Solar Termica

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ENERGIAS ALTERNATIVAS ENERGÍA SOLAR TÉRMICA UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA MECÁNICA ELÉCTRICA

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ENERGIAS ALTERNATIVAS

ENERGÍA SOLAR TÉRMICA

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA MECÁNICA ELÉCTRICA

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a energia do dia

CONTENIDO:• Introducción.• Energía solar térmica.• El colector solar.• Conducciones.• Almacenamiento: Acumuladores• Intercambiadores.• Bombas.• Aislamiento.• Otros elementos.• Elaboración de un proyecto sobre energíasolar térmica.• Cálculo de la superficie colectora.• Cálculo de los elementos de una instalación.

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ENERGÍA SOLAR TERMICA

INTRODUCCIÓN

El uso de la radiación solar por el hombre como fuente de energía

requerida para la satisfacción de necesidades diversas es una practica

que tal vez tiene su misma edad. Han transcurrido miles y miles de años y

el sol sigue tan intenso y seguira asi por algunos millones de años más.

La utilidad energética de la radiación solar ya no es solo una esperanza o

una posibilidad. Es una realidad que va mucho más allá de la

conveniencia de su uso. Es ahora una nececidad imperiosa para

contribuir con el desarrollo de nuestros pueblos por que su uso no genera

contaminación ambiental, existe en todos los lugares de la tierra y no se

agotara antes que el hombre desarrollo un sistema global de suministro

energético limpio y sostenible.

El complemento de esta realidad es la tecnología uno de cuyos

componentes de importancia singular es el equipamiento o artefacto a

través del cual esperamos aprovechar esta fuente inagotable de energía

Page 4: Solar Termica

ENERGÍA SOLAR TERMICA

CONVERSIÓN DE LA ENERGÍA SOLAR

Hoy por hoy son muchas y muy variadas las alternativas el uso de laES., la fig., 1 muestra y precisa el marco general de esta opcióntecnológica, dentro de las que se ubican los sistemas térmicos debaja temperatura.

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CONVERSIÓN DE LA ENERGÍACONVERSIÓN DE LA ENERGÍA SOLAR

FOTOTÉRMICA FOTOQUÍMICA FOTOVOLTAICA

CALOR ELECTRICIDADALMACENAMIENTO

TÉRMICO

ENERGÍA QUIMICA

CELDA SOLARCOLECTOR SOLAR

CONVERSIÓNTERMOELÉCTRICA

MOTOR A CALOR

CONVERSIÓN TERMOIÓNICA

REACTOR SOLAR

Page 6: Solar Termica

ENERGÍA SOLAR TERMICA

La energía térmica o calorífica, conocida como calor es unaforma particular de la energía, está relacionado con elmovimiento mas o menos desordenado de las partículasque componen los cuerpos materiales.

Para evaluar la cantidad de energía térmica que un cuerpopuede ser capaz de transferir a otro se introduce elconcepto de temperatura, que es una magnitud asociada acada estado de un cuerpo tal que la igualdad de esta parados cuerpos es condición necesaria y suficiente para queentre ellos no se produzca en forma natural transferencia deenergía térmica.

El calor se manifiesta, pues, únicamente cuando existe unadiferencia de temperatura entre dos cuerpos, es decir, unadiferencia de su nivel térmico

ENERGÍA SOLAR TÉRMICA

Page 7: Solar Termica

COLECTORES SOLARES

EL COLECTOR SOLAR PLANO

CORTE TRANSVERSAL DEL COLECTOR PLANO

Avidro=Aabsorção perdas elevadas

Grande ângulo de aceitação colector estacionário

Capta radiação directa e difusa

Temperaturas < 50ºC

Page 8: Solar Termica

COLECTOR SOLAR PLANO DE TUBOS DE VACÍOTUBOS DE VÁCUO

Absorvedor em vácuo perdas baixas

Grande ângulo de aceitação colector estacionário

Capta radiação directa e difusa

Temperaturas > 50ºC

COLECTORES SOLARES

Page 9: Solar Termica

COLECTORES SOLARES

CONCENTRADOR

Acaptação >> Aabsorção concentrador

Ângulo de aceitação ~1º “Seguir” o Sol

Capta apenas radiação directa

Temperaturas > 200ºC

Page 10: Solar Termica

COLECTORES SOLARES

COLECTOR PLANO CPC (Concentrador Parabólico Composto)

