Sistemas de Ecuaciones Lineales -...

MB0003 _M1AA1L3_Lineales Versión: Septiembre 2012 Revisor: Patricia Cardona Torres

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1

Sistemas de Ecuaciones Lineales

por Oliverio Ramírez Juárez

El álgebra es sin duda una de las herramientas matemáticas más utilizadas en la solución de problemas, entre otras razones, porque permite expresar situaciones “cotidianas” a través de ecuaciones, que son expresiones matemáticas relacionadas mediante el signo de igualdad. En el curso de Matemáticas Básicas, estudiaste la ecuación de primer grado, la ecuación lineal y cómo resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. En esta lectura, se extiende el estudio a sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas, pero antes de iniciar, hagamos un breve repaso de los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas ¿Cuál es la representación gráfica de una ecuación lineal con dos incógnitas?, ¿cuál es la representación gráfica de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas? La gráfica de una ecuación lineal es una línea recta. ¿Recuerdas cómo graficarla? Para construir cualquier gráfica primero se deben determinar puntos que pertenezcan a ella, para el caso específico de una línea recta, sólo es necesario conocer las coordenadas de dos puntos. Una forma de encontrar dos puntos sobre la recta es despejar la y, asignarle valores a la variable x y calcular los correspondientes valores de y; con los valores obtenidos localizar los puntos en el plano cartesiano y unirlos para dibujar la gráfica. Como ejemplo, grafica las ecuaciones del sistema:

2453

=−

=+

yxyx



2

Despejar y en ambas ecuaciones.

Asignar valores a x y calcular los correspondientes valores de y. Localizar y unir las coordenadas obtenidas.

X Y

1 ( )

235135

=

−=

−=

yyy

2 ( )

165235

−=

−=

−=

yyy

X Y

1 ( )

224214

=

−=

−=

yyy

2 ( )

628224

=

−=

−=

yyy



3

Al graficar los puntos )2,1( y ( )1,2 − queda:

Grafica 1. Graficar los puntos

Al graficar los puntos )2,1( y ( )6,2 tienes:

Grafica 2. Graficar los puntos



4

Si graficas las dos ecuaciones en el mismo plano cartesiano, obtienes la siguiente gráfica:

Grafica 3. Sistema de dos ecuaciones lineales

Esta última gráfica representa al sistema de dos ecuaciones inicial, ¿qué representa el punto en donde se cruzan las rectas? Encontrar la solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas implica hallar un valor de x y un valor de y, que sean válidos para las dos ecuaciones de manera simultánea. En este caso particular los valores x=1, y=2 son la solución del sistema porque cumplen las dos ecuaciones, ¿crees que exista otro punto en el que éste par de rectas se cruce?



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El sistema de ecuaciones anterior sólo tiene una solución, es decir, sólo hay un punto en el que se cruzan las dos ecuaciones. La siguiente tabla muestra los posibles casos que se pueden presentar en un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Ejemplo Número de Soluciones

Gráfica Observaciones

2453

=−

=+

yxyx

1

Como las gráficas se cortan en un solo punto, las ecuaciones son consistentes e independientes.

1343

=−

−=−

yxyx

Ninguna

Como las gráficas no se cruzan, las ecuaciones son inconsistentes.

22−=−

=+−

yxyx

Infinitas

Las ecuaciones representan la misma recta por lo que las ecuaciones son dependientes.

Tabla 1. Posibles casos de dos ecuaciones lineales Construir las gráficas de las ecuaciones para determinar la solución de un sistema, además de que requiere de más tiempo, a menudo es inexacto, sobretodo cuando las coordenadas del punto solución no corresponden con valores enteros. Por ello, es más conveniente aplicar alguno de los métodos algebraicos disponibles. En los siguientes ejemplos se utilizan los métodos de sustitución y eliminación.



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Ejemplos:

1. Aplica el método de sustitución para obtener la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

)2(1464)1(115

=−

−=+−

yxyx

Solución. En este método se elige una variable y se despeja de alguna de las dos ecuaciones, para este ejemplo, despejemos y de la ecuación (1).

115 −= xy (3)

Una vez despejada, se sustituye en la ecuación (2)

( ) 1411564 =−− xx Resolviendo esta ecuación, obtienes:

( )

22652

66142614663041411564

=−−

=

−=−

=+−

=−−

x

xxxxx

Para determinar el valor de y, se sustituye el valor encontrado de x en la ecuación (3), queda:

( )

111101125115

−=

−=

−=

−=

yyy

xy

La solución del sistema es x=2, y=-1. Recuerda que esto significa que las gráficas de este par de ecuaciones se cruzan en el punto (2, -1). ¿Ya recordaste más de los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas? El siguiente ejemplo se resuelve utilizando el método de eliminación.



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2. Aplica el método de eliminación para obtener la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

)2(2434)1(1026

=−−

−=−

yxyx

Solución. En este método se busca “eliminar” alguna de las dos variables. Para lograrlo, los coeficientes de la variable a eliminar deben ser iguales y de signo contrario; para este ejemplo eliminemos x. Observa que los coeficientes de la variable x ya son de signo contrario, pero son diferentes. Para hacer que sean iguales, se multiplica la ecuación (1) por 4, y la ecuación (2) por 6, y obtienes:

[ ]

[ ] →=−−

→−=−

24346

10264

yy

yx

144182440824=−−

−=−

yxyx

En este último sistema de ecuaciones, los coeficientes de la variable x son iguales y de signo contrario; sumando las ecuaciones, queda: Ahora que ya se conoce el valor de la variable y, se sustituye en cualquiera de las ecuaciones originales para obtener el valor de x; sustituyendo en ecuación (1), obtienes:

( )

3618

1881061086

10426

−=−

=

−=−−=

−=+

−=−−

x

xxx



8

La solución del sistema es x=-3, y=-4. Recuerda que esto significa que las gráficas de este par de ecuaciones se cruzan en el punto (-3, -4). Los tres sistemas de ecuaciones anteriores son sistemas consistentes, y sus ecuaciones son linealmente independientes porque su solución es única. Los siguientes ejemplos muestran un sistema sin solución, es decir, un sistema inconsistente; y un sistema con infinitas soluciones.

3. Determina la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

7168984

=−

=−

yxyx

Solución. Multiplicando la primera ecuación por -2, tienes:

[ ]181689842−=+−

=−−

yxyx

El sistema, queda:

716818168

=−

−=+−

yxyx

Al sumarlas, obtienes: ¿Qué piensas de la “solución” encontrada?, la solución para este sistema de ecuaciones es el conjunto vacío (φ), ya que no existe algún punto (x, y) que haga verdadera la ecuación del recuadro azul. El sistema es inconsistente y la gráfica de este sistema es un par de rectas paralelas.

4. Determina la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

12104652

=−

=−

yxyx



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Solución. Multiplicando la primera ecuación por -2, el sistema queda:

1210412104

=−

−=+−

yxyx

Y al sumarlas, obtienes: Al contrario del sistema anterior, la ecuación en el recuadro azul es una identidad, es decir, es una igualdad cierta para cualquier pareja (x, y), por lo que cualquier solución de la primera ecuación también es una solución del sistema. Recuerda que aunque las ecuaciones lucen distintas representan a la misma recta.

Sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas La gráfica de ecuaciones lineales con dos incógnitas es una línea recta, pero ¿cuál es la gráfica de una ecuación lineal con tres incógnitas? La gráfica es un plano, por lo que determinar la solución de un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas significa encontrar las coordenadas de un punto en el espacio en donde se intersectan los tres planos. Observa el siguiente ejemplo donde se ilustra el método que utilizarás para hallar la solución de este tipo de sistemas. Ejemplos:

1. Determina la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas.

)()()(

613

322

2

cba

zyxzyxzyx

−=

=

=

−−

++−

++

Solución. Para resolver este sistema con tres incógnitas, usarás el método de eliminación, que al igual que en los sistemas de dos, consiste en eliminar una de las tres incógnitas y con ello reducir el sistema de 3 ecuaciones a un sistema de 2 ecuaciones, el cual ya sabes resolver.



