LOS SÓLIDOS PLATÓNICOSLos sólidos platónicos, también conocidos como cuerpos platónicos, cuerpos cósmicos, sólidos pitagóricos, sólidos perfectos, poliedros de Platón o, con más precisión, poliedros regulares convexos; son cuerpos geométricos caracterizados por ser poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cuyos vértices se unen el mismo número de caras*.

Reciben estos nombres en honor del ! lósofo griego Platón (circa 427 AC / 428 AC – 347 AC), al que se atribuye haberlos estudiado en primera instancia.

Esta lista es exhaustiva, ya que es geométricamente imposible construir otro sólido diferente de los anteriores que cumpla todas las propiedades exigidas, es decir, convexidad y regularidad.

* En Geometría, los sólidos de caras planas reciben el nombre de "poliedros". (En griego, polys = "múltiples" y hedra = "cara".) Los poliedros cuyas caras son polígonos regulares [1] iguales se llaman poliedros regulares. [1] Figuras planas de lados y ángulos iguales.

Los poliedros regulares son cinco.

Sólidos Platónicos(regulares)

Tetraedro Hexaedro (Cubo) Octaedro Dodecaedro Icosaedro

Sólidos Platónicos(regulares)

Razonamientos que fundamentan el que sean sólo cinco Poliedros Regulares (Platónicos):

1.- Cada vértice debe ser común por lo menos a tres caras para que se forme un sólido. (Si fuera común a dos, las caras estarían pegadas y no tendríamos un sólido.)

2.- La suma de los ángulos interiores de las caras que se encuentran en cada vértice debe ser menor que 360°, de manera que la !gura se cierre, que no sea plana.

3.- Dado que cada ángulo interior de un triángulo equilátero mide 60°, tomando en cuenta lo señalado en los puntos (1) y (2), en un vértice podrían concurrir tres, cuatro o cinco de ellos. Ésos son los casos del tetraedro, el octaedro y el icosaedro, respectivamente. Cada ángulo interior de un cuadrado mide 90°, de modo que sólo podemos hacer coincidir tres de ellos en cada vértice. Ése es el caso del cubo. Los ángulos interiores del pentágono regular miden 108°. Poniendo tres de ellos en cada vértice se obtiene un dodecaedro. Con los polígonos siguientes ya no es posible formar poliedros regulares: los ángulos interiores de una hexágono miden 120° y no es posible poner tres juntos sin llegar al límite de 360°; los ángulos interiores de los siguientes son aun mayores.

EsquemaEl Teorema de poliedros de Euler ! ja que el número de caras de un poliedro platónico más su número de vértices es siempre igual a su número de aristas más dos, es decir:

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c + v = a + 2

HISTORIALas particulares propiedades de estos poliedros son conocidas desde la antigüedad clásica, hay referencias a unas Bolas Neolíticas de piedra labrada encontradas en Escocia 1000 años antes de que Platón hiciera una descripción detallada de los mismos en Los elementos de Euclides. Se les llegaron a atribuir incluso propiedades mágicas o mitológicas; Timeo de Locri, en el diálogo de Platón dice “El fuego está formado por tetraedros; el aire, de octaedros; el agua, de icosaedros; la tierra de cubos; y como aún es posible una quinta forma, Dios ha utilizado ésta, el dodecaedro pentagonal, para que sirva de límite al mundo”.

Los antiguos griegos estudiaron los sólidos platónicos a fondo. Algunas fuentes (como Proclo) atribuyen a Pitágoras su descubrimiento. Otra evidencia sugiere que sólo estaba familiarizado con el tetraedro, el cubo y el dodecaedro, y que el descubrimiento del octaedro y el icosaedro pertenecen a Teeteto, un matemático griego contemporáneo de Platón. En cualquier caso, Teeteto dio la descripción matemática de los cinco poliedros y es posible que fuera el responsable de la primera demostración de que no existen otros poliedros regulares convexos.

