Sistemas de ecuaciones lineales Prof. Adrian Sedano De La Cruz.

Sistemas de ecuaciones lineales

Prof. Adrian Sedano De La Cruz

Método gráfico

Consiste en representar gráficamente las ecuaciones del sistema para determinar (si la hay) la intersección de las rectas que las representan.

La gráfica de cada ecuación de un sistema 2x2 de ecuaciones lineales, es una recta . Por lo que el método gráfico:

Ejemplo 7 Resolver gráficamente el sistema 1 2 1x yx y

Solución

Se tabulan las ecuaciones despejando a y en cada una de ellas. Observe:

1y x

x

y

0 – 1

0

1

2 1y x

x

y

0 2

– 1

3

Representando gráficamente las parejas ordenadas (x, y) de cada tabla en el plano cartesiano, se trazan las correspondientes rectas para determinar la solución. Observe:

– 1

0– 1

2

3

1

x

y

El punto de coordenadas (2, 3) es la intersección de las rectas que son gráficas de las ecuaciones del sistema, entonces la solución es:

2, 3x y

(2, 3)

Un sistema que tiene solución única, se llama sistema determinado, compatible, consistente o independiente y se caracteriza en que las rectas que son gráficas de las ecuaciones que lo forman, se intersecan exactamente en un punto cuyas coordenadas corresponden a la solución del sistema.

Ejemplo 8 El sistema tiene solución única. Observe:

3 1 4 8

x yx y

2

1

0

4

2

x

y

3 1x y

4 8x y

(4, 1)

1

Un sistema de ecuaciones lineales que tiene un número infinito de soluciones se llama sistema indeterminado o dependiente, y se caracteriza en que las gráficas de las ecuaciones que lo forman son la misma recta.

Ejemplo 10

El sistema tiene infinidad de soluciones. Observe:

12

2 2

yx

x y

- 2

10

y

x

12

yx

2 2x y

Un sistema que no tiene solución alguna se llama sistema inconsistente o incompatible, y se caracteriza en que las gráficas de las ecuaciones que lo forman son rectas paralelas y distintas entre sí.

El sistema no tiene solución. Observe: 1

2

2 3

yx

x y

- 2

1

0

y

x

12

yx

2 3x y

- 3

Ejemplo 11

Interpretación geométrica

Cada ecuación representa una recta:

x + 2y = 72x + y = 8

----------

- - - - - - - - - - -

x + 2y = 7

2x + y = 8

.(3,2)

El punto de corte es la única solución.

Sistema compatible - determinado

C.S. = {(3;2)}x

y

x + 2y = 7 2x + 4y = 14

---------

- - - - - - - - - - -

x + 2y = 7

2x + 4y = 14


Rectas coincidentes: infinitas soluciones

Sistema compatible - indeterminado

C.S. = {(x;y) Є R2 / x + 2y = 7}

x

y

x + 2y = 7 2x + 4y = 8

--------

- - - - - - - - - - -x + 2y = 7

2x + 4y = 8


Rectas paralelas: no admite solución. Sistema Incompatible

C.S. = Ø

x

y

Determinado: solución única.

Indeterminado : infinitas soluciones.

CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

COMPATIBLE

INCOMPATIBLE

CONJUNTO SOLUCIÓN VACIO

11

Ejemplos:Resuelve cada sistema de ecuacioes por el método gráfico

51)

1

2x y

x y

y

x

1 , 2:Solución

52x y 1x y

Sistemas de Ecuaciones

12

22)

0

x y

x y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

y

x

:Solución 1 , 1

2x y

0x y


13

23)

2 2 0

x y

x y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

y

x

Las dos líneas son paralelas, no tienenpuntos de intersección.El conjunto de solucioneses vacío.

. .C S


14

24)

2 2 4

x y

x y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

y

x

2x y

2 2 4x y

El sistema es dependiente y tiene infinitas soluciones. Las soluciones se pueden encontrar buscando puntos de cualquiera de las líneas.

. . , 2 :C S x x x


ESTAMOS HECHOS UNOS

JOVENCITOS . ENTRE LOS

DOS , 150 AÑOS. x AÑOS

yAÑOS

SÍ, RAIMUNDO, PERO YOSIGO SIENDO 6 AÑOSMÁS JOVEN QUE TÚ .

x+ y= 150x– y= 6

2 + = 10 3 + 2 = 18

2 a+ 2b= 103 a+ 2b= 18

16

Aplicaciones:1. El precio de un boleto para cierto evento es de $2.25 para adultos y $1.50 para niños. Si se venden 450 boletos para un total de $ 777.75; ¿cuántos boletos de cada tipo se vendieron?

:SoluciónSea el número de boletos vendidos de adultos.xSea el número de boletos vendidos de niños.y

:sistema el Obtenemos

450

2.25 1.50 777.75

x y

x y


17

2. Una lancha de vapor operada a toda máquina hizo un viaje de 4 millas contra una corriente constante en 15 minutos. El viaje de regreso (con la misma corriente y a toda máquina) lo hizo en 10 minutos. Encuentra la velocidad de la corriente y la velocidad equivalente a la lancha en aguas tranquilas en millas por hora.

:SoluciónSea la velocidad de la corriente.Sea la velocidad de la lancha.

xy

corriente. la de contraen lancha la de velocidad xy

corriente. la defavor a lancha la de velocidad xy


18

Usando la fórmula para distancia ycambiando el tiempo a horas tenemos que:

d vt

hora60

15 minutos 15 hora

4

1

hora60

10 minutos 10 hora

6

1

44

1 xy

46

1 xy

1 1

44 41 1

46 6

y x

y x

Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos,


19

horamillasx 4

La velocidad de la corriente es, 4 .x mph

horamillasy 20

La velocidad de la lancha es, 20 .y mph


20

Pos Prueba: Sistemas de ecuaciones1. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución .

4x + y = 0-4x + y = -8

2. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución.5x - 2y = -17x + 4y = 53

3. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución .2x + 6y = -16-2x - 13y = 37

4. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de eliminación.

5x + 13y = 812x - 11y = -23


21

6. Resuelve el ejercicio.Una pareja de retirados tiene $ 170,000 para invertirlos y obtener un ingreso anual. Ellos invirtieron una cantidad el Certificados de Deposito a una tasa del 5% anual y el resto lo invirtieron en bonos AA que pagan un 11% anual. ¿Cuánto deben invertir a cada por ciento para obtener unos ingresos de $ 15,100 al año?


5. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de eliminación.3x + y =132x - 7y =-7

22

Respuestas

1) x = 1, y = -4 2) x = 3, y = 8 3) x = 1, y = -3 4) x = -1, y = 1 5) x = 5, y = -2 6) $ 110,000 al 11% y $ 60,000 al 5%


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