1 | A. N. T.

En este apartado vamos a estudiar el caso de sistemas lineales de tres ecuaciones con tres incógnitas .

Los resultados obtenidos se pueden ampliar al caso de 2, 4 o más incógnitas .

El método de igualación , sustitución y reducción que se estudian en primaria nos pueden servir para calcular sistemas de dos incógnitas , pero en el caso de 3 , ya se hacen un poco complicados y no digamos en el caso de 4 o más incógnitas , por eso se intenta establecer otros métodos que nos sirvan para resolver todo tipo de ecuaciones lineales .

Estos métodos son :

Método de Gauss

Método de la matriz inversa

Método de Cramer

Cuando lo que nos interesa es solo saber si tiene solución o no podremos emplear :

Teorema de Rouché

Para finalizar daremos una interpretación geométrica de los resultados :

Interpretación geométrica

2 | A. N. T.

Este método se basa en el conocimiento de las propiedades de las matrices , de tal forma que un sistema se puede calcular sabiendo cual es la matriz inversa de los coeficientes del sistema .

Recordemos que la matriz inversa se puede calcular de dos formas :

Por determinantes y adjuntos Por Gauss ( este es el método que utilizaremos )

El método de Gauss para calcular matrices inversas es parecido al resolución de sistemas , ya que se basa en que a partir de la matriz de los coeficientes obtengamos la matriz identidad combinando filas entre sí .

Veamos el ejemplo :

Debemos de poner :

Todo lo que le hagamos a la matriz de la izquierda debemos de hacerlo a la derecha, y al final, a la izquierda debe aparecer la matriz identidad y a la derecha la matriz inversa .

3 | A. N. T.

Como podemos observar a la izquierda hemos conseguido la matriz identidad y a la derecha tenemos la matriz inversa .

Entonces el sistema se puede poner así :

Pasando la matriz de los coeficientes al otro miembro :

Multiplicando estas dos matrices :

Que es el resultado que ya sabíamos por Gauss .

4 | A. N. T.

El método de Gauss consiste en convertir un sistema "normal" de 3 ecuaciones con 3 incógnitas en uno escalonado , en el que la 1ª ecuación tiene 3 incógnitas , la 2ª tiene 2 incógnitas y la tercera 1 incógnita . De esta forma será fácil a partir de la última ecuación y subiendo hacia arriba , calcular el valor de las 3 incógnitas .

Para transformar el sistema en uno que sea escalonado se combinarán las ecuaciones entre sí (sumándolas , restándolas , multiplicándolas por un número , etc.)

Ejemplo :

La 1ª ecuación siempre se deja igual , (procurando que esta sea la más sencilla) y a la 2ª y 3ª ecuación se debe anular el término que lleva la x .

Una vez que hemos anulado los términos en x debemos dejar fija la 1ª y 2ª ecuación y anular el término que lleva la y en la 3ª ecuación

De la última ecuación obtenemos que z = -256/-128 = 2, que sustituyendo en B’’ resulta

- y + 9·2 = 13 y = 5

y a su vez sustituyendo en A’’ obtenemos que :

2x + 3·5 – 7·2 = -1 x = -1

5 | A. N. T.

Por lo tanto la solución del sistema es (-1, 5, 2)

Clasificación de los sistemas :

Los sistemas de ecuaciones pueden ser de 3 tipos :

1. Sistema compatible determinado (S.C.D.) : una única solución 2. Sistema compatible indeterminado (S.C.I.) : infinitas soluciones 3. Sistema incompatible (S.I.) : no tiene solución

En el ejemplo anterior hemos obtenido un S.C.D. pero ¿cuándo obtendremos los otros dos tipos? .

Cuando al realizar Gauss obtengamos 0 = K , siendo K un número distinto de 0 , tendremos un S.I. ya que obtenemos un absurdo .

Por ejemplo :

 

Dejamos fija la 1ª ecuación e intentamos anular la x de la 2ª y 3ª

Quitamos la y de la 3ª ecuación :

Como se observa hemos obtenido un absurdo , ya que 0 no es igual a 12 , por lo que el sistema no tiene solución .

Cuando al realizar Gauss obtengamos 0 = 0 , es decir se nos anule alguna ecuación , y el sistema resultante tenga más incógnitas que ecuaciones tendremos un S.C.I. en función de uno o dos parámetros (depende de las ecuaciones que se anulen) .

6 | A. N. T.

Por ejemplo :

Dejamos como siempre la 1ª ecuación igual e intentamos quitar la incógnita x de la 2ª y 3ª ecuación .

Si intentamos anular la y de la 3ª ecuación vemos que se nos anula la 3ª ecuación

Obtenemos por tanto un sistema con dos ecuaciones y 3 incógnitas (hay más incógnitas que ecuaciones) por lo que tendrá infinitas soluciones . Una de ellas sería por ejemplo dar a la z el valor z=0 y así obtendríamos que y = -13 , x = 19

7 | A. N. T.

Cramer obtuvo las incógnitas despejadas de un sistema en función de determinantes .

Resolvamos el sistema :

Las fórmulas son :

8 | A. N. T.

Recordemos que la fórmula de los determinantes (3x3) es :

Como se puede observar , para que podamos utilizar el método de Cramer , el determinante de la matriz de los coeficientes no debe ser 0 para que el denominador de las fórmulas no se anule . Si diese 0 es que una de las incógnitas se puede poner en función de las otras , es decir , tendríamos parámetros . La forma de resolver este problema es pasar al otro miembro (al lado del término independiente) la incógnita que tomemos como parámetro y de esta forma tendremos un determinante que no se anula pero de menor grado . Al aplicar las fórmula de Cramer tendremos un parámetro en la columna de los términos independientes .