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Sistemas de simplificacin
06
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Sistemas de simplificacin 1
06
ndice
OBJETIVOS ........................................................................................................ 3
INTRODUCCIN ................................................................................................. 4
6.1. Mtodos minterm y maxterm .................................................................... 5
6.1.1. Expresin lgica minterm ..................................................................... 6
6.1.2. Expresin lgica maxterm .................................................................... 7
6.2. Puerta nand para todas las aplicaciones ................................................. 9
6.3. Simplificacin por lgebra de boole....................................................... 13
6.3.1. Diagrama de Karnaugh ...................................................................... 13
6.3.1.1. Diagramas de Karnaugh para dos variables ................................ 13
6.3.1.2. Diagrama de Karnaugh de tres variables..................................... 15
6.3.1.3. Diagrama de Karnaugh para cuatro variables ............................. 18
6.3.1.4. Diagramas de Karnaugh para cinco variables ............................. 22
RESUMEN ......................................................................................................... 25
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Sistemas de simplificacin 3
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Objetivos
Introducirse en los conceptos de simplificaciones de ecuaciones algebraicas, tema siempre importante si buscamos optimizacin y reduccin de costes.
Identificar los ltimos conceptos importantes que necesita el diseador de circuitos lgicos para acometer sus aplicaciones con xito.
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Introduccin
Si usted est o ha estado en contacto con el mundo de la tecnologa y aplicacin
prctica, en cualquiera de los mltiples campos que tiene (industrial, comercial),
sabr que siempre se ha buscado la optimizacin y abaratamiento de instalaciones,
aplicaciones y montajes.
La electrnica digital no es una excepcin, por lo que es necesaria la existencia de
tcnicas que busquen la mxima rentabilidad, tanto en materiales como en
complejidad de los circuitos, mxime cuando esta materia se encuentra
ampliamente difundida y trabajando en estrecha colaboracin con otras.
El sentido de los sistemas de simplificacin se entiende como aquellas tcnicas y
desarrollos encaminados a proporcionar un camino ms fcil al diseador, con el
consiguiente ahorro de tiempo y dinero, todo ello unido a la simplicidad de circuitos
y la reduccin de material empleado.
Veremos en profundidad una de las tcnicas ms empleadas: el mtodo de
simplificacin de Karnaugh, que consigue reducir las ecuaciones lgicas ms
complicadas a otras mucho ms sencillas de aplicar y resolver, mediante puertas.
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6.1. Mtodos minterm y maxterm
Cuando se quiere disear un circuito combinacional con puertas lgicas, lo primero
que se debe conocer es el enunciado del problema, y en nuestro caso, es el
proceso de funcionamiento que deseamos tener.
Cualquier circuito combinacional puede tener varias entradas y salidas. El siguiente
paso es hallar la tabla de verdad, en funcin de las condiciones que nos plantee el
enunciado del problema. En la Figura 1 puede verse el esquema de cualquier
circuito combinacional con varias entradas (n) y varias salidas (m).
A
B
C
S0
S1
Sm
Circuito
combinacional
n
Figura 6.1. Circuito combinacional de n entradas y m salidas.
Como ejemplo vamos a realizar la tabla de verdad de una ecuacin lgica que muy
bien podra responder a un caso prctico:
S0=1 si A=C AB
FILA A B C S0 S1
0 0 0 0 1 1
1 0 0 1 1 1
2 0 1 0 1 0
3 0 1 1 1 0
4 1 0 0 0 0
5 1 0 1 1 1
6 1 1 0 0 1
7 1 1 1 1 1
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6.1.1. Expresin lgica minterm
Para realizar un primer estudio de esta expresin nos basaremos en la siguiente
tabla:
N de fila A B C S0
0 0 0 0 0
1 0 0 1 0
2 0 1 0 1
3 0 1 1 0
4 1 0 0 0
5 1 0 1 0
6 1 1 0 1
7 1 1 1 0
Como se puede observar la salida es 1 en las filas 2 y 6; es decir, solo dos
combinaciones de las variables de entrada generan un 1 a la salida. Si las
analizamos vemos que en la fila 2 hay un 1 en la salida, si A es 0, B es un 1 y C es
0; en la 6 hay un 1, si A es 1, B es 1 y C es 0. Vemos reflejadas las expresiones
Booleanas de cada fila.