Los poliedros en el NeolíticoEl signi!cado simbólico, místico y cósmico de los poliedros regulares se remonta a los primeros estadios de la Civilización. Critchlow (1979) da una prueba fehaciente de que ya eran conocidos por los pueblos neolíticos y por las primeras culturas históricas europeas, como muestran las siguientes ilustraciones:

tierra fuego Universo agua aire

Sólidos regulares neolíticos de Escocia (Ashmolean Museum de Oxford). Según Critchlow (1979), “lo que tenemos son objetos que indican claramente un grado de dominio de las matemáticas que hasta la fecha todo arqueólogo o historiador de la matemática le había negado al hombre neolítico”.

Ver: http://www.hunterian.gla.ac.uk/collections/museum/online_exhibitions/stones/objects/objects.shtml

1. Esfera tetraédrica neolítica (Keith Critchlow: Time Stands Still).

2. Dodecaedro etrusco (500 a.C. Landes-Museum. Mainz, Alemania). Probablemente usado como juguete.

3. Icosaedro romano (Rheinisches Landes-Museum. Bonn).

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El origen de estas piezas puede ser de índole estético, místico o religioso, pero también es posible que fueran observadas en la naturaleza en la forma de algunos cristales como los de pirita, o en esqueletos de animales marinos como la radiolaria.

Según Lawlor (1993), Gordon Plummer en su obra The Mathematics of the Cosmic Mind, a!rma que la mística hindú asocia el icosaedro con el Purusha, la semilla-imagen de Brahma, el creador supremo, la imagen del hombre cósmico, equivalente al antropocosmos de la tradición esotérica occidental, mientras que el dodecaedro es asociado con Prakiti, el poder femenino de la creación, la Madre Universal, la quintaesencia del universo natural. En la mitología hindú, Purusha y Prakiti son la eterna dicotomía creadora, representación mística de la dualidad geométrica entre el icosaedro y el dodecaedro. Diversos historiadores de las Matemáticas (Eves, 1983; Kline, 1992) admiten que las antiguas civilizaciones egipcias y babilónicas tenían conocimiento del cubo, tetraedro y octaedro y que este saber se trasmitiría a Grecia a través de los viajes de Tales y Pitágoras.

Los poliedros regulares y los griegos antiguosLos pitagóricos —que veían en los resultados matemáticos algo parecido a una verdad religiosa— consideraban muy importante la observación de que había sólo cinco poliedros regulares posibles. Muchos creen que fueron ellos quienes la hicieron por primera vez y por eso llaman "sólidos pitagóricos" a los poliedros regulares. (Lo más probable es que la demostración de esta a!rmación se deba a los miembros de esa escuela.) Sin embargo, los arqueólogos han hallado imágenes en piedra de los poliedros regulares considerablemente más antiguas.

Se cree que fue Empédocles quien primero asoció el cubo, el tetraedro, el icosaedro y el octaedro con la tierra, el fuego, el agua y el aire, respectivamente. Estas sustancias eran los cuatro "elementos" de los griegos antiguos. Luego Platón asoció el dodecaedro con el Universo pensando que, dado que era tan distinto de los restantes (¿por sus caras pentagonales?) debía tener relación con la sustancia de la cual estaban hechos los planetas y las estrellas. (Por entonces se creía que los cuerpos celestes debían estar hechos de un elemento distinto del que estaban hechas las cosas que rodean al hombre en la Tierra.) De aquí que a los poliedros regulares se los conozca también como sólidos platónicos.

El Timeo es un Diálogo de raíz pitagórica donde Platón expone su cosmogonía. Platón describe con abundancia de detalles cuáles son las formas fundamentales inteligibles que imponiéndose a una materia primitivamente informe, han presidido la concepción y realización del orden cósmico, en la génesis de todo cuanto nos rodea en la naturaleza, bajo la acción demiúrgica del Dios geómetra soberano, que dispuso los cuatro elementos en la forma y número que exige la necesaria y bella armonía matemática (53c-53d).

Según Platón (Timeo, 54a-55c), cuatro de los poliedros regulares –tetraedro, octaedro, icosaedro y cubo– que son las formas geométricas más bellas, son, respectivamente, los átomos de los elementos –fuego, aire, agua y tierra–. Pero los elementos primigenios originales constituyentes del mundo material no son propiamente estos poliedros, sino sus componentes geométricos, formados por dos clases de triángulos rectángulos –los triángulos más bellos–; uno es medio cuadrado, es decir, isósceles, que compone el cuadrado cara del cubo y otro es medio triángulo equilátero, y por tanto escaleno, que compone las caras triangulares equiláteras de los otros tres poliedros.

