Sesión 09: Teoría de las Probabilidades

Santa Anita, 22 de Enero de 2015

Dra. Alejandrina Gonzales Ochoa

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ESTADÍSTICA APLICADA A LA GESTIÓN EMPRESARIAL

CAPACIDAD:

Plantea y aplica modelos probabilísticos a partir de conceptos y teoremas de probabilidad, enfocándose en los entornos empresariales.

UNIDAD 3

TEORÍA DE LA PROBABILIDAD Y DISTRIBUCIONES MUESTRALES

INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE LAS

PROBABILIDADES

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1. Experimento Aleatorio

• Un experimento es aleatorio si los resultados del experimento no se pueden predecir a partir del estado inicial.

• Se denota por E.

2. Espacio Muestral

• Se denomina espacio muestral a todos los posibles resultados del experimento aleatorio.

• Se denota por S.

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3. EVENTO O SUCESO:Al realizar un experimento se puede plantear algunas proposiciones respecto al resultado a observarse.A cada proposición le corresponderá una colección de elementos o subconjunto del espacio muestral (S), a este subconjunto se le denomina evento o suceso.

4. PROBABILIDAD:Es un número real que expresa la confianza o incertidumbre de un evento o suceso, cuyo resultado no se puede predecir con certeza.

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La p robab ilidad de l ev en to A es tá com prend ida en tre 0 y 1 . E n tonces :

1)(0 AP

S i A es un ev en to im pos ib le , en tonces : P (A ) = 0

S í A es un ev en to seguro , en tonces : P (S ) = 1

5. DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD

6. AXIOMAS DE PROBABILIDAD

)()(

)(SnAn

muestralespaciodelelementosdeNúmeroAeventoalfavorablescasosdeNúmero

AP

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( A B ) =

S A B

a. Eventos mutuamente excluyentes

b. Eventos colectivamente exhaustivos

7. OPERACIONES CON EVENTOS

7

S

A_

Complemento de A

A

S

A B

c. Eventos complementarios

d. Unión de dos eventos: A o B (P U B)

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S

BA

e. Intersección de dos eventos: A y B (P ∩ B)

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1. Ley general de la adición

P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A∩ B)

2. Ley especial de la adiciónPara eventos mutuamente excluyentes (cuando no hay intersección).

P(A U B) = P(A) + P(B)

LEYES DE PROBABILIDAD

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Ejemplo 1:

Sea el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado dos veces. Definimos los siguientes eventos:

A: Se obtiene a lo más una suma de ocho puntos.B: Se obtiene por lo menos una suma de seis puntos.

a) Describa los elementos del espacio muestral.b) Describa los elementos del evento A y del evento B, calcule sus

probabilidades.c) Calcule P(A U B)d) ¿Son independientes los eventos?

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PROBABILIDAD CONJUNTA

PROBABILIDAD INCONDICIONAL

PROBABILIDAD CONDICIONAL

INDEPENDENCIA ESTADÍSTICA

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PROBABILIDADES EN TABLAS DE CONTINGENCIA

Ejemplo 2:

La siguiente tabla de contingencia proporciona información de 400 empleados respecto a las variables Satisfacción en el trabajo y progreso en la organización.

Progreso de la organización

Satisfacción con el trabajoSi No

B B´

Si A 194 162No A´ 14 30

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Ejemplo 2

Realizar lo siguiente:

a) Calcular las probabilidades incondicionalesb) Calcular las probabilidades conjuntas.c) Calcular la siguiente probabilidad condicional: Si un empleado ha

progresado en la organización. ¿Cuál será la probabilidad que estuviera satisfecho con su trabajo?

d) Determinar si estar satisfecho con el trabajo es independiente de haber progresado en la organización.

 

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a) Probabilidad Incondicional o Marginal

Si No TotalB B´

Si A 194 162 356

No A´ 14 30 44

208 192 400

Progreso en la Organización

Satisfacción con el trabajo

Total

P(Satisfecho con su trabajo) = Número de empleados satisfechos con su trabajo Número total de empleados

P(Satisfecho con su trabajo) = P(A) = 356 = 0.89400

Solución:

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b) Probabilidad Conjunta

Si No TotalB B´

Si A 194 162 356

No A´ 14 30 44

208 192 400

Progreso en la Organización

Satisfacción con el trabajo

Total

P(Satisfecho y Progresado) = P(A B)=194 = 0.485400

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c) Probabilidad Condicional

)(Pr)Pr(

)Pr/(ogresoP

ogresoySatisfechoPogresoSatisfechoP

)(

)(

argPr

Pr)/(

BP

BAP

Bdeinalmobabilidad

ByAdeConjuntaobabilidadBAP

194= 400 = 194 = 0.93

208 208400

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De la definición de probabilidad condicional tenemos:

Ley General del la Multiplicación

1. )/()()( BAPBPBAP

2. )/()()( ABPAPBAP

Ley especial del la Multiplicación

)()()( BPAPBAP

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d) Independencia estadística

)()/( APBAP

Para nuestro ejemplo: Determinar si estar satisfecho con el trabajo es independiente de haber progresado en la organización Entonces: P(están satisfecho con el trabajo / han progresado) = 194/208 = 0.93 P(todos los empleados que están satisfecho con el trabajo) = 356/400 = 0.89

Quiere decir que:

La probabilidad condicional de A dado B es igual a la probabilidad incondicional de A.

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