1

6. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

(© Chema Madoz, VEGAP, Madrid 2009)

2

Sistemas de ecuaciones lineales de primer orden

Forma normal:

)()()()(

)()()()(

)()()()(

2211

222221212

112121111

tfxtaxtaxtadtdx

tfxtaxtaxtadtdx

tfxtaxtaxtadtdx

nnnnnnn

nn

nn

Supondremos que los coeficientes aij(t) y las funciones fi(t) son continuas en un intervalo I. Si todas las f's son cero diremos que el sistema lineal es homogéneo.

3

Forma matricial

)(

)()(

)( ,

)()()(

)()()()()()(

)( ,

)(

)()(

2

1

21

22221

11211

2

1

tf

tftf

t

tatata

tatatatatata

t

tx

txtx

nnnnn

n

n

n

FAX

FAXX

)(

)()(

)(

)()(

)()()(

)()()()()()(

)(

)()(

2

1

2

1

21

22221

11211

2

1

tf

tftf

tx

txtx

tatata

tatatatatata

tx

txtx

dtd

nnnnnn

n

n

n

AXX

El sistema homogéneoasociado será:

4

yx

Xyx

dtdy

yxdtdx

75

43

XX

75

43

zyx

X

tzyxdtdz

tzyxdtdy

tzyxdtdx

692

1078

6

ttt

610

192178116XX

5

Un vector solución en un intervalo I es cualquier vector columna

cuyos elementos son funciones diferenciables que satisfacen el sistema de EDOs en el intervalo I.

DEFINICIÓNVector solución

)(

)()(

2

1

tx

txtx

n

X

6

Comprueba que en (−, )

son soluciones de:

,11

2

22

1

t

tt

ee

eX

t

tt

ee

e 6

66

2 53

53

X

XX

3531

SoluciónDe

tenemos

t

t

ee

2

2

22

1X

t

t

ee

6

6

3018

2X

11 XAX

t

t

tt

tt

t

t

ee

eeee

ee

2

2

22

22

2

2

22

353

3531

22 XAX

t

t

tt

tt

t

t

ee

eeee

ee

6

6

66

66

6

6

3018

1515153

53

3531

7

Problemas de valor inicial (PVI)

Sea

Resolver:

sujeto a : X(t0) = X0

es un PVI.

,

)(

)()(

)(

0

02

01

0

tx

txtx

t

n

X

n

2

1

0X

)()( tt FXAX

8

Sean las componentes de A(t) y F(t) funciones continuas en un intervalo común I que contiene a t0.

Entonces podemos asegura que existe una solución única de nuestro sistema en I.

TEOREMA Existencia de una solución única

Sean X1, X2,…, Xk un conjunto de soluciones de

un sistema homogéneo en I, entonces:X = c1X1 + c2X2 + … + ckXk

es también una solución en I.

TEOREMA Principio de superposición

9

Verifica que:

son soluciones de

y que entonces:

también es una solución.

,sincos

sin2/1cos2/1cos

1

tttt

tX

0

0

2teX

XX

102011101

0

0

sincossin2/1cos2/1

cos

21

2211

tectttt

tc

cc XXX

10

Sea X1, X2, …, Xk un conjunto de vectores solución de un sistema homogéneo en un intervalo I. Se dice que el conjunto es linealmente dependiente en el intervalo si existen constantes c1, c2, …, ck, no todas nulas, tales que

c1X1 + c2X2 + … + ckXk = 0para todo t en el intervalo. Si el conjunto de vectores no es linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente.

DEFINICIÓN Dependencia e independencia lineal

11

Sean

n vectores solución de un sistema homogéneo en el intervalo I. Entonces el conjunto de vectores solución es linealmente independiente en I si y sólo si, para todo t en el intervalo, el wronskiano:

TEOREMA Criterio para soluciones linealmente independientes

nn

n

n

n

nn x

xx

x

xx

x

xx

2

1

2

22

12

2

1

21

11

1 ,,, XXX

0),,,(

21

22221

11211

21

nnnn

n

n

n

xxx

xxxxxx

W

XXX

12

• Hemos visto que

son soluciones de

Como

X1 y X2 son soluciones linealmente independientes para todo t real.

,11 2

1te

X te62 5

3

X

0853

),( 462

62

21

t

tt

tt

eeeee

W XX

XX

3531

0853

),( 462

62

21

t

tt

tt

eeeee

W XX

Nota : De hecho, se puede demostrar que si W es diferente de 0 en t0 para un conjunto de soluciones en I, entonces lo es para todo t en I.

