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TREFEMAC 09 - LARRONDO 1
Sistemas deterministas, caóticos y estocásticos discretos
UNMDP
Luciana De MiccoGraciela FernándezHilda Larrondo
UNLP-UBA
María Teresa MartínAngel Plastino
Osvaldo Rosso
TREFEMAC 09 - LARRONDO 2
Índice
• Sistemas estocásticos, deterministas y caóticos
• Herramientas de visualización• Cuantificadores• PDF, dinámica simbólica y randomización• Sistemas discretos y la evaluación del
muestreo
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Índice
• Sistemas estocásticos, deterministas y caóticos
• Herramientas de visualización• Cuantificadores• PDF, dinámica simbólica y randomización• Sistemas discretos y la evaluación del
muestreo
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¿Qué es un proceso estocástico?
A stochastic process, or sometimes random process, is the counterpart to a deterministic process (or deterministic system) in probability theory. (WIKIPEDIA)
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¿Qué es un proceso determinista?
In mathematics, a deterministic systemis a system in which no randomness is involved in the development of future states of the system.
(WIKIPEDIA)
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¿Qué es un proceso determinista?
In mathematics, a deterministic systemis a system in which no randomness is involved in the development of future states of the system. Deterministic models thus produce the same output for a given starting condition
(WIKIPEDIA)
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Sistema Dinámico
At any given time a dynamical system has a state given by a set of real numbers (a vector) which can be represented by a point in an appropriate state space (a geometrical manifold). Small changes in the state of the system correspond to small changes in the numbers. The evolution rule of the dynamical system is a fixed rule that describes what future states follow from the current state. The rule is deterministic: for a given time interval only one future state follows from the current state.(WIKIPEDIA)
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¿Cómo se estudia la evolución temporal de un sistema dinámico?
• Se calcula una trayectoria en el espacio de estados resolviendo (analítica o numéricamente) ecuaciones diferenciales a partir de un estado inicial.
• Se calcula la sucesión de estados utilizando una ecuación de recurrencia a partir de un estado inicial.
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¿Cómo se estudia la evolución temporal de un sistema estocástico?
• Continuo: se resuelven (analítica o numéricamente) ecuaciones diferenciales estocásticas partiendo de una condición inicial. La condición inicial es una distribución.
• Discreto: se calcula la sucesión de estados utilizando una ecuación de recurrencia a partir de un estado inicial. La condición inicial es una distribución.
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Preconceptos
• Una señal compleja viene de un modelo complejo. Contraejemplo: sistema caótico.
• Los sistemas físicos producen verdaderas señales aleatorias. Los algorítmicos no. Contraejemplo: generadores de números aleatorios.
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Preconceptos
• Una señal compleja viene de un modelo complejo. Contraejemplo: sistema caótico.
• Los sistemas físicos producen verdaderas señales aleatorias. Los algorítmicos no. Contraejemplo: generadores de números aleatorios.
• http://csrc.nist.gov/rng/, • http://stat.fsu.edu/pub/diehard/,
• http://www.iro.umontreal.ca/~simardr/random.html
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¿Dónde ubicamos el caos para los sistemas continuos analógicos?
Sistema Determinista
Sistema Estocástico
Sistema Determinista Caótico
x
Ry
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¿Dónde ubicamos el caos para los sistemas continuos analógicos?
Sistema Determinista
Sistema Estocástico
Sistema Determinista Caótico
x
Ry
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¿Dónde ubicamos el caos para los sistemas continuos digitales?
Sistema Determinista
Sistema Estocástico
Sistema Determinista Caótico
x
Qy
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¿Dónde ubicamos el caos para los sistemas continuos digitales?
