simulacion_numerica

Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinariasResolucion numerica de problemas de valor inicial de EDOs

Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

Simulacion numerica

Ander Murua

Donostia, UPV/EHU



Ecuaciones de primer ordenEcuaciones de segundo ordenSistemas de ecuaciones de primer ordenEcuaciones diferenciales en derivadas parciales

Modelo Malthusiano

dP

dt= rP, P(0) = P0

donde r es la diferencia entre la tasa de natalidad y la tasa demortandad por unidad de tiempo. La solucion exacta es

P(t) = P0 er t .

Si r > 0, la poblacion crece de forma ilimitada, y si r < 0, decaeexponencialmente hacia cero.Este modelo no es nada realista, pues no tiene en cuenta lalimitacion de recursos naturales.




Modelo de Verhulst. Ecuacion logstica

dP

dt= r (1 P/K )P, P(0) = P0,

donde r > 0.

Si P0 = K , entonces P(t) = K para todo t.

Se puede comprobarque la solucion general es de la forma

P(t) =K P0

P0 + (K P0)er t ,

de modo que en cualquier caso (para P0 0 arbitrario), lapoblacion tiende hacia K cuando t .




Modelo de Verhulst. Ecuacion logstica

dP

dt= r (1 P/K )P, P(0) = P0,

donde r > 0.

Si P0 = K , entonces P(t) = K para todo t. Se puede comprobarque la solucion general es de la forma

P(t) =K P0

P0 + (K P0)er t ,

de modo que en cualquier caso (para P0 0 arbitrario), lapoblacion tiende hacia K cuando t .




Modelo simplificado de pesca

dP

dt= r(1 P/K )P H(t)

donde t el tiempo medido en meses, y H(t) es la cantidad detoneladas que se pesca por unidad de tiempo. Consideremos doscasos:

Se pesca un numero fijo L de toneladas al mes durante todo elano. En ese caso, H(t) es una funcion constante H(t) = L.Solo se pesca durante tres meses al ano, con una cantidad fijaL de toneladas al mes, y durante el resto del ano no se pesca.En tal caso, H(t) sera una funcion periodica

H(t) =

{L si 12n t < 12n + 30 si 12n + 3 t < 13n





dP

dt= r(1 P/K )P H(t)


Se pesca un numero fijo L de toneladas al mes durante todo elano. En ese caso, H(t) es una funcion constante H(t) = L.

Solo se pesca durante tres meses al ano, con una cantidad fijaL de toneladas al mes, y durante el resto del ano no se pesca.En tal caso, H(t) sera una funcion periodica

H(t) =

{L si 12n t < 12n + 30 si 12n + 3 t < 13n





dP

dt= r(1 P/K )P H(t)


Se pesca un numero fijo L de toneladas al mes durante todo elano. En ese caso, H(t) es una funcion constante H(t) = L.Solo se pesca durante tres meses al ano, con una cantidad fijaL de toneladas al mes, y durante el resto del ano no se pesca.En tal caso, H(t) sera una funcion periodica

H(t) =

{L si 12n t < 12n + 30 si 12n + 3 t < 13n




Velocidad de caida de un paracaidista

mdv

dt= mg + c v2, v(0) = 0.

donde m es la masa del paracaidista en kilogramos, g = 9.8m/s2,y c > 0 es un parametro relativo a la friccion del aire con respectoal cuerpo que cae.Tiene dicho problema solucion unica?

De hecho, se puedecomprobar que la solucion v(t) es

v(t) = vt 1 exp(2gt/vt)1 + exp(2gt/vt)

donde vt =

mg/c . Observar que limt v(t) = vt .





mdv

dt= mg + c v2, v(0) = 0.

donde m es la masa del paracaidista en kilogramos, g = 9.8m/s2,y c > 0 es un parametro relativo a la friccion del aire con respectoal cuerpo que cae.Tiene dicho problema solucion unica? De hecho, se puedecomprobar que la solucion v(t) es


donde vt =

mg/c .

Observar que limt v(t) = vt .





mdv

dt= mg + c v2, v(0) = 0.

donde m es la masa del paracaidista en kilogramos, g = 9.8m/s2,y c > 0 es un parametro relativo a la friccion del aire con respectoal cuerpo que cae.Tiene dicho problema solucion unica? De hecho, se puedecomprobar que la solucion v(t) es


donde vt =

mg/c . Observar que limt v(t) = vt .




