SOLUCIONARI Unitat 1 - · PDF fileSOLUCIONARI Unitat 1. 7]. En quin dels tres intervals...

Comencem

� La funció f(x) = x2 és decreixent en l�interval(�¥, 0). Fes un raonament com el que hemfet anteriorment per determinar on decreixamb més rapidesa, si ens movem prop de x = �5 o si ho fem prop de x = �2?

Prop de x = �5x = �5,1 ® f (�5,1) = (�5,1)2 = 26,01x = �4,9 ® f (�4,0) = (�4,9)2 = 24,01Augment de x: �4,9 � (�5,1) = 0,2Dimensions de f(x): 24,01 � 26,01 = �2

Prop de x = �2x = �2,1 ® f (�2,1) = (�2,1)2 = 4,41x = �1,9 ® f (�1,9) = (�1,9)2 = 3,61Augment de x: �1,9 � (�2,1) = 0,2Dimensions de f(x) = 3,61 � 4,41 = �0,8

Prop de x = �5, la funció disminueix 10 vegadesel que augmenta x, mentre que prop de x = �2,la disminució de la funció és 4 vegades mésgran que l�augment de x. Per tat, la funció f(x) = = x2 decreix amb més rapidesa prop de x = �5.

� Representa gràficament la funció f(x) = 2x � 3.On creix més de pressa, en x = 0 o en x = 3?Passaria el mateix per a qualsevol altre valorde x? Raona la resposta.

Fig. 1.1

El creixement d�aquesta funció és uniforme, in-dependentment del valor de x que es considera.Fixa�t que:

f(x) = 2x � 3f(x + h) = 2 (x + h) � 3 = 2x + 2h � 3Augment de x: x + h � x = hAugment de f(x) = 2x + 2h � 3 � (2x � 3) = 2h

Sigui quin sigui el valor de x, l�augment que ex-perimenta la funció és el doble que l�augmentde x.

Exercicis

1. La gràfica velocitat-temps corresponent ados mòbils és la que pots veure a la dreta(fig. 1.3).

a) Quina és la velocitat de cada mòbil al�instant inicial, quan t = 0?

A l�instant inicial, v1 = v2 = 0.

b) Com pots veure, la velocitat de cada mò-bil augmenta a mesura que passa eltemps. En quin cas augmenta més depressa? Per què?

La velocitat del mòbil 2 augmenta més depressa, ja que per a qualsevol valor t > 0,es compleix v2 > v1.

c) Quin dels dos mòbils haurà recorregutuna distància més gran després de 5 sd�haver començat el moviment?

El mòbil 2, ja que en tot moment t > 0 laseva velocitat és més gran.

2. Quina és la velocitat mitjana del ciclista del�exemple anterior durant els 10 s?

3. A partir de la gràfica distància-temps se-güent (fig. 1.5), calcula en km/h:

a) La velocitat mitjana del mòbil en cadas-cun dels intervals de temps [0, 2], [2,3,5] i [3,5, 4,5].

b) La velocitat mitjana del mòbil durant les4,5 h que ha durat el trajecte.

4. La funció f(x) = x3 + 2 sempre és creixent.Calcula�n la variació mitjana a cadascundels intervals següents: [�3, �1], [0, 2] i [5,

-= =

-387 0

[0,4,5] 86 km/h4,5 0mv

-= = =

-387 300 87

[3,5, 4,5] 87 km/h4,5 3,5 1mv

-= = =

-320 120 180

[2, 3,5] 120 km/h3,5 2 1,5mv

-= = =

-120 0 120

[0,2] 60 km/h2 0 2mv

-= = =

-120 0 120

[0,10] 12 m/s10 0 10mv

McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U. Matemàtiques 2. Batxillerat

1

SOLUCIONARI Unitat 1

7]. En quin dels tres intervals té un creixe-ment més ràpid?

La funció f(x) = x3 + 2 té el creixement més rà-pid en l�interval [5,7].

5. Demostra que la variació mitjana de la fun-ció f(x) = 3x + 1 sempre és la mateixa, inde-pendentment de l�interval [x1, x2] conside-rat.

En qualsevol interval [x1, x2] la variació mitja-na de la funció és 3.

6. Quant val la variació mitjana de la funcióf(x) = 5 en qualsevol interval [x1, x2]?

Val zero, ja que es tracta d�una funció cons-tant.

7. Calcula la variació mitjana de la funció f(x) = �x2 + 4x a l�interval [2,9, 3,1]. Creix odecreix aquesta funció al voltant de x = 3?

Fes-ne la representació gràfica i tot seguitcomprova la teva resposta.

Podem esperar que la funció f(x) = �x2 + 4x de-creixi al voltant de x = 3. Ho comprovem a lagràfica de la funció.

Fig. 1.2

8. Representa gràficament la funció d = 40t �5t2 corresponent al moviment del cos de l�e-xemple anterior. Quant triga a assolir l�altu-

ra màxima? Quin és el valor d�aquesta altu-ra? Quant triga a tornar al punt de llança-ment?

Fig. 1.3

El cos que es considera:

� Triga 4 s a assolir l�altura màxima.� El valor d�aquesta altura és 80 m.� Triga 8 s a tornar altre cop al punt de llança-

ment.

