NUMERACIN

OBJETIVOS

1)Representa una cantidad de unidades en un determinado sistema posicional de numeracin

2)Especifica el orden y el lugar que ocupa una cifra segn su posicin en un numeral

3)Evala los valores de una cifra de acuerdo con su posicin en un numeral.

4)Descompone polinmicamente cualquier numeral en un sistema posicional de numeracin.

5)realiza cambios de base en los diversos sistemas de numeracin.

6)Aplica las propiedades de un sistema de numeracin a la resolucin de problemas.

ALGO DE HISTORIAEl primer sistema de numeracin griego se desarroll hacia el 600 A.C. Era un sistema de base decimal que usaba los smbolos de la figura siguiente para representar esas cantidades. Se utilizaban tantas de ellas como fuera necesario segn el principio de las numeraciones aditivas.

Para representar la unidad y los nmeros hasta el 4 se usaban trazos verticales. Para el 5, 10 y 100 las letras correspondientes a la inicial de la palabra cinco (pente), diez (deka) y mil (khiloi). Por este motivo se llama a este sistema acrofnico.

Los smbolos de 50, 500 y 5000 se obtienen aadiendo el signo de 10, 100 y 1000 al de 5, usando un principio multiplicativo. Progresivamente este sistema tico fue reemplazado por el jnico, que empleaba las 24 letras del alfabeto griego junto con algunos otros smbolos segn la tabla siguiente.

De esta forma los nmeros parecen palabras, ya que estn compuestos por letras, y a su vez las palabras tienen un valor numrico, basta sumar las cifras que corresponden a las letras que las componen.

Esta circunstancia hizo aparecer una nueva suerte de disciplina mgica que estudiaba la relacin entre los nmeros y las palabras.

En algunas sociedades como la juda y la rabe, que utilizaban un sistema similar, el estudio de esta relacin ha tenido una gran importancia y ha constituido una disciplina aparte: la kbala, que persigue fines msticos y adivinatorios.

MARCO TERICO

I.NOCIONES PRELIMINARES:A.NUMERACIN: Es la parte de la matemtica que estudia la formacin, representacin y conteo de los nmeros.

B.NMERO: Idea o abstraccin de una cantidad observada en la realidad concreta.

C.NUMERAL: Es la representacin simblica o figurativa del nmero.

D.BASE DE UN SISTEMA DE NUMERACIN:

Es un nmero entero y mayor que la unidad, el cual nos indica la cantidad de unidades suficientes y necesarias de un orden cualquiera para formar una unidad de orden inmediato superior.

Aplicacin: Si tuviera 13 bolitas.

Sobra 3

Base 10

13

Un grupo de 10

Sobra 3

23

(5)

Dos grupos de 5

II.CONSIDERACIONES IMPORTANTES:

A)PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACION

BaseSistemaCifras Disponibles

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12Binario

Ternario

Cuaternario

Quinario

Senario

Heptanario

Octanario

Nonario

Decimal

Undecimal

Duodecimal0, 1

0, 1, 2

0, 1, 2, 3

0, 1, 2, 3, 4

0, 1, 2, 3, 4, 5

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, (, (

Cifras auxiliares

( = 10 ( = 11 ( = 12

( = 13 ( = 14

B)En todo nmero se cumple:

*Base > cifra

*Cifra mayor = Base - 1

*Si se expresa en dos sistemas de numeracin A mayor representacin aparente corresponde menor base y viceversa.

C)REPRESENTACION LITERAL DE LOS NUMEROS

Cuando no se conocen las cifras de un numeral se representan mediante letras colocando una raya horizontal arriba de las letras. Adems:

I.Toda expresin entre parntesis representa una cifra.

II.La primera cifra de un numeral debe ser diferente de cero.

III.Las letras diferentes no necesariamente indican cifras diferentes, salvo que lo sealen.