Ecuacion del pendulo

mLd2

dt2= mg sin() c d

dt

Este es un ejemplo de ecuacion de segundo orden. Si introducimosuna nueva variable para la velocidad angular ddt , obtenemos unsistema de ecuaciones diferenciales de primer orden

d

dt= g

Lsin() c

m L

d

dt=

Para determinar una solucion concreta, hay que conocer (t0) y(t0) para un instante t0 inicial. Fijados estos valores, la soluciones unica.




Un modelo depredador-presa: El sistema de Lotka-Volterra

du

dt= (a b v) u,

dv

dt= (c u d) v ,

donde u representa la poblacion de presas y v la de depredadores,y a, b, c , d > 0 son parametros del problema previamente fijados.

Es un sistema autonomo.

Se puede ver que sus soluciones son periodicas.

Si se conocen u(0) y v(0) (ademas de los valores de losparametros a, b, c , d > 0), la solucion (u(t), v(t)) se puededeterminar de forma unica.




Consideremos la funcion

I (u, v) = d ln u + a ln v c u b v .

Para cualquier solucion (u(t), v(t)) del sistema

d

dtI (u(t), v(t)) = 0 para todo t,

y por tanto

I (u(t), v(t)) = I (u(0), v(0)) para todo t,

es decir, I (u, v) is un invariante del sistema. A partir de ello, sepuede deducir que (u(t), v(t)) es periodica respecto de t.




Simulacion de un satelite artificial

El movimiento de un satelite artificial alrededor de la tierra:

d2x

dt2= x

r3+ #Fx(x , y),

d2y

dt2= y

r3+ #Fy (x , y),

donde # es una constante positiva, r =

x2 + y2, y

Fx(x , y) =1

2

(9 + 15x

2

r2

)x

r5,

Fy (x , y) =1

2

(3 + 15x

2

r2

)y

r5.

Valor tpico del parmetro: # = 103.Ejemplo de valores iniciales con solucion casi periodica:

x(0) = 1, y(0) = 0, x (0) = 0, y (0) = 1.




El sistema de Lorenz

El siguiente sistema es un ejemplo de sistema caotico (fuepropuesto por Lorenz como un modelo simplificado para laevolucion de variables atmosfericas).

dx

dt= a x + a y ,

dy

dt= r x y x z ,

dz

dt= b z + x y ,

donde a, b, y r son constantes positivas.Valores tpicos de los parametros: a = 10, b = 8/3, y r = 28.Ejemplo de condiciones iniciales:

x(0) = 1, y(0) = 2, z(0) = 3.




Supongamos que tenemos una barra fina aislada termicamente delexterior, excepto posiblemente por los extremos.

La ecuacion del calor unidimensional

tu(x , t) = a

2

x2u(x , t).

donde

a > 0 es la constante de difusion,

u(x , t) es la temperatura en el tiempo t del punto concoordenada espacial x .

Para determinar de forma unica la solucion, necesitamos masinformacion:

Que ocurre en los extremos? (i.e. condiciones de contorno?)

Condiciones iniciales: u(x , 0) =? para cada x .



Metodos elementales e implementacion basicaEjemplos de metodos de Runge-Kutta y aplicacionesProblemas stiff

Problema de valor inicial de EDOs

d

dty = f (t, y),

y(t0) = y0.

Datos del problema:1 Tiempo inicial t0,2 Valor inicial y0,3 Lado derecho de la equacion diferencial: f (t, y).

Solucion: La funcion y(t).

Resolucion numerica:

Discretizacion del tiempo: Considerar t0, t1, t2, . . . , tn, dondetk = tk1 + h, con h relativamente pequeno,Calcular aproximaciones yk y(tk) para k = 1, 2, 3, . . . , n.




Metodo de Euler

Para k = 0, 1, . . . , n 1

yk+1 = yk + h f (tk , yk)

Importante: En el caso de un sistema de EDOs de dimension d ,

Cada yk es un vector de d componentes ( yk Rd),Para cada (t, y) Rd+1, tenemos f (t, y) Rd .




Metodo de Euler mejorado

Para k = 0, 1, . . . , n 1

yk+1 = yk + h f (tk +h

2, yk +

h

2f (tk , yk))

Metodo del punto medio explcito

y1 = y0 + h f (t0 +h

2, y0 +

h

2f (t0, y0))

y para k = 1, . . . , n 1,

yk+1 = yk1 + 2h f (tk , yk).




