7.1. Generalidades. Giro de un punto

Si un punto A (Fig. 7.1-a) gira alrededor de una recta e (eje de giro), describe una circunferencia de plano a, normal al eje, de centro O == [e, a] y radio r = OA (distancia de A al eje). Si A gira un ángulo ~, des­cribe el arco AA' Y se traslada a la posición A' .

e

(a)

7. GIROS

Si falta alguna de estas condiciones, la nueva posi­ción del punto queda indeterminada.

En la práctica, se utilizan ejes normales a H o V. Si

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e. (b)

Fig. 7.1.-Giro de un punto.

Todos los giros se efectuan alrededor de una recta (eje). En el caso de una figura de plano a, se dice que A gira alrededor de O, pero realmente gira alrededor del eje e, normal a a que pasa por O.

Para definir un giro, debe indicarse: - La figura o forma que gira (punto, plano, cuerpo,

... , etc.) - El eje de giro - El ángulo que gira - El sentido del giro

A I-A2 (Fig. b) gira alrededor de la recta de punta el -e2,

la circunferencia descrita, de plano frontal (l, se pro­yecta horizontalmente, según el segmento A';'A'¡' y ver­ticalmente, según la circunferencia de centro e2 Y radio efl2' en verdadera magnitud. Para girar un ángulo ~, en el sentido de la flecha, se traza el arco A2A; (de centro e2, radio efl2 y ángulo f3 = A2~A;) Y se refiere A; a la paralela ha> a LT, en A;, siendo A;-A; el punto girado. Si el eje fuera vertical, se procedería de forma análoga.

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GEOMETRíA DESCRIPTIVA

e,

H', I I I I I

Fig. 7.2.-Giro de recta que corta al eje.

e,

Fig. 7.4. - Giro del plano.

Fig. 7.3.-Giro de recta que se cruza con el eje.

7.2. Giro de una recta

Las proyecciones de la recta girada se hallan, giran­do dos de sus puntos y uniendo sus proyecciones homónimas. En los dos casos que siguen, supondre­mos que la recta r gira un ángulo a, alrededor del eje e, en el sentido de la flecha.

a) La recta corta al eje (Fig. 7.2). El punto de corte A == [e, r] no varía por pertenecer al eje (punto doble) y su traza horizontal Hr describe el arco a == Hft;, situándose en H;, siendo r;-r; las proyecciones de la recta girada.

b) La recta se cruza con el eje (Fig. 7.3). Basta girar dos puntos A y B de ella, como ya se sabe. Las nuevas proyecciones A;-A; y B;-B; de éstos determi­nan la recta girada r;-r;.

Lo más práctico es trazar la perpendicular común a e y r, de proyección elCl normal a rl, a la que corta en Cl' Al girar r, r l se conserva la tangente a la circunfe­rencia de centro el Y radio e/Cl, lo cual sirve para resolver muchos problemas. De aquí, la construcción:

Trazar la perpendicular común a e y r que corta a r, en Cl-C2 y girar el pie Cl-C2 el ángulo a, hasta la posi­ción C;-C;. Las proyecciones de la recta girada son: r; (normal a elC;, en C;) Y r; == C;A;, siendo A;-A; la posición de cualquier punto de r girado. En vez de girar A, resulta más fácil utilizar la traza Hr de r (no dibujada) o tomar directamente sobre r;,C;A; = CAlo C;H; = C¡H,.

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La perpendicular común es muy útil en giros de rectas para convertirlas en horizontal o frontal, para que pasen por un punto dado o corten a una vertical o recta de punta.

7.3. Giro de un plano

Para girar el plano ~ un ángulo a, alrededor de un eje de punta el -e2 (Fig. 7.4), basta girar la traza vf3 y la frontal que corta al eje, de proyección iz, trazada por e2• El giro de vf3 se obtiene, por el giro del radio e:¡M2' perpendicular a vf3' hasta la posición e~2' siendo vp la normal a e/V2' en N2.

Las nuevas proyecciones de iz son: la paralela ¡; a v~, trazada por e2, Y la paralela¡; a LT, trazada por H1' quedando h ~ determinada por la traza Hj de r. Lo mismo se procedería con otra frontal del plano.

Si el eje es vertical, basta girar una horizontal y la traza horizontal del plano. (Ver los núms. 6,1 a 6,20 de nIE. de G.D.).

8.1. Generalidades

Abatir un plano a sobre otro H (Fig. 8.1) es girar a, alrededor de su traza ha con H, hasta hacerlo coin­cidir. El eje de giro ha se llama charnela.