Página del Timeo de Platón, traducido al latín, en el siglo V, por el helenista hispanorromano Calcidius.

Manuscrito de la Colección Vaticana (Reg. lat. 1308 fols. 21 verso-22 recto medbio01 NAN.10).

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La Cosmología poliédrica de KeplerEn el siglo XVI , el matemático y astrónomo Johannes Kepler fue de tal modo seducido por la cosmogonía pitagórico-platónica que elaboró una Cosmología basada en los cinco sólidos regulares, en la creencia de que estos serían la clave utilizada por el creador para la construcción de la estructura del Universo. En la época de Kepler sólo se conocían seis planetas, Mercurio, Venus, la Tierra, Marte, Júpiter y Saturno. Mientras que hay in!nitos polígonos regulares sólo existen cinco poliedros regulares. No podía ser una casualidad, la mano del Dios geómetra no improvisa.

Según Koestler (1985), Kepler pensó que los dos números estaban vinculados: “hay sólo seis planetas porque hay sólo cinco poliedros regulares” y da una visión del sistema solar que consiste en sólidos platónicos inscritos, encajados o anidados unos dentro de otros, relacionando los radios de las esferas concéntricas circunscritas que intervienen con las órbitas de los planetas. Al creer que había reconocido el esqueleto invisible del Universo en esas estructuras perfectas que sostenían las esferas de los seis planetas, llamó a su revelación El Misterio Cósmico. Dentro de la órbita o esfera de Saturno Kepler inscribió un cubo; y dentro de éste la esfera de Júpiter circunscrita a un tetraedro. Inscrita en éste situó a la esfera de Marte. Entre las esferas de Marte y la Tierra estaba el dodecaedro; entre la Tierra y Venus el icosaedro; entre Venus y Mercurio el octaedro. Y en el centro de todo el sistema el Astro Rey, el Sol.

La Geometría pitagórica tamizada por el idealismo místico y !losó!co de Platón y por la estructuración euclídea,  permitió a Kepler vislumbrar una imagen de la perfección espléndida del Cosmos, trasunto de la excelsitud del Creador a través de la Sagrada Geometría (Lawlor, 1993). Las minuciosas mediciones astronómicas de su amigo Tycho Brahe hicieron evolucionar el pensamiento de Kepler, tras gigantescos esfuerzos intelectuales, hacia el descubrimiento de sus famosas leyes planetarias, pero esto es otra historia.

El modelo cosmológico de Kepler está basado en los sólidos pitagórico-platónicos y se inspira en los modelos de Leonardo.

En los cinco sólidos platónicos de “Los elementos” de Euclides, Kepler veía los elementos estructurales del universo.

Los planetas se abrían camino en un gigantesco puzzle de poliedros regulares:

un Tetraedro inscrito en un Cubo, un Dodecaedro inscrito en el Tetraedro, un Icosaedro inscrito en el Dodecaedro y un Octaedro inscrito en el Icosaedro.

Poliedros inscriptos

El procedimiento de Kepler consistiría en lo siguiente:

(1) proponer un poliedro exterior y dar una medida a su arista;

(2) calcular el radio de la esfera inscripta;

(3) proponer un poliedro interior, explicitar la arista en la fórmula de la esfera circunscripta y calcularla;

(4) repetir los pasos (2) y (3) tantas veces como se desee; y

(5) confeccionar una lista de los radios obtenidos.

El modelo cosmológico de Kepler está basado en los sólidos pitagórico-platónicos y se inspira en los modelos de Leonardo.

En los cinco sólidos platónicos de “Los elementos” de Euclides, Kepler veía los elementos estructurales del universo.

Los planetas se abrían camino en un gigantesco puzzle de poliedros regulares:

un Tetraedro inscrito en un Cubo, un Dodecaedro inscrito en el Tetraedro, un Icosaedro inscrito en el Dodecaedro y un Octaedro inscrito en el Icosaedro.

