un múltiplo de 8. ¿Cuál es el valor de la cifra “a” si todas las cifras son significativas?

a) 7 b) 6 c) 5d) 3 e) 1

23. El número de alumnos que se encuentra en un aula es menor que 240 y mayor que 100; se observa que los 2/7 del total usan anteojos y los 5/13 son alumnos de la especialidad de ciencias. ¿Cuál es la suma de los alumnos de la especialidad de ciencias con los alumnos que usan anteojos?

a)130 b)125 c)122d)182 e)105

24. En un corral hay cierto número de gallinas que no pasan de 368 ni bajan de 354. Si las gallinas se acomodan en grupos de 2; 3; 4 ó 5 siempre sobra 1; pero si se acomodan en grupos de 7, sobran 4. ¿Cuántas gallinas hay en el corral si se añaden 6 más?

a) 361 b) 363 c) 365d) 367 e) 369

25. A un congreso de informática asistieron personalidades Europeas y Americanas; entre los Europeos los 2/7 son médicos, los 5/14 son ingenieros y los 8/15 son abogados. ¿Cuántos americanos se presentaron si en total asistieron 348 personalidades?

a) 210 b) 140 c) 310c) 128 d) 138

26. Se calcula que a los programa de Medicina, Educación y Biología de la U.N.T. este año se presentaron 35 000 postulantes; si los postulantes a Medicina se agrupan de 120 en 120 sobran 58, si lo hacen de 165 en 165 sobren 13, pero si lo hacen en grupos de 63 faltarían 11 para completar un número exacto de grupos. Sabiendo que los postulantes a Educación representan la décima tercera parte de los que lo hacen a medicina. ¿Cuál es el número de postulantes a Biología si está comprendido entre 4000 y 5000?

a) 4368 b) 4728 c) 4538d) 4956 e) 4828

27. En un cierto momento en una fiesta a la que asistieron 630

persona, el número de hombres que bailaban era y el

número de mujeres que bailaban era ; si el complemento

aritmético del número de personas que no bailaban tiene 2 cifras. Dar como respuesta el número de hombres que no bailaban, si este es 4 veces el número de mujeres que no bailaban.

a) 9 b) 36 c) 35d) 70 e) 56

28. En una fiesta donde habían 120 personas entre damas, caballeros y niños, el número de caballeros que no bailaban



en un momento era igual a la tercera parte del número de damas, el número de niños era igual a la quinta parte del número de damas y la cuarta parte del número de damas fue con vestido blanco. ¿Cuántas damas no bailaban en dicho momento?

a) 28 b) 32 c) 60d) no se puede determinar e) N A

29. Si se divide entre 8 , el resto es :

a) 2 b) 3 c) 5d) 6 e) N.A

30. Hallar el resto de dividir entre 7

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

31. Hallar el resto de dividir entre 9.

a) 7 b) 8 c) 1d) 3 e) 5

32. ¿Cuántos valores puede tomar “x”, si:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.a.

33. Un estudiante efectuó sin hacer uso de calculadora la siguiente operación:M = 353 . 472 – 593 . 475 y del resultado obtenido borró dos cifras iguales quedando así: . El valor de x es:

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

34. Un comerciante puede comprar con 125,440 soles, una cierta cantidad de naranjas a 30 soles cada una y manzanas a 50 soles cada una. Si el número de naranjas debe ser menor que el de manzanas y además ambos números no deben ser divisibles por una misma cantidad, aparte de la unidad, determinar cuántos son los posibles números de naranjas que puede comprar el comerciante?

a) 125 b) 128 c) 131d) 130 e) 135

35. Se propone a Julio Cesar que multiplique la fecha del día de su nacimiento por 12 y el número del mes por 31. Si la suma de estos productos es 170. Determinar la fecha de nacimiento de Julio Cesar.

a) 9/01 b) 13/11 c) 9/02d) 14/11 e) N.a.

36. Por 5 dólares se compraron 100 unidades de diferentes frutas, cuyos precios son: sandias a 50 centavos cada una, manzanas a 10 centavos cada una y ciruelas a 1 centavo cada uno. Cuánta fruta de cada clase fue comprada?. Dar una de ellas.

a) 2 b) 38 c) 39d) 50 e) 58

37. ¿Cuántos números de 3 cifras que terminan en 7, cumplen que su complemento aritmético es múltiplo de 7?

a) 10 b) 11 c) 12 d) 40 e) 41

38. ¿Cuántos términos bastará tomar de la serie siguiente para que la suma de ellos sea múltiplo de 38?

8, 16, 24, 32, ........

a) 38 b) 37 c) 16d) 15 e) 18

39. Si :

Hallar: “c”a) 8 b) 6 c) 4d) 2 e) 0

40. Si: , donde: a < b.

Hallar a + b

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

CAD 18/07/09


Sesion 09 divisibilidad

Technology

Transcript of Sesion 09 divisibilidad