Sistemas DinamicosTrabajo N0 01 - Ejercicios de sistemas continuos y discretos

Cristian David Aguazaco RodrıguezCod: 20121005083

Carlos Yury Hortua CalderonCod: 20122005033

Ing. Ivan Ladino VegaDocente

Universidad Distrital Francisco Jose de CaldasFacultad de IngenierıaIngenierıa Electronica

Bogota D.C2015

1. Sistema Discreto

Sea P (k) la poblacion k-esima generacion de una especie de bacterias. Se supone que lapoblacion depende de tres generaciones anteriores:

−P (k + 3)− rP (k + 2) + sP (k + 1)− tP (k) = 0 (1)

Donde las constantes r = 4, s = 29, t = 24 son medidas de la importancia relativa de las tresgeneraciones. Tambien se asume que tiene las siguientes condiciones iniciales

P (0) = 1 , P (1) = 0 , P (−1) = 0 (2)

1.1. Metodo Recurrente

Organizando la ecuacion homogenea quedando:

z(k + 3) = −4z(k + 2) + 29z(k + 1)− 24z(k) (3)

Teniendo en cuenta (2), procedemos a calcular cada una de las condiciones fundamentalespara luego deducir la ecuacion general del problema:

z(−1) = 0

z(0) = 1

z(1) = 0

z(2) = 35

z(3) = −110

z(4) = 645

z(5) = −3100

z(6) = 15655

z(7) = −78090

z(8) = 390665

......

(4)

Analizando detenidamente los resultados obtenidos en (4), se concluye que la solucion a laecuacion en diferencias sera de la forma:

z(k) = (−1)k3k + 8(k) + 1 (5)

1.2. Metodo Analıtico

Partimos de la ecuacion homogenea (1) y se obtiene la ecuacion caracterıstica:

−λ3− 4λ2 + 29λ− 24 = 0 (6)

Se resuelve la ecuacion, y se obtiene las correspondientes tres raıces utilizando division sinteti-ca:

(λ+ 8)(λ− 3)(λ− 1) = 0

λ1 = −8, λ2 = 3, λ3 = 1 (7)

La solucion de la ecuacion (1.2) es de la forma:

z(k) = − a3k + 8b(k) + c(8)

La forma de la solucion (8) posee mucha similitud a la solucion obtenida por el metodorecurrente, por ende para este problema, es posible resolverla mediante los dos metodosllegando al mismo resultado. Ahora procedemos a encontrar los valores de cada constante,reemplazando inicialmente a por C1, b por C2, y c por C3, quedando:

− a3k + 8b(k) + c = C1(−3k + 8k + 1) + C2(3k− 8k + 1) + C3(3

k + 8k − 1) (9)

Partiendo de lo anterior, se podra transformar a un conjunto de matrices y vectores; lo queviene despues es simplemente aplicar conceptos de algebra lineal para poder obtener el valorde las constantes.

abc

=

−3 8 13 −8 13 8 −1

︸ ︷︷ ︸

A

C1

C2

C3

Se obtiene la inversa de la matriz para despejar C1, C2, y C3.

C1

C2

C3

= A−1

010

C1

C2

C3

=

0 1/6 1/61/16 0 1/161/2 1/2 0

010

Aplicamos el producto de matriz entre el vector, cambiando a, b y c por las condicionesiniciales dadas en el ejercicio.

C1

C2

C3

=

1

6

01

2

Donde:

C1 =1

6,

C2 = 0,

C3 =1

2

Ahora bien, ya nuestra solucion de la ecuacion en diferencias sera ası:

z(k) =1

6(−3k + 8k + 1) +

1

2(3k + 8k − 1) (10)

1.3. Modelo del sistema en Hardware mediante Simulink R©

De la ecuacion (1), despejamos z y aplicamos producto punto:

z = z(k + 3) + 4z(k + 2)− 29z(k + 1) + 24z(k) (11)

z = z(k)−[(

4 −29 24)•

(z(k + 3) z(k + 2) z(k + 1

)]

Modelando el sistema en Hardware:

Figura 1: Esquema en diagrama de bloques del sistema discreto

Cada uno de los grados de libertad que posee la ecuacion esta representado por los biestableso delays ; Cada biestable posee cada condicion inicial dada en el ejercicio. Las constantes queacompana a cada termino se multiplica a cada salida de los biestables y a su vez estanconectados a un sumador (add), el cual permite mostrar el resultado a un dispositivo desalida (scope).

