Unitat 5: Sistemes d'Equacions

1. Introducció: definició i solucions

2. Simplificació: arreglem els sistemes

3. Resolució algebraica de sistemes

a) Mètode de substitució

b) Mètode d'igualació

c) Mètode de reducció

4. Problemes a resoldre amb sistemes

1. Introducció: definició i solucions

Tindrem un sistema d'equacions quan dues equacions s'hagin

de complir al mateix temps.

EXEMPLE: El quàdruple d'un nombre més 4 és igual al doble d'un

altre nombre. A més, el triple del segon és igual a 15 menys el triple

del primer.

4x+ 4=2y3y=15−3x

S'han de complir al mateix temps.

La solució del sistema serà un parell de valors (x i y) que

verificaran simultàniament les dues equacions.

1. Introducció: definició i solucions

Si la solució del sistema és x=1 i y=4, s'ha de verificar:

4x+ 4=2y3y=15−3x

4 ·1+ 4=2 ·43 · 4=15−3 ·1

4+ 4=812=15−3

Ok.

Segons les solucions,

-Sistema compatible: té una parella de nombres com a solució.

-Sistema compatible indeterminat: té infinites parelles de solucions.

-Sistema incompatible: no té cap parella de solucions,Exercici 24 p117

2. Simplificació: arreglem els sistemes

Si ens trobem parèntesis i denominadors, abans de fer res els

haurem de liquidar.

Objectiu: deixar el sistema en la forma:

ax+ by=cdx+ ey= f

Exercici 1 del full

-Els parèntesi els treiem aplicant la propietat distributiva.

-Els denominadors els treiem multiplicant cada terme pel mcm de

tots ells.

*Tinguem en compte que cada una de les dues equacions és independent

3. Resolució algebraica de sistemes

Consisteix a aïllar una de les incògnites en una de les

equacions, i substituir en l'altra equació la incògnita aïllada per la

seva expressió equivalent.

EXEMPLE: 3x+ 2y=−11x−3y=−33

1r pas: Triar i aïllar una de les incògnites en una de les equacions.

a) Mètode de substitució

x−3y=−33 ; x=−33+ 3y

La "x" de la segona és la més fàcil:

3x+ 2y=−11x−3y=−33

1r pas: Triar i aïllar una de les incògnites en una de les equacions.

x−3y=−33 ; x=−33+ 3y

La "x" de la segona és la més fàcil:

2n pas: Substituir la incògnita aïllada en l'altra equació.

3(−33+ 3y)+ 2y=−11

3r pas: Resoldre l'equació de primer grau que m'ha quedat.

3(−33+ 3y)+ 2y=−11 ; −99+ 9y+ 2y=−11 ;

11y=−11+ 99 ; y=8811

=8

3 ·(−9)+ 2 ·8=−11

−9−3 ·8=−33

4t pas: Resoldre l'altra incògnita.

x=−33+ 3y ;

5è pas: Comprovar la solució en el sistema inicial.

Utilitzant l'expressió obtinguda al primer pas:

Ara ja sabem que y=8

x=−33+ 3 ·8 ;

x=−33+ 3 ·8=−33+ 24=−9

SOLUCIÓ DEL SISTEMA: x = -9 i y = 8

−27+ 16=−11

−9−24=−33

−11=−11

−33=−33Ok.

Exercici 29, 30, 31 i 32 p119

3. Resolució algebraica de sistemes

Consisteix a aïllar la mateixa incògnita en les dues equacions, i

igualar l'expressió obtinguda.

EXEMPLE: 5x− y=2−2x− y=2

1r pas: Triar i aïllar una de les incògnites en les dues equacions.

b) Mètode d'igualació

La "y" és la més fàcil:

5x− y=2−2x− y=2

5x−2= y−2x−2= y

5x−2=−2x−2

2n pas: Igualar les dues expressions obtingudes.

3r pas: Resoldre l'equació de primer grau que m'ha quedat.

1r pas: Triar i aïllar una de les incògnites en les dues equacions.

La "y" és la més fàcil:

5x− y=2−2x− y=2

5x−2= y−2x−2= y

5x−2=−2x−2 ;5x+ 2x=−2+ 2

7x=0 ; x=07=0

5 ·0−(−2)=2

−2 ·0−(−2)=2

4t pas: Resoldre l'altra incògnita.

5x−2= y ;

5è pas: Comprovar la solució en el sistema inicial.

Utilitzant una de les expressions obtingudes al primer pas:

Ara ja sabem que x=0

5 ·0−2= y ;

y=−2

SOLUCIÓ DEL SISTEMA: x = 0 i y = -2

0+ 2=2

0+ 2=2

2=2

2=2Ok.

3. Resolució algebraica de sistemes

Consisteix a multiplicar cada equació pel nombre adequat

perquè, en sumar o restar les dues equacions resultants, s'obtingui

una equació amb una sola incògnita.

EXEMPLE: 3x+ 2y=−11x−3y=−33

1r pas: Transformar les dues equacions multiplicant-les per un

nombre que faci eliminar una de les dues incògnites.

c) Mètode de reducció

3x+ 2y=−11x−3y=−33

·1

·(-3)

3x+ 2y=−11−3x+ 9y=+ 99

2n pas: Sumar les dues equacions, i resoldre la que queda.

1r pas: Transformar les dues equacions multiplicant-les per un

nombre que faci eliminar una de les dues incògnites.

3x+ 2y=−11x−3y=−33

·1

·(-3)

3x+ 2y=−11−3x+ 9y=+ 99

3x+ 2y=−11−3x+ 9y=+ 99

11y=88 ; y=8811; y=8

3 ·(−9)+ 2 ·8=−11

−9−3 ·8=−33

3r pas: Resoldre l'altra incògnita utilitzant una de les equacions

inicials.

4t pas: Comprovar la solució en el sistema inicial.

Ara ja sabem que y=8

SOLUCIÓ DEL SISTEMA: x = -9 i y = 8

−27+ 16=−11

−9−24=−33

−11=−11

−33=−33

Ok.

x−3y=−33

x−3 ·8=−33 ; x−24=−33 ;

x=−33+ 24=−9