sistemas dinamicos

Ampliacion de Ecuaciones Diferenciales

Manuel Fernandez Garcıa-Hierro

Indice general

Capıtulo 1. Sistemas Diferenciales Lineales 51. Sumario sobre Sistemas Lineales 52. Sistemas lineales autonomos 73. Conjugacion 194. Clasificacion topologica de sistemas hiperbolicos 215. Sistemas diferenciales lineales periodicos 256. Ejercicios 27

Capıtulo 2. Sistemas diferenciales 291. Sumario sobre el problema de valor inicial 292. Diferenciabilidad de la solucion respecto de las condiciones

iniciales y parametros 313. Integrales primeras 334. Sistemas autonomos. Orbitas 345. Relacion entre sistemas autonomos y no autonomos 376. Sistemas dinamicos 397. Linealizacion 398. Ejercicios 40

Capıtulo 3. Estabilidad en Sistemas Diferenciales Autonomos 431. Conjuntos lımites 432. Estabilidad de los puntos de equilibrio. El metodo de Liapunov 473. Sistemas gradientes 504. Sistemas Hamiltonianos 525. Inestabilidad 546. Conjuntos invariantes 567. Ejercicios 60

Capıtulo 4. Soluciones periodicas en sistemas autonomos planos 651. Sistemas Hamiltonianos en el plano 652. El Teorema del flujo tubular 673. El Teorema de Poincare-Bendixon 714. Ejercicios 74

3

Capıtulo 1

Sistemas Diferenciales Lineales

1. Sumario sobre Sistemas Lineales

1.1. Funciones matriciales. Sea A ∈ Mn(K) donde K = R o C. Sedefine

‖A‖ = sup‖x‖=1

‖Ax‖,

donde ‖x‖ es una norma en Kn.La aplicacion ‖A‖ es una norma en Mn(K) que verifica:

‖Ax‖ ≤ ‖A‖ ‖x‖,‖AB‖ ≤ ‖A‖ ‖B‖,

donde A,B ∈Mn(K) y x ∈ Kn.Si n 6= m lo anterior sigue siendo valido con los cambios obvios.Sea la funcion t ∈ I → A(t) ∈Mn(K). Se verifica:

1. A(t) es continua si y solo si aij(t) es continua para todos i, j, dondeA(t) = [aij(t)].

2. A(t) es derivable si y solo si aij(t) es derivable para todos i, j.Ademas

A′(t) = [a′ij(t)].

3. A(t) es integrable si y solo si aij(t) es integrable para todos i, j.Ademas ∫

A(t) dt =

[∫aij(t) dt

].

4. Sean Ak, A ∈ Mn(K), k = 1, 2, . . . Entonces Ak → A, k → ∞ si ysolo si akij → aij , k →∞ para todos i, j.

1.2. Existencia y unicidad de soluciones para el problema devalor inicial.

Teorema 1.1. Sean A : I → Mn(K), b : I → Kn funciones continuasen el intervalo I. Entonces para cada (t0, x0) ∈ I × Kn existe una unicasolucion, definida en todo I, del problema de valor inicial

x′ = A(t)x+ b(t), x(t0) = x0.

Sea A : I → Mn(K) continua. Entonces el conjunto de soluciones dex′ = A(t)x es un espacio vectorial n-dimensional y el conjunto de solucionesde x′ = A(t)x+ b(t) es un espacio afın n-dimensional.

5

6 1. SISTEMAS DIFERENCIALES LINEALES

1.3. Soluciones matriciales fundamentales. Una ecuacion dife-rencial lineal matricial tiene la forma

X ′ = A(t)X,

donde A : I →Mn(K).Una solucion matricial es una funcion derivable X : I →Mn(K) tal que

X ′(t) = A(t)X(t) para todo t ∈ I.Es facil comprobar que si x0 ∈ Kn

(X(t)x0)′ = X ′(t)x0 = A(t)X(t)x0.

De modo que X(t)x0 es solucion de x′ = A(t)x.

Teorema 1.2. Sea t ∈ I → A(t) ∈ Mn(K) continua. El problema devalor inicial

X ′ = A(t)X, X(t0) = X0 ∈Mn(K), t0 ∈ I,tiene una unica solucion matricial definida en todo I.

Proposicion 1.3 (Formula de Abel-Jacobi-Liouville). Sea t ∈ I →A(t) ∈Mn(K) continua. Si X(t) es una solucion matricial de x′ = A(t)x yt0 ∈ I, entonces

detX(t) = detX(t0) exp

(∫ t

t0

traza A(s) ds

),

para todo t ∈ I.

El valor | detX(t)| representa el volumen del paralelepıpedo determi-nado por los vectores columnas, X1(t), . . . , Xn(t). De modo que la formuladescribe como varıa el volumen de dicho paralelepıpedo a lo largo del tiempo.

Definicion 1.1. Una solucion matricial X(t) de x′ = A(t)x se dice fun-damental si X(t) es invertible para todo t, o equivalentemente si es invertiblepara algun t0.

Entonces, fijado t0 ∈ I se verifica que x(t) es solucion si y solo si

x(t) = X(t)X−1(t0)x(t0).

Proposicion 1.4. Sean X1, X2 soluciones matriciales de X ′ = A(t)X.Si X1 es fundamental, entonces existe C ∈Mn(K) tal que

X2(t) = X1(t)C.

1.4. Soluciones del sistema no homogeneo. Formula de varia-cion de constantes. Si X(t) es una solucion matricial fundamental dex′ = A(t)x, la solucion de x′ = A(t)x+ b(t), x(t0) = x0 es

x(t) = X(t)X−1(t0)x0 +X(t)

∫ t

t0

X−1(s)b(s) ds,

donde t, t0 ∈ I.

2. SISTEMAS LINEALES AUTONOMOS 7

2. Sistemas lineales autonomos

2.1. Resultados basicos sobre sistemas diferenciales autono-mos. Un sistema diferencial autonomo es de la forma

(1.1) x′ = f(x)

donde f : U → Kn es una funcion definida en U ⊂ Rn. Si f(x) = Ax, dondeA ∈Mn(K), entonces el sistema autonomo es lineal.

El sistema x′ = f(x), admite la siguiente interpretacion geometrica:A cada punto x ∈ U le asignamos el vector f(x). Ası tenemos definidoun campo de direcciones. Las soluciones son curvas tangentes al campo dedirecciones. El siguiente resultado es fundamental para lo que sigue.

Proposicion 1.5. Si x : I → U es solucion de (2.6), entonces paracualquier τ ∈ R, x(t+ τ) es tambien solucion de (2.6) definida en −τ + I =t− τ : t ∈ I.

Demostracion.

dx(t+ τ)

dt(t) =

dx

dt(t+ τ) = f(x(t+ τ)).

Definicion 1.2. Se dice que x0 ∈ U es un punto de equilibrio de (2.6)si f(x0) = 0. A los demas puntos se les llama regulares.

Se verifica que x0 ∈ U es un punto de equilibrio si y solo si x(t) ≡ x0 essolucion de (2.6).

Sea x : I → U una solucion de (2.6). La orbita de x es orb(x) = x(I) =x(t) : t ∈ I.

Proposicion 1.6. Supongase que por cada condicion inicial hay unaunica solucion que la verifica. Entonces por cada x0 ∈ U pasa una unicaorbita.

Demostracion. La existencia es obvia. Probemos la unicidad. Seanx : I → U solucion maximal tal que x(0) = x0 e y : J → U solucion maximaltal que y(t0) = x0. Entonces x : t0 + I → U , x(t) = x(t − t0) tambien essolucion y verifica, x(t0) = x(0) = x0 = y(t0). Por tanto, t0 + I = J yx(t) = y(t) para todo t ∈ J . Ası que orb(x) = orb(x) = orb(y).

2.2. Exponencial de una matriz. Si λ es un autovalor de A y p unautovector asociado, entonces

x(t) = etλp

es solucion de (1.2). Ademas, si p1, . . . , pn es una base de autovectores conautovalores λ1, . . . , λn respectivamente, entonces

etλ1p1, . . . , etλnpn

es una base de soluciones de (1.2).


Para resolver el sistema x′ = Ax, A ∈ Mn(K), se define la exponencialde A, que es una matriz denotada por eA, con casi las mismas propiedadesque la exponencial de un escalar.

Del mismo modo que las soluciones de la ecuacion escalar x′ = ax, a ∈K, son x(t) = etax0, x0 ∈ K, las soluciones de

(1.2) x′ = Ax, A ∈Mn(K),

seran x(t) = etAx0, x0 ∈ Kn, donde etA es la exponencial de la matriz tA,que definiremos a continuacion.

Definicion 1.3. Sean t ∈ R y A ∈ Mn(K). La funcion etA es la unicasolucion matricial fundamental de X ′ = AX tal que X(0) = I.

Las propiedades de etA, que llamaremos exponencial de la matriz tA,vienen recogidas en la siguiente proposicion.

Proposicion 1.7. Se verifica

1. (etA)′

= AetA, e0A = I.

2.

etA =∞∑k=0

tkAk

k!,

siendo la convergencia de la serie uniforme en cada intervalo com-pacto de R.

3.

e(t+s)A = etAesA,(etA)−1

= e−tA.

4. Sean A ∈ Mn(K), B ∈ Mm(K) y P ∈ Mn×m(K) tales que AP =PB. Entonces

etAP = PetB, para todo t ∈ R.

5. Si AB = BA, entonces para todo t ∈ R

etAB = BetA,

et(A+B) = etAetB.

2.3. Soluciones complejas. Sea A ∈ Mn(K). El polinomio carac-terıstico de A es

|A− λI| = PA(λ) = (−1)n(λ− λ1)n1 · · · (λ− λr)nr ,

donde λ1, . . . λr son los autovalores distintos de A con multiplicidades alge-braicas n1, . . . nr respectivamente. El Teorema de descomposicion de Jor-dan garantiza la existencia de una matriz no singular P y una matriz


B = diag(B1, . . . , Br), Bl = diag(J l1, . . . , Jlpl

), l = 1, . . . , r, donde

J lk =

λl 1 0 . . . 00 λl 1 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . λl 10 . . . . . 0 λl

,

tales que AP = PB. Ası que una solucion matricial fundamental de x′ = Axes etAP = PetB y todo lo que tenemos que hacer es calcular etB. Puesto que

etB = diag(etB1 , . . . , etBr), etBl = diag(eJl1 , . . . , eJ

lpl ),

debemos calcular etJ , donde

J =

λ 1 0 . . . 00 λ 1 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . .0 . . . . . . . . . 10 . . . . 0 λ

.

La matriz J = λI +N , donde

N =

0 1 0 . . . 00 0 1 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . .0 . . . . . . . . . 10 . . . . . . . . . 0

.

La potencias sucesivas de N son

N2 =

0 0 1 0 . . . 00 0 0 1 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 . . . . . . . 0 10 . . . . . . . 0 00 . . . . . . . 0 0

, . . . , Nm = 0,

donde m es el orden de la matriz N . Entonces

etJ = etλI+tN = etλIetN

= etλ(I +

tN

1!+ · · ·+ (tN)m−1

(m− 1)!

)

= etλ

1 t

1! . . . tm−1

(m−1)!

0 1 . . . tm−2

(m−2)!

. . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . 1

.


Si P es una matriz n×m cuyas columnas son P 1, . . . , Pm, entonces

PetJ = [P 1 . . . Pm]etJ

= etλ[P 1 tP 1 + P 2 · · · tm−1

(m− 1)!P 1 + · · ·+ Pm

].

A partir de la formula anterior se deduce que las componentes de cual-quier solucion son funciones de la forma etλp(t), donde λ es un autovalor deA y donde p(t) es un polinomio de grado estrictamente menor que la mul-tiplicidad del autovalor λ. Tambien es facil, aunque de escritura engorrosa,calcular una base de soluciones de x′ = Ax sin mas que considerar las ncolumnas de etBP .

2.4. Soluciones reales. Sea A ∈ Mn(R) y considerese el sistemax′ = Ax, x ∈ Rn. Si permitimos soluciones con valores complejos, tene-mos que x(t) es solucion si y solo si Rex(t) y Imx(t) son soluciones. Pa-ra obtener una base de soluciones reales, basta tener en cuenta que x(t)es solucion si y solo si su conjugada compleja x(t) es solucion y que six1(t), . . . , xr(t), y1(t), y1(t), . . . , ys(t), ys(t) es una base de soluciones, siendox1(t), . . . , xr(t) reales, entonces

x1(t), . . . , xr(t),Re y1(t), Im y1(t), . . . ,Re ys(t), Im ys(t)

es una base de soluciones reales.

2.5. Sistemas lineales autonomos planos. ea x′ = Ax, donde A ∈Mn(K). Supongase que AP = PB, donde P es no singular. Si se efectua elcambio de variables x = Py, se obtiene

x′ = Py′ = Ax = APy, y′ = P−1APy = By.

Ası que si se resuelve y′ = By, las soluciones del sistema de partida sonx(t) = Py(t).

Sea x′ = Ax, donde A ∈M2(R) y detA 6= 0. El objetivo es estudiar lasorbitas del sistema diferencial.

El origen es el unico punto de equilibrio.El polinomio caracterıstico de A es:

λ2 − (traza A)λ+ detA = 0.

Distinguimos los siguientes casos.1. Hay dos autovalores de A, λ1, λ2 reales y distintos. En este caso hay

dos autovectores linealmente independientes, p1, p2, de modo que(Ap1 Ap2

)=(p1 p2

)(λ1 00 λ2

).

Cualquier solucion es de la forma(x1(t)x2(t)

)=(p1 p2

)(etλ1 00 etλ2

)(y01

y02

).


Llamamos y1(t), y2(t) a las componentes de x1(t), x2(t) respecto de la basep1, p2. Entonces (

y1(t)y2(t)

)=

(etλ1 0

0 etλ2

)(y01

y02

).

Los cuatro semiejes coordenados son orbitas.Distinguiremos tres casos atendiendo al signo de los autovalores.1a). λ2 < λ1 < 0. Entonces

y1(t), y2(t)→ 0, t→∞|y1(t)|, |y2(t)| → ∞, t→ −∞

y2(t)

y1(t)=y02

y01e(λ2−λ1)t → 0, t→∞.

Esta ultima afirmacion significa que las orbitas tienden al origen con tan-gente nula cuando t → ∞. Esta configuracion del plano de fases se llamade nodo estable. Tambien se dice que el punto de equilibrio o la ecuaciondiferencial es un nodo estable.

1b). 0 < λ1 < λ2. Entonces

y1(t), y2(t)→ 0, t→ −∞|y1(t)|, |y2(t)| → ∞, t→∞

y2(t)

y1(t)=y02

y01e(λ2−λ1)t → 0, t→ −∞.

Esta ultima afirmacion significa que las orbitas tienden al origen con tan-gente nula cuando t → −∞. El plano de fases tiene una configuracion denodo inestable.

1c). λ2 < 0 < λ1. Entonces

y1(t)→ 0, t→ −∞|y2(t)| → ∞, t→ −∞y2(t)→ 0, t→∞|y1(t)| → ∞, t→∞

Se dice que el plano de fases tiene una configuracion de punto de silla.2. Hay un autovalor doble, necesariamente real, λ.2a) Hay dos autovectores linealmente independientes. En este caso si

P =(p1 p2

), entonces AP = P

(λ 00 λ

), de modo que A =

(λ 00 λ

).

Ası que las soluciones son de la forma(y1(t)y2(t)

)=

(etλy01

etλy02

).


Todas las orbitas son semirectas que parten del origen. Si λ < 0 tenemosuna configuracion de punto de estrella estable y si λ > 0 de punto de estrellainestable.

2b) Solo hay un autovector linealmente independiente. Entonces

AP = P

(λ 10 λ

).

Y, por tanto,

y1(t) = (y01 + y02t)etλ, y2(t) = etλy02.

Se dice que el plano de fases tiene una configuracion de nodo impropio.El comportamiento asintotico de las orbitas se deduce facilmente de las

formulas anteriores.3. Hay dos autovalores complejos conjugados, λ = α± iβ3a) Sea α 6= 0. Se verifica que si Re p + i Imag p es un autovector de

α+ iβ y si

P =(Re p Im p

),

entonces

AP = P

(α β−β α

),

de donde se deduce que(y1(t)y2(t)

)= etα

(cos tβ sin tβ− sin tβ cos tβ

)(y01

y02

).

Sea el sistema diferencial(y′1(t)y′2(t)

)=

(α β−β α

)(y1

y2

).

Si efectuamos un cambio de variable a polares se obtiene r′ = αr θ′ = −β,e integrando,

r(t) =√y1(t)2 + y2(t)2 = r0e

tα

θ(t) = arctany2(t)

y1(t)= θ0 − tβ.

Eliminado t entre las dos ecuaciones, se tiene

ρ(θ) = r(t(θ)) = ρ0 expαβ

(θ0−θ),

que es una espiral logarıtmica.Se dice que el plano de fases tiene una configuracion de foco.3b) Sea α = 0. Entonces r(t) = r0 y la orbita es una circunferencia. Las

soluciones son2π

βperiodicas. Se dice que el plano de fases tiene configuracion

de centro.


Finalmente consideremos el caso en que detA = 0. Si exceptuamos elcaso trivial en que A es la matriz nula, hay dos casos posibles. Notese quehay un autovalor nulo.

Caso 1. (y′1y′2

)=

(λ 00 0

)(y1

y2

).

El sistema es y′1 = λy1, y′2 = 0 y las soluciones y1(t) = y01 exp(tλ),y2(t) = y02. El eje y1 = 0 esta formado por puntos de equilibrio y todas lasorbitas son semirectas horizontales.

Caso 2. (y′1y′2

)=

(0 10 0

)(y1

y2

).

El sistema es y′1 = y2, y′2 = 0 y las soluciones y1(t) = y02t+ y01, y2(t) =y02. El eje y2 = 0 esta formado por puntos de equilibrio y todas las orbitasson rectas horizontales.

Si λ1, λ2 son los autovalores de A y si tenemos en cuenta que el polinomiocaracterıstico de A es

λ2 − (traza A)λ+ detA

= λ2 − (λ1 + λ2)λ+ λ1λ2

podemos expresar la discusion anterior en terminos del detA y traza A talcomo se muestra en el siguiente grafico, donde

∆ = (trazaA)2 − 4 detA.

2.6. Campos hiperbolicos. Atractores y fuentes. Se dice queA ∈ Mn(K) es hiperbolico si todos sus autovalores tienen parte real dis-tinta de 0. Puesto que para estudiar el comportamiento asintotico de lassoluciones de x′ = Ax podemos utilizar cualquier norma en Kn, construire-mos una adecuada a nuestros propositos.

Lema 1.8. Sean A ∈Mn(K) y α tales que

Reλ < α, para todo λ autovalor de A.

Entonces existe un producto escalar en Kn tal que

Re〈Ax, x〉 ≤ α|x|2, (x ∈ Kn),

donde | · | es la norma asociada al producto escalar 〈·, ·〉.

Demostracion. Sea K = C. Existe una base en Cn, p1, . . . , pn tal quesi P es la matriz cuyas columnas son los vectores anteriores, entonces

AP = P

λ1 δ 0 . . . 00 λ2 δ . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . .0 . . . 0 λn−1 δ0 . . . 0 0 λn

,


donde λ1, . . . λn son los autovalores de A y donde δ es en cada fila 0 o 1. Seaε > 0.

Construimos la nueva base uk = εkpk, k = 1, . . . , n. Entonces

Au1 = λ1u1

Au2 = ε2(λ2ν2 + δν1) = λ2u

2 + δεu1

. . . . . . . . .

Aun = λnun + δεun−1.

Sea 〈·, ·〉 el producto escalar respecto de esta base, es decir,

〈uj , uk〉 =

1 si j = k

0 si j 6= k.