13

Cualquier conjunto X1, X2, …, Xn de n vectores solución linealmente

independientes de un sistema homogéneo en un intervalo I, se dice que son un conjunto fundamental de soluciones en el intervalo.

DEFINICIÓN Conjunto fundamental de soluciones

Siempre existe un conjunto fundamental de soluciones para un sistema homogéneo en un intervalo I.

TEOREMAExistencia de un conjunto fundamental

Sea X1, X2, …, Xn un conjunto fundamental de soluciones de un sistema homogéneo en un intervalo I. Entonces la solución general del sistema en el intervalo es

X = c1X1 + c2X2 + … + cnXn

donde las ci, i = 1, 2,…, n son constantes arbitrarias.

TEOREMA Solución general de sistemas homogéneos

14

• Hemos visto que

son soluciones linealmente independientes de

en (−, ). De ahí que forman un conjunto fundamental de soluciones. Y entonces la solución general es:

,11 2

1te

X te62 5

3

X

XX

3531

tt ececcc 62

211211 5

311

XXX

15

tttt

te

tttt

tt

cossincos2/1sin2/1

sin,

010

sincos

sin2/1cos2/1cos

321 XX,X

Considera los vectores solución de :

0cossin0sincos

cos2/1sin2/1sin2/1cos2/1sin0cos

),,( 321 tt e

ttttttett

ttW XXX

tttt

tcec

tttt

tc t

cossincos2/1sin2/1

sin

010

sincossin2/1cos2/1

cos3

21X

Demuestra que son linealmente independientes y escribe una solución general:

XX

102011101

16

Sea Xp una solución dada de un sistema no homogéneo en el intervalo I, y sea

Xc = c1X1 + c2X2 + … + cnXn

solución general en el mismo intervalo del sistema homogéneo asociado. Entonces la solución general delsistema no homogéneo en el intervalo es:

X = Xc + Xp.

La solución general Xc del sistema homogéneo se llama

función complementaria del sistema no homogéneo.

TEOREMA

Solución general de sistemas no homogéneos

17

El vector es una solución particular de

en (−, ). Vimos que la solución dees:

Así la solución general del sistema no homogéneo en (−, ) es:

6543

tt

pX

31112

3531 tXX

XX

3531

ttc ecec 6

22

1 53

11

X

6543

53

11 6

22

1 tt

ecec ttpc XXX

18

Sistemas lineales homogéneos

¿Podemos hallar siempre, para un sistema lineal homogéneo de primer orden,

una solución de la forma:

?tt

n

ee

k

kk

KX

2

1

AXX

19

Valores propios (autovalores) y vectores propios (autovectores)

Si es así, entonces, como X = Ket, sustituyendo en el sistema de EDOs: X = AX

Ket = AKet . De donde: AK = K. Es decir: (A – I)K = 0O equivalentemente:

0)(

0)(0)(

2211

2222121

1212111

nnnnn

nn

nn

kakaka

kakakakakaka

Y recordemos que si existe una solución no trivial X, debe cumplirse entonces que:det(A – I) = 0

20

Sean 1, 2,…, n n valores propios reales y distintos

de la matriz de coeficientes A de un sistema homogéneo, y sean K1, K2,…, Kn los autovectores

correspondientes. La solución general del sistema es entonces:

TEOREMASolución general para sistemas homogéneos

tnn

tt nececec KKKX 212211

Autovalores reales y distintos

21

yxdtdx 32

yxdtdy 2

0)4)(1(43

1232

)(det

2

IAResolver

1 = −1, 2 = 4. Para 1 = −1, tenemos 3k1 + 3k2 = 0

2k1 + 2k2 = 0Así k1 = – k2. Cuando k2 = –1, entonces

Para 1 = 4, tenemos −2k1 + 3k2 = 0 2k1 − 2k2 = 0

Así k1 = 3k2/2. Cuando k2 = 2, entonces

11

1K

23

2K

tt ececcc 4212211 2

311

XXX

22

Resolver

,4 zyxdtdx zy

dtdzzyx

dtdy 3,5

5 ,4 ,30)5)(4)(3(

310151

114)(det

IA

000000100101

001001810111

)3( 0|IA

k1 = k3, k2 = 0. Con k3 = 1: te 311

101

,101

XK

23

2 = −4

0000001001001

001001910110

)4( 0|IA

te 422

11

10,

11

10

XK

k1 = 10k3, k2 = − k3. Con k3 = 1:

3 = 5

000008100101

081001010119

)5( 0|IA

te533

181

,181

XKttt ececec 5

34

23

1

181

11

10

101

X

24

Resolver:

XX

122212

221' 0

122212

221)(det

IA

– ( + 1)2(– 5) = 0, entonces 1 = 2 = – 1, 3 = 5.

