UNIVERSIDAD DE PIURAFACULTAD DE INGENIERIACURSO: COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRAPRACTICA Nº 4Viernes 30 de mayo de 2008 Hora: 3:00 P.M.Duración: 2 h. NOMBRE:...................................................................SIN LIBROS, APUNTES, CALCULADORA, NI CUADERNILLO EXTRA

1. Hallar para que se cumpla: ( Envolvente lineal)

a. Que A y B sean iguales: A = B =

b. Que el conjunto C = sea base de R3

(2 puntos c/u)

2. Encuentre una base para los siguientes subespacios lineales:

a. El conjunto de todos los vectores de la forma:

b. El subespacio W si .

(2 puntos c/u)

3. En el siguiente ejercicio suponga que la matriz A es equivalente por filas a B. Y sean los vectores y :

, , ,

a. Hallar la dimensión y una base para el espacio de las columnas de A (ColA).b. Hallar la dimensión y una base para el espacio nulo de A (NulA).c. Determine si está en ColA.d. Determine si está en NulA.

(1 punto c/u)

4. Marque cada proposición como verdadera o falsa. Justifique cada respuesta.

1

a. Sean vectores en un espacio vectorial V y . Si , entonces algún subconjunto de S es una base para V.

b. El espacio nulo de es un subespacio lineal.c. Si es una matriz m x n entonces el espacio de columnas de (Col A) es el

conjunto de todas las soluciones a la ecuación .d. Una matriz de cambio de coordenadas de una base a la base natural siempre

es invertible.

Nota: - Sólo se corregirá las respuestas que hayan sido justificadas.- Sólo los enunciados falsos se pueden justificar con contraejemplos.

(1 punto c/u)

5. Sean:

, , ,

Encuentre una base para tal que P sea la matriz de cambio de

coordenadas de a la base . Sugerencia: ¿Qué representan las columnas de P?

(4 puntos)

2

Solución

Pregunta 1.

a) Primero determinamos cada envolvente lineal generada:

A = = =

B = = =

Serán iguales si tienen la misma estructura, por lo tanto el tercer elemento del conjunto B debe ser la suma del doble del primero más el segundo:

b) Como se trata de tres vectores en R3 entonces, para que formen una base, los tres vectores deben ser linealmente independientes, es decir deben generar al vector cero con unicidad, (la ecuación con la matriz formada por los 3 vectores debe tener sólo la solución trivial):

Como se puede ver el rango de la matriz es menor que 3, el sistema es compatible e indeterminado, por lo tanto el conjunto de vectores es LINEALMENTE DEPENDIENTE. Así no habrá valor de que haga base al conjunto C.

Pregunta 2.

Una base de un subespacio lineal es un conjunto linealmente independiente que genera dicho subespacio.

a. Para encontrar una base para el subespacio lineal formado por todos los vectores de

la forma: , expresamos dicho subespacio como una combinación

lineal de vectores:

3

0.5 puntos

0.5 puntos

1 pto.

1 pto.

1 pto.

=

Entonces, tenemos que averiguar si los tres vectores obtenidos son linealmente independientes o sólo algunos de ellos. Para ello, tenemos que saber cómo generan la vector cero:

De la forma escalonada podemos ver que el sistema homogéneo tiene infinitas soluciones no triviales, por tanto los tres vectores no son linealmente independientes, sino sólo dos de ellos porque hay una variable libre. Por tanto podemos formar una base con dos de los tres vectores, por ejemplo con los dos primeros (el tercero es una combinación lineal de los dos primeros):

b. Para encontrar una base para el subespacio W si ,

hallamos primero su estructura y luego la expresamos como la combinación lineal de vectores:

Los vectores de la combinación lineal son linealmente independientes porque uno no es múltiplo del otro. Por tanto forman una base:

4

0.5 puntos

0.5 puntos

0.5 puntos

1.5 puntos

0.5 puntos

Pregunta 3.

Si A es equivalente por filas a B y B está en forma escalonada, entonces B es una forma escalonada de A.

a. Para hallar una base para el espacio de las columnas de A (ColA) necesitamos saber qué columnas de A son linealmente independientes. Como los vectores columna de A linealmente independientes son sus columnas pivote, entonces observando en la forma escalonada B identificamos a las columnas 1, 3 y 4 como columnas pivote. Por tanto, una base para el espacio columnas de A esta dado por las columnas 1, 3 y de A:

Base para ColA =

La dimensión de un subespacio lineal está dada por el número de vectores que forman una base. Por tanto la dimensión de ColA es 3.

b. Para hallar una base para el espacio nulo de A (NulA) necesitamos resolver el sistema homogéneo. Para ello necesitamos hallar la forma reducida de A:

A B =

, y variables libres.

Los vectores generadores de la solución del sistema homogéneo (NulA) son linealmente independientes, por tanto:

5

0.5 puntos

0.5 puntos

0.5 puntos

Base para NulA = , la dimensión de NulA será 2.

c. Como el espacio de columnas de A es el conjunto de todas las combinaciones lineales de las columnas de A, el vector sí está en ColA porque es una de las columnas de la matriz A, la quinta.

d. El espacio nulo de A es el conjunto de todos los vectores , soluciones de la ecuación homogénea , entonces estos vectores tienen 5 entradas (porque A tiene cinco columnas y el sistema homogéneo tendría cinco incógnitas). El vector no podría estar en NulA porque tiene sólo cuatro entradas.

Pregunta 4.

a. Verdadero. Porque si el conjunto es linealmente independiente, entonces S ya es una base (ya que genera V). Si S no es linealmente independiente significa que algún vector de S depende de los otros y puede ser suprimido, y el nuevo conjunto seguiría generando V. Podemos suprimir todos los vectores dependientes hasta que el conjunto generador que quede sea linealmente independiente y por lo tanto sea una base para V , este conjunto generador es un subconjunto de S.

b. Verdadero. El espacio nulo de (NulA) es un subespacio lineal porque satisface las condiciones de un subespacio lineal, es decir si y son dos vectores de NulA, entonces se cumple que y (c es un escalar) pertenecen a NulA. Demostración:Si NulA Si NulA Para demostrar que está en NulA, tenemos que demostrar que Usando una propiedad de la multiplicación de matrices tenemos:

, entonces está en NulA.Por último:

, entonces está en NulA.

Por tanto NulA es un subespacio lineal

c. Falso. Porque el espacio de columnas de (Col A) es el conjunto de todas las combinaciones lineales de las columnas de A (vectores ) y las soluciones a la ecuación , son los vectores .

d. Verdadero. Porque una matriz de cambio de coordenadas de una base a la base natural está formada por los vectores de la base, y estos vectores son linealmente independientes y generan , por tanto van a formar una matriz cuadrada invertible.

6

0.5 puntos

1 pto.

1 pto.

1 pto.

1 pto.

1 pto.

1 pto.

Pregunta 5.

Sean las bases: y . Como P es la matriz de cambio de coordenadas de la base U a la base V, entonces sus vectores columnas están expresados en la base V y representan los vectores en base V . Por tanto P sería:

El vector está formado por los escalares en la combinación lineal de los vectores

para formar :

, es decir si , entonces:

, de igual manera:

Reemplazando:

Entonces la base U será:

7

2.5 ptos.

0.5 puntos

0.5 puntos

0.5 puntos