Entonces

〈Au1, uk〉 = 〈λ1u1, uk〉

=

λ1 si 1 = k

0 si 1 6= k.

Si j ≥ 2

〈Auj , uk〉 = 〈λjuj + δεuj−1, uk〉

=

λj si k = j

δε si j = k + 1

0 si j 6= k, k + 1.

Sea x = x1u1 + · · ·+ xnu

n. Se verifica

〈Ax, x〉 = 〈x1Au1 + · · ·+ xnAu

n, x1u1 + · · ·+ xnu

n〉

=∑j,k

xj xk〈Auj , uk〉

= |x1|2λ1 + · · ·+ |xn|2λn+ (x2x1 + x3x2 + · · ·+ xnxn−1)δε.

Tomando conjugados complejos se obtiene

〈x,Ax〉 = |x1|2λ1 + · · ·+ |xn|2λn+ (x1x2 + x2x3 + · · ·+ xn−1xn)δε.

Entonces

2 Re〈Ax, x〉= 〈Ax, x〉+ 〈x,Ax〉= 2 Reλ1|x1|2 + · · ·+ 2 Reλn|xn|2

+ 2δεRe(x1x2 + x2x3 + · · ·+ xn−1xn).


Llamemos

Φ(x) = |x1x2 + x2x3 + · · ·+ xn−1xn|,

entonces

Φ(λx) = |λ|2Φ(x), (λ ∈ C).

Puesto que Φ es continua y la esfera unidad es compacta,

Φ(x) = Φ

(|x| x|x|

)= |x|2Φ

(x

|x|

)≤M |x|2,

donde M es una constante positiva.Elegimos ε > 0 tal que

Reλj ≤ α− εM.

Entonces

Re < Ax, x >≤ (α− εM)|x|2 + εM |x|2 = α|x|2.

Para probar el caso real, se construye el producto escalar complejo y setiene en cuenta que Re〈·, ·〉 es un producto escalar real.

Comentario 1.9. El resultado anterior sigue siendo cierto y se demues-tra de la misma forma para E subespacio de Cn invariante por A. Es decir,si existe α tal que Reλ < α, para todo λ autovalor de A con ker(A−λ) ⊂ E,entonces existe un producto escalar en E tal que

Re〈Ax, x〉E ≤ α|x|2E , (x ∈ E),

donde | · |E es la norma asociada al producto escalar 〈·, ·〉E .

Ahora es facil probar el

Teorema 1.10. Sean A ∈Mn(K) y α tales que

Reλ < α, para todo λ autovalor de A.

Entonces existe un producto escalar en Kn tal que

|etAx| ≤ etα|x|, x ∈ Kn, t ≥ 0(1.3)

|etAx| ≥ etα|x|, x ∈ Kn, t ≤ 0(1.4)

donde | · | es la norma asociada al producto escalar 〈·, ·〉.

Demostracion. Teniendo en cuenta que la diferencial del productoescalar en (x, y) ∈ Kn×Kn es la aplicacion lineal de Kn×Kn → K definidapor


D〈·, ·〉(x, y)(h, k) = 〈x, k〉 + 〈h, y〉 y que ∂∂te

tAx = AetAx, aplicando laregla de la cadena se obtiene

∂

∂t〈etAx, etAx〉 = D〈·, ·〉(etAx, etAx)(AetAx,AetAx)

= 〈etAx,AetAx〉+ 〈AetAx, etAx〉= 2 Re〈AetAx, etAx〉 ≤ 2α〈etAx, etAx〉.

De donde se deduce que

∂∂t〈e

tAx, etAx〉〈etAx, etAx〉

− 2α ≤ 0

y, por tanto,

∂

∂t

(ln〈etAx, etAx〉 − 2αt

)≤ 0.

De modo que la funcion

ln〈etAx, etAx〉 − 2αt

es decreciente. De aquı se deducen las ecuaciones (1.3).

Comentario 1.11. Un comentario analogo al que sigue al lema tambiense verifica.

Teorema 1.12. Sea A ∈Mn(K) hiperbolico. Entonces existen subespa-cios Es y Eu de Kn invariantes por A, tales que

1. Kn = Es ⊕ Eu.2. etAx→ 0, t→∞, para todo x ∈ Es.3. ‖etAx‖ → ∞, t→∞, para todo x 6∈ Es, x 6= 0.4. etAx→ 0, t→ −∞, para todo x ∈ Eu.5. ‖etAx‖ → ∞, t→ −∞, para todo x 6∈ Eu, x 6= 0.

Demostracion. Sea K = C. Sean λ1, . . . , λs, λs+1, . . . , λr los autova-lores distintos de A con multiplicidades n1, . . . , ns, ns+1, . . . , nr respectiva-mente y tales que Reλj < 0, si 1 ≤ j ≤ s y Reλs+j > 0, si 1 < j < r − s.Entonces

Cn =(⊕sj=1 ker(A− λj)nj

)⊕(⊕r−sj=1 ker(A− λs+j)ns+j

)= Es ⊕ Eu.

Es, Eu son invariantes por A, porque lo son ker(A − λj)nλj y (A −

λs+j)nλs+j .

Se elige α > 0 tal que Reλ < −α si Reλ < 0, y Reλ > α si Reλ > 0.Aplicando (1.11) a Es, Eu se obtiene la existencia de productos escalares

〈·, ·〉s en Es y 〈·, ·〉u en Eu tales que


(2) Existe α > 0 y un producto escalar en Kn tal que si | · | es la normaasociadaa) |etAx| ≤ e−tα|x|, x ∈ Kn, t ≥ 0.b) |etAx| ≥ e−tα|x|, x ∈ Kn, t ≤ 0.

(3) Toda solucion de x′ = Ax satisface

lımt→∞

x(t) = 0.

(4) Toda solucion, excepto la identicamente nula, de x′ = Ax satisface

lımt→−∞

‖x(t)‖ =∞.

(5) lımt→∞ etA = 0.

Las proposiciones anteriores implican

lımt→−∞

‖etA‖ =∞.

Demostracion. (1) implica (2). Se elige α > 0 tal que Reλ < −α paratodo λ autovalor de A y se aplica el Teorema (1.10).

(2) implica (3) y (2) implica (4) son inmediatas de las desigualdadesen (2). Para probar que (3) o (4) implican (1), supongase que existe unautovalor λ con Reλ ≥ 0. Sea x un autovector de λ. Entonces la solucionetλx no tiende a 0 cuando t→∞, ni tiende a ∞ cuando t→ −∞, ya que

‖etλx‖ = |etλ| ‖x‖ = etReλ‖x‖.(2) implica (5) y (6). De la primera desigualdad en (2) y de la definicion denorma de matriz, se obtiene que

|etA| ≤ e−tα, t ≥ 0,

de donde se deduce (5). De la segunda desigualdad en (2), se obtiene

e−tα|x| ≤ |etAx| ≤ |etA| |x|, t ≤ 0,

de donde se deduce (6).

Teniendo en cuenta la definicion de fuente, se obtienen caracterizacionesanalogas a las anteriores.

Proposicion 1.14. Sea A ∈Mn(K). Son equivalentes

(1) x′ = Ax es una fuente.(2) Existe α > 0 y un producto escalar en Kn tal que si | · | es la norma

asociadaa) |etAx| ≤ etα|x|, x ∈ Kn, t ≤ 0.b) |etAx| ≥ etα|x|, x ∈ Kn, t ≥ 0.

(3) Toda solucion de x′ = Ax satisface

lımt→−∞

x(t) = 0.

(4) Toda solucion, excepto la identicamente nula, de x′ = Ax satisface

lımt→∞‖x(t)‖ =∞.

3. CONJUGACION 19

(5) lımt→−∞ etA = 0.

Las proposiciones anteriores implican

lımt→∞‖etA‖ =∞.

Comentario 1.15. Sea A ∈Mn(K) y E un subespacio de Kn invariantepor A. Decimos que x′ = Ax es un atractor en E si todo λ autovalor de Acon autovectores en E tiene Reλ < 0. Y decimos que A es una fuente en Esi −A es un atractor. Teniendo en cuenta los comentarios anteriores, es facilcomprobar que las Proposiciones 1.13 y 1.14 tienen versiones obvias para unsubespacio invariante E.

3. Conjugacion

Toda clasificacion se realiza en base a una relacion de equivalencia. De-finiremos la conjugacion en sistemas diferenciales lineales, lo que nos permi-tira obtener una clasificacion de los sistemas hiperbolicos.

Definicion 1.5. Se dice que los sistemas x′ = Ax y x′ = Bx son conju-gados, si existe una biyeccion h : Kn → Kn tal que

h(etAx) = etBh(x), t ∈ R, x ∈ Kn.

Es decir, es una biyeccion que transforma la orbita que pasa por x en laorbita que pasa por h(x), conservando la variable t.

Es facil comprobar que la conjugacion es una relacion de equivalencia enel conjunto de los sistemas diferenciales lineales homogeneos con coeficientesconstantes.

La conjugacion se dice lineal si h es un isomorfismo, diferenciable, si esun difeomorfismo y topologica si es un homeomorfismo.

1. Una conjugacion conserva las soluciones periodicas y los periodos. Enefecto, si x′ = Ax y x′ = Bx son conjugados y etAx es T -periodica, entonces

h(x) = h(eTAx) = eTBh(x),

de donde se deduce que etBh(x) es T -periodica. Por tanto en los sistemasplanos, un centro nunca puede ser conjugado a un foco, nodo o un punto desilla.

2. Sea λ > 0. La funcion

h(x) =

xλ, x > 0

0, x = 0

−|x|λ, x < 0

es una conjugacion topologica entre x′ = x y x′ = λx. En efecto h es unhomeomorfismo de R en R. Ademas si x > 0

h(etx) = (etx)λ = etλh(x).

Si x = 0 la igualdad anterior es obvia, y si x < 0

h(etx) = −|etx|λ = −etλ|x|λ = etλh(x).


Proposicion 1.16. Los sistemas x′ = Ax y x′ = Bx son linealmenteconjugados si y solo si A y B son semejantes.

Demostracion. Si h(x) = Px es el isomorfismo que define la conjuga-cion lineal, entonces detP 6= 0 y

PetAx = etBPx.

Derivando con respecto a t

PAetAx = BetBPx.

En t = 0 se obtiene que PAx = BPx para todo x ∈ Kn, de donde se deduceque PA = BP .

Recıprocamente si A y B son semejantes, existe P no singular tal quePA = BP . Por tanto PetA = etBP , es decir, h(x) = Px es una conjugacionlineal.

De modo que cada clase de equivalencia esta formada por los sistemasdiferenciales que tienen matrices semejantes.

Proposicion 1.17. Los sistemas x′ = Ax y x′ = Bx son diferenciable-mente conjugados si y solo si son linealmente conjugados.

Demostracion. Si h es lineal, es diferenciable. Por tanto supongamosque las ecuaciones sean diferenciablemente conjugadas y, en primer lugar,supongamos tambien que el difeomorfismo h satisface h(0) = 0.

Entonces derivando respecto de t

h(etAx) = etBh(x),

se obtiene

h′(etAx)AetAx = BetBh(x).

En t = 0,

h′(x)Ax = Bh(x).

En particular, para x = λy,

h′(λy)Ay = Bh(λy)− h(0)

λ.

Tomando lımite cuando λ→ 0 y teniendo en cuenta que h′ es continua,

h′(0)Ay = Bh′(0)y

y, puesto que la igualdad anterior se verifica para cualquier y ∈ Kn, final-mente se deduce que

h′(0)A = Bh′(0),

es decir, los sistemas son linealmente conjugados.En el caso h(0) = c 6= 0, se tiene en cuenta que la funcion k(x) = x− c

es una conjugacion diferenciable de x′ = Bx consigo mismo. En efecto,

etBc = etBh(0) = h(etA0) = h(0) = c.

4. CLASIFICACION TOPOLOGICA DE SISTEMAS HIPERBOLICOS 21

Por tanto,

k(etBx) = etBx− c = etBx− etBc = etBk(x).

Entonces k h es una conjugacion diferenciable entre x′ = Ax y x′ = Bx talque k h(0) = 0 y segun lo que ya hemos demostrado, hay una conjugacionlineal entre ambos sistemas diferenciales.

4. Clasificacion topologica de sistemas hiperbolicos

Comenzamos con un lema sobre el comportamiento asintotico de lassoluciones de un sistema lineal.

Lema 1.18. Sea A ∈Mn(K). Entonces existe β > 0 tal que

|etAx| ≤ e−tβ|x|, t ≤ 0.

Demostracion. Sea β > 0 tal que Reλ < β para todo λ autovalor de−A. Existe un producto escalar 〈·, ·〉 tal que

|et(−A)x| ≤ etβ|x|, x ∈ Kn, t ≥ 0,

o equivalentemente,

|etAx| ≤ e−tβ|x|, x ∈ Kn, t ≤ 0.

Teorema 1.19. El sistema x′ = Ax es un atractor si y solo si es to-pologicamente conjugado a x′ = −x.

Demostracion. Puesto que x′ = −x tiene a -1 como unico autovalor,es un atractor. Probaremos en primer lugar que si h es una conjugaciontopologica entre x′ = Ax y el atractor x′ = Bx, entonces el primer sistematambien es un atractor. En efecto de h(etAx) = etBh(x) y por ser atractorx′ = Bx tenemos

lımt→∞

h(etAx) = 0.

Si x = 0, h(0) = 0. Entonces

etAx = h−1(etBh(x))→ h−1(0) = 0, t→∞.

Recıprocamente, supongase que x′ = Ax es un atractor. Probaremos que estopologicamente conjugado a x′ = −x. Por el Teorema 1.10 existen α > 0 yun producto escalar en Kn tales que si F (x) =< x, x > y G(t, x) = F (etAx),entonces

∂G

∂t(t, x) = F ′(etAx)AetAx

= 2 Re〈etAx,AetAx〉≤ −2αRe〈etAx, etAx〉= −2αG(t, x) = −2αF (etAx).


Fijemos x 6= 0 y defınase G(·, x) : R→ R+ mediante G(·, x)(t) = G(t, x). En-toncesG(·, x) es estrictamente decreciente, lımt→−∞G(t, x) =∞ y lımt→∞G(t, x) =0. De modo que existe un unico t(x) ∈ R tal que

1 = G(t(x), x) = F (et(x)Ax) = |et(x)Ax|2.La funcion t(x) es continua en Kn \ 0 ya que coincide localmente con launica solucion (dada por el teorema de funciones definidas implıcitamente)de la ecuacion

G(t, x)− 1 = 0,

puesto que∂G

∂t(t, x) < 0, si x 6= 0.

La funcion

h(x) =

et(x)et(x)Ax si x 6= 0

0 si x = 0,

es una conjugacion topologica entre x′ = Ax y x′ = −x. En efecto, se verifica

1 = |et(x)Ax|2 = |e(−t+t(x))AetAx|2,

es decir, si y = etAx, entonces t(y) = −t+ t(x). Por tanto,

h(etAx) = et(x)−te(t(x)−t)AetAx

= et(x)−tet(x)Ax

= e−th(x).

Luego solo falta demostrar que h es un homeomorfismo. Si x 6= 0, h escontinua por serlo t(x). Para probar la continuidad en x = 0, observemos enprimer lugar que si x 6= 0,

|h(x)| = |et(x)et(x)Ax| = et(x).

Entonces de (2a) en la Proposicion 1.13 se obtiene que existe α > 0 tal quesi t(x) ≥ 0

1 = |et(x)Ax| ≤ e−t(x)α|x|.Por tanto,

et(x)α = |h(x)|α ≤ |x|.Ası que

|h(x)| ≤ |x|1/α.Si t(x) ≤ 0, del Lema anterior se obtiene que existe β > 0 tal que

1 = |et(x)Ax| ≤ e−t(x)β|x|.Por tanto,

et(x)β = |h(x)|β ≤ |x|.Ası que

|h(x)| ≤ |x|1/β.

4. CLASIFICACION TOPOLOGICA DE SISTEMAS HIPERBOLICOS 23

En definitiva,

|h(x)| ≤ max(|x|1/α, |x|1/β),

de donde se obtiene que h es continua en x = 0.La funcion inversa de h se puede calcular explıcitamente, teniendo en

cuenta que h(x) 6= 0 si x 6= 0 y t(x) = ln |h(x)|. En efecto,

h(x) = |h(x)|e(ln |h(x)|)Ax.

Ası que

x =1

|h(x)|e−(ln |h(x)|)Ah(x).

Por tanto, haciendo h(x) = y,

h−1(y) =

1|y|e−(ln |y|)Ay, si y 6= 0

0 si y = 0.

La funcion h−1 es continua si y 6= 0. Para probar que es continua en y = 0tengase en cuenta que si |y| < 1, ln |y| < 0. Por (2a) en la Proposicion 1.10

|h−1(y)| = 1

|y||e−(ln |y|)Ay|

≤ eα ln |y||y| → 0, si |y| → 0.

Teorema 1.20. El sistema x′ = Ax es una fuente si y solo si es to-pologicamente conjugado a x′ = x.

Demostracion. El sistema x′ = −Ax es un atractor lo que equivalea que es topologicamente conjugado a x′ = −x. Es decir, existe un homeo-morfismo h : Kn → Kn tal que

h(e−tAx) = e−th(x), t ∈ R, x ∈ Kn,

o equivalentemente

h(etAx) = eth(x), t ∈ R, x ∈ Kn,

es decir, x′ = Ax es topologicamente conjugado a x′ = x.

Comentario 1.21. Sean A,B ∈ Mn(K) y E un subespacio invariantepor A. Decimos que x′ = Ax y x′ = Bx son conjugados en E si existe unabiyeccion h : E → E tal que

h(etAx

)= etBh(x), t ∈ R, x ∈ E

Notese que se deduce de la definicion que E es invariante por B ya quesi x ∈ E, etBx = h

(etAh−1(x)

)∈ E para todo t. Entonces

etBx− e0Bx

t∈ E,

y tomando lımite cuando t→ 0, Bx ∈ E.


Ahora es facil comprobar que los Teoremas 1.19 y 1.20 tienen versionespara subespacios invariantes.

Teorema 1.22. Sean A ∈Mn(K) y E un subespacio invariante por A.Entonces

1. x′ = Ax es un atractor en E si y solo si es topologicamente conjugadoen E a x′ = −x.

2. x′ = Ax es una fuente en E si y solo si es topologicamente conjugadoen E a x′ = x.

Definicion 1.6. Sea A ∈Mn(K) tal que x′ = Ax es hiperbolico. Llama-mos ındice de estabilidad del sistema a la dimension del subespacio estableEs dado por el Teorema 1.12.

Teorema 1.23. Sean A y B ∈ Mn(K) tales que x′ = Ax y x′ = Bxson hiperbolicos. Los sistemas son topologicamente conjugados si y solo sitienen el mismo ındice de estabilidad.

Demostracion. Sea x′ = Ax hiperbolico y sean Es y Eu los subes-pacios estable e inestable dados por el teorema 1.12. Entonces, x′ = Ax esun atractor en Es y una fuente en Eu. De modo que es topologicamenteconjugado a x′ = −x en Es y a x′ = x en Eu.

Cada x ∈ Kn se descompone de manera unica en x = xs + xu, dondexs ∈ Es y xu ∈ Eu. Probaremos que x′ = Ax es topologicamente conjugado ax′ = Jx, donde Jx = −xs+xu. En efecto, sean hs : Es → Es y hu : Eu → Eu,los homeomorfismos que establecen las equivalencias topologicas. Defınaseh : Kn → Kn por h(x) = hs(xs) + hu(xu). Se afirma que h es la conjugaciontopologica buscada.

1. h es sobre. Sea y ∈ Kn, entonces y = ys + yu. Puesto que hs y hu

son sobre, existen xs ∈ Es y xu ∈ Eu tales que h(xs) = ys y h(xu) = yu.Entonces h(x) = y.

