solución de polinomios

8/18/2019 solución de polinomios

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Instituto Politécnico Nacional

Escuela Superior de Cómputo

Ecuaciones DiferencialesGrupo : 1CM8

Investigación de técnicas para la resolución de polinomios degrado n con coeficientes reales enteros

Profesor:

Juan Manuel Carballo Jimenez Alumno:

Reyes Martínez Carlos Zacarías


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Titulo

Autores

Abstract

IntroducciónPalabras Clave

Materiales y Metodos


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Palabras Clave

Polinomio

Un polinomio es la suma de término llamados Monomios

Monomio

Un monomio es el producto de un coeficiente (un número real), una variable elevada a un

exponente (entero positivo)

Consideramos en este trabajo los polinomios con coeficientes enteros y potencias enteras

positivas

Un polinomio es una expresión algebraica de la forma:

P(x) = a n x n + an − 1 x

n − 1 + an − 2 xn − 2+ ... + a1x

1 + a 0

Siendo:

a n, a n−1 ... a 1, a o números, llamados coeficientes

n un número natural

x la variable o indeterminada

a n es el coeficiente principal

a o es el término independiente


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Grado de un polinomio

El grado de un polinomio es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable X

Raíces de polinomios

Existen tres tipos de raíces racionales, irracionales y complejas.

El polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma (x - a) si y sólo si P(x =a) = 0.

Al valor x = a se le llama raíz o cero del polinomio P(x).

Los ceros o raíces de un polinomio son divisores del término independiente del

polinomio.

A cada raíz del tipo x = a le corresponde un binomio del tipo (x — a).

Podemos expresar un polinomio en factores al escribirlo como producto de todos los

binomios del tipo (x — a), que se correspondan a las raíces, x = a, que se obtengan.

x2 − 5x + 6 = (x − 2) · (x − 3)

La suma de los exponentes de los binomios ha de ser igual al grado del polinomio.

Todo polinomio que no tenga término independiente admite como raíz x = 0, ó lo que es

lo mismo, admite como factor x.


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x2 + x = x · (x + 1)

Raíces: x = 0 y x = − 1

Un polinomio se llama irreducible o primo cuando no puede descomponerse en factores.

entonces se dice que no tiene raíces enteras o racionales reales, estas soluciones pueden

ser irracionales o complejas

P(x) = x2 + x + 1

Teorema fundamental del álgebra

Todo polinomio de grado mayor o igual a uno, definido sobre el campo de los números

complejos, tiene por lo menos una raíz.

Teorema. Un polinomio de grado n tiene exactamente n raíces.

Teorema de raíces complejas Sea p(x) un polinomio en x con coeficientes racionales.

S iα = a + bi, con b≠0, es una raíz de p(x), entonces su conjugado también es raíz de p(x).

Teorema de raíces irracionales Sea p(x) un polinomio en x con coeficientes

racionales. Si α = a + √b, donde √b es un irracional, es una raíz de p(x), entonces su

conjugado también es raíz de p(x).

Números complejos

La unidad imaginaria es


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−i2

= 1

se puede definir a un número complejo como:

z = x + iy,

en donde x y y son números reales.

A x se le llama parte real de z ; x = Re (z)

y a y parte imaginaria de z

y = Im (z)

Números irracionales

Métodos numéricos

Son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma

que puedan resolverse usando operaciones aritméticas

Historia Moderna de la solución de Polinomios de grado N

En el inicio del siglo XVI, los matemáticos italianos (Scipione del Ferro, Niccolo Tartaglia,

Gerolamo Cardano y Lodovico Ferrari) encontraron fórmulas para raíces de las ecuaciones

de tercer y cuarto grado; la llamada fórmula general para polinomios de segundo grado ya

se conocida desde tiempo de los griegos y babilonios.

En 1799 Johann Karl Friedrich Gauss publicó su tesis de doctorado en la universidad de

Helmstädt con el título de “Nuevo demostración del Teorema que toda función algebraica

racional y entera de una variable Puede resolverse en Factores reales de primero o de

segundo grado”, después se conoce como el teorema fundamental del álgebra está


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demostraba que toda ecuación polinómica representada por f(x)=0 tiene al menos una raíz,

ya sean de coeficientes reales o complejos

Paolo Ruffini (matemático italiano) y Niels Henrik Abel (matemático noruego) demostraron

que no hay ninguna fórmula para hallar los ceros de los polinomios generales de grados n ≥ 5 en términos de sus coeficientes y raíıces.

