Por Ramiro Aduviri Velasco

@ravsirius

Modelado de sistemas dinámicos

ny

aijy(k j + 1)j=1

nu

biju(k j + 1) + ci

j=1

Modelo con regresión no lineal:

y(k+1) = F[y(k), . . . , y(k ny + 1), u(k), . . . , u(k nu + 1)]

En forma de regla (ejemplo modelo de Takagi-Sugeno):

si y(k) es pequeño y u(k) es pequeño

entonces y(k+1) =

Paradigmas en el modelado

• Mecánico (caja blanca, físico)• Cualitativo (remedios ingenuos,

basados en el conocimiento)• Conducido por datos (caja negra,

inductivo)

Combinación de estos enfoques: modelado con caja gris

Parametrización de modelos no lineales

• polinomiales, estrías• tablas de consulta• sistemas difusos• redes neuronales• redes de función con base radial• redes wavelet• ....

Construcción de modelos difusos

Planteamiento en base al conocimiento:

• conocimiento del experto reglas y funciones de membresía

• modelo difuso del operador humano o un proceso• interpretación linguística

Planteamiento conducido por datos:

• representación no lineal, aproximación universal• extracción de reglas y funciones de membresía de los

datos

Estructura y parámetros

Estructura:

• Variables de entrada y de salida. Para sistemas dinámicos también la representación de la dinámica

• Número de funciones de membresía por variable, tipo de funciones de membresía, cantidad de reglas.

Parámetros:

• Parámetros del consecuente (mínimos cuadrados)• Funciones de membresía del antecedente (varios métodos)

Modelo difuso con singleton

Ri : si x es Ai entonces y = bi, i = 1, 2, . . . , K

Caso especial tanto del modelo linguístico como del modelo de Takagi-Sugeno.

Inferencia / defuzzificación: promedio difuso

K ibi

i=1y =

K i

i=1

El modelo singleton es una expansión de la función base:K i

y = i(x)bi, i =

i=1 K j

j=1Tiene las mismas propiedades que las redes de funciones con base radial, modelos spline:

• propiedades de aproximación universal

• estimación de parámetros sencillo

Aproximación lineal por partes

Representación lineal con un modelo singleton

p

y = k`x + q = kixi + qi=1

• Partición truiangular

• Producto utilizado para el operador AND del antecedente.

i = Ai,1(x1) Ai,1(x2) . . . Ai,p(xp)

• Los singletones del consecuente son iguales a:

pbi = kjai,j + q

j=1

Estimación por mínimos cuadrados de Singletons

Ri : si x1 es Ai1 y . . . y xp es Aip entonces y = bi

• Dado Aij y un conjunto de datos de entrada y salida: Z = {xk, yk I k = 1, 2, . . ., N}

• Estimación de los parámetros del consecuente optimos bi

1. Calcule el grado de compromiso i(xk) = Ai1(x1k) Ai2(x2k) . . . Aip(xpk)

2. Normalice: i(xk)ki =

K j(xk)j=1

La salida es una combinación lineal convexa de entradas:K

y = kibi, o y = bi=1

3. Estimación por mínimos cuadrados:

b = [T]-1Ty

Modelo difuso de Takagi-Sugeno (TS)

Ri : si x es Ai entonces yi = aTix + bi, i = 1, 2, . . . , K

• Funciones de membresía multi variables:

Ai(x) : p [0, 1]

• Antecedente de la regla en forma conjuntiva:

i : si x1 es Ai1 y . . . y xp es Aip entonces . . .

• Salida del modelo dado por el promedio difuso ponderado:

Ki=1 Ai(x)yi K

i=1Ai(x)(aTix + bi)

y = =

Ki=1Ai(x) K

i=1Ai(x)

Representación de entrada-salida del modelo de TS

Los consecuentes son aproximadamente modelos lineales locales del sistema.

El modelo TS es un sistema Cuasilineal

Ki=1Ai(x)yi K

i=1Ai(x)(aTix + bi)

y = =

Kj=1Aj(x) K

j=1Aj(x)

con:Ai(x)

i(x) =

Kj=1Aj(x)

se obtiene:

o:

y = a(x)x + b(x)

Estimación por mínimos cuadrados de los consecuentes

i = [aTi bi]

T, Xe = [X 1]

i = 1, 2, . . . , K

• LS global:

´ = [(X´)TX´]-1(X´)Tycon

X´ = [W1Xe W2Xe . . . WKXe]y

• LS local:i = [(Xe)TWiXe]-1(Xe)TWiy

Funciones de membresía del antecedente

• Plantillas (partición en rejillas)• Optimización no lineal (métodos neuro-difusos)• Contrucción libre• Agrupamiento (clustering) difusa en el espacio producto

Modelado basado en plantilla

• Determine la función de membresía a priori (forma y cantidad).

• Solo para problemas pequeños (1 a 3 entradas).

K = pi=1Ni

Agrupamiento difuso

Centros del grupo (promedio):

V = [v1 v2]

Matriz de partición difusa:

Agrupamiento difuso: vía optimización

Función objetivo (criterio con mínimos cuadrados):

c NJ(Z; V, U, A) = m

i,jd2

Ai(zj, vi)i=1 j=1

sujeto a restricciones:

0 ij 1 j = 1, . . . , N gradio de membresíai = 1, . . . , c

0 Nj=1i,j 1 i = 1, . . . , c sin grupo

cj=1i,j = 1 j = 1, . . . , N membresía total

Algoritmos de agrupamiento difusos

Dado los datos

zk = [z1k, z2k, . . . , zNk]T n, k = 1, . . . , N

Encuentre:

la matriz de partición:

y los centros del grupo:

V = {v1, v2, . . . , vc}, vi n

Algoritmo difuso con c promedios

Repita:

1. Calcule de prototipos de grupo (promedios):

Nk=1

mi,kzk

vi =

Nk=1

mi,k

2. Calcule las distancias:

di,k = (zk vi)T(zk vi)

3. Actualice la matriz de partición:

1i,k =

cj=1(dik/djk)

1/(m-1)

hasta que IIUII <

Mediciones de distancia

• Norma Euclideana:

d2(zj, vi) = (zj vi)T(zj vi)

• Norma producto interno:

d2Ai(zj, vi) = (zj vi)

T(zj vi)

• y muchas otras posibilidades ...

Agrupamiento difuso:Algoritmo con c promedios

Modelos de Mamdani: Agrupamiento difuso con c promedios

Algoritmo de Gustafson-Kessel (GK)

Repite:

1. Calcula prototipos del grupo (promedios):

N m

i,kzk

k=1vi =

N m

i,k

k=1

2. Calcula las matrices de covarianza del grupo:

N m

i,k(zk vi)T(zk vi)

k=1Fi =

N m

i,k

k=1

3. Calcula las distancias:

dik = (zk vi)T[idet(Fi)

1/nF-1x] (zk vi)

4. Actualiza la matriz de partición

1ik =

c (dik/djk)

1/(m-1)

j=1hasta IIUII<

Agrupamiento difuso: Algoritmo GK

Modelos de Takagi-Sugeno: Agrupamiento de Gustafson-Kessel

Ejemplo: Control de presión

Dinámicas de presión:

R : constante del gas (8.134 J mol-1K-1), T : temperatura (305 K),Vh : volumen del gas (0.015 m3),g : razón de flujo del gas (3.75 x 10-4m3s-1),RH : radio del tubo de salida (0.0178 m),Po : presión de referencia (1.013 x 105 N m-2),o : densidad del aire externo (1.2 Kg m-3),P : presión en el tanque (N m-2),Kf : factor de fricción de la válvula (J mol -1).

Modelo Fuzzy de Takagi-Sugeno

Reglas:

1. si y(k) es BAJO y u(k) esta ABIERTOentonces y(k+1) = 0.67y(k) + 0.0007u(k) + 0.35

2. si y(k) es MEDIO y u(k-1) esta MEDIO CERRADOentonces y(k+1) = 0.80y(k) + 0.0028u(k) + 0.07

3. si y(k) es ALTO y u(k-1) esta CERRADOentonces y(k+1) = 0.90y(k) + 0.0071u(k) + 0.39.

Ejemplo: Representación en 3-D

Redundancia en modelos difusos

Transparencia no se la obtiene de forma automática

• Adquisición de información asegura transparencia.• Basado en los datos: alguna redundancia es inevitable.

Redundancia se manifiesta en dos formas:

• Gran número de reglas. Acuerdo entre: exactitud del modelo / complejidad del modelo capacidad en la generalización / aproximación de datos

• Conjuntos difusos muy similares similitud entre conjuntos similitud al conjunto difuso universal

Gran cantidad de reglas, solapamiento de conjuntos difusos similares

• Complejidad innecesaria• Dificultad en la asignación de rótulos linguísticos• Menos transparencia y generalidad

Redundancia en modelos difusos

Adaptación de parámetros

• Cantidad de conjuntos difusos por variable• Migración de conjuntos difusos debido a la optimización.

