Solución-del-Segundo-Parcial-TipoA
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7/27/2019 Solucin-del-Segundo-Parcial-TipoA
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Caracas: 14-12-2013.
SOLUCIN DEL SEGUNDO PARCIAL DE MATEMTICASIII, TIPO A
1. Las rectas L 1 y L2 estn dadas por las ecuaciones:
,2
23:1
z
yxL ,
,23
,34
23
:, 2
t
tz
ty
tx
L
a) Halle una ecuacin para el plano que contiene el
punto Q(-2,3,2) y es paralelo a L1 y L2. (5 puntos)
b) Calcule la distancia entre Q y L 2. (5 puntos)
Solucin:
a) Una forma de calcular el plano Pi en el espacio,
es teniendo un punto de l, y su vector normal n, este se
obtiene haciendo el producto vectorial de los vectores
directores de cada recta, ya que este tambin es
perpendicular a los vectores directores de L 1 y L2 , por
ser paralelos al plano pedido, entonces:
Los vectores directores de las rectas dadas son:
),0,1,3(
,2
,32
: 11
Lu
z
yxL )2,3,2(2 Lu
El vector director de L1 tambin se poda obtener con dos
puntos cualesquiera de la recta.
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Entonces:
)7,6,2(762)62(92
232
01321
kjijkki
kji
uxu LL
As la ecuacin del plano Pi es:
,0762:
,0)2(7)3(6)2(20)7,6,2)(2,3),2((:
zyx
zyxzyx
Otra forma de hacerlo era indicar que los vectores directores
de las rectas dadas y el vector ),2,3),2(( zyxQP Se encuentran
en el mismo plano o son coplanarios:
,0762
202
313
232
)(: 21
zyx
z
y
x
QPxuu LL
A continuacin vemos el plano Pi con el punto Q:
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b) Sabiendo que:
La distancia de un punto a una recta, corresponde a la
perpendicular trazada desde el punto hasta la recta .
Ya que el rea de un Paralegramo de lados AP y u r es
el valor absoluto de su producto vectorial, se tiene:
Sea A un punto de L 2, A(3,4,-3),
)2,3,2(),5,1,5()3(2,43,32( 2 LuAQ
)17,0,17(1717)10152(10215515232
kijkijki
kji
AQxur
-
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1723)2(
,21717.217)17(
222
2
222
2
L
L
u
AQxu
Luego, la distancia del punto Q a la recta L 2es:
uLQd 3417
217),(
2
Tambin se pudo haber utilizado la proyeccin del vector AQ
sobre el vector director de la recta L2, y la distancia es:
uu
u
uAQAQLQd L
L
L 34).(
),( 22
2
22
2. Los puntos A(1,3,-1),B(2,0,2) y C(4,-1,-3) sonvrtices consecutivos de un paralelogramo.
a) Halle el vrtice restante D (5 puntos)
b) Calcule el rea del tr ingulo de vrtices A, B y D
(5 puntos)
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Solucin:
a) Se muestra el Paralelogramo en el espacio:
Una forma de hacerlo:
Se tienen los puntos del Paralelogramo ABCD
(CONSECUTIVOS):
A(1,3,-1),B(2,0,2),C(4,-1,-3) y D(a,b,c), como los
respectivos lados opuestos del Paralelogramo son
iguales se puede usar que:
)6,2,3()1,3,1()3,1,2( DcbaADBC
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b) El Paralelogramo ABCD est dividido en dos
tringulos iguales, y el rea del Paralelogramo es el
valor absoluto del producto vectorial de dos de los
vectores consecutivos (con un vrtice comn) quelo forman, entonces el rea del tr ingulo es la
mitad de este valor.
Luego si tomamos a A como vrtice comn:
2
log
222
2
470
,470)5(1118)5,11,18(
))536(615(
512
331
uA
jikjkiAbs
kji
AbsADxAB
ramoPara le
Este ejercicio se poda hacer con la suma de
vectores.
3. Demuestre que el siguiente conjunto es unsubespacio de R4 ,
cbacbacbcacaW t ,,,),,,,( 4
Solucin:
Se tiene que:
cba
cba
cb
ca
ca
W ,,:4
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Sean dos vectores pertenecientes a W:
,,,,: 11114
111
11
11
11
1 WVcba
cbacb
ca
ca
V
,,,,: 22224
222
22
22
22
2 WVcba
cba
cb
ca
ca
V
Sean alfa y beta dos escalares cualesquieras,
entonces:
.
)()()(
)()(
)()(
)()(
4
21
212121
2121
2121
2121
222111
2211
2211
2211
21
deVSubespacioesWWVV
ccbbaa
ccbb
ccaa
ccaa
cbacba
cbcb
caca
caca
VV
4. Halle una base y la dimensin del subespacio H delas matrices A de orden 2 tales que:
srtrstarstarstarstaMAH x ,,,332,252,62,423, 2221121122
Solucin:
32
64,
35
22,
22
13
32
64
35
22
22
13
332252
62423
genH
rstA
rstrst
rstrstA
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Estos vectores son l inealmente independientes y
generan a H, entonces constituyen una base de H.
.3)dim(32
64,
35
22,
22
13
HB
Verifico que los vectores de B son L.I.
,0
00
00
332252
62423
00
00
32
64
35
22
22
13
rst
rstrst
rstrst
rst
5. Diga si los siguientes enunciados son verdaderos ofalsos.
a) 23 ,),,,( accbaS t es un subespacio de 3
Falso, contraejemplo: (3puntos)
(2,-1,4)tpertenece a S, ya que 4=22,(-1.0,1)tpertenece a S, ya que (-1)2 =1,
Pero la suma de estos elementos del conjunto S:(2,-1,4)t+(-1,0,1)t=(1,-1,5)t, y 5no es igual a 12, por lo tanto la sumade estos elementos no pertenece a S, es decir S no es un SubespacioVectorial en el espacio.
b) Sean V un espacio vectorial y B una base de V,
entonces B es nica. (2 puntos)
Falso, contraejemplo:
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En general, suele haber infinitas bases distintas para un mismo
espacio vectorial. Por ejemplo, si , una base muy sencilla deVes:
La cual es conocida como base cannica de . Otras bases de son: