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SICEL 2011

MEDIDAS DE POTENCIA EN REGÍMENES NO SINUSOIDALES

HERNÁN TACCA

UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRESUNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

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TEMARIO

• DEFINICIÓN DE POTENCIA ACTIVA• MEDIDA DE LA FRECUENCIA

• DEFINICIONES DE POTENCIAS NO ACTIVAS

• INSTRUMENTOS DE MEDIDA

• CONEXIONES Y MÉTODOS DE MEDIDA

• CONSIDERACIONES A TOMAR EN CUENTA CON ONDAS NO SINUSOIDALES

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DEFINICIÓN DE POTENCIA ACTIVA Es el valor medio de la potencia instantánea: 𝑷= 𝟏𝑻න 𝒑ሺ𝒕ሻ 𝒅𝒕 𝑻

𝟎

En un sistema monofásico: 𝒑ሺ𝒕ሻ = 𝒗ሺ𝒕ሻ .𝒊ሺ𝒕ሻ En un sistema polifásico: 𝒑ሺ𝒕ሻ = σ 𝒗𝒏ሺ𝒕ሻ .𝒊𝒏ሺ𝒕ሻ 𝒏𝒊=𝟏

siendo, 𝒗𝒏ሺ𝒕ሻ las tensiones de fase e 𝒊𝒏ሺ𝒕ሻ las corrientes de línea.

De las definiciones se deduce que es preciso definir y conocer el período T para calcular P. NOTA: Diferencia entre potencia activa y potencia útil

Dependiendo de la aplicación, la potencia activa “P” puede coincidir con la potencia útil “PU” (p.ej. en calefactores) o ser menor (p.ej. en accionamientos de C.A.). En tales casos se definen: 𝑭𝑨𝑷= 𝑷𝑼 𝑷Τ : FACTOR DE APROVECHAMIENTO 𝑭𝑼= 𝑷𝑼 𝑺Τ : FACTOR DE UTILIZACIÓN Por lo que resulta: 𝑭𝑼= (𝑭𝑷).𝑭𝑨𝑷

donde 𝑭𝑷 es el factor de potencia.

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SITUACIÓN REAL. PROBLEMA PRÁCTICO En la realidad y en términos rigurosos, la forma de onda de la red no es periódica, conteniendo imperfecciones que dificultan estimar el período. Los principales defectos o desviaciones del caso ideal que entorpecen la medida del período son:

COMPONENTES ARMÓNICAS (pueden originar múltiples cruces por cero en cada ciclo). MICROCORTES FENÓMENOS TRANSITORIOS INESTABILIDAD DE FRECUENCIA

SOLUCIONES

1) MEDICIÓN EN MÚLTIPLES PERÍODOS 𝑃= 1𝑚 𝑇 𝑝ሺ𝑡ሻ 𝑑𝑡𝑚𝑇0 .

2) DETERMINACIÓN DE LA FRECUENCIA MEDIANTE CIRCUITOS DE ENGANCHE DE FASE (PLL). 3) DETERMINACIÓN NUMÉRICA DE LA FRECUENCIA, BASADA EN “FFT” (Requiere procesadores DSP de alta velocidad).

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MEDICIÓN EN MÚLTIPLES PERÍODOS a) Base de tiempo de múltiples períodos a) Con ventana de integración móvil (implementación en sistemas digitales) 𝑷ሺ𝒕ሻ= 𝟏𝒎 𝑻 න 𝒑ሺ𝝉ሻ𝒕

𝒕−𝒎𝑻 𝒅𝝉

Simplificación para reducir la exigencia de memoria: 𝑷𝒋 = 𝒌− 𝟏𝒌 𝑷ሺ𝒋−𝟏ሻ+ 𝟏𝑻න 𝒑ሺ𝝉ሻ𝒋 𝑻

