Sistemas con Retardos: Una Introducción XVI Congreso ...

Sistemas con Retardos: Una Introducción

XVI Congreso Latinoamericano de Control Automático

Sabine Mondié[email protected]

.

.

Departamento de Control AutomáticoCINCVESTAV, IPNMéxico D.F.

14 de Octubre de 2014

S. Mondié (CLCA 2014) 14 de Octubre de 2014 1 / 103

Organización general de la ponencia

I. Introducción general: presencia de retardos en sistemas y procesos,modelado y marco teórico, propiedades fundamentales, fenómenosparticulares

II. Análisis en el dominio de la frecuencia: ecuación característica(cuasipolinomio), estabilidad, método de D-particiones, métodos gráficos

III. Análisis de Lyapunov en el dominio del tiempo: Resultadosfundamentales, funcionales predeterminadas, funcionales de tipo completo

IV. Control de sistemas con retardos en la entrada: sin retardo en el estado,en estado y entrada, predictores


I: Introducción general

Motivación: presencia de retardos en los sistemas y procesos

Ejemplos ilustrativos

Modelado de sistemas con retardos

Conceptos y propiedades fundamentales

Fénomenos particulares en los sistemas con retardos


Presencia de retardos en los sistemas dinámicos

Retardos en la entrada y/o salida:

1 Tiempo de medición2 Tiempo de calculo3 Transporte4 Deliberado

Retardos en el estado1 Lazo cerrado de un sistema con retardo en la entrada2 Estructura del sistema: interconeciones, transporte, tiempo de maduración

Retardos por modelado de ecuaciones diferenciales parciales


Ejemplo: Modelo de balanceo de una regla

Modelo de balanceo:x(t)− 6g

l x(t) = u(t)

l : largo del péndulog : aceleración de la gravedad

Control:u(t) = k1x(t− h) + k2 x(t− h)

k1, k2 : ganancia prop. y deriv.x : posisión angularh ∼ 0,1s : tiempo de reflejo

I Aprendizaje consiste en ajustar las ganancias k1 y k2,I Cualquiera (casi...) logra balancear un palo de 30 cm o mas,I Es mas fácil balancear palos mas largos (escoba). Es imposible balancear unlápiz.


Ejemplo: Modelo de transplante en leucemia

Células cancerosas del huésped: CCélulas anticancerosas del donador: T

Las interraciones toman tiempo: RETARDOS!!!!υ : tpo. de recuperación de cel. T σ : tpo. de interacción sin reacciónτ : tpo. de division celular ρ : tpo. de interacción cel. T


Ejemplo: Modelo de un sistema de perforación

Ecuación de onda:(modelo de parámetros distribuidos)GJ ∂2v

∂ξ2 (ξ, t)− I ∂2v∂t2 (ξ, t) = 0,

ξ ∈ (0, L), t > 0

con condiciones de frontera:v(0, t) = Ωt;

GJ ∂v∂ξ (L, t) + IB

∂2v∂t2 (L, t) = −T (t)

v(ξ, t) : ángulo de rotaciónT : torque en el extremo inferiorΩ : vel. angular en superficieL, IB, β, I, G, J : parámetros mecánicos


Ejemplo: Modelo de un sistema de perforación

Transformación de D’Alembert o análisis frecuencial:Nuevo modelo: Sistema con retardos de tipo neutral

w(t)− w(t− 2Γ) +√

IGJIB

·w(t) +

√IGJIB

·w(t− 2Γ) =

− 1IB

T(t) +1IB

T(t− 2Γ) +2√

IGJIB

Ω(t− Γ).

dondew(t) = v(L, t) : ángulo de rotación en el extremo inferior,Γ =

√I

GJ L : retardo base introducido por la transformación.

Este modelo permite:I una descripción exacta de las principales variables de interésI hacer simulaciones de manera sencillaI diseñar estrategias de control utilizando la teoría de sistemas con retardos.


Ejemplo: Avance de herramienta de corte (torno)

my(t) + cy(t) + ky(t) = −Ft ( f + y(t)− y(t− h))y(t) : posición de herramienta

ω : Velocidad angular constante

f : Velocidad de avance por revolución

m, k y c: masa, rigidez y amortiguamientoh = 2π/ω : retardo del sistema

Ft : Fuerza que depende explícitamentedel estado presente y pasado


Ejemplo: Proceso de deshidratado de tomate

Es una camára herméticamente cerrada con un tunel de viento y un tubo querecicla el aire caliente dentro del sistema.

Las partes principales son:

Actuador: una rejilla elétricausada como fuente decalentamiento

Controlador

Sensor de temperatura

Un ventilador que produceun flujo de aire constante

Sistema de adquisición yalmacenamiento de datos


Ejemplo: Proceso de deshidratado de tomate

El tubo de recirculación de aire caliente induce un retardo en el estado, por lo queel sistema escalar es modelado como sigue

x(t) = a0x(t) + a1x(t− h) + bu(t) + f (x(t), x(t− h)),

donde:

el estado x(t) es el valor de la temperatura,la entrada de control u(t) es el voltaje aplicado a la rejilla eléctrica,la función no lineal f (·) representa las dinámicas no lineales presentes en elsistema. Se supone de forma polinomial

f (x(t), x(t− h)) = cx2(t) + dx2(t− h) + ex3(t) + kx3(t− h)

y satisface la condición de Lipschitz

‖ f (x(t), x(t− h))‖ ≤ α ‖x(t)‖+ β ‖x(t− h)‖ .

Los parámetros del modelo son estimados con el método de mínimoscuadrados recursivo.S. Mondié (CLCA 2014) 14 de Octubre de 2014 11 / 103

Modelado de sistemas con retardos

Sistemas con un retardo o retardos multiples

.x(t) = A0x(t) + A1x(t− h), h: retardo.

x(t) =m

∑i=0

Aix(t− hi)

retardos conmensurables: cuando los hi son múltiples de un retardo elemental(hi = kih, i = 1, m y ki enteros positivos)

Sistemas con retardos distribuidos

x(t) = A0x(t) + A1x(t− h) +∫ 0

−hG(θ)x(t+ θ)dθ

G(θ), θ ∈ [−h, 0] : función de distribución


Sistemas de tipo neutral

x(t) + C1 x(t− h) =ddtx(t) + C1x(t− h) = A0x(t) + A1x(t− h)

Ecuaciones en diferencias y ecuaciones integrales

x(t) = C1x(t− h1) + C2x(t− h2); x(t) =∫ 0

−hG(θ)x(t+ θ)dθ;

Sistemas controlados

.x(t) = A0x(t) + A1x(t− h) + Bu(t− τ),

h : retardo en el estado

τ : retardo en la entrada

Sistemas nolineales, variantes en el tiempo, periódicos.....

.x(t) = F(t, x(t), x(t− h));

.x(t) = F(t, xt); xt := x(t+ θ), θ ∈ [−h, 0].


Marco teórico:

.x(t) = F(t, xt); xt := x(t+ θ), θ ∈ [−h, 0]

Ecuaciones diferenciales funcionales :F es función de funciones (dimensióninfinita)

Ecuaciones diferenciales en diferencias :Son combinacíon de ecuacionesdiferenciales y de ecuación en diferencias

Belman R. and K. Cooke, Differential, difference equations, Academic Press,1963.

Elgoltz, L.E., Introduction to the theory of differential equations withdeviating arguments, Holden-Day, San Francisco, CA, 1966.

Hale, J. K. Introduction to functional differential equations, Springer Verlag,New York, 1993.

Kolmanovskii, V. B. y V. R. Nosov, Stability of Functional DifferentialEquations, Mathematics in Science and Eng., 180, Academic Press, NewYork, 1996.


Alcances y limitaciones del curso

Este curso esta enfocado principalmente al estudio de sistemas lineales conun retardo

.x(t) = A0x(t) + A1x(t− h)

Se pretende cubrir temas fundamentales de la teória de sistemas con retardos

Se presentan ejemplos y casos de estudio que ilustran la temática

Se discute el estado del arte al dia de hoy, en los temas abordados

Los temas presentados son el producto de una selección parcial, ya queexisten muchos otros enfoques y resultados fundamentales.


Condiciones iniciales, Concepto de estado

.x(t) = A0x(t) + A1x(t− h), h: retardo.

Condiciones iniciales: x(θ) = ϕ(θ), θ ∈ [−h, 0],ϕ función continua a pedazos definida en [−h, 0]

Estado del sistema:información mínima paracontinuar la trajectoría

xt := x(t+ θ), θ ∈ [−h, 0].

Su norma:

‖xt‖h = supθ∈[−h,0]

‖x(t+ θ)‖


Existencia y unicidad de soluciones

Para ciertos sistemas, la prueba es por construcción:

x(t) = F(x(t), x(t− h)),x(θ) = ϕ(θ), θ ∈ [−h, 0],

En el intervalo de tiempo [0, h], se tiene que x(t− h) ∈ [−h, 0], por lo que

x(t) = F(x(t), ϕ(t− h)),x(0) = ϕ(0),

Ecuación diferencial ordinaria con condición inicial conocida:

bajo ciertas condiciones sobre F (continuidad, Lipschitz), la soluciónx(t), t ∈ [0, h] existe y es única.Se repite el proceso en t ∈ [h, 2h] y sucesivamente.

Este es el método de construcción llamado "paso a paso"


EjemploSea el sistema con retardo descrito por

x(t) = x(t− 1)

con condición inicialx(t) = 1, t ∈ [0, 1].

Paso 1: t ∈ [1, 2]

x(t) = x(t− 1) = 1

x(t) = x(1) +∫ t

11ds = x(1) + s|t1 = 1+ (t− 1) = t

y se repite el proceso en el intervalo t ∈ [2, 3], empleando como condición inicial elresultado del paso anterior.

I Por construcción, la solución existe y es única!


EjemploEn este caso sencillo, se conoce la solución por inducción:

x(t) = x(t− 1)x(t) = 1, t ∈ [0, 1].

x(t) = ∑Nj=0

(t−j)j

j! , t ∈ [N, N + 1],N = 0, 1, 2, ...

I Para sistemas en general:Bajo la suposición de que la funcional F es Lipschitz, se establece la existencia yunicidad gracias al Teorema del punto fijo


Continuidad de soluciones

LemaConsidere el sistema con retardo

y(t) = F(t, yt), y(θ) = ϕ(θ), θ ∈ [−h, 0]

y el sistema perturbado

x(t) = F(t, xt) + g(t, xt), x(θ) = ψ(θ), θ ∈ [−h, 0]

I la funcional F es Lipschitz : ‖F(t, ϕ)− F(ψ, t)‖ ≤ L ‖ϕ− ψ‖h , L ∈ R

positiva),I la funcional g es acotada : g(t, xt) ≤ m.entonces las soluciones x(t) y y(t), t ≥ 0 satisfacen la desigualdad

‖x(t1, ψ)− y(t1, ϕ)‖h ≤ ‖ψ− ϕ‖h eLt +mL(eLt − 1)

Continuidad ante perturbaciones en las condiciones inicialesContinuidad con respeto a perturbaciones aditivas acotadas.


Fenómenos típicos de los sistemas con retardos

Al contrario de lo que ocure en los sistemas libres de retardos,

Las soluciones no se pueden continuar hacia el pasado

Para condiciones iniciales distintas, pueden haber cruces, más aun, colapso detrajectorias


II: Análisis en el dominio de la frecuencia(Unicamente para sistemas lineales !)

Fundamentos: Orden exponencial, Matriz fundamental, formula de Cauchy,

Ecuación característica: cuasipolinomios

Método de D-particiones

Métodos gráficos


Recordatorio: Caso libre de retardos

El sistema libre de retardos

x = Ax, x(0) = x0

tiene transformada de Laplace:

sx(s) + x0 = Ax(s) =⇒ (sI − A)x(s) = x0

Su matriz fundamental esta dada por la transformada inversa de Laplace deK(s) = (sI − A)−1

K(t) = eAt con K(0) = I

La formula de Cauchy esx(t) = eAtx0

El sistema libre de retardos es asíntoticamente estable si las raíces de su polinomiocaracteristico det(sI − A) tienen parte real estrictamente negativa.El estudio de estas raíces en el dominio de la frecuencia esta ampliamentedocumentado


Orden exponencial de soluciones

LemaLa soluciones del sistema:

x(t) =m

∑i=0

Aix(t− hi) + f (t), f (t) ≤ m1eαt, t ≥ 0

son tales que

‖x(t)‖ ≤(

m0 +m1

|α− L|

)emax(α,L)t

donde L = ∑mj=0∥∥Aj

∥∥ y m0 = ‖x(0)‖+ L∫ 0−hm ‖x(θ)‖ dθ.

I El resultado se muestra empleando el Lema de Belman GronwallI Las soluciones tienen cota exponencial independiente de la c.i.I Para f (t) ≡ 0, la cota exponencial es L = ∑m

j=0∥∥Aj

∥∥. Todas las raíces tienenparte real menor que L.I Se puede calcular la transformada de Laplace del sistema


Transformada de Laplace

x(t) =m

∑i=0

Aix(t− hi), x(θ) = ϕ(θ), θ ∈ [−h, 0] (1)

Lx(t) = lıma→∞

∫ a

0x(t)e−stdt = sx(s)− x(0, ϕ) = sx(s)− ϕ(0)

Lx(t− hj) = lıma→∞

∫ a

0x(t− hj)e−stdt = x(s)e−hjs +

∫ 0

−hj

e−s(θ+hj)ϕ(θ)dθ

La transformada de Laplace del sistema (1) es

sx(s)− ϕ(0) =m

∑k=0

Ak

(x(s)e−hks +

∫ 0

−hk

e−s(θ+hk)ϕ(θ)dθ

).

o bien:

(sI −

m

∑k=0

Aje−hks

)x(s) = ϕ(0) +

m

∑k=0

Aj

∫ 0

−hj

e−hj(s+θ)ϕ(θ)dθ.


Matriz fundamental del sistema con retardo

La matriz K(s) =(

sI −∑mj=0 Aje

−hjs)−1

esta bien definida para s complejos talque Re(s) ≥ max(α, L).Se puede interpretar K(s) como la transformada de Laplace del sistema lineal conretardo

K(t) =m

∑j=0

AjK(t− hj),

K(0) = I, K(θ) = 0 para θ < 0,

Claramente la matriz K(t) satisface (1)I La matriz K(t) se llama matriz fundamental del sistema (1)I Es la extensión natural del concepto de matriz fundamental para sistemas sinretardoI K(t) también satisface K(t) = ∑m

j=0 K(t− hj)Aj, con K(0) = I y K(θ) = 0para θ < 0


Formula de Cauchy del sistema con retardo

Empleando la definición de K(s), la transformada de Laplace del sistema es

x(s) = K(s)ϕ(0) + K(s)m

∑j=0

Aj

∫ 0

−hj

e−s(hj+θ)ϕ(θ)dθ.

y la transformada de Laplace inversa es

x(t, ϕ) = K(t)ϕ(0) +m

∑j=0

∫ 0

−hj

K(t− hj − θ)Aj ϕ(θ)dθ

I Esta expresión es la formula de Cauchy para el sistema (1)I Dada la condición inicial ϕ, el conocimiento de K(t) es suficiente paradeterminar la solución en todo tiempo t


Ecuación característica de sistemas con retardos

Considere el sistema

x(t) =m

∑i=0

Aix(t− hi)

con Ai ∈ Rn×n y hi positivos.Su ecuación característica es el cuasipolinomio

∆(s) = det

(sI −

m

∑i=0

Aie−shi

)= p(s, esh1 , ..., eshm)

TeoremaEl sistema (1) es estable si y solo si todas las raíces de su cuasipolinomiocaracterístico tienen parte real estrictamente negativa.


Ejemplo (Raíces de cuasipolinomios de tipo retardado )

3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 100

50

0

50

100

R ea l

Imag

inar

io

R a ic es de un c uas ipo l inom io de tipo r e ta r dado

I Las raices son simétricas con respecto al eje realI Un cuasipolinomio tiene un número infinito de raícesI Están todas ubicadas a la izquierda de una línea verticalI La estabilidad depende de la ubicación de las raíces que estan más a la derecha


Principio de continuidad de las raíces

TeoremaLas raíces del cuasipolinomio

∆(s) = det(

sI − A0 − A1esh)

varian de manera CONTINUA con respecto al retardos h.

CONSECUENCIA: Si un sistema es estable para unos valores nominales delretardo, solo puede volverse inestable si para algunos pares (h, ω) (llamadosretardos y frecuencias críticas) tiene raíces sobre el eje imaginario:

∆(jω) = det(

jωI − A0 − A1ejωh)= 0

El desarrollo de métodos analíticos y numéricos para determinar estos valorescríticos (h, ω) es un campo activo de investigación.


Clasificación de cuasipolinomios

La ecuación funcional escalar con un retardo más general tiene forma

ddta0x(t) + a1x(t− h)+ b0x(t) + b1x(t− h) = 0,

a0, a1, b0, b1 ∈ R

Su ecuación característica es

p(s) = a0s+ a1se−sh + b0 + b1e−sh

Se clasifica las ecuaciones differenciales funcionales y cuasipolinomios en tresclases:tipo retardado, neutral y avanzados.La clasificación es en base aI naturaleza de la dependencia de la derivadaI localización de las raíces de gran magnitud en el plano complejo

Esta clasificación se extiende a cuasipolinomios de mayor grado y sistemasmultivariables


Tipo retardado

a0 x(t) + b0x(t) + b1x(t− h) = 0,

p(s) = a0s+ b0 + b1e−sh

La derivada x(t) depende de valores presentes y pasados del estadoEs el tipo más común, y más fácil de analizar


Tipo Avanzado

a1 x(t− h) + b0x(t) + b1x(t− h) = 0.Cambio de variable t→ t− h,

a1 x(t) + b0x(t+ h) + b1x(t) = 0.

p(s) = a1s+ b0esh + b1

x(t) depende de x(t+ h)esta categoría no existe en la naturaleza, son inestables!

0

0

System Poles

Re(s)

Im(s)


Tipo neutral

ddta0x(t) + a1x(t− h)+ b0x(t) + b1x(t− h) = 0,

p(s) = (a0 + a1e−sh)s+ b0 + b1e−sh

x(t) depende de x(t− h)tienen raíces de gran modulo cuya parte real depende de las raíces de laecuación en diferencias a0x(t) + a1x(t− h) = 0 :

p(s) = 0 =⇒

(a0 + a1e−sh) +b0 + b1e−sh

s= 0

s = α+ jω para ω → ∞

implica a0 + a1e−sh = 0

0

0

System Poles

Re(s)

Im(s)


Método de D-particiones

Metodología

Ejemplo académico

Estudio de caso:Control proporcional retardado de sistemas de segundo orden


Método de D-particiones: metodología

El método de D partición se basa en el principio de continuidad de las raíces c.r.a.parámetros y retardo

Neimark J. I., D-Decomposition of the space of quasi-polynomials,Amer.Math. Soc. Transl., 2:102, 1973.

Se obtiene una descomposición del espacio de parámetros en regionesseparadas por hipersuperficies correspondientes a raíces en el eje imaginario(s = 0 o s = jω)Para todos los parámetros de una región dada, la ecuación característicatiene un mismo número de raíces con parte real positiva.

Se encuentra este número en dos etapas:1−Se determina la estabilidad de puntos particulares (porque se reducen apolinomios en estos puntos, o por otros métodos (gráficos, temporales)2- Se determina el sentido del movimiento de las raíces en las hipersuperficies, elcual es invariante (Teorema de la función implícita)


EjemploEcuación con retardo x(t) = ax(t) + bx(t− h), a, b ∈ R:

Cuasipolinomio característico: p(s) = s− a− be−hs = 0

1- Determinación de las D-particiones del espacio de parámetros:I Sustituyendo s = 0 :

a+ b = 0

I Sustituyendo s = jω implicajω− a− b(cos ωh− j sin ωh) = 0 (e−jωh = cos ωh− j sin ωh)Separando la parte real e imaginaria, se obtienen dos ecuaciones

−a− b cos ωh = 0ω+ b sin ωh = 0

En este caso se obtiene una expresión analítica de cruces s = jω

a+ b cos√

b2 − a2h = 0


EjemploD-partición (a, b) del sistema x(t) = ax(t) + bx(t− 1)

a

b


Ejemplo2- Sentido del movimiento de las raícesTeorema de la función implícita: en una raíz simple, ∂p(a,s)

∂s 6= 0:

p(s, a) = s− a− be−hs = 0

∂p(a, s)∂a

+∂p(a, s)

∂s∂s∂a

= 0 =⇒ ∂s∂a= −

∂p(a,s)∂a

∂p(a,s)∂s

En nuestro ejemplo, para las frontera donde s = 0 :

∂s∂a= − −1

1+ bhe−hs

∣∣∣∣s=0

=1

1+ bh

I Si b > −1/h, ∂s∂a > 0 de manera que si a aumenta (∂a > 0), una raíz real cruza

el eje imaginario en el sentido positivo, es decir del semiplano izquierdo al derecho.Hay una raíz inestable másI Si b < −1/h, ∂s

∂a < 0, de manera que si a aumenta una raíz pasa del semiplanoderecho al izquierdo. Hay otra raíz inestable más!


EjemploZona de es-tabilidad y configuración de raíces dominantes del sistema x(t) = ax(t)+ bx(t− 1)

a

b

zona de estabilidad


Observaciones

La ecuación escalar con retardo aparece en la literatura en el marco delmodelado de los ciclos económicos

Kalecki, M., A macrodynamic theory of business cycles, Econometrica, 3:3,327-344, 1935.

Frisch R. and H. Holme, The characteristic solutions of a mixed differenceand differential equation occuring in economics dynamics, Econometrica, 3:2,225-239, 1935.

El método de D-particiones permite analizar la estabilidad de cuasipolinomiosde orden reducido, en el espacio de parámetros (dos o tres), pero con unconocimiento profundo de la ubicación de las raíces

El estudio del plano de parámetros de cuasipolinomios es tema deinvestigación vigente:

Sipahi, R., Niculescu, S.-I., Abdallah, C.T., Michiels, W., Gu, K., Stabilityand Stabilization of Systems with Time Delay, Limitations and opportunities,IEEE Control Systems Magazine, 31:1, 38-65, 2011.


Estudio de casos:Control proporcional retardado de sistemas de segundo

orden

R. Villafuerte, S. Mondié and R. Garrido, Tuning of Proportional Retardedcontrollers: Theory and Experiments, IEEE Transactions on Control SystemsTechnology, 21(3), 983-990, 2013.

Ver también Control PIR (Proporcional Retardado Integral)

Adrian Ramírez, Sabine Mondié, Rubén Garrido-Moctezuma,Proportional Integral Retarded Control of Second Order Linear Systems, 52thIEEE Conference on Decision and Control, Florence, Italy, 2013.


Ejemplo (Control Proporcional retardado de un segundo orden)

Sistema de segundo orden: θ(t) + 2δνθ(t) + ν2θ(t) = bu(t)

Ley de control Proporcional Retardada (PR): u(t) = −kpθ(t) + krθ(t− h)

kp y kr : ganancias proporcional y retardada,h: parámetro de diseño.

Cuasipolinomio en lazo cerrado:

p(s, kp, kr, h) = s2 + 2δνs+ ν2 + bkp − bkre−hs

Problema: estabilizar el sistema con decaimiento exponencial σ

El cambio de variable s −→ (s− σ) reduce el problema al análisis de estabilidad de

pσ(s, kp, kr, h) = s2 + σ2 + 2(δν− σ)s+ (ν2 − 2δνσ+ bkp)− bkrehσe−hs.


Ejemplo (cont...)El análisis frecuencial permite:I una parametrización de las zonas de σ-estabilidad:

I Decaimiento máximo σ∗ = δν+√

ν2(1− δ2) + bkp

I Sintonización del Control PR para sistema de segundo orden.

h∗ = − 2(δν− σ∗)ν2 + (σ∗)2 − 2δνσ∗ + bkp

, k∗r = −2(δν− σ∗)

bh∗eσ∗h∗ .


Ejemplo (Control PR de un servomotor de CD)

Buena atenuación del ruido comparado con otros esquemas de control


Métodos Gráficos

Principio del argumento

Teorema de Nyquist

Teorema de inclusión finita y familias politópicas


Principio del argumento

TeoremaSea f (s) una función analítica dentro y sobre una curva cerrada simple C, exceptopara un número finito de polos dentro de C, entonces se satisface la siguienteigualdad

12π

∆C arg f (s) = Nz − Np.

I ∆C arg f (s): cambio en el argumento de f (s) a lo largo de CI Nz, Np : número de ceros y polos de f (s) dentro de la curva C, contandomultiplicidades.


Los cuasipolinomios de tiporetardado tienen un númeroinfinito de raíces en elsemiplano izquierdo. No esposible emplear el contornode Nyquist habitual en elsemiplano izquierdo.

En el semiplano derecho,existe un número finito deraíces, por lo que podemosusar un contorno de Nyquisten el semiplano derecho.


Teorema de Nyquist para cuasipolinomios

TeoremaEl cuasipolinomio

∆(s) = det

(sI − A0 −

m

∑i=1

Aieshi

)= sn +

n−1

∑l=1

al(esh1, ..., eshm)sl

es estable si y solo si el cambio del argumento neto Φ[0,jR] de ∆(jω) paraω ∈ [0, R] satisface:

nπ

2− π

2< Φ[0,jR] < n

π

2+

π

2,

donde R depende de los parámetros del cuasipolinomio.

El problema de investigar todo el contorno de Nyquist se reduce a investigar unaporción del eje imaginario!

Mondié S., Santos, J., Kharitonov V., Robust stability of quasipolynomialsand the Finite Inclusion Theorem, IEEE Trans. on Autom. Contr., Vol. 50,No. 11, 1826-1831, 2005.


Ejemplo: cambio del argumento de un cuasipolinomio

Observación: Los cuasipolinomiosno satisfacen la propiedad deincremento de fase


Teorema finito de Nyquist

Teorema

El cuasipolinomio f (s) es estable si y solo si existe un entero r ≥ 1, ángulosθi ∈ R para 0 ≤ i ≤ r y frecuencias 0 = ω0 < ω1 < · · · < ωr ≤ R, (Rmencionado anteriormente), tales que

θ0 = 0,

nπ

2− π

2< θr < n

π

2+

π

2,

∀ 0 ≤ i < r− 1 : |θi+1 − θi| ≤ π

∀ 0 ≤ i ≤ r : f (jωi) 6= 0∀ 0 ≤ i ≤ r : arg f (jωi) ≡ θi (mod 2π).

El problema de investigar todo el contorno de Nyquist se reduce a encontrar unnúmero finito de frecuencias y ángulos!


Robustez de familias politópicas

A partir del Teorema de Nyquist, se puede desarrollar el Teorema de inclusiónfinita, el cual permite analizar familias de cuasipolinomios, politopicas o intervalo

T

∑i=1

µi fi(s)| µi ≥ 0,

T

∑i=1

µi = 1

fi(s) = s3 + ais+ bie−s

i ai bi1 10π2 5

8 π3

2 354 π2 5

8 π3

3 354 π2 5

2 π3

4 10π2 154 π3 Figura: Conjunto de valores y

sectores


III: Análisis en el dominio del tiempo

Justificación del nuevo marco teórico: enfoques de Razumikhin y Krasovskii

Resultados fundamentales de estabilidad del enfoque de Krasovskii

Enfoque de funcionales de tipo propuesto y LMI´s

Funcionales de tipo completo, con derivada prescrita


Necesidad de un nuevo marco teórico

Ejemplo

Sea el sistema.x(t) = ax (t) + bx (t− h) , a, b ∈ R

La derivada de la función de Lyapunov v(x(t)) = x(t)2, positiva definida, a lolargo de las trayectorias es

dv(x(t))dt

= 2x (t) [ax (t) + bx (t− h)]

= 2ax2 (t) + 2bx (t) x (t− h) .

I b = 0: el sistema no tiene retardo, si a < 0 la derivada es negativa definida porlo que el sistema es asíntoticamente estableI b 6= 0 : no se sabe el signo del término x(t)x(t− h)por lo que es imposibleconcluir sobre el signo de la derivada.

El enfoque de Lyapunov conocido no es útil en este sencillo ejemplo.


Extensiones del enfoque de Lyapunov a los sistemas conretardo

Dos enfoques:

Enfoque de Krasovskii:Parte de la idea de que puesto que el estado de un sistema con retardo esuna función definida en [t− h, t], se deben utilizar, no funciones, sinofuncionales que capturan todo el estado del sistema.

Enfoque de Razumikhin:Mantiene la simplicidad asociada al uso de funciones de Lyapunov perointroduce condiciones que toman en cuenta la dependencia que existe entrex(t) y x(t− h) que pertenecen a una la misma trayectoria.

Nota: mayor popularidad del enfoque de Krasovskii


Definiciones de estabilidad

Sea el sistema.x(t) = F (t, xt) (2)

donde la funcional F (t, xt) esta definida y es continua, Lipschitz c.r.a. xt, acotaday con solución trivial (F(t, 0) ≡ 0 ∀t ≥ 0).

DefiniciónLa solución trivial del sistema (2) es estable si para todo ε > 0 y t0 ≥ 0 existeδ = δ (ε, t0) > 0 tal que para toda condición inicial ϕ tal que ‖ϕ‖h < δ (ε, t0)entonces ‖x (t, ϕ, t0)‖ < ε para todo t ≥ t0.(uniforme si δ es independiente de t0)

DefiniciónLa solución trivial del sistema (2) es estable asintóticamente si es estable yademás, x (t, ϕ, t0)→ 0 cuando t→ ∞.


DefiniciónLa solución trivial del sistema (2) es exponencialmente estable si para todo t0 ≥ 0existen ∆ > 0, σ > 0 y γ > 0 tales que si ‖ϕ‖h < ∆ (ε, t0) la solución satisface

‖x (t, ϕ, t0)‖ ≤ γ ‖ϕ‖h e−σ(t−t0), t ≥ t0.

Las definiciones se asemejan a las existentes para sistemas libres de retardos.Difieren por las condiciones iniciales

En el caso de sistemas con retardos lineales la estabilidad asíntotica yexponencial son equivalentes (porque las soluciones son de orden exponencial)

Si.x(t) = F (t, xt) no tiene solución trivial se hace un cambio de variables


Funcionales positivas definidas

DefiniciónLa funcional v (xt) se dice definida positiva siI esta definida para toda ‖xt‖h < H, para algún H > 0I es continua y acotada,I v (0h) = 0 y v (xt) > 0 si xt 6= 0h.

DefiniciónLa funcional v (t, xt) es definida positiva siI existe H > 0 tal que v (t, xt) esta definida para toda ‖xt‖h < H y para t ≥ 0,I es continua para todo t ≥ 0 fijo con respecto a xt en el punto xt = 0,I v(t, 0h) = 0,I existe una funcional v0 (xt) (llamada funcional de soporte) positiva definida talque :

v0 (xt) ≤ v (t, xt) , ∀t ≥ 0.


Condiciones necesarias y suficientes generales

Teorema(Krasovskii) La solución trivial del sistema (2) es asintóticamente estable si y solosi existe una funcional v (t, xt) definida positiva y una función v1(x(t)) definidapositiva tal que:1. v1(x(t)) ≤ v (t, xt) , ∀ t ≥ 0 y ‖xt‖ ≤ H,2. v (t, xt) decrece monotónicamente hasta cero a lo largo de las trayectorias delsistema (2) cuando t→ ∞.

Condición suficiente: Se muestra que si encontramos una funcional quecumple estas condiciones, el sistema es asintóticamente estable. Sin embargo,encontrarla no es un problema trivial.

Condiciones necesarias: Se demuestra que si el sistema es asintóticamenteestable, existe dicha funcional, sin embargo, su forma no se conoce. Laprueba no es constructiva.


Observaciones

Existen resultados que permiten, imponiendo restricciones sobre la clase desistemas y clase de funcionales encontrar condiciones suficientes deestabilidad y estabilidad asintótica, exponencial etc...

Desventaja: Si no se encuentra una funcional, no se puede decir nada sobre laestabilidad del sistema estudiado

Ventaja: son más útiles desde el punto de vista práctico ya que puedenayudar a encontrar funcionales que permitan concluir.

Hale, J. K. Introduction to functional differential equations, Springer Verlag,New York, 1993.

Kharitonov, V. Time-delay systems: Lyapunov functionals and matrices,Birkhäuser, 2013.


Condiciones suficientes de estabilidad asintótica

TeoremaSea el sistema (2). Si existe una funcional continuamente diferenciable v(xt) talque:1. Existen constantes positivas α1, α2 tales que

α1 ‖x(t)‖2 ≤ v(xt) ≤ α2 ‖xt‖2h

2. La funcional es diferenciable a lo largo de las soluciones y existe una constantepositiva γ tal que

ddt

v(xt(ϕ)) ≤ −γ ‖x(t)‖2 .

entonces el sistema es asintóticamente estable.


Condiciones independientes del retardo, sistemas lineales

Sea el sistema con retardo

x(t) = A0x(t) + A1x(t− h) (1)

Se propone la funcional de Lyapunov-Krasovskii

V(xt) = xT(t)Px(t) +∫ t

t−hxT(ξ)Sx(ξ)dξ donde P > 0 y S > 0

1. Condición de cotas:(Raleigh: M > 0, λmın(M) ‖z‖2 ≤ zT Pz ≤ λmax(M) ‖z‖2)

λmın(P) ‖x(t)‖2 ≤ V(xt)

y

V(xt) ≤ λmax(P) ‖x(t)‖2 +∫ t

t−hλmax(S) ‖x(ξ)‖2 dξ

≤ λmax(P) ‖xt‖2h + λmax(S)

∫ t

t−h‖xt‖2

h dξ ≤ (λmax(P) + λmax(S)h) ‖xt‖2h


2. Condición de derivada:Derivada de

V(xt) = xT(t)Px(t) +∫ t

t−hxT(ξ)Sx(ξ)dξ

a lo largo de las trayectorias del sistema:

V(xt) = 2xT(t)P(A0x(t) + A1x(t− h)) + xT(t)Sx(t)− xT(t− h)Sx(t− h),

reacomodando,

V(xt) =(

xT(t), xT(t− h))( PA0 + AT

0 P+ S PA1AT

1 P −S

)︸︷︷︸

−M

(x(t)

x(t− h)

).

Si M > 0 entonces por Raleigh

V(xt) ≤ −λmın(M) ‖(x(t), x(t− h))‖2 ≤ −λmın(M) ‖(x(t)‖2 .

