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SIMULACIN: con enfoque de competencias
47
Instituto Tecnolgico de Aguascalientes Ingeniera Industrial
CAPTULO 2
GENERACIN DE NMEROS ALEATORIOS
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Generacin de nmeros aleatorios
48
M. C. Sergio Humberto Romo Picazo
Captulo 2
Generacin de Nmeros Aleatorios
Competencias de la Unidad
Conocer la diferencia entre nmeros aleatorios y pseudoaleatorios.
Generar, a travs de varias tcnicas matemticas, nmeros pseudoaleatorios.
Realizar las pruebas estadsticas de aleatoriedad y establecer las
conclusiones correspondientes para los nmeros pseudoaleatorios generados.
Explicar, con base en las pruebas estadsticas, por qu algunos mtodos o
parmetros para la generacin de nmeros pseudoaleatorios no son
confiables.
SUMARIO
Nmeros aleatorios: definicin, propiedades, generadores y tablas
Propiedades de los nmeros pseudoaleatorios.
Generacin de nmeros pseudoaleatorios
Pruebas estadsticas de aleatoriedad para los nmeros pseudoaleatorios: de
medias, de varianza, de independencia y de bondad de ajuste.
Obtencin de nmeros pseudoaleatorios utilizando paquetes computacionales.
Mtodo de Monte Carlo
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2. Generacin de nmeros aleatorios
2.1. Nmeros aleatorios: definicin, propiedades, generadores y tablas
Este captulo trata de un elemento de suma importancia para la realizacin de una
simulacin, la generacin de nmeros aleatorios. En captulo 1 qued asentado de
que la simulacin es una herramienta poderosa es porque imita el comportamiento
aleatorio de los sistemas estocsticos, que son los que vamos a simular en un
momento dado.
Para lograr esta imitacin del comportamiento aleatorio se requiere de una fuente de
nmeros aleatorios as como rutinas para generar variables aleatorias basadas en
alguna distribucin de probabilidad. Se preguntar por qu es necesario esto. En un
banco, por ejemplo, se tienen varias cajas para atender a sus clientes ya sean
habituales o espordicos. La llegada de cualquier cliente no se puede prever ya que
sta ocurrir de manera aleatoria. A la llegada de este cliente puede haber o no
clientes esperando el servicio. Las siguientes llegadas de clientes son tambin
aleatorias. En el caso de los tiempos de servicio, es decir, el tiempo que los clientes
permanecern realizando sus transacciones con el cajero, tambin tiene un
comportamiento aleatorio ya que depender del nmero y caractersticas de las
transacciones que tiene que realizar. En consecuencia, el tipo de llegadas de los
clientes y las caractersticas de los tiempos de servicio harn que se formen o no
colas para la espera del servicio.
Un nmero aleatorio es un nmero generado por un proceso, cuyo resultado es
impredecible, y que no puede ser reproducido subsecuentemente de manera
confiable. Un nmero aleatorio es un resultado de una variable al azar especificada
por una funcin de distribucin. En el ejemplo anterior, una variable aleatoria es el
tiempo entre llegadas de los clientes al banco.
Si deseamos imitar este comportamiento necesitamos de generadores de nmeros
aleatorios y de las rutinas para la generacin de variables aleatorias. Este captulo
muestra cmo generar nmeros aleatorios y cmo asegurarnos de que son aptos
para su uso en la simulacin, en tanto en el captulo 3 se trata de cmo generar
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Generacin de nmeros aleatorios
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M. C. Sergio Humberto Romo Picazo
variables aleatorias y las pruebas a que deben someterse para comprobar su
idoneidad.
Un nmero aleatorio ya que se obtiene al azar, tiene la misma probabilidad de ser
elegido y su eleccin no depende de la eleccin de algn otro. Por ejemplo, al lanzar
un dado el nmero que aparece en la cara superior no depende del nmero que haya
salido en el lanzamiento previo ni el resultado del prximo depende del resultado
actual. El lanzamiento de dados es un ejemplo de generador fsico de nmeros
aleatorios.
Un generador de nmeros aleatorios es un dispositivo que produce secuencias de
nmeros que estadsticamente cumplan con las condiciones de aleatoriedad. Existen
dos clases principales de generadores: generadores de fsicos y de software.
Dispositivos fsicos. Dutang, Christophe and Wuertz, Diethelm (2009) sostienen que
las nicas cosas que son realmente aleatorias, son la medicin de los fenmenos
fsicos, tales como ruidos trmicos de chips semiconductores o fuentes radiactivas.
En el caso de los generadores fsicos LEcuyer (1998), menciona que los nmeros
aleatorios se pueden generar a travs de mecanismos fsicos tales como el tiempo
entre eventos sucesivos en la desintegracin atmica, el ruido trmico en los
semiconductores, y otros similares. De forma que si el dispositivo genera una
corriente de bits, 0 o 1, stos tienen la misma probabilidad de aparecer y ser
independientes de los dems bits.
Desde el punto de la estadstica computacional, los dispositivos fsicos tienen ciertas
desventajas sobre los generados por un generador de nmeros aleatorios. Estas
desventajas las resume LEcuyer (1998) como sigue:
a) Son ms complicados de instalar y ejecutar.
b) Son ms costosos
c) Son ms lentos
d) No se pueden reproducir exactamente en la misma secuencia dos veces.
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Las aplicaciones de este tipo de dispositivos fsicos se encuentran principalmente
para generar semillas de generadores algortmicos, criptografa y mquinas de juego.
Un mtodo para generar estos nmeros consiste en utilizar un dispositivo fsico,
como se mencion anteriormente, pero tambin puede hacerse usando un
aleatorizador electrnico. De esta manera se han generado varias tablas de nmeros
aleatorios, entre las que se encuentra una que contiene un milln de dgitos
aleatorios, publicada por Rand Corporation.
2.2. Propiedades de los nmeros pseudoaleatorios.
El uso de las computadoras posibilit el desarrollo de mtodos de generacin de
nmeros aleatorios. La nica manera de simular algo de aleatoriedad en las
computadoras se lleva a cabo por medio de algoritmos determinsticos. (Dutang,
Christophe and Wuertz, Diethelm, 2009).
Los nmeros aleatorios son un elemento bsico en la simulacin de casi todos los
sistemas discretos. La mayora de los lenguajes y simuladores incorporan una
subrutina o funcin que generar una secuencia de nmeros aleatorios que se usan
para generar las variables aleatorias necesarias para la simulacin.
En realidad la secuencia de nmeros aleatorios que se producen a travs de un
generador de nmeros aleatorios no son estrictamente aleatorios porque al ser
generados por un algoritmo, pueden ser reproducidos tantas veces como se desee.
Por esta razn se conocen como nmeros pseudoaleatorios, (pseudo proviene del
griego y significa falso). Esto quiere decir que para realizar una simulacin vamos
a utilizar nmeros aleatoriamente falsos? En trminos prcticos, se puede decir que
estos nmeros se generan en grandes secuencias que, si pasan las pruebas
estadsticas de aleatoriedad de uniformidad y de independencia, se pueden utilizar
con seguridad. Adems, el hecho de que sean reproducibles nos posibilita hacer las
depuraciones necesarias en los modelos de simulacin y podemos hacer
comparaciones entre distintos modelos de simulacin utilizando la misma secuencia
de nmeros pseudoaleatorios.
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Toda simulacin requiere de un generador de nmeros aleatorios, Harrell, et al
(2003), lo comparan como el corazn del modelo de simulacin bombeando un
conjunto de nmeros aleatorios, segn se vayan requiriendo. Ese conjunto de
nmeros aleatorios deben estar en el intervalo (0,1). Aqu se denotan por .ir Un
conjunto ni rrrr ,,, 21 debe seguir una distribucin uniforme continua. La figura 2.1
muestra la funcin de densidad de probabilidad de esta distribucin.
Los generadores de nmeros aleatorios proporcionan una secuencia de nmeros
321 ,, rrr que deben satisfacer dos condiciones:
1. Uniformidad. Estar uniformemente distribuidos entre cero y uno 10 x , los
cuales se ajustan a la funcin de densidad de probabilidad uniforme continua.
2. Independencia. Los nmeros deben ser independientes entre s. Esta
propiedad es muy importante ya que los nmeros no deben estar
correlacionados.
Figura 2.1 Distribucin uniforme continua (0,1) de un generador de nmeros
aleatorios.
Media de los nmeros aleatorios uniformes entre 0 y 1. La funcin de densidad de
probabilidad de la figura 2.1 indica que los nmeros ir deben tener la misma
probabilidad de ocurrencia. La media o valor esperado de los nmeros aleatorios
entre cero y uno est dada por
)(xf
x
1
1 0
ootrode
xsixf
mod0
101)(
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2
1
2
21
0
1
0
xdxxrE
y la varianza est dada por
12
1
4
1
3
1
2
1
3)()(
21
0
321
0
2
xrEdxxrV
2.3. Generacin de nmeros pseudoaleatorios
Aunque en la seccin 2.5 se abordar el tema sobre la obtencin de nmeros
pseudoaleatorios utilizando paquetes computacionales, y con el propsito de darle
cohesin a la exposicin del tema, es conveniente que en este punto discutamos
cmo generar secuencias de nmeros pseudoaleatorios para posteriormente
proceder a la discusin de las distintas pruebas que se pueden utilizar para
comprobar la idoneidad de las secuencias para su uso en un modelo de simulacin.
Generador de nmeros pseudoaleatorios. Un generador de nmeros
pseudoaleatorios tiene como propsito producir una secuencia de nmero en el
intervalo [0,1] que imite las propiedades ideales de la distribucin uniforme e
independencia tanto como sea posible.
Se mencion anteriormente que le generacin de nmeros pseudoaleatorios acta
como el corazn de la simulacin que debe bombear una gran secuencia de estos
nmeros. Existen muchos mtodos para generar nmeros pseudoaleatorios, sin
embargo, no todas ellas son eficientes, por lo que se deben considerar aspectos
importantes como los siguientes:
1. Rapidez. La rutina o programa de computadora debe ser rpida, es decir, que
debe generar un nmero en el menor tiempo posible.
2. Portabilidad. La rutina debe poderse exportar a cualquier computadora y a
cualquier lenguaje de programacin. Esto asegura que se obtendrn los
mismos resultados independientemente en dnde se ejecute.
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3. Longitud. La rutina debe tener un largo periodo, esto se conoce como longitud
de ciclo o periodo, y representa la longitud de la secuencia de nmeros
pseudoaleatorios (en adelante los denominaremos aleatorios o
pseudoaletorios de manera indistinta). Schmidt y Taylor (1979) definen la
longitud de ciclo como una medida de la cantidad de nmeros que se
generan antes que reaparezca la misma secuencia de nmeros.