Para 1 = – 1,

k1 – k2 + k3 = 0 o k1 = k2 – k3.

Escogiendo k2 = 1, k3 = 0 y k2 = 1, k3 = 1, tenemos:

k1 = 1 y k1 = 0, respectivamente.

000000000111

022202220222

)( 0|IA

Autovalores repetidos

(multiplicidad m = 2)

25

Para 3 = 5,

,011

1te

X te

110

2X

000001100101

042202420224

)( 0|5IA

k1 = k3 y k2 = – k3. Eligiendo k3 = 1, se tiene k1 = 1, k2 = –1, así:

111

3K

ttt ececec 5321

111

110

011

X

Observa que en este ejemplo la matriz A es simétrica y real, entonces se puede demostrar que siempre es posible encontrar n autovectores linealmente independientes.

26

Segunda solución • Supongamos que 1 es de multiplicidad 2 y que solo hay

un autovector relacionado con este autovalor. Una segunda solución se puede construir de la forma

Sustituyendo la solución en X = AX: tt ete 112

PKX

0KPAPKAK

0APAKPKK

0PKAPK

tt

ttttt

tttt

ete

eteetee

eteete

11

11111

1111

)()( 11

11

KPIA0KIA )()( 11

27

XX

92183

te 31 1

3

X,13

K

2

1

pp

P

Resolver det (A – I) = 0 ( + 3)2=0, = － 3, － 3.

Solo obtenemos un autovector:

Para obtener la segunda solución, definamos:

(A + 3 I) P = K 1623186

21

21

pppp

Tenemos que p2 = 1/3 p1. Si elegimos p1 = 1, entonces p2 = 1/3.

3/11

P

tt ete 112

PKX KPIA )( 1

tt ete 332 3/1

113

X

28

Si elegimos p1 = ½, entonces p2 = 0

y la solución es más "simple":

0

1/2P

tt ete 332 0

1/213

X

ttt etecec 332

31 0

1/213

13

X

Podemos escribir la solución general como:

29

Autovalores de multiplicidad 3

ttt eteet 111

2

2

3 QPKX

)( )( )(

1

1

1

PQIAKPIA0KIA

Donde

K, P y Q están definidaspor:

Ejercicio: Demostrarlo.

Si de nuevo disponemos solamente de un autovector, hallamos la segunda solución como antes, y la tercera de la siguiente manera:

30

SoluciónResolviendo (A – 2I)K = 0, tenemos un único vector propio

XX

200520612

001

K

Resolver(1 – 2)3 = 01 = 2 (multiplicidad 3).

A continuación resolvemos:

,010

P

1/5

/560

Q

ttt

ttt

eetetc

etecec

2222

3

222

21

1/56/50

010

2001

010

001

001

X(A – 2I) P = K (A – 2I) Q = P

ttt eteet 111

2

2

3 QPKX

31

Autovalor de multiplicidad mSi sólo disponemos de un autovector para un autovalor de multiplicidad m, siempre podemos encontrar m soluciones linealmente independientes de la forma:

tmm

tm

mt

m

mm

tt

t

eemte

mt

ete

e

KKKX

KKX

KX

...)!2()!1(

...2

2

1

1

22212

111

Donde los K's son vectores columnas que podemos determinar generalizando el método expuesto.

32

Sea A la matriz de coeficientes con elementos reales de un sistema homogéneo, y sea K1 un

autovector correspondiente al autovalor complejo1 = + i . Entonces

y son soluciones.

TEOREMA Soluciones correspondientes a un autovalor complejo

te 11

K te 11

K

Autovalores complejos

33

Sea 1 = + i un valor propio complejo de la matriz de coeficientes A de un sistema homogéneo,y sean B1= Re(K1) y B2 = Im(K1). Entonces podemos escribir la solución como:

soluciones linealmente independientes en (-,).(Demuéstralo).