Sistema Determinista
Sistema Estocástico
Sistema Determinista Caótico
x
Qy
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ATENCION
Todo sistema determinista digital y discreto es periódico
(pero puede ser pseudocaótico o pseudoestocástico )
Continuo VS Discreto
Analógico VS Digital
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Índice
• Sistemas estocásticos, deterministas y caóticos
• Herramientas de visualización• Cuantificadores• PDF, dinámica simbólica y randomización• Sistemas discretos y la evaluación del
muestreo
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Estrategias para visualizar
• Diagramas de embedding 2D y 3D• Correlación lineal• Transformada de Fourier• PDF• Recurrence Plots
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Ejemplo para el ruido atmosférico (random.org)
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Ejemplo para el ruido atmosférico (random.org)
TREFEMAC 09 - LARRONDO 21
Ejemplo para el ruido atmosférico (random.org)
TREFEMAC 09 - LARRONDO 22
Ejemplo para el ruido atmosférico (random.org)
TREFEMAC 09 - LARRONDO 23
Los sistemas algorítmicos
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Espectros de sistemas caóticos puros y randomizados
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Rossler (puro y randomizado)
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El mapa logístico
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Recurrence Plots
( ) ( )Njijiji ,...,1,, =−−Θ= xxR ε
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Recurrence Plots
( ) ( )Njijiji ,...,1,, =−−Θ= xxR ε
N. Marwan, M. C. Romano, M. Thiel & J. Kurths 2007
Recurrence plots for the analysis of complex systems. Phys. Rep. 438, pp. 237-329.
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Índice
• Sistemas estocásticos, deterministas y caóticos
• Herramientas de visualización• Cuantificadores• PDF, dinámica simbólica y randomización• Sistemas discretos y la evaluación del
muestreo
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Cuantificadores
• De la PDF: – Entropía
– Complejidad
• Patrones prohibidos (Amigó et al.)
• De diagramas de recurrencia (Kurts et al.)
• De la FFT• De compresibilidad (Lempel-Ziv)
• De computación intrínseca (Crutchfield et al.)
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Cuantificadores
• De la PDF: – Entropía
– Complejidad
• Patrones prohibidos (Amigó et al.)
• De diagramas de recurrencia (Kurts et al.)
• De la FFT• De compresibilidad (Lempel-Ziv)
• De computación intrínseca (Crutchfield et al.)
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Plano Entropía Complejidad
1
1ln
ln
N
i i
i
H p pN
C QH
=
= −
=
∑
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Desequilibrios
Dependen del tensor métrico en el espacio de distribuciones
•QSDL=(1-H) (Shiner-Davison-Landsberg)•QLMC (López Ruiz-Mancini-Calbet)•QW (Martín-Plastino-Rosso)•QLMPR (Lamberti-Martín-Plastino-Rosso)
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Desequilibrios
Dependen del tensor métrico en el espacio de distribuciones
•QSDL=(1-H) (Shiner-Davison-Landsberg)•QLMC (López Ruiz-Mancini-Calbet)•QW (Martín-Plastino-Rosso)•QLMPR (Lamberti-Martín-Plastino-Rosso)
R. López-Ruiz, H. L. Mancini, and X. Calbet, Phys. Lett. A 209, 321 (1995)
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Desequilibrios
Dependen del tensor métrico en el espacio de distribuciones
•QSDL=(1-H) (Shiner-Davison-Landsberg)•QLMC (López Ruiz-Mancini-Calbet)•QW (Martín-Plastino-Rosso)•QLMPR (Lamberti-Martín-Plastino-Rosso)
S. Amari, H. Nagaoka - Methods of information geometry, Trans. Math. Mon.
v191, AMS, (2000) (Portesi, Lamberti, Plastino, Martín)
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Desequilibrios
Dependen del tensor métrico en el espacio de distribuciones
•QSDL=(1-H) (Shiner-Davison-Landsberg)•QLMC (López Ruiz-Mancini-Calbet)•QW (Martín-Plastino-Rosso)•QLMPR (Lamberti-Martín-Plastino-Rosso)
P. W. Lamberti, M. T. Martín, A. Plastino & O. A. Rosso, Physica A 334 119–131
(2004) .
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Complejidad
• Entropía de Zipping: cuando menos podemos comprimirlo con un programa compresor más complejo.
• Complejidad Estadística: si no tiene estructuras es más fácil de describir.
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Mandelbrot
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Ruido Atmosférico (random.org)
−0.4 −0.2 0 0.2 0.4
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
xn
xn
+1
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Plano Entropía Complejidad
1
1ln
ln
N
i i
i
H p pN
C QH
=
= −
=
∑
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Desequilibrio
[ ] ( ) ( )0
1 1,
2 2 2
ee e
P PQ P P Q S S P S P
+ = ⋅ − −
( ) ( )0
12 ln 1 2 ln 2 ln
NQ N N N
N
+ = − ⋅ + − +
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Índice
• Sistemas estocásticos, deterministas y caóticos
• Herramientas de visualización• Cuantificadores• PDF, dinámica Simbólica y randomización• Sistemas discretos y la evaluación del
muestreo
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Dinámica Simbólica
1
2
x
x
x∞
M
{ }x A1
2
N
a
a
a
M
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Histograma Binario (ó discretización MSB)
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Dinámica Simbólica
1
2
x
x
M
{ }x A
0
1
M
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Dinámicas Simbólicas Causales
Agrupo los números en {n-uplas} y a cada n-upla le hago corresponde un
símbolo.