4. Reproducibilidad. Ya que se desea ensayar el experimento varias veces, el
generador debe ser apto para reproducir las mismas series de nmero que se
desee. Cuando se est depurando un modelo de simulacin es deseable
hacerlo con la misma secuencia de nmeros aleatorios con el fin de facilitar
las comparaciones entre distintos sistemas o modelos.
5. No degeneracin. El generador no debe ser degenerativo, es decir, que no
produzca continuamente el mismo nmero.
Un generador debe ser de naturaleza algortmica, es decir, que se debe utilizar el
trmino i de la secuencia para calcular el i+1; el i+1 se utiliza para calcular el i+2, y
as sucesivamente. La mayora de los generadores utilizan un algoritmo, lo que les
permite funcionar de manera independiente de todas las dems partes del programa
de simulacin (Schmidt y Taylor, 1979).
Para entender la naturaleza del problema de generacin de nmeros aleatorios,
incluimos aqu varios algoritmos en el entendido que los paquetes de lenguajes de
simulacin y los simuladores llevan incorporado alguno de ellos.
En este texto se discuten algunos algoritmos no congruenciales como el de
cuadrados medios, el de productos medios y el de multiplicador constante slo para
que el lector reflexione sobre los problemas que pueden presentar este tipo de
problemas. Despus se presentan tres algoritmos congruenciales: el mixto, el
multiplicativo y el aditivo. Finalmente se muestra el congruencial cuadrtico que es
no lineal.
2.3.1. Algoritmos no congruenciales
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Cuadrados medios. Propuesto por Van Neuman y Metropolis en 1946. Este mtodo
es ineficiente porque tiende degenerar con rapidez y, dependiendo de su valor inicial,
pierde rapidez.
Procedimiento
Paso 1. Seleccin de la semilla, a la que se denomina 0X , con d dgitos mayores a 3.
Paso 2.
a) Determinar 200 XY
b) Definir 1X los d dgitos del centro1
c) Defina 1.0 Xri
Paso 3
a) Determine 2ii XY
b) Defina 1iX los d dgitos del centro.
c) Defina 1.0 ii Xr para toda i = 1, 2,, n
Paso 4. Repita el paso 3 hasta obtener los n nmeros aleatorios deseados.
Ejemplo 2.1
Usando el algoritmo de cuadrados medios genere los primeros cinco nmeros
aleatorios si se tiene la semilla .92300 X
Solucin
La tabla 2.1 muestra los resultados de cada uno de los pasos del procedimiento
antes descrito. Los nmeros que se subrayan son los dgitos que se suprimen para
obtener los D dgitos del centro. Para Y0 se suprimen el 85 de lado izquierdo y el 00
de lado derecho.
1 En ocasiones no es posible obtener los d dgitos del centro de iYdeoY0 en esos casos agregue ceros al
lado izquierdo de estos valores.
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i Yi-1 Xi ri Comentarios
1 001929859230 2 1929 1929.0
2 417210031929 2 7210 7210.0 Se agrega un cero a la izquierda
de Yi-1
3 009841517210 2 9841 9841.0
4 818452969841 2 8452 8452.0
5 044363718452 2 4363 4363.0
Tabla 2.1 Procedimiento del algoritmo de cuadrados medios para el ejemplo 2.1
Productos medios. El procedimiento de este algoritmo se similar al anterior, slo
que aqu se utilizan dos semillas: 10 XyX las cuales se multiplican para obtener el
valor de 0Y . Para obtener 2X se extraen los d dgitos del centro del valor de 0Y el cual
servir para obtener 21 .0 Xr . Enseguida se determina el valor de ,1 iii XXY y se
extraen los d dgitos del centro para obtener el valor de 2iX y de ah ir . Se repite el
procedimiento hasta obtener los n nmeros deseados.
Procedimiento
Paso 1. Seleccin de las semillas, a las que se les denomina 10 XyX , con d dgitos
mayores a 3.
Paso 2.
a) Determinar 100 XXY
b) Definir 2X los d dgitos del centro2
c) Defina 2.0 Xri
Paso 3
2 En ocasiones no es posible obtener los d dgitos del centro de iYdeoY0 en esos casos agregue ceros al
lado izquierdo de estos valores.
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a) Determine 1 iii XXY
b) Defina 2iX los d dgitos del centro.
c) Defina 2.0 ii Xr para toda i = 1, 2,, n
Paso 4. Repita el paso 3 hasta obtener los n nmeros aleatorios deseados.
Ejemplo 2.2
Usando el algoritmo de productos medios genere los primeros cinco nmeros
aleatorios si se tienen las semillas .244992300 yX
Solucin
La tabla 2.2 muestra los resultados de cada uno de los pasos del procedimiento
antes descrito.
I Yi-1 Xi ri Comentarios
1 7060422224499230 6042 6042.0
2 5879681460422449 7968 7968.0
3 5614264879686042 1426 1426.0
4 6836231114267968 3623 3623.0
5 9816630536231426 1663 1663.0 Se agrega un cero a la izquierda
de Yi-1
Tabla 2.2 Procedimiento del algoritmo de productos medios para el ejemplo 2.2
Multiplicador constante. El procedimiento de este algoritmo se similar al anterior,
slo que aqu se una semilla y un multiplicador constante: ,0 ayX respectivamente,
los cuales se multiplican para obtener el valor de 0Y . Para obtener 1X se extraen los d
dgitos del centro del valor de 0Y el cual servir para obtener 11 .0 Xr . Enseguida se
determina el valor de ,ii XaY y se extraen los d dgitos del centro para obtener el
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valor de 1iX y de ah ir . Se repite el procedimiento hasta obtener los n nmeros
deseados.
Procedimiento
Paso 1. Seleccin de la semilla, ,0X y el valor del multiplicador constante a , con d
dgitos mayores a 3.
Paso 2.
a) Determinar 00 XaY
b) Definir 1X los d dgitos del centro3
c) Defina 1.0 Xri
Paso 3
a) Determine ii XaY
b) Defina 1iX los d dgitos del centro.
c) Defina 2.0 ii Xr para toda i = 1, 2,, n
Paso 4. Repita el paso 3 hasta obtener los n nmeros aleatorios deseados.
Ejemplo 2.3
Usando el algoritmo del multiplicador constante genere los primeros cinco nmeros
aleatorios si se tiene la semilla 92300 X y el multiplicador constante a = 2449.
Solucin
La tabla 2.3 muestra los resultados de cada uno de los pasos del procedimiento
antes descrito.
3 En ocasiones no es posible obtener los d dgitos del centro de iYdeoY0 en esos casos agregue ceros al
lado izquierdo de estos valores.
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i Yi-1 Xi ri Comentarios
1 7060422292302449 6042 6042.0
2 5879681460422449 7968 7968.0
3 3849891979682449 4989 4989.0
4 6121801249892449 2180 2180.0
5 2033880521802449 3388 3388.0 Se agrega un cero a la izquierda
de Yi-1
Tabla 2.3 Procedimiento del algoritmo del multiplicador constante para el ejemplo
2.3.
2.3.2. Algoritmos congruenciales lineales
En la subseccin 2.3.1 se estableci que los mtodos presentados ah son
ineficientes por dos razones principales, primero porque degeneran rpidamente y no
aseguran obtener ciclos muy grandes y, en segundo lugar, porque tienden a ser
lentos en su procesamiento.
La mayora del software de simulacin est basado en los generadores
congruenciales lineales (LCG, por su sigla en ingls). Este generador es eficiente ya
que produce rpidamente una secuencia de nmeros aleatorios sin requerir muchos
recursos computacionales, (Harrell, et al, 2003). A continuacin se presentan tres de
los ms representativos: el mixto, el multiplicativo y el aditivo.
Algoritmo congruencial lineal mixto. Produce una secuencia de enteros x1, x2,
entre cero y m-1 por medio de la ecuacin recursiva siguiente
,2,1mod1 imcaxx ii (2.1)
Donde:
x0 = valor inicial llamado semilla
a = constante multiplicativa
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c = constante aditiva
m = mdulo
x0, a, c, m 0, enteros y m > a, m > c, m > x0
En la ecuacin recursiva 2.1, mod m representa la operacin aritmtica mdulo la
cual arroja como resultado el residuo entero de la divisin de (axi + c) entre m.
La ecuacin recursiva 2.1 produce nmeros aleatorios enteros discretos por lo que
es necesario convertirlos a nmeros aleatorios uniformes en el intervalo [0,1], lo cual
se logra haciendo
,2,1 im
xr ii (2.2)
Banks, Carson II, Nelson y Nicol (2005), hacen notar que con la aplicacin de la
ecuacin recursiva 2.1 se tienen los siguientes resultados:
Los nmeros generados slo pueden asumir valores del conjunto
,/)1(,,/2,/1,0 mmmmI por lo tanto, cada ix es un entero del conjunto
,1,,2,1,0 m y concluyen que si bien ri es discreta en I y no continua en el
intervalo [0, 1], no tiene importancia siempre y cuando el mdulo sea un
entero muy grande.
En cuanto al periodo del generador mencionan que para ayudar a alcanzar la
densidad mxima (que los valores asumidos por ri, i = 1, 2,, no tienen
grandes huecos en [0, 1]) y prevenir el reciclamiento en aplicaciones prcticas,
el generador debe tener el mayor periodo posible.
Debe tenerse mucho cuidado en la seleccin de los valores x0, a, c, m ya que esta
decisin influye de manera notable en las propiedades estadsticas y la longitud del
ciclo que se genere a partir de la ecuacin recursiva. Esto lo observaremos a travs
de los distintos ejemplos ilustrativos.
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El ejemplo 2.4 muestra los clculos del algoritmo congruencial mixto. Los parmetros
que se eligieron lo hacen ideal para mostrar que se alcanza el periodo completo, P =
m = 8, aunque este periodo no nos servira en una simulacin ya que su longitud es
muy pequea. Se obtiene un periodo completo cuando la longitud de la secuencia de
nmeros es igual a m, la longitud del ciclo nunca exceder este valor.
Ejemplo 2.4
Use el mtodo congruencial lineal mixto para generar una secuencia de nmeros
aleatorios, tantos como sea posible, con los siguientes parmetros:
.8,7,5,40 mcax
Solucin
Sustituyendo los valores de los parmetros en la ecuacin 2.1 se tiene:
375.08
338mod74*5 11 rx
Ahora se sustituye el valor de 1x en la ecuacin 2.1, los dems valores permanecen
igual, dando como resultado
750.08
668mod73*5 22 rx
La tabla 2.4 muestra los clculos para el resto de los valores. Observe que cuando
se genera 9x se repite el mismo valor obtenido para 1x , lo cual muestra que se ha
obtenido el mximo periodo, en este caso, de ocho nmeros aleatorios.