El abatimiento se refiere sólo a un plano o a la figu­ra contenida en él. Así, para abatir una recta, por ejemplo, se hace pasar por ella un plano y al abatir éste, se obtiene el abatimiento de la recta. En todo abatimiento, lo mismo que en el giro, hay que especi­ficar:

- Qué plano se abate. - Alrededor de qué traza o charnela se gira y - El sentido del giro (abatimiento) para hacerlo

coincidir con el otro. El abatimiento es uno de los artificios más usados

en Descriptiva para medir ángulos, distancias, verda­deras magnitudes, etc. El plano de abatimiento suele ser H, V o algún otro paralelo a éstos, para obtener la forma abatida en verdadera magnitud.

Los puntos y rectas abatidos se representan con sus mismas letras, encerradas en un paréntesis. Si se reali­zan varios abatimientos, se les afecta de un número como subíndice.

8.2. Abatimiento del punto

Si desde la proyección A, de un punto A de a (Fig. 8.1), se traza la normal A ,M a ha, la recta AM (recta de máxima pendiente de a) es normal a ha (núm. 5,4-b)

8. ABATIMIENTOS

y al abatir a sobre H, el punto A describe una circun­ferencia de radio MA y plano normal a ha que corta a H en los abatimientos (A) y (A)2 de A, situados en la normal A,M a ha Y distantes de éstas, la longitud d = MA.

Fig. 8. l.-Abatimiento de un punto.

La distancia d puede conocerse, abatiendo sobre H el triángulo rectángulo AA,M, en A¡{A),M, siendo A ¡( A), paralela a ha e igual a la cota AA, de A. De aquí, el método a seguir:

Para abatir un punto A de a, sobre H, se traza desde A, la perpendicular y la paralela a ha Y se toma sobre ésta última la longitud A, ( A), igual a la cota AA, de A. Con centro en el pie M de la perpen­dicular, se traza luego el arco de radio M( A), que corta a A,M, en los abatimientos (A) y (A)2 de A (según el sentido del abatimiento).

47

GEOMETRíA DESCRIPTIVA

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Fig. 8.2.-Abatimiento de un punto sobre V. Fig. 8.3.-Abatimiento de un plano proyectante.

Fig. 8.4.-Abatimiento sobre un plano paralelo a H.

Como aplicación, en la figura 8.2 se ha abatido el punto A de a, sobre V, trazando AN y AiA)¡, perpen­dicular y paralela a Va' siendo A 2 ( A) ¡ igual al aleja­miento d de A. El arco de centro M y radio M ( A) ¡ corta a A2M, en los abatimientos (A) y (A)2 de A. Es una coincidencia que (A)2 caiga en LT.

8.3. Casos particulares

1.° Abatimiento de un plano proyectante a (Fig. 8.3).

Para abatir un punto A de a sobre H, basta trazar por A¡ la perpendicular a ha Y tomar sobre ella A¡( A)¡ = Al A)2 = OA2·

Para abatir sobre V, se ha seguido el método gene-

8.5), basta abatir dos puntos de ella: la traza horizontal A == (A) (coincidente con su abatimiento, por pertene­cer a la charnela ha) Y cualquier otro punto e¡-e2, aba­tido en (e) siendo (A)(e) el abatimiento de la recta. Si

" ral: Trazar desde A2 la perpendicular y la paralela a Va V -- -- a

y tomar sobre ésta, A2S = OA¡. El arco de centro N y radio NS corta a A2N, en los abatimientos (A)3 y (A)4 deA.

También podía haberse trazado el arco de centro K y radio KA¡ y referir sus intersecciones D y e con LT, a A~, en (A)3 y (A)4. Los puntos D y e son los abati­mientos de A ¡, alrededor de Va.

2.° Abatimiento sobre planos paralelos a H o V (Fig. 8.4)

Para abatir el punto A de a sobre el plano horizon­tal {3, se ha seguido el método general, tomando como charnela, la traza r¡-r2 de a y ~ y como cota, su altura KA2 respecto a {3.

8.4. Abatimiento de la recta

Para abatir la recta AB del plano a, sobre H (Fig.

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(a) Recta cualquiera. (b) Horizontal y frontal.

Fig. 8.5.-Abatimiento de rectas.

en vez de e, se abate la otra traza B (tomando O( B) = OB2), se obtiene también el abatimiento (va) == O(B) de Va' puesto que la distancia de B a O se conserva en el abatimiento y viene dada, en verdadera magnitud, en O B 2' por pertenecer a Va.