Para sistemas autonomos, es decir de la formad

dty = f (y),

Metodo de Euler mejorado

Para k = 0, 1, . . . , n 1

yk+1 = yk + h f (yk +h

2f (yk))

Metodo del punto medio explcito

y1 = y0 + h f (y0 +h

2f (y0))

y para k = 1, . . . , n 1,

yk+1 = yk1 + 2h f (yk).




Ejercicio

La EDO de la velocidad del paracaidista

mdv

dt= mg + c v2, v(0) = 0,

donde g = 9.8m/s2, m = 70Kg y c = 0.3, y que queremosaproximar la solucion v(t) para t [0, 30].

Aproximar la solucion v(t) para t = t0, t1, t2, . . . , tn = 30(donde tk = h k y h = 30/n) utilizando el metodo de Eulercon distintos valores de h. Nuestro objetivo es analizar comose reduce el error cometido segun reducimos h. Para ello,calcular para h = 0.3, h = 0.15, h = 0.075

Error = max1kn

|v(tk) vk |.

Repetir el experimento para el metodo de Euler mejorado.




Definicion de orden de un metodo

Supongamos que aplicamos un metodo numerico a un problema devalor inicial

d

dty = f (t, y), y(t0) = y0

para aproximar la solucion y(t) para t [t0,T ], de modo queobtenemos

yk y(tk), k = 0, 1, 2, . . . , n,

donde tk = t0 + k h y h = (T t0)/n.El metodo es de orden r si existe C > 0 tal que para cualquierdiscretizacion suficientemente fina

1

hrError =

1

hrmax1kn

||y(tk) yk || C .




Ejercicio

Las ecuaciones del pendulo

d

dt= , mL

d

dt= mg sin() c,

donde g = 9.8m/s2, L = 1m, m = 1Kg y c = 0.0003, y quequeremos aproximar la solucion y(t) = ((t),(t)) para t [0,T ]con T = 10.

Aproximar la solucion y(t) para t = t0, t1, t2, . . . , tn = T(donde tk = h k y h = T/n) utilizando el metodo de Eulermejorado con distintos valores de h. Comprobarexperimentalmente que el metodo es de orden 2. Para ello,calcular para h = 0.01, h = 0.005, h = 0.00025

1

h2Error =

1

h2max1kn

||y(tk) yk ||.Repetir el experimento para T = 20.Repetir el experimento para T = 40.




Implementacion

Supongamos que tenemos definida en Matlab una funcion (porejemplo, edofun) tal que, dados t R un vector y Rd ,edofun(t, y) devuelve un vector f (t, y) Rd . Dicha funciondetermina un sistema de ecuaciones differenciales de la forma

d

dty = f (t, y).

Sabemos que, dados t0 R y y0 Rd , existe una unica soluciondel sistema que satisfaga la condicion inicial

y(t0) = y0.




Ejercicio

Definir una nueva funcion, digamos EulerModif, que dadost0 R,y0 Rd , h > 0, y n N, devuelve un vector columnaT Rn+1 y una matriz Y R(n+1)d , tales que

T =

t0

t1...

tn

, Y

y(t0)T

y(t1)T

...

y(tn)T

,donde tk = t0 + k h.




Dado el problema de valor inicial

d

dty = f (t, y), y(t0) = y0,

Para obtener para j = 0, 1, 2, . . . las aproximaciones yj y(tj)(tj = t0 + j h),

Metodo de Runge-Kutta de orden 4

k1 = h f (tj , yj),

k2 = h f (tj +h

2, yj +

1

2k1),

k3 = h f (tj +h

2, yj +

1

2k2),

k4 = h f (tj + h, yj + k3),

yj+1 = yj +1

6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4).




Dado un sistema autonomo con condicion iniciald

dty = f (y), y(t0) = y0,

Para obtener las aproximaciones yj y(tj) (tj = t0 + j h,j = 0, 1, 2, . . .),

Metodo de Runge-Kutta de orden 4 para sistemas autonomos

k1 = h f (yj),

k2 = h f (yj +1

2k1),

k3 = h f (yj +1

2k2),

k4 = h f (yj + k3),

yj+1 = yj +1

6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4).