Periodo completo o ciclo completo. En 1966 Hull y Dobell presentaron un teorema
para obtener el periodo completo:
El LCG ,2,1mod1 imcaxx ii tiene un periodo completo si y slo si se
cumplen las tres condiciones siguientes:
1. c y m son relativamente primos (por ejemplo, el nico entero positivo que
divide a c y a m es 1).
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Generacin de nmeros aleatorios
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2. Si q es cualquier nmero primo que divide a m, entonces q tambin divide a
a - 1.
3. Si 4 divide a m, entonces 4 divide a a - 1
Seleccin adecuada de los parmetros. Otros autores mencionan que para m una
potencia de 2, m = 2b donde b es un entero y c 0. El periodo ms grande posible P
= m = 2b, se logra si c es relativamente primo a m y a = 1 + 4k donde k es un entero.
En ejemplo 4 se cumplen las condiciones marcadas por el teorema de Hull y Dobell
ya que se observa que:
c y m son relativamente primos
m = 8 puede dividirse entre 2, tambin (a -1) = (5 1)/2
m/4 = 8/4 = 2 y (a 1)/4 = (5 1)/ 4 = 1
b = 3, es decir m = 23 = 8.
a = 1 + 4k = 1 + (4*1) = 5
Tabla 2.4 Aplicacin del algoritmo congruencial lineal mixto para el ejemplo 2.4
X0 4
a 5
c 7
m 8
i X(i+1) ri
1 3 0.375
2 6 0.750 ---
3 5 0.625 ---
4 0 0.000 ---
5 7 0.875 ---
6 2 0.250 ---
7 1 0.125 ---
8 4 0.500 ---
9 3 0.375 ciclo
CONGRUENCIAL LINEAL MIXTO
Se repite la secuencia
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Algoritmo congruencial multiplicativo. Este algoritmo es un caso especial del
algoritmo congruencial lineal mixto, en la ecuacin 2.1 el valor de c = 0, entonces la
ecuacin recursiva es:
,2,1mod1 imaxx ii (2.3)
Este algoritmo tiene como ventaja ser ms rpido, ya que requiere menos
operaciones. La sucesin de nmeros aleatorios generados tienen buen
comportamiento estadstico, es decir, estn uniformemente distribuidos y son
independientes. Sin embargo, las condiciones para obtener el periodo completo que
vimos en el mixto no aplican. Si usamos la ecuacin 2.3 para los parmetros x0 = 4,
a = 5 y m = 8, el resultado que obtenemos es una condicin degenerada, es decir, se
repite o recicla el mismo resultado.
500.08
448mod4*5 11 rx
Para la siguiente iteracin se observa que x1 = x2 = 4, por lo que vamos a obtener el
mismo resultado. Banks, et al, (2005), aconsejan que para obtener el periodo ms
grande posible, 224/ bmP , se deben cumplir las condiciones siguientes:
m = 2b, b debe ser un entero
a = 3 + 8k o a = 5 + 8k, k = 0, 1, 2, 3,
x0 debe ser impar
Ejemplo 2.5
Utilice el algoritmo congruencial lineal multiplicativo para generar tantos nmeros
aleatorios como sea posible si se utilizan los siguientes parmetros: b = 6, k = 5 y
una semilla x0 = 145.
Solucin
Aplicando la ecuacin 2.3 se obtienen los siguientes resultados para x1 y x2, como
sigue. La tabla 2.5 muestra que no se tiene un periodo completo, slo se generaron
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Generacin de nmeros aleatorios
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M. C. Sergio Humberto Romo Picazo
16 nmeros, esto corresponde a m/4 = 64/4 = 16, que confirma que respetando las
condiciones aconsejadas, se obtiene el mximo periodo P.
m = 2b = 26 = 64
a = 5 + 8k = 5 + 8*5 = 45
9531.064
616164mod145*45 11 rx
8906.064
575764mod61*45 22 rx
Tabla 2.5 Nmeros aleatorios generados a travs del algoritmo congruencial lineal
multiplicativo para el ejemplo 2.5
X0 145
a 45
m 64
i X(i+1) ri
1 61 0.9531
2 57 0.8906
3 5 0.0781
4 33 0.5156
5 13 0.2031
6 9 0.1406
7 21 0.3281
8 49 0.7656
9 29 0.4531
10 25 0.3906
11 37 0.5781
12 1 0.0156
13 45 0.7031
14 41 0.6406
15 53 0.8281
16 17 0.2656
17 61 0.9531 Alcanz mximo peridodo
CONGRUENCIAL LINEAL MULTIPLICATIVO
Observaciones
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SIMULACIN: con enfoque de competencias
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Algoritmo congruencial aditivo. A diferencia de los anteriores, el mtodo requiere
que se genere previamente una secuencia de nmeros enteros aleatorios nxxx 21,
que tienen el propsito de obtener una nueva secuencia de enteros 321 ,, nnn xxx ,
estos dos conjuntos se utilizan en la ecuacin recursiva 2.4 para obtener los nmeros
enteros aleatorios que servirn para obtener los nmeros aleatorios entre 0 y 1,
mediante la ecuacin 2.2.
Nnnimxxx niii ,2,1mod1 (2.4)
Ejemplo 2.6
Mediante el algoritmo congruencial lineal aditivo, genere 5 nmeros aleatorios entre 0
y 1, si tiene la siguiente secuencia de enteros aleatorios: 4, 51, 39, 93, 69. Utilice un
mdulo m = 32.
Solucin
Conservando el orden en que fueron generados se tiene:
69,93,39,51,24 54321 xxxxx
Aplicando la ecuacin recursiva 2.4, se obtienen los siguientes resultados:
78125.032/25,2532mod692032mod
62500.032/20,2032mod932332mod
71875.032/23,2332mod391632mod
50000.032/16,1632mod512932mod
90625.032/29,2932mod246932mod
15910
1489
3378
2267
1156
rxxx
rxxx
rxxx
rxxx
rxxx
2.3.3. Algoritmos congruenciales no lineales
En esta subseccin slo se ilustrar un ejemplo del algoritmo congruencial
cuadrtico. Este algoritmo es una forma de remover la estructura lineal de los
algoritmos vistos en la subseccin anterior y utiliza la siguiente ecuacin recursiva:
Nimcbxaxx iii ,,3,2,1,0mod21 (2.5)
-
Generacin de nmeros aleatorios
66
M. C. Sergio Humberto Romo Picazo
LEcuyer (1998), menciona que si m es una potencia de 2, este tiene periodo
completo (P = m) si y slo si a es par, (b-a) mod 4 = 1 y c es impar.
Ejemplo 2.7
Genere 5 nmeros aleatorios utilizando el algoritmo congruencial cuadrtico si se
tienen los siguientes parmetros: a = 2, b = 19, c = 13 y m = 32.
Solucin
A continuacin se muestran los clculos de x1 y x2 y, en la tabla 2.6, los resultados
para los cinco nmeros generados por este algoritmo.
46875.032/15,1532mod13570180032mod1330*1930*2
9375.032/30,3032mod13955032mod135*195*2
2
2
2
1
2
1
rx
rx
Tabla 2.6 Cinco nmeros pseudoaleatorios generados mediante el algoritmo
congruencial cuadrtico para el ejemplo 2.7
Existe un gran desarrollo en el mbito de la generacin de nmeros
pseudoaleatorios, por ejemplo, Dutang y Wuertz (2009) hacen una revisin de los
distintos tipos de reas y las clasifican en: generadores congruenciales lineales,
generadores recursivos mltiples en los que destaca Knuth-TAOCP-2002, Mersenne-
Twister, generadores congruenciales bien equidistribuidos de largo periodo, SMID-
Oriented fast Mersenne-Twister Algorithms y la generacin de nmeros cuasi
x0 5
a 2
b 19
c 13
m 32
i x(i+1) ri
1 30 0.9375
2 15 0.46875
3 12 0.375
4 17 0.53125
5 18 0.5625
CONGRUENCIAL CUADRTICO
-
SIMULACIN: con enfoque de competencias
67
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aleatorios. En la seccin 2.5 retomaremos el tema pero ahora con el enfoque de qu
generadores de nmeros pseudoaleatorios utiliza el software comercial.
2.4. Pruebas estadsticas de aleatoriedad
Banks, Carson II, Nelson y Nicol (2005) previenen sobre los problemas que se deben
evitar al momento de generar una secuencia de nmeros aleatorios:
Los nmeros generados pueden no estar distribuidos uniformemente.
Los nmeros generados pueden ser valores discretos en lugar de valores
continuos.
La media de los nmeros generados puede ser muy alta o muy baja.
La varianza de los nmeros generados puede ser muy alta o muy baja.
Puede haber variaciones cclicas. Por ejemplo:
o Auto correlacin entre los nmeros.
o Nmeros sucesivamente ms altos o ms bajos que los nmeros
adyacentes.
o Varios nmeros arriba de la media seguidos de varios nmeros debajo
de la media.
Estas son las razones principales que tienen que ver con las dos propiedades
estadsticas de inters que ya se han mencionado: la uniformidad y la independencia.
Al generar nmeros pseudoaleatorios es conveniente asegurarnos que los nmeros
tienen comportamiento aleatorio, para ello tomamos una muestra y con ella le
realizamos una serie de pruebas estadsticas generalmente usando algn paquete
estadstico. Sin embargo, en esta seccin revisaremos las pruebas sin el auxilio del
software para entender mejor qu hacen, cmo lo hacen y la manera de interpretar
sus resultados.
Las pruebas que se muestran son pruebas de hiptesis, por lo tanto, siguen un
procedimiento estndar como el que sugieren Walpole y Myers (1984) que se
describe a continuacin:
1. 00 : H
-
Generacin de nmeros aleatorios
68
M. C. Sergio Humberto Romo Picazo
2. 0001 ,son asalternativ las : H
3. Escoja un nivel de significancia igual a .
4. Seleccione la estadstica de prueba apropiada y establezca una regin crtica
n.
5. Calcule el valor de la estadstica partiendo de una muestra aleatoria de
tamao n.
6. Conclusin: rechace H0 si la estadstica tiene un valor en la regin crtica; si no
es as, acepte H0.
Todas las pruebas que se consideran aqu se realizarn con la misma muestra de
nmeros pseudoaleatorios generados mediante un algoritmo congruencial lineal. Las
pruebas incluidas son las siguientes:
Pruebas para la uniformidad
o Prueba de promedios
o Prueba de varianza
o Prueba Chi-cuadrada de bondad de ajuste
o Prueba Kolgomorov-Smirnov
Pruebas de independencia
o Prueba de corridas ascendentes y descendentes
o Pruebas de corridas arriba y debajo de la media
o Prueba de series
2.4.1. Pruebas de uniformidad
2.4.1.1. Prueba de medias
En la seccin 2.2 se estableci que una de las propiedades de los nmeros
pseudoaleatorios uniformes es que para un conjunto ri el valor esperado (la media)
es 0.5. El ejemplo 2.8 muestra el procedimiento para realizar la prueba de medias.