1. Perfil de alumínio anodizado;2. Vedante de borracha E.P.D.M.;3. Isolamento em poliuretano expandido

livre de CFCs; 4. Alheta selectiva em ambas as faces;5. Chapa de poliestireno; 6. Vidro temperado c/ 3 mm de espessura;7. Tubo de cobre 22mm; 8. Alumínio espelhado de alta reflectividade;

Page 11: Solar Termica

COLECTORES SOLARES

vidroabsorvedor

isolamento

caixa

Avidro > Aabsorção Concentrador

Ângulo de aceitação amplo“Segue” o Sol

Capta radiação directa e difusa

Temperaturas até 100ºC

Grelha

menor área => menor factor de perdas térmicas (w/m2.ºC)

Superfície selectiva (ambas as faces)

Coeficiente de emissão muito baixo

Coeficiente de absorção muito elevado

Page 12: Solar Termica

RENDIMIENTO DE COLECTORES

RECTA DE RENDIMENTO

Temp. ambiente = 25ºC;

Irradiação Global horizontal = 1000 W/m2;

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

25 35 45 55 65 75 85 95 105 115 125 135 145 155 165 175 185 195

Tf

preto baço s/ cobertura preto baço c/ cobertura

selectivo CPC

piscinas, estufas

AQS, pré-aquecimento industrial

pré-aquecimento industrial, frio

Page 13: Solar Termica

FUNCIONAMIENTO DEL COLECTOR

TIPO DE SISTEMAS SOLARES TÉRMICOS

Transferência de energia utilizando a circulação natural do fluido (pela diferença de densidade);

Dispensa sistema de controlo;

Dispensa sistema de bombagem;

Transferência de energia utilizando a circulação forçada (bomba circuladora);

Necessita de sistema de controlo;

Necessita de sistema de bombagem;

Page 14: Solar Termica

INCLINACION DE LOS COLECTORES

CAMPO DE COLECTORES - INCLINAÇÃO

Verão

Inverno

Verão (hotéis de temporada) Lat - 15º

Utilização Inclinação

Anual (doméstico, outra não sazonal) Lat (15° 50’) – 5º

Inverno (aquecimento) Lat + 15º

Page 15: Solar Termica

POSICIÓN DE LOS COLECTORES

CAMPO DE COLECTORES - INCLINAÇÃO

O posicionamento dos colectores determina a quantidade de radiação solar aproveitável ao longo do período de utilização anual.

A orientação que maximiza a quantidade de radiação aproveitável coincide com o Norte geográfico.

OE

S

N5º

N magnético

Page 16: Solar Termica

CAMPO DE COLECTORES - SOMBRAS

Determinação das zonas de sombreamento ao longo do ano:

E

O

S

N

as = -15º 50’

as = -5º

h = 10º

ZONAS DE SOMBREAMIENTO

Page 17: Solar Termica

As projecções estereográficas permitem determinar zonas de sombreamento ao longo do ano:

PROYECCIONES ESTEREOGRÁFICAS

Puno: lat aprox. 16º

-40º

35º

h < 11º

-16º < as < -5º

E

N

-15º

Page 18: Solar Termica

POSICIÓN DEL SOL

DIAGRAMA SOLAR PARA PUNO

Para conocer cuál es la

posición del sol en cada

instante es necesario y

suficiente conocer cuanto

valen las coordenadas

que la definen como son

su azimut y su altura.

Estos ángulos dependen

de la latitud, la hora y el

día del año.

Page 19: Solar Termica

CAMPO DE COLECTORES – DISTANCIA ENTRE FILAS

A distancia entre filas de colectores deve garantir que às 12:00 horas solares do dia mais desfavorável (21 de Dezembro) a sombra da aresta superior duma fila tem que projectar-se, no limite, sobre a aresta inferior da fila seguinte.

zh0

d1 d2

d

Lh0 = ( 90º - lat ) - 23.5º

d = d1 + d2

Solstício de Inverno

= z / tan h0 + z / tan b

d = L (sen b / tan h0 + cos b)