ሺ𝒋−𝟏ሻ𝑻 𝒅𝝉

% M

contador divisor escuadrador filtro

pasabajos

BASE DE TIEMPO

SEÑAL

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EMPLEO DE CIRCUITOS DE ENGANCHE DE FASE (PLL)

V.C.O.AF(S)

filtro pasabajosdetector

de fase+

_fOSC

vO

vi

fi

fmod = 1 /Tmod

fC_mod

| G |

AB

G = vO /fi

Tmod

t

fi

1) Si la frecuencia de variación de la frecuencia de entrada (fmod) está en la zona “A” del diagrama de Bode, el PLL seguirá a las variaciones de la frecuencia de entrada (f i) y se podrá calcular la potencia ciclo a ciclo.

2) Si la frecuencia del “jitter” (fmod) cae lejos en la zona “B”, el VCO entregará la frecuencia promedio de la señal de entrada y esto será útil para efectuar mediciones en múltiples períodos.

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VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE CADA MÉTODO

a) MEDICIÓN DE MÚLTIPLES PERÍODOS

El método es simple y no requiere procesadores complejos.La detección de cruces por cero es difícil cuando hay componentes armónicas de baja frecuencia y de gran amplitud, ráfagas aleatorias de microcortes o transitorios muy frecuentes por conexiones de cargas capacitivas.

b) EMPLEO DE CIRCUITOS PLL

El método es simple y robusto respecto del ruido.Tiene un margen de enganche de frecuencias limitado. No es útil para medir potencias de salida en variadores de velocidad (complica mucho el diseño del PLL).

c) MEDICIONES BASADAS EN ALGORITMOS QUE EMPLEAN FFT

El método es robusto respecto de armónicos y transitorios aperiódicos.Puede engancharse en sub-armónicos, o peor aún, en inter-armónicos.El hardware es costoso lo que excluye su aplicación en instrumentos de bajo costo.

NOTA: Algunos vatímetros electrónicos permiten elegir el método y la señal de sincronismo.

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VATÍMETRO ELECTRODINÁMICO

V

I

B

𝐹ሺ𝑡ሻ= 𝐾1 𝐵ሺ𝑡ሻ 𝑖𝐵𝑀ሺ𝑡ሻ= 𝐾2 𝑣ሺ𝑡ሻ 𝑖ሺ𝑡ሻ 𝜃ሺ𝑡ሻۃ =ۄ 1𝜏 න𝐹ሺ𝑡ሻ 𝑑𝑡𝑡

𝑡−𝜏 = 𝐾2 1𝜏 න𝑣ሺ𝑡ሻ 𝑖ሺ𝑡ሻ 𝑑𝑡𝑡𝑡−𝜏 = 𝐾𝑊 𝑃𝑚𝑒𝑑

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VATÍMETROS ELECTRÓNICOS

v

i W

RS generador

carga

𝑃= 𝑉𝑒𝑓 𝐼𝑒𝑓 𝑐𝑜𝑠 𝜑

𝑃= 1𝑇 න 𝑣ሺ𝑡ሻ𝑇0 𝑖ሺ𝑡ሻ 𝑑𝑡 = 1𝑛 𝑇 න 𝑣ሺ𝑡ሻ𝑡

𝑡−𝑛 𝑇 𝑖ሺ𝑡ሻ 𝑑𝑡

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TIPOS DE VATÍMETROS ELECTRÓNICOS

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MEDICIÓN DE POTENCIA ACTIVA CON DISTORSIÓNCASO MONOFÁSICO

LA DEFINICIÓN DE POTENCIA ACTIVA ES:

EL DESARROLLO EN SERIE DE FOURIER DE LA CORRIENTE ES:

CON LO CUAL LA POTENCIA MEDIDA RESULTA:

𝑃= 1𝑇 න𝑣ሺ𝑡ሻ 𝑖ሺ𝑡ሻ𝑇0 𝑑𝑡

𝑖ሺ𝑡ሻ= 𝐼0 + 𝐼𝑘𝑚 sen∞𝑘=1 ሺ𝑘 𝜔𝑡+ 𝜑𝑘ሻ

𝑃= 𝐼0ቐ1𝑇 න𝑣ሺ𝑡ሻ 𝑇0 𝑑𝑡ቑ+ 𝐼𝑘𝑚 1𝑇 න𝑣ሺ𝑡ሻ𝑇

0 sen∞𝑘=1 ሺ𝑘 𝜔𝑡+ 𝜑𝑘ሻ 𝑑𝑡

𝑉𝑚𝑒𝑑 = 1𝑇 න𝑣ሺ𝑡ሻ 𝑇

0 𝑑𝑡 = 0 → 𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑖𝑡𝑎 𝑎𝑐𝑜𝑝𝑙𝑎𝑟 𝐶𝐶 𝑣ሺ𝑡ሻ= 𝑉𝑚 sen 𝜔𝑡 → 𝑠𝑜𝑙𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑖𝑡𝑎 𝑎𝑐𝑜𝑝𝑙𝑎𝑟 𝑠𝑒ñ𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑑

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MEDICIÓN CON TRES SISTEMAS

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MEDICIÓN CON DOS SISTEMAS Y MEDIO R

S

T

N N’

T’

S’

R’

uRS

uST

iR

iS

iT

De las expresiones: 𝑢𝑅𝑆 = 𝑣𝑅𝑁− 𝑣𝑆𝑁 ; 𝑢𝑆𝑇 = 𝑣𝑆𝑁 − 𝑣𝑇𝑁 y la restricción de simetría: 𝑣𝑅𝑁+ 𝑣𝑆𝑁 + 𝑣𝑇𝑁 = 0 se despejan: 𝑣𝑅𝑁= 13ሺ2 𝑢𝑅𝑆 + 𝑢𝑆𝑇ሻ ; 𝑣𝑆𝑁= 13ሺ 𝑢𝑆𝑇 − 𝑢𝑅𝑆ሻ ; 𝑣𝑇𝑁= −13ሺ𝑢𝑅𝑆+ 2 𝑢𝑆𝑇ሻ

Con estas tensiones y las corrientes 𝑖𝑅 , 𝑖𝑆 , 𝑖𝑇 se puede calcular las potencias (independientemente de que haya o no conexión de neutro).

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MÉTODO DE AARON CON ONDAS NO SENOIDALES

R

S

T

WA

WB

R’

S’

T’

*

*

*

*

𝑊𝐴+ 𝑊𝐵 = 1𝑇 න𝑢𝑅𝑇 𝑖𝑅 𝑑𝑡𝑇0 + 1𝑇 න𝑢𝑆𝑇 𝑖𝑆 𝑑𝑡𝑇

0 = 1𝑇 නሾሺ𝑣𝑅− 𝑣𝑇ሻ 𝑖𝑅+ሺ𝑣𝑆− 𝑣𝑇ሻ 𝑖𝑆ሿ 𝑑𝑡𝑇0 =

= 1𝑇 න𝑣𝑅 𝑖𝑅 𝑑𝑡𝑇0 + 1𝑇 න𝑣𝑆 𝑖𝑆 𝑑𝑡𝑇

0 − 1𝑇 න𝑣𝑇 ሺ𝑖𝑅+ 𝑖𝑆ሻ 𝑑𝑡𝑇0

𝑖𝑅+ 𝑖𝑆+ 𝑖𝑇 = 0 → 𝑖𝑅+ 𝑖𝑆 = −𝑖𝑇 → 𝑊𝐴+ 𝑊𝐵 = 𝑃𝑅+ 𝑃𝑆+ 𝑃𝑇

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EXPRESIÓN DE LA POTENCIA DEFORMANTE PARA EL CASO MONOFÁSICO GENERAL CON TENSIÓN Y CORRIENTE NO SENOIDAL