A continuacion se muestra el resultado de la salida del sistema mostrado por scope:

Figura 2: Salida del sistema

Se comprueba que el resultado fueron iguales a las soluciones fundamentales mostradas enla ecuacion (4). Se puede ver que al paso del generacion, la poblacion de bacterias aumentadrasticamente. El eje horizontal representa el paso de cada generacion el cual se puede verque al llegar a la 100, el numero de bacterias sera de 2× 108 .

2. Sistema Continuo

2.1. Metodo analıtico

El siguiente ejercicio muestra el desarrollo de un circuito electrico de segundo orden queincluye un amplificador operacional, tal y como se muestra en la grafica a continuacion.

El objetivo propuesto consiste en calcular V0(t) para t > 0 cuando las condiciones inicialesdel sistema establecen que Vs = 10u(t)mV , R1 = R2 = 10KΩ, C1 = 20µF y C2 = 100µF .

Figura 3: Circuito electrico con amplificador operacional

Debido a la configuracion del seguidor de tension, la tension a traves de C1 es V0. Apli-cando Ley de corrientes de Kirchhoff en el nodo 1 se tiene:

VS − V1

R1

= C2

dV2

dt+

V1 − V0

R2

(12)

De igual modo, en el nodo 2 se produce:

V1 − V0

R2

= C1

dV0

dt(13)

Teniendo en cuenta que:

V2 = V1 − V0 (14)

Sustituyendo las ecuaciones (3) y (2) en (1):

VS − V1

R1

= C2

dV1

dt− C2

dV0

dt+ C1

dV0

dt(15)

A partir de la ecuacion (2)

V1 = V0 +R2C1

dV0

dt(16)

Al sustituir la ecuacion (5) en la ecuacion (4) se obtiene:

VS

R1

=V0

R1

+R2C1

R1

dV0

dt+ C2

dV0

dt+R2C1C2

d2V0

dt2− C2

dV0

dt+ C1

dV0

dt

Es decir:

d2V0

dt2+

(1

R1C2

+1

R2C2

)dV0

dt+

V0

R1R2C1C2

=VS

R1R2C1C2

(17)

Con los valores dados de R1, R2, C1 y C2, la ecuacion (6) se convierte en:

d2V0

dt2+ 2

dV0

dt+ 5V0 = 5VS (18)

Para obtener la respuesta a la ecuacion homogenea, se hace 0 la entrada, es decir, VS = 0.La ecuacion caracterıstica es, por lo tanto:

λ2 + 2λ+ 5 = 0

La cual tiene las raices complejas λ1 = −1 + J2 y λ1 = −1 − J2. Ası, la solucionhomogenea es:

V0(t) = e−t(ACos(2t) +BCos(2t)) (19)

Donde A y B son constantes que deben ser determinadas.

Conforme t → ∞, el circuito alcanza su estado estable, y los capacitores pueden reem-plazarse por circuitos abiertos. Dado que en estas condiciones no fluye corriente por C1 yC2, y la corriente de entrada por las terminales del amplificador operacional ideal es nula,no se generan caidas de tension a traves de R1 y R2.

Por lo tanto:

V0(∞) = V1(∞) = VS

La respuesta para t > 0 es entonces:

VS = 10mV (20)

La respuesta completa sera:

V0(t) = 10 + e−t(ACos(2t) +BCos(2t))mV (21)

Para determinar A y B, se necesitan las condiciones iniciales. Para t < 0, VS = 0, ası que:

V0(0−) = V2(0

−) = 0

Para t > 0, la fuente esta en operacion. Sin embargo, debido a la continuidad de la tensiondel capacitor:

V0(0+) = V2(0

+) = 0 (22)

Con base en la ecuacion (3)

V1(0+) = V2(0

+) + V0(0+)

Y de allı, mediante la ecuacion (2)

dV0(0+)

dt=

V1 − V0

R2C1

(23)

Ahora se impone la ecuacion (11) en la respuesta completa de la ecuacion (10) en t = 0,para:

0 = 10 + A =⇒ A = −10 (24)

Al tomar la derivada de la ecuacion (10)

dV0

dt= e−t(−ACos(2t)− BSen(2t)− 2ASen(2t) + 2BCos(2t))

Al fijar t = 0 e incorporar la ecuacion (12) se obtiene:

0 = −A+ 2B (25)

A partir de las ecuaciones (13) y (14), A = −10, B = −5. Ası, la respuesta de escalon seconvierte en:

V0(t) = 10− e−t(10Cos(2t) + 5Sen(2t))mV, t > 0

2.2. Simulacion

Figura 4: Simulacion de las senales de entrada y salida del sistema continuo.