POSICIÓN DEL SOL

Page 20: Solar Termica

ACUMULAÇÃO SOLAR

O carácter não permanente do recurso solar torna imprescindível a utilização de um equipamento para acumulação da energia recolhida ao longo de um período, regra geral, diário: o depósito, que deverá assegurar:

Reduzidas perdas térmicas;

Volume adequado;

Temperatura de utilização adequada;

Rápida resposta ao consumo;

Boa integração no edifício;

Baixo custo;

Longa duração;

Segurança;

TANQUE DE ALMACENAMIENTO

Page 21: Solar Termica

PERMUTADORES DE CALOR

PERMUTADOR DE CAMISA PERMUTADOR DE SERPENTINA

Nas aplicações relacionadas com a energia solar térmica, recomenda-se uma potência de permuta de 750 W/m2 de colector.

Apresenta baixa eficácia (0,35);

Utilizado para pequenos volumes;

Apresenta média eficácia (0,55);

Utilizado para pequenos e médios volumes;

INTERCAMBIADOR DE CALOR

Page 22: Solar Termica

PERMUTADOR DE PLACAS Apresenta a maior eficácia (0.75);

Utilizado em médios/grandes volumes;

São moduláveis podendo acrescentar-se placas consoante necessidades futuras;

Na utilização em piscinas deverá escolher-se um permutador de material resistente à corrosão causada pelo tratamento da água.

Não esquecer que necessitam de isolamento térmico;

Possibilidade de limpeza (placas desmontáveis);

Perda de carga mais elevada;

INTERCAMBIADOR DE CALOR

Page 23: Solar Termica

BOMBAS CIRCULADORAS

BOMBAS PARA CIRCULACION FORZADA

Page 24: Solar Termica

CONTROLO

CD

T1

T2

I/O

DT arranque

DT paragem

T1 – T2 ≈ 2 ºC

T1 – T2 ≈ 5 ºC

CONTROL DE BOMBA

Page 25: Solar Termica

FLUIDO DO CIRCUITO PRIMÁRIO

Mistura de água com anti-congelante;

Não tóxico;

Propriedades anti-corrosivas;

ANTICONGELANTE Y ANTICORROSIVOS

Page 26: Solar Termica

ESQUEMA UNIFILAR

CD

utilização

1

2

3

4 5

5

5

6

6

7 7

7

7

7

7

8

9

5

ELEMENTOS PARA CIRCULACIÓN FORZADA

Page 27: Solar Termica

Purgador Solar

ACESSÓRIOS

Válvula de corte p/ purgador

Separador de micro-bolhas

Misturadora termostática

Válvula de segurança Válvula de corte com retenção Vaso de expansão

EQUIPOS Y ACCESORIOS

Page 28: Solar Termica

INTRODUCCIÓN GENERAL

DISEÑO DEL PERFIL PARA UN COLECTOR

SOLAR PLANO CPC

Colectores de Concentración

El principio es el de concentrar mediante procedimientosópticos, la energía que irradia el sol entra al colectorconcentrador, a través de una superficie determinada esreflejada, refractada o absorbida por una supercie menor,para luego ser transformada en energía térmica.

La ventaja importante de este tipo de colector es ante todo lareducción de las pérdidas térmicas en el receptor, pues al seréste de menor supercie habrá menos área para la radiacióndel calor y por lo tanto el líquido que circula por el receptorpuede calentarse a mayores temperaturas con unrendimiento razonable.

Page 29: Solar Termica

INTRODUCCIÓN GENERAL

DISEÑO DEL PERFIL PARA UN COLECTOR

SOLAR PLANO CPC

Las reflexiones y refracciones extras de la radiación solarhacen aumentar las pérdidas ópticas y entonces las curvasrepresentativas del rendimiento, parten de ordenadas en elorigen menores que las de un colector plano, pero no tienenla pendiente pronunciada, característica de estos últimos .

Tipos de Colectores ConcentradoresSe clasifican en dos categorías básicas:

a. Los de enfoque:

b. Los fijos o semijos:

Page 30: Solar Termica

INTRODUCCIÓN GENERAL

• Los de enfoque: Los concentradores de enfoque constan

fundamentalmente de tres partes: el concentrador o sistema

óptico, el receptor donde se encuentra el receptor

(absorbedor) y un mecanismo de seguimiento para el sol y

con ellos se puede lograr altas temperaturas en el

absorbedor

• Los fijos o semijos: Tienen las mismas partes que de los de

enfoque con la única diferencia que estos no poseen un

mecanismo de seguimiento, estos concentradores son

estacionarios, con algunas variaciones.

