Introducción

Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las incógnitas no están elevadas a potencias, ni multiplicadas entre sí, ni en el denominador.

Por ejemplo; 3x+ 2y + 6z = 6 es una ecuación lineal con tres incógnitas

Se llama sistema de ecuaciones lineales a un conjunto de ecuaciones de la forma:

donde x1, ..., xn son las incógnitas, b1, ..., bm se denominan términos independientes y los números aij se llaman coeficientes de las incógnitas, formando una matriz que denominaremos A, matriz de coeficientes. Cuando el término independiente sea cero, estamos ante un caso particular de sistemas que denominamos homogéneos.

Un conjunto de n números que verifiquen todas las ecuaciones se llama solución del sistema.

Dado un sistema de ecuaciones, el objetivo principal es hallar todas sus soluciones, es decir, hallar todos los valores de x1,..., xn que verifican todas las ecuaciones.

Atendiendo al número de soluciones, los sistemas de ecuaciones lineales podemos clasificarlos en tres tipos:

Sistema incompatible: Son aquellos que no poseen solución.

Sistema compatible: Son aquellos que poseen solución. Dentro de ellos, podemos hablar de:

o Sistema compatible determinado: Sistemas con una única solución.o Sistema compatible indeterminado: Sistemas con infinitas soluciones.

Expresión matricial de un sistema

Cualquier sistema de ecuaciones lineales se puede expresar en forma matricial del modo:

Donde:

La matriz A es la matriz de coeficientes

La matriz X, es la matriz de incógnitas

La matriz B, es la matriz de términos independientes

o La matriz formada por A y B, se le llama matriz ampliada y se representa por (A|B) o bien por A*

Método Gauss-Jordan

El método de eliminación Gaussiana para la solución de sistemas de ecuaciones lineales consiste en convertir a través de operaciones básicas llamadas operaciones de renglón un sistema en otro equivalente más sencillo cuya respuesta pueda leerse de manera directa. El método de eliminación

Gaussiana es el mismo para sistemas de ecuaciones nxn siempre y cuando se respete la relación de al menos una ecuación por cada variable.

El método de Gauss-Jordan consiste en sistematizar la obtención del sistema equivalente hasta obtener uno en el cual la matriz del sistema se convierta en la matriz identidad.

Los pasos a seguir para la obtención del sistema equivalente son:

1. Seleccionar un elemento diferente de cero como pivote.2. Mediante operaciones elementales, convertir en ceros todos los elementos de la columna

donde se encuentra el pivote.3. Seleccionar un nuevo pivote el cual no debe estar en la columna donde se encontraba el

pivote uno.4. Repetir los pasos hasta obtener una matriz de coeficientes formada sólo por unos y ceros,

en caso de ser necesario intercambiar renglones para obtener la matriz identidad.

*Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principales son iguales 1.

Ejemplo:

Sea el sistema de ecuaciones lineales:

Matriz aumentada:

*Se toma como pivote 1 el número 3 del primer renglón

Como resultado de las incógnitas tenemos que es un sistema compatible determinado.

Método de descomposición LU

El Método de descomposición LU se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales de la forma: AX = B cuando se tienen ecuaciones con los mismos coeficientes A pero con diferentes constantes del lado derecho (diferentes B).

El método de descomposición LU para la solución de sistemas de ecuaciones lineales debe su nombre a que se basa en la descomposición de la matriz original de coeficientes (A) en el producto de dos matrices (L y U).

Esto es:

Donde:

L = Matriz triangular inferior

U = Matriz triangular superior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a 1.

De lo anterior, para matrices de 3x3 se escribe:

(1 0 0l 1 0l l 1)(

u u u0 u u0 0 u)=(a a a

a a aa a a)

Pasos a seguir:

• A se factoriza en matrices triangulares inferior L y superior U.

• Sustitución: L y U se usan para determinar una solución X para un lado derecho B. Primero se genera un vector intermedio D mediante la sustitución hacia delante. Después el resultado se sustituye en la ecuación para obtener mediante sustitución hacia atrás el valor de X.

Método de Krylov

Éste método se basa en el teorema de Cayley-Hamilton que establece: “Toda matriz A verifica su propia ecuación característica b(A)=0”

Sea:

a0λn + a1λn-1 +a1λn-2 +…+ an-1λ + an =0… 3 La ecuación característica de la matriz A de orden n. Dado que el orden de A es n, esta ecuación de grado n

y entonces a0 ≠ 0, dividiendo la ecuación 3 entre a0 se obtiene.

