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MASTER'EN'BANCA'Y'MERCADOS'FINANCIEROS'

Curso de R para Banca y Finanzas

Profesor: Vanesa Jordá Gil

Curso 2016/2017'

[email protected] vanesajorda.com

Motivación

¿Cómo'distribuyo'el'capital?'

Ac#vos'con'riesgo' Ac#vos'sin'riesgo'

+'Rentabilidad'+'Riesgo' C'Riesgo'

C'Rentabilidad'

2'

Selección de carteras y teoría de la utilidad

Curvas'de'indiferencia''Inversores'con!aversión!al'

riesgo'

Rentabilidad'

Riesgo'

CI2'

Riesgo(0)'

Rentabilidad(0)'Rentabilidad(1)'

Rentabilidad(2)'

Riesgo(1)'Riesgo(2)'

3'

Rentabilidad'

Riesgo'

CI1' CI2' CI3'

Riesgo'

Rentabilidad(1)'Rentabilidad(2)'Rentabilidad(3)'


4'

Rentabilidad'

Riesgo'

CI1' CI2' CI3'

Riesgo(1)'

Rentabilidad'

Riesgo(2)'


5'

Problema'Dual''

1.  Maximizar'la'rentabilidad'para'un'determinado'nivel'de'riesgo.'

2.  Minimizar'el'riesgo'para'una'rentabilidad'dada.'


6'

Análisis Media-Varianza

Planteamiento'del'problema''

' ' 'Max''Rentabilidad*de*la*inversión*' ' 's.a.'''Nivel*de*riesgo*dado*

*¿Cómo'medir'la'rentabilidad'de'la'inversión?''¿Y'el'riesgo?'

7'

'Para'el'caso'de'un'único'ac#vo'(Constant'expected'return'N'CER):'

'Rit*='μi'+eit';'eit'~'N(0,'σ2i),''donde'Rit*='ln(Pt*/PtN1).'

'

Modelo CER

8'

N0.25000'

N0.20000'

N0.15000'

N0.10000'

N0.05000'

0.00000'

0.05000'

0.10000'

0.15000'

3'de'nov'de'2014'

1'de'ene'de'2014'

1'de'mar'de'2013'

1'de'may'de'2012'

1'de'jul'de'2011'

1'de'sep'de'2010'

Rendimiento'mensual'de'Repsol'

'Propiedades'del'modelo'CER''

Rit*='μi'+eit''

•  'Rit'~'N(μi,'σ2i)'(Normalidad)'•  E[Rit]'='μi***************************************************************•  Var[Rit]'='σ2i ' ' ''''''''''''''''''''(Estacionariedad)**•  cov[Rit,*Rjt]'='σij';'cor[Rit,'Rjt]'='ρij'*•  cov[Rit,*Ris]'='0'si's≠t*'(ausencia'de'correlación'serial)*

''

Modelo CER

9'

CARTERAS'MIXTAS'•  Incluyen'ac#vos'arriesgados'y'ac#vos'sin'riesgo.'•  Los'ac#vos'sin'riesgo'#enen'una'rentabilidad'garan#zada'para'

un'determinado'periodo'temporal.'

•  En'selección'de'carteras'suelen'considerarse'ac#vos'relacionados'con'deuda'pública:'Bonos'y'Letras'del'Tesoro.'

•  Los'Bonos'y'las'Letras'del'Tesoro'son'libres'de'riesgo'en'términos'nominales'únicamente.'

*'''''

'

10'

11'

El'Teorema'de'la'Separación'de'Fisher''

Divide'el'problema'de'asignación'del'capital'en'dos'#pos'de'decisiones:''1. Determinamos'la'cartera'óp#ma'de'ac#vos'con'riesgo.'2. Buscamos'la'mejor'combinación'de'ac#vos'con'riesgo'y'ac#vos'sin'

riesgo.''

Nosotros'analizamos'primero'el'Problema'2!!''

Después'veremos'que'en'el'caso'de'múl#ples'ac#vos'con'riesgo,'la'cartera'óp#ma'va'a'ser'la'misma'para'todos'los'inversores,'que'únicamente'deciden'entre'la'proporción'asignada'a'ac#vos'con'y'sin'riesgo.'