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De la ecuación (c) despejamos x , queda:

63 −+= zyx Al sustituir x en las ecuaciones (a) y (b) , obtienes:

( )( ) )(

)(122633632

ba

zyzyzyzy

=++−+−

=++−+

Al hacer las reducciones correspondientes, queda:

2y+ 6z!12 +y +z = 3

!y!3z+ 6 +2y +2z = 1

3y +7z !12 = 3

y !z +6 = 1

3y +7z = 15

y !z = !5

(d)

(e)

Este sistema sólo contiene a las variables y y z , por lo que usarás nuevamente el método de eliminación utilizado en el ejemplo 1. Como la variable z ya tiene signos contrarios, la seleccionas para ser eliminada. Para ello multiplica (b) por 7, y tienes:

3577157351573

−=−

=+

−=−

=+

zyyyzyyy



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Si sumas estas ecuaciones obtienes:

21020

20010

35771573

−=−

=

−=+

⇓

−=−

=+

y

y

yyyy

Una vez que has determinado el valor de y, lo sustituyes en una de las ecuaciones con 2 incógnitas y calculas z. Usa la ecuación (e):

3

13

325

52

5

=

−

−=

−=+−=−

−=−−

−=−

z

z

z

z

zy

Ahora que ya conoces el valor de y y z, sustituye estos valores en la ecuación donde despejas x casi al inicio del proceso:

( )

16926332

63

=

−+−=

−+−=

−+=

xxx

zyx

La solución del sistema de ecuaciones es entonces: 1=x , 2−=y , 3=z



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Para asegurarte que los cálculos fueron hechos de manera correcta, es recomendable verificarlos sustituyendo los valores encontrados en las ecuaciones originales. Después de sustituir las soluciones en las ecuaciones originales, y realizar las operaciones correspondientes, se verifica su validez. Al igual que en los sistemas de ecuaciones con dos incógnitas, también pueden presentarse sistemas sin solución o sistemas con infinitas soluciones, observa los siguientes ejemplos.

2. Determina la solución del sistema de 3 ecuaciones lineales siguiente:

)()()(

321

63942623

cba

zyxzyxzyx

−

−

=

=

=

−+

+−−

−+

Solución: El método de eliminación implica elegir un par de ecuaciones, y eliminar de éstas una variable; para este ejemplo, elige las dos primeras ecuaciones de donde se pretende eliminar z. Multiplicando la primera ecuación por 2, queda: De la misma forma que en los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, la ecuación en el recuadro azul es una identidad válida para un número infinito de soluciones (x, y, z) en el espacio. Esto significa que el sistema tiene infinitas soluciones.

3. Encuentra la solución del siguiente sistema de tres ecuaciones:

)()()(

1278

18414671064

cba

zyxzyxzyx

=

=

=

++−

−−−

−−



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Solución: De las dos primeras ecuaciones elimina x, para ello, se multiplica la segunda ecuación por 4 y la ecuación resultante se suma con la primera ecuación, y tienes: Ahora elimina x de la segunda y tercera ecuación; para ello, multiplica la segunda ecuación por -14 y la ecuación resultante se suma con la tercera ecuación, y tienes: El sistema resultante de dos ecuaciones con dos incógnitas, queda:

86102102363434−=+

=−−

zyzy

Multiplicando la primera ecuación por 3, obtienes: Debido a que no existen puntos que cumplan la ecuación del recuadro azul, este sistema de ecuaciones no tiene solución, es decir, es inconsistente.

¿Cuáles son las gráficas correspondientes a un sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas inconsistente? ¿Cuáles son las gráficas correspondientes a un sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas con infinitas soluciones?



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Ten en cuenta estas preguntas ya que servirán de punto de partida para el foro de discusión de esta actividad.

Aplicando las ecuaciones lineales Ejemplos:

1. El señor Juanito es un vendedor que recibe un salario semanal más un porcentaje por sus ventas. En una semana el señor Juanito tuvo ventas de $4,000 y recibió $1,280 pesos (que incluye su sueldo semanal y su comisión). En otra semana vendió $6,200 y recibió $1,544 pesos. ¿Cuál es el salario semanal del señor Juanito y qué porcentaje recibe por sus ventas?