Y a su vez estos concentradores son de foco lineal (2D) y

foco puntual (3D).

Page 31: Solar Termica

INTRODUCCIÓN GENERAL

COMPONENTES

PRINCIPALES :

- Reflector cilíndrico

parabólico

- Tubo absorbente

- Sistema de seguimiento

del sol

- Estructura metálica

COLECTORES SOLARES DE ENFOQUE DE FOCO LINEAL (CCP)

Page 32: Solar Termica

INTRODUCCIÓN GENERALCOLECTORES SOLARES FIJOS Y SEMIFIJOS DE

FOCO LINEAL (CPCs)

COMPONENTES

PRINCIPALES :

- Reflector parabólico

compuesto

- Receptor (absorbedor)

- Sistema estacionario

- Estructura metálica

reflectores

receptor

estructura

reflectores

caja

estructura

receptores

Page 33: Solar Termica

INTRODUCCIÓN GENERAL

COLECTORES SOLARES DE ENFOQUE (FOCO PUNTUAL)

COMPONENTES

PRINCIPALES :

- Reflector paraboloide

- Receptor puntual

- Sistema de seguimiento

del sol

- Estructura metálica

receptorreflector

estructura

Page 34: Solar Termica

INTRODUCCIÓN GENERALTipos de Receptores en los Concentradores

Los de foco lineal: Son aquellos

concentradores diseñados en dos

dimensiones (2D), que tienen su foco

(receptor) lineal, estos pueden ser

con seguimiento y sin seguimiento.

Los de foco puntual: Son

aquellos concentradores diseñados

en tres dimensiones (3D), que tienen

su foco (receptor) puntual, estos son

con seguimiento.

Page 35: Solar Termica

CLASIFICACION DE LA RAZON DE CONCENTRACION

Razón de concentración máxima teórica (Cmax): Se

establecen los límites superiores para la razón de concentración

en sistema 2D.

Cmax = 1/senθ

Razón de concentración geométrica (Cg): Viene ha ser la

relación del área de captación (Ac) entre el área del receptor (Ar)

en 2D.

Cg = Ac/Ar

Razón de concentración óptica de concentración

(Copt_conc): Es la razón del número de rayos que inciden y el

número de rayos absorbidos en el receptor.

Cg = Nº rayos que inciden/Nº rayos absorbidos

Page 36: Solar Termica

Colector tipo CPC Colector Plano

Ar < Ac Ar = Ac

Pérd. térm. proporcional a Ar Pérd. térm. proporcional a Ar

C > 1 C = 1

Capta radiación difusa Capta radiación difusa

Temp. más elevadas Temp. menos elevadas

Menor peso, Para una misma área Mayor peso de aceptación

95Lt/m2 60Lt/m2

varias aplicaciones pocas aplicaciones

Menor ángulo Mayor ángulo

Fijo, semifijo, seguimiento Fijo

COMPARACION ENTRE COLECTOR CPC Y PLANO

Page 37: Solar Termica

Concepción de Diseño del Perfil CPCEl diseño del colector tipo CPC en 2D, conocido también como

colector de Winston.

Basado en un principio de diseño general por aumentar al

máximo la razón de concentración C, para la radiación dentro

de un ángulo medio de aceptación dado +- θ.

El CPC concentra la radiación solar de una forma ideal máxima,

esto es, en los límites permitidos por las leyes de la Física

(reflexión, refracción), es decir la razón de concentración (C),

de un concentrador en 2D, también está en función del

semiangulo de aceptación (θ), entonces para un CPC:

DISEÑO DEL PERFIL CPC

C =1/Senθ=Ac/Ar.