Poliedros inscriptos

El procedimiento de Kepler consistiría en lo siguiente:

(1) proponer un poliedro exterior y dar una medida a su arista;

(2) calcular el radio de la esfera inscripta;

(3) proponer un poliedro interior, explicitar la arista en la fórmula de la esfera circunscripta y calcularla;

(4) repetir los pasos (2) y (3) tantas veces como se desee; y

(5) confeccionar una lista de los radios obtenidos.

Modelo cosmológico de Kepler basado en los sólidos platónicos e inspirado en los modelos de Leonardo.

En el detalle aparecen las esferas de Marte, la Tierra, Venus y Mercurio con el Sol en el centro.

Grabado de la obra de Kepler Mysterium Cosmographicum (1596). Biblioteca Universitaria de Basilea.

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Kepler había quedado tan impresionado por las asociaciones que hace Platón en El Timeo de los sólidos regulares con los elementos naturales primarios de Empédocles, que intentó dar una ingeniosa explicación de las mismas, justi!cativa de la Cosmogonía pitagórico-platónica (Sagan, 1982). Kepler asume intuitivamente que el tetraedro encierra el menor volumen para su super!cie, mientras el icosaedro encierra el mayor.

Siendo las relaciones super!cie-volumen cualidades de sequedad y humedad, y ya que el fuego es el más seco de los cuatro elementos y el agua el más húmedo, el tetraedro debe representar el fuego y el icosaedro el agua.

El cubo, al ser el poliedro de mayor estabilidad, es asociado con la tierra.

El octaedro como cogido por sus dos vértices opuestos con los dedos pulgar e índice puede hacérsele girar fácilmente, tiene la inestabilidad del aire.

Finalmente el dodecaedro es asociado con el universo porque tiene doce caras como doce son los signos del zodiaco.

tierra fuego Universo agua aire

Figuras tomadas del tratado Mysterium Cosmographicum de Johannes Kepler.

Kepler introdujo los llamados poliedros estrellados de gran importancia en la actualidad tanto en la Ciencia como en el Arte.

Hacia 1970 el ruso Arnold empezó a buscar principios de clasi!cación de estos poliedros y otros cientí!cos han especulado con la posibilidad de aplicar estos entes geométricos a la clasi!cación de las partículas elementales de la Física. Si Kepler aplicó la mística de los Sólidos Platónicos para entender el Macrocosmos ¿no se estará intentando aplicar una nueva mística, la de los Poliedros de Kepler, a la comprensión del Microcosmos atómico?

Imágenes poliédricas de la obra de Kepler Harmonice Mundi (1619):Representación poliédrica visual de la Cosmogonía pitagórico-platónica.

Poliedros estrellados de Kepler.

Kepler introdujo los llamados poliedros estrellados de gran importancia en la actualidad tanto en la Ciencia como en el Arte.

Hacia 1970 el ruso Arnold empezó a buscar principios de clasi!cación de estos poliedros y otros cientí!cos han especulado con la posibilidad de aplicar estos entes geométricos a la clasi!cación de las partículas elementales de la Física. Si Kepler aplicó la mística de los Sólidos Platónicos para entender el Macrocosmos ¿no se estará intentando aplicar una nueva mística, la de los Poliedros de Kepler, a la comprensión del Microcosmos atómico?

El arte de colocar un poliedro dentro de otro para obtener sucesiones de números (los radios de las esferas inscriptas) —siguiendo el procedimiento de Kepler para descubrir la supuesta ley que determina el radio de las órbitas de los planetas— ha sido ilustrado por Gian Marco Todesco (Digital Video s.r.l., Roma, Italia).

El applet de Java 1.1 AWT Polyhedra v1.0 de Gian Marco Todesco está en la página o!cial de Polyhedra en la Red: http://www.toonz.com/personal/todesco/java/polyhedra/theApplet.html

Con esta herramienta se puede hacer el ejercicio de calcular la arista de un poliedro inscripto en otro siguiendo un orden establecido o proponer una serie de poliedros inscriptos para calcular luego la sucesión de números correspondientes a los volúmenes, super!cies, etc., haciendo uso de las fórmulas presentadas en el cuadro más abajo.