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Dinámica simbólica (causal) de Bandt-Pompe
• C. Bandt, and B. Pompe, Phys. Rev. Lett. 88, 174102-1 (2002).
{ }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
1 2
1 2 1
2 3 1 2
1
, ,...,
embedding dimension
, ,..., 1, 2,... !
, , ..., 1, 2,... !
, ,..., 1,2,... !
N i
D
D
N D N D N N D
X x x x x R
D
x x x D
x x x D
x x x D
π
π
π
+
− − + −
= ∈
→ ∈
→ ∈
→ ∈
M
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ATENCION
Dinámica simbólica PDF
H
Q
C
9
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ATENCION
Dinámica simbólica PDF
H
Q
CTREFEMAC 09 - LARRONDO 50
TREFEMAC 09 - LARRONDO 51
Plano CH
TREFEMAC 09 - LARRONDO 52
TREFEMAC 09 - LARRONDO 53 TREFEMAC 09 - LARRONDO 54
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Índice
• Sistemas estocásticos, deterministas y caóticos
• Herramientas de visualización• Cuantificadores• PDF, dinámica simbólica y randomización• Sistemas discretos y la evaluación del
muestreo
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MUESTREO
Discretizar el tiempo en un sistema continuo
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Aliasing
2sf B≥
2sf B<
TREFEMAC 09 - LARRONDO 58
La FFT de un sistema muestreado
N
1 0
j=1
N
2 j 0
j=1
2s (t)=1+ sin
2s (t)=1+ g sin
j
j
jN
jN
πω ϕ
πω ϕ
+
+
∑
∑
Espectro rectangular
Espectro gaussiano
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11
TREFEMAC 09 - LARRONDO 61 TREFEMAC 09 - LARRONDO 62
TREFEMAC 09 - LARRONDO 63 TREFEMAC 09 - LARRONDO 64
TREFEMAC 09 - LARRONDO 65 TREFEMAC 09 - LARRONDO 66
12
TREFEMAC 09 - LARRONDO 67 TREFEMAC 09 - LARRONDO 68
TREFEMAC 09 - LARRONDO 69
Dos señales de igual espectro
N
3 j 0
j=1
N
2 j 0
j=1
2s (t)=1+ g sin 0
2s (t)=1+ g sin j
jN
jN
πω
πω ϕ
+
+
∑
∑Espectro gaussiano
Espectro gaussiano
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ALGUNAS PREGUNTAS
• ¿Las distinguimos a simple vista?• ¿Distinguimos las bien muestreadas de
las mal muestreadas?• ¿Las distinguimos por el espectro?• ¿Distinguimos por el espectro las bien
muestreadas y las mal muestreadas?• ¿Las distinguimos por la PDF?• ¿Distinguimos por la PDF las bien
muestreadas y las mal muestreadas?
TREFEMAC 09 - LARRONDO 71 TREFEMAC 09 - LARRONDO 72
ALGUNAS PREGUNTAS
• ¿Las distinguimos a simple vista?• ¿Distinguimos las bien muestreadas de
las mal muestreadas?• ¿Las distinguimos por el espectro?• ¿Distinguimos por el espectro las bien
muestreadas y las mal muestreadas?• ¿Las distinguimos por la PDF?• ¿Distinguimos por la PDF las bien
muestreadas y las mal muestreadas?
NO
SI
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ALGUNAS PREGUNTAS
• ¿Las distinguimos a simple vista?• ¿Distinguimos las bien muestreadas de
las mal muestreadas?• ¿Las distinguimos por el espectro?• ¿Distinguimos por el espectro las bien
muestreadas y las mal muestreadas?• ¿Las distinguimos por la PDF?• ¿Distinguimos por la PDF las bien
muestreadas y las mal muestreadas?