RK de orden 5 de Dormand & Prince (ode45)

Para tj = t0 + j h (j = 0, 1, 2, . . .), y(tj) yj , donde

k1 = h f (yj)

k2 = h f (yj +k15)

k3 = h f (yj +3k140

+9k240

)

k4 = h f (yj +44k145

56k215

+32k39

)

k5 = h f (yj +19372k16561

25360k22187

+64448k36561

212k4729

)

k6 = h f (yj +9017k13168

355k233

+46732 k35247

+49k4176

5103k518656

)

yj+1 = yj +35k1384

+500k31113

+125k4192

2187k56784

+11k684

.




Ejemplo de decaimiento radiactivo

dy

dt= 100y , y(0) = 1,

La solucion exacta es

y(t) = e100 t .

Queremos aproximar la solucion para t [0, 100].Aplicar el metodo de Euler, primero con h = 0.019, y despuescon h = 0.021. Comparar graficamente los resultados.Aplicar el integrador ode45 con longitud de paso constante,primero con h = 0.02, y despues con h = 0.04, yrepresentarlas graficamente en una misma figura.Aplicar el integrador ode45 con tolerancia absoluta y relativatol, primero con tol = 103, Y despues con tol = 104.Comparar el coste computacional y el error cometido.




Problema test de estabilidad lineal

y = y , y(0) = 1,

donde es una constante.

La solucion exacta es y(t) = e t , y si < 0,

limt y(t) = 0.

Aplicacion del metodo de Euler

y(n h) yn = (1 + h ) yn1, y0 = 1.

Es decir yn = (1 + h )n





y(n h) yn = (1 + h ) yn1, y0 = 1.

Es decir yn = (1 + h )n.

Inestabilidad: Si |1 + h| > 1, entonces limn |yn| =. Por

ejemplo, si = 100 y h = 0.009, |1 + h | = 1.1, y por tanto

limn |yn| = limn(1.1)

n =.





y(n h) yn = (1 + h ) yn1, y0 = 1.


Inestabilidad: Si |1 + h| > 1, entonces limn |yn| =.

Por



n =.





y(n h) yn = (1 + h ) yn1, y0 = 1.


Inestabilidad: Si |1 + h| > 1, entonces limn |yn| =. Por



n =.




Ejemplo de muelle rgido con masa puntual (oscilador armonico)

x = 1000000(x 1), x(0) = 1.1, x (0) = 0.La solucion exacta es

x(t) = 1 + cos(1000 t).

Queremos aproximar la solucion para t [0, 1].Aplicar el metodo de Euler, primero con h = 0.01, y despuescon h = 0.001. Comparar graficamente los resultados.Aplicar el integrador ode45 con longitud de paso constante,primero con h = 0.0009, y despues con h = 0.0011, yrepresentarlas graficamente en una misma figura.Aplicar el integrador ode45 con tolerancia absoluta y relativatol, primero con tol = 104, Y despues con tol = 103.Comparar el coste computacional y el error cometido.




La ecuacion de segundo orden del oscilador armonico se puedereescribir, con el cambio de variable u = x 1, y anadiendo lavariable v = x = u, como

u = v , v = 1000000u, u(0) = 0.1, v(0) = 0. (1)

Ejercicio

Encontrar un cambio de variable de la forma

u = a1,1y + a1,2z , v = a2,1y + a2,2z ,

que transforma el sistema (1) en dos ecuaciones independientes

y = y , z = z .

Cuales son concretamente los valores , ?




Version general del test de estabilidad lineal

y = y , y(0) = 1,

donde C.La solucion exacta es y(t) = e t , y

Si Re() < 0, limt y(t) = 0,

Si Re() > 0, limt |y(t)| =,

Si Re() = 0 ( imaginario puro), entonces |y(t)| 1 (t).


y(n h) yn = (1 + h ) yn1, y0 = 1.





Version general del test de estabilidad lineal

y = y , y(0) = 1,

donde C.La solucion exacta es y(t) = e t , y

Si Re() < 0, limt y(t) = 0,

Si Re() > 0, limt |y(t)| =,

Si Re() = 0 ( imaginario puro), entonces |y(t)| 1 (t).Aplicacion del metodo de Euler

y(n h) yn = (1 + h ) yn1, y0 = 1.






y(n h) yn = (1 + h ) yn1, y0 = 1.