Fila 2 A B C
Fila 6 A B C
Donde hay un 0, ponemos la entrada correspondiente negada y, donde hay un 1, la
ponemos sin negar.
Nos falta completar la funcin lgica de la tabla de verdad. Esta se consigue con la
suma de los productos, o sea, hay que relacionar las expresiones lgicas de cada
fila con una funcin lgica OR. La funcin S resulta:
S A B C A B C
Para conseguir la expresin Minterm de dos salidas de la primera tabla de verdad
observamos que las filas 0, 1, 2, 3, 5 y 7 de S0 estn a 1.
S1, tiene salida 1 en las filas 0, 1, 5, 6 y 7 por lo que tendremos que realizar la
suma lgica de los productos de cada una de las filas. La expresin Minterm es la
siguiente:
S0 ABC ABC ABC ABC ABC ABC
S1 ABC ABC ABC ABC ABC
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En el siguiente recuadro dibujamos el circuito con puertas AND, OR e inversores.
ABCA B C
S0
S1
6.1.2. Expresin lgica maxterm
Esta forma de expresin se desarrolla con los ceros que hay en la salida en vez de
con los unos, como ocurra con la expresin Minterm. Para realizar este estudio
utilizaremos nuevamente una tabla de verdad con tres variables de entrada y una
salida.
n de filas A B C S
0 0 0 0 1
1 0 0 1 0
2 0 1 0 1
3 0 1 1 1
4 1 0 0 1
5 1 0 1 0
6 1 1 0 1
7 1 1 1 0
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En la tabla se observa que en las filas 1, 5 y 7 hay un 0 en la salida. A partir de este
dato se extraen las variables de entrada que a la salida generen un 0 se invierten y
se unen entre ellas con una suma lgica, con lo que cada fila queda as:
Fila 1 A B C
Fila 5 A B C
Fila 7 A B C
La ecuacin lgica en la expresin Maxterm se consigue con el producto de las
sumas, es decir, hay que unir las expresiones de cada fila mediante puertas AND.
La funcin completa es:
S0 (A B C)(A B C)(A B C)
Y el esquema practico con puertas OR, AND e inversores:
A B C C B A
S
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6.2. Puerta nand para todas las aplicaciones
Hemos visto hasta ahora circuitos resueltos con puertas OR, AND e inversores,
pero la realidad es que los fabricantes producen infinidad de circuitos integrados
basados en las puertas NAND, debido a su bajo coste.
No resulta extrao pues que casi todos los circuitos combinacionales estn
diseados con este tipo de puertas.
Para realizar esta conversin utilizamos los teoremas de Morgan aprendidos en
captulos anteriores y los aplicaremos ahora a las expresiones Minterm y Maxterm.
A B C S
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
Con esta tabla de verdad, vamos a disear un circuito combinacional de tres
entradas y una salida, donde la salida sea 1, cuando una y solo una, de las
entradas A y B est a 0, y la entrada C este a 1. En los dems casos la salida es 0.
El circuito lo disearemos con puertas NAND.
Para pasar a puertas NAND es mucho ms cmodo utilizar la expresin Minterm,
independientemente de que en este caso concreto, hay dos salidas a 1 y la forma
Minterm sea la ms simple.
La expresin quedara as:
S ABC ABC
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Aplicando el teorema de Morgan convertimos la funcin en puertas NAND.
S ABC ABC ABC ABC
Una vez conseguido este objetivo dibujaremos el esquema correspondiente.
A B C C B A
S
EJEMPLO 1
Disea el esquema de puertas lgicas del circuito combinacional a partir de la
expresin Minterm que resuelve la siguiente tabla de verdad.
S0 ABC ABC ABC
S1 ABC ABC
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A B C C B A
S0
S1
A B C S0 S1
0 0 1 0 0
0 0 0 0 1
0 1 1 0 0
0 1 0 1 0
1 0 1 1 0
1 0 0 1 1
1 1 1 0 0
1 1 0 0 0
EJEMPLO 2
En un proceso industrial con 8 estados diferentes, se desea que se active un
ventilador de refrigeracin en los estados 0, 2, 5 y 7. El nmero de estado, es un
cdigo de tres bits en binario natural que suministra un ordenador de control.
