Sistema de vectores deslizantes

equivalente a un sistema de vectores

deslizantes

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

2 Solucin

2.1 Resultante y momento resultante en O

2.2 Vector suelto equivalente

2.3 Sistema equivalente formado por un vector suelto y un par

1 Enunciado

Se tiene un s.v.d. formado por tres vectores , y , con puntos de aplicacin P1, P2y P3.

Encuentra la resultante y el momento resultante en el origen.1.

Encuentra un vector suelto equivalente a este s.v.d.2.

Construye un s.v.d. equivalente compuesto por slo tres vectores y que est

aplicado en el origen.

3.

2 Solucin

2.1 Resultante y momento resultante en O

La resultante de este sistema es

El momento de cada vector respecto al punto O

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El momento resultante es la suma de los tres

2.2 Vector suelto equivalente

Dos s.v.d. con la misma resultante y el mismo momento son equivalentes, esto es,producen los mismos efectos mecnicos sobre un slido rgido. Podemos construir uns.v.d. equivalente formado por un vector suelto (la resultante del sistema) con unmomento respecto a O igual al momento resultante del sistema.

El momento identifica la recta soporte del vector deslizante. Podemos obtener el vectorde posicin de un punto de la recta soporte del vector respecto a O usando el momento

. Tenemos

donde P es un punto cualquiera de la recta soporte del vector deslizante. Multiplicandovectorialmente por la izquierda por tenemos

Si escogemos el punto P * de la recta soporte para el que se cumple ,obtenemos

Este vector localiza un punto de la recta soporte del vector suelto equivalente al s.v.d.original. En nuestro caso tenemos

2.3 Sistema equivalente formado por un vector suelto y un par

Dado un sistema cualquiera de vectores deslizantes, puede construirse uno equivalentea l aplicado en un punto O formado por un vector y un par de vectores. El vector es laresultante del sistema aplicada en O y el momento del par es el momento resultante delsistema en el punto O. El sistema equivalente puede escribirse

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Se cumple que , y .

Como en el problema anterior, hay un nmero infinito de pares de vectores que cumplenla condicin. En realidad basta con dar el momento del par para identificarlo. Perovamos a encontrar dos vectores concretos que forman un par de vectores compatible.

Estos dos vectores que forman el par pueden escribirse de la forma

Los vectores y son de mdulo unidad. El brazo del par es 2a y el mdulo de cadavector es B. Por tanto una condicin que debe cumplirse es

Los vectores y deben ser perpendiculares a . Es decir, el vector debe ser

perpendicular a . En este caso, una posible eleccin es

Por otro lado, el vector que va desde el punto O al punto Q2 debe ser perpendicular a lavez a y a . Entonces

En nuestro problema tenemos

El par de vectores tiene la forma

Los nmeros a y B deben cumplir la condicin anterior y dar el signo correcto delmomento. Si elegimos a = 1 esto nos da . De este modo, el par de vectoreses

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Podemos comprobar que

Por tanto un sistema equivalente formado por un vector suelto y un par es

Podamos haber elegido otro par de vectores tomando otro vector perpendicular a

y otro par de valores a,BF, de modo que el producto del brazo por el par sea el mdulodel momento, con el signo correcto.

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