CARTERAS'MIXTAS:'*'''''

δ!='proporción'de'la'inversión'en'el'ac#vo'con'riesgo.'1,!δ'='proporción'de'la'inversión'en'el'ac#vo'sin'riesgo.'

'

'

'

ACTIVOS'SIN'RIESGO' ACTIVOS'CON'RIESGO'

! fff rrE == ][µ! 0][2 == ff rVarσ

! ][RiEi =µ! 0][2 ≠= fi rVarσ

! 0],[, == fifi rRCovσ ! 0],[, ≠= jiji RRCovσ

12'


δ!='proporción'de'la'inversión'en'el'ac#vo'con'riesgo.'1,!δ'='proporción'de'la'inversión'en'el'ac#vo'sin'riesgo.''

'




RENDIMIENTO'DE'LA'CARTERA'

! )()1( fififp rRrRrR −+=+−= δδδ


13'



'

'




RENTABILIDAD'ESPERADA'DE'LA'CARTERA'

Prima'absoluta'de'riesgo'


! )(][ fifpp rrRE −+== µδµ

14'



'

'




RIESGO'DE'LA'CARTERA'

!jpjpp RVar σδσσδσ =→== 222 ][


Carteras mixtas

15'

CARTERAS'MIXTAS:'N  Con' préstamo:' El' inversor' invierte' un' porcentaje' (δ)' de' sus'

ac#vos'en'una'cartera'con'riesgo'y'el'resto'lo'invierte'el'#po'de'interés'libre'de'riesgo.'

'

N  Con' endeudamiento:' El' inversor' pide' prestado' al' #po' de'interés' libre' de' riesgo'para' inver#r' una' can#dad' superior' al'capital'inicial'en'una'cartera'con'riesgo.'

'

'

δ*<*1,'1:*δ*>*0''

δ*>1,'1:*δ*<*0''

Carteras mixtas

16'

FRONTERA'EFICIENTE'Obje#vo:'representar'la'relación'entre'la'rentabilidad'esperada'y'el'riesgo'de'una'cartera'formada'por'un'ac#vo'con'riesgo'y'otro'sin'riesgo.'

Prima'rela#va'de'riesgo'

Carteras mixtas

17'

σ P = δ σ i →δ =σ P

σ i

µP = rf +δ(µi − rf )→ µP = rf +σ P

σ i

(µi − rf )

µP = rf +(µi − rf )σ i

σ P

•  La'prima'rela#va'de'riesgo'se'usa'para'ordenar'ac#vos.'

•  Representa'la'rentabilidad'adicional'por'unidad'de'riesgo.'•  Los'ac#vos'con'mayor'prima'de'riesgo'rela#va'se'prefieren'

frente'a'los'ac#vos'con'menor'prima.'

•  La'prima'rela#va'de'riesgo'es'la'pendiente'de'la'Línea'de'Asignación'de'Capitales.'

'

18'

µP = rf +(µi − rf )σ i

σ P

19'

Problema''

Supongamos'que'tenemos'un'ac#vo'con'una'rentabilidad'anual'esperada'del'15%,'siendo'la'desviación'ppica'del'rendimiento'anual'0.25.'Las'letras'del'tesoro'a'un'año'se'ofertan'con'un'interés'del'6%.'a)  Determinar'la'cartera'de'inversión'con'una'rentabilidad'esperada'del'

12%.'b)  Determinar'la'cartera'de'inversión'con'desviación'ppica'igual'a'0.2.'c)''''Suponiendo'que'nuestro'capital'para'realizar'la'inversión'es'de'1000000'

de'euros'y'que'únicamente'tenemos'reservas'de'capital'por'valor'de'150000'euros.'Determinar'la'cartera'de'inversión'que'nos'permi#rá'cubrir'las'pérdidas.'