2. h es inyectiva. Si h(x) = h(x), h(x) = hs(xs) + hu(xu) = hs(xs) +hu(xu). Por tanto, hs(xs)− hs(xs) = hu(xu)− hu(xu) ∈ Es ∩Eu = 0. Enconsecuencia, hs(xs) = hs(xs) y hu(xu) = hu(xu). Puesto que hs y hu soninyectivas, se obtiene que xs = xu y xs = xu.

3. h es bicontinua. Dada una norma en Kn definimos la nueva norma

‖| x |‖= max(‖xs‖, ‖xu‖).

Entonces h es continua porque

‖| h(x)− h(y) |‖= max(‖hs(xs)− hs(ys)‖, ‖hu(xu)− hu(yu)‖)

y hs, hu son continuas.De manera analoga se prueba que h−1 es continua.

5. SISTEMAS DIFERENCIALES LINEALES PERIODICOS 25

4. h es una conjugacion.

h(etAx

)= h

(etAxs + etAxu

)= hs

(etAxs

)+ hu

(etAxu

)= e−ths(xs) + ethu(xu) = etJh(x).

Supongamos que x′ = Ax y x′ = Bx tienen el mismo ındice de esta-bilidad. Segun hemos visto arriba, el sistema x′ = Ax es topologicamenteconjugado a x′ = JAx y x′ = Bx lo es a x′ = JBx. Por lo tanto, es suficien-te comprobar que x′ = JAx y x′ = JBx son topologicamente conjugados.Puesto que dimEsA = dimEsB y dimEuA = dimEuB, existen isomorfismoslineales

P s : EsA → EsB P u : EuA → EuB.

Defınase P : Kn → Kn mediante P (x) = P s(xs) +P u(xu). Entonces P es unisomorfismo lineal tal que

P(etJAx

)= P

(e−txsA + etxuA

)= P s

(e−txsA

)+ P u

(etxuA

)= e−tP s (xsA) + etP u (xuA)

= etJBP (x).

Recıprocamente, si los sistemas x′ = Ax y x′ = Bx son topologicamenteconjugados y h es una conjugacion tal que h(0) = 0, (si h(x) = c 6= 0, sedefine k(x) = x−c y se considera la conjugacion kh), entonces h (EsA) = EsB.En efecto, si x ∈ EsA, etBh(x) = h

(etAx

)→ h(0) cuando t → ∞. Es decir,

h(x) ∈ EsB. Recıprocamente, si y ∈ EsB, etAh−1(y) = h−1(etBy

)→ h−1(0) =

0. Por tanto, h−1(y) ∈ EsA, es decir y ∈ h (EsA).El Teorema de invarianza de la dimension de Brouwer implica que dimEsA =

dimEsB.

5. Sistemas diferenciales lineales periodicos

En este apartado estudiamos el sistema diferencial lineal

(1.5) x′ = A(t)x,

donde A : R→Mn(R) es T -periodica, es decir, existe T > 0 tal que

A(t+ T ) = A(t), (t ∈ R).

Supondremos ademas que A(t) es continua. Es facil comprobar que

Proposicion 1.24. Si x(t) es solucion de (1.5), entonces x(t+T ) tam-bien lo es.

Tambien se cumple que

Proposicion 1.25. Si x(t) es solucion de (1.5) y x(0) = x(T ) entoncesx(t) es T -periodica.


En lo que sigue X(t) denotara la solucion matricial fundamental de (1.5)tal que X(0) = I. Entonces la solucion no trivial X(t)x es T -periodica si ysolo si x = X(0)x = X(T )x, o equivalentemente, si y solo si 1 es autovalorde X(T ).

Teorema 1.26. Si la unica solucion T -periodica de (1.5) es la trivial,entonces el sistema

(1.6) x′ = A(t)x+ b(t)

tiene una unica solucion T -periodica para cada b(t) T -periodica y continua.

Demostracion. Cualquier solucion de (1.6) tiene la forma

x(t) = X(t)(x0 +

∫ t

0X−1(s)b(s) ds),

donde x0 ∈ Kn. De modo que es T -periodica si y solo si x(0) = x(T ), esdecir, si y solo si

x0 = X(T )

((x0 +

∫ T

0X−1(s)b(s) ds

),

o equivalentemente,

(I −X(T ))x0 = X(T )

∫ T

0X−1(s)b(s) ds).

De la hipotesis se deduce que I − X(T ) es invertible y, en consecuencia,existe un unico x0 que cumple el sistema anterior.

Proposicion 1.27. Sea el sistema diferencial

(1.7) x′ = A(t)x+ b(t),

donde A(t) y b(t) son T -periodicas. Entonces existen soluciones T -periodicassi y solo si existen soluciones acotadas.

Teorema 1.28 (Descomposicion de Floquet). Sea X(t) la solucion ma-tricial de (1.5) tal que X(0) = I. Entonces existen B ∈ Mn(C) y unafuncion T -periodica P : R→Mn(C) tales que X(t) = P (t)etB.

Demostracion. Puesto que X(t+T ) es solucion matricial fundamentalde (1.5), existe C ∈Mn(C) tal que X(t+T ) = X(t)C. Para t = 0 se obtieneX(T ) = C. Puesto que X(T ) es no singular, existe B ∈ Mn(C) tal queeTB = C. Sea P (t) = X(t)e−tB, entonces

P (t+ T ) = X(t+ T )e−(t+T )B = X(t)X(T )e−TBe−tB = P (t)

Comentario 1.29. Si x(t) es una solucion de (1.5), entonces x(t) =X(t)x0 = P (t)etBx0 = P (t)y(t), donde y(t) es solucion del sistema diferen-cial

(1.8) x′ = Bx.

6. EJERCICIOS 27

Recıprocamente, si y(t) es una solucion de (1.8), entonces x(t) = P (t)y(t)es solucion de (1.5).

Definicion 1.7. Los autovalores de X(T ) se llaman multiplicadores de(1.5) y los autovalores de B exponentes caracterısticos.

Puesto que X(T ) = eTB, se verifica que λ es un multiplicador si y solosi λ = eTν , donde ν es un exponente caracterıstico.

Sea ν un exponente caracterıstico y x0 uno de sus autovectores. Entoncesetνx0 es una solucion de (1.8) y x(t) = P (t)etνx0 = p(t)etν es una solucionde (1.5).

6. Ejercicios

1. Sea A ∈ Mn(K). Probar que cada solucion de x′ = Ax es acotadacuando t → ∞ si y solo si, Reλ ≤ 0 para todo λ autovalor de Ay para cada λ con Reλ = 0, dim ker(A − λ) = multiplicidad delautovalor como solucion del polinomio caracterıstico.

2. Sea A ∈Mn(K). Pruebe que existen subespacios Es, Eu y Ec inva-riantes por A tales quea) Kn = Es

⊕Eu⊕Ec.

b) x ∈ Es si y solo si lımt→∞ etAx = 0.

c) x ∈ Eu si y solo si lımt→−∞ etAx = 0.

3. Sean los sistemas lineales planos x′ = y, y′ = y y x′ = x− y, y′ = 0.Calcular sus soluciones, dibujar sus planos de fases, comprobar queson conjugados y encontrar una conjugacion entre ambos.

4. Dibujar el plano de fases del sistema lineal x′ = Ax, donde

A =

(1 00 2

), A =

(1 20 3

), A =

(2 13 4

).

¿ Son lineal o topologicamente conjugados?5. Sea el sistema lineal x′ = (A + C(t))x, donde A ∈ Mn(K) y C(t)

es una funcion matricial continua en [0,∞); (C(t) representa unaperturbacion no autonoma de A). Pruebe que si A es un atractor ysi lımt→∞C(t) = 0, entonces el sistema perturbado tambien es unatractor.

6. Sea el sistema lineal x′ = (A+C(t))x, donde A ∈Mn(K) y C(t) esuna funcion matricial continua en (0,∞). Pruebe que si∫ ∞

0‖C(t)‖ dt <∞,

y todas las soluciones de x′ = Ax son acotadas en el intervalo (0,∞),entonces tambien lo son todas las soluciones del sistema perturbado.

7. Sea la ED escalar x′ = a(t)x, donde a : R → C es continua y Tperiodica. Pruebe que toda solucion de la ecuacion diferencial sepuede escribir de la forma x(t) = p(t)eλt, donde p : R → C es T -periodica.


8. Sea A ∈Mn(K) continua y T -periodica. Pruebe que existe una cons-tante no nula µ y al menos una solucion no trivial x(t) de x′ = A(t)x,que verifica x(t+ T ) = µx(t), para todo t ∈ R.

9. Demuestre que si C ∈ Mn(C) es no singular, entonces existe B ∈Mn(C) tal que C = eB.

10. Pruebe que el resultado anterior no es cierto en el caso real.11. Demuestre que si C ∈ Mn(R) es no singular, entonces existe B ∈Mn(R) tal que C2 = eB.

12. (Descomposicion de Floquet real) Sea el sistema diferencial x′ =A(t)x, donde A(t) ∈ Mn(R) es T -periodica y continua. Sea X(t)la solucion matricial de (1.5) tal que X(0) = I. Entonces existenB ∈ Mn(R) y una funcion 2T -periodica P : R → Mn(R) tales queX(t) = P (t)etB.

Capıtulo 2

Sistemas diferenciales

Esta parte recoge los conceptos y resultados basicos de la teorıa delproblema de valor inicial de sistemas diferenciales ordinarios.

1. Sumario sobre el problema de valor inicial

Un sistema diferencial no autonomo es una expresion de la forma

(2.1) x′ = f(t, x),

donde D ⊂ R× Rn tiene interior no vacıo y donde f : D → Rn. Es costum-bre llamar a x variable dependiente y a t variable independiente o tiempo.El sistema es no autonomo porque f depende explıcitamente de t. Sea elintervalo I ⊂ R. La funcion x : I → Rn es solucion del sistema diferencialdiferencial (2.1) si para todo t ∈ I, x es derivable en t, (t, x(t)) ∈ D y

x′(t) = f(t, x(t)).

Dado (t0, x0) ∈ D, el problema de valor inicial consiste en determinarla existencia y, en su caso, la unicidad de soluciones x de (2.1) tales quex(t0) = x0.

Es decir, soluciones de

(2.2) x′ = f(t, x), x(t0) = x0.

Se dice que (2.2) es un problema de valor inicial y que (t0, x0) es una condi-cion inicial.

El resultado basico de existencia y unicidad de soluciones se estable-cera dentro de la clase de sistemas diferenciales definidas por funciones lo-calmente Lipschitz respecto de x.

Se dice que f es Lipschitz en D respecto de x y se denota f ∈ Lip(D,x),si existe L > 0 tal que

‖f(t, x)− f(t, y)‖ ≤ L‖x− y‖

para todos (t, x), (t, y) ∈ D.La funcion f es localmente Lipschitz en D respecto de x (resumidamente

f ∈ Liploc(D,x)), si para cada (t0, x0) ∈ D existe un entorno V de dichopunto tal que f ∈ Lip(D ∩ V, x).

Una sencilla aplicacion del Teorema del Valor Medio prueba que si f ∈C1(D), entonces f ∈ Liploc(D,x).

29

30 2. SISTEMAS DIFERENCIALES

Se verifica que si f ∈ C(K) ∩ Liploc(K,x), siendo K ⊂ D compacto,entonces f ∈ Lip(K,x). En realidad no es necesario que f sea continua.Basta con que sea acotada en K.

1.1. El teorema de existencia y unicidad local. El metodo deaproximaciones sucesivas (ver p.e. E.A. Coddington, N. Levinson [p. 6])permite demostrar una condicion suficiente de existencia y unicidad de so-luciones.

Teorema 2.1 (Picard-Lindelof-Lipschitz). Sea f ∈ C(D)∩Liploc(D,x).

Fijada una condicion inicial (t0, x0) ∈D, existen δ > 0 y x : [t0−δ, t0 +δ]→

Rn solucion de (2.2). Cualquier otra solucion del problema de valor inicialcoincide con x en [t0 − δ, t0 + δ].

Si se suprime la hipotesis f ∈ Liploc(D,x), se verifica la existencia de

soluciones de (2.2), pero el ejemplo tıpico x′ = 3x23 , muestra que no hay

unicidad.

1.2. El teorema de existencia y unicidad global. Prolongacionde soluciones.

Proposicion 2.2. Sea f ∈ C(D)∩Liploc(D,x). Si x : I → R e y : J → Rson soluciones de (2.1) cuyas graficas tienen un punto en comun, entoncesx = y en I ∩ J .

Consecuencia del resultado anterior es que entre todas las solucionesque verifican una misma condicion inicial hay una unica cuyo intervalo dedefinicion contiene a todos los demas. Dicha solucion se denomina maximal.Es decir:

Teorema 2.3. Sea f ∈ C(D)∩Liploc(D,x). Entonces para cada (t0, x0) ∈D existe una unica solucion maximal de (2.1) tal que x(t0) = x0.

Teorema 2.4. Sea f ∈ C(D). Sean x : (α, β) → Rn, β < ∞, solucionde (2.1) y t0 ∈ (α, β). Si f(t, x(t)) : t ∈ [t0, β) es acotado, entonces existelımt→β x(t). Si este lımite vale x∗ y (β, x∗) ∈ D, entonces x es prolongablea la derecha, es decir, existe x : I → Rn solucion de (2.1) tal que I ⊃ (α, β]y x = x en (α, β).

Corolario 2.5. Sean f ∈ C(D) y x : (α, β)→ Rn una solucion de (2.1)tal que β < ∞. Supongamos que existen t0 ∈ (α, β) y un compacto K in-cluido en D tales que

(t, x(t)) ∈ K, si t ∈ [t0, β),

entonces x es prolongable a la derecha.

Teorema 2.6. Sea f ∈ C(D) ∩ Liploc(D,x). Sea x : (α, β) → Rn unasolucion de (2.1) tal que β < ∞. Supongase que existe una sucesion tmen (α, β) tal que

lımm→∞

tm → β, lımm→∞

x(tm) = x∗.

2. DIFERENCIABILIDAD 31

Si (β, x∗) ∈D, entonces x es prolongable a la derecha.

1.3. Continuidad de la solucion respecto de las condicionesiniciales y parametros. Sean D ⊂ R × Rn × Rk abierto y f : D → Rn,(t, x, λ) → f(t, x, λ) una funcion continua y localmente Lipschitz respectode x en D. Consideremos la familia de sistemas diferenciales dependientedel parametro λ

(2.3) x′ = f(t, x, λ).

Fijada una condicion inicial y un valor del parametro, es decir fijado (τ , x, λ) ∈D, u(t, τ , x, λ) denotara el valor en t de la unica solucion maximal del pro-blema de valor inicial

(2.4) x′ = f(t, x, λ), x(τ) = x.

Llamaremos Iτ ,x,λ al intervalo abierto de definicion de dicha solucion.

Teorema 2.7. En las condiciones anteriores, sean (τ , x, λ) ∈ D y u(t) =u(t, τ , x, λ), a ≤ t ≤ b. Existe un entorno de (τ , x, λ),

V = (τ, x, λ) : a ≤ τ ≤ b, ‖x− u(τ)‖ ≤ δ, ‖λ− λ‖ ≤ δ ⊂ D

tal que si (τ, x, λ) ∈ V , entonces u(t, τ, x, λ) esta definida al menos en elintervalo [a, b] y la funcion

(t, τ, x, λ) ∈ [a, b]× V → u(t, τ, x, λ) ∈ Rn

es continua. El conjunto

W = (t, τ, x, λ) : (τ, x, λ) ∈ D, t ∈ Iτ,x,λ.es abierto y la funcion u : W → Rn es continua.

2. Diferenciabilidad de la solucion respecto de las condicionesiniciales y parametros

Sea el sistema diferencial x′ = f(t, x), donde f ∈ C(D) ∩ Liploc(D,x),siendo D un conjunto abierto. Sea la funcion continua u(t, τ, x). Entonces

ut(t, τ, x) = f(t, u(t, τ, x))

es una funcion continua en W. Decimos que u es de clase 1 respecto de t,porque tiene derivada parcial de primer orden respecto de t y es una funcioncontinua enW. Si f ∈ C1(D), entonces derivando respecto de t en la formulaanterior, se obtiene

utt = ft(t, u) + fx(t, u)ut

= ft(t, u) + fx(t, u)f(t, u),

que es una funcion continua en W. Es decir, u es una funcion de clase 2respecto de t, porque tiene derivadas respecto de t hasta el orden 2 y soncontinuas.

Nuestro proposito en esta seccion es establecer que si la derivada parcialfx(t, x) de f(t, x) esta definida y es continua en D, entonces la aplicacion


u(t, τ, x) es de clase 1 respecto de x y de τ . Ademas describiremos un pro-cedimiento para calcular dicha derivada.

Supongamos que u(t, τ, x) es diferenciable respecto a x. Entonces, deri-vando la relacion ut(t, τ, x) = f(t, u(t, τ, x)) con respecto a x, obtenemos,

∂ut∂x

(t, τ, x) = fx(t, u(t, τ, x))ux(t, τ, x).

Si suponemos adicionalmente que podemos conmutar las operaciones de di-ferenciacion ∂

∂t y ∂∂x , obtenemos,

∂ux∂t

(t, τ, x) = fx(t, u(t, τ, x))ux(t, τ, x).

Como u(τ, τ, x) = x, entonces (suponemos n = 1)

ux(τ,τ, x) = lımh→0

u(τ, τ, x+ h)− u(τ, τ, x)

h

= lımh→0

x+ h− xh

= 1.

(Si n > 1, se obtiene ux(τ, τ, x) = I, donde I es la matriz unidad). De modoque, fijado (τ, x) en D, ux(t, τ, x) es la solucion del sistema matricial

(2.5) Z ′ = fx(t, u(t, τ, x))Z,

que satisface Z(τ) = I.Analogamente, si suponemos que u(t, τ, x) es diferenciable respecto a τ y

que podemos conmutar las operaciones de diferenciacion ∂∂t y ∂

∂τ , obtenemos

∂uτ∂t

(t, τ, x) = fx(t, u(t, τ, x))uτ (t, τ, x).

uτ (τ, τ, x) = lımh→0

1

h

(∫ τ

τ+hf(t, u(t, τ + h, x), )

)= lım

h→0

1

h(−h)f(t, u(t, τ + h, x))

= −f(τ, u(τ, τ, x))) = −f(τ, x)

donde t ∈ [τ, τ + h].Esta discusion sera formalizada en el siguiente resultado.

Teorema 2.8. (Diferenciabilidad con respecto a las condiciones inicia-les). Supongamos que f(t, x) y fx(t, x) estan definidas y son continuas enD. Entonces la funcion u :W → Rn es de clase 1 respecto de x y τ .

La derivada parcial ux(t, τ, x) es, para cada (τ, x) ∈ D, la solucion ma-tricial Z(t) de (2.5) que satisface Z(τ) = I.

La derivada parcial uτ (t, τ, x) es, para cada (τ, x) ∈ D, la solucion z(t)de (2.5) que satisface z(τ) = −f(τ, x).

Teorema 2.9. Si f ∈ Cm(D), entonces u : W → Rn es de clase m + 1respecto de t y de clase m respecto de τ y x.

3. INTEGRALES PRIMERAS 33

Teorema 2.10. Sea el sistema diferencial (2.3) con f ∈ Cm(D) y D ⊂R×Rn ×Rk, abierto. Entonces u : W → Rn es de clase m+ 1 respecto de ty de clase m respecto de τ, x, λ en W. Ademas

utx = fx(t, u(t, τ, x, λ), λ)ux, ux(τ, τ, x, λ) = I,

utτ = fx(t, u(t, τ, x, λ), λ)uτ ,

uτ (τ, τ, x, λ) = −f(τ, x, λ),

utλ = fx(t, u(t, τ, x, λ), λ)uλ + fλ,

uλ(τ, τ, x, λ) = 0.