9. Calcula la velocitat d�aquest cos en els ins-tants t = 4 s i t = 8 s. Interpreta�n els resul-tats obtinguts.

Per a t = 4 s, el cos canvia el sentit del seu mo-viment. Passats 8 s, el cos torna a la posicióde sortida. Fixa�t que hi arriba a la mateixa ve-locitat amb què ha estat llançat, però movent-se en sentit contrari. D�aquí el signe menys dev (8).

10. On es troba el cos en els instants t = 3 s i t = = 5 s? Quina és la seva velocitat en cadas-cun d�aquests instants?

t = 3 s ® d = f (3) = 75 m.t = 5 s ® d = f (5) = 75 m.t = 3 s i t = 5 s ® el cos es troba a la mateixaposició: a 75 m del punt de llançament.

® ®

- - + - - -= = =

- -

2

3 3

5( 8 15) 5( 3)( 5)lim lim

3 3t t

t t t t

t t

2

3 3

( ) (3) 40 5 75(3) lim lim

3 3t t

f t f t tv

t t® ®

- - -= = =

- -

85 (8) 40 m/st v= ® = -

® ®

- -= = - = -

-8 8

5 ( 8)lim lim( 5 ) 40

8x t

t tt

t

2

8 8

( ) (8) 40 5 0(8) lim lim

8 8x t

f t f t tv

t t® ®

- - -= = =

- -

4 (4) 0t s v= ® =4

lim[ 5( 4)] 0t

t®

= - - =

® ®

- - + - -= =

- -

22

4 4

5( 8 16) 5( 4)lim lim

4 4t t

t t t

t t

2

4 4

( ) (4) 40 5 80( ) lim lim

4 4t t

f t f t tv a

t t® ®

- - -= = =

- -

(3,1) (2,9) 2,79 3,19 0,42

3,1 2,9 0,2 0,2

f f- -= = =

-

2 1

2 1

3( )3

x x

x x

-= =

-

2 1 2 1 2 1

2 1 2 1 2 1

( ) ( ) 3 1 (3 1) 3 3f x f x x x x x

x x x x x x

- + - + -= = =

- - -

(7) (5) 345 127 218Interval [5,7]: 109

7 5 2 2

f f- -= = =

-

(2) (0) 10 2 8Interval [0,2]: 4

2 0 2 2

f f- -= = =

-

( 1) ( 3) 1 ( 25) 26Interval [ 3, 1]: 13

1 ( 3) 1 3 2

f f- - - - -- - = = =

- - - - +


2

Naturalment, per a t = 3 s, el cos està en tra-jectòria ascendent (v > 0). En canvi, quan t = 5,el cos ja està en trajectòria descendent (v < 0).En ambdós instants, el mòdul de la velocitat ésel mateix: 10 m/s.

11. Sabem que la funció f(x) = �x2 + 6x és de-creixent al voltant de x = 4. Quantificaaquest decreixement a partir del càlcul de

. Interpreta�n el resultat obtin-

gut.

Per a valors de x pròxims a 4, la funció f(x) dis-minueix de l�ordre de dues vegades el queaugmenta x.

12. Fes el mateix estudi de l�exercici anteriorper a x = 3.

Fixa�t en la gràfica de la funció i interpretael resultat que has obtingut.

Als voltants de x = 3, la funció pràcticament novaria.

13. Representa gràficament la funció f(x) = �2x+ 3. Calcula f '(�2), f�(0) i f '(3). Interpreta�nels resultats.

Fig. 1.4

També es verifica: f ' (0) = f ' (3) = �2.

La funció f (x) = �2x + 3 decreix sempre de lamateixa manera, és a dir, presenta un decrei-xement uniforme. En general, f ' (x0) = 2, x0 ÎR.

14. Donada la funció f(x) = ax + b, demostraque f '(x0) = a, independentment del valor x0

considerat.