SI
SISI CONOCEMOS EL
ESPECTRO DE LA SEÑAL
QUE MEDIMOS
TREFEMAC 09 - LARRONDO 74
ALGUNAS PREGUNTAS
• ¿Las distinguimos a simple vista?• ¿Distinguimos las bien muestreadas de
las mal muestreadas?• ¿Las distinguimos por el espectro?• ¿Distinguimos por el espectro las bien
muestreadas y las mal muestreadas?• ¿Las distinguimos por la PDF?• ¿Distinguimos por la PDF las bien
muestreadas y las mal muestreadas?
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ALGUNAS PREGUNTAS
• ¿Las distinguimos a simple vista?• ¿Distinguimos las bien muestreadas de
las mal muestreadas?• ¿Las distinguimos por el espectro?• ¿Distinguimos por el espectro las bien
muestreadas y las mal muestreadas?• ¿Las distinguimos por la PDF?• ¿Distinguimos por la PDF las bien
muestreadas y las mal muestreadas? NO
SI
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ATENCION
El histograma “común” no es sensible a la calidad
del muestreo
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ATENCION
Ningún cuantificador que dependa de la PDF inducida por el histograma va a ser sensible
a la calidad del muestreo
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Muestreo ideal
TREFEMAC 09 - LARRONDO 80
Muestreo ideal
TREFEMAC 09 - LARRONDO 81 TREFEMAC 09 - LARRONDO 82
TREFEMAC 09 - LARRONDO 83
ATENCION
El máximo de CBP da un criterio de muestreo
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TREFEMAC 09 - LARRONDO 85
ATENCION
Al aumentar la frecuencia de muestreo los puntos se ubican
sobre la diagonal. Esa es la razón de la reducción en CBP si
hay sobremuestreo
TREFEMAC 09 - LARRONDO 86
TREFEMAC 09 - LARRONDO 87 TREFEMAC 09 - LARRONDO 88
ATENCION
El vértice de CBP (no de la serie sino de abs(FFT)) da la
frecuencia de Nyquist del sistema
TREFEMAC 09 - LARRONDO 89 TREFEMAC 09 - LARRONDO 90
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TREFEMAC 09 - LARRONDO 91
CONCLUSIONES
• Sistemas estocásticos, deterministas y caóticos: se distinguen mediante cuantificadores.
• Las herramientas de visualización ayudan pero no definen. Funcionan por eliminación.
• PDF depende de la Dinámica Simbólica.• El muestreo introduce aliasing.• Mediante la CBP del abs(FFT) se puede
determinar la frecuencia de Nyquist.• La máxima CBP de el muestreo óptimo (CONJETURA)
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En progreso
• Biblioteca de ruidos: – (mándele su ruido a Hilda !)
• Estudio del muestreo en sistemas caóticos
• Interacción N�fs� fM
• Biblioteca de cuantificadores
TREFEMAC 09 - LARRONDO 93
Papers Teoría (2005,--)• “Statistical complexity measure of pseudorandom bit generators.” Autores:
C.M.González, H.A. Larrondo, O.A.Rosso. Physica A 354 (2005) 281-300.
• “Intensive Statistical Complexity Measure of pseudorandom bit generators.” H.A. Larrondo, C.M.González, M.T.Martín, A. Plastino, O.A.Rosso. Physica A 356 (2005) 133–138
• “Random number generators and causality” H.A. Larrondo, M.T. Martín, C.M. González, A. Plastino and O.A. Rosso Physics Letters A, Volume 352, Issue 4-5, (2006) p. 421-425.
• “Distinguishing noise from chaos” Autores: O. A. Rosso, H. A. Larrondo, M. T. Martín, A. Plastino and M. A. Fuentes. Physical Review Letters 99, (2007) p. 154102-154106.
TREFEMAC 09 - LARRONDO 94
Papers Teoría (2005,--)• “Extracting features of Gaussian self-similar stochastic processes via the Bandt
and Pompe approach” O Rosso, O. A., Zunino, L., Pérez, D. G., Figliola, A., Larrondo, H. A., Garavaglia, M., Martín, M. T., Plastino, A. Physical Review E, vol. 76, Issue 6, id. 061114 (2007) .
