Simetría y PoliedrosSimetría y Poliedros

Javier BrachoJavier Bracho(Roli)(Roli)

60 años de la 60 años de la SMMSMM

UAM-I, Junio 2003UAM-I, Junio 2003

Los Sólidos PlatónicosLos Sólidos Platónicos

El Tetraedro{3,3}

El Cubo o Hexaedro

{4,3}

El Octaedro{3,4}

El Dodecaedro{5,3}

El Icosaedro

{3,5}

¿Y en otras ¿Y en otras dimensiones qué?dimensiones qué?

…….¿Su desendencia?.¿Su desendencia?

En dimensión 2En dimensión 2

Polígono regular de n lados, {n}:Polígono regular de n lados, {n}:

Tiene muchas simetrías:tantas como es posible.

Está hecho de vértices y aristas,y cualquier par

v < a

se puede mandar en cualquier otropor una isometría.

SimSim++{n}{n}

n rotaciones

“Grupo cíclico”

y además:n reflexiones

“Grupo diédrico”

yy SimSim{n}{n}

SimSim++{4,3}{4,3}

Rotacionesen caras:

6 (/2) + 3 () = 9

{4,3}{4,3}

{{{4},4},3}3}

……SimSim++{4,3}{4,3}

Rotacionesen vértices:

8 (2/3)

Rotacionesen aristas:

6 () # Sim# Sim++{4,3} ={4,3} =

9 + 8 + 6 + 1 = 249 + 8 + 6 + 1 = 24

La identidad (0)

{3,4}{3,4} {3,4} = {3,4} = {4,3}*{4,3}*

dual

SimSim++{3,4} = {3,4} = SimSim++{4,3}{4,3}

El octaedro

{3,3}{3,3}El tetraedro

SimSim++{3,3} {3,3} SimSim++{4,3}{4,3} # = 12# = 12

yy

{3,3} = {3,3}*{3,3} = {3,3}*

Estos tres se generalizan:Estos tres se generalizan:

El n-simplejo,El n-simplejo,

{3,3,…,3} :{3,3,…,3} :

Rn

El hiperoctaedro,El hiperoctaedro, {3,3,….,4} = {3,3,….,4} =

<e<e11,-e,-e11,…,e,…,enn,-e,-enn>>

El n-cubo,El n-cubo, {4,3,….,3} ={4,3,….,3} = I I ‰‰ ‰‰‰‰

casco convexo

El hipercubo {4,3,3} El hipercubo {4,3,3} RR44

{{4,3},3}{{4,3},3}

Proyecciones de RProyecciones de R44 a R a R33

Ortogonal:Ortogonal:

Desde un punto:Desde un punto:

El hiperdodecaedro El hiperdodecaedro {5,3,3}{5,3,3} La construcción de Coxeter (1910-2003)La construcción de Coxeter (1910-2003)

……y su y su proyecciproyección ón ortogonal..ortogonal....

“ “ SO(3) = PSO(3) = P3 3 ””

Rotaciones de la esfera, S2 …

Bola sólida, B3, identificando antípodas en la frontera de S2.Pues,

rotar en v = rotar en -v

...se parametrizan por una dirección y unángulo <

i.e. por un vector

v

con v S2

R3

S2

id

SO(3) vSO(3) visto en Sisto en S33

Rotaciones de ángulo 2

Rotaciones Rotaciones de ángulo de ángulo

12 de 12 de

22/5 /5

12 de 12 de

44/5 /5

SimSim++{5,3} {5,3} SO(3)SO(3) “ “””SS33

Rotaciones en caras: Rotaciones en caras:

… … SimSim++{5,3}{5,3}

20 de 20 de 22/3 /3

Rotaciones en Rotaciones en vertices: vertices:

15 de 15 de

Rotaciones en Rotaciones en aristas: aristas:

24 + 20 + 15 + 1 = 6024 + 20 + 15 + 1 = 60

SimSim++{5,3} {5,3} SO(3) SO(3) “ “” S” S33

/5

/3/5

/2

son 120

puntos en SS33

Tomamos sus hiperplanos tangentes y Tomamos sus hiperplanos tangentes y

queda el queda el {5,3,3} (“120-cell”) {5,3,3} (“120-cell”)

“ ”

Su proyeccion ortogonalSu proyeccion ortogonal

El {5,3,3} tiene su dual El {5,3,3} tiene su dual {3,3,5}{3,3,5}

hecho de 600 tetraedroshecho de 600 tetraedros

Otro, que es autodual:Otro, que es autodual:

{3,4,3}{3,4,3} hecho de 24 octaedros,hecho de 24 octaedros,

asociado a Simasociado a Sim++{3,3}{3,3}

AdemAdemás, en Rás, en R44 hay: hay:

Teorema. No hay mTeorema. No hay máás s politopospolitopos regulares regulares convexos.convexos. es decir:es decir:

Además de {3,3,…,3}, {3,3,…,4}, Además de {3,3,…,3}, {3,3,…,4}, {4,3,…,3},{4,3,…,3},

sólo hay:sólo hay: En REn R22

{n}{n}

En REn R33

{3,5}{3,5}

{5,3}{5,3}

En REn R44

{3,3,5}{3,3,5}

{5,3,3}{5,3,3}

{3,4,3}{3,4,3}