Las condiciones suficientes (cotas y derivada) del Teorema de LK secumplen: el sistema es asíntoticamente estable


Comentarios

El problema se reduce a verificar si las desigualdades matriciales lineales(LMI´s)

P > 0; S > 0;(

PA0 + AT0 P+ S PA1

AT1 P −S

)< 0

tienen solución para matrices P y SEstas condiciones son independientes del retardo hEstas condiciones se reducen en el caso A1 = 0, a la condición para sistemaslibres de retardo:

Existe P > 0 tal que AT0 P+ PA < 0

Las LMI´s se resuelven gracias a métodos de punto interior. Existen paquetesde software altamente eficientes

I LMI toolbox de MatlabI YALMIP, SEDUMI,....


Enfoque descriptor

TeoremaSea el sistema lineal

x(t) = A0x(t) + A1x(t− h)

entonces si existen matrices n× n P > 0, R ≥ 0, S ≥ 0 y P2, P3 tales que

Φ =

AT0 P2 + PT

2 A0 + S− R P− PT2 + AT

0 P3 PT2 A1 + R

∗ −P3 − PT3 + h2R PT

3 A1∗ ∗ −(S+ R)

< 0

entonces la solución del sistema es asintóticamente estable.

Este tipo de resultados se extiende a sistemas: con control, matrices conincertidumbre, retardos variantes en el tiempo.


Prueba:Considere la funcional de Lyapunov Krasovskii

V(xt, xt) = xT(t)Px(t) +∫ t

t−hxT(s)Sx(s)ds+ h

∫ 0

−h

∫ t

t+θxT(s)Rx(s)dsdθ

donde P, R, S son positivas definidas.

dV(xt, xt)

dt= 2xT(t)Px(t) + xT(t)Sx(t)− xT(t− h)Sx(t− h)

+h2 xT(t)Rx(t)− h∫ t

t−hxT(s)Rx(s)ds.

Por la desigualdad de Jensen,∫ t

t−hxT(s)Rx(s)ds ≥ 1

h

∫ t

t−hxT(s)dsR

∫ t

t−hx(s)ds

≥ 1h(x(t)− x(t− h))T R (x(t)− x(t− h)) .


Sustituyendo,

dV(xt, xt)

dt≤ 2xT(t)Px(t) + h2 xT(t)Rx(t)

+xT(t)Sx(t)− xT(t− h)Sx(t− h)

− (x(t)− x(t− h))T R (x(t)− x(t− h))

El enfoque descriptor consiste en sumar la expresión nula

0 = 2[xT(t)P2 + xT(t)P3][−x(t) + A0x(t) + A1x(t− h)]︸︷︷︸=0!

con P2 y P3 ∈ Rn×n al lado derecho de la derivada.


Entonces,

dV(xt, xt)

dt≤ 2xT(t)Px(t) + h2 xT(t)Rx(t)

+xT(t)Sx(t)− xT(t− h)Sx(t− h)

− (x(t)− x(t− h))T R (x(t)− x(t− h))

+2[xT(t)P2 + xT(t)P3][−x(t) + A0x(t) + A1x(t− h)]

Definiendo η(t) = colx(t), x(t), x(t− h), y reescribiendo en forma cuadrática,

dV(xt, xt)

dt≤ ηT(t)Φη(t)

Si Φ < 0, se satisfacen las condiciones del Teorema de Lyapunov-Krasovskii.


Campo de estudio

Los métodos del enfoque de Lyapunov Krasovskii tiene un amplio campo deestudio:

Por los que se pueden abordarI análisisI control

Por las numerosas clases de sistemas que se pueden estudiar

Por las nuevas técnicas propuestas que buscan mejorar resultados existentesI nuevas funcionalesI nuevas desigualdades en las majorizaciones

Por las aplicaciones donde los retardos sonI un reto tecnológicoI un instrumento de control

Amplia comunidad de sistemas con retardos y numerosos resultados


Problemas estudiados: diseño de control, estabilización

I Encontrar las matrices K1, K2 tales que el sistema en lazo cerrado

x(t) = (A0 + BK1)x(t) + (A1 + BK2)x(t− h)

sea exponencialmente estable.I Control H∞, control con costo garantizadoI Estabilidad con máximo decaimiento exponencial, prácticaI Saturaciones en el controlI Diseño de observadoresI Estimado del dominio de atracciónI ....


Problemas estudiados: incertidumbre parámetrica

Incertidumbre paramétricaI aditiva

.x(t) = (A0 + ∆0)x(t) + (A1 + ∆1)x(t− h)

∆0 y ∆1representan perturbaciones paramétricas, dinámicas no modeladas...Pueden ser

Acotada : ‖∆0‖ ≤ δ0; ‖∆1‖ ≤ δ1

Estructurada: ∆0 = EFG0; ∆1 = EFG1

‖F‖ ≤ 1; E, G0, G1 matrices conocidas

I politópica:

·x(t) = (A0 +

l

∑j=1

µj∆(j)0 ) x(t) + (A1 +

l

∑j=1

µj∆(j)1 ) x(t− h)

para µj ≥ 0yl

∑j=1

µj = 1.


Problemas estudiados: incertidumbre en el retardo

Varios tipos de incertidumbre en el retardo:I Retardo intervalo h ∈ [0, h] (Primer intervalo);

I Retardos de tipo intervalo h ∈ [h, h],

I retardos variante en el tiempo h(t), con derivada acotada


Problemas estudiados: nolinealidades y ruido

.x(t) = A0x(t) + A1x(t− h) + f (t, x(t), x(t− h)) + η(t)

donde la función no lineal f (t, x(t), x(t− h)) satisfacen ciertas propiedades.I Condición estabilidad en primera aproximación

∀γ > 0, ∃ε > 0 tal que ‖ f (y(t), y(t− 1))‖ ≤ γ ‖(y(t), y(t− h))‖I Condición tipo Elipsoidal: para ρ0, ρ1 constantes positivas,

f T(x(t), x(t− h))L−1 f (y(t), y(t− 1))

≤ ρ0 + ρ1(y(t), y(t− h))T M(y(t), y(t− h)),

I Ruido acotado‖η(t)‖ ≤ η


Sistemas a los que se extiende la teoría

Sistemas con retardos múltiples, de tipo distribuido y neutrales

Sistemas muestreados

Sistemas conmutados

Sistemas quantizados

Sistemas con parámetros distribuidos ( EDP de transporte, de calor, de onda)


Mejora de resultados gracias a resultados técnicos

Propuesta de funcionales mas eficientesI Aproximaciones lineales a pedazos, por polinomios, polinomios deLegendre, suma de cuadrados (SOS)...I Método descriptor

Empleo de desigualdades menos conservativas en las mayorizacionesI Jensen, Wirtinger, Bessel,...


Selección de libros

Kolmanovskii, V. B. y V. R. Nosov, Stability of Functional DifferentialEquations, Mathematics in Science and Eng., 180, Academic Press, NewYork, 1996.

Niculescu S., Delays effects on stability, A robust control approach, Springer,Heidelberg, 2001.

Gu K., Kharitonov V. and J. Chen, Stability of Time Delay Systems,Birkhäuser, 2003.

Fridman, E. Introduction to time delay systems: analisis and Control,Birkhäuser, 2014.