Conforme a la definición de potencia aparente:

𝑆2 = 𝑉𝑘2 𝑘 𝐼𝑘2 = 𝑆𝑘2 + 𝑉𝑘2 𝐼𝑛2 𝑘 ≠ 𝑛𝑘𝑘

donde, 𝑆𝑘2 = 𝑉𝑘2 𝐼𝑘2

Adoptando la definición de Budeanu: 𝑄= 𝑉𝑘 𝐼𝑘 sen 𝜑𝑘𝑘

y considerando que:

𝑃= 𝑉𝑘 𝐼𝑘 cos 𝜑𝑘𝑘

se obtiene:

𝑆2 = 𝑃2 + 𝑄2 + 𝑉𝑘2 𝐼𝑛2 −𝑘 ≠ 𝑛 𝑃𝑘 𝑃𝑛 − 𝑄𝑘 𝑄𝑛

Con lo cual puede definirse una potencia deformante como:

𝐷2 = 𝑉𝑘2 𝐼𝑛2 −𝑘 ≠ 𝑛 𝑃𝑘 𝑃𝑛 − 𝑄𝑘 𝑄𝑛

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EXPRESIÓN DE LA POTENCIA DEFORMANTE PARA EL CASO MONOFÁSICO GENERAL CON TENSIÓN Y CORRIENTE NO SENOIDAL

Si se hubiese adoptado como definición de potencia reactiva:

𝑄= 𝑄1 = 𝑉1 𝐼1 sen 𝜑1

la expresión de la potencia deformante resultaría distinta.

Al no existir definición única de Q no puede haber definición única de D.

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DEFINICIONES DE POTENCIA APARENTE EN EL CASO TRIFÁSICO GENERAL

1) Vectorial: 𝑆2 = ሺ𝑃𝑅+ 𝑃𝑆+ 𝑃𝑇ሻ2 + 𝑃𝑁𝐴2

a) 𝑃𝑁𝐴2 = ሺ𝑃𝑁𝐴𝑅+ 𝑃𝑁𝐴𝑆+ 𝑃𝑁𝐴𝑇ሻ2

𝑃𝑁𝐴𝑅 = ට𝑄𝑅2 + 𝐷𝑅2 siempre que se defina una separación entre Q y D por fase

b) 𝑃𝑁𝐴2 = 𝑄𝑇𝑂𝑇2 + 𝐷𝑇𝑂𝑇2 siempre que se defina una separación entre Q y D trifásica

2) Aritmética: 𝑆= 𝑆𝑅+ 𝑆𝑆+ 𝑆𝑇

3) Media geométrica: 𝑆2 = 3 ൫𝑆𝑅2 + 𝑆𝑆2 + 𝑆𝑇2൯

4) Aritmética promedio: 𝑆= 3ቂቀ𝑉𝑅+𝑉𝑆+𝑉𝑇3 ቁቀ𝐼𝑅+𝐼𝑆+𝐼𝑇3 ቁቃ

5) Equivalente o de sistema (IEEE): 𝑺𝟐 = ൫𝑽𝑹𝟐 + 𝑽𝑺𝟐 + 𝑽𝑻𝟐൯ ൫𝑰𝑹𝟐 + 𝑰𝑺𝟐 + 𝑰𝑻𝟐൯

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MEDICIÓN DE POTENCIAS REACTIVASMÉTODO DE BOUCHEROT

𝑊𝑅 = ℜ൛𝑈ഥ𝑆𝑇 𝐼ҧ𝑅⋆ ൟ= ℜቄξ3 𝑉ഥ𝑅 𝐼ҧ𝑅⋆ 𝑒−𝑗 𝜋 2ቅ

𝑉ഥ𝑅 𝐼ҧ𝑅⋆ = 𝑆ഥ𝑅 = 𝑃𝑅+ 𝑗 𝑄𝑅 𝑊𝑅 = ξ3 ℜሼሺ𝑃𝑅+ 𝑗 𝑄𝑅ሻሺ−𝑗ሻ ሽ= ξ3 𝑄𝑅 𝑄= 3 𝑄𝑅 = ξ3 𝑊𝑅

R

S

T

WR

R’