Es imposible hablar de la historia de la solución de los polinomios de grado n sin tocar la

historia de Evariste Galois

Galois decidió en cambio presentarse al examen de ingreso en la École

Polytechnique con un año de anticipación y sin el curso de preparación matemática

habitual. Careciendo de formación fundamental, fue rechazado. Galois consideró su

fracaso como una injusticia, y ello endureció su rechazo a la autoridad. No obstante,

continuó progresando rápidamente en matemáticas, matriculándose en el curso

superior de esta ciencia en el Louis-de-Grand, impartido por el profesor

Louis-Paul-Émile Richard, quien se percató inmediatamente de las dotes de Galois,

solicitando que fuera admitido sin examen previo en la École Polytechnique. Aunque

su recomendación no fue atendida, el estímulo de Richard produjo en Galois

resultados espectaculares. A sus 17 años estaba atacando uno de los más difíciles problemas de las matemáticas;

un problema que había mantenido en jaque a los matemáticos durante más de un

siglo. Lo que Galois consiguió fue dar criterios definitivos para determinar si las

soluciones de una ecuación polinómica podrán o no calcularse por radicales.

Más notables, incluso que los propios descubrimientos, fueron los métodos que

ideó para estudiar el problema. Sus investigaciones abrieron las puertas de una teoría

cuyas aplicaciones desbordan con mucho los límites de la teoría de ecuaciones: la

teoría de grupos. Galois presentó a la Academia de Ciencias Francesa sus primeros artículos sobre lo que llegaría a ser la teoría de grupos.

A mediados de marzo de 1832 se le trasladó de Sainte-Pélagie a la casa de salud

Sieur Faultrier, a causa de la epidemia de cólera que sufrió París. Al parecer fue allí

donde conoció a una mujer con la que mantuvo una relación que tuvo que ser de poca

duración. Dos cartas fragmentarias le fueron escritas a Galois en las semanas


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anteriores al duelo, cartas que hacen pensar en una disputa de carácter personal. La

primera carta comienza: "Por favor, rompamos nuestras relaciones. No tengo ánimo

para proseguir una correspondencia de esta naturaleza, aunque me esforzaré en reunir

el suficiente para conversar contigo como lo hacía antes de que nada sucediera..." Por

tanto, la "infame coqueta" a quien Galois culpa de sus desgracias en una carta escrita la

noche anterior al duelo era seguramente esta mujer, cuyo nombre aparece con

frecuencia en los márgenes de los papeles de Galois: "Muero - escribió - víctima de una

coqueta infame y de sus dos encandilados."

Sin embargo, en el duelo en el que Galois perdió la vida, el adversario era como él,

un ardiente republicano. Más aún, al parecer, era uno de los 19 oficiales de la Guardia

de Artillería cuya absolución fue ocasión del desafiante brindis que Galois ofreció al

rey. El duelo fue entre amigos y se desarrolló como una especie de ruleta rusa; estando

cargada solamente una de las pistolas. Muchos fragmentos de manuscritos muestran

que Galois prosiguió con sus investigaciones matemáicas no sólo durante su

encarcelamiento, sino hasta la hora de su muerte. Que Galois fuera capaz de trabajar

con provecho en medio de semejante agitación y turbulencia es testimonio de la

fertilidad extraordinaria de su imaginación. Prescindiendo por completo de las

circunstancias en que se desarrolló su trabajo, no cabe duda de que Galois hizo nacer

una de las ideas más originales de la historia de las matemáticas.

Esa misma noche, Galois escribía también a su amigo Auguste Chevalier: "He

hecho algunos descubrimientos nuevos en análisis. El primero concierne a la teoría de ecuaciones; los otros, a las funciones enteras. En teoría de ecuaciones he investigado

las condiciones de solubilidad de ecuaciones por medio de radicales; con ello he tenido

ocasión de profundizar en esta teoría y describir todas las transformaciones posibles

en una ecuación, aun cuando no sea posible resolverla por radicales. Todo ello puede

verse aquí, en tres memorias... Haz petición pública a Jacobi o a Gauss para que den su

opinión, no acerca de la veracidad, sino sobre la importancia de estos teoremas. Confío

en que después algunos hombres encuentren de provecho organizar todo este

embrollo."El desesperado estado de ánimo en que se encontraba Galois al escribir estas

cartas estaba plenamente justificado, como tristemente habrían de probar los

acontecimientos inmediatos. Poco después del amanecer de esa misma noche, Galois

abandonó su habitación de la pensión Sieur Faultrier, en París, y se enfrentó en duelo

de honor a un activista político llamado d'Herbinville, a las orillas de un estanque


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cercano. Allí Galois recibió un balazo en el abdomen quedando abandonado. Más tarde

un transeúnte lo encontró y llevó al Hôpital Cochin, donde murió al día siguiente.

