Simetria

Fundamentos configuracionales de la forma arquitectnica

Un curso de alfabetizacin visual para estudiantes de Arquitectura Francisco Olmos Revern

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Captulo 12

La simetra

En este captulo abordaremos uno de los principios de diseo ms populares y sin embargo, tal vez, uno de los menos conocidos en toda la extensin de sus posibilidades: la simetra. Generalmente el conocimiento que se tiene de la simetra se limita a la simetra especular o axial y sin embargo en la naturaleza existen unos 17 tipos de simetras planas y ms de 230 tipos de simetras tridimensionales o espaciales1. Aqu abordaremos los conceptos bsicos que estn en la raz de los estudios de simetra, introduciendo al lector en algunos de los tipos ms relevantes.

El trmino simetra como lo definen los diccionarios realmente aporta muy pocas luces sobre sus posibilidades en el diseo. En el diccionario Larousse2 por ejemplo, se la define como: Armona resultante de ciertas posiciones de los elementos que constituyen Fig.1 un conjunto. Dicho diccionario presenta adems varias acepciones desde el punto de vista de la biologa y las matemticas en las se tiende fijar la idea de la existencia de un solo tipo de simetra, la simetra especular. El diccionario de la Real Academia Espaola3 proporciona una acepcin del termino proveniente del campo de la geometra que tiende tambin a prejuiciar la idea de la simetra como algo rgido y limitado cuando la define como: Correspondencia exacta en la disposicin regular de las partes o puntos de un cuerpo o figura con relacin a un centro, un eje o un plano. Estas definiciones son una muestra del conocimiento limitado que se tiene en general acerca de este principio de diseo. Sin embargo, los estudios de cristalografa y de las formas vegetales, han demostrado que la simetra es un principio de diseo muy variado a la vez que fundamental para el ordenamiento sistemtico de las formas naturales. Una simple flor de girasol (Fig. 1), presenta, por ejemplo, un sistema de simetra mucho ms complejo que el especular al que hacen referencia, sin nombrarlo, los diccionarios consultados. La utilizacin de esquemas simtricos especulares es una de las formas ms sencillas de los tipos de simetra a los que puede recurrir el diseador con el fin de lograr la armona en el diseo.

Los tipos de simetra

El primer aspecto que debemos considerar al iniciar el estudio de los sistemas de simetra est relacionado con las formas en que se repiten los mdulos o los elementos visuales respecto a un punto, un eje o un plano. Desde este punto de vista, de la repeticin del mdulo, podemos hablar de simetra isomtrica, simetra homeomtrica y simetra catamtrica. Definimos una simetra como isomtrica4, cuando los mdulos son idnticos entre s y



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su disposicin se repite uniformemente. Este es el caso tpico de la repeticin simple de mdulos (Cap. 9) como por ejemplo, la de la figura 2. Este tipo de simetra es llamada por algunos autores simplemente isometra debido a la regularidad de las medidas. En la simetra homeomtrica5, a diferencia de la isomtrica, los mdulos mantienen una relacin de semejanza entre s.

Fig.2 Fig.3

En estos sistemas se pueden dar variaciones en el tamao, la posicin o la orientacin de los mdulos, manteniendo la semejanza o la similitud entre los elementos visuales, tal es el caso por ejemplo de las estructuras de similitud, como la de la figura 3, o las de gradacin vistas en el captulo 9. La simetra catamtrica6 se caracteriza por presentar mdulos que tienen diferentes formas y tamaos, son diferentes pero estn vinculados entre s por una relacin comn entre ellos o porque sus formas continan siendo anlogas o su sucesin est vinculada por alguna ley. En la figura 4, podemos observar un tejido del tipo bricolage, donde los mdulos son diferentes entre s, teniendo slo en comn el ser formas ortogonales adosadas entre s. El segundo aspecto por considerar en la clasificacin de los sistemas simtricos es el de la relacin espacial de los mdulos con un punto, un plano o una lnea o eje de simetra respecto a la cual se establece la relacin de simetra. En los esquemas simtricos bidimensionales, esta relacin se establece con Fig.4 respecto al punto y con la lnea, donde las lneas pueden ser ms de una formas recta o ms de una curva. En los sistemas simtricos tridimensionales adems del punto y la lnea la relacin de simetra se da adems respecto a planos y volmenes.