Ejemplo 2.8
Los datos de la tabla 2.7 son una muestra de los primeros 36 nmeros aleatorios
obtenida a partir de un generador de nmeros aleatorios congruencial lineal mixto
-
SIMULACIN: con enfoque de competencias
69
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que tiene como parmetros x0 = 27, a = 17, c = 43 y m = 64. Determine si el valor
esperado de la muestra es 0.5 para un nivel de significancia .05.0
Tabla 2.7. Muestra de nmeros pseudoaleatorios que se usa en las pruebas de
aleatoriedad.
Solucin
1. 5.0:0 irH
2. 5.0 :ir1H
3. Nivel de significancia 05.0
4. Para este caso, la regin crtica se establece a partir de los siguientes lmites
de aceptacin:
n
zLI
r122
1 2/ 2.6 (a)
n
zLS
r122
1 2/ 2.6 (b)
Los lmites de aceptacin indican que si la media de la muestra cae dentro de
ellos, entonces no se puede rechazar la hiptesis nula de que el valor esperado
del conjunto ri es , en caso contrario se rechaza la hiptesis nula.
Sustituyendo los valores en las ecuaciones 2.6 (a) y 2.6 (b), se obtienen los
lmites de aceptacin para un nivel de significancia de 0.05.
96.12/ z
0.844 0.016 0.938 0.609 0.031 0.203
0.125 0.797 0.219 0.391 0.313 0.984
0.406 0.578 0.500 0.172 0.594 0.766
0.688 0.359 0.781 0.953 0.875 0.547
0.969 0.141 0.063 0.734 0.156 0.328
0.250 0.922 0.344 0.516 0.438 0.109
TABLA CON MUESTRA DE NMEROS PSEUDOALEATORIOS
-
Generacin de nmeros aleatorios
70
M. C. Sergio Humberto Romo Picazo
406.036*12
96.15.0
122
1 2/ n
zLI
r
594.036*12
96.15.0
122
1 2/ n
zLI
r
5. Se calcula la media de la muestra de nmeros pseudoaleatorios de la tabla
2.7 mediante la ecuacin 2.7.
n
r
r
n
i 11 2.7
Sustituyendo los valores ri se tiene que
490.036
109.0938.0016.0844.011
n
r
r
n
i
6. Conclusin. No se puede rechazar que el valor esperado del conjunto de
nmeros ri sea 0.5 ya que la media de estos cae dentro de los lmites de
aceptacin, ,594.0406.0 r para un nivel de confianza de 0.95.
2.4.1.2. Prueba de la varianza
Ejemplo 2.9
Con los datos de la tabla 2.7 determine si el conjunto de nmeros ri tiene una
varianza de 1/12, para un nivel de confianza de 95%.
Solucin
1. 12/1: 20 irH
2. 12/1: 21 irH
3. Nivel de significancia 05.0
4. Para este caso, la regin crtica se establece a partir de los siguientes lmites
de aceptacin:
-
SIMULACIN: con enfoque de competencias
71
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112
2
1,2/12
nLI
n
r
2.8 (a)
112
2
1,2/2
nLS
n
r
2.8 (b)
Primero obtenemos los valores de la chi-cuadrada para un nivel de significancia
de 0.05 y (36-1) grados de libertad.
5694.202 1,2/1 n y 2033.532
1,2/ n
Sustituyendo los valores en las ecuaciones 2.8 (a) y 2.8 (b) se tiene
0490.0
)136(12
5694.20
112
2
1,2/12
nLI
n
r
1267.0
)136(12
2033.53
112
2
1,2/2
nLS
n
r
5. Para calcular el valor de la varianza de la muestra de los nmeros ri se utiliza
la ecuacin 2.9.
1
2 1
2
n
rr
ir
n
i
i
2.9
Sustituyendo los valores en la ecuacin 2.9 se obtiene el siguiente resultado
0916.0
136
490.02
35
1
2
i
ir
ir
Conclusin. Como el valor de la varianza es 0.0916 queda dentro de los lmites
inferior y superior, no se puede rechazar la hiptesis de que los nmeros tienen
una varianza de 1/12, para un nivel de confianza de 95%.
-
Generacin de nmeros aleatorios
72
M. C. Sergio Humberto Romo Picazo
2.4.1.3. Prueba de Kolgomorov-Smirnov
Esta prueba se puede usar para determinar si un conjunto de nmeros
pseudoaleatorios ri se distribuyen uniformemente en el intervalo [0, 1]. La prueba
compara la funcin de distribucin acumulada, F(x), de la distribucin uniforme, con
la funcin de distribucin acumulada emprica, Sn(x), de la muestra.
La prueba K-S est basada en la mayor desviacin absoluta entre F(x) y Sn(x) en el
intervalo de la variable aleatoria. El ejemplo 2.10 muestra el procedimiento para
realizar la prueba.
Ejemplo 2.10
Tome los 10 primeros nmeros pseudoaleatorios de la tabla 2.7 y realcese la prueba
de Kolgomorov-Smirnov para verificar si se distribuyen uniformemente en el intervalo
[0, 1], para un nivel de significancia de 0.10.
Los primeros diez nmeros de la tabla (tomndolos fila por fila de izquierda a
derecha) son los siguientes: 0.844, 0.016, 0.938, 0.609, 0.031, 0.203, 0.125, 0.797,
0.219, 0.391.
1. :0 irH se distribuyen uniformemente en [0, 1]
2. :1 irH no se distribuyen uniformemente en [0, 1]
3. Nivel de significancia 05.0
4. Determinar el valor crtico, nD , de la tabla 2.x para el nivel de significancia
especificada y el tamao de muestra n. En este caso para 05.0 y n = 10,
410.010,05.0, DD n
5. Para realizar la prueba se siguen los siguientes pasos:
Paso 1. Ordenar los datos desde el menor hasta el mayor. Sea r(i) la isima
observacin menor, tal que
nrrrr 321
Ordenando los nmeros de menor a mayor se tiene el siguiente conjunto:
-
SIMULACIN: con enfoque de competencias
73
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0.016, 0.031, 0.125, 0.203, 0.219, 0.391, 0.609, 0.797, 0.844, 0.938
Paso 2. Calcule
ini
rn
imxD1
2.10 (a)
n
irmxD i
ni
1
1
2.10 (b)
Paso 3. Calcule
DDmxD , 2.11
La tabla 2.8 muestra los pasos 1 a 3 del procedimiento, una vez obtenida el valor
de D, procedemos a su comparacin con el valor en tablas para definir si se
acepta o no la hiptesis de uniformidad.
Tabla 2.8 Clculo de los valores DyDD , para el ejemplo 2.10
6. Conclusin. Como el valor de 410.0281.0 10,5.0 DD no se puede rechazar
la hiptesis de uniformidad para la muestra de los 10 nmeros del ejemplo 2.
2.4.1.4. Prueba de la Chi-cuadrada de bondad de ajuste
Al igual que la prueba de Kolgomorov-Smirnov, la prueba de la chi-cuadrada tiene
como propsito comprobar la hiptesis de que no existe diferencia entre la
I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
r (i) 0.016 0.031 0.125 0.203 0.219 0.391 0.609 0.797 0.844 0.938
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
0.084 0.169 0.175 0.197 0.281 0.209 0.091 0.003 0.056 0.063
0.016 -0.069 -0.075 -0.097 -0.181 -0.109 0.009 0.097 0.044 0.038
0.281 0.097 0.281
PRUEBA DE KOLGOMOROV-SMIRNOV
n
i
n
i 1
irn
i
n
ir i
1
DD DDmxD ,
-
Generacin de nmeros aleatorios
74
M. C. Sergio Humberto Romo Picazo
distribucin de frecuencias de la muestra y la distribucin uniforme terica. El
ejemplo 2.11 ilustra el procedimiento para realizar la prueba.
Ejemplo 2.11
Utilice los datos de la tabla 2.7 para probar la uniformidad de los nmeros ri de la
muestra, mediante la prueba de la chi-cuadrada con un nivel de significancia de 0.05.
1. :0 irH se distribuyen uniformemente en [0, 1]
2. :1 irH no se distribuyen uniformemente en [0, 1]
3. Nivel de significancia 05.0
4. La estadstica de prueba es la ecuacin 2.12. La prueba usa la distribucin
chi-cuadrada para probar la bondad de ajuste de la distribucin uniforme, en
este caso particular, al comparar el estadstico de prueba 20 el cual representa
una medida de la desviacin de las frecuencias observadas, Oi, con respecto
a las frecuencias esperadas por el modelo terico de la distribucin uniforme,
Ei, con el valor en tablas con m -1 grados de libertad y un nivel de significancia
.
m
i i
ii
E
OE
1
2
2
0 2.12
Donde:
Ei = frecuencia esperada en el subintervalo m
Oi = frecuencia observada en el subintervalo m
muestra la de tamao, nnm
5. El procedimiento de la prueba es el siguiente:
Generar la muestra, n, de nmeros pseudoaleatorios ri.
Recuerde que tabla 2.7 muestra los 36 nmeros que estn siendo sometidos a la
prueba.
-
SIMULACIN: con enfoque de competencias
75
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Subdividir el intervalo [0, 1] en m subintervalos.
En el ejemplo n = 36 por lo tanto, ,636 m esto quiere decir que dividiremos el
intervalo [0, 1] en seis subintervalos, lo que equivale a 0.166.
Contar la frecuencia observada y calcular la frecuencia esperada para
cada subintervalo.
Calcular el estadstico de prueba.
La tabla 2.9 muestra el clculo del estadstico de prueba.
El valor crtico para la prueba se obtiene con
21, m
2.13
Sustituyendo los valores de libertad. de grados 5161y 05.0 m
070.1125,05.0
21,
m
Tabla 2.9 Clculos de la estadstica de prueba de la Chi-cuadrada para el ejemplo
2.11
PRUEBA CHI-CUADRADA DE BONDAD DE AJUSTE
Subintervalo Ei Oi
0 - 0.167 6 7 0.167
0.168 - 0.334 6 6 0.000
0.335 - 0.501 6 6 0.000
0.502 - 0.668 6 5 0.167
0.669 -0.885 6 7 0.167
0.886 - 1.000 6 5 0.167
36 36 0.667
11.070
i
ii
E
OE2
25,05.0
-
Generacin de nmeros aleatorios
76
M. C. Sergio Humberto Romo Picazo
6. Conclusin. No se puede rechazar la hiptesis de uniformidad para el
conjunto de nmeros ri de la muestra ya que el valor de la estadstica de
prueba es menor al valor crtico de la prueba, es decir:
70.11667.0 2 5,05.0
1
2
2
0
m
i i
ii
E
OE
2.4.2. Pruebas de independencia
Las pruebas precedentes se usaron para comprobar la uniformidad, ahora se
discutirn algunas para probar la independencia de los nmeros. Antes es de utilidad
definir el concepto de corrida.