Evariste Galois demostró que no existe ninguna fórmula en radicales (raíıces) aún para la

solución real de la ecuación x

5

− x

+ 1 = 0 Tampoco es posible expresar a través de funciones elementales la raíız de la ecuación

y de muchas otras ecuaciones.e x + x − 2 = 0

Pero estas ráıces existen y se pueden calcular aproximadamente. Por ejemplo, la solución real

de la ecuación es ≈ −1.1673, la ecuación tiene una única solución ≈ x 5− x + 1 = 0 e x + x − 2 = 0

0.4429.

Los polinomios que estudiaremos son los que tienen coeficientes reales, también trataremos métodos para hallar una posible solución o una aproximación a polinomios de grado n, estos

métodos son:

Métodos generales:

Método de la bisección

Método de Newton-RaphsonMétodo de la secante

Una buena práctica para resolver polinomios de grado n es analizar el polinomio y observar

raíces que pueden ser inmediatas sin necesidad de aplicar un método numérico que puede ser

más costoso en tiempo y esfuerzo, se proponen tres prácticas:

Regla de los signos de descartesConjunto de posibles raíces

Factorización del polinomio para disminuir su grado


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Regla de los signos de descartes

Para un polinomio, siendo:

f(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + an-2 x n-2 + a n-3 x n-3+ … + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a0

La cantidad de raíces reales positivas es igual al número de cambios de signo de f(x) o

disminuido en ese número en una cantidad entera par.

La cantidad de raíces reales negativas es igual al número de cambios de signo de f(-x) o

disminuido en este número en una cantidad entera par.

Conjuntos de posibles soluciones

El conjunto de posibles raíces de f(x) se forma con los divisores de a0 (del término

independiente), hay que considerar estos divisores tanto con signo positivo como con

negativo.

La forma en que podemos usar esta información del término independiente es la siguiente,

puesto que cualquier elemento de este conjunto puede ser raíz de f(x) hay que evaluar a f(x)

en algún valor de este conjunto y si el resultado de la evaluación es cero, entonces ese valor

escogido es raíz de f(x).

Factorización de polinomios para disminuir su grado

Este método reduce el esfuerzo para resolver los polinomios de grado n solo si se hacen a

mano ya que computacionalmente no hay diferencia significativa entre aplicar esta práctica y

un método numérico.

Paso número 1: Si no existe un término independiente A0 se puede factorizar el polinomio al

dividirlo por el monomio de grado m que es el menor del polinomio y este grado representa la

raíz X=0 que se repite m veces por ejemplo el polinomio:


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x x5 + 5 x4

− x3 − 5 2 = 0

No contiene termino independiente pero si lo dividimos entre su monomio obtenemos la x2

ecuación

) x ( x2 3

+ 5 x2 − x − 5 = 0

)( x)( x) ( x3

+ 5 x2

− x − 5 = 0

entonces podemos ver que ,r 1

= 0 r

2 = 0

Para el polinomio utilizamos la técnica de conjuntos de posibles raíces )( x3 + 5 x2 − x − 5 = 0 ±

(1,5) encontramos que este conjunto [1, -1, -5] resuelve la ecuación y obtenemos las tres raíces

que faltan pero para el ejemplo solo tomaremos la raíz . Podemos estar seguros de que r 3 = 1

si r es una raíz de f(x) entonces al dividir f(x) / (x - r) tendremos como resultado un polinomio

de un grado menor a f(x) y como residuo cero. entonces produce el )/( x )( x3 + 5 x2 − x − 5 − 1 = 0

polinomio , para este polinomio podemos aplicar la fórmula general para x x2 + 6 + 5 = 0

polinomios cuadrados o el método de

Conjunto de posibles raíces (1,5) que es [-1, -5],±

Así encontramos el conjunto de raíces del polinomio [1, -1, -5] x x5 + 5 x4 − x3 − 5 2 = 0

Si ninguno de estas prácticas proporciona todas las soluciones del polinomio se deberá aplicar

un método numérico que aproxime las raíces restantes, estos métodos (algoritmos) son muy

complicados y complejos por lo que se convierte en un problema computacional.