15. Calcula, si és possible:

a) f '(8) si f(x) =

b) f ' si f(x) = 4 � x2

0lim( 1 ) 1h

h®

= - + = -

2

0 0

1 14 4 ( 1 )4 4lim lim

h h

h h h h

h h® ®

- - - - + - += = =

®

æ ö æ ö- + - -ç ÷ ç ÷è ø è ø= =

2

0

1 14

2limh

h hh

h

®

æ ö æ ö+ -ç ÷ ç ÷æ ö è ø è ø= =ç ÷è ø 0

1 11 2 2

' lim2 h

f h ff

h

12

0

1 1lim

69 3h h®= =

+ +

( ) ( )0

9 9lim lim

9 3 9 3h h o

h h

h h h h® ®

+ -= = =

+ + + +

( )( )( )0 0

9 3 9 39 3lim lim

9 3h h

h hh

h h h® ®

+ - + ++ -= = =

+ +

® ®

+ - + + -= = =

0 0

(8 ) (8) 8 1 3'(8) lim lim

h h

f h f hf

h h

1x ++

0 0lim lim h h

aha a

h® ®= = =

0 0

0limh

ax ah b ax b

h®

+ + - -= =

0 0

0

( ) ( )limh

a x h b ax b

h®

+ + - += =

®

+ -= =0 0

0 0

( ) ( )'( ) lim

h

f x h f xf x

h

0 0

2lim lim 2 2h h

h

h® ®

-= = - = -

® ®

- - + + - - + -= =

0 0

2( 2 ) 3 7 4 2 3 7lim limh h

h h

h h

®

- + - -- = =

( 2 ) ( 2)'( 2) lim

h o

f h ff

h

® ®

- -= = - =

-

2

3 3

( 3)lim lim(3 ) 0

3x x

xx

x

2

3 3

( ) (3) 6 9lim lim

3 3x x

f x f x x

x x® ®

- - + -= =

- -

® ®

- - -= = - = -

-4 4

( 2)( 4)lim lim(2 ) 2

4x x

x xx

x

2

4 4

( ) (4) 6 8lim lim

4 4x x

f x f x x

x x® ®

- - + -= =

- -

4

( ) (4)lim

4x

f x fx®

--

5 2 10 m/s= - × = -

5 5

5( 3)( 5)lim lim[ 5( 3)]

5t t

t tt

t® ®

- - -= - - =

-

2

5 5

( ) (5) 40 5 75(5) lim lim

5 5t t

f t f t tv

t t® ®

- - -= = =

- -

3lim[ 5( 5)] 5 ( 2) 10 m/st

t®

- - = - × - =


3

c) f '(0) si f(x) =

No existeix f ' (0), ja que x = 0 no pertany al

domini de la funció ® no existeix

f(0).

16. Representa gràficament la funció f(x) = x2 �2x + 4 i indica�n, a partir de la gràfica, elsintervals de creixement i decreixement.Comprova que f '(1) = 0.

Fig. 1.5

Decreixent: (�¥, 1)Creixent: (1, +¥)

17. Sense fer-ne la representació gràfica, indi-ca si la funció f(x) = (2 � x)2 és creixent odecreixent en x = 6. Fes el mateix estudi enx = �1.

® f ' (6) > 0 ® creixent en x = 6.

® decreixent en x = �1

18. Com ha de ser una funció perquè la deriva-da sigui nul·la en tots i cadascun dels puntsdel seu domini? Per què?

La funció ha de ser constant, f(x) = K, KÎR. Ésaixí perquè si una funció és constant, la sevavariació és zero per a qualsevol valor de x Î Df= R.

19. Calcula si és possible:

a) f '(�4) si f(x) =

No és possible, ja que no existeix

R

b) f '(1) si f(x) =

c) f '(0) si f(x) = 2x2 + 1

d) f '(�2) si f(x) = 10x + 3

20. Calcula la funció derivada de cadascuna deles funcions següents:

a) f(x) = �x + 7

0 0 0

7 7lim lim lim 1 1h h h

x h x h

h h® ® ®

- - + + - -= = = - = -

®

- - + + - - += =

0

( ) 7 ( 7)'( ) lim

h

x h xf x

h

0 0

10lim lim10 10h h

h

h® ®= = =

0

20 10 3 17limh

h

h®

- + + += =

0

10( 2 ) 3 ( 17)limh

h

h®

- + + - -= =

®

- + - -- = =

0

( 2 ) ( 2)'( 2) lim

h

f h ff

h

2 2

0 0 0

2 1 1 2lim lim lim 2 2 0 0h h h

h hh

h h® ® ®

+ -= = = = × =

® ®

+ - -= = =

0 0

(0 ) (0) ( ) (0)'(0) lim lim

h h

f h f f h ff

h h

0 0

2 2 22 21lim lim lim 2

(1 ) 1h h h o

hhh

h h h h® ® ®

- --+= = = = -

+ +

( )® ®

-+ - += = =0 0

22(1 ) (1) 1' 1 lim lim

h h

f h f hfh h

2x

( 4) : ( 4) 4f f- - = - Ï

x

1

0 0

( 6)lim lim( 6) 6 ( 1) 0h h

h hh f

h® ®

-= = - = - ® - <

2 2

0 0

4 4 4 1 2 9 6lim limh h

h h h h h

h h® ®

+ - + - + - -= = =

2

0

4 4( 1 ) (1 ) 9limh

h h

h®

- - + + + -= =

®

- + - -- = =

0

( 1 ) ( 1)'( 1) lim

h

f h ff

h

2

0 0 0

8 ( 8)lim lim lim( 8) 8h h h

h h h hh

h h® ® ®

+ += = = + =

2

0

4 24 4 36 12 16limh

h h h

h®

- - + + + -= =

2

0

4 4(6 ) (6 ) 16limh

h h

h®

- + + + -= =

®

+ -= =

0

(6 ) (6)'(6) lim

h

f h ff

h

2

0 0lim lim 0h h

hh

h® ®= =

2

0

1 2 2 2 4 3limh

h h h

h®

+ + - - + -=

2

0

(1 ) 2(1 ) 4 3limh

h h

h®

+ - + + -= =

®

+ -= =

0

(1 ) (1)'(1) lim

h

f h ff

h

1( )

2f x =

1x


4

b) f(x) = 1 � 2x2

c) f(x) = , x ¹ 0

d) f(x) = , x ¹ 0

e) f(x) = , x > 0

f) f(x) = 3

g) f(x) = 3x2 + 2x � 1

h) f(x) = p

21. Sense fer-ne la representació gràfica, deter-mina els intervals de creixement i decreixe-ment de la funció f(x) = �x2 + 6x � 8. Quantval f '(3)?

