SISTEMAS TRIDIAGONALES

PRESENTADO POR:

FREDY ANDRES REYES SANCHEZ

Realice el siguiente sistema tridiagonal por el método deThomas Y Cholesky:

14

4

124

21

121

12

3

2

1

x

x

x

Primero identificamos cada vector de acuerdo a la definición:

Y obtenemos las igualdades de acuerdo a las definiciones delmétodo:

14

4

124

012

112

102

3

2

1

333

222

111

r

r

r

cab

cab

cab

5,115,02

1

5,02

1

2

2

1221222

112

11

221

111

ULbU

cU

U

aL

kPara

bU

34,115,1

12

1

666,05,1

1

3

2332333

223

22

332

ULbU

cU

U

aL

kPara

14

4

124

166667,0

15,0

1

3

2

1

d

d

d

Al conocer L y U se resuelve Ld=r mediante una sustitución progresiva:

66)124)(5,0(4

2

124

12122

11

dLrd

KPara

rd

Para finalizar se resuelve Ux=d mediante una sustituciónregresiva:

58)66)(66666667,0(14

3

23233 dLrd

KPara

58

66

124

3333333,1

15,1

12

3

2

1

x

x

x

5,982

)73)(1(124)(

12

735,1

)5,43)(1(66)(

21

5,433333333,1

58

11

31321211

22

32322

33

33

U

xUxUdx

nkPara

U

xUdx

nkPara

U

dx

Donde el vector solución es:

5,43

73

5,98

x

Realice el siguiente sistema por el método de Cholesky, yademás de resolver la descomposición LU, emplee la ecuaciónpara resolver las a:

100

5,243

54

544814

4825,765,16

145,166

2

1

0

a

a

a

Solución:

Para k= 1 se tiene que:

Para k= 2 se tiene que:

Para k= 3 se tiene que:

4495,261111 aL

5565,5)7361,6(25,76

17361,64495,2

5,16

22

212222

11

2121

LaL

icuandoL

aL

2906,4)7097,1()7155,5(54

27097,15565,5

)7155,5(7361,648

17155,54495,2

14

222

32

2

313333

22

31213232

11

3131

LLaL

icuandoL

LLaL

icuandoL

aL

Finalmente como producto de la descomposición se obtuvo que:

Entonces:

2907,47097,17155,5

5565,57361,6

4495,2

L

2907,4

7097,15565,5

7155,57361,64495,2TLU

Aplicando la definición:

Y aplicando la sustitución hacia adelante tenemos:

100

5,243

54

2907,47097,17155,5

5565,57361,6

4495,2

*

3

2

1

d

d

d

L

BDL

8722,12

0970,17

0454,22

3

2

1

d

d

d

D

Aplicando la siguiente definición:

Y con la sustitución hacia atrás encontramos el resultado de lavariables:

8722,12

0970,17

0454,22

2907,4

7097,15565,5

7155,57361,64495,2

*

3

2

1

x

x

x

DXLT

3

4

5

3

2

1

x

x

x

Tomado y solucionado de la Chapra,sección de problemas, ejercicio 11.1 y11.5