Se debe de tomar en cuenta que los métodos numéricos tienen fallos en casos especiales

dando una solución equivocada o no proporcionando alguna, es conveniente tener una lista de

polinomios y su solución, de esta forma se reducirá el tiempo computacional y se podrán

identificar los casos especiales y darles solución por métodos más avanzados.


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Método de la Bisección

Primer teorema del valor intermedio (Bernhard Bolzano y Augustin-Louis Cauchy). Sean a,b

∈ R tales que a < b, sea f: [a,b] → R una función continua que toma valores de signos

opuestos en a y b, esto es,

(f(a)0) o (f(a)>0 y f(b)


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Si f(c) = 0, entonces ya tenemos una solución. Si f(c) tiene el mismo signo que f(a), entonces f

cambia su signo en [c, b], y tiene que existir una raíz en este intervalo. Si f(c) tiene el mismo

signo que f(b), entonces f cambia su signo en [a, c], y tiene que existir una raíız en este

intervalo. En los últimos dos casos, hemos reducido el intervalo de búsqueda a la mitad: [a, c]

o [c, b].

6. Tolerancia de las abscisas.

Vamos a suponer que desde el inicio nos dan una precisión requerida de la respuesta que

vamos a denotar por xtol (tolerancia de las abscisas), y si encontramos un intervalo de

longitud ≤ xtol que contiene una raíz de la función, entonces ya podemos terminar los

cálculos.

7. Número máximo de iteraciones. Para aumentar la seguridad podemos elegir también el

número máximo de iteraciones, maxiter.

8. Problema de precisión. Habitualmente calculamos los valores de f aproximadamente, con

cierta precisión ytol (tolerancia de los valores). Si en un punto c se tiene que |f(c)| < ytol,

entonces no hay sentido tomar en cuenta el signo de f(c), y lo más natural que se puede hacer

es terminar los cálculos y regresar c como una aproximación a la raíz.

10. Condiciones de terminación. Hay que terminar el proceso de bisección si

|b − a| < xtol o |f(c)| < ytol o i > maxiter,

donde i es el número de las iteraciones hechas.


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Método de Netwon Raphson

1. Idea del método de Newton. Las aproximaciones a la raíz de la función f se construyen

sucesivamente (paso a paso), empezando con una aproximación inicial x0. En el paso n, para construir xn, se usa la aproximaciones anterior xn−1. Se considera la tangente a la gráfica de f

en el punto (xn−1, f(xn−1)). El punto xn se calcula como el punto de la intersección de esta

recta tangente con el eje de abscisas.

2. Intersección de la tangente con el eje de abscisas. Escriba la ecuación de la tangente a la

gráfica de f en el punto (a, f(a)). Calcule la abscisa de la intersección de esta tangente con el

eje de abscisas.

3. Diferencias entre el método de bisección y el método de Newton-Raphson. método de bisección método de Newton-Raphson


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Método de la Secante

1. Idea del método de la secante. Las aproximaciones a la raíz de la función f se construyen

sucesivamente (paso a paso), empezando con dos aproximaciones iniciales x−1 y x0. En el

paso n, para construir xn, se usan dos aproximaciones anteriores, xn−1 y xn−2. Se considera

la línea recta, que pasa por los puntos (xn−1, f(xn−1) y (xn−2, f(xn−2)), y el punto xn se

calcula como el punto de la intersección de esta recta con el eje de abscisas.

2. Sea f una función definida en puntos a y b. Calcular el punto de la intersección del eje de

abscisas con la recta que pasa por (a, u) y (b, v).

http://www.dcb.unam.mx/users/ericklr/matavan.pdf

http://www.dcb.unam.mx/users/ericklr/matavan.pdf


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http://www.dcb.unam.mx/users/margaritalc/Documentos/POLINOMIOS.pdf

http://esfm.egormaximenko.com/numerical_methods1.html
http://esfm.egormaximenko.com/numerical_methods1.htmlhttp://www.dcb.unam.mx/users/margaritalc/Documentos/POLINOMIOS.pdf

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