Corrida. Sea B una sucesin binaria compuesta por los bits 0 y 1. Una subsucesin
de nj unos, enmarcada por unos en cada extremo, recibe el nombre de unos de
longitud nj; de manera anloga se definen las corridas de ceros. (Garca, Sierra y
Guzmn, 2005).
La tabla 2.10 muestra un conjunto binario, compuesto por unos y ceros. Si se leen
los nmeros por filas, empezando por la posicin (1,1) se encuentra un uno seguido
de un cero, por lo que se dice que esta es una corrida de unos de longitud 1. Si
vemos la posicin (2,3) vemos una corrida de 6 ceros, que van desde (2,3) hasta
(3,2) ya que a su derecha se encuentra un uno. En la posicin (5,5) inicia una corrida
de dos unos que termina en (5,6).
Este concepto de corrida es muy importante en algunas de las pruebas que se van a
presentar para comprobar la independencia de los nmeros pseudoaleatorios
generados por algn algoritmo.
Ejemplo 2.12
Una vez ms tome los datos de la tabla 2.7 para comprobar la independencia de los
nmeros mediante la prueba de corridas ascendentes y descendentes. Considere un
nivel de confianza del 95%.
-
SIMULACIN: con enfoque de competencias
77
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Tabla 2.10 Sucesin binaria compuesta por ceros y unos
2.4.2.1. Corridas ascendentes y descendentes
1. ntesindependieson conjunto del nmeros los :0 irH
2. ntesindependieson no conjunto del nmeros los :0 irH
3. Nivel de significancia 05.0
4. Para esta prueba se tiene que construir una secuencia de nmeros, S, que
slo contenga unos y ceros de acuerdo al siguiente criterio:
a. , Si 1 ii rr entonces asignar a ir el smbolo 0.
b. , Si 1 ii rr entonces asignar a ir el smbolo 1.
Para realizar la prueba se requiere calcular los valores del nmero de corridas, el
valor esperado de las corridas y la varianza del nmero de corridas usando las
ecuaciones 2.14 y 2.15, respectivamente, despus se calcula la estadstica de
prueba mediante la ecuacin 2.16. El valor de la estadstica de prueba se
contrasta con el valor crtico de la prueba 2/z para un determinado nivel de
significancia.
Sea c el nmero de corridas y n el tamao de la muestra, entonces la media y la
varianza de las corridas estn dadas por:
3
12
nc 2.14
90
29162 n
c 2.15
1 2 3 4 5 6
1 1 0 1 1 1 0
2 0 1 0 0 0 0
3 0 0 1 0 1 1
4 0 0 0 1 0 0
5 0 1 1 0 1 1
-
Generacin de nmeros aleatorios
78
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La estadstica de prueba es
c
ccz
0 2.16
5. Clculo de la estadstica de prueba.
Se presenta nuevamente la tabla 2.7 para facilitar la lectura del tema. Primero se
convierten los nmeros pseudoaleatorios en ceros y unos segn el criterio
expuesto. La tabla 2.11 muestra dicha conversin.
Tabla 2.11 Prueba de corridas ascendentes y descendentes para el ejemplo 2.12
0.844 0.016 0.938 0.609 0.031 0.203
0.125 0.797 0.219 0.391 0.313 0.984
0.406 0.578 0.500 0.172 0.594 0.766
0.688 0.359 0.781 0.953 0.875 0.547
0.969 0.141 0.063 0.734 0.156 0.328
0.250 0.922 0.344 0.516 0.438 0.109
TABLA CON MUESTRA DE NMEROS PSEUDOALEATORIOS
ri 0 1 Corridas c Comentarios
0.844 No tiene precedente, no se indica 0 1
0.016 0 1 Esta es una corrida de un cero
0.938 1 1 Como es menor a su precedente se anota 0
0.609 0 1
0.031 0
0.203 1 1
0.125 0 1
0.797 1 1
0.219 0 1
0.391 1 1
0.313 0 1
0.984 1 1
0.406 0 1
0.578 1 1
0.500 0 1
0.172 0
0.594 1 1
0.766 1
0.688 0 1
0.359 0
0.781 1 1
0.953 1
0.875 0 1
0.547 0
0.969 1 1
0.141 0 1
0.063 0
0.734 1 1
0.156 0 1
0.328 1 1
0.250 0 1
0.922 1 1
0.344 0 1
0.516 1 1
0.438 0 1
0.109 0
c = 27 Nmero total de corridas
Aqu se tiene una corrida de dos ceros
Corridas ascendentes y descendentes
-
SIMULACIN: con enfoque de competencias
79
Instituto Tecnolgico de Aguascalientes Ingeniera Industrial
En este ejemplo, el nmero esperado de corridas es
667.243
136*2
3
12
nc
Y la varianza de las corridas
077.690
2936*16
90
29162
n
c
Como ya se conoce el nmero de corridas, c = 27, ahora se puede calcular el
estadstico de prueba, z0.
946.0077.6
667.24270
c
ccz
El valor crtico de la prueba se determina mediante .96.1025.02/ zz (En la tabla
de distribucin normal estndar).
6. Conclusin. Como 96.1946.0 025.00 zz no se rechaza la hiptesis de que
los nmeros ri son independientes.
2.4.2.2. Corridas arriba y por abajo de la media
Esta prueba es similar a la anterior, slo que ahora se formarn las corridas
atendiendo si los nmeros pseudoleatorios estn por arriba o por debajo de la media
de la distribucin uniforme (0.5).
Ejemplo 2.13
Nuevamente se hace referencia a los datos de la tabla 2.7 para comprobar la
independencia de los nmeros mediante la prueba de corridas arriba y por debajo de
la media. Considere un nivel de confianza del 95%.
1. ntesindependieson conjunto del nmeros los :0 irH
-
Generacin de nmeros aleatorios
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M. C. Sergio Humberto Romo Picazo
2. ntesindependieson no conjunto del nmeros los :0 irH
3. Nivel de significancia 05.0
4. Para esta prueba se tiene que construir una secuencia de nmeros, S, que
slo contenga unos y ceros de acuerdo al siguiente criterio:
a. Si ri 0.5 asignar un smbolo 0.
b. Si ri > 0.5 asignar un smbolo 1.
Una vez que se determina el conjunto S formado por ceros y unos, se determina el
nmero de ceros, n0, y el nmero de unos, n1, de forma que n = n0 + n1 y se
identifican las corridas y su nmero, c. Despus se calcula el valor esperado de las
corridas, la varianza del nmero de corridas y la estadstica de prueba z0.
Valor esperado del nmero de corridas:
2
12 10 n
nnc 2.17
Varianza del nmero de corridas
122
2
10102
nn
nnnnnc 2.18
Estadstica de prueba
20
c
ccz
2.19
5. Clculo de la estadstica de prueba. Se presenta nuevamente la tabla 2.7 para
facilitar la lectura del tema. Primero se convierten los nmeros
pseudoaleatorios en ceros y unos segn el criterio expuesto. La tabla 2.12
muestra dicha conversin.
0.844 0.016 0.938 0.609 0.031 0.203
0.125 0.797 0.219 0.391 0.313 0.984
0.406 0.578 0.500 0.172 0.594 0.766
0.688 0.359 0.781 0.953 0.875 0.547
0.969 0.141 0.063 0.734 0.156 0.328
0.250 0.922 0.344 0.516 0.438 0.109
TABLA CON MUESTRA DE NMEROS PSEUDOALEATORIOS
-
SIMULACIN: con enfoque de competencias
81
Instituto Tecnolgico de Aguascalientes Ingeniera Industrial
Tabla 2.12 Corridas arriba y debajo de la media para el ejemplo 2.13
Ahora ya se pueden calcular los valores necesarios para la estadstica de prueba. De
la tabla 2.13 se tiene que n0 = 19 y n1 = 17, de forma que su suma es n = 36. El
nmero de corridas, c = 20. La tabla 2.13 muestra un resumen de los resultados de
esta prueba.
Valor esperado del nmero de corridas:
444.185.036
17*19*2
2
12 10 n
nnc
Varianza del nmero de corridas
ri 0 1 Corridas c Comentarios
0.844 1 1
0.016 0 1
0.938 1 1
0.609 1
0.031 0 1
0.203 0
0.125 0
0.797 1 1
0.219 0 1
0.391 0
0.313 0
0.984 1 1
0.406 0 1
0.578 1 1
0.500 0 1
0.172 0
0.594 1 1
0.766 1
0.688 1
0.359 0 1
0.781 1 1
0.953 1
0.875 1
0.547 1
0.969 1
0.141 0 1
0.063 0
0.734 1 1
0.156 0 1
0.328 0
0.250 0
0.922 1 1
0.344 0 1
0.516 1 1
0.438 0 1
0.109 0
c = 20 Nmero total de corridas
Esta es una corrida de tres ceros
Esta es una corrida de dos unos
Corridas arriba y debajo de la media
-
Generacin de nmeros aleatorios
82
M. C. Sergio Humberto Romo Picazo
6874.8)136(36
)3617*19*2)(17*19*2(
1
2222
10102
nn
nnnnnc
Estadstica de prueba
5278.06874.8
444.18*2020
c
ccz
Tabla 2.13 Resultados de la prueba de corridas arriba y debajo de la media para el
ejemplo 2.13
6. Conclusin: No se puede rechazar la hiptesis de independencia de los
nmeros ya que 96.15278.0 025.00 zz
2.4.2.3. Prueba de series
Esta prueba se utiliza para comprobar el grado de aleatoriedad entre nmeros
sucesivos. (Coss, 1986). Se trata de formar parejas de nmeros que sern
consideradas como coordenadas en un cuadrado unitario dividido en n2 celdas.
Ejemplo 2.14
Utilizamos una vez ms la muestra de 36 nmeros pseudoaleatorios de la tabla 2.7
para probar la independencia de stos, con un nivel de significancia de 0.05,
mediante la prueba de series.
