Sistemas muestreados

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Contenido

Muestreo en los sistemas continuos Descripcion de entrada-salida para muestreo ideal Equivalencia bajo retenedor de orden cero Equivalentes discretos por integracion numerica

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MUESTREO EN LOS SISTEMAS CONTINUOS

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Muestreo de la señales de entrada y salida de sistemas continuos Suponga dado un sistema de tiempo continuo

determinado por la relación de entrada/salida

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y(t)= Gc(p)u(t),

u(t) y(t)

Muestreo de la señales de entrada y salida de sistemas continuos Si las señales de entrada y de salida del sistema

continuo son muestreadas con una frecuencia de muestreo radial ωs

¿Podemos encontrar una relación de sistemas de tiempo discreto entre las señales muestreadas u(kTs) y y(kTs) ?

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u(kTs) y(kTs)

DESCRIPCION DE ENTRADA-SALIDA PARA MUESTREO IDEAL

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Descripcion de entrada-salida para muestreo ideal Bajo la condición de señales de banda limitada, se

puede demostrar que

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s d sl

y kT g l u k l T

2s

d s

wg l g lT sinc d

Descripcion de entrada-salida para muestreo ideal Esto muestra dos cosas importantes:

El sistema de tiempo discreto, en general, no será causal, es decir

En general, no se tendrá una representación de dimension finita

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0dg l para l < 0

kd dk

G z g k z

Descripcion de entrada-salida para muestreo ideal Es decir, el sistema de tiempo discreto no puede

ser escrito simplemente como una función de transferencia racional

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0

11

b

b

a a

a

nn

d n nn

b z bG z

z a z a

Una de las razones es que el muestreo y reconstrucción ideal requiere un número infinito de datos para la reconstrucción de

la señal de tiempo continuo.

EQUIVALENCIA BAJO RETENEDOR DE ORDEN CERO

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Equivalencia bajo retenedor de orden cero En muchas aplicaciones de control por computador

las señales de entrada de tiempo discreto son mantenidas constantes en medio de dos instantes de muestreo, es decir,  

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u(t) = u(kTs)

para kTs ≤ t < (k +1)Ts

Equivalencia bajo retenedor de orden cero Una relación directa entre las señales de entrada y

salida se obtiene por la convolución de u(kTs) con la respuesta al impulso gc(t).

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1

s d dl

y kT g l u k l

1

s

s

lT

d cl Tg l g d

Equivalencia bajo retenedor de orden cero Con el retenedor de orden cero:

El sistema de tiempo discreto resultante es causal

Se obtiene una representación de dimension finita

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0

11

b

b

a a

a

nn

d n nn

b z bG z

z a z a

1

d d dl

y k g l u k l

Considerando un sistema de tiempo continuo

Sistema de tiempo discreto equivalente con retenedor de orden cero, para un período de muestreo Ts,

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c cx t A x t B u t

y t Cx t Du t 1d d d d dx k A x k B u k

d d dy k Cx k Du k

c sA TdA e

0

sc

T Ad cB e d B

Equivalencia bajo retenedor de orden cero en espacio de estados

EQUIVALENTES DISCRETOS POR INTEGRACION NUMERICA

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Concepto fundamental

La idea fundamental es la siguiente:

Representar H(s) como una ecuacion diferencial

Representar esta ecuacion con una ecuacion de diferencia aproximada

Usaremos el siguiente ejemplo

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( )( )

( )

y s a dyH s ay au

u s s a dt

Integracion numerica

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0

( ) ( ) ( )t

y t ay au d

0

( )kT T kT

kT Ty kT ay au d ay au d

( ) area de sobre ,y kT T ay au kT T kT

Integracion numericaTres formas de aproximar el area:

El rectangulo posterior

El rectangulo anterior

Un trapezoide

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kT-T kT

kT-T kT

kT-T kT

Mirando hacia adelante

Mirando hacia atras

Mirando hacia adelante

Rectangulo posterior

Ecuacion de diferencia

Funcion de transferencia

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1(1 ) ( ) ( )aT y kT T aTu kT T

1 1 1( ) ( ) ( ) ( )y kT y kT T T ay kT T au kT T

11

1

( )( )

1( ) 1 (1 )F

y z aTz aH z

zu z aT z aT

Rectangulo anterior

Ecuacion de diferencia

Funcion de transferencia

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2 2 2( ) ( ) ( ) ( )y kT y kT T T ay kT au kT

2 2

1( ) ( ) ( )

1 1

aTy kT y kT T u kT

aT aT

2 ( ) 1( )

1 1( ) (1 )1(1 )

B

U z aT aH z

zE z aT aaT z Tz

Funciones de transferencia

El rectangulo posterior (Euler)

El rectangulo anterior

Un trapezoide (Tustin)

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( )1F

aH z

za

T

( )1B

aH z

za

Tz

( )2 ( 1)

( 1)

T

aH z

za

T z

Transformacion s z

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Name Algorithm Characteristics

Euler forward rule x’(t) constant over the period

Eulers backward rule

x’(t) varies linearly over the period

Tustin (Bilinear Transformation)

x’(t) varies linearly over the period

T

1 - z s

1 +z

1 -z

T

2 s

z - 1s

Tz

Fuentes Lewis Andrew, A Mathematical Introduction to Feedback

Control. Queen’s University. Kingston, Canada. Abril, 2003. Tsakalis Kostas, System properties, A Collection of Class

Notes. http://www.eas.asu.edu/~tsakalis. December, 2003 Roberts Clive, Fundamentals of Signals and Systems.

University of Birmingham. 2003. Olver Peter J. and Shakiban Chehrzad, Applied Mathematics.

School of Mathematics, University of Minnesota and Department of Mathematics, University of St. Thomas. 1999.

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