Resolver un sistema de ecuaciones consite en encontrar los valores desconocidos de las variables que satisfacen todas las ecuaciones.Estudiaremos la resolucin de los siguientes tipos de sistemas:Sistemas de dos ecuaciones con dos incgnitas.Sistemas de tres ecuaciones con tres incgnitas.Sistemas de ecuaciones no lineales.Sistemas de dos ecuaciones con dos incgnitasMtodo de sustitucin1Se despeja una incgnita en una de las ecuaciones.2Se sustituye la expresin de esta incgnita en la otra ecuacin, obteniendo un ecuacin con una sola incgnita.3Se resuelve la ecuacin.4El valor obtenido se sustituye en la ecuacin en la que apareca la incgnita despejada.5Los dos valores obtenidos constituyen la solucin del sistema.Ejemplo

1Despejamosuna de las incgnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la incgnita que tenga el coeficiente ms bajo.

2Sustituimosen la otra ecuacin la variable x, por el valor anterior:

3Resolvemos la ecuacinobtenida:

4Sustituimos el valorobtenido en la variable despejada.

5Solucin

Mtodo de igualacin1Se despeja la misma incgnita en ambas ecuaciones.2Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuacin con una incgnita.3Se resuelve la ecuacin.4El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que apareca despejada la otra incgnita.5Los dos valores obtenidos constituyen la solucin del sistema.Ejemplo

1Despejamos, por ejemplo, la incgnitaxde la primera y segunda ecuacin:

2Igualamosambas expresiones:

3Resolvemosla ecuacin:

4Sustituimosel valor dey, en una de las dosexpresionesen las que tenemosdespejada la x:

5Solucin:

Mtodo de reduccin1Se preparan las dos ecuaciones, multiplicndolas por los nmeros que convenga.2La restamos, y desaparece una de las incgnitas.3Se resuelve la ecuacin resultante.4El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.5Los dos valores obtenidos constituyen la solucin del sistema.

Ejemplo

Lo ms fcil es suprimir la y, de este modo no tendramos que preparar las ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos mejor el proceso.

Restamos y resolvemos la ecuacin:

Sustituimos el valor de y en la segunda ecuacin inicial.

Solucin:

Sistemas de tres ecuaciones con tres incgnitasMtodo de GaussEste mtodo consiste en utilizar elmtodo de reduccinde manera queen cada ecuacin tengamos una incgnita menos que en la ecuacin precedente.1Ponemos comoprimera ecuacinla que tenga el comocoeficiente de x: 1 -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incgnitas.2Hacemosreduccin con la 1 y 2 ecuacin, paraeliminarel trmino enx de la 2 ecuacin. Despus ponemos como segunda ecuacin el resultado de la operacin:3Hacemos lo mismo con la ecuacin1 y 3 ecuacin, paraeliminarel trmino enx.4Tomamos las ecuaciones2 y 3, trasformadas, para hacer reduccin yeliminarel trmino eny.5Obtenemos el sistema equivalente escalonado.6Encontrar las soluciones.

Ejemplo

1Ponemos comoprimera ecuacinla que tenga el comocoeficiente de x: 1 -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incgnitas.

2Hacemosreduccin con la 1 y 2 ecuacin, paraeliminarel trmino enx de la 2 ecuacin. Despus ponemos como segunda ecuacin el resultado de la operacin:E'2= E2 3E1

3Hacemos lo mismo con la ecuacin1 y 3 ecuacin, paraeliminarel trmino enx.E'3= E3 5E1

4Tomamos las ecuaciones2 y 3, trasformadas, para hacer reduccin yeliminarel trmino eny.E''3= E'3 2E'2

5Obtenemos el sistema equivalenteescalonado.

6Encontrar las soluciones.z = 1 y + 4 1 = 2y = 6x + 6 1 = 1x = 4

Sistemas de ecuaciones no linealesLa resolucin de estos sistemas se suele hacer por elmtodo de sustitucin, para ello seguiremos los siguientes pasos:1Sedespeja una incgnitaen una de las ecuaciones, preferentemente enla de primer grado.2Se sustituyeel valor de la incgnita despejadaen la otra ecuacin.3Se resuelve la ecuacinresultante.4Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuacin, se obtienen as los valores correspondientes de la otra incgnita.