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tetraedrofuego

octaedroaire

hexaedrotierra

icosaedroagua

dodecaedrouniverso

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Dibujos sobre de los Sólidos Platónicos que Leonardo da Vinci diseñó para la célebre obra de Luca Pacioli La Divina Proporción (Venecia, 1509).

A pesar de su título, gran parte de esta magna obra está dedicada a un estudio exhaustivo de los poliedros tanto los platónicos como los arquimedianos.

PROPIEDADES DE LOS SÓLIDOS PLATÓNICOS

• Regularidadtal y como se ha expresado para de!nir estos poliedros:

- Todas las caras de un sólido platónico son polígonos regulares iguales.

- En todos los vértices de un sólido platónico concurren el mismo número de caras y de aristas.

- Todas las aristas de un sólido platónico tienen la misma longitud.

- Todos los ángulos diedros que forman las caras de un sólido platónico entre sí son iguales.

- Todos sus vértices son convexos a los del icosaedro.

• Simetríalos sólidos platónicos son fuertemente simétricos:

- Todos ellos gozan de simetría central respecto a un punto del espacio (centro de simetría) que equidista de sus caras, de sus vértices y de sus aristas.

- Todos ellos tienen además simetría axial respecto a una serie de ejes de simetría que pasan por el centro de simetría anterior.

- Todos ellos tienen también simetría especular respecto a una serie de planos de simetría (o planos principales), que los dividen en dos partes iguales.

Como consecuencia geométrica de lo anterior, se pueden trazar en todo sólido platónico tres esferas particulares, todas ellas centradas en el centro de simetría del poliedro:

- Una esfera inscrita, tangente a todas sus caras en su centro.

- Una segunda esfera tangente a todas las aristas en su centro.

- Una esfera circunscrita, que pase por todos los vértices del poliedro.

Proyectando los centros de las aristas de un poliedro platónico sobre su esfera circunscrita desde el centro de simetría del poliedro se obtiene una red esférica regular, compuesta por arcos iguales de círculo máximo, que constituyen polígonos esféricos regulares.

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Conjugación - Poliedro Dual

Si se traza un poliedro empleando como vértices los centros de las caras de un sólido platónico se obtiene otro sólido platónico, llamado conjugado del primero, con tantos vértices como caras tenía el sólido inicial, y el mismo número de aristas. El poliedro conjugado de un dodecaedro es un icosaedro, y viceversa; el de un cubo es un octaedro; y poliedro conjugado de un tetraedro es otro tetraedro.

Los cinco poliedros regulares se clasi!can por dualidad en tres grupos: tetraedro que es dual de sí mismo, cubo-octaedro (el dual del cubo es el octaedro y viceversa) e icosaedro-dodecaedro (el dual del icosaedro es el dodecaedro y viceversa) según muestran las siguientes !guras:

Piero della Francesca va mucho más allá al realizar un estudio muy completo de formas de pasar directa o

indirectamente de unos sólidos platónicos a otros, vinculando de múltiples maneras los diversos poliedros,

algunas de las cuales son estudiadas por Ghyca (1983) y por Lawlor (1993). También en Guillén (1997) se puede

encontrar un estudio bastante exhaustivo de la interrelación de sólidos platónicos, a base de buscar de forma sistemática

las posibles inscripciones entre poliedros regulares dispuestos de tal forma que las simetrías comunes coincidan

(por ejemplo, como el cubo y el octaedro tiene las mismas simetrías, se podrán inscribir en los mismos poliedros, y

también podrán inscribirse en ellos los mismos poliedros). En particular, al considerar los pares de poliedros (de un tamaño adecuado) que tienen exactamente las mismas

simetrías, resultan parejas de sólidos en los que los vértices del poliedro inscrito yacen en los centros de las caras del otro poliedro, que son los pares de poliedros que hemos

llamado duales.

Luca Pacioli inspirándose en las fuentes platónicas y euclídeas (y en primera instancia pitagóricas), en la obra de

Vitrubio, en las conversaciones con Leonardo da Vinci y en los trabajos de Piero della Francesca, realiza la construcción

y hace un estudio exhaustivo de los poliedros regulares y semirregulares en su obra La Divina Proporción (Capítulos

XXIV-LIV) donde abundan las referencias esotéricas y místicas (Luca Pacioli, 1946, 1992).