La combinacin de estos dos aspectos, las y el sistema de referencia, nos da la base conceptual para la clasificacin de los sistemas simtricos que veremos a continuacin. Debemos tener presente que aquellos sistemas formales donde los motivos no son de ninguna forma iguales, parecidos o afines, ni estn relacionados entre s, no existiendo simetra de ningn tipo, reciben el nombre de ametra o sistemas formales amtricos7. Fig.5



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Simetras centrales

Se definen como simetras centrales aquellos sistemas simtricos en los cuales la relacin de simetra se da con respecto a un punto. Los dos principales sistemas o simetras centrales son la simetra por rotacin y la simetra por extensin8. La simetra central por rotacin se da cuando el motivo o mdulo se repite rotando alrededor de un centro. Aqu se presentan tres variaciones considerando la naturaleza de los mdulos: simetra por rotacin isomtrica, simetra por rotacin homeomtrica y

Fig.6 simetra por rotacin catamtrica. Como su nombre lo indica, en la simetra por rotacin isomtrica los elementos se distribuyen Fig.7 uniformemente alrededor de un punto central sin presentar variaciones de forma, como en el ejemplo de la figura 5. En la simetra por rotacin homeomtrica9 nos encontramos con que los mdulos tambin rotan alrededor de un punto central pero presentando variaciones en sus formas (Fig. 6). Este es uno de los tipos de simetra ms comunes en la naturaleza, donde las variaciones entre los mdulos suelen ser muy sutiles, como las que se dan por ejemplo entre los hojas de un trbol (Fig. 7).

Fig.8 La simetra por rotacin catamtrica10 se diferencia de las anteriores en que los mdulos, que tambin rotan alrededor de un punto central, son completamente diferentes entre si (Fig. 8). La simetra central por extensin11 se da cuando el motivo o mdulo se repite no slo alrededor de un centro sino adems concntricamente. Aqu se presentan tres variaciones considerando la naturaleza de los mdulos: simetra por extensin isomtrica, simetra por extensin homeomtrica y simetra por extensin catamtrica. En la

Fig.9 Fig.10 Fig.11



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simetra por extensin isomtrica12 como se puede apreciar en la figura 9, los mdulos se repiten concntricamente sin presentar ninguna variacin a mediada que se alejan del centro. Por otro lado en la simetra por extensin homeomtrica13 los mdulos van presentando variaciones a medida que se alejan o acercan del centro (dependiendo de la estrategia de diseo escogida) como en la ilustracin de Escher en la figura 10. En la simetra por extensin catamtrica,14 el elemento comn entre los mdulos es su distribucin alrededor de un centro en forma radial y concntrica o de forma aleatoria, no existiendo ningn tipo de identidad o semejanza entre los mdulos (Fig. 11).

Las simetras centrales en la arquitectura

La simetra central posee una cualidad muy particular como esquema de organizacin espacial, que ha sido explotada en la arquitectura tanto a nivel simblico como espacial. La simetra central se asocia directamente con las cualidades simblicas del crculo estudiadas en el captulo ocho. La idea de unidad implcita en el crculo, se expresa espacialmente en la equidistancia y la accesibilidad desde cualquier nivel de su estructura con el centro del sistema. Esta cualidad de crear condiciones de igualdad entre los elementos que se encuentran en un mismo nivel, fue lo que llev al mtico rey Arturo a crear su famosa mesa redonda con el fin de evitar conflictos entre sus caballeros, debido a las desigualdades de relaciones espaciales que generan las estructuras ortogonales. Los utopistas del renacimiento Fig.12 italiano recurrieron a este tipo de esquemas con la intencin de recrear fsicamente sus ideales sociales por

medio de propuestas de ciudades utpicas como La ciudad del Sol descrita por Tomasso Campanella en su libro del mismo nombre en 1602 (Fig. 12), o la ciudad de Palmanova diseada por Vincenzo Scamozzi construida al norte de Italia en el siglo 16 (Fig. 13). En ambos casos la estructura de la ciudad se propone reflejar una sociedad donde sus ciudadanos residen en igualdad de condiciones15. Entre las cualidades espaciales de la simetra central hay que destacar las visuales que propicia, donde los elementos o las personas ubicadas en el centro de la estructura son vistos por todos los que les rodean, pero adems ellos tambin pueden ver a quienes se encuentran a su alrededor.