Disear el circuito de control del ventilador con puertas NAND de modo que sea lo
mas simple posible.
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Realizando la tabla de verdad, las filas que generan un uno son: 0, 2, 5, 7.
Fila 0 ABC
Fila 2 ABC
Fila 5 ABC
Fila 7 ABC
S (A B C)(A B C)(A B C)(A B C)
Aplicando De Morgan:
S ABC ABC ABC ABC
S ABC ABC ABC ABC
A B C C B A
S
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6.3. Simplificacin por lgebra de boole
Hasta ahora, hemos obtenido funciones a travs de las tablas de verdad, pero estas
expresiones se pueden simplificar en la mayora de los casos.
El mtodo de simplificacin de funciones con el lgebra de Boole es difcil y
laborioso, por lo que no es muy utilizado.
6.3.1. Diagrama de Karnaugh
Los mtodos de simplificacin estudiados hasta ahora, pueden resultar muy
complicados cuando el nmero de salidas activadas o el nmero de variables
aumenta, por lo que es conveniente utilizar otros mtodos.
Una de las tcnicas ms simples es el mtodo de los diagramas de Karnaugh,
ideado en 1953 por Maurice Karnaugh. Este mtodo se basa en los teoremas del
lgebra de Boole para simplificar grficamente las expresiones lgicas,
generalmente se parte de la expresin Minterm, ya que es ms cmodo.
6.3.1.1. Diagramas de Karnaugh para dos variables
Este tipo de diagrama no se usa en la prctica ya que simplificar una funcin con
dos variables es bastante simple, pero nos vendr muy bien para acceder a este
tipo de sistema.
Partiremos de la tabla de verdad de la siguiente pgina, concretamente de una
puerta OR. El primer paso es sacar de esta tabla la expresin Minterm. En la tabla
pondremos tambin el nmero de fila, ya que nos ser til a la hora de pasar los
datos a los diagramas.
n de fila A B S
0 0 0 0
1 0 1 1
2 1 0 1
3 1 1 1
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De la tabla se deduce que:
S AB AB AB
El paso siguiente consiste en dibujar el mapa de Karnaugh de dos variables.
Las variables de entrada se colocan: una, en la COLUMNA A y la otra en la FILA B
tomando los dos valores posibles. De esta forma a cada cuadro le corresponden
una, de las cuatro expresiones posibles.
Una vez que tenemos dibujado el diagrama, debemos rellenarlo. El procedimiento
consiste en poner un 1, en el cuadro correspondiente a la combinacin de entrada
que activa la salida.
B0 1
A
0
1
A B A B
10
A B A B
3
1
1
0
0
1 1
2 2 21
0
B
A
Una vez completado el diagrama, pasaremos a enlazar los grupos que contengan
un nmero de unos que sea potencia de dos (2, 4, 8, etc.).
En la siguiente figura podemos ver los posibles agrupamientos que se pueden dar
en este caso. No debe quedar ningn uno sin agrupar. Cada grupo de unos,
produce un trmino en la expresin Minterm simplificada.
10
1
0
B
A
0 11
11
2 3
B
A
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El paso siguiente es el de simplificacin, que consiste en eliminar variables. En
cada agrupacin se comparan las variables de entrada y se eliminan las que dentro
de la agrupacin estn complementadas y sin complementar, esto es, se eliminan
las variables que cambien de valor dentro de la agrupacin, ya que la salida no
depende del valor que tomen dichas variables.
Si observamos la agrupacin anterior y comparamos la variable B, vemos que en
los dos cuadros sta no cambia, por lo que no es eliminada. Al comparar la variable
A, vemos que sta toma el valor de 0 y 1 en la misma agrupacin, o sea, el valor de
la variable y su complementario y, por lo tanto, es eliminada. La expresin lgica de
esta agrupacin, antes de ser simplificada era:
AB AB AB
La expresin simplificada es B.