22. Donada la funció f(x) = 6 � x2, calcula f '(�2) if '(4). Indica si la funció és creixent o decrei-xent en x = �2 i en x = 4.

la funció és creixent en x = �2

la funció és decreixent en x = 4

23. Donada la funció f(x) = x4, calcula f '(x) dedues maneres diferents:

a) Aplicant la definicó de funció derivada.

3 2 2 3 3

0lim(4 6 4 ) 4h

x x h xh h x®

= + + + =

3 2 2 3

0

( 6 4 )limh

h hx x h xh h

h®

+ + += =

4 3 2 2 3 4 4

0

4 6 4limh

x x h x h xh h x

h®

+ + + + -= =

®

+ -= =

4 4

0

( )'( ) lim

h

x h xf x

x

= - × = - < ®'(4) 2 4 8 0f

- = - × - = > ®'( 2) 2 ( 2) 4 0f

0lim( 2 ) 2h

x h x®

= - - = -

2 2 2

0 0

6 2 6 ( 2 )lim limh h

x xh h x h x h

h h® ®

- - - - + - - -= = =

®

- + - -= =

2 2

0

6 ( ) (6 )'( ) lim

h

x h xf x

h

= - × + ='(3) 2 3 6 0f

(3, ) funció decreixent+¥

< ® - + < ® < - ® > ®'( ) 0 2 6 0 2 6 2 6f x x x x x

( ,3) funció creixent-¥

> ® + > ® - > - ® < ® <'( ) 0 2 6 0 2 6 2 6 3f x x x x x

0lim( 2 6) 2 6h

h x x®

= - - + = - +

2

0 0

2 6 ( 2 6)lim limh h

h xh h h h x

h h® ®

- - + - - += = =

2 2 2

0

2 6 6 8 6 8limh

x xh h x h x x

h®

- - - + + - + - += =

®

- + + + - - - + -= =

2 2

0

( ) 6( ) 8 ( 6 8)'( ) lim

h

x h x h x xf x

h

® ®

p - p= = =

0 0

0'( ) lim lim 0

h hf x

h h

0 0

( 6 2)lim lim( 6 2) 6 2h h

h h xh x x

h® ®

+ += = + + = +

2 2 2

0

3 6 2 2 1 3 2 1limh

x xh h x h x x

h®

+ + + + - - - += =

®

+ + + - - + -= =

2 2

0

3( ) 2( ) 1 (3 2 1)'( ) lim

h

x h x h x xf x

h

® ®

-= = =

0 0

3 3 0'( ) lim lim 0

h hf x

h h

0

1 1lim

2h x h x x®= =

+ +

( ) ( )0 0lim limh h

x h x h

h x h x h x h x® ®

+ -= = =

+ + + +

( )( )( )0

limh

x h x x h x

h x h x®

+ - + += =

+ +

®

+ -= =

0'( ) lim

h

x h xf x

h

x

2 2 4 30

(2 ) 2 2lim

( )h

x h x

x x h x x®

- += = - = -

+

2 2 2

2 2 2 20 0

2 (2 )lim lim

( ) ( )h h

x x xh h h x h

hx x h hx x h® ®

- - - - += = =

+ +

® ®

- +-

+ += = =

2 2

2 2 2 2

0 0

1 1 ( )( ) ( )

'( ) lim limh h

x x h

x h x x x hf x

h h

2

1x

® ®

- -= = = -

+ + 20 0

1 1lim lim

( ) ( )h h

h

h x h x x x h x

® ®

- -- + ×+= = =

0 0

1 1( )

'( ) lim limh h

x x h

x h xx h xf xh h

1x

® ®

- += = - + = -

0 0

2(2 )lim lim 2( ) 4h h

x hx h x

h

2 2 2

0

1 2 4 2 1 2limh

x xh h x

h®

- - - - += =

®

- + + - += =

2 2 2

0

1 2( 2 ) 1 2limh

x xh h x

h

2 2

0

1 2( ) (1 2 )( ) lim

h

x h xf x

h®

- + - -=


5

b) A partir de la segona regla que acabemde veure.


a) f(x) =

b) f(x) = x7

c) f(x) =

d) f(x) =

e) f(x) =

f) f(x) =

25. Donada la funció f(x) = x3, calcula f '(�1) if '(1). Indica si la funció és creixent o decrei-xent en aquests dos punts, i en cas que hipresenti el mateix tipus de variació, digueson és més ràpida aquesta variació.

la funció és creixent enx = 1 i en ambdós punts creix amb la mateixarapidesa.