Fig.13



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A lo largo de este curso hemos visto diversos ejemplos de edificaciones que presentan esquemas de diseo centrales, como por ejemplo las edificaciones de las figuras 38 y 42 del captulo 8, en las que presentamos respectivamente un templo griego y un estadio olmpico donde se puede apreciar como sus elementos formales se organizan debido a un sistema de simetra radial.

Las simetras axiales

Las simetras axiales como su nombre lo indica, son aquellas en las que el sistema de referencia es un eje o axis. stas se dividen en dos grandes grupos: las simetras axiales respecto a lneas rectas y las simetras axiales respecto a lneas curvas. Entre las simetras respecto a las lneas rectas la ms comn es la simetra bilateral la cual se caracteriza por presentar una sola lnea recta o un eje de simetra. sta es la ms comn de todas en la naturaleza y de acuerdo con las variaciones que se puedan presentar o no en los mdulos podemos definir tres tipos de simetras bilaterales: la simetra bilateral isomtrica donde los mdulos se encuentran a distancias equivalentes a cada lado del eje de simetra, siendo adems idnticos entre s.

Fig.14 La simetra bilateral homeomtrica, con mdulos semejantes entre s y la simetra bilateral catamtrica, la cual presenta mdulos diferentes entre si.

Fig.15. La simetra bilateral isomtrica es la ms comn en el diseo de objetos, edificios, etc. Es conocida adems como simetra bilateral o simetra especular debido a que los mdulos se repiten a ambos lados del eje como si estuvieran reflejados en un espejo. Su popularidad en el diseo se debe en parte a motivos funcionales, prcticos, as como al hecho de que es el mtodo ms sencillo de garantizar el equilibrio entre los diferentes componentes de una forma (Fig. 14). Su uso en la arquitectura no se limita slo a la composicin de la fachada, como por ejemplo en los templos griegos, sino que este concepto se extiende a la organizacin del espacio interior (Fig. 15). A partir

Fig.16 de ella se pueden desarrollar variantes que mantienen este principio



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de simetra como se observa en el caso de las pirmides de los templos precolombinos. En la figura 16, podemos apreciar como el templo Maya de Quetzalcoatl en Chichen Itza, Mxico, presenta un esquema de simetras bilaterales en la planta con un doble eje axial, conocido como simetra crucial.

Las simetras bilaterales homeomtricas se caracterizan por el hecho de que los mdulos se repiten respecto a un eje recto, con variaciones en la forma, medida, texturas o color de los mdulos, pero manteniendo siempre una relacin de semejanza entre s. La simetra bilateral homeomtrica es realmente la ms comn de todas en la naturaleza y en general se le confunde con la simetra bilateral isomtrica. Generalmente nos referimos a ella como simetra axial cuando observamos su presencia en animales, plantas etc, esto debido a que la naturaleza es muy sutil en el uso de la simetra en la organizacin formal de los organismos vivos. En la figura 17, podemos apreciar la hoja de una planta que presenta un esquema de simetras bilaterales homeomtricas al igual que la estrella de mar de la figura 18.