Solución. Asigna variables; x=salario semanal, y=porcentaje por las ventas. Las ecuaciones que representan el salario del señor Juanito, son:

1544620012804000

=+

=+

yxyx



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Sustituyendo y=0.12 en una de las ecuaciones originales para calcular el valor de x, obtienes:

( )

80048012801280480

128012.04000

=

−=

=+

=+

xxxx

El señor Juanito tiene un salario semanal de $800 pesos y el porcentaje por sus ventas es de 0.12, es decir, 12%. ¿Cuánto ganará el señor Juanito si logra ventas de $7,500?, ¿cuánto requiere vender el señor Juanito para ganar $2,000 a la semana?

2. Una empresa de renta de maquinaria cobra una renta diaria más una tarifa adicional por la distancia recorrida en kilómetros por cada máquina rentada. Si cobró $23,400 por la renta de una retroexcavadora por 4 días y 235 kilómetros; y $11,800 por la misma retroexcavadora rentada dos días y 120 kilómetros recorridos, ¿cuál es el costo diario de la renta de la retroexcavadora?, ¿qué costo tiene el kilómetro recorrido de la retroexcavadora?

Solución. Si x representa la renta diaria y y el costo por kilómetro, las ecuaciones que representan el problema son:

118001202234002354

=+

=+

yxyx

Los términos x4 y x2 representan el costo de acuerdo al número de días. Los términos y235 y y120 , representan el costo por kilómetros recorridos. Multiplicando la segunda ecuación por (-2) para eliminar la variable x, tienes:



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Sustituyendo el valor encontrado en una de las ecuaciones originales, obtienes:

( )

35004

14000140009400234004

234009400423400402354

==

=−=

=+

=+

x

xxx

Por lo anterior, la renta diaria por la maquinaria es de $3,500 y el costo adicional por kilómetro recorrido es $40 pesos.

3. Un distribuidor de máquinas herramientas tiene un lote de 32 máquinas entre tornos, taladros y fresadoras. Hay el triple de taladros que de fresadoras. Los tornos tienen un costo de $4,000, los taladros $350 y las fresadoras $5,600. Si el precio total de las máquinas es de $81,250, ¿cuántos tornos, taladros y fresadoras, tiene este distribuidor?

Solución. Si el número de tornos lo representamos con la letra x , el número de taladros con la letra y , y el número de fresadoras con la letra z , las ecuaciones del problema quedan:

Ecuación Situación 32=++ zyx Un distribuidor de máquinas herramientas

tiene un lote de 32 máquinas entre tornos, taladros y fresadoras.

zy 3= Hay el triple de taladros que de fresadoras 8125056003504000 =++ zyx Si el precio total de las máquinas es de

$81,250 Observa que este sistema consta de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, pero la segunda ecuación sólo contempla a dos de las incógnitas. Sustituyendo y en la primera y tercera ecuación, queda:

32432332

=+

=++

=++

zxzzxzyx

812506650400081250560010504000812505600)3(3504000

8125056003504000

=+

=++

=++

=++

zxzzxzzx

zyx



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Ahora el sistema de tres ecuaciones se redujo a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas; resolviendo por el método de eliminación, obtienes:

8125066504000324

=+

=+

zxzx

Multiplicando la primera ecuación por -4000, queda:

8125066504000128000160004000

=+

−=−−

zxzx

Al sumar estas ecuaciones y resolver, queda: Con este valor puedes hallar y sustituyendo en la segunda ecuación. Sustituyendo los valores encontrados en la primera ecuación, obtienes: Por lo que el distribuidor tiene 12 tornos, 15 taladros y 3 fresadoras. Te invito a que practiques la solución de sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas en la sección de ejercicios.



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Referencias

Gustafson, R. D. (1997). Álgebra Intermedia (V. González Pozo, Trad; 1a. ed). México: International Thomson Editores.

Leithold, L. (1995). Álgebra (A. Eroles Gómez. Trad; 1a. ed). México: Editorial Harla.

Rees, P. K. & Sparks, F. W. (1990). Álgebra contemporánea. (L. M. Ros Torres. Trad; 5a. ed). México: McGraw Hill.

Swokowski, E. W. & Cole, J. A. (2002). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (H. Villagómez, Trad; 10a. ed). México: Thomson Learning.

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