26. Pot decréixer en algun punt la funció de l�e-xercici anterior? Per què?

No, perquè f ' (x) = 3x2 � 0 per a qualsevol xÎR

27. Considera la funció:

f(x) = . Calcula f '(1) i f '(8). Interpreta�n elsresultats obtinguts.

f ' (1) > 0 i f ' (8) > 0 ® la funció és creixent en x= 1 i també en x = 8.f ' (1) > f ' (8) ® la funció creix amb més rapide-sa prop de x = 1 que prop de x = 8.


a) f(x) = 3x3 � 5x2 + 7

b) f(x) = x + �3

c) f(x) =

d) f(x) =

e) f(x) = (2x + 3)2

f) f(x) =

29. Indica per a quins valors de x s�anul·la la de-rivada de la funció f(x) = x3 � 5x2 + 3x + 4.

= - +2'( ) 3 10 3f x x x

= -4 2

3 2'( )f x

x x

3

1 27

xx

--++ ++

= +'( ) 8 12f x x

=1

'( )2

f xx

10 x++

= -34 6'( )

5 7f x x x

4 235 7x x

--

= -2

1'( ) 1f x

x

1x

= -2'( ) 9 10f x x x

= = = =3 3

1 1 1 1'(1) ; '(8)

3 123 1 3 64f f

-= =2 /3

3 2

1 1'( )

3 3f x x

x

3 x

= - = > ®'(1) '( 1) 3 0f f

= × = - = × - =2 2'(1) 3 1 3; '( 1) 3 ( 1) 3f f

2 22 2 2

0 0

(3 3 )lim lim(3 3 ) 3h h

h x xh hx xh h x

h® ®

+ += = + + =

3 2 2 3 3

0

3 3limh

x x h xh h x

h®

+ + + -= =

®

+ -= =

3 3

0

( )'( ) lim

h

x h xf x

h

-= - = -77

6'( ) 6f x x

x

6

1x

='( ) 0f x

3 2

-= × =1/3

3

2 2'( )

3 3f x x

x

3 2x

-= - = - = -3 / 2

5

1 1 1'( )

2 22f x x

x xx

1

x

= 6'( ) 7f x x

-= - = -55

4'( ) 4f x x

x

4

1x

= 3'( ) 4f x x


6

30. Determina els intervals de creixement i de-creixement de la funció f(x) = x2 + 4x � 7.

f ' (x) = 2x + 4f ' (x) < 0 ® 2x + 4 < 0 ® x < �2f ' (x) > 0 ® x > �2(�¥, �2) funció decreixent(�2, +¥) funció creixent

31. Demostra que la derivada de la funció poli-nòmica de segon grau f(x) = ax2 + bx + cs�anul·la per al valor de x corresponent alvèrtex de la paràbola que en resulta de re-presentar-la gràficament.

f ' (x) = 2ax + b

32. La distància d�un mòbil a un punt de refe-rència ve donada per l�expressió d = f(t) = = 10 + 12t + t2, d en metres i t en segons.

a) Determina l�expressió de la funció quepermet calcular la velocitat del mòbil enqualsevol instant.

v = f ' (t) = 12 + 2t m/s.

b) Indica raonadament si en algun momentaquest mòbil canvia el sentit del seu mo-viment.

El mòbil no canvia el sentit del moviment, jaque v(t) = 0 per a t ¹ 0 per a t � 0 ® la velo-citat d�aquest mòbil no s�anul·la per a t � 0.

33. Troba l�equació d�una funció f(x) que tinguiper derivada la funció f�(x) representada enla gràfica (fig. 1.13). Pots trobar-ne mésd�una? Per què?

Compleixen la condició que s�estableix a l�e-nunciat totes les funcions del tipus f(x) = x + K,amb KÎR.

Acabem

1. Aplicant la definició, calcula la derivada decadascuna de les funcions següents en x = = �3:

a) f(x) = �x2 + 1

b) f(x) =

c) f(x) =

2. Donada la funció f(x) = , és possible

calcular f '(2)? Per què?

No, perquè x = 2 Ï Df

3. Sense fer-ne la representació gràfica, indi-ca si la funció f(x) = (x � 4)2 és creixent odecreixent en x = 3,5.

f '(3,5) < 0 ® la funció és decreixent en x = 3,5

4. En la gràfica (fig. 1.14) hem representat lafunció f '(x), derivada d�una certa funció f(x).Quina és l�expressió algèbrica de f '(x)? I lade f(x)? Pots trobar-ne més d�una?

f ' (x) = 2 x ® f (x) = x2 + c, amb CÎRPer tant hi ha infinites funcions la funció deriva-da de les quals és f ' (x) = 2x.

5. Indica raonadament el signe de la funcióf '(x) corresponent a la funció f(x) represen-tada en la gràfica de la figura 1.15, en ca-dascun dels intervals següents:

(�¥, �1) (�1, 1) (1, + ¥)

= × - = - = -'(3,5) 2 4,5 8 7 8 1f

= - = - + ® = -2 2( ) ( 4) 8 16 '( ) 2 8f x x x x f x x

12x --

0 0

1 1lim lim

3 ( 3 ) 3( 3 ) 9h h

h

h h h® ®= = = -

- + - +

® ®

- ++ - +- +- = = =

0 0

3 31 13( 3 )3 3'( 3) lim lim

h h

h

hhfh h

1x

= = = =3 3

1 1 1 1'(1) ; '(8)