La expresin Minterm final simplificada queda:
S A B
Esta expresin es la de la puerta OR de dos entradas.
6.3.1.2. Diagrama de Karnaugh de tres variables
Cuando hay tres variables de entrada se consiguen 8 posibles combinaciones.
El mapa de Karnaugh de 3 variables debe tener 8 cuadros dispuestos como indica
la figura
BC
6754
2310
00 01 10
0
1
A11
La variable de mayor peso A, est en vertical y las de menor peso B y C en
horizontal. El valor que toma B en cada cuadro es el de la izquierda, y el que toma
C es el de la derecha de las columnas. El orden seguido de la numeracin de B y C,
no es cdigo binario, sino Gray, ya que en ste cdigo cambia un solo bit en cada
paso de conteo.
En cada cuadro aparece un nmero que indica el valor decimal de la combinacin
binaria. Este nmero permitir colocar los unos en su correspondiente recuadro con
mayor rapidez.
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Las agrupaciones y la simplificacin de variables son iguales que en el caso de dos
variables.
Si con los primeros ejemplos de este captulo, de los que tenemos la tabla de
verdad y las expresiones Minterm, diseramos un circuito con puertas NAND y lo
simplificramos a travs de los mapas de Karnaugh, el primer paso que tendramos
que dar sera realizar un diagrama de Karnaugh para cada salida, como se ve a
continuacin.
Imaginemos un circuito cuyas expresiones Minterm de las salidas S0 y S1 son:
S0= CAB
S1= ABC ABC ABC ABC ABC
En este caso S0 slo tiene un trmino, de modo que no es posible realizar ninguna
agrupacin y tampoco ninguna simplificacin.
La expresin simplificada es la misma que ya tenamos:
S0 ABC ABC
En la salida S1 tenemos 5 unos. Los llevamos al mapa de Karnaugh y los
agrupamos dos a dos, ya que no es posible realizar una agrupacin de cuatro.
00 1001
AC BCBC
S1BC
A
10
1
1 1 1
1
11
1
3 2
6754
0
Una vez agrupadas, se procede a la agrupacin tal como hemos hecho
anteriormente.
La expresin simplificada es la siguiente:
S1 BC BC AC
Si aplicamos de Morgan para pasarlo a puertas NAND queda:
S1 BC BC AC BCBCAC
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En el siguiente esquema se muestra la mejora obtenida con respecto al circuito con
puentes sin simplificar.
Mejora un circuito a travs de los mapas de Karnaugh.
A B B C C
S0
S1
En los diagramas de 3 variables se consideran adyacentes los cuadros 0 y 2, 4 y 6,
o sea, en el ejemplo anterior, la agrupacin entre los cuadros 4 y 6 hubiese sido
correcta. No la hemos empleado porque los cuadros 4 y 6, ya estaban agrupados
con otros cuadros y crear ms agrupaciones de las necesarias, complica la
expresin final.
En este tipo de esquemas es fcil encontrar agrupaciones de cuatro unos, como en
las dos siguientes figuras:
00 01 11 10
0
1 1 1 1 1
BC
A
S = A
00 01 11 10
0
1
BC
A
S = C
1
1
1
14 5 7 6
0 1 3 2
4 5 7 6
0 1 3 2
En este tipo de agrupacin, comparamos los cuatro cuadros a la vez y
comprobamos que la nica variable que no cambia en los cuatro cuadros, es la A
en la figura de la izquierda, con lo que la funcin final simplificada queda: S=A.
En la figura anterior derecha, tambin debemos comprobar los cuatro cuadros a la
vez. La variable que no cambia es la B, que vale 0 en los cuatro cuadros. Con lo
que la funcin final es:
CS
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6.3.1.3. Diagrama de Karnaugh para cuatro variables
Un diagrama de 4 variables, tiene 16 combinaciones diferentes, as pues, debemos
tener 16 cuadros
CD
AB 00 01 11 10
12
00
01
11
10
13 15 14
8 9 11 10
4 5 7 6
0 1 3 2
En esta figura se muestra un diagrama de Karnaugh de 4 Variables. En l,
observamos que las variables de mayor peso estn en vertical (A B) y las de menor
peso estn en horizontal (C y D).