TEOREMA Soluciones reales asociadas a un autovalor complejo

t

t

ett

ett

]sincos[

]sincos[

122

211

BBX

BBX

)sin()cos(

)sin()cos()(

)(

titee

titeetti

tti

Nota: Si queremos escribir las soluciones en términos de funciones reales, basta con emplear:

34

Para 1 = 2i,

(2 – 2i)k1 + 8k2 = 0 – k1 + (–2 – 2i)k2 = 0

obtenemos k1 = –(2 + 2i)k2.

Elegimos k2 = –1

12

)0(,2182

XXX

042182

)(det 2

IA

Resolver

02

12

122

1 ii

K

,1

2)Re( 11

KB

02

)Im( 12 KB

ttt

ct

ttc

ttcttc

2sin2sin22cos2

2cos2sin22cos2

2sin12

2cos02

2sin02

2cos12

21

21X

35

Resolución por diagonalizaciónSi A es diagonalizable, entonces existe P, tal que D = P-1AP es diagonal. Si realizamos el cambio matricial X = PY, el sistema de ecuaciones X = AX se transforma en PY = APY. Y multiplicando por la izquierda por P-1, tenemos: Y = P-1APY, es decir: Y = DY, cuya solución es directa e igual a:

tn

t

t

nec

ecec

2

1

2

1

Y

Deshaciendo el cambio, X = PY , encontramos la solución buscada.

36

SoluciónDe det (A – I) = – ( + 2)(– 1)(– 5), obtenemos 1 = – 2, 2 = 1 y 3 = 5. Puesto que son autovalores reales y distintos, los vectores propios son linealmente independientes. Para i = 1, 2, 3, resolvemos (A –iI)K = 0, y tenemos

XX

940830812

111

,122

,001

321 KKK

Resolver:

37

Como Y = DY, entonces:

110120121

P

500010002

D

t

t

t

ececec

53

2

21

Y

tt

tt

ttt

t

t

t

ececececececec

ececec

532

532

532

21

53

2

21

22

110120121

PYX

38

Sistemas lineales no homogéneos(Resolución por coeficientes indeterminados)

Resolver

Solución Primero resolvemos el sistema homogéneo asociado: X = AX,

= i, −i,

),(-en ,38

1121

'

XX

0111

21)det( 2

IA

ttt

cttt

cc sinsincos

cossincos

21X

39

Puesto que F(t) es un vector columna constante, podemos suponer una solución particular de la forma:

1

1

ba

pX 30820

11

11

baba

1114

pX

1114

sinsincos

cossincos

21 ttt

cttt

cX

Y la solución final será: X = Xc + Xp

40

Solución Resolvemos primero: X = AX.

1 = 2, 2 = 7:

),(en ,410

63416

'

tt

XX

11

,2

121 KK

ttc ecec 7

22

1 11

41

X

Resolver

1

1

2

2

ba

tba

pX

Intentamos como solución particular:

043406

y 01034066

434)1034(6)66(

00

40

106

3416

211

211

22

22

21122

21122

1

1

2

2

2

2

bbaaba

baba

bbatbaabatba

tba

tba

ba

41

La solución general del sistema en ( － , ) es X = Xc + Xp

7

1074

62tpX

6 ,2 22 ba7

1017

41 , ba

710

74

62

11

41 7

22

1 tecec ttX

42

Determina la forma de Xp para:dx/dt =5x + 3y – 2e-t + 1 dy/dt =−x + y + e-t – 5t + 7

1

1

2

2

3

3

71

50

12

)(

ba

tba

eba

tet

tp

t

X

FSolución Como

Entonces un posible candidato es:

Resuelve el sistema.

43

Matriz fundamental• Si X1, X2,…, Xn es un conjunto fundamental de

soluciones de X = AX en I, su solución general es la combinación lineal:

X = c1X1 + c2X2 +…+ cnXn,

que también podemos escribir como:

nnnnn

nn

nn

nn

n

n

n

nn xcxcxc

xcxcxcxcxcxc

x

xx

c

x

xx

c

x

xx

c

2211

2222211

1122111

2

1

2

22

12

2

1

21

11

1X

44

Que matricialmente podemos escribir como X = Φ(t)C donde C es el n 1 vector de constantes arbitrarias c1, c2,…, cn, y

se llama matriz fundamental del sistema.