Los siguientes argumentos de tipo heurıstico nos ayudan a recordarcuales son las condiciones iniciales que cumplen las derivadas de la solu-cion. Suponemos que n = 1 y partimos de la ecuacion diferencial

ut(t, τ, x, λ) = f(t, u(t, τ, x, λ), λ).

Entonces

ux(τ,τ, x, λ) = lımh→0

u(τ, τ, x+ h, λ)− u(τ, τ, x, λ)

h

= lımh→0

x+ h− xh

= 1.

uτ (τ,τ, x, λ)

= lımh→0

1

h

(∫ τ

τ+hf(t, u(t, τ + h, x, λ), λ)

)= lım

h→0

1

h(−h)f(t, u(t, τ + h, x, λ), λ)

= −f(τ, u(τ, τ, x, λ), λ)) = −f(τ, x, λ)

donde t ∈ [τ, τ + h].

uλ(τ,τ, x, λ) = lımh→0

u(τ, τ, x, λ+ h)− u(τ, τ, x, λ)

h

= lımh→0

x− xh

= 0.

3. Integrales primeras

Sea el sistema diferencial x′ = f(t, x). Se dice que F : D′ ⊂ D → R esuna integral primera del sistema diferencial en D′ si

(i) F ∈ C1(D′).(ii) F ′(t, x) 6= 0, para todo (t, x) ∈ D′.(iii) Si x : I → Rn es una solucion de (2.1) tal que su grafica esta incluida

en D′, entonces existe c ∈ R tal que

F (t, x(t)) = c, para todo t ∈ I.


Si para cada (t, x) ∈ D′ hay soluciones con grafica incluida en D′, en-tonces (iii) es equivalente a

Ft + Fxf = 0 en D′.

Demostracion. Es suficiente tener en cuenta que

d

dtF (t, x(t)) = Ft(t, x(t)) + Fx(t, x(t))x′(t).

4. Sistemas autonomos. Orbitas

El objetivo de esta parte es el estudio de las soluciones del sitema dife-rencial

(2.6) x′ = f(x)

donde f : U → Rn es una funcion localmente lipschitziana en el abierto Ude Rn, lo que escribiremos como, f ∈ Liploc(U).

Sea D = R × U y g(t, x) = f(x), entonces D es abierto y g es continuay localmente lipschitziana respecto de x en D. De modo que se verifican losresultados sobre existencia y unicidad de soluciones del problema de valorinicial, y de continuidad respecto de las condiciones iniciales y parametrosde la seccion anterior.

Desde luego, si f ∈ Cm(U), entonces g ∈ Cm(D). Por tanto tambien severifica el teorema de diferenciabilidad.

El siguiente resultado, de prueba trivial, es fundamental en lo que sigue.

Proposicion 2.11. Si x : I → U es solucion de (2.6), entonces paracualquier τ ∈ R, x(t+ τ) es tambien solucion de (2.6) definida en −τ + I =t− τ : t ∈ I.

Demostracion.

dx(t+ τ)

dt(t) =

dx

dt(t+ τ) = f(x(t+ τ)).

Si x es maximal, entonces x(t+ τ) tambien es maximal. En efecto, si no lofuera, se puede prolongar a la derecha o a la izquierda. Entonces x tambiense puede prolongar a la derecha o a la izquierda, respectivamente.

Por el Teorema 2.4, si x : (α, β) → U , β < ∞, es una solucion para laque existe t0 ∈ (α, β), tal que

f(x([t0, β)))

es acotado, entonces existe lımt→β x(t) = x∗. Ademas, si x∗ ∈ U , entonces xse puede prolongar a la derecha de β.

Por el Corolario 2.5 si x : (α, β) → U es una solucion maximal a laderecha para la que existe t0 ∈ (α, β) tal que

x(t) : t ∈ [t0, β) ⊂ K,

4. SISTEMAS AUTONOMOS. ORBITAS 35

siendo K ⊂ U compacto, entonces β =∞. En efecto, si β <∞,

(t, x(t)) ∈ [t0, β]×K, si t ∈ [t0, β).

Sea x0 ∈ U y t0 ∈ R. Sea u(t, t0, x0) la solucion de

(2.7) x′ = f(x), x(t0) = x0.

De la Proposicion anterior se obtiene que u(t− t0, 0, x0) es tambien solucionde (2.7). Por el teorema de unicidad

u(t, t0, x0) = u(t− t0, 0, x0), It0,x0 = t0 + I0,x0 .

Ası bastara estudiar el problema

x′ = f(x), x(0) = x0.

Sean W = (t, x) ∈ R × U, t ∈ Ix, u : W → U y u(t, x) = u(t, 0, x).Entonces de los teoremas de continuidad y diferenciabilidad se deduce el

Teorema 2.12. El conjunto W es abierto y u es continua. Si f ∈Cm(U), entonces u tambien lo es. La derivada parcial ∂u

∂x(t, x) es la solu-cion matricial del sistema diferencial lineal, llamado variacional,

y′ = f ′(u(t, x))y,∂u

∂x(0, x) = I.

Demostracion. Es suficiente tener en cuenta que

W = (t, x) : (t, 0, x) ∈ W, u(t, x) = u(t, 0, x).

Sea el sistema diferencial autonomo x′ = f(x). Se dice que la funcionF : U ′ → R es una integral primera del sistema diferencial en el abiertoU ′ ⊂ U , si G(t, x) = F (x) es una integral primera en R× U ′.

4.1. Puntos de equilibrio y soluciones periodicas.

Teorema 2.13. Si x : I → U es una solucion maximal de (2.6) que noes inyectiva, es periodica.

Demostracion. Sean t0 < t1 en I tales que x(t0) = x(t1) y defınasey(t) = x(t + T ), donde τ = t1 − t0. Entonces y es una solucion maximaldefinida en −τ + I. Como y(t0) = x(t1) = x(t0), se deduce que y(t) = x(t)en −τ + I = I. De modo que I = R y x(t) = x(t+ τ) para todo t ∈ R.

La posibilidad de que una solucion sea periodica incluye a las solucio-nes constantes, las cuales corresponden a los llamados puntos de equilibrio.Concretamente,

Definicion 2.1. Se dice que x0 ∈ U es un punto de equilibrio de (2.6)si f(x0) = 0. A los demas puntos se les llama regulares.

Se verifica que x0 ∈ U es un punto de equilibrio si y solo si x(t) ≡ x0 essolucion de (2.6).


Proposicion 2.14. Sea x : R→ U continua. Si

ınfT > 0 : T es un periodo de x = 0,

entonces x es una funcion constante.

Demostracion. Si no lo es, existen t1 < t2 tales que x(t1) 6= x(t2).Sea ε = ‖x(t2) − x(t1)‖ > 0. Se probara que para todo δ > 0, existe t ∈ Rverificando |t− t2| < δ y ‖x(t)−x(t2)‖ ≥ ε. Es decir, x no es continua en t2.

Sea un periodo 0 < τ < δ y sea n ∈ N tal que t2 − t1 = nτ + r,0 ≤ r < τ < δ. Tomese t = t1 + nτ .

Siempre que no haya confusion, llamaremos periodo al ınfimo de losperiodos positivos.

Proposicion 2.15. Sea x : (α,∞)→ U una solucion de (2.6) tal que

lımt→∞

x(t) = x∗ ∈ U.

Entonces x∗ es un punto de equilibrio.

Demostracion. Para cada componente xj de x, el Teorema del valormedio dice

xj(t+ 1)− xj(t) = x′j(sj) = fj(x(sj)),

donde sj ∈ (t, t + 1). Tomando lımite cuando t → ∞, se obtiene fj(x∗) =0.

4.2. Orbitas. El sistema diferencial autonomo x′ = f(x), donde f ∈Liploc(U), admite la siguiente interpretacion geometrica: A cada punto x ∈ Ule asignamos el vector f(x). Ası tenemos definido un campo de direcciones.Las soluciones son curvas tangentes al campo de direcciones.

Sea x : I → U una solucion de (2.6). La orbita de x es orb(x) = x(I) =x(t) : t ∈ I. Si x es maximal, a su orbita se la llama maximal.

Proposicion 2.16. Por cada x0 ∈ U pasa una unica orbita maximal.

Demostracion. la existencia es obvia. Probemos la unicidad. Seanx : I → U solucion maximal tal que x(0) = x0 e y : J → U solucion maximaltal que y(t0) = x0. Entonces x : t0 + I → U , x(t) = x(t − t0) tambien essolucion maximal y verifica, x(t0) = x(0) = x0 = y(t0). Por tanto, t0 +I = Jy x(t) = y(t) para todo t ∈ J . Ası que orb(x) = orb(x) = orb(y).

Sabemos que si x : I → U es solucion maximal no constante de (2.6),entonces es inyectiva o periodica. Si es periodica, puede suceder

a) x(t) ≡ x0, orb(x) = x0.b) 0 < T = ınfτ > 0 : τ es un periodo de x. Entonces, x : [0, T ) → U

es inyectiva, x(0) = x(T ) y orb(x) = x([0, T )) con la topologıa inducida porU , es homeomorfo a la circunferencia unidad de R2.

Recıprocamente, si x : I → U es una solucion maximal tal que x(I) eshomeomorfo a la circunferencia unidad S1, entonces x(I) es compacto y, portanto, I = R. Supongase que x : R→ x(R) es biyectiva.

5. RELACION ENTRE SISTEMAS AUTONOMOS Y NO AUTONOMOS 37

Si h es un homeomorfismo entre x(R) y S1, la composicion hx : R→ S1

es continua y biyectiva. Su restriccion

h x : R \ 0 → S1 \ (h x)(0)

tambien es continua y biyectiva.Pero su imagen S1\(hx)(0) es homeomorfa al intervalo (0, 1). Ası que

existe una aplicacion continua y biyectiva de R\0 en (0, 1), lo que no puedesuceder.

5. Relacion entre sistemas autonomos y no autonomos

El sistema diferencial x′ = f(t, x) se reduce a uno autonomo aumentandoen uno la dimension. Es decir, son equivalentes x′ = f(t, x) y

(2.8)

dtds(s) = 1dxds (s) = f(t(s), x(s))

En efecto, si x(t) es solucion de (2.1) tal que x(t0) = x0, entonces t(s) =s + t0, x(s) = x(t(s)) es solucion de (2.8) y verifica t(0) = t0, x(0) =x(t0) = x0.

Para ver esto solo hace falta comprobar que

dx

ds(s) =

dx

dt(t(s))

dt

ds(s)

= f(t(s), x(t(s)) = f(t(s), x(s)).

Recıprocamente, si (t(s), x(s)) es solucion de (2.8) tal que t(0) = t0, x(0) =x0, entonces x(t) = x(t − t0) es solucion de (2.1) tal que x(t0) = x0. Enefecto, sean s(t) = t− t0 y t(s) = s+ t0. Se tiene que

dx

dt(t) =

dx

ds(s(t))

ds

dt(t)

= f(t(s(t)), x(s(t)) = f(t, x(t)).

Tambien se cumple que un sistema autonomo n-dimensional en un en-torno de un punto regular se reduce a uno no autonomo de dimension n−1.En efecto, sea el sistema diferencial

dx1

dt= f1(x1, . . . , xn), f1 6= 0

. . . . . .

dxndt

= fn(x1, . . . , xn).


Considerese el sistema diferencial no autonomo n− 1-dimensional

dx2

dx1=f2

f1(x1, x2, . . . , xn)

. . . . . .

dxndx1

=fnf1

(x1, x2, . . . , xn)

con f1 6= 0.Si (x1(t), . . . , xn(t)) es solucion del sistema diferencial autonomo tal que

en t = 0 toma el valor (x01, . . . , x0n), entonces x′1(t) 6= 0 y x1 : I → J esun difeomorfismo entre los intervalos I y J con funcion inversa t(x1). Lafuncion (x2(t(x1)), . . . , xn(t(x1))) es solucion del sistema no autonomo y enx01 toma el valor (x02, . . . , x0n). En efecto,

d(x2 t)dx1

(x1) =dx2

dt(t(x1))

dt

dx1(x1)

=dx2

dt(t(x1))

(dx1

dt(t(x1))

)−1

=f2(x1, x2(t(x1)), . . . )

f1(x1, x2(t(x1)), . . . ).

Ademas

orb(x) = (x1(t), . . . , xn(t)) : t ∈ I= (x1, x2(t(x1)), . . . , xn(t(x1))) : x1 ∈ J.

Sea (x2(x1), . . . , xn(x1)) la solucion del sistema no autonomo que en x01

toma el valor (x02, . . . , x0n) . Sea x1(t) la solucion de

dx1

dt(t) = f1(x1, x2(x1), . . . , xn(x1)) := F (x1), x1(0) = x01.

Entonces (x1(t), x2(x1(t)), . . . ) es solucion del sistema autonomo. En efecto,

d(xj x1)

dt(t) =

fjf1f1 = fj .

En t = 0, toma el valor (x01, . . . , x0n). Ademas

orb(x) = grafica de la solucion.

Para probar la ultima afirmacion basta tener en cuenta que si J es el intervalodonde esta definida la solucion del sistema no autonomo, la solucion x1 : I →J es un difeomorfismo de I en J .

7. LINEALIZACION 39

6. Sistemas dinamicos

Una nocion mas general que la de sistema diferencial autonomo es la desistema dinamico, que formalizamos a continuacion.

Un sistema dinamico en un espacio metrico U es una funcion continuau : W → U , donde W ⊂ R× U es un abierto, que satisface

1. (0, x) ∈W y u(t, x) = x, para cada x ∈ U .2. (s, x) ∈W y (t, u(s, x)) ∈W implican que (s+ t, x) ∈W y

u(s+ t, x) = u(t, u(s, x)).

Es habitual denotar al sistema dinamico por la familia de funciones ut,donde ut(x) = u(t, x). Las propiedades 1) y 2) se denotan

1. ut = identidad .2. ut+s = ut us.

Si para cada x ∈ U , existe

f(x) := lıms→0

u(s, x)− u(0, x)

s=∂u

∂t(0, x),

entonces para cada (t, x) ∈W∂u

∂t(t, x) = lım

s→0

u(s+ t, x)− u(t, x)

s= lım

s→0

u(s, u(t, x))− u(t, x)

s= f(u(t, x)).

Es decir, u(t, x) es la solucion del problema de valor inicial x′ = f(x), x(0) =x. A la funcion f se la llama generador del sistema dinamico.

7. Linealizacion

Sean f ∈ Liploc(U) y g ∈ Liploc(V ), siendo U, V abiertos de Rn. Se diceque el sistema diferencial x′ = f(x) es conjugado a x′ = g(x), si existe unaaplicacion biyectiva h : U → V tal que

h(u(t, x)) = v(t, h(x)), (x ∈ U, t ∈ Ix).

El Teorema del Flujo Tubular, que probaremos en el Capıtulo 4, diceque en cada entorno de un punto regular, el sistema diferencial x′ = f(x) esconjugado a x′ = e1, donde e1 es el vector que tiene todas sus coordenadasnulas, salvo la que ocupa el primer lugar, que es 1.

Sea f ∈ C1(U), donde U es un abierto de Rn. Sea x0 ∈ U un punto deequilibrio. Entonces

f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) + h(x) = f ′(x0)(x− x0) + h(x),

donde

lımx→x0

h(x)

‖x− x0‖= 0.

Parece natural suponer que cerca de x0 los sistemas diferenciales x′ = f(x)y x′ = f ′(x0)(x− x0) sean parecidos. En este ultimo hagamos el cambio de


variable ξ = x − x0, para obtener ξ′ = f ′(x0)ξ. A este ultimo sistema se lellama la linealizacion de x′ = f(x) en x0.

Se dice que el punto de equilibrio x0 ∈ U es hiperbolico, si f ′(x0) eshiperbolico, es decir, tiene todos sus autovalores con parte real distinta de 0.En este caso, el siguiente resultado de Hartmann-Grobman dice que significaque el sistema diferencial y su linealizacion sean parecidos.

Teorema 2.17 (Hartmann-Grobman). Sea f ∈ C1(U), donde U es unabierto de Rn. Sea x0 ∈ U un punto de equilibrio hiperbolico. Existen entor-nos abiertos V0, Vx0 de 0 y x0 respectivamente, tales que x′ = f ′(x0)x, x ∈ V0

es topologicamente conjugado a x′ = f(x), x ∈ Vx0.

Ya sabemos del Capıtulo anterior que dos sistemas autonomos linea-les son topologicamente conjugados si y solo si tienen el mismo ındice deestabilidad.

En consecuencia, los dos resultados anteriores clasifican localmente, (des-de el punto de vista de la conjugacion topologica), los puntos singulareshiperbolicos.

8. Ejercicios

8.1. El problema de valor inicial.

1. Pruebe el teorema de continuidad de la solucion respecto de las con-diciones iniciales y parametros.

2. Pruebe el teorema de diferenciabilidad de la solucion respecto de lascondiciones iniciales en el caso unidimensional.

3. Supongase que hay existencia de soluciones en D′ ⊂ D. Demuestreque son equivalentes:

(iii) Si x : I → Rn es una solucion de (2.1) tal que su graficaesta incluida en D′, entonces existe c ∈ R tal que

F (t, x(t)) = c, para todo t ∈ I.

y(iii’)

Ft + Fxf = 0 en D′.

4. Sea f ∈ C(D) ∩ Liploc(D,x), donde D ⊂ R × Rn es abierto. Seax : [t0, β) → Rn, β < ∞, una solucion maximal a la derecha delsistema diferencial x′ = f(t, x). Demuestre que para cada compactoK ⊂ D, existe δ > 0 tal que

(t, x(t)) 6∈ K para todo t ∈ (β − δ, β)

8.2. Sistemas diferenciales autonomos.

1. Sea f : R → R una funcion localmente lipschitziana con un numerofinito de ceros. Estudie la recta de fases de la ecuacion diferencialx′ = f(x).

8. EJERCICIOS 41

2. Sea f : R → R una funcion localmente lipschitziana con un numerofinito de ceros. Dibuje el plano de fases del sistema diferencial

x′ = f(x)y′ = y.

3. Calcular las soluciones y dibujar el plano de fases del sistema dife-rencial

x′ = xy′ = y2.

4. Demuestre que F (x1, . . . , xn) es una integral primera de

x′1 = f1, . . . x′n = fn, f1 6= 0,

si y solo si es una integral primera de

dx2

dx1=f2

f1, . . . ,

dxndx1

=f2

f1

5. Calcular una integral primera para los sistemas diferenciales siguien-tes y dibujar su plano de fases:

a) x′ = x, y′ = −y.b) x′ = y, y′ = −x.c) x′ = x(1− y), y′ = −y(1− y).d) x′ = y(1 + x+ y), y′ = −x(1 + x+ y).e) x′ = y(1 + x2 + y2), y′ = −x(1 + x2 + y2).f) x′ = y, y′ = 1 + x2.

6. Probar que toda solucion de la ecuacion diferencial

x′′ + x+ x3 = 0,

es periodica.7. Sea la funcion t ∈ I → (x(t), y(t)) ∈ R2 \ (0, 0) de clase 1 en el

intervalo I ⊂ R y sea r(t) =√x2(t) + y2(t) > 0. Demuestre que

existe una funcion θ(t) de clase 1 en I, tal que x(t) = r(t) cos θ(t) ey(t) = r(t) sen θ(t).

8. Sean los sistemas diferencialesa) x′ = −y + x(x2 + y2), y′ = x+ y(x2 + y2),b) x′ = −y − x(x2 + y2), y′ = x− y(x2 + y2),

Expresarlos en coordenadas polares y dibujar sus planos de fases.9. Sea el sistema diferencial en el plano x′ = y, y′ = − sinx que

representa el movimiento de un pendulo sin friccion. Estudiar cuali-tativamente las soluciones y hacer un dibujo del plano de fases.

10. Sea el sistema diferencial

x′ = y + αx(1− x2 − y2)

y′ = −x+ αy(1− x2 − y2).