3 123 1 3 64f f

( )0 0

1 1lim lim

44 24 2h h

h

hh h® ®

- - -= = =

- +- +

( )( )( ) ( )0 0

4 2 4 2 4 4lim lim

4 2 4 2h h

h h h

h h h h® ®

- - - + - -= = =

- + - +

® ®

- - + - - -- = =

0 0

1 ( 3 ) 2 4 2'( 3) lim lim

h h

h hf

h h

1 x--

0lim(6 ) 6h

h®

= - =

2

0 0

9 6 1 8 (6 )lim limh h

h h h h

h h® ®

- + - + + -= = =

®

- + + - -- = =

2

0

(3 ) 1 ( 8)'( 3) lim

h

hf

h

= ® + = ® = - ® = -'( ) 0 2 0 22

bf x ax b ax b x

a

= ® - + = ® = =2 1'( ) 0 3 10 3 0 3 i

3f x x x x x


7

x Î (�¥, �1) ® de funció és creixent ® f ' (x) > 0x Î (�1, 1) ® la funció és decreixent ® f ' (x) < 0x Î (1, +¥) ® la funció és creixent ® f ' (x) > 0

6. Compara la rapidesa del creixement de lafunció f(x) = x3 + 2x en els punts d�abscis-ses x = �2 i x = 2

f (x) = x3 + 2x ® f ' (x) = 3x2 + 2f '(�2) = 3 · (�2)2 + 2 = 14 > 0f '(2) = 3 · 22 + 2 = 14 > 0

Com que f '(�2) = f ' (2), la funció creix amb lamateixa rapidesa en x = �2 que en x = 2.

7. Aplicant la definició, calcula la funció deri-vada de:

a) f(x) = x3 + 3

b) f(x) = x + 3x2

c) f(x) =

8. Indica els intervals de creixement i decrei-xement de la funció f�(x) = �3x + 5. Verificala teva resposta fent-ne la representaciógràfica

f (x) = �3x + 5 ® f' (x) = �3

f ' (x) < 0 per a qualsevol xÎR ® la funció ésdecreixent en tot el seu domini.

Fig. 1.6


a) f(x) = 2x4 � 3x2 + 1

b) f(x) =

c) f(x) = 1 �

d) f(x) = 3(x2 + 7x � 12)

e) f(x) =

f) f(x) = (2 � 6x)2

10. Per a un determinat mòbil, la distància d enmetres a un punt de referència en funciódel temps t en segons ve donada per l�ex-pressió:

d = f(t) = 10t � 2t2

a) Troba l�expressió algèbrica que et per-meti calcular la velocitat d�aquest mòbilen qualsevol instant.

b) Indica a quina distància del punt de refe-rència es troba quan canvia el sentit delmoviment.

2(2,5) 10 2,5 2 2,5 12,5 m.d f= = × - × =

0 10 4 0 2,5 sv t t= ® - = ® =

= = -'( ) 10 4 , en m/sv f t t

= - +'( ) 24 72f x x

=5

'( )2

f xx

5x

= +'( ) 6 21f x x

-= - × - =33

4'( ) 2 ( 2)f x x

x

2

2x

-= + = +1/ 2 1/3

3

3 2 3 2'( )

2 3 2f x x x x

x

33 2x x++

= -3'( ) 8 6f x x x

0

5 5lim

2h x h x x®= =

+ +

( )( ) ( )0 0

5 5lim limh h

x h x h

h x h x h x h x® ®

+ -= = =

+ + + +

( )( )( )0

5limh

x h x x h x

h x h x®

+ - + += =

+ +

®

+ -= =

0

5 5'( ) lim

h

x h xf x

h

5 x

0 0

(1 6 3 )lim lim(1 6 3 ) 1 6h h

h x hx h x

h® ®

+ += = + + = +

2 2 2

0

3 6 3 3limh

x h x xh h x x

h®

+ + + + - -= =

®

+ + + - += =

2 3

0

3( ) ( 3 )'( ) lim

h

x h x h x xf x

h

2 22 2 2

0 0

(3 3 )lim lim(3 3 ) 3h h

h x xh hx xh h x

h® ®

+ += = + + =

3 2 2 3 3

0

3 3 3 3limh

x x h xh h x

h®

+ + + + - -= =

®

+ + - += =

3 3

0

( ) 3 ( 3)'( ) lim

h

x h xf x

h


8

c) Interpreta físicament el signe de la velo-citat per a t > 2,5 s.

t > 2,5 s ® v < 0 ® el mòbil es mou en sen-tit negatiu cada cop més de pressa.

11. A conseqüència de la dilatació, la longitudL d�una barra metàl·lica augmenta amb latemperatura T d�acord amb l�expressió:

L = 8(1 + 10�4T), on L s�expressa en centí-metres i T, en graus centígrads.

a) Quina és la longitud de la barra a 0 °C? Ia 100 °C?

L (0 ºC) = 8 cm; L (100 ºC) = 8,08 cm

b) Quan augmenta més bruscament la lon-gitud d�aquesta barra, si T = 50 °C o si T= 80 °C? Per què?

L (T) = 8 + 8 · 10�4 T ® L1 (T) = 8 · 10�4

cm/ºC

Com que L1 (T) no depèn de la temperatu-ra, la longitud de la barra augmenta amb lamateixa rapidesa independement de latemperatura.

12. Representa gràficament les funcions f(x) = = 2x + 3 i g(x) = 2x � 3. Què obtens?

Quina de les dues funcions creix més depressa al voltant de x = 0? I al voltant de x = = 10? Procura respondre les dues últimesqüestions sense fer cap càlcul i argumen-ta�n la resposta.