Page 38: Solar Termica

ECUACIONES BÁSICAS PARA DETERMINAR EL PERFIL DEL CPC

Ecuación Polar del Círculo (Envolvente)

rSenY

rCosX

Geometría y Ecuación de la Parábola

2/1cos1

22sen

ffr

Page 39: Solar Termica

a energia do dia

2/1cos1

22sen

ffr

Una forma paramétrica más compacta usando la ecuación polar

de la parábola

senasenfsen

x ´cos1

)(2 max

´coscos1

)(cos2 max asenf

y

Page 40: Solar Termica

a energia do dia

)1´( maxsenaf

1)3)(1(´)2(cos2

)1(2)cos(

maxmax

2

maxmax

2

max

2

maxmax

sensenaysena

xsenaysenx

´cos1

)(2 max afsen

x

Por rotación de ejes y traslación del origen se obtiene la

ecuación de la sección meridiana de la parábola del CPC. En

términos del diámetro 2a’ de la abertura de salida y el

semiángulo de aceptanción (θ).

cos1

)cos(2 maxfy

Page 41: Solar Termica

EL PRINCIPIO DE LOS RAYOS DE BORDE

Denominado también principio de rayos extremos, con razón de

concentración que se acerca al valor teórico máximo, para el CPC

2D. da el cual hace que todos los rayos del ángulo de la entrada

extremo cae sobre el borde del receptor, es decir que los rayos

entran al ángulo máximo 2θ que serán tangentes a la superficie

del receptor (absorbedor) después de una reflexión.

Los Concentradores los cuales pueden diseñarse para satisfacer

este principio alcanzan o muy estrechamente se aproximan a la

concentración permisible máxima (Cmax) para un campo angular.

FORMA BÁSICA DEL CPC

Page 42: Solar Termica

a energia do dia

A

B CC

Curva circular (envolvente)

con centro en el punto CC

Curva parabolica

con foco en el punto CC

y con eje focal inclinado

grados

Curva parabolica

con foco en el punto A

y con eje focal inclinado

grados

Curva parabolica truncada

con foco en el punto B

y con eje focal inclinado

grados

Angulo de

aceptación

Rayos extremos (o de borde)

siempre que δ > θ

Page 43: Solar Termica

FORMULAS PARA EL TRUNCAMIENTO DEL CPC

Si nosotros truncáramos el CPC quitando parte de la abertura

final de entrada, nosotros obtenemos una reducción considerable

en la altura del CPC, reduciéndose la razón de concentración

máxima teórica (Cmax), mínimamente entonces esta reducción

de la altura, es compensado

económicamente por el ahorro en la plancha de receptor.

Por tanto las relaciones deseadas en términos del sistema de

coordenadas polares (r,Ø ) para diseño en geometría 2D.

´

2

12

a

sen

senfa

T

iTT

´

2

1

cos

2

a

sen

fh

T

iT

T

Ancho de truncamiento:

Altura de truncamiento:

Page 44: Solar Termica

max

min

)1('21arccos

r

sena

Angulo de coordenada polar mínimo:

Distancia del foco Q a un punto P del concentrador

Distancia del foco Q a un punto Pmax. del concentrador

T

iTT

sen

fL

2

1

)cos(

2

cos1

)1('2 senar

sen

aar

)'(max

Longitud de truncamiento del reflector:

Page 45: Solar Termica

Diseño del Perfil CPC

Los clásicos diseños de rayos extremos, exigen al reflector y

receptor estar juntos. Sin embargo, esto puede ser indeseable

por las razones prácticas tal como la necesidad de aislar el

receptor térmicamente de sus alrededores (espejos reflectores),

es decir que provocaría un deterioro prematuro del receptor por

las altas temperaturas alcanzadas en el receptor.

En los diseños se han encontrado vacíos entre el receptor y el

reflector, que permiten aislar esto . El diseño depende de la

forma del receptor que se elija. De tal manera es posible diseñar

una óptica ideal (2D), para cualquier tipo de receptor. En este

caso los cálculos se inician a partir de un receptor de sección

triangular que será el receptor ideal.

El criterio más importante para el diseño del colector CPC en

(2D), es escoger un ángulo de aceptación, de tal forma que se

garantice que luego de orientado hacia el sol no necesite

reorientación.

Page 46: Solar Termica

Parámetros de Cálculo para el Diseño del CPC

Replanteando las ideas anteriores debemos

seleccionar un CPC que tenga una razón de

concentración máxima ideal (Cmax), que este

dentro del límite (1 < C < 2), de tal manera que no

requiera seguimiento durante el día, mayor ángulo

de aceptación posible y que sea truncada a una

altura tal que se logre usar menos reflectores. La

razón de concentración es inversamente

proporcional al ángulo de aceptación por lo tanto

debemos buscar un punto de equilibrio. Para

diseñar el perfil del CPC, se ha implementado un

programa informático (CPC-nonimaging),

desarrollado en el software MATHEMATICA.

