Solución de EDO
-
Upload
saul-perez-perez -
Category
Documents
-
view
216 -
download
0
Transcript of Solución de EDO
7/23/2019 Solución de EDO
http://slidepdf.com/reader/full/solucion-de-edo 1/11
TRABAJO FINAL MATEMATICAS ESPECIALES.
Ing. SAUL PEREZ PEREZ.
PRESENTADO AL PROFESOR:Msc. RAMIRO CHAMORRO.
MAESTRIA EN INGENERIA MECANICA CON ENFASIS EN GESTIONENERGETICA.
UNIVERSIDAD AUTONOMA DEL CARIBE
BARRANQUILLA.
010!"011
7/23/2019 Solución de EDO
http://slidepdf.com/reader/full/solucion-de-edo 2/11
EJERCICIO 1
1.
04
4
2
2
=∂∂
+∂∂
x
uc
t
u
Vibraciones de una viga puede demostrase que las pequeñasvibraciones libres verticales de una viga uniforme están gobernadas por la ecuaciónde cuarto orden:
ρ A
EI c =
Donde
E es el módulo de elasticidad I momento de inercia, el !rea transversal, " ladensidad.
>==
>=∂
∂=
∂
∂
==
0,0),(,0),0(
0,0,00
t t Lut u
t x
u
x
u
L x x
#as condiciones de frontera son:
$ con la condicione inicial:
)()()0,( x L x x f xu −==
%olucione el sistema de ecuaciones diferenciales parcialesDedu&ca los calores constantes para una viga de acero, ' (rafique los resultados.
demás debe )acer un análisis grafico incrementando el valor de #.
7/23/2019 Solución de EDO
http://slidepdf.com/reader/full/solucion-de-edo 3/11
SOLUCION.
%e tiene la siguiente ecuación diferencial∂2u
∂ t 2 +c
∂4u
∂ x4=0 *a+
Donde c= EI
Ap
)ora las condiciones de frontera son las siguientes
'
,0=∂
∂
= L x x
ut >0
' u ( L, t )=0, t >0
on las siguientes condiciones in-ciales.
)()()0,( x L x x f xu −==
ara reali&ar la solución de la ecuación diferencial debemos tener en cuentaque:Y ( t )= Amplitudde laVibracioncon elTiempo .
φ ( x )= Funciondedistancia .
L= Longitudde laviga .
)ora la solución la tomare por separación de variables as-:u ( x , t )=φ ( x )Y ( t ) *b+
)ora tomo la ecuación ' la reempla&o en la diferencial quedando:
φ( x )∂2u
∂ t 2+cY (t )
∂4u
∂x4=0 *c+
)ora los t/rminos temporales ' espaciales los separo ' los igualo a un valor constante ' me queda:
c
φ( x)∂
4φ( x)
∂ x4 =w2
,c
φ( x)∂2Y (t )
∂ t 2 =w 2
*d 1,0+
7/23/2019 Solución de EDO
http://slidepdf.com/reader/full/solucion-de-edo 4/11
De aqu- se obtiene al despear:
∂4φ( x )
∂x4 −
w2
cφ ( x )=0 $
∂2Y (t )
∂t 2 +w2
Y ( t )=0
sumiendo que: 4=w
2
c , queda lo siguiente
∂4φ( x )
∂x4 − 4φ ( x )=0
( ∂4
∂x4− 4)φ ( x )=0
Entonces se separan en dos cuadráticas as-:
( ∂2
∂x2− 2)( ∂
2
∂ x2+ 2)=0
l sacar las ra-ces queda:
∂
∂x=! $
∂
∂x=!"
u'a solución es:
φ ( x )=# 1sin (x)+# 2 cos (x)+# 3sinh (x)+# 4 cosh (x)
Donde # 1 ,# 2 ,# 3 % # 4 son constantes.
)ora se resuelve para la parte temporal.
∂
2
Y (t )∂t 2 +w2Y ( t )=0
Despeando se obtiene que:
( ∂2
∂ t 2+w2)Y ( t )=0
7/23/2019 Solución de EDO
http://slidepdf.com/reader/full/solucion-de-edo 5/11
l reali&ar el cálculo queda:
∂2
∂t 2+w2=0=¿
∂
∂ t =!"w
2uedando como solución:
Y ( t )= Acos (wt )+&sin(wt )
#a solución general es:
u ( x , t )=(# 1sin (x)+# 2 cos (x)+# 3sinh (x)+# 4cosh (x))
l aplicar las condiciones in-ciales:
0),0( =t u
$u ( L, t )=0
0
0
=∂
∂
= x x
u
$
,0=∂
∂
= L x x
u
# 2+# 4=0=¿# 2=−# 4
#uego se tiene que:
(# 1sin (L)+# 2cos (L)+# 3 sinh (L)+# 4 cosh (L))=0
0=∂u
∂ x=(# 1cos (x )−#
2sin (x )+#
3cosh (x)−#
4sinh (x))
omo # 2=−# 4 ' x=0 entonces queda que:
31
31
0
0
C C
C C
x
u
x
=
=−=∂
∂
=
α α
))sinh()cosh()sin()cos(( 4321 LC LC LC LC x
u
L x
α α α α α α α α ++−=∂
∂
=
)ora me queda:
7/23/2019 Solución de EDO
http://slidepdf.com/reader/full/solucion-de-edo 6/11
# 1sin (L)+#
2cos (L)+#
1sinh (L )−#
2cosh (L )=0
#
1cos (L )−#
2sin (L )+#
1cosh (L )+#
2sinh (L )=0
(L )(L )
¿cos (L )−cosh ¿=0
sin (L )+sinh ¿+# 2¿
# 1¿
(L )(L )
¿−sin (L)+sinh ¿=0cos (L )+cosh ¿+# 2¿
# 1¿
De donde tengo que:
A=sin (L)+sinh (L )
&=−sin (L )+sinh (L )
'=cos (L)−cosh (L )
E=cos (L)+cosh (L )
)ora se tiene que:
A # 1+ '#
2=0
E# 1+&#
2=0
En este caso pasa lo siguiente:
# 1=#
2=0
2uedando as- la solución trivial de la ecuación.