Ejemplos:

*

numeral de 2 cifras (10, 11, 12, . . . . , 99)

*

numeral de 3 cifras (100, 101, . . . . , 999)

*

numeral de 3 cifras iguales (111, . . ., 999)

*

numeral de tres cifras de base n.

D)NUMERAL CAPICA: Aquel que ledo de izquierda a derecha o viceversa se lea igual.

Ejemplo : ; ; ; ; ;;; ; ; , etc.

E)DESCOMPOSICION POLINOMICA DE UN NUMERAL:

Consiste en expresar a un numeral mediante la suma de los valores relativos de cada una de sus cifras.

Aplicacin:

EN BLOQUES:

III.CAMBIOS DE BASE:

Caso I:

De base n a base 10 (n ( 10)

Se hace descomposicin polinmica o Ruffini.

Ejemplo: Convertir: 213(4) a base 10.

Caso II:

De base 10 a base n (n ( 10)

Se usa divisiones sucesivas.

Ejemplo: Convertir: 378 a base 6

378 6

18 63 6

0 3 10 6

4 1

378 = 1430(6)

Caso III:

De base n a base m (n ( m ( 10)

El nmero dado se lleva al sistema decimal y luego al sistema pedido.

Ejemplo: Convertir: 234(7) a base 5

Paso 1:

Paso 2: 123 a base 5

123 5

23 24 5

3 4 4

IV.CASOS ABREVIADOS DE CONVERSION

A.De base n a base

Se le separa en grupos de k cifras de derecha a izquierda y cada grupo se descompone polinmicamente.

Ejemplo:

Expresar: 111101101 (2) a base 8

B.De base a base n

Dado el nmero de cada cifra se obtiene k cifras al convertirse a base n.

Ejemplo: Convertir a base 2

Base

Cada cifra debe generar 3 cifras en base 2.

Base 8: 7 4 5

Base 2: 111 100 101

V.PROPIEDADES:

I.Numeral de cifras mximas:

k cifras

Ejemplo:

II.Para bases sucesivas, bases de bases

= n + (a + b + c + . . . + x)

PRCTICA DE CLASE

UNMSM 2005 - I1.Cuantos nmeros pares de tres cifras se pueden formar utilizando los dgitos 1, 3, 6, 7, 8 y 9?

A) 36 B) 20C) 40

D) 72 E) 84

UNMSM 2007 - I2.Cuantos nmeros de tres cifras no contienen al 2 ni al 5 en su escritura?

A) 567B) 512C) 528

D) 448E) 568

UNI 2006 - II3.De la igualdad , calcule el valor de a + b+ n

A) 11B) 12C) 13

D) 14E) 15

UNI 2008-II4. Sabiendo que es 0 el cero, a 0, determine la suma (a + b + c).

A) 12B) 13C) 14

D) 15E) 16

UNT 2005 II AREA (A) EXCELENCIA 2001

5. Si , entonces el valor de (c a) (b d) es:

A) 4

B) 9

C) 12

D) 18

E) 0

I SUMATIVO (Abril Agosto 2007)

6. El cudruplo de un nmero es de la forma Pero si a dicho nmero se Le multiplica por 3 y luego se le divide entre 2 se obtiene . El valor de (a-b) A) 7 B) 9

C) 1

D) 3 E) 5

EXCELENCIA 2005 I

7. Si y entonces la suma de las cifras de N es:

A) 25

B) 28

C) 26

D) 29

E) 27

UNT 2005 II AREA (A)8.En el sistema octal un nmero de 5 cifras empieza en 2. Si se suprime ese 2 el nmero que resulta es 1/9 del nmero original. La suma de las cifras de dicho nmero expresada en base 10 es:

A) 12B) 14C) 16

D) 17 E) 18

UNT 2003 AREA (A)9.Un nmero de tres cifras del sistema de base 7 se escribe en el sistema de base 9 con las mismas cifras, pero colocadas en orden inverso.