1. ntesindependieson conjunto del nmeros los :0 irH
2. ntesindependieson no conjunto del nmeros los :0 irH
3. Nivel de significancia 05.0
4. El procedimiento para desarrollar la prueba consiste en generar n nmeros
pseudoaleatorios con los que se forman parejas aleatorias entre 1y ii rr , de
n0 19
n1 17
n 36
c 20 18.444 8.6874 0.5278
Valor crtico 1.96 CONCLUSIN Aceptar
2
12 10 n
nnc
122
2
10102
nn
nnnnnc
20
c
ccz
-
SIMULACIN: con enfoque de competencias
83
Instituto Tecnolgico de Aguascalientes Ingeniera Industrial
forma que .,,,,,, 121111 nnii rrrrrr Con estas duplas se crea una grfica de
dispersin dividida en m casillas, siendo m el valor ms cercano n .
Posteriormente se realiza la prueba de la chi-cuadrada considerando que la
frecuencia observada, Oi, es el nmero de puntos que se observ en cada
casilla. La frecuencia esperada, Ei, se determina con ,/1 mn donde 1n es el
nmero total de los puntos de la grfica de dispersin.
Despus se calcula el estadstico de la prueba con
m
i i
ii
E
OE
1
2
2
0
Y se establece el valor de 2 1, m , para compararse con la estadstica de
prueba.
5. La tabla 2.14 muestra los pares de puntos ordenados segn el criterio
expuesto en el punto 4. De acuerdo a esto se formaron los pares de puntos
ordenados (0.844,0.016), (0.016,0.938), (0.938,0.609)...(0.516,0.438),
(0.516,0.109).
La figura 2.2 muestra la grfica de dispersin para estos pares ordenados de
nmeros aleatorios. Se dividi en m = 9 casillas en las que se contabiliz el
nmero de puntos que cayeron dentro de cada una de ellas. Esto nos da el
valor de la frecuencia observada, Oi, en este caso, O1 = 3, O2 = 5, O3 = 7, O4 =
2, O5 = 5, O6 = 6, O7 = 1, O8 = 3 y O1 = 3.
La tabla 2.14 muestra la prueba chi-cuadrada. Observe que el valor de la
frecuencia esperada es Ei = 35/9 = 3.9. El valor crtico se determin con el
valor en tablas para 507.152 8,05.0 el cual servir para comparar con el del
estadstico de prueba que es 943.720 .
-
Generacin de nmeros aleatorios
84
M. C. Sergio Humberto Romo Picazo
Tabla 2.14. Pares de puntos para el ejemplo 2.14
0.844 0.016 0.938 0.609 0.031 0.203
0.125 0.797 0.219 0.391 0.313 0.984
0.406 0.578 0.500 0.172 0.594 0.766
0.688 0.359 0.781 0.953 0.875 0.547
0.969 0.141 0.063 0.734 0.156 0.328
0.250 0.922 0.344 0.516 0.438 0.109
TABLA CON MUESTRA DE NMEROS PSEUDOALEATORIOS
ri
1 0.844 0.844 0.016
2 0.016 0.016 0.938
3 0.938 0.938 0.609
4 0.609 0.609 0.031
5 0.031 0.031 0.203
6 0.203 0.203 0.125
7 0.125 0.125 0.797
8 0.797 0.797 0.219
9 0.219 0.219 0.391
10 0.391 0.391 0.313
11 0.313 0.313 0.984
12 0.984 0.984 0.406
13 0.406 0.406 0.578
14 0.578 0.578 0.500
15 0.500 0.500 0.172
16 0.172 0.172 0.594
17 0.594 0.594 0.766
18 0.766 0.766 0.688
19 0.688 0.688 0.359
20 0.359 0.359 0.781
21 0.781 0.781 0.953
22 0.953 0.953 0.875
23 0.875 0.875 0.547
24 0.547 0.547 0.969
25 0.969 0.969 0.141
26 0.141 0.141 0.063
27 0.063 0.063 0.734
28 0.734 0.734 0.156
29 0.156 0.156 0.328
30 0.328 0.328 0.250
31 0.250 0.250 0.922
32 0.922 0.922 0.344
33 0.344 0.344 0.516
34 0.516 0.516 0.438
35 0.438 0.438 0.109
Formacin de las coordenadas
ir 1ir
-
SIMULACIN: con enfoque de competencias
85
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Figura 2.2 Grfica de dispersin
Tabla 2.15 Prueba chi-cuadrada para el ejemplo 2.14
6. Conclusin. Como el valor del estadstico de prueba es menor al valor crtico
de la prueba, no se puede rechazar la hiptesis de independencia de los
nmeros de la tabla 2.7.
2.5. Obtencin de nmeros pseudoaleatorios utilizando paquetes
computacionales
Despus de la lectura de la seccin precedente debi haberle quedado claro que
existen muchos algoritmos para generar nmeros aleatorios y la importancia que las
Intervalo Ei Oi
1 3.9 3 0.203
2 3.9 5 0.317
3 3.9 7 2.489
4 3.9 2 0.917
5 3.9 5 0.317
6 3.9 6 1.146
7 3.9 1 2.146
8 3.9 3 0.203
9 3.9 3 0.203
7.943
15.507
i
ii
E
OE2
20
2 8,05.0
-
Generacin de nmeros aleatorios
86
M. C. Sergio Humberto Romo Picazo
secuencias generadas pasen las pruebas estadsticas de uniformidad e
independencia. LEcuyer (1997, 2001) advierte sobre el cuidado que debe tenerse al
utilizar un generador de nmeros pseudoaleatorios. Dice Cuando aplicamos
conjuntos de pruebas a los generadores de nmeros aleatorios que actualmente se
encuentran en el software comercial (software estadstico y simulacin, hojas de
clculo, etc.), nos encontramos con que muchos de ellos fallan las pruebas
espectacularmente. Algunos de los que se tiene que desconfiar son los que a
continuacin se listan, Ros, David; Ros, Sixto; Martn y Jacinto, (2009)
La biblioteca de Unix utiliza el generador congruencial
4848
1 2,2mod1172521490391 nnnn
xuxx
Java utiliza el mismo generador pero usa
53211222227 2/2/12/2 nnn xxu
En el caso de Visual Basic se emplea el generador congruencial siguiente
24
24
1
2
,2mod128201631140671485
nn
nn
xu
xx
Excel 2003 y 2007 emplean el generador de Wichman y Hill
1mod30323/30307/30269/30323mod170
30307mod172
30269mod171
1
1
1
nnn
nn
nn
nn
zyxu
xz
yy
xx
LEcuyer tiene razn al afirmar que actualmente existen varios generadores que son
rpidos, porttiles y pasan el conjunto de pruebas estadsticas exitosamente, por lo
que se puede confiar en ellos.
Ros, et al, (2009), hacen una revisin del software comercial en el que destacan lo
siguiente:
-
SIMULACIN: con enfoque de competencias
87
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Los principales generadores utilizan los lineales congruenciales mixtos y
multiplicativos, as como sus combinaciones.
Los de mayor calidad son MT19937 y MRG32k3a.
IMSL implementa generadores multiplicativos de mdulo m = 231 1 y
multiplicadores a = 16807, 397204094, 950706376. SIMSCRIPT II.5 lo usa
pero con un multiplicador a = 630360016.
El entorno estadstico S-PLUS implementa el algoritmo Super-Druper de
Marsaglia, basado en un generador multiplicativo y un generador de
Taustworth.
Los principales lenguajes de simulacin incluyen generadores que son estado
del arte.
Arena, Automod y Witness utilizan el algoritmo MRG32k3a.
En el caso de ProModel, usa un generador congruencial lineal multiplicativo con
mdulo primo (PMMLCG, por sus siglas en ingls) con a = 630,360,016, c = 0 y
m=231-1. El cual ha sido probado profusamente y se le reconoce como un generador
de nmeros aleatorios confiable para la simulacin, Harrell et al, (2003). El generador
es el siguiente:
12mod016,360,630 311 ii zz
Al obtener una secuencia de nmeros pseudoaleatorios que no sea del todo
confiable habr que hacer un conjunto de prueba, como las vistas en el apartado
anterior antes de usarla.
En los ejercicios de final de captulo se le pedir que realice un conjunto de pruebas
a nmeros pseudoaleatorios obtenidos a partir de diferentes paquetes
computacionales y usted juzgar cules son confiables y cules no.
2.6. Mtodo Montecarlo
En la primera unidad se discuti acerca de los tipos de simulacin y se estableci
que se puede clasificar como esttica o dinmica, estocstica o determinstica y de
eventos discretos o continua. En esta seccin se abordar la simulacin Monte Carlo
-
Generacin de nmeros aleatorios
88
M. C. Sergio Humberto Romo Picazo
que es una simulacin estocstica esttica, es decir, que no est basada en el
tiempo y basada en sucesos aleatorios.
El origen de la simulacin proviene de esta tcnica que fue utilizada por J. von
Neumann y otros investigadores a mediados de la dcada de 1940. Es un proceso
que utiliza en forma aleatoria para elegir valores de la muestra a partir de una
distribucin probabilstica, luego estos valores muestrales se utilizan como entradas
para el modelo de simulacin. Por esta razn la simulacin no es estrictamente una
simulacin sino un procedimiento o mtodo que se utiliza con modelos probabilsticos
de simulacin. (Davis y McKeown, 1986).
La tcnica puede emplearse en dos tipos generales de problemas:
Procesos estocsticos. Como los tiempos de trabajo variables, la demanda
desconocida, las fallas de equipo, la prioridad en la produccin, la inversin
total necesaria para la expansin de plantas industriales en condiciones de
incertidumbre, etc.
Problemas matemticos determinsticos. Son para problemas que no son
fciles de resolver, si es que tienen solucin, mediante mtodos
determinsticos, tal como la evaluacin de ciertas integrales.
El procedimiento del mtodo Monte Carlo es el siguiente:
1. Identificacin del sistema o rea problemtica.
2. Establecer una distribucin de probabilidad para las variables aleatorias
importantes.
3. Construir una distribucin acumulada de probabilidad para cada variable
aleatoria.
4. Establecer un intervalo de nmeros aleatorios para cada variable. Esto se
hace mediante la construccin de una tabla de transformacin inversa de la
funcin acumulada de probabilidad. Ya que la funcin acumulada est definida
en el intervalo [0, 1], se puede generar un nmero pseudoaleatorio uniforme
en el intervalo [0, 1] y determinar el valor de la variable aleatoria para la cual
su distribucin acumulada es igual al valor del nmero aleatorio ri.
-
SIMULACIN: con enfoque de competencias
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Instituto Tecnolgico de Aguascalientes Ingeniera Industrial
5. Generar suficientes nmeros aleatorios.
6. Simular una serie de ensayos.
Ejemplo 2.15
La compaa Tran, S. A., est desarrollando planes para la introduccin de un nuevo
producto. Esto generar nuevas necesidades de manejo de materiales y de espacio
de almacn. La demanda de ese producto es incierta, sin embargo, se estima que
tendr un comportamiento similar a otro producto que ya est en el mercado. Se
tom la decisin de utilizar los datos histricos del producto existente para realizar el
estudio. Se ha juzgado conveniente utilizar el mtodo Monte Carlo para determinar
sobre qu nivel de demanda realizar los planes.