S’

T’

*

* R

STUST

VR

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VARÍMETRO ELECTRÓNICO

𝜑 = 𝜋2

𝑖ሺ𝑡ሻ

𝑣ሺ𝑡ሻ

𝑄

DESFASADOR

MULTIPLICADOR

INTEGRADOR

VATÍMETRO

VAR

*

* 𝑖ሺ𝑡ሻ

𝑣ሺ𝑡ሻ

+

_ 𝑖𝑒ሺ𝑡ሻ

+

_ 𝑣𝑒ሺ𝑡ሻ

𝑅𝐷 𝑅2

𝑅1 𝑣𝑂ሺ𝑡ሻ 𝑣𝑋ሺ𝑡ሻ

DESFASADOR

resulta Si se adopta

𝑣ሺ𝑡ሻ= 𝑉𝑚 sen 𝜔𝑡

𝑑 𝑣ሺ𝑡ሻ𝑑𝑡 = 𝜔 𝑉𝑚 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡

𝑖𝑒 = 𝐶𝑑 𝑣𝑒𝑑𝑡

𝑣𝑋= − 𝑅𝐷 𝑖𝑒 = − 𝐶 𝑅𝐷 𝑑 𝑣𝑒𝑑𝑡

𝑣𝑂 = − 𝑅2𝑅1 𝑣𝑋= 𝐶 𝑅𝐷 𝑅2𝑅1൨ 𝑑 𝑣𝑒𝑑𝑡

= 𝐶 𝑅𝐷 𝑅2𝑅1൨ 1

𝑣𝑂 = 𝑑 𝑣𝑒𝑑𝑡

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VARÍMETRO CON CORRIENTE NO SENOIDAL