La suma de las cifras de este nmero es:

A) 5B) 6C) 7

D) 8E) 9

UNI 2001 - II

10Si al nmero 1573 dado en base n, lo pasamos a la base (n +1); entonces la suma de las cifras en la base (n + 1) es

A) 2n + 1B) 3

C) 2

D) n + 3E) n + 1

11. Exprese el numeral 1964nen la base (n+1) y d como respuesta la suma de las cifras.

A) n + 5 B) n + 3 C) n + 6

D) n + 4 E) n + 2

UNI 2010- I12. En Cuntos sistemas de numeracin el numero 1234 se escribe con tres cifras?

A) 23B) 24C) 25

D) 26E) 27

13. En cuntos sistemas de numeracin el nmero 563 se escribe como un numeral de 3 cifras?

A) 12 B) 14 C) 16

D) 17 E) 15

I SUMATIVO (Mayo Set. 97)

14. Si:

El valor de k es:

A) 2 B) 3C) 4

D) 5

E) 6

15. Hallar k si:

A) 3

B) 4 C) 5

D) 6

E) 7

16.Sabiendo que:

Hallar: a + n

A) 36 B) 39 C) 41

D) 42 E) 45

I SUMATIVO (Oct. 97 Feb. 98)

17. El valor de la siguiente expresin

A) B)

C)

D) E) 18.Si N = 2(17)4 + 4(17) + 2 (17)3 + 26 el nmero N en base 17 se escribe:

A) 22405(17)

B) 20425(17)

C) 22459(17)

D) 22095(17)

E) 22059(17)19. Escribir:

En base 4. Cuntos ceros tiene A?

A) 10

B) 11

C) 9

D) 13

E) 14

20. Si se cumple que :

Hallar : a + b + c + m + n

A) 12 B) 17 C) 15

D) 16 E) 18

PRCTICA DOMICILIARIA

I Sumativo (Abril Agost 2008) Area A

1. Si: , entonces el valor de a x b x n , es:

A) 96

B) 98

C) 104

D) 128

E)144

2.Si , halle (a + b)

A) 6

B) 7

C) 8

D) 9

E) 10

I Sumativo (Abril Agost 2008) Area A

3. Si , el valor de a + k; es:

A) 8

B) 10

C) 12

D) 14

E) 16

4.Se sabe: .

Hallar (a + b + c)

A) 9

B) 11

C) 8

D) 13

E) 15

5.Dado que , halle (a + b + c)

A) 11

B) 12

C) 13

D) 14

E) 15

6. Si

Calcule a + b + n

A) 9

B) 10

C) 11

D) 12

E) 13

7.Expresar el numero 3465(n) en el sistema de numeracin de base (n+1)

A) 2470 (n+1)

B)

C)

D)

E) UNT 2005 I (rea B)

8. El total de sistemas de numeracin donde el numeral 125 se puede representar como un numeral de 3 cifras.

A) 4

B) 6

C) 8

D) 10

E) 12

I SUMATIVO (ABRIL-AGOSTO2004)

9. La cantidad de sistemas de numeracin en los que se puede escribir el nmero 67 con dos cifras es;

A) 58

B) 59

C) 65

D) 57

E) 62

10.

n cifras iguales

Hallar: N =expresado en base 10.

A) 2193

B) 2196

C) 2396

D) 2196

E) 2176

11.Hallar x:

A) 32

B) 34

C) 33

D) 92

E) N.A.

EXCELENCIA 1995

12. El resultado de efectuar:

3215 + 4053 + 1402 + 241, en base seis es:

A) 13535

B) 31335

C) 15335

D) 13355

E) N.A.

EXCELENCIA 1994

13. Los nmeros y estn expresados en base 4, hallar su producto.

A)

B)

C)

D)

E)

14.Si los siguientes numerales:

; estn bien representados, Calcular: a + b + c

A)4

B)5

C)6

D)7

E)8

CLAVES

1A2C3B4A

5A6C7C8B

9B10B11A12D

13D14C1516

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