7/23/2019 Solución de EDO
http://slidepdf.com/reader/full/solucion-de-edo 7/11
EJERCICIO "
0. #a ecuación del calor de 3ourier para un disco plano está dado por la siguienteecuación diferencial.
1
2
2
t
u
r
u
r r
uc
∂∂
=
∂∂
+∂∂
ρ pC
k
c =
Donde
p es el calor espec-fico, " la densidad, 4 es la conductividad.#as condiciones de frontera son:
7/23/2019 Solución de EDO
http://slidepdf.com/reader/full/solucion-de-edo 8/11
( )
>=
>=∂∂
=
0,
0,00
t T t Ru
t r
u
ref
r
2
2
)()0,( R
r T r f r u ref ==
$ con la condicione inicial:
%olucione el sistema de ecuaciones diferenciales parciales. Dedu&ca los valoresconstantes para un cilindro )ec)o de ladrillo roo, ' (rafique los resultados. demásdebe )acer un análisis grafico incrementando el valor de 5. la temperatura dereferencia se asume en 067.
1
2
2
t
u
r
u
r r
uc
∂∂
=
∂∂
+∂∂
SOLUCION.
Ecuación diferencial:
ρ pC
k c =
7/23/2019 Solución de EDO
http://slidepdf.com/reader/full/solucion-de-edo 9/11
00
=∂∂
=r r
u
,
t >0 %( ( ) , t )=T re* , t >0
on la siguiente condición inicial.
( (r ,0 )=* (r )=T re* r2
)2
• Ecuaciones diferenciales ordinarias.
( (r ,t )=+ (r )(t )
∂(
∂r = (t )+ - (r )
∂2
∂r2= (t )+ - - (r )
∂(
∂ t = (t )+ (r)
¿># ( (t )+ - - (r )+1
r (t )+ - (r ))= (t )+ (r )
# (t )(+ - - (r )+1
r+
(r ))= (t )+ (r )
1
+ (r ) (+ - - (r )+1
r+ - (r ))= (t )
# (t )
%e igualan las ecuaciones a una constante −/ 2 , de esta forma se obtiene
(t )
# (t )
=−/ 2=¿ (t )+#/ 2 ( t )=0
1
+ (r ) (+ - - (r )+1
r+ - (r))=−/ 2
7/23/2019 Solución de EDO
http://slidepdf.com/reader/full/solucion-de-edo 10/11
+ - - (r )+1
r+ - (r )+/ 2+ (r )=0
)ora usando la ecuación de 8essel, )aciendo:
s=/r=¿ 1
r = / s
$ por regla de la cadena:
+ - =d+
dr =d+
ds
ds
dr=/
d+
dr
+ - - =d
2+
d s2/
2
l reempla&ar se tiene la siguiente ecuación.
/ 2 d
2+
d s2 +/ 2
s
d+
ds +/ 2+ =0
De donde.
d2+
d s2 +
1
s
d+
ds ++ =0
$ esta es la ecuación de 8essel con parámetro V =0
$ su solución son funciones de 8essel " 0 ' Y 0 de primera ' segunda
clase. $ Y 0 no se puede usarse, puesto que no satisface las condiciones
fronteras ( ( ) ,t )=T re* , 'a que se )ace 0 cuando )10 , entonces:
+ (r )=a1" 0 (s )=a1 " 0 (/r )
%e la frontera r= ) ¿>+ ( ) )=a1"
0(/))
ara que se cumpla la condición inicial de que T =252#
7/23/2019 Solución de EDO
http://slidepdf.com/reader/full/solucion-de-edo 11/11
n=8n
r
#a solución para la ecuación siguiente es:
(t
)+#/
2
(t )=
0
=¿m (t
)=a
2
e−c / 2t
#a solución general es:
( m (r ,t )=+ m (r )m (t )=(a2 e−c / 2 t ) (a1 " 0 (/r ))
9sando superposición se suman todas las soluciones.
ame
#/ m2t
" 0(¿ m r)( (r , t )=∑
m=1
0
¿
or
am" 0(¿ m r)
* (r )=T re* r2
)2=( (r ,0 )=∑
m=1
0
¿
am= 2
)2 ( (" 1 ( m )))
2
∫0
)
r* (r ) " 0 (/ m r )dr
am= 2T re*
)4( (" 1 ( m )) )
2∫0
)
r3"
0 (/ m r )dr