Grabado de La Divina Proporción de Luca Pacioli, copia de una ilustración de Libellus De Quinque Corporibus Regularibus

de Piero della Francesca (Manuscrito Urb. lat. 632 fols. 40 verso de laBiblioteca Vaticana, 1480). La imagen representa una original inscripción de un icosaedro en un cubo, de forma que los vértices

del icosaedro están situados sobre las caras del cubo.

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Los poliedros regulares y Maurits Cornelis EscherLos sólidos platónicos, por su historia, perfección y belleza, continúan siendo hoy inspiradores de matemáticos y artistas. El holandés Maurits Cornelis Escher es uno de los artistas clásicos de nuestro tiempo que han experimentado la fascinación por estas !guras.

A continuación se reproduce su grabado Estrellas (1948) y una fotografía que lo muestra observando una de sus obras: un conjunto de sólidos platónicos superpuestos.

Estrellas, 1948 (Visitar el sitio de Cordon Art en la Red: www.mcescher.com) Escher y su representación de los sólidos platónicos

El grabado Estrellas, de M. C. Escher, fue realizado en 1948 y concebido probablemente en los años !nales de la Segunda Guerra Europea. Se trata de un trabajo de gran belleza —como todos los de este artista extraordinario— que muestra en el fondo un cielo de !guras regulares (sólidos perfectos, platónicos) y en primer plano un cuerpo celeste (¿planeta Tierra?) donde unos demonios de aspecto primitivo (¿hombres cercanos a sus ancestros reptilianos?) están encerrados en (¿contenidos por?) una estructura formada por octaedros combinados.

El grabado Estrellas, de M. C. Escher, fue realizado en 1948 y concebido probablemente en los años !nales de la Segunda Guerra Europea. Se trata de un trabajo de gran belleza —como todos los de este artista extraordinario— que muestra en el fondo un cielo de !guras regulares (sólidos perfectos, platónicos) y en primer plano un cuerpo celeste (¿planeta Tierra?) donde unos demonios de aspecto primitivo (¿hombres cercanos a sus ancestros reptilianos?) están encerrados en (¿contenidos por?) una estructura formada por octaedros combinados.

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SÓLIDOS PLATÓNICOS: tabla comparativa

Sólidos Platónicos

Tetraedro Hexaedro (Cubo) Octaedro Dodecaedro Icosaedro

Sólidos Platónicos

Número de caras 4 6 8 12 20

Desarrollo

Polígonos que forman las caras

Triángulos Cuadrados Triángulos Pentágonos Triángulos

Número de aristas 6 12 12 30 30

Número de vértices 4 8 6 20 12

Caras concurrentes en cada vértice 3 3 4 3 5

Vértices contenidos en cada cara 3 4 3 5 3

Seno del ángulo entre caras

1

Área de la super!cie exterior

Volumen

Radio de la esfera circunscripta

0,612 • a 0,866 • a 0,707 • a 1,401258538 • a 0,9510565163 • a

Radio de la esfera inscripta

0,204 • a 0,5 • a 0,816 • a 1,113516364 • a 0,7557613141• a

En las fórmulas: a = arista

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FUENTES:

Wikipedia: http://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lidos_plat%C3%B3nicos

Grupo de Historia de la Filosofía - Academia de Ciencias Luventicus: http://www.luventicus.org/articulos/03Tr001/index.html

Algebra Geométrica: http://divulgamat.ehu.es/weborriak/Historia/Topicos/SolidosPlatonicos/InprimaketaSolidosPlatonicos.asp

Centro virtual de divulgación de la matemática:

http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=3386%3Alos-sos-p&limitstart=6

http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=3393%3Aeuclides-el-teorema-de-los-poliedros-en-la-ma-proposicie-los-elementos-de-euclides&catid=39%3Aaso-hicieron&directory=67&showall=1

Polyhedra V1.0: http://www.toonz.com/personal/todesco/java/polyhedra/polyhedra.html

citado: 27/09/12

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