Solución Desafío 201

Se dispone una mesa de billar elíptica en la que se coloca una única bola, el reto consiste en

golpear esta bola para que después de varios rebotes en la banda vuelva a pasar por el punto

de partida. El hecho de rebotar “n” veces y posteriormente pasar por su punto de partida lo

llamaremos carambola a “n” bandas.

Solución gráfica de casos particulares

Soluciones gráficas de construcciones simples cuyas demostraciones por analítica se describen

en el apartado de Generalización, al margen de estas demostraciones aquí se incluye una

demostración geométrica [2] muy simple del caso bola en el centro a dos bandas.

Bola en el centro, a dos bandas.

La circunferencia de diámetro FF’ corta a la

elipse en los puntos de rebote [1]

Demostración [2]:

La circunferencia de centro O y radio “c” es la

circunferencia circunscrita al triángulo PP’P”,

La recta OD es mediatriz de uno de sus lados,

entonces la recta PD es bisectriz del ángulo

P’PP”

Igualmente se cumple con el triángulo PFF’

Entonces PD es el eje de simetría de las

trayectorias incidente y reflejada

Aparte de esta simple construcción y

demostración, también se llega a ella por la

generalización, de hecho fue el camino inicial.

En el apartado de generalización se justificará y

se presentará otra de las varias posibilidades

de construcción.

Bola en un vértice del eje mayor, 5 rebotes [3]

El arco de centro el vértice A y radio semieje

menor “b” determina sobre la elipse los puntos de

rebote.

Se justifica en el apartado de generalización

adjuntándose otra de sus posibles construcciones.

Bola en el vértice del eje menor, 5 rebotes [4] o

bola en el centro, 3 rebotes [5]

Trazamos un arco de radio “a” que pasando por

un foco F tiene su centro C sobre el eje mayor,

este arco corta a la prolongación del eje menor en

D. la circunferencia de centro O que pasa por D

determina sobre la elipse los puntos de rebote.

Se justifica en el apartado de generalización

adjuntándose otra de sus posibles construcciones.

Triangulo inscrito [6] de forma similar con el vértice en el vértice del eje menor

Una perpendicular por B a AB corta al eje mayor

en C. Sobre la prolongación del semieje menor

situamos D tal que OD=AB.

La circunferencia de centro C y radio CD corta a

la elipse en los vértices P

Se justifica en el apartado de generalización

adjuntándose otra de sus posibles

construcciones.

Generalización

Supuesta la mesa de billar elíptica como una elipse centrada en los ejes de coordenadas

cartesianas, de ecuación

Si en un punto “P(x,y)” de la elipse el ángulo de la tangente es “α” y el de la normal “β”, sus

respectivas tangentes son

Y sabido es que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión, denominamos por “γ” y

“δ” los ángulos de la trayectoria incidente y el de la trayectoria de reflexión respectivamente.

Con estas condiciones es posible generalizar bastantes casos de carambolas conduciéndonos a

sistemas de ecuaciones, ecuaciones no lineales que normalmente dificultan su solución

manual. El número de ecuaciones y grado dependen de los parámetros, su solución se

simplifica enormemente si es posible que algunos de los parámetros sean “0”.

Bola (D) en un punto cualquiera, a dos bandas o más. Si bien es fácil ver la

relación de los ángulos, , así como la relación de sus tangentes,

pero al ser dos

o más los

puntos “P” y “Q” sus

variables son cuatro o más ,

por lo tanto el sistema

resultante de ecuaciones

precisamente no lineales , un

intento de solución considero

que resulta bastante

complicado.

Octógono inscrito (y estrellado), bola en el vértice A’ y carambola a 7 bandas,

por la relación de ángulos de donde

Al ser

podemos escribir un sistema de ecuaciones con la función elipse (1) y la función

Dicho sistema conduce a una ecuación de 4º grado, ecuación que a los programas que

normalmente solicitamos ayuda se resisten a resolver por lo que deberíamos echar mano de

aproximaciones, por ejemplo por Bolzano.

De la misma forma el estrellado.

Clásico de bola en cualquier sitio con carambola a una banda.

En este caso los ángulos de incidencia y reflexión coinciden con la normal, por lo tanto

De donde resulta

Que junto con la ecuación de la

elipse (1) conseguimos una

ecuación de 4º grado, esta

ecuación para los parámetros

Con ayuda de “maquina” conseguimos las soluciones

Con otros parámetros sus soluciones reales sean únicamente dos, ejemplo

Triángulo inscrito

Entonces

Sistema aparentemente

aparatoso pero simplificable

que se puede resolver

manualmente, quedando la ecuación de 2º grado

De solución

Que con ayuda de una simple calculadora, introduciendo los parámetros obtendremos el

punto de rebote.

La solución anterior se puede escribir de la siguiente forma.

Forma que podemos traducir geométricamente, ver grafico [7].

Por otra parte, de (4) podemos escribir

Que sustituyendo en la elipse (1) resulta

Sumando (5) y (6) queda

Circunferencia [6] de centro y radio:

Hexágono inscrito, fácilmente vemos que la relación de ángulos cumple γ=2α, por lo

tanto

Que junto con

Resuelto el sistema a mano obtenemos

A partir de esta solución, fácilmente por el

teorema del cateto podemos situar el punto

P, de rebote, geométricamente.

Sobre el eje semieje mayor situamos el

semieje menor, punto B”, marcamos C punto

medio de A’ B”, con centro en C trazamos un arco de radio CO, con centro en U otro arco de

radio el semieje mayor. La abscisa de D es la abscisa del punto P.

Desde este punto P al vértice A

La distancia es “b”, lo que justifica la construcción [3]

Bola en el centro, carambola a

tres bandas (y hexágono

estrellado), por la relación de

ángulos

podemos escribir

su relación de tangentes

Que resuelto con la ecuación de la elipse

Obtenemos

Con la expresión de la ordenada resulta fácil

conseguir geométricamente la posición del

punto.

Unimos un vértice B del eje menor con un

foco F, prolongamos hasta que corte en C la

vertical por el vértice del eje mayor A. El segmento AC es la ordenada del punto de rebote.

La distancia del punto P al centro O

Es

Lo que justifica la construcción [5]

Bola en el centro, carambola a dos bandas

Entonces

Que resuelto con la elipse

Resulta

Para que pueda efectuarse esta

carambola necesariamente la

distancia focal ha de ser mayor

que el eje menor.

Por la condición de

Fácilmente podemos efectuar la

construcción

Por otra parte dicho punto cumple:

Lo que justifica la construcción [1]