Selección de artículos

Gu, K. Discretized LMI set in the stability problem of linear uncertaintime-delay systems. Int. J. Control, 68:923-934, 1997.

Fridman, E., and U. Shaked, A descriptor approach to H infinity control oflinear time-delay systems. Institute of Electrical and Electronics Engineers.Trans. on Autom. contr., 47:2, 253-270, 2002.

Seuret A. and Gouaisbaut, Wirtinger based integral inequality: Applicationto time delay systems, Automatica, 2013.

Mondié S. and Kharitonov, V. L., Exponential estimates for time delaysystems, IEEE Trans. on Autom. Contr., Vol. 50, 2, 268 —273, 2005.

Peet M. M. , A. Papachristodoulou and S. Lall, Positive Forms and Stabilityof Linear Time-Delay Systems, SIAM Journal on Control and Optimization,47:6, 2009.


Estudio de casos:Control de vibraciones torcionales y axiales en un proceso

de perforación

B. Saldivar, S. Mondié, Drilling Vibration Reduction Via Attractive EllipsoidMethod, Journal of the Franklin Institute, 350 (3):485-502, 2013.

Ver también:

Estimado de cotas exponenciales para sistemas conretardos

S. Mondié and V. Kharitonov, Exponential estimates for time delay systems,a LMI approach, IEEE Trans. on Autom. Contr., Vol. 50, 2, 268-273, 2005.


Caso de estudio


Funcionales de tipo completo


Recordatorio: Caso libre de retardos

x = Ax, x(0) = x0. (3)

La formula de Cauchy (transformación de Laplace sx(s)− x0 = Ax(s)) esx(t, x0) = eAtx0 y la matriz fundamental es eAt.

TeoremaEl sistema (3) es asintóticamente estable si y solo si para Q > 0 existe P > 0 talque

AT P+ PA = −Q. (ecuación de Lyapunov)

Suficiencia:se propone v(x(t)) = x(t)T Px(t) y se deriva a lo largo de lastrayectorias del sistema:

dvdt

∣∣∣∣(3)

= xT(t)Px(t) + xT(t)Px(t)

= xT(t)[AT P+ PA]x(t) = −xT(t)Qx(t)

Si P y Q son positivas, se cumplen las condiciones del teorema de Lyapunov.

Pero, porque se propone una forma cuadrática?S. Mondié (CLCA 2014) 14 de Octubre de 2014 81 / 103

Forma general de la función de Lyapunov para s.l.r.

Suponga que la derivada es de forma cuadrática y negativa

dv(x(t))dt

= −x(t)TQx(t)

Integrando de cero a T a lo largo de las trayectorias x(t, x0),

v(x(t))|T0 = v(x(T, x0))− v(x(0, x0)) = −∫ T

0x(t, x0)

TQx(t, x0)dt

I Si (2) es asíntoticamente estable, x(T, x0) −→ 0 cuando T −→ ∞I v(0) = 0,I La solución es x(t, x0) = eAtx0

v(x0) = x0T(∫ ∞

0eAT tQeAtdt

)x0.

Entonces la función de Lyapunov es de forma

v(x) = xT Px con P =∫ ∞

0eAT tQeAtdt

Sustituyendo, es fácil mostrar que P satisface la ecuación de Lyapunov.S. Mondié (CLCA 2014) 14 de Octubre de 2014 82 / 103

Recapitulación del caso libre de retardos

Se determina la forma de la función de Lyapunov como sigue

Integrando y sustituyendo la formula de Cauchy, se determina que para unaderivada negativa

dv(x(t))dt

= −xTQx, Q > 0

la forma general de la función de Lyapunov es v(x) = xT Px.Para calcular P, no se requiere evaluar la integral indefinida, solo resolver laecuación de Lyapunov

AT P+ PA = −Q

Finalmente, para determinar si el sistema es estable, basta con verificar siP > 0 (criterio de Lyapunov)


Extensión al caso de sistemas con retardos

Tenemos todos lo elementos para realizar el proceso para el sistema.x(t) = A0x(t) + A1x(t− h), x(θ) = ϕ(θ), θ ∈ [−h, 0]

Formula de Cauchy:

x(t, ϕ) = K(t)ϕ(0) +m

∑j=0

∫ 0

−hj

K(t− hj − θ)Aj ϕ(θ)dθ

Matriz fundamental:

K(t) =m

∑j=0

AjK(t− hj), K(0) = I, K(θ) = 0 para θ < 0,

Se integra a lo largo de las trayectorias, se sustituye la formula de Cauchy.Definiendo la matriz de Lyapunov para sistemas con retardos como

U(τ) =∫ ∞

0K(θ)TWK(θ + τ)dθ; τ ∈ [0, h],

y realizando cálculos laboriosos conducen a la forma general buscada.


Funcionales de Lyapunov Krasovskii de tipo completo

TeoremaSea el sistema lineal con retardo estable

.x(t) = A0x(t) + A1x(t− h)

Dada una matriz matriz positiva definida W, la funcional

v0(xt) = xT(t)U(0)x(t) + 2xT(t)∫ t

t−h[U(h+ θ − t)] T A1x(θ)dθ

+∫ t

t−h

[∫ t

t−hxT(θ1)AT

1 U(θ1 − θ2)A1xT(θ2)dθ1

]dθ2,

es tal que su derivada a lo largo de las trayectorias del sistema es

ddt

v(xt) = −xT(t)Wx(t).

Teorema de Lyapunov de tipo converso


Funcionales de Lyapunov Krasovskii de tipo completo

La derivada de esta funcional no abarca todo el estado del sistema

TeoremaSea el sistema lineal con retardo estable

.x(t) = A0x(t) + A1x(t− h). Para

W0, W1 y W2 positivas definidas tales que

W0 +W1 + hW2 = W,

la funcional

v(xt) = v0(xt) +∫ t

t−hxT(θ)[W1 + (h+ θ − t)W2]x(θ)dθ.

es tal que su derivada a lo largo de las trayectorias del sistema es

ddt

v(xt) = −xT(t)W0x(t)− xT(t− h)W1x(t− h)−∫ t

t−hxT(θ)W2x(θ)dθ.

v(xt) y ddt v(xt) dependen de todo el estado xt = x(t+ θ), θ ∈ [−h, 0]

Por esto se les llama de "Tipo Completo"S. Mondié (CLCA 2014) 14 de Octubre de 2014 86 / 103

Cuota cuadrática inferior de funcionales de tipo completo

Existencia de una cota cuadrática inferior para sistemas estables

LemaSi el sistema es estable, entonces existe α > 0, tal que

v(xt) ≥ α ‖x(t)‖2 .