Fig. 1.7

S�obtener dues rectes paral·leles.

Es compleix que f ' (x) = g' (x) = 2 ® la funció f ila funció g creixen amb la mateixa rapidesa, in-dependement del valor de la variable x.


9

Comencem

� Representa en paper mil·limetrat la funcióf(x) = �x2 + 4x. Traça amb la màxima curapossible la recta tangent a la paràbola en elpunt P(1, 3). Mesura amb un transportadorl�angle que forma aquesta recta amb el sentitpositiu de l�eix d�abscisses. La tangent trigo-nomètrica d�aquest angle és el pendent de larecta tangent que has traçat. Fes-ne el càl-cul.

Fig. 2.1

a ; 64º ® mtg = tg 64º ; 2

� La funció derivada de la funció f(x) = �x2 + 4xés f�(x) = �2x + 4. Calcula f�(1).

f '(1) = �2 · 1 + 4 = �2 + 4 = 2

Exercicis

1. Troba l�equació de la recta tangent a la grà-fica de la funció f(x) = 3x2 � 10x + 3 en x = 2.

x = 2 ® f (2) = 3 · 22 � 10 · 2 + 3 == �5 ® (2, �5)f '(x) = 6x � 10

mtg = f '(2) = 6 · 2 � 10 = 12 � 10 = 2

y + 5 = 2 (x � 2) ® y + 5 = 2x � 4 ®® y = 2x � 9

2. Considera la funció f(x) = x2 + 2. En quinspunts de la gràfica d�aquesta funció la rectatangent és paral·lela a la recta y = 3x + 5?

Es tracta de buscar els valors de x per alsquals es compleix que f ' (x) = 3.

f(x) = x3 + 2 ® f '(x) = 3x2 ® 3x2 = 3 ®® x = ± 1

x = 1 ® f(1) = 13 + 2 = 3x = �1 ® f(�1) = (�1)3 + 2 = 1

Els punts són (1, 3) i (�1, 1)

3. Dibuixa la recta tangent a la corba repre-sentada a la gràfica (fig. 2.7) en els puntsd�abscisses x = �3, x = 0 i x = 2.

a) Quin és el signe del pendent de cadas-cuna d�aquestes tangents?

En x = �3, pendent positiu; en x = 0, pen-dent negatiu; en x = 2, pendent positiu.

b) Quin signe tenen f�(�3), f�(0) i f�(2)?

f '(�3) > 0; f '(0) < 0; f '(2) > 0

4. A partir de la gràfica (fig. 2.8), fes una esti-mació dels valors de f�(2), g�(�1) i h�(0).

f '(2) ; �0,7; g'(�1) = 0; h'(0) ; 0,4

5. Considera la funció f(x) = x2 � 3x + 5. Di-gues en quin punt del gràfic d�aquesta fun-ció la recta tangent forma un angle de 45°amb el sentit positiu de l�eix d�abscisses.Aquesta funció, és creixent o decreixent enaquest punt? Per què?

Com que tg 45º = 1, es tracta de determinar elvalor o valors de x per als quals es verifica quef '(x) = 1.

f(x) = x2 � 3x + 5 ® f '(x) = 2x � 3 ® 2x � 3 == 1 ® x = 2 ® f(2) 22 � 3 · 2 + 5 = 3 ® (2, 3)

En el punt (2, 3) la funció és creixent, ja que f ' (2) = 1 > 0.

6. Esbrina quins són els punts de la gràfica dela funció f(x) = x3 � 6x2 + 4 que tenen tan-gent paral·lela a l�eix d�abscisses.

f(x) = x3 � 6x2 + 4 ® f '(x) = 3x2 � 12x

Si la recta tangent és paral·lela a l�eix 0X, mtg = tg 0º = 0.

Per tant, es tracta de trobar quins són els va-lors de x que compleixen l�equació: f '(x) = 0

3x2 � 12x = 0 ® x (3x � 12) = 0 ® x = 0 i x = 4x = 0 ® f(0) = 4

x = 4 ® f(4) = �28

Els punts són (0, 4) i (4, �28)

7. Indica raonadament per què la funció f(x) =

= és decreixent en tots els punts del seu

domini.

1x


11


Perquè , i, per tant, f '(x) < 0 per a

qualsevol xÎR, x ¹ 0.

8. La gràfica de la funció f(x) = x2 + bx + c pre-senta un mínim en el punt (3, �1).

a) Calcula b i c.

Es compleix:f(3) = �1 ® �1 = 9 + 3b + c ® 3b + c = �10f '(3) = 0 amb f '(x) = 2x + b ® 0 = 6 + b ®

® b = �63 · (�6) + c = �10 ® c = 8

La funció és f(x) = x2 � 6x + 8

b) Representa gràficament la funció perverificar el resultat de l�apartat anterior.

Fig. 2.2

9. Els gràfics de les funcions polinòmiques desegon grau f(x) = ax2 + bx + c sempre tenenun màxim o un mínim. Demostra que es tro-

ba localitzat en el punt d�abscissa x0 = .