El rostro humano (Fig. 19), al contrario de lo que se suele creer, tiene una simetra bilateral homeomtrica. El grado de diferenciacin entre un lado y el otro generalmente es muy sutil. Esto se puede apreciar al reconstruir el rostro de una persona al cortar y pegar fotos de un slo lado del rostro. Aqu se puede apreciar cmo cambia la expresin del rostro notablemente entre el lado derecho y el izquierdo, lo que pone en evidencia la diferencia entre cada lado. Este hecho es un

Fig.19 Lado izquierdo Normal Lado derecho

Fig.17

Fig.18



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conocimiento tradicional de los artistas plsticos, quienes para lograr un efecto natural en la representacin del rostro humano, ya sea en pintura o escultura, introducen sutiles diferencias (en algunos casos no tan sutiles) entre las dos partes del rostro. En los siguientes ejemplos (Fig. 20, 21, 22) podemos apreciar el uso de las simetras bilaterales homeomtricas aplicadas al diseo grfico, que nos dan una idea de las posibilidades compositivas que permiten estos tipos de simetra.

Fig. 20 Fig. 21 Fig. 22 Fig. 23

El tercer caso de simetra bilateral corresponde a las simetras bilaterales catamtricas, en la que los mdulos se repiten respecto a un eje, pero presentando variaciones extremas en la forma, medida, texturas y color que los hacen diferentes unos de otros. Sin embargo, los mdulos deben compartir alguna caracterstica, aunque sta no sea tan evidente, como por ejemplo el que todos los mdulos sean polgonos (Fig. 23) o que pertenezcan a una misma familia de objetos (Fig. 24) o alguna otra caracterstica formal o espacial que los relacione entre s. La simetra Fig.24 bilateral, como referimos anteriormente, puede darse respecto a dos lneas rectas ortogonales entre s. sta es conocida como simetra crucial. Al igual que en las anteriores se presentan variaciones isomtricas (Fig.25), homeomtricas (Fig. 26) y catamtricas (Fig. 27), siendo la nica condicin aqu, que los ejes se corten por

Fig. 25 Fig. 26 Fig. 27 Fig. 28



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pares ortogonales entre s, pudiendo tener mltiples cruces. (Fig. 28). Un caso particular de la simetra respecto a un solo eje es la simetra de traslacin. sta consiste en la repeticin simple a lo largo de un eje de Fig.29 traslacin o deslizamiento de los mdulos o motivos de diseo. Al igual que en los casos anteriores, se presentan las variantes de simetra de traslacin isomtricas (Fig. 29), homeomtricas (Fig. 30) y catam- Fig.30 tricas (Fig. 31). La simetra de extensin traslatoria puede considerrsela un caso particular de la simetra de traslacin homeomtrica, debido a la regularidad y constancia en la repeticin del mdulo a lo largo del eje de Fig.31 traslacin. sta consiste simplemente en la repeticin de los mdulos a lo largo de un eje axial, de traslacin o deslizamiento, los cuales van aumentando o disminuyendo de tamao pero sin variaciones de forma, color o textura. (Fig. 32).

Cabe destacar que la diferencia entre la extensin traslatoria (Fig. 29) y la simetra de traslacin homeomtrica (Fig. 30), radica en que en esta ltima los mdulos a parte de cambiar de tamao,

Fig.33 tambin varan en su forma. La simetra de reflexin traslatoria, o comnmente conocida como simetra alternada, se caracteriza por la distribucin reflejada y trasladada de los motivos o mdulos a lo largo de un eje axial, de traslacin o deslizamiento. Al igual que en los casos anteriores, se presentan las variantes isomtricas (Fig. 33), homeomtricas (Fig. 34) y

Fig.34 catamtricas (Fig.35). La combinacin de la simetra de reflexin traslatoria alternada, con la simetra de extensin traslatoria da como resultado un tipo de simetra que se conoce como simetra de extensin reflejo traslatoria. sta consiste en el crecimiento o

Fig.32

Fig.35



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en el decrecimiento uniforme, reflejado y trasladado de los motivos o mdulos a lo largo de un eje axial, de traslacin o deslizamiento. Aunque suene algo complejo el describirla tcnicamente, realmente es una de las formas de simetra ms simple y comn en la naturaleza. Se la encuentra frecuentemente en la distribucin de las ramas de los rboles, en las nervaduras de las hojas (Fig. 36), en la distribucin de las hojas de plantas como los helechos (Fig. 37) etc. Sin

Fig. 36 pretender agotar el mostrario de posibles simetras traslatorias respecto a las lneas rectas, otro tipo que vale mencionar es la simetra de reflexin rotatoria. Esta consiste en la reflexin especular de los mdulos o motivos rotados sobre s mismos. Al igual que en lo casos anteriores, se presentan las variantes isomtricas (Fig. 38), homeomtricas (Fig. 39) y catamtricas.