Prueba: Se muestra que existe α tal que

vα(xt) = v(xt)− α ‖x(t)‖2 ≥ 0

Note que

ddt

vα(xt) = −xT(t)W0x(t)− xT(t− h)W1x(t− h)−∫ t

t−hxT(θ)W2x(θ)dθ

−2αxT(t)[A0x(t) + A1(t− h)]


Reacomodando,

ddt

vα(xt) = −[

x(t)x(t− h)

]T ([ W0 00 W1

]+ α

[(A0 + AT

0 ) A1AT

1 0

]) [x(t)

x(t− h)

]−∫ 0

−hxT(t+ θ)W2x(t+ θ)dθ

Puesto que W0 y W1 son positivas definidas, si α0 es el valor crítico (real) para elcual el determinante se hace cero por primera vez

ddt

vα(xt) ≤ 0, para α ∈ [0, α0)

Integrando ambos lados, por la estabilidad exponencial del sistema, paraα ∈ [0, α0) se tiene que

lımt→∞

vα(xt)− vα(ϕ) ≤ 0

Por estabilidad, lımt→∞

vα(xt) = 0, entonces existe α > 0 tal que

vα(xt) = v(xt)− α ‖x(t)‖2 ≥ 0

y el resultado sigue.También se puede mostrar que

v(xt) ≥ α

(‖x(t)‖2 +

∫ 0

−hx(t+ θ)dθ

)S. Mondié (CLCA 2014) 14 de Octubre de 2014 88 / 103

Matriz y ecuación de Lyapunov para sistemas con retardos

U(τ) =∫ ∞

0K(θ)TWK(θ + τ)dθ; τ ∈ [0, h],

Satisface 3 propiedades que son el análogo de la ecuación de Lyapunov:

Propiedad de simetría

U(−τ) = UT(τ), ∀τ,

Propiedad Algebraica

AT0 U(0) +U(0)A0 + AT

1 U(h) + [U(h)]T A1 = −W,

Propiedad Dinámica

U′(τ) = U(τ)A0 +U(τ − h)A1, t ≥ 0.


Construcción de la matriz de Lyapunov para sistemas conretardos

El conocimiento de la matriz U(θ), θ ∈ [0, h] es imprescindible para su uso enproblemas de interés.

La formulaU(τ) =

∫ ∞

0K(θ)TWK(θ + τ)dθ; τ ∈ [0, h],

no puede emplearse para la construcción (implicaría que se conoce la matrizfundamental en todo tiempo)

Se puede construir a partir de las tres propiedades: simétrica, Dinámica yalgebraica.

Es un problema de valores en la frontera en dos puntos

En algunos casos (retardos conmensurables) se tiene una solución analítica(semi)

Sino, se debe recurrir a métodos de aproximación: lineal a pedazos,polinomial...


Ejemplo (Aproximación polinomial de U)

U(N)(θ) = U0 +U1θ +U2θ2 + ...+UNθN , θ ∈ [0, h]


Condiciones necesarias (y suficientes) de estabilidad

Idea de la prueba:I Si el sistema es estable, la funcional tiene forma general v(xt) y tiene cuotacuadrática inferiorI Esto se cumple para toda condición inicial

I Por ejemplo, sustituyendo ϕ(θ) =

θ = 0 γ, constante arbitraria

θ ∈ (0, h] 0 en

v0(ϕ)=ϕT(0)U(0)ϕ(0) + 2ϕT(0)∫ 0

−h[U(h+ θ − t)] T A1 ϕ(θ)dθ + ..

se obtienev0(ϕ) = γTU(0)γ > 0 =⇒ U(0) > 0

I Condiciones iniciales ϕ(θ) = ∑ri=1 K(τi + θ)γi y nuevas propiedades conducen

a condiciones necesarias expresadas exclusivamente en términos de la matriz defunciones Lyapunov


TeoremaSi el sistema (2) es exponencialmente estable, entonces

U(0) > 0Kr(τ1, . . . τr) = U(−τi + τ j)r

i,j=1 ≥ 0,

donde τk ∈ [0, h], k = 1, r.

Por ejemplo,

K2(0, h) =

(U(0) U(τ)

UT(τ) U(0)

), τ ∈ [0, h]

K4(0, τ1, τ2, h) =

U(0) U(τ1) U(τ2) U(h)

UT(τ1) U(0) U(τ2−τ1) U(h− τ1)UT(τ2) UT(τ2−τ1) U(0) U(h− τ2)UT(h) UT(h− τ1) UT(h− τ2) U(0)

τ1 ∈ [0, h], τ2∈ [0, h]


Ejemplo (Direcciones convexas de sistemas con retardos)

·x(t) = A0x(t) + µA1x(t− h),

A0 =

(−1 1−4 −1

),

A1 =

(0 −10 0

),

h y µ parámetros reales.

1 1 .1 1 .2 1 .30

5

10

15

µ

h

U(0) > 0 y K3(0, h/2, h) ≥ 0

La matriz A1 es una dirección convexa para este sistema con retardo.

Al incrementar el parámetro r de Kr se mejora el estimado de las zonas deestabilidad


Ejemplo (zonas de σ-estabilidad)Control Proporcional Retardado de un sistema de segundo orden con decaimientoexponencial deseado.El sistema tiene la forma general

·x(t) = A0x(t) + A1x(t− h), con

A0 =

(0 1ξ −2(δν− σ)

); A1 =

(0 0

bkrehσ 0

),

I h y kr parámetros de controlI ξ = −(σ2 + ν2 − 2δνσ+ bkp),

0 0.1 0.2 0.3 0.4

20

0

20

40

60

h

kr

U(0) > 0 y K3(0, h/2, h) ≥ 0

0 0.1 0.2 0.3 0.4

20

0

20

40

60

h

kr

U(0) > 0 y K4(0, h/2, h) ≥ 0


Comparación de condiciones necesarias con suficientes

Sistema orden 4con

retroalimentaciónde salida:

x(t) = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t).

u(t) = −Ky(t) + Ky(t− h)

Las condiciones necesarias superan unas de las mejores condicionessuficientes LMI’s obtenidas con funcionales de tipo prescrito y polinomios deLegendre (Seuret Guaisbaut, 2014).


Problemas de interés:

Hasta este momento se han empleado las funcionales de tipo completo en el marcode problemas donde se hace la suposición de que el sistema nominal es estable

Cotas de estabilidad exponencial, Cotas de robustez

Diseño de controladores suboptimos, Control Lyapunov function

Extensión de la técnica de backstepping a los sistemas con retardo en elestado y en la entrada.

Resultados recientes

En analogía al caso de sistemas libres de retardo (criterio P > 0), se puedeahora determinar la estabilidad, no a través de las funcionales, sinodirectamente a través de las propiedades de U(θ), θ ∈ [0, h]


Selección de resultados

Kharitonov, V. L. and Zhabko, A.P., Lyapunov Krasovskii approach to therobust stability analysis of time delay systems, Automatica, vol. 39, no. 1,15-20, 2003.

Kharitonov, V. L., Time-delay systems: Lyapunov functional and matrices,Birkhauser, 2013

Egorov, A. and S. Mondié, Necesary stability conditions, accepted inAutomatica, 2014

Huesca E., Mondié S. and Santos O., Polynomial approximation of theLyapunov matrix of a class of time delay systems, TDS’09, Sinaia, Romania,2009.


Gracias por su Atención


Sistemas con Retardos: Una Introducción XVI Congreso ...

Documents

Transcript of Sistemas con Retardos: Una Introducción XVI Congreso ...