nnnn

n

n

xxx

xxxxxx

t

21

22221

11211

)(Φ

Dos propiedades de (t), fáciles de demostrar y que usaremos a continuación:(i) Es regular (matriz no singular).(ii) (t) = A(t)

45

Variación de parámetros• Hallaremos una solución particular suponiendo:

tal que Xp = Φ(t)U(t)

)(

)()(

)( 2

1

tu

tutu

t

n

U

)(tFAXX

)()()()()()(')()( ttttttttp UΦAUΦUΦUΦX

)()()()()()((t) tttttt FUΦAUΦAUΦ

(t) = A(t)

)()((t) tt FUΦ

46

Como Xp = Φ(t)U(t), entonces

Y finalmente, X = Xc + Xp

)()()( ttt FUΦ

)()()( 1 ttt FΦU

tdttt )()()( 1 FU

dttttp )()()( 1 FX

dttttt )()()()( 1 FΦΦCΦX

47

SoluciónPrimero resolvemos el sistema homogéneo

La ecuación característica de la matriz de coeficientes es

te

t34213XX

XX

4213

0)5)(2(4213

)(det

IA

Determinar la solución general de

en (−, ).

48

= −2, −5, y los vectores propios son

Así, las soluciones son:

,11

2

1

,11

2

22

1

t

tt

ee

eX

t

tt

ee

e 5

55

2 221

X

,2

)( 52

52

tt

tt

eeee

tΦ

tt

tt

eeee

t 5315

31

2312

32

1 )(Φ

49

dteteete

eeee

dtet

eeee

eeee

dtttt

tt

tt

tt

tt

ttt

tt

tt

tt

p

4315

312

52

52

5315

31

2312

32

52

52

1

22

32

)()()( FX

t

t

ttt

ttt

tt

tt

etet

eeteeete

eeee

21

5021

53

41

5027

56

41215

2515

51

312

212

52

52

2

50

ttt

t

t

tt

tt

etecec

etet

cc

eeee

2141

50215027

5356

52

21

21

5021

53

41

5027

56

2

152

52

21

11

2X

51

Matriz exponencial

Para cualquier matriz A de n n, podemos definir

DEFINICIÓN Matriz Exponencial

0

22

!!!2 k

kk

kkt

kt

kttte AAAAIA

Podemos usar las matrices para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales de una manera totalmente distinta.Observemos que x' = ax tiene como solución general x = ceat. ¿Podemos definir una función exponencial matricial, de modoque eAtC sea solución de X' = AX.

52

Derivada de eAt

tt eedtd AA A

232

22

!21

!!2

tt

kttt

dtde

dtd k

kt

AAA

AAAIA

te

tt

AA

AAIA

!2

22

Y efectivamente, eAt es una solución de X = AX:

AXCACACX AAA )( ttt eeetdd

53

Cálculo de eAt : Potencias Am

donde los coeficientes cj son los mismos para cada sumatorio y la última expresión es válida para los valores propios 1, 2, …, n de A. Poniendo = 1, 2, …n en la segunda expresión, obtenemos los cj ; que sustituidos en la primera expresión nos proporcionan las potencias de A para computar:

,!0

k

kkt

kte AA

,1

0

n

j

jj

k c AA

1

0

n

j

jj

k c

Recuerda que vimos que podíamos calcular las potencias de una matriz A, gracias a:

54

)()(!

)(!

1

00

1

0

1

00

n

jj

j

kj

kn

j

jjn

jj

k

kt tbkc

ktkc

kte AAAA

)()(!

)(!

1

00

1

0

1

00

n

jj

j

kj

kn

j

jn

j

jj

k

kt tbkc

ktkc

kte

0 !k

kkt

kte ,

!0

k

kkt

kte AA,

1

0

n

j

jj

k c AA

1

0

n

j

jj

k c

)(1

0

n

j

jj

t tbe AA )(1

0

n

j

jj

t tbe

55

Solución

3142

A

10 bbe t

102

10

2bbe

bbet

t

Calcular eAt, donde

)(1

0

n

j

jj

t tbe AA

)(1

0

n

j

jj

t tbe

eAt = b0I + b1A

1= −1 y 2 = 2 b0 = (1/3)[e2t + 2e– t],

b1 = (1/3)[e2t – e–t].

1/3/341/31/3

/34/34/341/322

22

tttt

ttttt

eeeeeeee

eA