Fig. 37 Fig. 38 Fig. 39

La simetra por extensin refleja es la combinacin de la simetra de reflexin especular con la simetra de extensin. La principal caracterstica de sta es que el punto de extensin no se desplaza, sino que las reflecciones van creciendo y se van superponiendo unas sobre otras. sta es una simetra esencialmente

homeomtrica, pues la aplicacin de la isometra en este caso resultara en una simple simetra bilateral ya que al reflejar y superponer la misma forma no se vera la diferencia. En la figura 40, tenemos un ejemplo de una simetra por extensin refleja homeomtrica y en la figura 41, lo que podra ser un ejemplo de una simetra por extensin refleja catamtrica.

Fig.40 Fig.41



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Las simetras axiales respecto a lneas curvas responden a las mismas caractersticas que las simetras axiales estudiadas anteriormente. La gran mayora de los tipos de simetra respecto a lneas rectas, se puede desarrollar en versiones en relacin a lneas curvas cualquiera sea su forma. Aqu veremos, para ilustrar esta afirmacin, un par de casos de la simetra axial respecto a una lnea curva espiral. En la figura 42 tenemos un ejemplo de una simetra de extensin rotatoria, la cual esta formada por la rotacin y extensin de los mdulos a lo largo de una lnea espiral. Por naturaleza, la extensin o progresin de la forma, hace de esta una simetra esencialmente homeomtrica, lo que no impide que podamos crear versiones catamtricas. En el ejemplo de la figura 43 nos encontramos con lo que podramos llamar una simetra por extensin Fig.42 reflejo-rotatoria espiral, en la cual se combina la rotacin, la reflexin especular y la extensin a lo largo de una curva espiral.

La simetra, al igual que el mdulo, es una forma que hemos extrado de la observacin del mundo natural. El estudio de los diferentes tipos de simetras se origin a partir de las investigaciones botnicas, siendo el reino vegetal el que presenta la mayor variedad. En el reino animal la norma es la simetra bilateral homeomtrica. Al comparar en la figura 19, el rostro humano en su condicin natural, con los reconstruidos isomtricamente a partir de una foto, podemos constatar, cmo la simetra bilateral homeomtrica crea un rostro que podemos sentir ms natural que los otros dos. Este fenmeno se da igualmente en el campo de la Fig. 43 arquitectura. La mayora de la gente, ante una arquitectura verncula, percibe una sensacin de organicidad, de naturalidad que se ha perdido en las construcciones de los arquitectos actuales. Cuando un arquitecto o un ingeniero, copia una topologa verncula, la perfecciona y racionaliza todas las medidas, forzando la tipologa de la edificacin hacia la simetra bilateral isomtrica.

Esto aniquila el espritu natural que le proporciona a la arquitectura verncula su instintivo apego a la simetra bilateral homeomtrica. Generalmente se cree que slo existe un tipo de simetra, la bilateral isomtrica, pero cmo hemos tenido oportunidad de estudiar, la simetra es un rea de estudios mucho ms compleja de lo que se cree y es una fuente de inspiracin y de riqueza para la creatividad en el diseo.



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1 Wolf, K.L. et al. 1959.

2 El Pequeo Laurose Ilustrado.1998.

3 Diccionario en lnea de la Real academia Espaola .http://buscon.rae.es/draeI/.







10 Wolf, K.L. et al. 1959.

11 Wolf, K.L. et al. 1959.

12 Wolf, K.L. et al. 1959.

13 Wolf, K.L. et al. 1959.

14 Wolf, K.L. et al. 1959.

15 http://en.wikipedia.org/wiki/Utopia.



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