Ecuaciones de primer grado

Resolución de sistemas de ecuacionesde primer grado con dos incógnitas

Métodos de resolución

Método de sustituciónMétodo de sustitución Método de igualaciónMétodo de igualación Método de reducciónMétodo de reducción

Método de sustitución Despejamos una de las variables en una de las dos Despejamos una de las variables en una de las dos

ecuacionesecuaciones Sustituimos en la otra ecuación la expresión Sustituimos en la otra ecuación la expresión

obtenida en el paso anterior. De esta manera obtenida en el paso anterior. De esta manera obtenemos una ecuación con una sola incógnita.obtenemos una ecuación con una sola incógnita.

Resolvemos la ecuación y así obtenemos el valor de Resolvemos la ecuación y así obtenemos el valor de una de las dos incógnitas.una de las dos incógnitas.

Sustituimos el valor obtenido en la primera Sustituimos el valor obtenido en la primera ecuación para obtener el valor de la otra incógnita.ecuación para obtener el valor de la otra incógnita.

Comprobamos el resultado sustituyendo los dos Comprobamos el resultado sustituyendo los dos valores obtenidos en las dos ecuaciones.valores obtenidos en las dos ecuaciones.

Método de sustitución

Paso 1: Despejamos la incógnita x en la Paso 1: Despejamos la incógnita x en la ecuación (b)ecuación (b)

EjemploEjemplo

3x - 2y = 1x + 4y = 19} x = 19 - 4y c

a 3x - 2y = 1b x + 4y = 19}

Método de sustitución

Paso 2: En la ecuación (a) sustituimos la Paso 2: En la ecuación (a) sustituimos la incógnita x por el valor obtenido en el incógnita x por el valor obtenido en el paso 1 (c) y resolvemos la ecuación. paso 1 (c) y resolvemos la ecuación.

Ejemplo-continuaciónEjemplo-continuación

c x = 19 - 4y

3· 19 - 4y - 2y = 1 57 - 14y = 1

14y = 56 y = 4 d

a 3x - 2y = 1b x + 4y = 19}

Método de sustitución

Paso 3: En la ecuación (c) sustituimos la Paso 3: En la ecuación (c) sustituimos la incógnita y por el valor obtenido en el incógnita y por el valor obtenido en el paso 2 (d) y resolvemos la ecuación. paso 2 (d) y resolvemos la ecuación.

Ejemplo-continuaciónEjemplo-continuación

x = 19 - 4 · 4

c x = 19 - 4y a 3x - 2y = 1b x + 4y = 19} d y = 4

x = 3

Método de igualación Despejamos la misma variable en las dos Despejamos la misma variable en las dos

ecuaciones.ecuaciones. Igualamos las expresiones obtenidas en el paso Igualamos las expresiones obtenidas en el paso

anterior. De esta manera obtenemos una ecuación anterior. De esta manera obtenemos una ecuación con una sola incógnita.con una sola incógnita.

Resolvemos la ecuación y así obtenemos el valor de Resolvemos la ecuación y así obtenemos el valor de una de las dos incógnitas.una de las dos incógnitas.

Sustituimos el valor obtenido en cualquiera de las Sustituimos el valor obtenido en cualquiera de las dos ecuaciones despejadas en el primer paso.dos ecuaciones despejadas en el primer paso.

Comprobamos el resultado sustituyendo los dos Comprobamos el resultado sustituyendo los dos valores obtenidos en las dos ecuaciones.valores obtenidos en las dos ecuaciones.

Método de igualación

Paso 1: Despejamos la incógnita x en las Paso 1: Despejamos la incógnita x en las dos ecuacionesdos ecuaciones

EjemploEjemplo

3x - 2y = 1x + 4y = 19} x = 19 - 4y d

a 3x - 2y = 1b x + 4y = 19}

x = 1 + 2y3

c

Método de igualación

Paso 2: Igualamos las expresiones que Paso 2: Igualamos las expresiones que obtuvimos en el paso anterior ((c) y (d)) y obtuvimos en el paso anterior ((c) y (d)) y resolvemos la ecuación resultante.resolvemos la ecuación resultante.

Ejemplo - continuaciónEjemplo - continuación

d x = 19 - 4y a 3x - 2y = 1b x + 4y = 19} c x = 1 + 2y

3

1 + 2y3

= 19 - 4y 1 + 2y = 3· 19 - 4y

1 + 2y = 57 - 12y 14y = 56 y = 4 e

Método de igualación

Paso 3: En la ecuación (d) sustituimos la Paso 3: En la ecuación (d) sustituimos la incógnita y por el valor obtenido en el incógnita y por el valor obtenido en el paso 2 (e) y resolvemos la ecuación.paso 2 (e) y resolvemos la ecuación.

Ejemplo - continuaciónEjemplo - continuación

d x = 19 - 4y a 3x - 2y = 1b x + 4y = 19}

c x = 1 + 2y3

e y = 4

x = 19 - 4 · 4 x = 3

Método de reducción Obtenemos un sistema de ecuaciones equivalentes, Obtenemos un sistema de ecuaciones equivalentes,

multiplicamos las dos ecuaciones por los números multiplicamos las dos ecuaciones por los números adecuados de manera que los coeficientes de una de las adecuados de manera que los coeficientes de una de las incógnitas sean iguales pero de signo opuesto.incógnitas sean iguales pero de signo opuesto.

Se suman ambas ecuaciones, obteniendo una ecuación Se suman ambas ecuaciones, obteniendo una ecuación con una sola incógnita que resolveremos.con una sola incógnita que resolveremos.

Para obtener el valor de la otra incógnitas podemos Para obtener el valor de la otra incógnitas podemos proceder de dos maneras:proceder de dos maneras: Sustituimos el valor obtenido en una de las Sustituimos el valor obtenido en una de las

ecuaciones y la resolvemos.ecuaciones y la resolvemos. Repetimos el proceso de reducción con la otra Repetimos el proceso de reducción con la otra

incógnita.incógnita.

Método de reducción

Paso 1: Multiplicamos por 2 la ecuación (a) Paso 1: Multiplicamos por 2 la ecuación (a) obteniendo un sistema equivalente.obteniendo un sistema equivalente.

EjemploEjemplo

3x - 2y = 1x + 4y = 19}

a 3x - 2y = 1b x + 4y = 19}

6x - 4y = 2x + 4y = 19}

Método de reducción

Paso 2: Sumamos las dos ecuaciones del Paso 2: Sumamos las dos ecuaciones del sistema equivalente y resolvemos la sistema equivalente y resolvemos la ecuación resultante.ecuación resultante.

Ejemplo - continuaciónEjemplo - continuación a 3x - 2y = 1b x + 4y = 19}

x = 3 c

6x - 4y = 2x + 4y = 19}

6x - 4y = 2x + 4y = 19++

7x = 21

Método de reducción

Paso 3: En la ecuación (b) sustituimos la Paso 3: En la ecuación (b) sustituimos la incógnita x por el valor obtenido en el incógnita x por el valor obtenido en el paso 2 (c) y resolvemos la ecuación.paso 2 (c) y resolvemos la ecuación.

Ejemplo - continuaciónEjemplo - continuación

a 3x - 2y = 1b x + 4y = 19} c x = 3

3 + 4 y = 19 y = 44 y = 16