SIMETRAS DE ONDAS PERIDICASLas simetras permiten calcular ms fcilmente los coeficientes de Fourier de una seal peridica x (t).Tipos de Simetras: Par Impar Media Onda EscondidaCombinaciones de esta simetraSi una funcin tiene simetra de media onda y adems es funcin par o impar, se dice que tiene simetra de cuarto de onda par o impar.a) Par + Media Onda = Cuarto de Onda Parb) Impar + Media Onda = Cuarto de Onda Impar

Simetra de Media OndaUna funcin peridica de periodo T se dice simtrica de media onda, si cumple la propiedad. Es decir, si en su grfica las partes negativas son un reflejo de las positivas pero desplazadas medio periodo.

Determinacin de la simetra con un funcin XEn este caso x(t) cumple con lo siguiente:x(t) = - x(t +/- T/2)Para darnos cuenta si una funcin peridica tiene simetra de media onda hacemos lo sig.:

Las seales x (t) que tienen simetra de media onda tienen an y bn distintos de cero para n impares y valen 0 para los n pares. Vamos a demostrar esto para los an ya que para los bn es similar.Partimos de la definicin del an:

Reemplazando en la primera integral x (t) por - x (t + T/2) obtenemos:

Haciendo la sustitucin u = t + T/2 tenemos:

Simetra de Cuarta Ondaa) Simetra de cuarto de Onda Par: Se denomina as a una seal x (t) que tenga simetra de media onda y adems sea par. Las expresiones para an y bn son:

b) Simetra de cuarto de Onda Impar: Se denomina as a una seal x (t) que tenga simetra de media onda y adems sea impar. Las expresiones para an y bn son:

Porqu se llama simetra de cuarto de onda par o impar?Tomemos por ejemplo la seal x1(t) dibujada anteriormente, como es de cuarto de onda impar, significa que tiene simetra de media onda y es impar, por lo tanto solo tendr bn distintos de 0 con n impares.

Como vemos de la definicin del bn este coeficiente es 2 / T multiplicado por una integral, pero esa integral representa un rea, dibujemos entonces esa rea que es el producto de x1(t) con el Sen(n t), y para hacer las cosas ms fciles graficaremos el seno para n=1 como si estuvisemos calculando el coeficiente b1, para los dems coeficientes el anlisis es similar.

Entonces el coeficiente b1 sera el rea graficada en el ltimo grafico integrada entre -1 y 1. Pero si observamos detenidamente el grafico vemos que esa rea est compuesta de 4 reas exactamente iguales.

Es decir que toda la informacin que se necesita para calcular el coeficiente b1 est contenida en solo del periodo. Por eso se llama simetra de cuarto de onda!

Simetra escondidaMediante desplazamientos en el eje de las ordenadas y/o de las abscisas se define una nueva seal y (t) a la cual es ms fcil calcularle los coeficientes de Fourier. Una vez hecho esto se vuelve a la seal original x (t).

Primero hacemos el desplazamiento en el eje de las ordenadas, quedando y(t) = x(t) xo , luego la desplazamos en el eje de las abscisas, obteniendo finalmente y(t) = x(t + to) xoLuego calculamos la serie de y(t), obteniendo:

Por ultimo volvemos a la serie original despejando x(t), para ello, resto to en el eje t en toda la ecuacin:y(t to) = x (t + to to) xo , quedando x(t ) = y(t to) + xoLuego reemplazamos la serie calculada y ya tenemos la serie para x (t) que era lo que buscbamos.