VAR

*

*

𝑣ሺ𝑡ሻ= 𝑉𝑚 sen 𝜔𝑡

𝑖ሺ𝑡ሻ= 𝐼0 + 𝐼𝑘𝑚∞

𝑘=1 𝑠𝑒𝑛 ሺ𝑘 𝜔 𝑡+ 𝜑𝑘ሻ

𝑉𝐴𝑅= 1𝑇 න𝑑𝑣ሺ𝑡ሻ𝑑𝑡𝑇

0 𝑖ሺ𝑡ሻ 𝑑𝑡

= 1𝑇 න𝜔𝑇0 𝑉𝑚 cos 𝜔𝑡 𝐼0 + 𝐼𝑘𝑚

∞𝑘=1 sen ሺ𝑘 𝜔 𝑡+ 𝜑𝑘ሻ൩ 𝑑𝑡

𝑉𝐴𝑅= 𝜔𝑉𝑚 𝐼0 1𝑇 නcos 𝜔𝑡 𝑑𝑡𝑇0 + 𝜔𝑉𝑚 𝐼1𝑚 1𝑇 නcos 𝜔𝑡 . sen ሺ𝜔 𝑡+ 𝜑1ሻ 𝑑𝑡 𝑇

0

+ 𝜔𝑉𝑚 1𝑇 නcos 𝜔𝑡 . sen ሺ𝑘𝜔 𝑡+ 𝜑1ሻ 𝑑𝑡𝑇0

∞𝑘=2

𝑉𝐴𝑅= 12𝜔𝑉𝑚 𝐼1𝑚 sen 𝜑1 = 𝜔 𝑉𝑒𝑓 𝐼1𝑒𝑓 sen 𝜑1 = 𝐶𝑡𝑒 .𝑄1

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VARÍMETROS CON UNA FORMA DE ONDA SINUSOIDAL Y OTRA POLIARMÓNICA

UNA DE LAS FORMAS DE ONDA DEBE DESPLAZARSE π/2

a) POR INTEGRACIÓN: VAR = Q1 /ω

b) POR DERIVACIÓN: VAR = ω Q1

c) POR DESPLAZAMIENTO DE MUESTRAS (línea de retardo digital): VAR = Q1

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INDICACIÓN DE UN VATÍMETRO CON TENSIÓN Y CORRIENTE POLIARMÓNICAS 𝑣ሺ𝑡ሻ= 𝑉𝑚𝑘 𝑠𝑒𝑛ሺ𝑘𝜔𝑡+ 𝜑𝑣𝑘ሻ𝑘 𝑖ሺ𝑡ሻ= 𝐼𝑚𝑘 𝑠𝑒𝑛ሺ𝑘𝜔𝑡+ 𝜑𝑖𝑘ሻ𝑘 AL CALCULAR LA POTENCIA SOLAMENTE CONTRIBUIRÁN LOS TÉRMINOS: 𝑉𝑚𝑘 𝐼𝑚𝑘{𝑠𝑒𝑛ሺ𝑘𝜔𝑡+ 𝜑𝑣𝑘ሻ.𝑠𝑒𝑛ሺ𝑘𝜔𝑡+ 𝜑𝑖𝑘ሻ} = 𝑉𝑚𝑘 𝐼𝑚𝑘{𝑠𝑒𝑛2𝑘𝜔𝑡 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑣𝑘 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑖𝑘 + 𝑠𝑒𝑛𝑘𝜔𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑘𝜔𝑡 𝑠𝑒𝑛ሺ𝜑𝑣𝑘 + 𝜑𝑖𝑘ሻ+ 𝑐𝑜𝑠2𝑘𝜔𝑡 𝑠𝑒𝑛𝜑𝑣𝑘 𝑠𝑒𝑛𝜑𝑖𝑘} POR LO TANTO, LA POTENCIA DE CADA COMPONENTE ARMÓNICA SERÁ: 𝑃𝑘 = 12 𝑉𝑚𝑘 𝐼𝑚𝑘ሺ𝑐𝑜𝑠𝜑𝑣𝑘 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑖𝑘 + 𝑠𝑒𝑛𝜑𝑣𝑘 𝑠𝑒𝑛𝜑𝑖𝑘ሻ= 𝑉𝑘𝑒𝑓 𝐼𝑘𝑒𝑓 𝑐𝑜𝑠ሺ𝜑𝑣𝑘 − 𝜑𝑖𝑘ሻ

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VARÍMETROS CON TENSIONES Y CORRIENTES POLIARMÓNICAS a) DESFASAJE POR DERIVACIÓN 𝑣ሺ𝑡ሻ= σ 𝑉𝑚𝑘 𝑠𝑒𝑛ሺ𝑘𝜔𝑡+ 𝜑𝑣𝑘ሻ𝑘 ; 𝑖ሺ𝑡ሻ= σ 𝐼𝑚𝑘 𝑠𝑒𝑛ሺ𝑘𝜔𝑡+ 𝜑𝑖𝑘ሻ𝑘 𝑑𝑖ሺ𝑡ሻ/𝑑𝑡 = ሺ𝑘𝜔ሻ𝐼𝑚𝑘 𝑠𝑒𝑛ሺ𝑘𝜔𝑡+ 𝜑𝑖𝑘ሻ𝑘

SOLAMENTE CONTRIBUIRÁN LOS TÉRMINOS: 𝑉𝑚𝑘 𝐼𝑚𝑘ሺ𝑘𝜔ሻ{𝑠𝑒𝑛ሺ𝑘𝜔𝑡+ 𝜑𝑣𝑘ሻ.𝑐𝑜𝑠ሺ𝑘𝜔𝑡+ 𝜑𝑖𝑘ሻ}

Y LA LECTURA DARÁ: 𝑉𝐴𝑅= σ ሺ𝑘𝜔ሻ𝑉𝑘𝑒𝑓 𝐼𝑘𝑒𝑓 𝑠𝑒𝑛ሺ𝜑𝑣𝑘 − 𝜑𝑖𝑘ሻ𝑘

b) DESFASAJE POR INTEGRACIÓN De manera similar puede demostrarse que la lectura será:

𝑉𝐴𝑅= σ ൬1 𝑘𝜔ൗ ൰𝑉𝑘𝑒𝑓 𝐼𝑘𝑒𝑓 𝑠𝑒𝑛ሺ𝜑𝑣𝑘 − 𝜑𝑖𝑘ሻ𝑘

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c) DESFASAJE POR DESPLAZAMIENTO (CON LÍNEA DE RETARDO) 𝑖ሺ𝑡ሻ= 𝐼𝑚𝑘 𝑠𝑒𝑛ሺ𝑘𝜔𝑡+ 𝜑𝑖𝑘ሻ𝑘 𝑖

ቀ𝑡+𝑇4ቁ = 𝐼𝑚𝑘 𝑠𝑒𝑛 ቂ𝑘ቀ𝜔𝑡+ 𝜋2ቁ+ 𝜑𝑖𝑘ቃ𝑘

SOLAMENTE CONTRIBUIRÁN LOS TÉRMINOS: 𝑉𝑚𝑘 𝐼𝑚𝑘{𝑠𝑒𝑛ሺ𝑘𝜔𝑡+ 𝜑𝑣𝑘ሻ.𝑠𝑒𝑛൬𝑘𝜔𝑡+ 𝑘𝜋2 + 𝜑𝑖𝑘൰}= 𝑉𝑚𝑘 𝐼𝑚𝑘{𝑠𝑒𝑛ሺ𝑘𝜔𝑡+ 𝜑𝑣𝑘ሻ 𝑠𝑒𝑛ሺ𝑘𝜔𝑡+ 𝜑𝑖𝑘ሻ 𝑐𝑜𝑠𝑘𝜋2+ 𝑐𝑜𝑠ሺ𝑘𝜔𝑡+ 𝜑𝑖𝑘ሻ 𝑠𝑒𝑛𝑘𝜋2൨

Para k par: 𝑠𝑒𝑛𝑘𝜋2 = 0 y para k impar: 𝑐𝑜𝑠𝑘𝜋2 = 0 . Según el orden de la componente armónica se multiplicará por una función seno o coseno y el signo también dependerá del orden.

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NINGUNO DE LOS VARÍMETROS SENCILLOS DA UNA DEFINICIÓN NORMALIZADA DE LA POTENCIA REACTIVA, PERO EL QUE DESFASA INTEGRANDO TIENDE A DAR LA POTENCIA REACTIVA DE LA COMPONENTE FUNDAMENTAL SI UNA DE LAS SEÑALES NO TIENE GRAN CONTENIDO ARMÓNICO.

SITUACIÓN EN EL MÉTODO DE BOUCHEROT Dependiendo del sentido de la secuencia de la componente armónica el término reactivo se sumará o se restará del total.

IR1

VR1

UST1

UST1

φ1 IRk

VRk

UST k

UST k

φk

R

S T

R

S T

IRk

VRk

UST k

UST k

φk

R

T S

SECUENCIA ARMÓNICA DIRECTA SECUENCIA ARMÓNICA INVERSA SECUENCIA FUNDAMENTAL

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VARÍMETROS DIGITALES: RESUMEN

• En lugar de derivar una señal puede retrasársela digitalmente mediante un registro FIFO implementado por programa dentro de la CPU de un microprocesador DSP.

• En el caso general la señal a retardar puede ser de frecuencia variable. Esto implica determinar primero el período par luego introducir el retardo correspondiente a 90 grados.

• Determinar la frecuencia puede no ser fácil en presencia de ruido y en sistemas con patrones de modulación PWM.