Inestabilidad: Si |1 + h| > 1, entonces

limn |yn| =.

Por ejemplo, si = 100i y h = 0.009, |1 + h | = 1 + 0.9i , y portanto, puesto que |1 + 0.9i | = 1.81 > 1,

limn |yn| = limn(

1.81)n =.




Si aplicamos el metodo de Runge-Kutta de orden 5 de Dormand &Prince (Dopri5, ode45) al problema test

y = y , y(0) = 1,

donde C, las aproximaciones yn y(n h) = en,h que seobtienen son

yn = R(h )n

Funcion de estabilidad lineal de DOPRI5 (ode45)

R(z) = 1 + z +z2

2+

z3

6+

z4

24+

z5

120+

z6

600




La solucion numerica sera estable si h pertenece a la

Region de estabilidad lineal de DOPRI5 (ode45)

{z C / |R(z)| 1}

-4 -2 0 2

-4

-2

0

2

4

rk46.ma 1




Dado un problema de valor inicial de EDOs

d

dty = f (t, y), y(t0) = y0,

y fijada una discretizazion tn = t0 + n h del tiempo, paran = 0, 1, 2, . . ., se pueden obtener las aproximaciones

yn y(tn)

por medio del

Metodo de Euler implcito

yn = yn1 + h f (tn, yn)

Precision: Es un metodo de orden 1.




El metodo de Euler implcito aplicado al problema test

y = y , y(0) = 1,

(donde C), da la solucion numerica

yn = R(h)n, donde R(z) =

1

1 z .

Region de estabilidad lineal

{z C / |R(z)| 1} = {z C / |z 1| 1}




Metodo del trapecio

yn = yn1 +h

2(f (tn1, yn1) + f (tn, yn))

Precision: Es un metodo de orden 2.Aplicado al problema test de estabilidad lineal, se obtiene


1 + 12z

1 12z.


{z C / |R(z)| 1} = {z C / Re(z) 0}.




Metodo del trapecio

yn = yn1 +h

2(f (tn1, yn1) + f (tn, yn))

Precision: Es un metodo de orden 2.

Aplicado al problema test de estabilidad lineal, se obtiene


1 + 12z

1 12z.


{z C / |R(z)| 1} = {z C / Re(z) 0}.




Metodo del trapecio

yn = yn1 +h

2(f (tn1, yn1) + f (tn, yn))

Precision: Es un metodo de orden 2.Aplicado al problema test de estabilidad lineal, se obtiene


1 + 12z

1 12z.


{z C / |R(z)| 1} = {z C / Re(z) 0}.




Metodo de Gauss de orden 4

yn = yn1 +h

2(f (tn1 + c1h,Z1) + f (tn1 + c2h,Z2)),

donde Z1 y Z2 estan definidos de forma implcita por medio de

Z1 = yn1 + h (a11 f (tn1 + c1h,Z1) + a12 f (tn1 + c2h,Z2)),Z2 = yn1 + h (a21 f (tn1 + c1h,Z1) + a22 f (tn1 + c2h,Z2)),

con los coeficientes

a11 = a22 =1

4, a12 =

1

43

6, a21 =

1

4+

3

6,

y c1 = a11 + a21, c2 = a21 + a22.




El metodo de Gauss de orden 4 aplicado al problema test deestabilidad lineal y = y , y(0) = 1:


1 + z2 +z2

12

1 z2 + z2

12

.


{z C / |R(z)| 1} = {z C / Re(z) 0}.




Metodo de BDF de orden 2

2

3yn 2yn1 + 1

2yn2 = h f (tn, yn).


11

6yn 3yn1 + 3

2yn2 1



25

12yn 4yn1 + 3yn2 4

3yn3 +

1






tu(x , t) = a

2

x2u(x , t).

donde



Que ocurre en los extremos? Es decir, cuales son lascondiciones de contorno? Ejemplo: u(0, t) = 0 = u(1, t) paratodo t.Condiciones iniciales: u(x , 0) =? para cada x .





tu(x , t) = a

2

x2u(x , t).

donde



Que ocurre en los extremos? Es decir, cuales son lascondiciones de contorno?

Ejemplo: u(0, t) = 0 = u(1, t) paratodo t.Condiciones iniciales: u(x , 0) =? para cada x .





tu(x , t) = a

2

x2u(x , t).

donde



Que ocurre en los extremos? Es decir, cuales son lascondiciones de contorno? Ejemplo: u(0, t) = 0 = u(1, t) paratodo t.