Ejemplo

La resolucin de estos sistemas se suele hacer por elmtodo de sustitucin, para ello seguiremos los siguientes pasos:1Sedespeja una incgnitaen una de las ecuaciones, preferentemente enla de primer grado.y = 7 x2Se sustituyeel valor de la incgnita despejadaen la otra ecuacin.x2+ (7 x)2= 253Se resuelve la ecuacinresultante.x2+ 49 14x + x2= 252x2 14x + 24 = 0x2 7x + 12 = 0

4Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuacin, se obtienen as los valores correspondientes de la otra incgnita.x = 3y = 7 3y = 4x = 4y = 7 4y = 3Ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones por sustitucinEjercicios resueltos de sistemas de ecuaciones por igualacinEjercicios resueltos de sistemas de ecuaciones por reduccinEjercicios y problemas de sistemas de tres ecuaciones con tres incgnitas. Mtodo de GaussEjercicios y problemas resueltos de sistemas no linealesInecuacionesLas inecuacionessondesigualdades algebraicasen la que sus dos miembros se relacionan por uno de estos signos:mayor que2x 1 > 7

mayor o igual que2x 1 7

Lasolucinde unainecuacines el conjunto de valores de la variable que la verifica.La solucin de la inecuacin se expresa mediante:1.Una representacin grfica.2.Un intervalo.2x 1 < 72x < 8 x < 4

(-, 4)2x 1 72x 8 x 4

(-, 4]2x 1 > 72x > 8 x > 4

(4, )2x 1 72x 8 x 4

[4, )

Inecuaciones equivalentesSi a los dos miembros de una inecuacin se les suma o se les resta un mismo nmero, la inecuacin resultante es equivalente a la dada.3x + 4 < 53x + 4 4 < 5 43x < 1Si a los dos miembros de una inecuacin se les multiplica o divide por un mismo nmero positivo, la inecuacin resultante es equivalente a la dada.2x < 6 2x : 2 < 6 : 2x < 3Si a los dos miembros de una inecuacin se les multiplica o divide por un mismo nmero negativo, la inecuacin resultantecambia de sentidoy es equivalente a la dada.x5 (1)x>5Inecuaciones de primer gradoInecuaciones de primer grado con una incgnita1Quitar corchetes y parntesis.2Quitar denominadores.3Agrupar los trminos en x a un lado de la desigualdad y los trminos independientes en el otro.4Efectuar las operaciones5Si el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por 1, por lo que cambiar el sentido de la desigualdad.6Despejamos la incgnita.7Expresar la solucin de forma grfica y con un intervalo.

[3, +)

Inecuaciones de segundo gradoConsideremos la inecuacin:x2 6x + 8 > 0La resolveremos aplicando los siguientes pasos:1Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las races de la ecuacin de segundo grado.x2 6x + 8 = 0

2Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:

P(0) = 02 6 0 + 8 > 0P(3) = 32 6 3 + 8 = 17 18 < 0P(5) = 52 6 5 + 8 = 33 30 > 03La solucin est compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que el polinomio.

S = (-, 2)(4, )

x2+ 2x +1 0x2+ 2x +1 = 0

(x + 1)2 0Como un nmero elevado al cuadrado es siempre positivo la solucin esSolucin

x2+ 2x +1 0(x + 1)2 0

x2+ 2x +1 > 0(x + 1)2> 0

x2+ 2x +1 0(x + 1)2 0x = 1

x2+ 2x +1 < 0(x + 1)2< 0

x2+ x +1 > 0x2+ x +1 = 0

Cuando no tiene races reales, le damos al polinomio cualquier valor si:El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solucin es.El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene solucin.Solucin

x2+ x +1 0

x2+ x +1 > 0

x2+ x +1 0

x2+ x +1 < 0

Inecuaciones racionalesLasinecuaciones racionalesse resuelven de un modo similar a las desegundo grado, pero hay que tener presente queel denominador no puede ser cero.

1Hallamos las races del numerador y del denominador.x 2 = 0x = 2x 4 = 0x = 42Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las races del denominador, independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas.3Tomamosun punto de cada intervalo y evaluamos el signoen cada intervalo:

4La solucin est compuesta por los intervalos(o el intervalo) que tengan el mismo signo que la fraccin polinmica.S = (-, 2](4, )

Pasamos el 2 al primer miembro y ponemos a comn denominador.

Hallamos las races del numerador y del denominador.x + 7 = 0 x = 7x 2 = 0 x = 2Evaluamos el signo:

S = (-, 2)(7, )