• Es conveniente prever la posibilidad de poder desfasar cualquiera de ambas señales (tensión o corriente) en cada fase (en el caso polifásico).

• Normalmente se preve un filtro pasabajos desconectable para aquellos casos en que el ruido no permite determinar el período en forma estable

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EJEMPLO: Vatímetro industrial de panel

R

S

T

W

R’

S’

T’

*

*

1

2

Es la misma ecuación que la correspondiente al método de Boucherot

uRT

uST

uRS

R

S T

3 vR

𝑊1 + 𝑊2 = 1𝑇 න𝑢𝑅𝑆 𝑖𝑅 𝑑𝑡𝑇0 + 1𝑇 න𝑢𝑅𝑇 𝑖𝑅 𝑑𝑡𝑇

0 = 1𝑇 නሺ𝑢𝑅𝑆+ 𝑢𝑅𝑇ሻ 𝑖𝑅 𝑑𝑡𝑇0 =

= 1𝑇 න2 ξ32 ξ3 𝑣𝑅 𝑖𝑅 𝑑𝑡𝑇0 = 3 1𝑇 න 𝑣𝑅 𝑖𝑅 𝑑𝑡𝑇

0 = 𝑃

𝑊2 − 𝑊1 = 1𝑇 නሺ𝑢𝑅𝑇− 𝑢𝑅𝑆ሻ 𝑖𝑅 𝑑𝑡𝑇0 = 1𝑇 නሺ𝑣𝑆− 𝑣𝑇ሻ 𝑖𝑅 𝑑𝑡𝑇

0 = 1𝑇 න𝑢𝑆𝑇 𝑖𝑅 𝑑𝑡𝑇0

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versión electrónica

R

S

T

R’

S’

T’

1

2

RS

W VX

MULTIPLEXOR

P → carga balanceada

Q → fuente simétrica y senoidal

NO REQUIERE CORRIENTE SENOIDAL

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EXIGENCIAS DE AISLACIÓN

• Midiendo con dos sistemas pueden necesitarse hasta dos canales aislados (pero deben respetarse las limitaciones del método adoptado).

• Con tres sistemas y carga en estrella solamente se necesitan canales de corriente aislados. Lo mismo vale para carga en triángulo, si no es necesario desglosar la medición por fase de la carga.

• Para el caso más general, fuente asimétrica y carga en triángulo desbalanceada, se necesitarán seis canales aislados si se desean conocer las potencias de cada fase de la carga.

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TÉCNICAS DE AISLAMIENTO• TÉCNICAS DIGITALES- Conversión tensión-frecuencia- Modulación digital y acoplamiento serie- Conversión analógica-digital y transmisión serie• TÉCNICAS ANALÓGICAS- Circuitos con optoacopladores- Transformadores- Dispositivos de efecto Hall- Circuitos con acoplamiento capacitivo- Transformadores piezo eléctricos

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AMPLIFICADORES DE AISLAMIENTO CON MICROTRANSFORMADORES

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TRANSFORMADORES DE CORRIENTE CON CORRECCIÓN NUMÉRICA EN TIEMPO REAL

(A)

(B)

Fig. 5: Diagrama en bloques de Simulink. Algoritmos compensación.

+

-

RC RS Lf S Lf P RP

LM

RFe

nS nP

iP iS iM

Circuito equivalente T del transformador de corriente con la etapa de entrada

LM nS

iM

RS

iS

nP

iP

Circuito equivalente simplificado del transformador de corriente

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mediciones de potencia con instrumentos electrónicos

• CERCIÓRESE DE QUE EL MÉTODO SEA APLICABLE

• VERIFIQUE QUE LOS AMPLIFICADORES SEAN APTOS PARA EL TIPO DE SEÑAL A APLICAR

- RANGO DE TENSIONES O CORRIENTES - ANCHO DE BANDA - INMUNIDAD AL RUIDO