Page 47: Solar Termica

Selección del receptor comercial circular.

El receptor circular debe ser lo mas pequeño posible de manera

que no disminuya la capacidad térmica del mismo, porque a

mayor tamaño de receptor mayor perdida por convección y

radiación y la vez la concentración óptica disminuye.

Se selecciona tubería de cobre de 1/2"Ø, comercial.

Ingreso de parámetros de cálculo.

Page 48: Solar Termica

Secuencia del Trazado de las Curvas del Perfil CPC

Primero: receptor ideal y real

Page 49: Solar Termica

Segundo

Tercero

Porción de curva circular (envolvente)

Primera porción de parábola.

Page 50: Solar Termica

a energia do dia

Quinto

Cuarto

Tercera porción de parábola con receptor

ideal

Segunda porción de parábola con receptor

ideal

Page 51: Solar Termica

Sexto: Perfil CPC truncado final ideal

Page 52: Solar Termica

Sétimo: Perfil del CPC truncado con receptor circular con aletas

Page 53: Solar Termica

Resultado de parámetros de cálculo.

Ejemplo de cálculo de diseño del perfil CPC.

Page 54: Solar Termica

Reflectores de

aluminio

Receptor circular

con aletas

LCPC

Ancho de entrada

Ancho de receptorhT

Distancia de reflector

a receptor

LT

Esquema isométrico y de frente del CPC

Page 55: Solar Termica

a energia do diaDimensiones del cálculo correspondiente al procesode diseño del colector CPC, en mm.

Page 56: Solar Termica

Ingreso de parámetros para el Ray-tracing

Concepto del ángulo de barrido para el trazo de rayos

Angulo de barrido significa el ángulo en la cual el programa

simula que los rayos solares inciden en el colector. Por ejemplo

si el ángulo de aceptación de un colector es de 30°, el

programa simula que los rayos inciden en este con un ángulo

menor, por ejemplo 29°, 20°, etc.,

y calcula el total de rayos que inciden en el receptor entre el

total de rayos que ingresan al CPC, que seria la efic. Opt. De

concentración.

Page 57: Solar Termica

Si el receptor es ideal este valor seria 100%, pero cuando

uno cambia la forma del receptor este valor varia, y se tiene

que tener en cuenta que este debe ser lo mas pequeño

posible de manera que no disminuya la capacidad térmica

del mismo, porque a mayor tamaño de receptor mayor

perdida por convección y radiación y la vez la

concentración óptica disminuye.

Si al cambiar la forma del receptor se incrementa la

eficiencia óptica significa que el receptor a crecido, uno

puede incrementar tanto como quiera hasta que la

eficiencia óptica sea siempre 100%, pero se pierde

eficiencia térmica.

Cont. Concepto del ángulo de barrido para el trazo de rayos

Page 58: Solar Termica

Simulación del trazo de rayos para el receptor ideal y real.

Ángulo de incidencia 30°

Ángulo de incidencia 15°

Page 59: Solar Termica

Ángulo de incidencia 0°

Page 60: Solar Termica

Ángulo de incidencia 30°

Ángulo de incidencia 15°

Page 61: Solar Termica

Simulación del trazo de rayos para el receptor real.

Ángulo de incidencia 30°

Ángulo de incidencia 15°

Page 62: Solar Termica

Ángulo de incidencia 0°

Page 63: Solar Termica

Ángulo de incidencia 15°

Ángulo de incidencia 30°

Page 64: Solar Termica

Terminado la secuencia del Ray-tracing, se obtienen losresultados de la razón de concentración óptica y laeficiencia óptica de concentración del CPC ideal y real(receptor circular con aletas)

Page 65: Solar Termica

DIMENSIONAMIENTO Y CONSTRUCCIÓN DEL

COLECTOR SOLAR (CPC)

RECEPTOR

En este modelo, el receptor del colector esta formado por

tres tuberías con aletas cuyo esquema general se muestra

en la figura siguiente.