20'

Problema''

Supongamos'que'tenemos'un'ac#vo'con'una'rentabilidad'anual'esperada'del'15%,'siendo'la'desviación'ppica'del'rendimiento'anual'0.25.'Las'letras'del'tesoro'a'un'año'se'ofertan'con'un'interés'del'6%.'μr'=0.15''μnr'=0.06'E[R]='δ'0.15+'(1Nδ)0.06'='0.06'+'δ0.09,'Var[R]'='δ20.252''

''

21'

Problema''

μr'='0.15''μnr'='0.06'E[R]'='δ'0.15+'(1Nδ)0.06'='0.06'+'δ0.09,'Var[R]'='δ20.252'''

a)  Determinar'la'cartera'de'inversión'con'una'rentabilidad'esperada'del'12%.'E[R]'='0.06'+'δ0.09'='0.12'!'δ'='(0.12'N'0.06)'/'0.09'='2/3'

'

''

22'

Problema''

μr'='0.15''μnr'='0.06'E[R]'='δ'0.15+'(1Nδ)0.06'='0.06'+'δ0.09,'Var[R]'='δ20.252'''

b)  Determinar'la'cartera'de'inversión'con'con'desviación'ppica'igual'a'0.2.'Var[R]'='δ20.252'!SD[R]'='δ*0.25'=0.2'!='δ*='0.2'/'0.25'!δ*='0.8.'''''

23'

Problema''

'

c)''''Suponiendo'que'nuestro'capital'para'realizar'la'inversión'es'de'1000000'de'euros'y'que'únicamente'tenemos'reservas'de'capital'por'valor'de'150000'euros,'determinar'la'cartera'de'inversión'que'nos'permi#rá'cubrir'las'pérdidas.'

R'>'N0.15''

Si'queremos'que'se'cumpla'la'condición'con'una'probabilidad'del'100%'inver#remos'todo'en'el'ac#vo'sin'riesgo.'Relajamos'este'supuesto'y'calculamos'la'cartera'que'cumple'dicha'condición'con'un'probabilidad'del'99%.'

'

24'

Problema''

'

'''Dado'que'el'rendimiento'de'la'cartera'se'distribuyen'normalmente:'P(R'<'N0.15)'='Φ((N0.15NE[R])/SD[R])'='0.01'

(N0.21N0.09δ)'/'(0.25δ)'='N2.33'ΦN1(0.01)'='N2.33,'es'el'cuan#l'de'la'distribución'normal'estándar'(inversa'de'la'función'de'distribución).'

N0.21='(N2.33'0.25N0.09)'δ*δ*='N0.21/'(N2.33'0.25N0.09)''

δ*='0.4271'''''

25'

Problema''

Para'una'cartera'formada'por'acciones'de'Supermercados'día'y'letras'a'un'año'con'un'interés'anual'del'1.5%.'a)  Determinar'la'cartera'de'inversión'con'una'rentabilidad'diaria'esperada'

del'0.10%.'b)  Determinar'el'conjunto'de'carteras'eficientes'y'dibujar'las'combinación'

rentabilidad'–'riesgo'de'dicho'conjunto'(Línea'de'asignación'de'capitales'N'LAC).'

'Para'el'caso'de'un'único'ac#vo:''Rentabilidad'esperada:''E[Ri]=μi'Riesgo:''Var[Ri]=σi2'

''

Fuente:'www.finanzasparatodos.es'

La'diversificación'reduce'el'riesgo'

26'

Cartera'de'inversión'

Ac#vo'X1'Ac#vo'X2'

w1'

w2'

Caso!de!dos!ac1vos**

Posiciones'cortas'wi'<'0''Posiciones'largas''wi'>'0''

27'

w1'+'w2'=1'

1:w1'

OBJETIVO:'Determinar'los'pesos'que'maximizan'la'rentabilidad'esperada'para'un'determinado'nivel'de'riesgo.'**

Problema!dual:'Determinar'los'pesos'que'maximizan'la'rentabilidad'esperada'para'un'determinado'nivel'de'riesgo'o'que'minimizan'el'riesgo'sujeto'a'un'nivel'de'rentabilidad.'**

28'

E[RP ]= µP =w1µ1 + (1−w1)µ2 →w1 =µP −µ2µ1 −µ2

σ P = w12σ1

2 + (1−w1 )2σ 2

2 + 2w1 (1−w1 )σ1,2

RP = w1R1 + (1−w1)R2

Minw1 ...wn

σ p2 =Var[Rp ]

s.a. µp = E[Rp ]= µ(0)

wii=1

n

∑ =1

Maxw1 ...wn

µp = E[Rp ]

s.a. σ p2 =Var[Rp ]=σ (0)