Obtenga el sistema diferencial en coordenadas polares y dibuje suplano de fases.



x′ = (x2 + y2 − 1)2x

y′ = (x2 + y2 − 1)2y.

Obtenga el sistema diferencial en coordenadas polares y dibuje suplano de fases.


x′ = y + x(x2 + y2)3 sen

(1

x2 + y2

)y′ = −x+ y(x2 + y2)3 sen

(1

x2 + y2

).

Demuestre que hay infinitos ciclos lımites.13. Sea x : R → U continua y periodica. Demuestre que el T > 0 :

T es un periodo de x es un subgrupo aditivo no trivial de R queademas es cerrado.

14. Deduzca del ejercicio anterior que o bien

T > 0 : T es un periodo de x = TZ, T > 0,

, bien es denso en R.

Capıtulo 3

Estabilidad en Sistemas Diferenciales Autonomos

1. Conjuntos lımites

Sea f ∈ Liploc(U), donde U es un abierto de Rn. Considerese el sistemadiferencial autonomo x′ = f(x). En esta seccion x denota una solucionmaximal del SD cuyo dominio de definicion contiene a un intervalo de laforma [τ,∞).

Definicion 3.1. El ω-lımite de x es el conjunto

Ω(x) = p ∈ U : lımk→∞

x(tk) = p,

para alguna sucesion tk →∞, k →∞.

Ejemplo 1. Sea A ∈ Mn(K) tal que x′ = Ax es hiperbolico y sea xuna solucion tal que x(0) ∈ Es. Entonces lımt→∞ x(t) = 0, de modo queΩ(x) = 0.

Si x ∈ Eu, entonces Ω(x) = ∅ ya que si t ≥ 0, entonces |etAx| ≥ etα|x|,donde | · | es una norma euclıdea y α > 0.

A partir de ahora supondremos que x([τ,∞)) es un subconjunto com-pacto incluido en U .

Proposicion 3.1. Se verifica

Ω(x) = p si y solo si lımt→∞

x(t) = p.

Demostracion. Probaremos que Ω(x) = p implica que lımt→∞ x(t) =p, ya que el recıproco es evidente.

Supongase, por reduccion al absurdo, que existe una sucesion tk → ∞tal que x(tk) no converge a p. Podemos suponer, tomando una subsucesionsi fuera necesario, que todos los terminos de la sucesion estan fuera de unentorno de p. Como la sucesion x(tk) es acotada, contiene una subsucesionx(tkj ) convergente a q cuando j →∞. Entonces q 6= p y q ∈ Ω(x).

Proposicion 3.2. Si x : R → U es una solucion T -periodica de x′ =f(x), entonces Ω(x) = orb(x).

Demostracion. Si p ∈ orb(x), entonces p = x(t0) para algun t0 ∈ R.Sea tk = t0 + kT . Entonces lımk→∞ tk = ∞ y p = x(t0) = x(t0 + kT ) =lımk→∞ x(tk). Es decir, p ∈ Ω(x).

43

44 3. ESTABILIDAD EN SISTEMAS DIFERENCIALES AUTONOMOS

Recıprocamente, si p ∈ Ω(x), existe una sucesion tk → ∞ tal que p =lımk→∞ x(tk). Para cada k, sea

tk = nkT + rk, nk ∈ Z, rk ∈ [0, T ).

Entonces x(tk) = x(rk). Como [0, T ] es compacto, tomando una subsucesionsi es necesario, podemos suponer que lımk→∞ rk = r con r ∈ [0, T ]. De aquı

p = lımk→∞

x(tk) = lımk→∞

x(rk) = x(r) ∈ orb(x).

Proposicion 3.3. Si V es un abierto de Rn que contiene a Ω(x), en-tonces existe t0 ∈ R tal que x(t) ∈ V para todo t ≥ t0.

Demostracion. Si el resultado es falso, existe una sucesion tk → ∞tal que x(tk) 6∈ V para todo k. Como x(tk) es acotada, contiene a unasubsucesion convergente a p ∈ Ω(x) ⊂ V . Puesto que dicha subsucesionesta incluida en el complementario de V que es cerrado, tambien p 6∈ V .Esta contradiccion termina la prueba.

Definicion 3.2. Se dice que un subconjunto A de U es positivamente(respectivamente negativamente) invariante por x′ = f(x), si

ξ ∈ A, t ∈ Iξ, t ≥ 0 ( resp. t ≤ 0) ⇒ u(t, ξ) ∈ A.Si A es simultaneamente positiva y negativamente invariante, se dice que esinvariante.

Proposicion 3.4. Ω(x) es un subconjunto no vacıo, compacto, conexoe invariante por x′ = f(x).

Demostracion. El conjunto Ω(x) 6= ∅, ya que dada una sucesion tk →∞, x(tk) es acotada y, por tanto, se puede extraer una subsucesion con-vergente a un punto p ∈ Ω(x).

El conjunto Ω(x) es acotado, porque Ω(x) ⊂ x([τ,∞)) que es un conjuntoacotado.

El conjunto Ω(x) es cerrado. En efecto probaremos que si pk ∈ Ω(x) paratodo k y si lımk→∞ pk = p, entonces p ∈ Ω(x). En primer lugar observemosque

q ∈ Ω(x), ε > 0, t ∈ R ⇒ ∃τ > t : ‖x(τ)− q‖ < ε.

Entonces para pk ∈ Ω(x), ε = 1/k y t = k, existe τk > k tal que ‖x(τk) −pk‖ < 1/k. Por tanto, τk →∞ y

‖x(τk)− p‖ ≤ ‖x(τk)− pk‖+ ‖pk − p‖ ≤ ‖pk − p‖+1

k,

de modo que lımk→∞ x(τk) = p ∈ Ω(x).Para probar que Ω(x) es conexo, supongamos que no lo sea. Entonces es

union de dos subconjuntos compactos, disjuntos y no vacıos A0 y A1. Portanto, existen abiertos disjuntos V0 ⊃ A0 y V1 ⊃ A1. Como V0 ∪ V1 es unabierto que contiene a Ω(x), existe t0 ∈ R tal que x(t) ∈ V0 ∪ V1 siempre

1. CONJUNTOS LIMITES 45

que t > t0. Por otra parte, como x((t0,∞)) es conexo, podemos suponer sinperdida de generalidad que x(t) ∈ V0 si t > t0. Sean p ∈ A1 y una sucesiontk → ∞ tal que lımk→∞ x(tk) = p. Ya que V1 es abierto y p ∈ V1, existeN ∈ N tal que x(tN ) ∈ V1 y tN > t0. De modo que x(tN ) ∈ V0 ∩ V1. Estacontradiccion prueba que Ω(x) es conexo.

Finalmente demostraremos que Ω(x) es invariante. Debemos probar

p ∈ Ω(x), t ∈ Ip ⇒ u(t, p) ∈ Ω(x).

Sea una sucesion tk → ∞ tal que p = lımk→∞ x(tk). Si t ∈ Ip, (t, p) ∈ Wque es abierto. Ası que a partir de un k en adelante (t, x(tk)) ∈ W y, portanto, t ∈ Ix(tk). Sea la solucion u(t, x(tk)). De la continuidad respecto de lascondiciones iniciales se sigue que x(t + tk) = u(t, x(tk)) → u(t, p), k → ∞.De modo que u(t, p) ∈ Ω(x).

Corolario 3.5. Si p ∈ Ω(x), entonces u(·, p) esta definida en todo R.

Demostracion. De u(t, p) ∈ Ω(x) para todo t ∈ Ip con Ω(x) compacto,sigue que Ip = R.

Definicion 3.3. Dado ξ ∈ U , denotamos por Ω(ξ) al w-lımite de lasolucion u(t, ξ), siempre que este definido.

La definicion anterior es independiente del punto de la orbita que seelija.

Proposicion 3.6. Sean ξ ∈ U , s > 0 y η = u(s, ξ). Entonces Ω(ξ) =Ω(η), siempre que ambos conjuntos esten definidos.

Demostracion. Sea p ∈ Ω(η), entonces p = lımk→∞ u(tk, η), dondetk →∞. Por tanto

p = lımk→∞

u(tk, u(s, ξ)) = lımk→∞

u(tk + s, ξ) ∈ Ω(ξ).

Definicion 3.4. Sea x : I → U una solucion de x′ = f(x), donde Icontiene a un intervalo de la forma (−∞, τ ]. Entonces el α-lımite de x es

α(x) = p ∈ U : lımk→∞

x(tk) = p, para alguna tk → −∞.

Es facil comprobar que todo lo dicho para ω-lımites se traslada de maneraobvia para α-lımites.

Ejemplo 2. Sea la ecuacion diferencial

(3.1)

x′ = −y + x(x2 + y2)(1− x2 − y2)y′ = x+ y(x2 + y2)(1− x2 − y2)

Se probara que para cada ξ ∈ R2 \ (0, 0),Ω(ξ) = S1 = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1.

En primer lugar notese que (0, 0) es el unico punto de equilibrio, de modoque Ω((0, 0)) = (0, 0).


Sea (x, y) : I → R2 una solucion tal que (x(t0), y(t0)) 6= (0, 0) para algunt0 ∈ I y definamos

r(t) =√x2(t) + y2(t).

Por la unicidad de soluciones r(t) > 0 para todo t ∈ I. Entonces existe unafuncion θ : I → R de clase 1 tal que

x(t) = r(t) cos θ(t), y(t) = r(t) sen θ(t).

Derivando estas expresiones respecto de t y sustituyendo en (3.1) se obtiene

r′ cos θ − rθ′ sen θ = −r sen θ + r3 cos θ(1− r2),

r′ sen θ + rθ′ cos θ = r cos θ + r3 sen θ(1− r2).

Multiplicando la primera ecuacion por − sen θ, la segunda ecuacion por cos θy sumando, se obtiene θ′ = 1. Multiplicando la primera ecuacion por cos θ,la segunda ecuacion por sen θ y sumando se obtiene r′ = r3(1−r2). De modoque (r(t), θ(t)) es solucion de

(3.2)

r′ = r3(1− r2)θ′ = 1

Recıprocamente, si (r(t), θ(t)) es una solucion de (3.2), entonces

x(t) = r(t) cos(t+ θ0), y(t) = r(t) sen(t+ θ0),

donde θ0 ∈ R y r(t) es una solucion positiva de r′ = r3(1 − r2) es solucionde 3.1.

Las soluciones positivas de esta ultima ecuacion tienen el siguiente com-portamiento cualitativo: Hay dos puntos de equilibrio, r = 0, r = 1. Sea r(t)una solucion tal que 0 < r(0) < 1. Puesto que es acotada, esta definidaen todo R. Por ser r′(t) > 0 es estrictamente creciente y, en consecuencia,existen lımt→±∞ r(t). Puesto que los unicos puntos de equilibrio positivosson 0 y 1,

lımt→−∞

r(t) = 0, lımt→∞

r(t) = 1.

Si r(t) es una solucion tal que r(0) > 1, entonces r(t) es estrictamentedecreciente y acotada en [0,∞). Por tanto esta definida al menos en [0,∞)y lımt→∞ r(t) = 1. Sea ξ 6= (0, 0), entonces ξ = (r0 cos θ0, r0 sen θ0) paraciertos r0 > 0 y θ0 ∈ R. Si r(t) es la solucion de r′ = r3(1− r2) que verificar(0) = r0, entonces

x(t) = r(t) cos(t+ θ0), y(t) = r(t) sen(t+ θ0)

es la solucion de (3.1) que verifica (x(0), y(0)) = ξ. Para demostrar queS1 ⊂ Ω(ξ), sea p = (cos τ, sen τ) y defınase tk = 2πk − θ0 + τ . Entoncesx(tk) = r(tk) cos τ , y(tk) = r(tk) sen τ , tk →∞ cuando k →∞ y

lımk→∞

(x(tk), y(tk)) = lımk→∞

r(tk)p = p.

Finalmente, puesto que para cualquier solucion x2(t) + y2(t) = r2(t) → 1cuando t→∞, Ω(ξ) ⊂ S1.

2. ESTABILIDAD DE LOS PUNTOS DE EQUILIBRIO. EL METODO DE LIAPUNOV47

El conjunto S1 es una orbita periodica aislada en el conjunto de orbitasperiodicas, es decir, un ciclo lımite.

2. Estabilidad de los puntos de equilibrio. El metodo deLiapunov

Definicion 3.5. Sea el sistema diferencial x′ = f(x). Se dice que unpunto de equilibrio x0 ∈ U es estable, si para cada entorno V ⊂ U de x0,existe otro entorno W de x0 tal que ξ ∈W implica que u(t, ξ) esta definidaen [0,∞) y u(t, ξ) ∈ V , para todo t ≥ 0.

Se dice que un punto de equilibrio x0 ∈ U de x′ = f(x) es asintotica-mente estable, si es estable y si existe un entorno N ⊂ U de x0 tal queu(t, ξ) esta definida en [0,∞) y

lımt→∞

u(t, ξ) = x0 siempre que ξ ∈ N.

Todo punto de equilibrio asintoticamente estable es aislado. En efecto,si x0 asintoticamente estable y si existe una sucesion de puntos de equilibrioque converge a x0, entonces las soluciones que parten de los equilibrios notienden a x0.

Ejemplo 3. Sea f : R → R, f ∈ Liploc(R) tal que f(x)x < 0 si x 6= 0.Entonces 0 es un equilibrio asintoticamente estable. En efecto, como f escontinua, f(0) = 0. Puesto que f(x) > 0 si x < 0 y f(x) < 0 si x > 0, en-tonces lımt→∞ x(t) = 0, para cualquier solucion x de la ecuacion diferencial.

Sea F : U1 ⊂ U → R de clase 1 en el abierto U1. Se denota por derivadade F a lo largo de las orbitas de x′ = f(x) a la funcion F : U1 → R definidapor

F (x) = F ′(x)f(x).

Observese que si x : I → U es una solucion de x′ = f(x), entonces

d

dtF (x(t)) = F ′(x(t))x′(t)

= F ′(x(t))f(x(t)) = F (x(t)).

Por otra parte notese tambien que si F (x) = 〈x, x〉, entonces F (x) =2〈x, f(x)〉.

Definicion 3.6. Se dice que F : U1 → R es una funcion de Liapunovpara x′ = f(x) en el equilibrio x0 ∈ U1, si

1. F ∈ C1(U1).2. F (x0) = 0 y F (x) > 0 si x 6= x0, x ∈ U1.

3. F (x) ≤ 0, si x ∈ U1.

Si ademas

F (x) < 0, si x 6= x0, x ∈ U1,

se dice que F es de Liapunov estricta.


Teorema 3.7. Si F : U1 → R es una funcion de Liapunov para x′ = f(x)en el equilibrio x0 ∈ U1, entonces x0 es estable.

Si ademas, existe R > 0 tal que B[x0, R] ⊂ U1 y x0 es el unico sub-

conjunto de x ∈ B[x0, R] : F (x) = 0 invariante por x′ = f(x), entoncesx0 es asintoticamente estable.

Si F es de Liapunov estricta, entonces satisface la hipotesis de la segundaparte del Teorema y, por tanto, x0 es asintoticamente estable.

Demostracion. Sea r > 0 tal que B[x0, r] ⊂ U1. Puesto que S(x0, r)es compacta, existe m > 0 tal que

F (x) ≥ m, para todo x ∈ S(x0, r).

De la continuidad de F en x0, teniendo en cuenta que F (x0) = 0, se deduceque existe un abierto W ⊂ B(x0, r) tal que F (x) < m, para todo x ∈W .

AFIRMACION 1. Sea ξ ∈W . Probaremos que

u(t, ξ) ∈ B(x0, r), para todo t ∈ Iξ, t ≥ 0.

Supongase por contradiccion, que no es ası. Entonces

t1 = ınft ∈ Iξ : t ≥ 0, ‖u(t, ξ)− x0‖ ≥ rverifica

0 < t1 <∞, ‖u(t1, ξ)− x0‖ = r,

‖u(t, ξ)− x0‖ < r, para todo t ∈ [0, t1).

La funcion g(t) = F (u(t, ξ)) esta definida en [0, t1]. Ademas g(t1) ≥ m. Porotra parte

g′(t) = F (u(t, ξ)) ≤ 0, en [0, t1].

Entonces

m ≤ g(t1) ≤ g(0) = F (u(0, ξ)) = F (ξ) < m.

Esta contradiccion prueba la AFIRMACION 1.Por tanto u(t, ξ) es acotada para todo t ∈ Iξ, t ≥ 0 y, por tanto, definida

para todo t ≥ 0. Entonces

u(t, ξ) ∈ B(x0, r), para todo t ≥ 0,

lo que prueba que x0 es estable. Ademas

g(t) ≥ 0, g′(t) ≤ 0, para todo t ≥ 0.

De modo que existe lımt→∞ g(t) = l ≥ 0.Para probar que x0 es asintoticamente estable, tomese la B[x0, R], y sea

W el entorno abierto de x0 construido arriba para probar que x0 es estable.Sea ξ ∈ W . Demostraremos que Ω(ξ) = x0, es decir que lımt→∞ u(t, ξ) =x0.

Observemos en primer lugar que puesto que u(t, ξ) ∈ B(x0, R) para todot ≥ 0, se verifica Ω(ξ) ⊂ B[x0, R].

AFIRMACION 2. F es constante en Ω(ξ).

2. ESTABILIDAD DE LOS PUNTOS DE EQUILIBRIO. EL METODO DE LIAPUNOV49

En efecto, sea p ∈ Ω(ξ). Entonces p = lımk→∞ u(tk, ξ), para algunasucesion tk →∞. Ası que tenemos

F (p) = F(

lımk→∞

u(tk, ξ))

= lımk→∞

g(tk) = l

Por ser Ω(ξ) compacto e invariante, si p ∈ Ω(ξ), entonces u(t, p) ∈ Ω(ξ) paratodo t ∈ R. Por tanto F (u(t, p)) = l para todo t ∈ R. Ası que

d

dtF (u(t, p)) = F (u(t, p)) = 0.

En definitiva, Ω(ξ) es un subconjunto de x ∈ B[x0, R] : F (x) = 0invariante. en consecuencia, Ω(ξ) = x0.

Comentario 3.8. El metodo de Liapunov serıa la herramienta idealpara estudiar la estabilidad de los puntos de equilibrio, si no fuera porqueen los casos concretos es difıcil encontrar una funcion de Liapunov.

Consecuencia del Teorema 3.7 es el siguiente resultado:

Corolario 3.9. Sean f ∈ Liploc(U) y 〈·, ·〉 un producto escalar en Rntal que en un entorno abierto del origen U1 ⊂ U satisface

〈f(x), x〉 < 0, si x ∈ U1 \ 0.Entonces 0 es asintoticamente estable.

Demostracion. Para probar que 0 es un punto de equilibrio, considere-se la funcion continua

t ∈ R→ h(t) = 〈f(tx), x〉.Sea x 6= 0. Entonces th(t) < 0 para todo t ∈ R. Por continuidad h(0) = 0.Ası que 〈f(0), x〉 = 0 siempre que x 6= 0, de donde se deduce que f(0) = 0.

Ahora basta tener en cuenta que F (x) = 〈x, x〉 es una funcion de Lia-punov estricta para el origen.

Comentario 3.10. La condicion 〈f(x), x〉 < 0, dice que el campo devectores definido por f apunta hacia el interior de la esfera S(0, |x|).

En efecto, el hiperplano x + H = x + y ∈ Rn : 〈x, y〉 = 0 divideal espacio en dos semiespacios. El punto x + f(x) pertenece al semiespacionegativo, ya que

〈x, x+ f(x)〉 = 〈x, x〉+ 〈x, f(x)〉< 〈x, x〉.

Si y ∈ B(0, |x|), entonces

〈y, x〉 ≤ |y| |x| < |x|2 = 〈x, x〉.Es decir, la bola tambien pertenece al mismo semiplano negativo.