La tabla 2.16 muestra la demanda histrica del producto existente, la cual abarca un
periodo de 180 das.
a. Cul es la demanda promedio en la que se basarn los planes?
b. Utilizando un mtodo analtico y no de simulacin Monte Carlo Cul es la
demanda esperada para el nuevo producto? Cmo se compara con la
respuesta en (a)?
Demanda (x)
(Toneladas/da)
Frecuencia
(nmero de das)
4 10
5 35
6 40
7 25
8 30
9 25
10 15
Tabla 2.16 Demanda histrica de un producto existente para el ejemplo 2.15.
-
Generacin de nmeros aleatorios
90
M. C. Sergio Humberto Romo Picazo
Solucin
a. Mtodo Montecarlo
Identificacin de la variable aleatoria. La variable aleatoria es la demanda, X = 4, 5, 6,
7, 8, 9, 10.
Construccin de la distribucin acumulativa de probabilidad para la variable aleatoria.
La tabla 2.17 muestra la demanda, la frecuencia, la probabilidad de la demanda p(X)
y la probabilidad acumulativa, P(X).
Demanda (x)
(Toneladas/da)
Frecuencia
(nmero de das)
Probabilidad
p(X)*
Probabilidad
acumulativa
P(X)
4 10 0.06 0.06
5 35 0.19 0.25
6 40 0.22 0.47
7 25 0.14 0.61
8 30 0.17 0.78
9 25 0.14 0.92
10 15 0.08 1.00
Tabla 2.17. Probabilidades p(X) y P(X) para la demanda del ejemplo 2.15. *Valores
redondeados a centsimos.
Dado que para cualquier distribucin de probabilidad acumulada las probabilidades
caen en el intervalos [0, 1], es posible generar una ocurrencia aleatoria
correspondiente a una distribucin probabilstica especfica, seleccionando un
nmero aleatorio en el intervalo [0, 1], encontrando el intervalo de la distribucin
acumulativa dentro del cual cae el nmero aleatorio e identificando el valor asociado
de la demanda. La tabla 2.18 muestra los intervalos en los que puede caer el nmero
aleatorio y su demanda asociada.
-
SIMULACIN: con enfoque de competencias
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Intervalo Demanda (X)
Ton/da
0 ri 0.06 4
0.06 < ri 0.25 5
0.25 < ri 0.47 6
0.47 < ri 0.61 7
0.61 < ri 0.78 8
0.78 < ri 0.92 9
92 < ri 1.00 10
Tabla 2.18. Definicin de los intervalos asociados a la demanda diaria.
Generacin de los nmeros aleatorios. Los nmeros aleatorios se pueden obtener a
partir de una tabla de nmeros aleatorios o por medio de una calculadora. Estos
nmeros sirven para determinar la demanda simulada. En este ejemplo, utilizaremos
slo 20 nmeros, aunque no quizs no sean suficientes para ser una muestra
representativa, si servirn para ilustrar el procedimiento de la simulacin. La tabla
2.19 muestra los resultados de la ocurrencia de los nmeros aleatorios y su
correspondiente demanda. Por ejemplo, el primer nmero aleatorios es 0.45,
entonces buscamos en la tabla 2.18 en que intervalo cae. En este caso cae en el
intervalo 0.25 0.25 < ri 0.47 y la demanda asociada a ste es 6 toneladas/da. El
segundo nmero es 0.79 que cae en el intervalo 0.78 < ri 0.92 y as sucesivamente.
ri Xi ri Xi ri Xi ri Xi
0.45 6 0.82 9 0.91 9 0.26 6
0.79 9 0.22 5 0.17 5 0.03 4
0.59 7 0.40 6 0.77 8 0.52 7
0.53 7 0.27 6 0.84 9 0.19 5
0.72 8 0.55 7 0.31 6 0.44 6
Tabla 2.18. Simulacin Monte Carlo para el ejemplo 2.15
-
Generacin de nmeros aleatorios
92
M. C. Sergio Humberto Romo Picazo
La figura 2.3 muestra estos dos valores en la grfica de distribucin acumulativa. Se
observa que, proyectando el valor de r1 = 0.45 intersecta con el valor de 6 toneladas
y para r2 = 0.79 se intersecta con 9 toneladas.
Figura 2.3. Muestreo Monte Carlo para los dos primeros nmeros aleatorios del
ejemplo 2.15.
De acuerdo con los resultados del muestreo Monte Carlo, la demanda promedio es la
siguiente:
Ton/da 75.620
135
20
20
1 i
iX
X
Y la desviacin estndar es
Ton/da 517.1X
b. Mtodo analtico
En realidad la solucin de este problema es mucho ms sencilla que mediante la
simulacin Monte Carlo. Esto se puede determinar a travs del concepto de valor
esperado de la variable aleatoria, como sigue:
r2 =0.79
r1 =0.45
Demanda, X
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SIMULACIN: con enfoque de competencias
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Ton/da 91.6)10)(08.0()9)(14.0()8)(14.0(
)8)(17.0()7)(14.0()6)(22.0()5)(19.0()4)(06.0()(20
1
i
ii XXPXE
c. Conclusin. El mtodo Monte Carlo dio una buena aproximacin de la
demanda esperada calculada mediante el mtodo analtico. Entre mayor sea
el tamao de la muestra para el mtodo Monte Carlo ms nos aproximaremos
al resultado del mtodo analtico.
Ejemplo 2.16
Utilice los datos del ejemplo 2.15 para aplicar el mtodo Monte Carlo mediante una
hoja de clculo (Excel), pero ahora con un tamao de muestra de 50 das.
Solucin
En la hoja de clculo defina los intervalos inferior y superior y ascielos con sus
respectivas demandas como se muestra en la tabla de la figura 2.4.
Figura 2.4 Intervalos superior e inferior asociados a sus respectivas demandas.
La tabla de la figura 2.4 servir para realizar la simulacin Monte Carlo junto con la
funcin =BUSCARV(ALEATORIO(),$B$4:$D$10,3), en la que estamos generando un
-
Generacin de nmeros aleatorios
94
M. C. Sergio Humberto Romo Picazo
nmero aleatorio que comparamos con los intervalos inferior y superior de la tabla de
la figura 2.4 y nos devuelve el valor de la demanda.
Figura 2.5. Tabla donde se muestran los resultados de la simulacin Monte Carlo
para el ejemplo 2.16
Los resultados presentados en la figura 2.5 muestran que ahora el promedio es 6.94
Ton/da que se aproxima ms al valor esperado calculado mediante el mtodo
analtico, sin embargo, este resultado fue producto del azar ya que cada vez que
efectuamos alguna otra operacin el resultado cambiar. Esto tambin sera posible
hacerlo una secuencia fija de nmeros aleatorios como lo hicimos en el ejemplo 2.15
2.7. Proyecto Final. Segundo avance
Obtencin de datos. Este segundo avance estar enfocado a la obtencin de datos.
Para ello se tienen que considerar los siguientes aspectos:
a. Elegir un procedimiento para la obtencin de datos.
b. Los tipos de datos que deben obtenerse.
c. Fuentes que deben usarse cuando se obtienen los datos.
d. Tipo de anlisis que deben realizarse a los datos.
-
SIMULACIN: con enfoque de competencias
95
Instituto Tecnolgico de Aguascalientes Ingeniera Industrial
e. Seleccin de la distribucin de probabilidad correcta que represente
a los datos.
Los aspectos anteriores debern ser los adecuados para el modelo que est bajo
estudio, sin embargo, para este segundo avance slo se considerarn los primeros
tres incisos, dejando los otros dos para el tercer avance. Esta gua est basada en lo
que recomiendan Harrell et al (2003).
1. Gua para la obtencin de los datos
a. Identificar los eventos desencadenantes. Es importante identificar las
causas o condiciones que desencadenan las actividades. Para validar un
modelo se necesita capturar los eventos desencadenantes correctos que
inician las actividades dentro del sistema.
b. Enfocarse solamente en los factores clave de impacto. Debe usarse la
discriminacin cuando se obtienen datos para prevenir el desperdicio de
tiempo buscando informacin poco importante.
c. Aislar los tiempos de actividad reales. Al determinar los tiempos de
actividad, es importante aislar solamente el tiempo que toma hacer la
actividad misma, excluyendo cualquier tiempo extrao por espera de
material y recursos de forma que la actividad pueda ejecutarse. Los tiempos
de espera no deben incluirse, esto lo arrojar la simulacin una vez que sea
corrida.
d. Buscar agrupamientos comunes. Cuando existe gran cantidad de tipos de
partes o perfiles de clientes es mejor reducir los datos a comportamientos y
patrones comunes. Una manera de agrupar datos comunes es primero
identificar las categoras principales en las cuales todos los datos pueden
ser asignados. Luego se calcula el porcentaje de casos que caen dentro de
cada categora.
e. Enfocarse en la esencia ms que en la sustancia. Un sistema debe ser
abstrado al ms alto nivel posible mientras se preserve la esencia de la
operacin del sistema.
-
Generacin de nmeros aleatorios
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f. Separar las variables de entrada de las variables de respuesta. Las
variables de entrada definen cmo funciona el sistema (tales como los
tiempos de actividad, secuencia de rutas, etc.) y deben enfocar la obtencin
de datos. En cambio, las variables de respuesta describen cmo responde
el sistema a un conjunto dado de variables de entrada (por ejemplo, la
cantidad de trabajo en proceso, la utilizacin de los recursos, etc.)
2. Determinar las necesidades de datos. Se debe determinar qu datos son
necesarios para construir el modelo. Para esto se debe tomar en consideracin el
alcance del modelo y el nivel de detalle requerido para lograr los objetivos del
estudio. Incluye:
a. Datos estructurales. Incluyen todos los objetos en el sistema que se est
modelando. Incluye las entidades (productos, clientes, etc.), recursos
(operadores, mquinas) y localizaciones (reas de espera, estaciones de
trabajo). Describe el layout o configuracin del sistema.
b. Datos operacionales. Explican cmo funciona el sistema. Incluyen toda la
informacin de comportamiento o lgica, como las rutas, programas,
comportamiento de paros y asignacin de recursos.
c. Datos numricos. Proporcionan informacin cuantitativa acerca del sistema.