El abatimiento de la horizontal h (Fig. b) es la para­lela (h) a ha' trazada, por el abatimiento (Vh ) de su traza y el de la frontal 1 es la paralela (1) a (vJ que pasa por su traza H,

v. __ _ ----- ............... " , , , , , , , \ \ \

\ \ , , , , \ \ \ I I I

I I , ,

I

I I

I

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I I

8. ABATIMIENTOS

... -------- v"

I IV.) I \ I , \

(a) h"

(b)

Fig. 8.6.-Abatimiento de una recta de perfil.

El abatimiento sobre H de una recta de perfil r, dada por dos puntos A y B (Fig. 8.6), se obtiene por abati­miento de éstos, trazando por A i Y B I perpendiculares a r} ==AIB} y tomando sobre ellas Ai(A) y B}(B), igua­les a las cotas DA2 y DB2 deA y B, siendo(r) == (A) (B) el abatimiento de r. También pueden abatirse A2 y B2,

en (A2) y (B2) que determinan (A) y (B), por paralelas a r}.

Prolongando (r) == (A) (B), se obtienen los abati­mientos de las trazas H, y (V,) (desabatida en V,) que pertenecen a las trazas ha Y Va del plano de perfil que contiene a r.

Para determinar (Fig. b) si un punto C}-C2 de a per­tenece o no a r, basta abatirlo en (C) y comprobar si pertenece o no a (r).

Para abatir sobre V, se procede de forma análoga.

8.5. Abatimiento de una figura plana

En la práctica, no interesa el abatimiento de un plano, como tal superficie plana, sino el de los ele­mentos geométricos y figuras planas contenidas en él.

Para abatir el cuadrilátero ABCD de plano ex (Fig. 8.7), sobre H por ejemplo, se utilizan los métodos que siguen:

1°) Por puntos o rectas aislados. Consiste en abatir los vértices A, B, C y D, en (A), (B), (C) y (D), omo ya se dijo (núm. 8,2), y unirlos ordenadamente, como se ve en la figura.

2°) Por rectas y traza auxiliares. Se hallan las trazas N y M del lado CD, prolongado, y se abate M en (M), que determina los abatimientos (vJ == D(M) Y (N)(M), de va y NM. Las normales a haJ trazadas por C} y Di' cortan a (N)(M) en los abatimientos (C) y (D) de C y D.

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Fig. 8.7.-Abatimiento de unafigura plana.

Se hallan luego las trazas K y S de AD y BC que, unidas con (D) y (C), determinan los abatimientos K(D) y S(C) de KD y Se. Refiriendo a ellos A} y BI, por normales a ha' se obtienen (A) y (B).

En la figura se ha supuesto que AB es horizontal y AD, frontal, lo cual facilita las construcciones. El aba­timiento (B), por ejemplo, también puede obtenerse, como intersección de los abatimientos (r) y (f) de la horizontal r y frontalj, trazadas por B.

3°) Por afinidad. Como ya se dijo (núm. 2,4-b), la proyección y el abatimiento de una forma de plano a, se corresponden en una afinidad ortogonal, definida por su eje ha Y un par de puntos homólogos Di y (D); MI Y (M); ... : etc. En esta afinidad, las rectas homólo­gas Cp} y (C)(D); CIBI Y (C)(B); ... concurren en pun­tos de ha Y las rectas de unión de puntos homólogos A) Y (A);M¡ Y (M); ... son normales a ha·

Basta pues abatir la traza M de NM, en (M), y trazar la homóloga (M)(N) de MIN) y las normales a haJ por Di y C}, que cortan a (M)(N), en (D) y (C). Análogamente, las homólogas K(D) y S(C) de KD} y SC} cortan a las normales a ha' trazadas por A} y B}, en (A) y (B). (Ver núms. 5,1 a 5,17 de nIE. de G.D.).

8.6. Problema inverso

Si se conoce el abatimiento (A)(B)(C)(D) de un cuadrilátero de plano a (Fig. 8.7), se pueden hallar fácilmente sus proyecciones, por afinidad, abatiendo Va' en (vJ y prolongando los lados hasta cortar a ha Y (Va)' en K, S, (M) Y (V,). Al desabatir, se obtiene NiMi, homóloga de N¡{M) y sus intersecciones DI y C} con las normales a ha' trazadas por (D) y (C). Los restantes vértices y lados se obtienen de forma análoga.

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