Los cuadros de la fila de arriba se consideran adyacentes con los de la fila de
abajo, o sea, el 0 con el 8, y el 2 con el 10, y as, todos los de la fila. Se considera el
mapa como un cilindro horizontal y verticalmente; as pues, los cuadros de la
columna 10 se consideran adyacentes a los de la columna 00, y lo mismo ocurre
con las filas. En la prxima figura representamos estas posibles agrupaciones.
POSIBLES AGRUPACIONES
CD
AB 00 01 11 10
12
00
01
11
10
13 15 14
8 9 11 10
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4 5 7 6
0 1 3 2
Otra posible agrupacin es la de cuatro esquinas (se considera que el diagrama es
una esfera y los cuatro vrtices estn unidos).
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CD
AB 00 01 11 10
12
00
01
11
10
13 15 14
8 9 11 10
1
1
1
1
4 5 7 6
0 1 3 2
La expresin que resulta comparando los cuatro cuadros es:
En los mapas de cuatro variables podemos encontrar agrupamientos de 8 unos.
Para realizar esta simplificacin se deben comparar los ocho a la vez.
Describimos a continuacin una de estas agrupaciones.
CD
AB 00 01 11 10
12
00
01
11
10
13 15 14
8 9 11 10
1 1 1 1
1 1 1 1
4 5 7 6
0 1 3 2
Si comparamos a la vez los 8 cuadros, observaremos que la nica variable que no
cambia de valor en los ocho cuadros es la A (vale 1) .La expresin final es:
S = A.
Vamos a hacer un ejercicio relacionado con el tema, partiendo de una tabla de
verdad.
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La tabla de verdad del ejercicio es la siguiente:
n de fila A B C D S0 S1
0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 1 0
2 0 0 1 0 0 1
3 0 0 1 1 1 0
4 0 1 0 0 0 0
5 0 1 0 1 1 0
6 0 1 1 0 0 1
7 0 1 1 1 1 1
8 1 0 0 0 0 1
9 1 0 0 1 1 1
10 1 0 1 0 0 0
11 1 0 1 1 1 0
12 1 1 0 0 0 1
13 1 1 0 1 1 1
14 1 1 1 0 1 0
15 1 1 1 1 1 0
Si sacamos de la tabla las expresiones Minterm, tendremos 9 trminos en la
expresin de S0 y 7 en la S1, pero no es necesario sacarlas. De la tabla de verdad
podemos llevar directamente los unos al mapa de Karnaugh, donde a cada cuadro
le corresponde un n igual al n de fila. Esta correspondencia facilita el paso de la
tabla al diagrama.
Estos diagramas de Karnaugh corresponden a la tabla de verdad anteriormente
expuesta:
CD
AB 00 01 11 10
00
108 9 11 10
1211
13 15 14
01
1
1
1
1
1
1
1
1
1
CD
AB 00 01 11 10
00
108 9 11 10
1211
13 15 14
01
1
1 1
S0 S1
1 1
1 14 5 7 6
0 1 3 2
4 5 7 6
0 1 3 2
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Las expresiones resultantes son ms simples que las que podamos haber obtenido
al principio.
S0 = D + A B C = ABCD
S1 = AC + BCA + A C D = DCABCACA
En la siguiente figura se muestra el esquema final con puertas NAND.
A B C D A B C D
S0
S1
Cuando nos encontramos con una configuracin de tres unos adyacentes dos a
dos, como en el siguiente diagrama, la solucin es realizar dos agrupamientos, de
tal forma que el 1 que est en el centro, se agrupe dos veces, una vez con cada
uno de los extremos: S= ABC+ABD
CD
AB 00 01 11 10
00
108 9 11 10
1211
13 15 14
01
1
CD
AB 00 01 11 10
00
108 9 11 10
1211
13 15 14
01
1
1
11
1
S=ABC+ABD S=ACD+BCD
4 5 7 6
0 1 3 2
4 5 7 6
0 1 3 2
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Como siempre, vamos a resolver un ejercicio que nos aclarar este concepto.