Incluye: capacidades, tasas de llegadas, tiempos de actividad y tiempos
entre fallas.
d. Uso de un cuestionario. Es til usar un cuestionario como el siguiente:
i. Qu tipo de entidades se procesan en el sistema?
ii. Cul es la secuencia de ruta para cada tipo de entidad?
iii. Dnde, cundo y en qu cantidades entran las entidades al
sistema?
iv. Cules son los requerimientos de tiempo y recursos para cada
operacin y movimiento?
v. En qu cantidades las entidades son procesadas y movidas? (Para
cada localizacin).
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SIMULACIN: con enfoque de competencias
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vi. Qu dispara el movimiento de la entidad de localizacin a
localizacin (terminacin de la operacin, acumulacin de un lote,
etc.)?
vii. Cmo las localizaciones y los recursos determinan cul trabajo
sigue (el ms antiguo esperando, la ms alta prioridad, etc.)?
viii. Cmo se toman las decisiones de rutas y operaciones alternativas
(porcentaje, condicin, etc.)?
ix. Qu tan a menudo ocurren las interrupciones (preparaciones,
paros, etc.) y qu recursos y tiempos son necesarios cuando
suceden?
x. Cul es el programa de disponibilidad para las localizaciones y
recursos (turnos, tiempos de paro, intervalos de mantenimiento
programado, etc.)?
3. Identificar las fuentes de datos. Los datos se pueden obtener de las siguientes
fuentes:
a. Registros histricos
b. Documentacin del sistema
c. Observacin personal
d. Entrevistas personales
e. Comparacin con sistemas similares
f. Demandas del cliente
g. Estimaciones de diseo
h. Literatura de investigacin
4. Recolectar los datos. Se aconseja ir de lo general a lo especfico siguiendo la
siguiente secuencia:
a. Definir el flujo general de la entidad. El flujo de la entidad se define
siguiendo el movimiento de la entidad a travs del sistema. Use un
diagrama de flujo o sobreponiendo el flujo de la entidad en el layout del
sistema.
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Generacin de nmeros aleatorios
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b. Desarrollar una descripcin de la operacin. La descripcin de la operacin
puede hacerse paso a paso, en forma de una breve narracin o
representarse en forma tabular.
i. Los requerimientos de tiempo y recursos de la actividad u operacin
ii. Dnde, cundo y en qu cantidades las entidades toman la siguiente
ruta.
iii. Los requerimientos de tiempo y recursos para mover la entidad a la
siguiente localizacin.
c. Definir detalles incidentales y refinar los valores de los datos. Una vez que
el modelo bsico se ha construido y probado, pueden aadirse algunos
detalles adicionales como paros, preparaciones y prioridades del trabajo.
Esta informacin no es esencial para obtener un modelo que corra, pero es
necesario para un modelo completo y exacto. Tambin es necesario
considerar el tamao de la muestra, que sea lo suficientemente grande para
proporcionar una imagen exacta y no tan grande que la haga costosa sin
aadir informacin adicional.
Como qued asentado arriba, el tipo de anlisis que deben realizarse a los datos
y la seleccin de la distribucin de probabilidad correcta que represente a los
datos, se deja para el tercer avance, una vez que se revise el aspecto de la
generacin de variables aleatorias y sus pruebas estadsticas.
2.8. Cuestionario de revisin
1. Explique la diferencia entre un nmero aleatorio y un nmero
pseudoaleatorio.
2. Qu dispositivos se pueden utilizar para generar nmeros aleatorios?
3. Cules son las caractersticas estadsticas de los nmeros
pseudoaleatorios?
4. Cul es el valor esperado de los nmeros aleatorios uniformes? Su
varianza?
5. Qu aspectos importantes se deben considerar al momento de elegir un
generador de nmeros pseudoaleatorios?
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SIMULACIN: con enfoque de competencias
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2.9. Problemas
1. Genere cinco nmeros pseudoaleatorios mediante el mtodo de cuadrados
medios si el valor de la semilla es .42330 X
2. Si se generan cinco nmeros pseudoaletorios mediante el mtodo de
productos medios, con semillas 2707y 4233 10 XX Cul es el valor de
Y3? Cul es el valor de X4? Cul es el valor de r5?
3. Genere cinco nmeros pseudoaleatorios mediante el mtodo del
multiplicador constante si 2707y 42330 aX
4. Genere los nmeros pseudoaleatorios utilizando el algoritmo congruencial
lineal mixto hasta alcanzar el periodo completo si se tienen los siguientes
parmetros:
Generador a c X0 m
a. 5 7 16 8
b. 41 31 75 16
c. 41 7 145 32
5. Genere los nmeros pseudoaleatorios utilizando el algoritmo congruencial
lineal multiplicativo hasta alcanzar el periodo mximo si se tienen los
siguientes parmetros:
Generador a c X0 m
a. 5 0 16 8
b. 43 0 75 16
c. 43 0 145 32
6. Genere 8 nmeros pseudoaleatorios mediante el algoritmo congruencial
lineal aditivo si se tienen los siguientes nmeros aleatorios enteros
54,93,25,14,96 54321 xxxxx
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Generacin de nmeros aleatorios
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7. Genere los nmeros pseudoaleatorios utilizando el algoritmo congruencial
cuadrtico hasta alcanzar el periodo completo si se tienen los siguientes
parmetros:
Generador a b c X0 m
a. 6 15 13 195 32
b. 16 33 23 1233 16
c. 6 15 9 87 8
8. Prepare una hoja de clculo en Excel para generar nmeros
pseudoaleatorios usando el algoritmo congruencial lineal mixto en el que
se obtenga un ciclo completo P = m = 128 con los siguientes parmetros:
.12817,65,3760 mycaX
9. Prepare una hoja de clculo en Excel para generar nmeros
pseudoaleatorios usando el algoritmo congruencial lineal multiplicativo en
el que se obtenga un ciclo mximo P = m/4 = 32 con los siguientes
parmetros: .128,19,1450 myaX
10. Tome los primeros 36 nmeros generados en la hoja de clculo del
ejercicio 8 y realice las siguientes pruebas (todas para un nivel de
confianza del 95%)
a. Prueba de la media
b. Prueba de la varianza
c. Prueba de bondad de ajuste para la distribucin uniforme mediante
la chi-cuadrada.
d. Prueba de corridas ascendentes y descendentes.
e. Despus de realizadas las cuatro pruebas, se puede afirmar que
estos nmeros son confiables para usarse en una simulacin?
11. Tome 10 nmeros (del 40 al 49) del ejercicio 8 y realice la prueba de
Kolgomorov-Smirnov para un nivel de confianza del 90%. Se puede
rechazar la hiptesis de uniformidad? Explique.
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SIMULACIN: con enfoque de competencias
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12. Tome los 32 nmeros generados en el ejercicio 9 y realice las siguientes
pruebas para un nivel de confianza de 95%.
a. Prueba de la media
b. Prueba de la varianza
c. Prueba de bondad de ajuste para la distribucin uniforme mediante
la chi-cuadrada.
d. Prueba de corridas por arriba y por debajo de la media.
e. La prueba de series.
f. Despus de realizadas las cinco pruebas, se puede afirmar que
estos nmeros son confiables para usarse en una simulacin?
13. El taller de mantenimiento de la compaa Tran, S. A., recopil los
siguientes datos acerca del nmero de solicitudes de servicios de
mantenimiento, por da de trabajo, durante un periodo de 60 das.
Nmero de solicitudes Frecuencia
0 3
1 4
2 7
3 11
4 12
5 10
6 5
7 5
8 3
Utilice el mtodo Monte Carlo para simular 20 das de trabajo de ese taller.
Para la simulacin use los primeros 20 nmeros pseudoaleatorios que gener
en el ejercicio 9.
a. En promedio, cuntas solicitudes de servicio se recibirn en un da
dado?
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Generacin de nmeros aleatorios
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b. Cul es el valor esperado de solicitudes en un determinado da si
se usa el mtodo analtico?
14. El jefe de mantenimiento del taller de Tran, S. A., recolect datos sobre los
tiempos de servicio que se llevan las reparaciones de las mquinas. Desea
hacer una simulacin para saber el tiempo promedio que lleva la
reparacin de las mquinas.
Tiempo de servicio
(min) Frecuencia
30 18
40 16
50 15
60 13
70 11
80 10
90 10
100 9
110 6
120 3
a. Utilice el mtodo Monte Carlo para determinar el tiempo promedio
de las reparaciones. Use los ltimos 30 nmeros del ejercicio 8.
b. Cul es el valor esperado de los tiempos de servicio si se usa el
mtodo analtico?
15. Prepare una hoja de clculo para simular el lanzamiento de un dado legal,
mediante el mtodo Monte Carlo, utilice todos los nmeros generados en
el ejercicio 8.
2.10. Competencias especficas de la unidad 2.
Esta seccin tiene como propsito que usted desarrolle las actividades que se
sugieren para que adquiera las competencias especficas que se incluyen en el
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SIMULACIN: con enfoque de competencias
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programa de estudios. Es importante que las realice todas ya que cada una de ellas
tiene una cierta ponderacin en la evaluacin de la unidad. En esta unidad se
incluyen cuatro competencias especficas que son:
Conocer la diferencia entre nmeros aleatorios y pseudo-aleatorios.
Generar, a travs de varias tcnicas matemticas, nmeros pseudoaleatorios.
Realizar las pruebas estadsticas de aleatoriedad y establecer las
conclusiones correspondientes para los nmeros pseudo-aleatorios
generados.
Explicar, con base en las pruebas estadsticas, por qu algunos mtodos o
parmetros para la generacin de nmeros pseudoaleatorios no son
confiables.
Al igual que en la unidad 1, en esta unidad se proponen una serie de actividades
tendientes a que usted adquiera las competencias deseables en lo concerniente a la
problemtica de los nmeros aleatorios y pseudoaleatorios, su generacin y pruebas
de aleatoriedad. Las tablas 2.19 a 2.22 corresponden a las cuatro competencias
marcadas en este captulo y la tabla 2.23 se refiere al segundo avance del proyecto
final: Obtencin de la informacin. Se le reitera la importancia de realizar todas las
actividades marcadas en cada tabla y elaborar el reporte que se pide.
Competencia a
desarrollar
1. Conocer la diferencia entre nmeros aleatorios y
pseudoaleatorios.
Actividades
1.1. Visite el sitio http://www.random.org/. Qu argumentos
dan sobre la diferencia entre los verdaderos nmeros
aleatorios y los nmeros pseudoaleatorios?
1.2. Acceda al apartado Numbers. Qu se utiliza para
generar los nmeros aleatorios verdaderos?
1.3. Genere 100 nmeros aleatorios verdaderos por medio
de este generador, entre 0 y 100 en cuatro columnas.
Imprima la tabla.
1.4. Aceda al generador de fracciones decimales aleatorias
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e imprima un conjunto de 100 nmeros de cuatro
decimale