Consecuencia del Corolario 3.9 es el


Corolario 3.11. Sea x0 ∈ U un punto de equilibrio de x′ = f(x), dondef ∈ Liploc(U). Si f es diferenciable en x0 y si su linealizacion en x = x0,x′ = f ′(x0)x es un atractor, entonces x0 es asintoticamente estable.

Demostracion. Mediante el cambio de variables x = y + x0, se puedesuponer que x0 = 0. Por tener f ′(0) todos sus autovalores con parte realestrictamente negativa, existe un producto escalar 〈·, ·〉 en Rn y un α > 0tales que

〈f ′(0)x, x〉 ≤ −2α|x|2, (x ∈ Rn).

Debido a que f(0) = 0 y f diferenciable en x = 0, existe un entorno U1 ⊂ Ude x = 0 tal que

|f(x)− f ′(0)x| ≤ α|x|, si x ∈ U1.

Si x ∈ U1,

〈f(x), x〉= 〈f(x)− f ′(0)x, x〉+ 〈f ′(0)x, x〉≤ |f(x)− f ′(0)x| |x|+ 〈f ′(0)x, x〉≤ (α− 2α)|x|2 = −α|x|2.

En particular

〈f(x), x〉 < 0, si x ∈ U1 \ 0,

y el resultado sigue del Teorema 3.9.

3. Sistemas gradientes

Sea F : U1 → R una funcion de clase 1 en el abierto U1 ⊂ Rn. Seau1, . . . , un una base de Rn. El vector gradiente, ∇F (x), es por definicion elque tiene por componentes respecto de la base a F ′(x)u1, . . . , F ′(x)un, esdecir,

∇F (x) =

n∑i=1

(F ′(x)ui

)ui.

Para el producto escalar, 〈·, ·〉, asociado a dicha base, se verifica

F ′(x)y = F ′(x)(y1u1 + · · ·+ ynu

n)

= (F ′(x)u1)y1 + · · ·+ (F ′(x)un)yn

= 〈∇F (x), y〉.

Supongase que F es una funcion de Liapunov estricta. Puesto que

F (x) = F ′(x)f(x) = 〈∇F (x), f(x)〉 < 0, si x 6= x0,

se cumple que ∇F (x) 6= 0, si x 6= x0.

3. SISTEMAS GRADIENTES 51

Considerese la base canonica en Rn. Si F (x) = c > 0 y si, por ejemplo,∂F∂x1

(x) 6= 0, entonces el teorema de funciones definidas implıcitamente ase-

gura la existencia de una funcion h(x2, . . . , xn) definida en un entorno de(x2, . . . , xn) tal que

h ∈ C1, h(x2, . . . , xn) = x1,

F (h(x2, . . . , xn), x2, . . . , xn) = c.

Es decir, F−1(c) es una variedad (n − 1)-dimensional. Una curva sobre lavariedad satisface F (x1(t), x2(t), . . . , xn(t)) = c. Derivando respecto de t yconsiderando el producto escalar ordinario,

0 = D1F (x(t))x′1(t) + · · ·+DnF (x(t))x

′n(t)

= 〈∇F (x(t)), x′(t)〉.

Por tanto, ∇F (x) es un vector normal a la variedad.Si consideramos el hiperplano tangente

x+ y : 〈∇F (x), y〉 = 0,se tiene que x+∇F (x) y x+ f(x) estan en distintos semiespacios, ya que

〈∇F (x),∇F (x)〉 > 0, 〈∇F (x), f(x)〉 < 0.

Sea F : U → R una funcion de clase 2 definida en un abierto U de Rn ysea 〈·, ·〉 el producto escalar ordinario en Rn. La funcion ∇F : U → Rn es declase 1. Al sistema diferencial

x′ = −∇F (x),

se le llama sistema gradiente.Puesto que

F (x) = F ′(x)f(x) = 〈∇F (x),−∇F (x)〉= −|∇F (x)|2,

son equivalentes

1. x0 ∈ U es un punto de equilibrio.2. ∇F (x0) = 0,

3. F (x0) = 0.

Proposicion 3.12. En las condiciones anteriores, sea x0 ∈ U un puntode equilibrio aislado de x′ = −∇F (x), el cual es un mınimo local de F (x).Entonces x0 es asintoticamente estable.

Demostracion. Sea un abierto U1 ⊂ U entorno de x0 tal que F (x) notiene puntos de equilibrio en U1\x0. Entonces F : U1 → R tiene un mınimoglobal en x0, ya que ∇F (x) 6= 0 para todo x ∈ U1 \ x0. En consecuenciaF (x)− F (x0) es una funcion de Liapunov estricta en x0, porque

F (x0)− F (x0) = 0,F (x)− F (x0) > 0, si x ∈ U1 \ x0.


˙F (x)− F (x0) = F (x) = −|∇F (x)|2 < 0, si x ∈ U1 \ x0.

4. Sistemas Hamiltonianos

Comenzaremos motivando la definicion general de sistema Hamiltoniano,a traves de una clase particular de estos, los llamados sistemas conservativos.

Son de la forma

(3.3) x′′ +∇G(x) = 0,

donde G : U → R es de clase 1 en el abierto U ⊂ Rn, tal que ∇G(x) eslocalmente lipschitziana. (El gradiente se define respecto de la base canonicade Rn). La funcion G(x) se llama potencial o energıa potencial del sistema.Por ejemplo, si G(x) = |x|−1 y si llamamos F (x) = 〈x, x〉, entonces

G′(x)y = −1

2〈x, x〉−

32F ′(x)y

= −1

2〈x, x〉−

32 2〈x, y〉

= − 〈x, y〉〈x, x〉

32

= −〈 x|x|3

, y〉

= 〈∇G(x), y〉.

De donde se deduce que

∇G(x) = − x

|x|3,

que es el potencial de Newton.La ecuacion (3.3) es equivalente al sistema de primer orden y 2n ecua-

ciones

(3.4)

x′ = yy′ = −∇G(x),

donde y representa la velocidad.

Sea la energıa total del sistema, E(x, y) = G(x)+1

2|y|2, es decir, la suma

de la energıa potencial G(x) mas la energıa cinetica1

2|y|2. Entonces

E(x, y) = E′(x, y)

(y

−∇G(x)

)= (G′(x), < y, · >)

(y

−∇G(x)

)= 〈∇G(x), y〉 − 〈y,∇G(x)〉 = 0.

Ası qued

dtE(x(t), y(t)) = E(x(t), y(t)) = 0,

4. SISTEMAS HAMILTONIANOS 53

para toda solucion (x(t), y(t)) de (3.4). En otras palabras: ”la energıa totaldel sistema permanece constante a lo largo de las trayectorias del sistema”,lo que se conoce como ”Principio de Conservacion de la Energıa”.

Proposicion 3.13. En las condiciones anteriores, sea

G(x0) < G(x), si x 6= x0,

entonces (x0, 0) es un punto de equilibrio estable para (3.4).

Demostracion. (x0, 0) es un punto de equilibrio, porque ∇G(x0) = 0.Sea F (x, y) = E(x, y)−G(x0) definida en U × Rn. Probaremos que es unafuncion de Liapunov para (x0, 0). Se verifica que F (x0, 0) = 0, F (x, y) =

G(x)−G(x0)+1

2|y|2 > 0, siempre que (x, y) 6= (x0, 0) y F (x, y) = E(x, y) =

0.

Sea H : U ⊂ R2n → R, H ∈ C1. Considerense las aplicaciones

x ∈ Rn → H(x, y)

y ∈ Rn → H(x, y).

Entonces

DxH(x, y)z = 〈∇xH(x, y), z〉DyH(x, y)v = 〈∇yH(x, y), v〉.

Ademas DH(x, y)(z, v) = DxH(x, y)z +DyH(x, y)v.Un sistema Hamiltoniano es de la forma

(3.5)

x′ = ∇yH(x, y),y′ = −∇xH(x, y),

donde H es de clase 1 y ∇H es localmente lipschitziana. La funcion H sellama Hamiltoniano del sistema y verifica

H(x, y) = DH(x, y)

(∇yH(x, y)−∇xH(x, y)

)= 〈∇xH(x, y),∇yH(x, y)〉− 〈∇yH(x, y),∇xH(x, y)〉 = 0.

Tomando H = E en (3.4) se obtiene que es un Hamiltoniano.

Proposicion 3.14. En las condiciones anteriores, sea

H(x0, y0) < H(x, y), si (x, y) 6= (x0, y0).

Entonces (x0, y0) es un punto de equilibrio estable para (3.5).

Demostracion. La funcion H(x, y)−H(x0, y0) es de Liapunov para elequilibrio (x0, y0).

Es usual la notacion casicap′i = ∂H

∂qi(p1, . . . , pn, q1, . . . , qn)

q′i = −∂H∂pi

(p1, . . . , pn, q1, . . . , qn).


5. Inestabilidad

Teorema 3.15. Sean el sistema diferencial x′ = f(x) y F : U1 → Runa funcion de clase 1 definida en el entorno abierto U1 ⊂ U del punto deequilibrio x0, tal que

1. F (x0) = 0.2. Todo entorno de x0 contiene un punto donde F es estrictamente

negativa (estrictamente positiva).

3. F (x) ≤ 0 (F (x) ≥ 0) para todo x ∈ U1 y existe R > 0 tal queB[x0, R] ⊂ U1 y x0 es el unico subconjunto de x ∈ B[x0, R] :

F (x) = 0 invariante por x′ = f(x).

Entonces x0 es inestable, lo que por definicion significa que no es estable.

Demostracion. De la continuidad de F en x0 sigue la existencia de0 < r < R tal que |F (x)| ≤ 1 si x ∈ B[x0, r].

Supongase que x0 es estable, entonces existe 0 < ρ < r tal que la solucionu(t, ξ) ∈ B(x0, r) siempre que ξ ∈ B(x0, ρ) y t ≥ 0.

Sea ξ ∈ B(x0, ρ) tal que F (ξ) < 0 y definimos g(t) = F (u(t, ξ)). Entonces

g′(t) = F (u(t, ξ)) ≤ 0, para todo t ≥ 0.

Puesto que |g(t)| ≤ 1, para todo t ≥ 0, se concluye que existe lımt→∞ g(t) =l. Observemos en primer lugar que puesto que u(t, ξ) ∈ B(x0, r) para todot ≥ 0, se verifica Ω(ξ) ⊂ B[x0, r]. Ademas F es constante en Ω(ξ).

Por tanto Ω(ξ) es un subconjunto de x ∈ B[x0, R] : F (x) = 0 inva-riante. Ası que Ω(ξ) = x0.

En consecuencia, lımt→∞ u(t, ξ) = x0 y

g(t) = F (u(t, ξ))→ F (x0) = 0, t→∞,de modo que l = 0. Como g(t) es decreciente en [0,∞), g(t) ≥ 0 en [0,∞) desuerte que 0 ≤ g(0) = F (ξ) < 0. Esta contradiccion termina la demostracion.

Comentario 3.16. La hipotesis F (x) < 0 si x ∈ U1 \ x0 implica (iii)del enunciado del Teorema.

Teorema 3.17. Sean f ∈ Liploc(U), x0 ∈ U un punto de equilibrio dex′ = f(x) y f diferenciable en x0. Si f ′(x0) tiene un autovalor con partereal estrictamente positivo, entonces x0 es inestable.

Demostracion. (Caso x′ = f ′(x0)x hiperbolico). Mediante una trasla-cion se puede suponer que x0 = 0. Se verifica que Rn = Es⊕Eu, donde Es yEu son subespacios invariantes por f ′(0), tales que x′ = f ′(0)x es un atrac-tor en Es y una fuente en Eu. En consecuencia, existen productos escalares〈·, ·〉s, 〈·, ·〉u en Es y Eu respectivamente y un α > 0 tales que

〈f ′(0)x, x〉s ≤ −α|x|s, (x ∈ Es),〈f ′(0)x, x〉u ≥ α|x|u, (x ∈ Eu).

5. INESTABILIDAD 55

Defınase el producto escalar en Rn por

〈x, y〉 = 〈xs, ys〉+ 〈xu, yu〉,(x = xu + xs, y = yu + ys xs, ys ∈ Es, xu, yu ∈ Eu).

Entonces

〈x, y〉s = 〈x, y〉, si x, y ∈ Es

〈x, y〉u = 〈x, y〉, si x, y ∈ Eu.

Veremos que

F (x) = |xs|2 − |xu|2,

restringida a un entorno apropiado del origen, satisface las hipotesis delTeorema 3.15.

Es obvio que F (0) = 0 y que todo entorno del origen contiene un punto

donde F es estrictamente negativa. Calculemos F . Sean πs : Rn → Es yπu : Rn → Eu las proyecciones asociadas a la descomposicion Rn = Es⊕Eu.

Defınase R(x) = f(x)−f ′(0)x y sea ε > 0. Puesto que f es diferenciableen x = 0, existe δ > 0 tal que

|R(x)| ≤ ε|x|, si |x| < δ.

Por otra parte

F (x) = (〈·, ·〉 (πs, πs)− 〈·, ·〉 (πu, πu))(x),

aplicando la regla de la cadena y teniendo en cuenta que

D(〈·, ·〉)(x, y)(u, v) = 〈x, v〉+ 〈u, y〉,

πj′(x) = πj , j = s, u,

se obtiene

D(〈·, ·〉 (πj , πj))(x) = D〈·, ·〉(πjx, πjx) D(πj , πj)(x)

= D〈·, ·〉(πjx, πjx) (πj , πj).

De modo que

D(〈·, ·〉 (πj , πj))(x)y = D〈·, ·〉(πjx, πjx)(πjy, πjy)

= 2 〈πjx, πjy〉.DF (x)y = 2(〈πsx, πsy〉 − 〈πux, πuy〉).


Para y = f(x) se tiene

F (x) = 2(〈πsx, πsf(x)〉 − 〈πux, πuf(x)〉)= 2(〈πsx, πs(f ′(0)x+R(x))〉− 〈πux, πu(f ′(0)x+R(x))〉)= 2(〈πsx, f ′(0)πsx+ πsR(x)〉− 〈πux, f ′(0)πux+ πuR(x)〉)≤ −2α(|xs|2 + |xu|2)

+ 2(|xs| |πsR(x)|+ |xu| |πuR(x)|)≤ −2α|x|2 + 4ε|x|2

= −2(α− 2ε)|x|2.

Tomese ε > 0 tal que α− 2ε > 0. Entonces

F (x) < 0, si x ∈ B(0, δ) \ 0.

Comentario 3.18. El teorema anterior tambien es cierto sin suponerque x′ = f(x0)x es hiperbolico. Para una demostracion de este caso masgeneral, veanse por ejemplo, [?] o [?].

6. Conjuntos invariantes

Recordemos la definicion de subconjunto invariante respecto de un sis-tema diferencial.

Definicion 3.7. Se dice que un subconjunto A de U es positivamente(resp. negativamente) invariante por x′ = f(x), donde f ∈ Liploc(U) si

ξ ∈ A, t ∈ Iξ, t ≥ 0 ( resp. t ≤ 0) ⇒ u(t, ξ) ∈ A.

Si A es simultaneamente positiva y negativamente invariante, se dice que esinvariante.

Proposicion 3.19. Si A ⊂ U es positivamente (negativamente) inva-riante, tambien lo es su cierre, A.

Demostracion. Sea ξ ∈ A. Entonces existe una sucesion ξk ⊂ Atal que lımk→∞ ξk = ξ. Por el teorema de dependencia respecto de las con-diciones iniciales, puesto que W = (t, x) : x ∈ U, t ∈ Ix es abierto, setiene que si t ∈ Iξ, t ≥ 0, existe un entero kt tal que k > kt ⇒ t ∈ Iξk yu(t, ξk) → u(t, ξ) cuando k → ∞. Pero u(t, ξk) ∈ A, porque A es positiva-mente invariante. De modo que u(t, ξ) ∈ A.

El siguiente resultado es muy util para comprobar que un conjunto espositivamente invariante.

6. CONJUNTOS INVARIANTES 57

Proposicion 3.20. Sea A ⊂ U cerrado. Supongase que para cada ξ ∈FrA, donde FrA es la frontera de A, existe ε > 0 tal que u(t, ξ) ∈ A paratodo 0 ≤ t < ε. Entonces A es positivamente invariante.

Demostracion. Supongase que existen ξ ∈ A y t0 ∈ Iξ ∩ (0,∞) talesque u(t0, ξ) 6∈ A. Defınase

t0 = supt ∈ [0, t0) : u(t, ξ) ∈ A.Al ser A un conjunto cerrado, u(t0, ξ) ∈ A, ası que 0 ≤ t0 < t0. Sea η =u(t0, ξ). Entonces η ∈ FrA, ya que hay una sucesion u(tn, ξ)→ u(t0, ξ) = η,n→∞, con tn ∈ [0, t0) y u(tn, ξ) ∈ A y si t > t0, entonces u(t, ξ) 6∈ A. Peropor hipotesis, existe ε > 0 tal que u(t, η) ∈ A para todo t ∈ [0, ε). Ası que

u(t, η) = u(t, u(t0, ξ)) = u(t+ t0, ξ) ∈ A,en contradiccion con la definicion de supremo.

Teniendo en cuenta queA ⊂ U es positivamente invariante con respecto ax′ = f(x) si y solo si es negativamente invariante con respecto a x′ = −f(x),usando la Proposicion anterior se prueba la

Proposicion 3.21. Sea A ⊂ U cerrado. Supongase que para cada ξ ∈FrA, existe ε > 0 tal que u(t, ξ) ∈ A para todo −ε < t ≤ 0. Entonces A esnegativamente invariante.

Ejemplo 4. Sea la ecuacion diferencial en el planox′ = f(x, y)y′ = g(x, y).

donde f, g : R2 → R son funciones localmente lipschitzianas tales que

f(0, y) ≥ 0 para todo y ≥ 0,

g(x, 0) ≥ 0 para todo x ≥ 0.

Entonces el primer cuadrante, R2+,es positivamente invariante.

Notese en primer lugar que la frontera del primer cuadrante es el con-junto de puntos (x, y) tales que xy = 0. Para aplicar la Proposicion (3.20)consideraremos previamente el caso

f(0, y) > 0 para todo y ≥ 0,

g(x, 0) > 0 para todo x ≥ 0.

Sea (x(t), y(t)) una solucion tal que (x(0), y(0)) pertenece a la frontera delprimer cuadrante y consideremos tres casos:

1. x(0) > 0 e y(0) = 0. Entonces y′(0) = g(x(0), y(0)) = g(x(0), 0) > 0,ası que y es estrictamente creciente en t = 0. Entonces existe ε > 0 tal quey(t) > 0 si t ∈ (0, ε). Puesto que x(0) > 0, se puede suponer que x(t) > 0 sisi t ∈ (0, ε).

2. x(0) = 0 e y(0) > 0. Entonces x′(0) = f(x(0), y(0)) = f(0, y(0)) > 0,ası que x es estrictamente creciente en t = 0. Entonces existe ε > 0 tal que


x(t) > 0 si t ∈ (0, ε). Puesto que y(0) > 0, se puede suponer que y(t) > 0 sisi t ∈ (0, ε).

3. x(0) > 0 e y(0) > 0. Entonces x′(0) > 0 e y′(0) > 0 y se procede comoen los dos casos anteriores.

Es decir, en cualquiera de los tres casos, existe ε > 0 tal que (x(t), y(t))pertenece a la frontera del primer cuadrante. El resultado sigue de la Pro-posicion 3.20.

Para demostrar el caso general definimos para cada λ ∈ R,x′ = f(x, y) + λy′ = g(x, y) + λ.