Condiciones iniciales: u(x , 0) =? para cada x .





tu(x , t) = a

2

x2u(x , t).

donde



Que ocurre en los extremos? Es decir, cuales son lascondiciones de contorno? Ejemplo: u(0, t) = 0 = u(1, t) paratodo t.Condiciones iniciales: u(x , 0) =? para cada x .



La ecuacion del calor bidimensional

tu(x , y , t) = a

(2

x2u(x , y , t) +

2

y2u(x , y , t)

).

donde


u(x , y , t) es la temperatura en el tiempo t del punto concoordenadas cartesianas (x , y).

Que forma tiene la placa? Es decir, como es su contorno?

Que ocurre en los puntos del contorno? Es decir, cuales sonlas condiciones de contorno? Ejemplo: u(x , y , t) = 0 paratodo t en cualquier punto (x , y) de su contorno.

Condiciones iniciales: u(x , y , 0) =? para cada (x , y).




tu(x , y , t) = a

(2

x2u(x , y , t) +

2

y2u(x , y , t)

).

donde




Que ocurre en los puntos del contorno? Es decir, cuales sonlas condiciones de contorno?

Ejemplo: u(x , y , t) = 0 paratodo t en cualquier punto (x , y) de su contorno.





tu(x , y , t) = a

(2

x2u(x , y , t) +

2

y2u(x , y , t)

).

donde




Que ocurre en los puntos del contorno? Es decir, cuales sonlas condiciones de contorno? Ejemplo: u(x , y , t) = 0 paratodo t en cualquier punto (x , y) de su contorno.




Siguiendo con el ejemplo anterior:

El conjunto de puntos (x , y) de la placa se conoce como eldominio del problema.

La frontera de se denota como .

Una condicion de contorno tpica es u(x , y , t) = Cte paratodo x .

Ejemplo

= {(x , y) R2 / 0 x 1, 0 y 1}Condiciones de contorno: u(x , y , t) = 0 si (x , y) Condiciones iniciales:

u(x , y , 0) =

{1 si x2 + y2 < 2/5,

0 si x2 + y2 2/5,



Familias de metodos para la discretizacion espacial

Diferencias finitas (basados en formulas de derivacion),

Elementos finitos (FEM),

Metodos de tipo espectral,

. . .

Formulas de derivacion numerica

Para aproximar derivadas primeras

f (x) f (x +x) f (x x)2x

= f (x) +O(x2)

Para aproximar derivadas segundas

f (x) f (x +x) 2f (x) + f (x x)x2

= f (x) +O(x2)



La ecuacion de ondas lineal

2

t2u(x , y , t) = a

(2

x2u(x , y , t) +

2

y2u(x , y , t)

).

donde

a > 0 es la constante de elasticidad,

u(x , y , t) es la altura de la placa en el punto con coordenadascartesianas (x , y).

Condiciones iniciales: u(x , y , 0) = u0(x , y),t u(x , y , 0) = v0(x , y)

Condiciones de contorno tpica: u(x , y , t) = 0 para(x , y)



La ecuacion de ondas no-lineal

2

t2u(x , y , t) = a

(2

x2u(x , y , t) +

2

y2u(x , y , t)

)+ f (u).

donde

a > 0 es la constante de elasticidad,

u(x , y , t) es la altura de la placa en el punto con coordenadascartesianas (x , y),

f (u) es el termino no lineal. Ejemplos: b u2, b sin(u) (b R),Condiciones iniciales y de contorno como en la ecuacion lineal.



Ejemplo

= {(x , y) R2 / 0 x 1, 0 y 1}Condiciones de contorno: u(x , y , t) = 0 si (x , y) Condiciones iniciales:

u(x , y , 0) = arctan(sin(pix) sin(piy)),

v(x , y , 0) = 3 sin(pix) sin(piy)esin(piy).

Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinariasEcuaciones de primer ordenEcuaciones de segundo ordenSistemas de ecuaciones de primer ordenEcuaciones diferenciales en derivadas parciales

Resolucin numrica de problemas de valor inicial de EDOsMtodos elementales e implementacin bsicaEjemplos de mtodos de Runge-Kutta y aplicacionesProblemas stiff


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