• “Randomizing nonlinear maps via symbolic dynamics”. L. De Micco, C. M. González, H. A. Larrondo, M. T. Martin, A. Plastino, O. A. Rosso. Physica A, vol 387, Issue 14, pp 3373-3383 (2008) 10.1016/j.physa.2008.02.037.
• “Generalized Statistical Complexity Measure: A New Tool for Dynamical Systems”O.A.Rosso, H. A. Larrondo, M. T. Martin and A. Plastino. Aceptado en International Journal of Bifurcation and Chaos (2009).
• “Quantifiers for randomness of chaotic pseudo random number generators”. L. De Micco, H. A. Larrondo, A. Plastino y O. A. Rosso. Aceptado para su publicación en Phylosophical Transactions A. (2009)
TREFEMAC 09 - LARRONDO 95
Papers Aplicaciones (2005,--)• Implementación de sistemas caóticos en dispositivos lógicos programables”. C.M.
González, H.A. Larrondo, C.A. Gayoso, L.J. Arnone. XI Workshop IBERCHIP. http://www.iberchip.org/iberchip2005/articles/6/6--cmgonzal-mdp01_FullText.pdf(2005).
• Implementación de un sistema caótico discretizado en dispositivos lógicos programables”. C.M. González, H.A. Larrondo, C.A. Gayoso, L.J. Arnone. Proceedings de XI Workshop on Information Processing and Control (RPIC) V 1, (2005) 270-275
• “Medición de amplitud y frecuencia de señales periódicas inmersas en ruido” J. G. Fernández, R. M. Hidalgo, R. R. Rivera, W. A. Gemin, H. A. Larrondo. Proceedings de XI Workshop on Information Processing and Control (RPIC) V1 (2005) 687-690.
• “Brain maturation changes characterized by Algorithmic Complexity (Lempel and Ziv Complexity)” J. G. Fernández, H. A. Larrondo, A. Figliola, E. Serrano, J. A. P. Rostas, M. Hunter and O. A. Rosso. American Institute of Physics ConferenceProceedings 913, ISBN 913 978-0-7354-0421-2, 238 páginas, (2007) 196-202.
• “Zipping characterization of chaotic sequences used in spread spectrum communication systems” L. De Micco, C. M. Arizmendi and H. A. Larrondo. AIP Conference Proceedings 913, ISBN 913 978-0-7354-0421-2 (2007) 139-144.
TREFEMAC 09 - LARRONDO 96
Papers Aplicaciones (2005,--)• “Acquisition of Low Frequency Signals Immersed in Noise by Chaotic Sampling
and FIR Filters”, R. A. Petrocelli, L. De Micco, D. O. Carrica, H. A. Larrondo. WISP2007, ISBN 1-4244-0829-6/07/$20.00 © IEEE (2007) 351-356.
• Constant EnvelopeWideband Signals using Arbitrary Chaotic Maps. L. De Micco, R. A. Petrocelli y H. A. Larrondo. XII Reunión de Trabajo en Procesamiento de la Información y Control, ISBN 978-987-1242-23-8, trabajo 381 2007.
• “Muestreo caótico para la adquisición de señales de baja frecuencia con ruido de alta frecuencia” L. De Micco, R. A. Petrocelli, D. O. Carrica y H. A. Larrondo, Proceedings de la XII Reunión de Trabajo en Procesamiento de la Información y Control, ISBN 978-987-1242-23-8. Trabajo 335 (2007).
• “Implementación en FPGA de un generador de ruido coloreado”. Autores: O. G. Zabaleta, L. De Micco, C. M. González, C. M. Arizmendi and H. A. Larrondo. Proceedings of Designer’s Forum. IV Southern Programmable Logic Conference (SPL08) ISBN 978-84-612-2376-3.pp 69-73 (2008).
• “Ruido 1/fd implementado en FPGA”. O. G. Zabaleta, L. De Micco, C. M. González, C. M. Arizmendi, H. A. Larrondo. Proceedings de XV Iberchip. Ed. Fernando G. Tinetti, ISBN 978-987-9486-10-8. pp 141-154 (2009).
17
TREFEMAC 09 - LARRONDO 97
Mediante servidor FTP pueden transferirnos señales para
analizar.
TREFEMAC 09 - LARRONDO 98
8°Taller Regional de Fisica Estadística y Aplicaciones a la Materia Condensada
Trefemac 2010Mar del Plata 4 al 6 de mayo de 2010
Gracias!