Del caso anterior se obtiene que R2+ es positivamente invariante para el

sistema anterior, siempre que λ > 0. Si u(t, ξ, λ) es la solucion del sistemadiferencial respecto de las condiciones iniciales y parametros, se tiene que

W = (t, ξ, λ) : (ξ, λ) ∈ R2 × R, t ∈ Iξ,λ

es abierto y u : W → R2, u(t, ξ, λ) = uξ,λ(t) es continua.Sea ξ ∈ FrR2

+. Puesto que (0, ξ, 0) ∈ W , existe ε > 0 tal que |t| < ε,|λ| < ε implican (t, ξ, λ) ∈W y

lımλ→0

u(t, ξ, λ) = u(t, ξ, 0) = u(t, ξ).

Si 0 < t, λ < ε, entonces u(t, ξ, λ) ∈ R2+. Por continuidad u(t, ξ) ∈ R2

+.

Comentario 3.22. El vector (0, 1) es normal interior a R2+ en cada

punto de la forma (x, 0) con x > 0. Por otra parte

〈(0, 1), (f(x, 0), g(x, 0)〉 = g(x, 0) ≥ 0

expresa que el campo (f, g) apunta hacia el interior de R2+. Una interpreta-

cion analoga se tiene para los puntos del eje y positivo.

Ejemplo 5. Supongase que U = Rn y que el campo f satisface

〈f(x), x〉 ≤ 0, si |x| = R,

donde 〈·, ·〉 y | · | denotan un producto escalar en Rn y su norma asociadarespectivamente. Ya hemos dicho que en este caso f apunta hacia el interiorde la B[0, R]. Probaremos que A = B[0, R] es positivamente invariante yque R2 \B(0, R) es negativamente invariante.

Comencemos observando que su frontera es S(0, R). Consideremos pre-viamente el caso en que

〈f(x), x〉 < 0, si |x| = R.

Sean ξ ∈ FrA y g(t) = 〈u(t, ξ), u(t, ξ)〉. Entonces

g′(t) = 2〈u′(t, ξ), u(t, ξ)〉= 2〈f(u(t, ξ)), u(t, ξ)〉,

6. CONJUNTOS INVARIANTES 59

de modo que g′(0) < 0, ası que existe ε > 0 tal que g(t) < g(0) para todot ∈ (0, ε). En consecuencia, |u(t, ξ)| < |ξ| = R para todo t ∈ (0, ε). Ası queA es positivamente invariante.

Para probar el caso general, se define f(x, λ) = f(x) − λx y se procedecomo en el ejemplo anterior.

En el siguiente resultado se generaliza el ejemplo descrito arriba.

Teorema 3.23. Sea F : U → R una funcion de clase 1 tal que ∇F (x)es localmente lipschitziana. Sea F−1(0) 6= ∅. Si

∇F (x) 6= 0, F (x) ≤ 0, para todo x ∈ F−1(0),

entonces F−1((−∞, 0]) es positivamente invariante y F−1([0,∞)) es nega-tivamente invariante.

Si∇F (x) 6= 0, F (x) ≥ 0, para todo x ∈ F−1(0),

entonces F−1((−∞, 0]) es negativamente invariante y F−1([0,∞)) es posi-tivamente invariante.

Comentario 3.24. El Ejemplo anterior corresponde al caso U = Rn yF (x) = 1

2 < x, x > − 12R

2, ya que DF (x)(·) =< x, · >

Demostracion. La frontera de F−1((−∞, 0]) relativa a U es F−1(0).En efecto, sean x0 ∈ F−1(0) y β(t) = F (x0 + t∇F (x0)).

Entonces

β′(t) = F ′(x0 + t∇F (x0))∇F (x0)

= 〈∇F (x0 + t∇F (x0)),∇F (x0)〉,β′(0) = 〈∇F (x0),∇F (x0)〉 > 0.

Entonces existe ε > 0 tal que −ε < t1 < 0 < t2 < ε implica β(t1) < β(0) =0 < β(t2). Desde luego,

x0 + t1∇F (x0) ∈ F−1((−∞, 0])

x0 + t2∇F (x0) 6∈ F−1((−∞, 0]).

Supongase en primer lugar que

F (x) < 0, si x ∈ F−1(0).

Sea g(t) = F (u(t, ξ)) para ξ ∈ F−1(0). Entonces g′(t) = F (u(t, ξ)).Puesto que g′(0) < 0, existe ε > 0 tal que g(t) < g(0) = 0 para todo0 < t < ε y 0 = g(0) < g(t) para todo −ε < ε < 0. En consecuencia,u(t, ξ) ∈ F−1((−∞, 0]) para todo 0 < t < ε y u(t, ξ) ∈ F−1(([0,∞)) paratodo −ε < t < 0.

Ası que F−1((−∞, 0]) es positivamente invariante por la Proposicion 3.20y F−1(([0,∞)) es negativamente invariante.

El caso general se prueba usando las perturbaciones

f(x, λ) = f(x)− λ∇F (x), λ > 0.


(En este punto se usa la hipotesis ∇F (x) ∈ Liploc(U).)

Comentario 3.25. 1. Si

F (x) < 0, para todo x ∈ F−1(0),

entonces ∇F (x) 6= 0 y el Teorema se verifica sin la hipotesis ∇F (x) ∈Liploc(U). En todo caso, se puede demostrar, ver [?], que se cumple el Teo-rema sin utilizar esta hipotesis.

Corolario 3.26. En las hipotesis del Teorema anterior, pero suponien-do que

∇F (x) 6= 0, F (x) = 0, para todo x ∈ F−1(0),

se verifica que F−1(0) es invariante.

Demostracion. Se obtiene que F−1([0,∞)) y F−1((−∞, 0]) son inva-riantes. Puesto que la interseccion de conjuntos invariantes es invariante, setiene que F−1(0) es invariante.

7. Ejercicios

1. Sea la ED escalar x′ = f(x), donde f ∈ Liploc(U), siendo U un abiertode R. Sea x0 un punto de equilibrio. Demostrar que x0 es estable, siexiste δ > 0 tal que (x−x0)f(x) ≤ 0 en 0 < |x−x0| < δ. Demostrarque x0 es inestable, si existe δ > 0 tal que (x − x0)f(x) > 0 para0 < x− x0 < δ o −δ < x− x0 < 0.

2. Sea la ED

x′ = f(x) =

0 si x = 0

−x3 sen 1x si x 6= 0.

Determine la estabilidad de los puntos de equilibrio.3. Sea el SD x′ = Ax+ h(x), donde A ∈ Mn(R) tiene todos sus auto-

valores con parte real < 0 y donde h esta definida y es localmentelipschitziana en un entorno de x = 0. Ademas

lımx→0

h(x)

‖x‖= 0.

a) Usando la representacion integral de las soluciones:

u(t, ξ) = etAξ +

∫ ∞0

e(t−s)Ah(u(s, ξ)) ds t ∈ Iξ

y el lema de Gronwall, pruebe que el origen es asintoticamente esta-ble.

4. Sea el SD

x′ = y, y′ = − senx− 3y.

Localizar los puntos de equilibrio y determinar si son estables a partirde la linealizacion en el equilibrio.

7. EJERCICIOS 61

5. Sea el SD

x′ = −y, y′ =x4 + 4x3 − x2 − 4x+ y

8.

Localizar los puntos de equilibrio y determinar si son estables a partirde la linealizacion en el equilibrio.

6. Sea el SD

x′ = 2x+ sen y − 4x(x2 + y2)

y′ = sen y − 3x sen(x− 2y)− 2y(x2 + y2).

Determine la estabilidad del (0, 0).7. Sea el SD

x′ = y, y′ = −x2 + y2 + 1.

Determinar los puntos de equilibrio y la linealizacion del SD en di-chos puntos. ¿Que propiedades de estabilidad se pueden deducir apartir de su linealizacion?

8. Sea la ED del pendulo con friccion

x′′ + ax′ + b sinx = 0, a, b > 0.

Usar el cambio de variables x1 = x, x2 = x′, para expresar la EDcomo un SD equivalente en el plano. Para este sistema calcular lospuntos de equilibrio y probar que (0, 0) es asintoticamente estable.

9. Sea el SD plano

x′ = −x− y

ln r, y′ = −y +

x

ln r,

donde r2 = x2 + y2.a) Pruebe que (0, 0) es el unico punto de equilibrio.b) Pruebe que la parte lineal en (0, 0) es un nodo asintoticamente

estable.c) Pruebe que (0, 0) es un punto espiral asintoticamente estable.

10. Sea el SD

x′ = −x+ x4 + y6, y′ = −2y − x6 + y8.

Demuestre que el origen es un punto de equilibrio asintoticamenteestable de tipo no espiral.

11. Sea la ED x′′ + x′ + x + x2 = 0. Considerese el sistema plano equi-valente:

x′ = y, y′ = −x− y − x2.

Determine la estabilidad de sus puntos de equilibrio.12. Para cada ε determine la estabilidad del punto de equilibrio (0, 0)

del SD

x′ = y − ε(x2 + y2)x, y′ = −x− ε(x2 + y2)y.


13. Sea el sistema diferencial(x′

y′

)=

(a b−b a

)(xy

)+

(P (x, y)Q(x, y)

),

donde a < 0, b > 0, P,Q ∈ Liploc,

lımr→0

P

r= 0, lım

r→0

Q

r= 0, r = (x2 + y2)1/2.

Probar que las orbitas que empiezan suficientemente proximas delpunto de equilibrio (0, 0), se enrollan espiralmente en torno a el.

14. Sea el SD

x′ = −ax+ P (x, y)

y′ = −ay +Q(x, y),

donde a > 0 y donde P,Q empiezan con terminos cuadraticos. De-muestre que el origen es asintoticamente estable y de tipo no espiral.

15. Sea el sistema diferencial en R2x′ = −x+ 2x(x+ y)2

y′ = −y3 + 2y3(x+ y)2

a) Compruebe que no se puede deducir la estabilidad asintotica delorigen (0, 0) a partir de su linealizacion en (0, 0).

b) Pruebe que F (x, y) = x2+y2

2 es una funcion de Liapunov estrictaen un entorno del origen.

16. Sea el sistema diferencial en R2x′ = y − xy2

x′ = −x3

a) Pruebe que el origen no es estable para la linealizacion en (0, 0).b) Pruebe que el origen es estable usando la funcion F (x, y) =

x4/4 + y2/2.17. Sea x0 una singularidad asintoticamente estable de x′ = f(x). El

conjunto

C(x0) = ξ ∈ U : lımt→∞

φ(t, ξ) = x0

se llama cuenca o dominio de atraccion de x0.Pruebe que C(x0) es un conjunto abierto.

18. Sea el SD x′ = f(x), donde f ∈ Liploc(Rn). Sea x0 un punto deequilibrio. Demostrar que si F : Rn → R es una funcion de Liapunovestricta para x0 y

lım‖x‖→∞

F (x) =∞,

entonces C(x0) = Rn.

7. EJERCICIOS 63

19. Sea la ED x′′ + g(x)x′ + h(x) = 0, donde f, g ∈ Liploc(R), g(x) >0 y xh(x) > 0, si x 6= 0. (Esta ED se llama de Lienard y es unmodelo matematico para un oscilador con friccion). Pruebe (0, 0)es un punto de equilibrio asintoticamente estable para el sistemadiferencial equivalente.

20. Sea la ED (de Van der Pol) x′′ + (x2 − 1)x′ + x = 0. Demuestre quela solucion nula es inestable y de tipo espiral.

21. Sea el sistema diferencial en el planox′ = x2 + y sinxy′ = −1 + xy + cos y.

Pruebe que el primer cuadrante es positivamente invariante.22. Sea el sistema diferencial en el plano

x′ = −xy2

y′ = −yx2.

a) Expresarla en coordenadas polares.b) Probar que el cırculo unidad es positivamente invariante.

Capıtulo 4

Soluciones periodicas en sistemas autonomosplanos

1. Sistemas Hamiltonianos en el plano

Sea el sistema diferencial

(4.1)

x′ = g(y)y′ = −h(x),

donde g : (−s, s) → R y h : (−r, r) → R, (0 < r, s ≤ ∞), son funcioneslocalmente lipschitzianas. Sean

G(y) =

∫ y

0g(η) dη, H(x) =

∫ x

0h(ξ) dξ

y F (x, y) = G(y) + H(x). Entonces F es un hamiltoniano de (4.1). En loque sigue suponemos

yg(y) > 0, 0 < |y| < s, xh(x) > 0, 0 < |x| < r.

De donde sigue que (0, 0) es el unico punto de equilibrio de (4.1). Ademas

F (0, 0) = 0,

F (x, y) > 0, si (x, y) 6= (0, 0),

F (x, y) = 0, para todo (x, y).

Por tanto (0, 0) es estable.Sean

G(±s) = lımy→±s

G(y), H(±r) = lımx→±r

H(x),

cm = mınG(±s), H(±r).

Proposicion 4.1. Dado ε > 0, existen 0 < R < r y 0 < S < s tales queG(y) > cm − ε, si |y| > S y H(x) > cm − ε, si |x| > R.

Demostracion. Se verifica que G(s) = supy∈(0,s)G(y) y G(−s) =

supy∈(−s,0)G(y), de modo que existe y ∈ (0, s) tal que G(y) > G(s) − ε.

Puesto que G es estrictamente creciente en (0, s), si y > y, se cumple queG(y) > G(y) > G(s)−ε. Analogamente se obtiene la existencia de ¯y ∈ (−s, 0)tal que G(¯y) > G(−s) − ε. Puesto que G es estrictamente decreciente en(−s, 0), si y < ¯y, G(y) > G(¯y) > G(−s) − ε. S = maxy,−¯y cumple latesis.

Un razonamiento analogo para H completa la demostracion.

65

66 4. SOLUCIONES PERIODICAS EN SISTEMAS AUTONOMOS PLANOS

Teorema 4.2. Sean U = (−r, r)× (−s, s) y V = (x, y) ∈ U : F (x, y) <cm. Las soluciones de (4.1) con condicion inicial en V , son periodicas.

Demostracion. Sean (x0, y0) ∈ V y (x, y) : I → U la solucion de (4.1)tal que (x(0), y(0)) = (x0, y0) 6= (0, 0). Entonces 0 < c = F (x0, y0) < cm.

El conjunto F−1(c) es compacto, ya que es cerrado (F es continua) yes acotado, ya que si ε = cm − c, de la Proposicion anterior se deduce laexistencia de

0 < R < r y 0 < S < s tales que

G(y) > c, si |y| > S, H(x) > c, si |x| > R.

Por tanto, si G(y) + H(x) = c, G(y), H(x) ≤ c, ya que G(y), H(x) ≥ 0.Entonces |x| ≤ R, |y| ≤ S. De modo que

F−1(c) ⊂ [−R,R]× [−S, S].

Puesto que F (x, y) = 0, F−1(c) es invariante por (4.1). Ası que

(x(t), y(t)) ∈ F−1(c), para todo t ∈ Iy, como una consecuencia, I = R.

AFIRMACION 1. Para cada t0 ∈ R, existe t1 > t0 tal que x(t1) >0. En efecto, supongase que x(t) ≤ 0 para todo t0 ≤ t < ∞. Entoncesy′(t) = −h(x(t)) ≥ 0. De modo que y(t) es creciente en [t0,∞). Sea y∗ =lımt→∞ y(t). Entonces

g(y∗) = lımt→∞

g(y(t)) = lımt→∞

x′(t).

Si g(y∗) 6= 0, entonces por el Teorema del valor medio para cada t suficien-temente grande, existe t < st < 2t tal que

|x(2t)− x(t)| = |x′(st)t| → ∞, cuando t→∞,que esta en contradiccion con ser x acotada.

Como |y∗| ≤ S y g(y∗) = 0, y∗ = 0. Por tanto lımt→∞ y(t) = 0 yal ser y creciente en [t0,∞), se obtiene que y(t) ≤ 0 en [t0,∞). Entoncesx′(t) = g(y(t)) ≤ 0 y, por tanto, x es decreciente en [t0,∞). Al ser acotada,existe x∗ = lımt→∞ x(t). Entonces

lımt→∞

y′(t) = − lımt→∞

h(x(t)) = −h(x∗).

Como y es acotada en [t0,∞), lımt→∞ y′(t) = 0 = −h(x∗), de donde se

deduce que x∗ = 0. Ası que

c = lımt→∞

F (x(t), y(t)) = F (0, 0) = 0.

Esta contradiccion termina la prueba.De manera analoga se pruebaAFIRMACION 2. Dado τ0 ∈ R, existe τ1 > τ0 tal que x(τ1) < 0.Aplicando repetidamente las Afirmaciones 1 y 2 se obtiene la existencia

deτ1 < t1 < τ2 < t2 < τ3,

2. EL TEOREMA DEL FLUJO TUBULAR 67

tales que x(τi) < 0 y x(tj) > 0.Sea σi ∈ (τi, τi+1), i = 1, 2 tal que la restriccion de x(t) a [τi, τi+1] alcanza

el maximo en σi. Puesto que x(ti) > 0, tambien x(σi) > 0. Por otra parte0 = x′(σi) = g(y(σi)) implica que y(σi) = 0. En consecuencia

c = F (x(σi), y(σi)) = H(x(σi)) +G(0) = H(x(σi)).

Ası H(x(σ1)) = H(x(σ2)). Como la restriccion de H a (0, s) es estrictamentecreciente, x(σ1) = x(σ2). Hemos probado que (x(σ1), y(σ1)) = (x(σ2), y(σ2))y, entonces, (x, y) es periodica.

2. El Teorema del flujo tubular

Sean f ∈ Liploc(U) y g ∈ Liploc(V ), siendo U, V abiertos de Rn. Se diceque el sistema diferencial x′ = f(x) es conjugado a x′ = g(x), si existe unaaplicacion biyectiva h : U → V tal que

h(u(t, x)) = v(t, h(x)), (x ∈ U, t ∈ Ix).

El Teorema del flujo tubular dice que en cada entorno de un puntoregular, el sistema diferencial x′ = f(x) es conjugado a x′ = e1, donde e1 esel vector que tiene todas sus coordenadas nulas, salvo la que ocupa el primerlugar, que es 1.

2.1. Secciones transversales. Sea el sistema diferencial x′ = f(x)donde f ∈ C1(U) y U es un abierto de Rn. Una seccion transversal a f esuna funcion S : D → U definida y de clase 1 en un subconjunto abierto yconexo de Rn−1 tal que

S′(q)p1, . . . , S′(q)pn−1, f(S(q))

es una base de Rn para toda base de Rn−1, p1, . . . , pn−1. Si x0 ∈ S(D),diremos que S es transversal a f en x0.

Proposicion 4.3. Sea S : D → U una funcion de clase 1 definida en elabierto conexo D ⊂ Rn−1. Son equivalentes

1. S es una seccion transversal a f .2. Para cada q ∈ D, la aplicacion lineal Lq : R × Rn−1 → Rn definida

por

Lq(t, w) = tf(S(q)) + S′(q)w

es un isomorfismo.3. Para cada q ∈ D, la aplicacion S′(q) : Rn−1 → Rn es inyectiva yf(S(q)) 6∈ S′(q)(Rn−1).


Demostracion. (i) implica (ii). El conjunto S′(q)p1, . . . S′(q)pn−1, f(S(q))es una base de Rn. Entonces

Lq(t, w) = tf(S(q)) + S′(q)w

= tf(S(q)) + S′(q)(

n−1∑i=1

yipi)

= tf(S(q)) +n−1∑i=1

yiS′(q)pi = 0,

implica que t = y1 = · · · = yn−1 = 0. Ası que Lq es inyectiva y, por tanto,biyectiva.

(ii) implica (iii). Lq(0, w) = S′(q)w. Ası que Lq(0, ·) = S′(q). ComoLq(0, ·) es inyectiva, tambien lo es S′(q).

Si f(S(q)) ∈ S′(q)Rn−1, que es un subespacio n− 1 dimensional de Rn,Lq(t, w) no es sobre.