Agrupamiento difuso

• Cantidad de grupos• Proyección de grupos sobre las

variables del antecedente

Agrupamiento difuso supervisado

• Comienza con una cantidad sobrestimada de grupos

• Elimina a quellos que no influyen cuando se procede al agrupamiento

Mediciones de similitud

A BS(A, B) =

A B

Fusionamiento de conjuntos similares

• Entrega un término generalizador

• Fusiona agregando los parámetros de cada conjunto

Simplificación y reducción

Ejemplo: Crecimiento de algas

Predicción de concentración de clorofila-a en los ecosistemas de laguna

998 observaciones de nueve diferentes lagos

Entradas: temperatura, N, P, Si, duración del día, intensidad de luz

Salidas: Concentración de clorofila-a

Modelos de Takagi-Sugeno

Si T es AT, N es AN, P es AP, Si es ASi, D AD y I es AI

Entonces Chl = po + p1T + p2N + p3P + p4Si + p5D + p6Ih

Método: Agrupamiento difuso y análisi de similitud

Base de reglas inicial

Base de reglas simplicado

Temp N P Día Luz

(verano) R1 Si Caliente Alto Mod. Entonces ...

(invierno) R2 Si Frío Bajo Corto Bajo Entonces ...

(excepción) R3 Si Caliente Bajo Bajo Alto Entonces ...

(verano) R4 Si Caliente Alto Bajo Entonces ...

(invierno) R5 Si Frío Mod. Corto Bajo Entonces ...

Control difuso: Fundamentos

• controlador diseñado utilizando reglas Si-Entonces en lugar de fórmulas

matemáticas (control basado en el conocimiento)

• motivación de incio: operadores con experiencia fingida

• razonamiento difuso: interpolación entre salidas discretas

• generalmente: también controladores diseñados sobre la base de un modelo

difuso (control difuso basado en el modelo)

• un controlador difuso representa una transformación no lineal (pero

completamente determinístico!)

1965 Primera publicación sobre conjuntos difusos (Zadeh)

1974 Control difuso aplicado a un sistema de laboratorio (Mamdani)

1982 Primera aplicación industrial del control difuso (a un horno de cemento)

1985 Control de tren vía Sendai, productos de consumo (Japón)

Esquemas básicos de control difuso

Control difuso directo (nivel bajo de Mamdani)

Control supervisor difuso (nivel alto, Takagi-Sugeno)

Control basado en el modelo difuso

Control difuso directo

Control proporcionalTransformación de entrada-salida del controlador

Control proporcional difuso: Reglas

Si el error es Negativo Grande entonces la entrada de control es Negativo Grande

Si el error es Cero entonces la entrada de control es Cero

Si el error es Positivo Grande entonces la entrada de control es Positivo Grande

Transformación deentrada-salida delcontrolador

Ejemplo: Compensación a la fricción

1. Motor DC con fricción estática

2. Reglas difusas para representar al control proporciona “normal”

3. Reglas adicionales para prevenir estados indeseables.

Modelo del motor DC

Controlador proporcional

Base de reglas para el control difuso

Reglas para el proporcional:

• Si el error es Positivo Grande entonces entrada de control es Positivo Grande

• Si el error es Negativo Grande entonces entrada de control es Negativo Grande

• Si el error es Cero entonces entrada de control es Cero

Reglas adicionales:

• Si el error es Negativo Peq. entonces entrada de control no es Negativo Peq.

• Si el error es Positivo Peq. entonces entrada de control no es Positivo Peq.

Resultados del control difuso

Transformación de entrada-salida del controlador

Control PID difuso

Controlador PD difuso: Tabla de reglas

R12 : Si el error es NB y la derivada del error es ZE entonces control es NB

derivada del errorNB ZE PB

error NB NB NB ZEZE NB ZE PBPB ZE PB PB

Control difuso: Etapas en el diseño

Planteamiento de la ingeniería de control + concoimiento heurístico

1. Se determina las entradas y las salidas.

2. Se definen las funciones de membresía

3. Se diseña la base de reglas

4. Se lo prueba (perfectibilidad, estabilidad, desempeño)

5. Se afina el controlador.

Control difuso supervisor

Si salida del proceso es Alto entonces se reduce la ganancia proporcional ligeramente y se incremente la ganancia derivativa moderadamente.