Simplificar mediante los diagramas de Karnaugh las siguientes expresiones
Minterm:
En la siguiente figura representamos el diagrama de S0 con los respectivos
agrupamientos. La funcin simplificada es:
CD
AB 00 01 11 10
00
108 9 11 10
1211
13 15 14
01
CD
AB 00 01 11 10
00
108 9 11 10
1211
13 15 14
01
1
1 111
11
1
S0 S1
4 5 7 6
0 1 3 2
4 5 7 6
0 1 3 2
En la figura de la izquierda, representamos el diagrama de la funcin S1, en el que
es posible realizar dos agrupaciones. La funcin final simplificada es:
S1 ABD ABC
6.3.1.4. Diagramas de Karnaugh para cinco variables
Para realizar la simplificacin por el mtodo de Karnaugh, cuando hay 5, o ms
variables de entrada, se utiliza un diagrama de 32 casillas, tal y como se muestra
en la figura siguiente.
CDE
AB 000 001 011 010
00
1016 17 19 18
2411
25 27 26
8 9 11 1001
110 111 101 100
30 31 29 28
11
11
14 15 13 12
22 23 21 20
0 1 3 2 4 5 7 6
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Para realizar los agrupamientos y las simplificaciones, se usan las mismas normas
que en agrupaciones con menos variables. La nica diferencia es que hay que
dibujar una lnea central ms gruesa, para no considerar adyacentes cuadros como
el 4 y el 6, o el 8 y el 10, y todos los que estn al borde de esa lnea con los
cuadros del exterior, siempre que estn al mismo lado de la lnea gruesa (que en el
dibujo anterior, representamos como una separacin). Siendo adyacente el 0 con el
6.
Simplificar mediante Karnaugh la expresin lgica siguiente:
S1 ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE
ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE
Llevamos los trminos de esta ecuacin a los diagramas de Karnaugh, tal como
indica la siguiente figura. Ahora, se debe proceder a realizar las agrupaciones y las
simplificaciones.
CDE
AB 000 001 011 010
00
1016 17 19 18
2411
25 27 26
8 9 11 1001
110 111 101 100
30 31 29 28
1
1
1114 15 13 12
22 23 21 20
1
1
1
1
1
1
1
0 1 3 2 4 5 7 6
DBCAEDCAEDS
Se pueden realizar tres agrupamientos: uno de ocho, dos de dos. El resultado de
las simplificaciones es:
DBCAEDCAED0S
En ste tipo de diagramas se pueden realizar agrupaciones de 16 unos. La
simplificacin de estas agrupaciones es muy fcil: se eliminan cuatro variables y
solamente queda una.
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CDE
AB 000 001 011 010
00
1016 17 19 18
2411
25 27 26
8 9 11 1001
110 111 101 100
30 31 29 28
14 15 13 12
22 23 21 20
0 1 3 2 4 5 7 6
1 11 1 11 1 1
1 11 1 11 1 1
En caso de que tengamos 6 variables de entrada, crearemos un diagrama que
tenga las tres variables de mayor peso en vertical, y las tres de menor peso en
horizontal, con lo que el nmero de cuadros ser 64.
DEF
ABC 000 001 011 010
000
01016 17 19 18
24011
25 27 26
8 9 11 10001
110 111 101 100
30 31 29 28
14 15 13 12
22 23 21 20
110
10032 33 35 34
40101
41 43 42
111
46 47 45 44
38 39 37 36
48 49 51 50 54 55 53 52
56 57 59 58 62 63 61 60
0 1 3 2 4 5 7 6
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Electrnica Digital
Sistemas de simplificacin 25
06
Resumen
El sistema ms intuitivo y sencillo para la conversin de tablas de verdad a ecuaciones lgicas, es el llamado Minterm y Maxterm, aunque para sistemas
con muchas variables no es aconsejable su uso.
La facilidad de fabricacin e implementacin de las puertas NAND, hace que los diseadores intenten adecuar el formato de sus circuitos a las mencionadas
puertas.
El mtodo ms empleado para la simplificacin de ecuaciones lgicas es el de Karnaugh, consistente en la realizacin de una serie de grficos, en los cuales, y
siguiendo unas sencillas reglas, podemos llegar a obtener ecuaciones sencillas,
optimizando nuestros montajes prcticos.