(iii) implica (i). Sea q ∈ D y p1, . . . , pn−1 una base de Rn−1. EntoncesS′(q)p1, . . . , S′(q)pn−1, f(S(q)) es una base de Rn. En efecto

S′(q)

(n−1∑i=1

ciS′(q)pi

)= −cnf(S(q)),

implica cn = 0, porque f(S(q)) 6∈ S′(q)Rn−1. Al ser S′(q) inyectiva, c1 =· · · = cn−1 = 0.

Definicion 4.1. Una seccion tranversal S : D → U se dice afın si existex0 ∈ U y una aplicacion lineal (necesariamente inyectiva) L : Rn−1 → Rn talque S(q) = x0 + Lq para todo q ∈ D.

Si n = 2, toda seccion afın es de la forma S(q) = x0 + qp para algunvector no trivial p ∈ R2. En este caso D es un intervalo abierto de R quecontiene a 0. Desde luego f(S(q)), p son linealmente independientes paratodo q ∈ D ⊂ R.

Proposicion 4.4. Si x0 ∈ U y f(x0) 6= 0, entonces f posee una secciontransversal en x0 que es afın.

Demostracion. Sea 〈·, ·〉 el producto escalar ordinario en Rn. Sea Hel hiperplano de Rn ortogonal a f(x0). Es decir

H = x ∈ Rn : 〈x, f(x0)〉 = 0.

Entonces Rn = 〈f(x0)〉 ⊕H. Notese que

x =〈f(x0), x〉〈f(x0), f(x0)〉

f(x0) + y, y ∈ H.

Puesto queH es un subespacio vectorial (n−1)-dimensional, existe L : Rn−1 →Rn lineal, inyectiva y tal que L(Rn−1) = H. Sea S(q) = x0 + Lq para todo

2. EL TEOREMA DEL FLUJO TUBULAR 69

q ∈ Rn−1. Considerese la aplicacion continua

q ∈ Rn−1 → 〈f(S(q)), f(x0)〉 ∈ R.Como 〈f(S(0)), f(x0)〉 = 〈f(x0), f(x0)〉 > 0, existe un abierto conexo

D ⊂ Rn−1 con 0 ∈ D tal que 〈f(S(q), f(x0)〉 > 0 y, por tanto, f(S(q)) 6∈ Hpara todo q ∈ D. En definitiva, S es una seccion transversal afın a f enx0.

2.2. Teorema del flujo tubular.

Teorema 4.5. Sea S : D → U una seccion transversal a f y sea q0 ∈ D.Entonces existe η > 0 tal que la aplicacion h : (−η, η) × B(q0, η) → Rndefinida por

h(t, q) = u(t, S(q))

es un difeomorfismo de (−η, η)×B(q0, η) en el abierto Im(h).La aplicacion h es una C1 conjugacion entre x′ = e1 restringido a

(−η, η)×B(q0, η) y x′ = f(x) restringido a Im(h).

Demostracion. (0, S(q0)) ∈ W = (t, x) : x ∈ U, t ∈ Ix. Por ser Wabierto, existe r > 0 tal que

(0, S(q0)) ∈ (−r, r)×N ⊂W,dondeN es un abierto de Rn. Puesto que S−1(N) es un abierto deD ⊂ Rn−1,eligiendo r > 0 tan pequeno como sea necesario,

B(q0, r) ⊂ S−1(N),

S(B(q0, r)) ⊂ S(S−1(N)) ⊂ N.Entonces

(0, S(q0)) ∈ (−r, r)× S(B(q0, r)) ⊂W.En particular la aplicacion

h : (−r, r)×B(q0, r)→ Rn,h(t, q) = u(t, S(q))

esta bien definida y es de clase 1. Ademas

∂h

∂q(t, q) =

∂u

∂x(t, S(q))S′(q),

∂h

∂t(t, q) = f(u(t, S(q))),

de modo que

∂h

∂q(0, q0) = S′(q0),

∂h

∂t(0, q0) = f(S(q0)).

En otras palabras, h′(0, q0) es la aplicacion lineal Lq0 y, en consecuencia, esun isomorfismo. Por el teorema de la funcion inversa h es un difeomorfismoalrededor de (0, q0).


Si t0, t+ t0 ∈ (−η, η), q ∈ B(q0, η), entonces

h(t+ t0, q) = u(t+ t0, S(q)) = u(t, u(t0, S(q)))

= u(t, h(t0, q)).

Sea sistema diferencial x′ = e1 cuya solucion es v(t, x) = v(t, t0, q) = (t +t0, q). Ası que h(v(t, t0, q)) = u(t, h(t0, q)), donde t0, t + t0 ∈ (−η, η), q ∈B(q0, η). Es decir, h es una conjugacion entre los sistemas x′ = e1 y x′ = f(x)restringidos a (−η, η)×B(q0, η) y h((−η, η)×B(q0, η)), respectivamente.

Corolario 4.6. En las condiciones del Teorema 4.5 si p ∈ Im(h), existet ∈ (−η, η) tal que u(t, p) ∈ S(D).

Demostracion. Sea p = h(t, q), donde t ∈ (−η, η) y q ∈ B(q0, η).

u(−t, p) = u(−t, u(t, S(q)))

= u(−t+ t, S(q)) = u(0, S(q)) = S(q).

Proposicion 4.7. Sean S : D → U una seccion transversal a f y x : I →U una solucion no singular de x′ = f(x). Entonces el conjunto A = t ∈ I :x(t) ∈ S(D) es de puntos aislados.

Demostracion. Supongase para llegar a una contradiccion que t0 ∈A es un punto de acumulacion de A. Sean x(t0) = S(q0) y h : (−η, η) ×B(q0, η)→ Im(h) el difeomorfismo dado por el Teorema del Flujo Tubular.Puesto que x es continua en t0, existe un entorno de t0 tal que si t pertenecea dicho entorno, x(t) ∈ Im(h). Al ser t0 punto de acumulacion de A, existet1 ∈ A, t1 6= t0, tal que

|t1 − t0| < η, x(t1) ∈ Im(h).

Si x(t1) = S(q1) = h(0, q1) con q1 ∈ B(q0, η), entonces x(t+t1) = u(t, S(q1)),por la unicidad de soluciones del problema de valor inicial. De aquı se deduce

h(0, q0) = S(q0) = x(t0) = u(t0 − t1, S(q1)) = h(t0 − t1, q1).

Puesto que h es inyectiva, t0 = t1, q0 = q1.

Proposicion 4.8. Si S : D → U es una seccion transversal a f y p ∈Ω(x0) ∩ S(D), entonces existe una sucesion tk → ∞, cuando k → ∞, talque u(tk, x0)→ p, k →∞, y u(tk, x0) ∈ S(D) para todo k ∈ N.

Demostracion. Sean p = S(q) y h : (−η, η) × B(q, η) → Im(h) el ho-meomorfismo dado por el Teorema del flujo tubular. Por la continuidad deh en (0, q) y teniendo en cuenta que p = h(0, q), para cada k ∈ N existerk ∈ (−η, η) tal que

h((−rk, rk)×B(q, rk)

)⊂ B

(p,

1

k

).

3. EL TEOREMA DE POINCARE-BENDIXON 71

Como p ∈ Ω(x0), existe una sucesion τj →∞ tal que u(τj , x0)→ p, j →∞.Puesto que h es un homeomorfismo, h

((−rk, rk) × B(q, rk)

)es un entorno

de p, ası que para cada k, existe τjk > k tal que

u(τjk , x0) ∈ h((−rk, rk)×B(q, rk)

).

Sea (sjk , qjk) tal que u(τjk , x0) = h(sjk , qjk). Entonces

u(−sjk + τjk , x0) = u(−sjk , u(τjk , x0)) = u(−sjk , h(sjk , qjk))

= u(−sjk , u(sjk , S(qjk))) = S(qjk) = h(0, qjk)

∈ h((−rk, rk)×B(q, rk)

)⊂ B

(p,

1

k

).

Ademas −sjk + τjk → ∞, k → ∞, u(−sjk + τjk , x0) ∈ S(D) y u(−sjk +τjk , x0)→ p, k →∞.

3. El Teorema de Poincare-Bendixon

En todo este apartado f : U → R2 es de clase 1 en el abierto U ⊂ R2.En lo que sigue fijaremos x0 ∈ U , se supondra que u(t, x0) esta definida

al menos en [0,∞) y que el cierre de

u(t, x0) : t ∈ [0,∞)

es un subconjunto compacto de U . Entonces Ω(x0), el ω-lımite de x0, es unconjunto no vacıo, compacto, conexo e invariante por x′ = f(x). El objetivoes probar el siguiente resultado:

Teorema 4.9. Si Ω(x0) no contiene puntos de equilibrio, es una orbi-ta periodica. Es decir, Ω(x0) = u(t, x0) : t ∈ R, donde u(t, x0) es unasolucion periodica.

La prueba de este teorema necesita varios resultados previos. En primerlugar se notara que si u(t, x0) es periodica, entonces Ω(x0) = orb(u(t, x0)) yel teorema se verifica. Ası que supondremos que u(t, x0) no es periodica.

Se usara el Teorema de separacion de Jordan. Sea S1 el conjunto denumeros complejos unitarios, es decir, la circunferencia de R2 de centro elorigen y radio 1. Sea γ : S1 → R2, continua e inyectiva. Diremos que C =γ(S1) es una curva de Jordan. Ası que γ : S1 → C es un homeomorfismo, yaque S1 es compacto.

Teorema 4.10 (De separacion de Jordan). Si C es una curva de Jordanen R2, entonces R2 \ C es la union de dos abiertos no vacıos, disjuntos yconexos, V y W tales que FrV = FrW = C.

Aunque la prueba del Teorema de Poincare-Bendixon no lo necesita,el Teorema 4.10 tambien dice que uno de los abiertos es acotado (llamadoregion interior), mientras que el otro no lo es (region exterior a C). Tambiendice que la region interior es homeomorfa a R2.


Supondremos de aquı en adelante que S : D → U es una seccion trans-versal afın a f . El orden en R define un orden total en S(D) de la siguienteforma: Dados p0 = S(q0), p1 = S(q1), se define p0 <S p1, si q0 < q1.

Llamaremos x(t) a u(t, x0).

Lema 4.11. Sean 0 ≤ t0 < t1 tales que x(ti) ∈ S(D), i = 0, 1. Six(t0) <S x(t1) y x(t) 6∈ S(D) siempre que t ∈ (t0, t1), entonces x(t1) <S x(t)si t > t1 y x(t) ∈ S(D).

Comentario 4.12. Si en el Lema anterior se reemplaza x(t0) <S x(t1)por x(t1) <S x(t0), entonces x(t) <S x(t1) si t > t1 y x(t) ∈ S(D).

Lema 4.13. Ω(x0) ∩ S(D) tiene a lo sumo un punto.

Demostracion. Supongase que hay dos puntos p0 = S(q0) <S p1 =S(q1) en Ω(x0) ∩ S(D).

Caso 1. x(t) 6∈ [p0, p1] para todo t ∈ Ix. Por definicion de Ω(x0) existent0 < t1 tales que

x(t0) <S p0 <S p1 < x(t1).

El t ∈ (t0, t1) : x(t) ∈ S(D) tiene un numero finito de puntos, ya quesi fueran infinitos tendrıa un punto de acumulacion, en contra de la Pro-posicion 4.7. Ası se puede suponer que x(t) 6∈ S(D) para todo t ∈ (t0, t1).Entonces por el Lema 4.11

x(t1) <S x(t), si t > t1, x(t) ∈ S(D).

En consecuencia p0 6∈ Ω(x0).Caso 2. x(t0) ∈ [p0, p1] para algun t0 ∈ Ix. Entonces existe t1 > t0 tal

que x(t1) ∈ S(D) y x(t) 6∈ S(D) siempre que t ∈ (t0, t1). Si x(t0) <S x(t1)(respectivamente x(t1) <S x(t0)), entonces x(t1) <S x(t) (respectivamentex(t) <S x(t1)), siempre que t > t1 y x(t) ∈ S(D). De aquı resulta quep0 6∈ Ω(x0) (respectivamente p1 6∈ Ω(x0)). Esta contradiccion termina laprueba.

Lema 4.14. Si γ : R→ U es una solucion periodica no trivial con γ(R) ⊂Ω(x0), entonces γ(R) = Ω(x0).

Demostracion. Supongase que γ(R) 6= Ω(x0). Puesto que Ω(x0) esconexo y γ(R) no vacıo y cerrado, Ω(x0) \ γ(R) no es cerrado. Ası quetiene un punto de acumulacion y0 perteneciente a γ(R). Puesto que y0 espunto regular, sea S : D → U una seccion transversal a f en y0 afın y seah : (−η, η) × B(0, η) → Im(h) el homeomorfismo dado por el Teorema delFlujo Tubular. Puesto que Im(h) es un entorno de y0, existe z0 ∈ (Ω(x0) \γ(R))∩ Im(h) y tambien existe t0 ∈ R tal que u(t0, z0) ∈ S(D). Como Ω(x0)es invariante, se verifica que u(t0, z0) ∈ Ω(x0). Puesto que Ω(x0)∩S(D) tienea lo sumo un punto, y0 = u(t0, z0), ya que y0 ∈ γ(R) ⊂ Ω(x0), y0 ∈ S(D).Finalmente z0 = u(−t0, u(t0, z0)) = u(−t0, y0) ∈ γ(R). Esta contradicciontermina la prueba.

Ahora estamos en condiciones de probar el teorema principal.

3. EL TEOREMA DE POINCARE-BENDIXON 73

Demostracion. (Teorema de Poincare-Bendixon) Sea p ∈ Ω(x0). Pues-to que este conjunto es compacto e invariante, Ip = R y u(t, p) ∈ Ω(x0) paratodo t ∈ R. Luego Ω(p) ⊂ Ω(x0). Fijemos y0 ∈ Ω(p), que es regular. SeaS : D → U una seccion transversal afın a f en y0. Existe una sucesiontk → ∞ tal que u(tk, p) → y0 y u(tk, p) ∈ S(D) para cada k ∈ N. Puestoque u(tk, p) ∈ Ω(x0) y Ω(x0)∩ S(D) tiene a lo sumo un punto, u(tk, p) = y0

para todo k ∈ N. En consecuencia, γ(t) := u(t, p) es periodica. Ademas esuna solucion no trivial, porque y0 es regular. El resultado sigue del Lemaanterior.

Comentario 4.15. En la prueba anterior se ha probado que si Ω(x0)contiene a un punto p tal que Ω(p) contiene a un punto regular y0, entoncesΩ(x0) es periodica.

Comentario 4.16. Sea x0 ∈ U tal que u(t, x0) esta definida en (−∞, 0]y el cierre de u(t, x0) : t ∈ (−∞, 0] es un compacto incluido en U . Severifica que si el α-lımite, α(x0), no contiene puntos de equilibrio, entoncesα(x0) es una orbita periodica. En efecto, haciendo el cambio de variablesy(t) = x(−t), observamos que y es solucion de x′ = −f(x) si y solo si x essolucion de x′ = f(x). Ademas y([0,∞)) tiene cierre compacto incluido enU y Ω−f (x0) = αf (x0).

Corolario 4.17. Si Ω(x0) ∩ f−1(0) es finito y no vacıo, entonces paracada p ∈ Ω(x0), u(t, p) tiene lımite cuando t→ ±∞.

Demostracion. Si p ∈ Ω(x0) es singular, entonces obviamente existe ellımite. Sea p ∈ Ω(x0) regular. Si Ω(p) contiene a un punto regular, entoncesdel comentario anterior sigue que Ω(x0) es periodica y, entonces Ω(x0) ∩f−1(0) = ∅, en contra de la hipotesis.

Ası que Ω(p) esta formado por un numero finito de puntos singulares yal ser conexo, es unitario. En consecuencia existe lımt→∞ u(t, p).

Para probar la existencia del lımite cuando t→ −∞, notese que α(x0)∩S(D) tiene a lo sumo un punto y que si γ(R) es una orbita periodica in-cluida en α(x0), entonces γ(R) = α(x0). Ahora sea p ∈ Ω(x0). Entoncesα(p) ⊂ Ω(x0). Si existe y0 ∈ α(p) regular, entonces igual que en la prue-ba del Teorema de Poincare-Bendixon, se concluye que Ω(x0) es una orbitaperiodica. Por tanto, Ω(x0) ∩ f−1(0) = ∅, en contra de la hipotesis.

Ası que α(p) esta formado por un numero finito de puntos singulares yal ser conexo, es unitario. En consecuencia existe lımt→−∞ u(t, p).

Mediante el cambio de variables y(t) = x(−t) se prueba el

Corolario 4.18. Si α(x0) ∩ f−1(0) es finito y no vacıo, entonces paracada p ∈ α(x0), u(t, p) tiene lımite cuando t→ ±∞.

El Teorema de Poincare-Bendixon nos permite probar que en la compo-nente acotada de una orbita periodica hay un punto de equilibrio. Por tantosi un sistema diferencial no tiene puntos de equilibrio, no tiene solucionesperiodicas.


Teorema 4.19. Si C = γ(R) es una orbita periodica, entonces existe unpunto de equilibrio en V , donde V es la componente conexa acotada dadapor el Teorema de Separacion de Jordan.

Demostracion. Sea R2 \ C = V ∩W la descomposicion dada por elTeorema de Separacion de Jordan. Supongase que V no tiene puntos deequilibrio.

En el conjunto de orbitas periodicas incluidas en V , se considera el ordenparcial definido por

γ1(R) ≤ γ2(R), si V1 ⊃ V2.

Probaremos que toda familia totalmente acotada tiene una cota superior.En efecto, sea γα(R)α∈A totalmente ordenada. El conjunto ∩α∈AVα es novacıo, por ser la interseccion de una familia de compactos con la propiedadde la interseccion finita. Sea p ∈ ∩α∈AVα. Entonces Ω(p) ⊂ ∩α∈AVα, porqueeste conjunto es invariante al ser interseccion de conjuntos invariantes. Por elTeorema de Poincare-Bendixon, Ω(p) es una orbita periodica cota superiorde la familia totalmente ordenada. El Lema de Zorn asegura que existeuna orbita periodica maximal que llamaremos γM (R). Sea p pertenecientea la componente acotada respecto de γM (R). Entonces por el Teorema dePoincare-Bendixon

α(p) = Ω(p) = γM (R).

Sean y0 ∈ γM (R) y S : D → U una seccion transversal por y0. Existe unasucesion tk → ∞, k → ∞ tal que u(tk, p) ∈ S(D) para todo k ∈ N ylımk→∞ u(tk, p) → y0. Si, por ejemplo u(t1, p) <S y0, entonces para todot < t1 tal que u(t, p) ∈ S(D) se verifica

u(t, p) <S u(t1, p),

de modo que y0 6∈ α(p).

4. Ejercicios

1. Sea el SD

x′ = x(a− by)

y′ = y(−c+ dx),

en el primer cuadrante del plano, siendo a, b, c, d constantes estricta-mente positivas. Mediante el cambio de variables p = lnx + ln

(dc

),

q = ln y + ln(ba

), transformelo en uno de tipo Halmitoniano. De-

muestre que toda solucion maximal positiva es periodica.2. Estudie las soluciones de la ecuacion diferencial escalar de segundo

orden x′′ + a sen5 x = 0, donde a > 0.3. Sea la ecuacion diferencial escalar de segundo orden x′′+g(x, x′)x′+x = 0, donde g : R2 → R es una funcion de clase 1, g(0, 0) < 0 yg(x, y) > 0, si x2 +y2 ≥ R > 0. Pruebe que la ED tiene una solucionperiodica.

4. EJERCICIOS 75

4. Demuestre que el sistema diferencial

x′ = x− y − x(x2 +

3

2y2

)y′ = x+ y − y

(x2 +

1

2y2

),

no tiene soluciones periodicas.

sistemas dinamicos

Documents

Transcript of sistemas dinamicos