2

wii=1

n

∑ =1

Caso práctico

29'

1.0 1.5 2.0 2.5

0.10

0.15

0.20

0.25

desviación típica

rendimiento

DIA

Mapfre

Cartera de mínima varianza

Vamos'a'considerar'ahora'el'caso'de'un'ac#vo'sin'riesgo'(5%'interés'anual'simple)'y'dos'ac#vos'con'riesgo'(Día'y'Mapfre).'Como'somos'un'inversor'muy'averso'al'riesgo'decidimos'distribuir'nuestro'capital'entre'la'cartera'de'mínima'varianza'y'el'ac#vo'sin'riesgo.''Presentar'en'el'gráfico'anterior'la'LAC'entre'ambos'#pos'de'ac#vos.''¿es'una'combinación'eficiente'en'el'sen#do'de'mediaNvarianza?'*

30'

Caso práctico

31'

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

desviación típica

rendimiento

DIA

Mapfre

Cartera'de'inversión'

.'

.'

.'

Ac#vo'X1'Ac#vo'X2'

Ac#vo'Xn*

.'

.'

.'

w1'

w2'

wn*

!1

1

=∑=

n

iiw

OBJETIVO:'Determinar'los'pesos'que'maximizan'la'rentabilidad'esperada'para'un'determinado'nivel'de'riesgo.'**

Posiciones'cortas'wi'<'0''Posiciones'largas''wi'>'0''

32'

Elementos'de'la'cartera'''Rentabilidad'esperada'de'la'cartera'

''Riesgo'de'la'cartera'(varianza)''

'

!!!

"

#

$$$

%

&

=

nw

w!1

w """""!!!

"

#

$$$

%

&

=

nµ

µ!1

μ """""!!!

"

#

$$$

%

&

=2

1

121

nn

n

σσ

σσ

"

!#!"

Ω "

!

( ) ∑=

=""""

#

$

%%%%

&

'

===n

iii

n

npp wwwRE1

1

1][ µ

µ

µ

µ !"μw'

33'

!

( ) ∑∑<=

+=

""""

#

$

%%%%

&

'

""""

#

$

%%%%

&

'

===n

jijiji

n

iii

nnn

n

npp www

w

w

wwRVar 2,

1

22

1

21

121

12 2][ σσ

σσ

σσ

σ !

"

!#!

"

"Ωww'

Problema'de'op#mización'cuadrá#ca''

' ' ''''''

El'problema'tendrá'una'solución'para'cada'posible'nivel'de'riesgo'μp(0)''

FRONTERA'EFICIENTE'

34'

Minw1 ...wn

w'Ωw

s.a. w'1=1w'µ = µ(0)


' ' ''''''''La'función'obje#vo'es'cuadrá#ca'y'las'restricciones'de'igualdad/'desigualdad'son'lineales''

35'

Minx

12x'Dx−d 'x

s.a. A 'neq x ≥ bneqA 'eq x = beq

d = 0x =wD = 2Ω

A 'eq =1'µ

!

"##

$

%&&;beq =

1µ(0)

!

"##

$

%&&

36'

0 1 2 3 4 5

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

riesgo

rendimiento

BBVA

TEL

DIA

Añadimos'otro'#po'de'restricciones''

' ' '''''

37'

Minw1 ...wn

w'Ωw

s.a. w'1=1w'µ = µ(0)w ≥ 0


' ' '''''''''La'función'obje#vo'es'cuadrá#ca'y'las'restricciones'de'igualdad/'desigualdad'son'lineales''

38'

Minx

12x'Dx−d 'x

s.a. A 'neq x ≥ bneqA 'eq x = beq

d = 0x =wD = 2Ω

A 'eq =1'µ

!

"##

$

%&&;beq =

1µ(0)

!

"##

$

%&&

A 'neq = I;bneq = 0

39'

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

sd.p

mu.p

BBVA

TEL

DIA

MASTER'EN'BANCA'Y'MERCADOS'FINANCIEROS'

Curso de R para Banca y Finanzas

Profesor: Vanesa Jordá Gil

Curso 2016/2017'

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