sesion1(antiderivada)
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Dada una función f, encontrar su derivada f ’.
En un curso básico de cálculo diferencial se aborda:
Ahora, veremos cuán importante es el problema:
Dada una función f, encontrar una función F cuya derivada sea f.
En esta primera parte del curso resolveremos de manera más o menos simultánea los problemas siguientes:
(1) Dada una función f(x) , hallar una función F(x) tal que
( ) ( )' .F x f x=
(2) Dada una función f(x) que sea ≥0, dar una definición de área bajo la curva y=f(x) que no recurra a la intuición geométrica.
Una función F se llama una antiderivada de una función f en un intervalo I si para todo valor de xen I.
( ) ( )'F x f x=
Ejemplo
( ) 3 24 5F x x x= + + es una antiderivada de ( ) 212 2f x x x= +
pues ( ) ( )2' 12 2F x x x f x= + =
( ) ( )'F x f x=Una función F(x) se llama primitiva de otrafunción f(x) si .
Proposición 1
Si una función tiene una primitiva, entonces tiene infinitas, que se diferencian entre sí en una constante.
Si F es una primitiva de f entonces G(x)=F(x)+c, donde c es una constante arbitraria, entonces G’(x)=F’(x)=f(x) y G
también es primitiva de f.
Se llama integral indefinida de una función f(x) al conjunto formado por todas sus primitivas, y se denota por:
integrando
( )�
( )f x dx F x C= +∫
Solución
( ) ( ) 1
2
ln si 01ln si 0
x C xF x dx
x C xx
− + <= = + >∫
( ) ( )( ) 1 11 2 ln 1 2 2F C C− = ⇔ − − + = ⇔ =
( ) 2 2
2
4 ln 4 1 4
3
F e e C C
C
= ⇔ + = ⇔ + =⇔ =
5. Hallar ( )3 22 1x x dx+ +∫
Buscamos una primitiva del integrando, es decir una función tal que al derivarla nos dé el integrando. En consecuencia,
( )4 3
3 2 22 1
4 3
x xx x dx x C+ + = + + +∫
Propiedades
( ) ( ) ( ) { }1). , \ 0k f x dx k f x dx kF x C k= = + ∀ ∈∫ ∫ ℝ
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
2).
f x g x dx f x dx g x dx
F x G x C
± = ±
= ± +∫ ∫ ∫
13). ; 1 .
1
nn x
x dx C n nn
+= + ≠ − ∧ ∈
+∫ ℚ
( ) ( ) ( ) ( )Sean ' y G' . EntoncesF x f x x g x= =
Ejemplos
( )4 3 21). 5 8 9 2 7x x x x dx− + − +∫
( )4 3 25 8 9 2 7x x x x dx− + − + =∫4 3 25 8 9 2 7x dx x dx x dx xdx dx− + − + =∫ ∫ ∫ ∫ ∫
4 1 3 1 2 1 1 1
5. 8. 9. 2. 74 1 3 1 2 1 1 1
x x x xx C
+ + + +
− + − + + =+ + + +
5 4 3 22 3 7 .x x x x x C= − + − + +
Si G es una anti derivada de g, entonces
( ) ( )dug u dx G u C
dx= +∫
ya que, mediante la regla de la cadena,
( ) ( ) ( )'d du du
G u G u g udx dx dx
= =
INTEGRACION POR SUSTITUCION
Si u=g(x) es una función diferenciable cuyo rango es un intervalo I, f es una función continua sobre I y F es una antiderivada de f sobre I, entonces
( )( ) ( ) ( )' .f g x g x dx f u du=∫ ∫
INTEGRACION POR SUSTITUCION
Halle ( ) ( )829 3 5 2 3x x x dx+ + +∫
hacemos la sustitución
Solución
2 3 5u x x= + + ( ) 8 9g u u⇒ =
( ) ( )2 3 5 2 3du d x x x dx= + + = +
Integrando la diferencial del producto de dos funciones d(uv) = v du+udvresulta
INTEGRACION POR PARTES
( )d uv vdu udv= +∫ ∫ ∫
de donde,
uv vdu udv= +∫ ∫
donde G es una anti derivada de g.
( )�
( )�fácil deintegrar
fácil dederivar
f x g x dx=∫
( ) ( ) ( ) ( )'G x G xf x f x dx− ∫
En resumen, la integración por partes significa
Reemplazando
2 xx dxe∫Solución hacemos
2 2xx xdv e v
u x du xdx
d e ev dx
= =
⇒=
⇒
= = =∫ ∫
�� ( )�
( )�
( )�
( )2 2 2dv
vu
duu v
x x xx dx x x dxe e e= −∫ ∫ ����
2 2x xx e xe dx= − ∫
xx xdv e
u x du d
v e
x
dv e dx
= ⇒ =
⇒ == = =∫ ∫
2 2 xx xx e xe e dx = − − ∫2 2 xx xx e xe e = − −
( )2 2 2xe x x C= − + +
ln xdx∫Solución por integración por partes: hacemos
1lnu x du dx
x
dv dx v xdv dx=
= ⇒ =
⇒ = = =∫ ∫
�� ( )�
( ) ( )�
1ln ln
uv
du
dvvu
x x dxx
dx x x = −
∫ ∫������
lnx x x C= − +
cossenxdx x C= − +∫ cosx dx sen x C= +∫ 2sec tanx dx x C= +∫
2csc cotx dx x C= − +∫ sec tan secx x dx x C= +∫ csc cot cscx x dx x C= − +∫
tan ln cosx dx x C= − +∫ sec ln sec tanx du x x C= + +∫
( ) ( )2 2sen x dx∫Solución hacemos u=2x.
Entonces du/dx=2. Por lo tanto.
( ) ( ) ( )
( )
cos
cos 2
dusen u dx sen u du u
dxx
= = −
= −∫ ∫
Observe que:
( ) ( )2 cos 2sen x dx x≠ −∫
( )xe sen x dx∫Solución por integración por partes:
( ) cos
x x
dv sen x
u e du e dx
senxdxdx v x
= ⇒ =
⇒ == −=∫
( )I xe sen x dx= ∫
entonces
( ) ( )I cos cosx xe x e x dx= − − −∫( )I cos cosx xe x e x dx= − + ∫
aplicamos integración por partes nuevamente
1
( )cos cos
x x
dz x dx z s
t e dt e dx
d nx e xx
= ⇒ =
⇒ = == ∫
La segunda integral se convierte en tdz tz zdt= −∫ ∫
( ) ( )cosx x xe x dx e senx e sen x dx= −∫ ∫ 2
De las ecuaciones (1) y (2) tenemos:
cosx xI e x e senx I= − + −Por lo tanto
( )cosx x x xe senxdx e x e senx e sen x dx= − + −∫ ∫2 cosx x xe senxdx e x e senx= − +∫
cos
2
x xx e x e senx
e senxdx C− += +∫