λn + b1λn-1 +b2λn-2 +…+ bn-1λ + bn =0… 4

An + b1 An-1 +b2An-2 +…+ bn-1A + bn I =0…5

Los términos de la ecuación anterior son matrices de orden nxn y la suma de ellas forma un sistema de ecuaciones algebraicas lineales, cuyas incógnitas son b1, b2, b3,…, bn, Para sumar vectores en lugar de matrices, se multiplicará por un vector cualquiera y compatible con A y diferente de cero, con lo cual:

An y + b1 An-1 y +b2An-2 y +…+ bn-1ª y + bn y =0…6

Al resolver este sistema se obtienen los coeficientes de la ecuación característica, los cuales se sustituyen en la expresión 4.

Ejemplo, sea:

A= (0 1 11 2 11 1 0) ; y= (1, 1,1)

A y = (0 1 11 2 11 1 0)(

111)=(242)

A2 y = A (Ay)= (0 1 11 2 11 1 0)(

242)=( 6126 )

A3 y = A (A2y)= (0 1 11 2 11 1 0)(

6126 )=(183618)

(183618)+( 6126 )b1 + (242) b2 + (111) b3 = (000)

(6b 2b b12 4b b6b 2b b) = (−18−36

−18) (6 2 112 4 16 2 1)=(−18−36

−18)

Resolviendo por Gauss-Jordan

b1= 102.57 λ3 +102.57 λ2 – 8.90λ=0 Ec. Característica

b2= 1

b3= -8.90

Método de Potencias

Estos métodos son utilizados cuando se desea conocer de una matriz el valor característico de mayor o menor valor absoluto.

El procedimiento consiste en utilizar la expresión:

Ax=λx… 1

Dónde:

Λ= valor característico

x= vector característico

Cómo fórmula de recurrencia tomando un vector inicial Xo≠0 de la forma:

X0¿(X 1X 2...Xn

)

Sustituyendo este vector en el primer miembro de la expresión 1 y efectuando la multiplicación indicada, se obtiene una primera aproximación en el segundo miembro.

AX(0)=λ(1) X(1)

Dónde:

λ(1) X(1) = (X1X2...Xn

) (vector del producto realizado)

Si ahora tomamos la primera aproximación del vector característico X(1) y lo multiplicamos por la matriz de coeficientes, se obtiene:

AX(1)=λ(2) X(2)

En donde λ(2) será una nueva aproximación al valor característico, y X(0) a su correspondiente vector iterando sucesivamente se obtiene:

AX(0)=λ(1) X(1)

AX(1)=λ(2) X(2)

.

.

.

En general podemos escribir:

AX(k-1)=λ(k)X(k)

Este proceso se repetirá hasta que la diferencia X(n) valor absoluto entre los valores característicos obtenidos en dos iteraciones sucesivas sean menor que una tolerancia preestablecida. Cabe hacer aclaración que el vector inicial puede ser ≠ 0.

Método de Doo Little y Crour

Aún cuando las matrices L y U pueden obtenerse en la triangular de la matriz aumentada es deseable encontrar un método más directo a su determinación.

Esto es factible analizando la factorización de A en las matrices generales de orden 3 L y U, dadas a continuación:

(l 0 0l l 0l l l )(

u u u0 u u0 0 u)=(a a a

a a aa a a)

Análisis:

1. Se multiplican las tres columnas de u por la primera fila de L

l11 u11 = a11

l11 u12 = a12

l11 u13 = a13

2. Segunda fila de L por las columnas de U

l21 u11 = a21

l21 u12 + l22 u22 = a22

l21 u13 + l22 u23 = a23

3. Tercera fila de L por las tres columnas de U c

l31 u11 = a31

l31 u12 + l32 u22 = a32

l31 u13 + l33 u23 + l33 u33 = a33

Se llega a un sistema de a ecuaciones en 12 incógnitas l12, l22, l31,l32, l33, u11, u12, u13, u22, u23, u33; por lo que será necesario establecer tres condiciones arbitrarias sobre las incógnitas para resolver dicho sistema.

La forma de seleccionas las condiciones ha dado lugar a diferentes métodos, por ejemplo si se toma a modo que d1= l22d33=1 se obtiene el método Do Little, si en cambio se selecciona U11=u22=u33=1, el algoritmo resultante es llamado método de Crour.

Se continuará el desarrollo de la factorización

l11= l22= l33=1

De (a) l11 u11 = a11, u12 = a12, u13 = a13… 1

De b y sustituyendo los resultados de 1

l21= a21u11=

a21a11

u22 = a22 - l21 u12 = a22 - a21u11 a12

2 u23 = a23 - 3l21 u12 = a23- a21u11 a13

De c y sustituyendo las soluciones de 1 y 2

l31 = a31u11=

a31a11

3 l32 = (a32 - l31 u12 ) / u22 = (a32 -a31u11 a12) / a22 -

a11u11 a12

u33 = a33 - l31 u13 + l33 u23

La ecuación 1, 2 y 3 conviniendo las generalizadas constituyen un método directo para la obtención de l y u con la ventaja sobre la triangulación de que no se tienen que escribir repetidamente las ecuaciones o arreglos modificados Ax=b