Cal que f '(x) = 0, ja que en un màxim o en unmínim la gràfica de la funció presenta sempretangent horitzontal.

f ' (x) = 2ax + b ® 0 = 2ax + b ® x = �b/2a

10. Digues en quins punts no són derivablescadascuna de les funcions següents i indi-ca�n en cada cas el motiu:

a) f(x) =

x = 0, perquè no pertany al Df

b) g(x) =

x = 3 i x = �3, perquè no pertany al Dg

c) h(x) =

, perquè no pertany al Dh

d) i(x) =

x = 0, perquè la recta tangent és perpendi-cular a l�eix 0X

11. Representa gràficament la funció:

És contínua en x = 0? I derivable?

Fig. 2.3

Es continua en x = 0, ja que

Per tant, f '(0+) = 2 i f '(0�) = 0. Com que f '(0+) ¹¹ f '(0�), la funció no és derivable en x = 0.

12. Donada la funció:

Troba a i b perquè sigui derivable en x = 2.

La funció ha de ser continua en

x = 2 ® 2a + b = 11.

En conseqüència: f '(2�) = f '(2+) ® a = 8

13. La funció f(x) = |x2 � 6x + 8| és, en realitat,una funció definida a trossos:

2

2

6 8 si 2 o 4( )

6 8 si 2 4

x x x xf x

x x x

ìì -- ++ ££ ³³ïï== íí-- ++ -- << <<ïïîî

2 1116 11 5

8

a bb b

a

+ = ü® + = ® = -ý

= þ

si 2'( )

4 si 2

a xf x

x x

<ì= í

³î

2 2lim ( ) 2 ; lim ( ) 11; (2) 11x x

f x a b f x f- +® ®

= + = =

2

si 2( )

2 3 si x 2

ax b xf x

x

++ <<ìì== íí

++ ³³îî

2 si 0'( )

2 si 0

x xf x

x

- £ì= í

>î

0 0lim ( ) lim ( ) (0) 4x x

f x f x f- +® ®

= = =

(( ))24 si 0

2 4 si 0

x xf x

x x

ìì -- ££== íí

++ >>îî

5 x

4

3x =

4 3x

x--

2

19x --

2

2x

2ba

--

2

1'( )f x

x= -


12

La gràfica de la funció es pot obtenir fàcil-ment a partir de la gràfica de la funció g(x) =x2 � 6x + 8. Dibuixa els gràfics de les duesfuncions. Estudia la continuïtat i la deriva-bilitat de la funció f(x) en x = 2 i en x = 4.

Fig. 2.4

f (x) és contínua en x = 2 i en x = 4, ja que escompleix:

En canvi, la funció no és derivable ni en x = 2ni en x = 4.

f '(2�) = �2; f '(2+) = 2 ® f '(2�) ¹ f '(2+)f '(4�) = 2; f '(4+) = �2 ® f '(4�) ¹ f '(4+)

14. Sabem que la funció f(x) = no és deri-

vable en x = 2. Calcula b.

L�expressió 4 � bx s�anul·la per a x = 2:

4 � 2b = 0 ® b = 2

15. Defineix a trossos la funció f(x) = |x + 2|. Re-presenta-la gràficament i indica raonada-ment en quin punt no és derivable.

Fig. 2.5

No és derivable en x = �2, ja que f '(�2+) = 1 i,en canvi, f '(�2�) = �1. Per tant, f '(�2+) ¹ f '(�2�)

16. Troba la funció derivada de cadascuna deles funcions següents:

a) f(x) = 3 sin x + 5

b) f(x) = 4 cos x � 2 sin x + 1

c)

d) f(x) = log3 x � 3x + ln 9

17. Determina els punts d�abscisses compre-ses entre 0 i 2p en els quals la recta tangenta la gràfica de la funció f(x) = sin x ésparal·lela a l�eix OX. Escriu les equacionsd�aquestes rectes tangents.

L�equació de la recta tangent a la gràfica de

f(x) = sin x en el punt és y = 1; en el punt

, la recta tangent té per equació y = �1.

18. Determina l�equació de la recta perpendicu-lar a la recta tangent a la gràfica de la fun-

ció f(x) = 2 cos x en . Aquesta recta s�ano-

mena recta normal a la gràfica de la funcióen aquest punt.

f(x) = 2 cos x ® f '(x) = �2 sin x

1normalm® = -

p pæ ö æ ö= = - = - × - = ®ç ÷ ç ÷è ø è ø

1' 2sin 2 1

6 6 2tgm f

p p p pæ ö æ ö= ® = = ®ç ÷ ç ÷è ø è ø

2cos 3 , 36 6 6 6

x f

6p

pæ ö-ç ÷è ø

3, 1

2

pæ öç ÷è ø

,12

p p p pæ ö æ ö= ® = = - ® -ç ÷ ç ÷è ø è ø

3 3 3 3sin 1 , 1

2 2 2 2x f

sin 1 ,12 2 2 2

x fp p p pæ ö æ ö= ® = = ®ç ÷ ç ÷

è ø è ø

p=

3i

2x

p= ® = ® = ® =tg 0 '( ) 0 cos 0

2m f x x x

1'( ) 3

ln3f x

x= -

×

2

1 2'( )

7f x

x x= -

ln 2( )

7x

f xx

== ++

'( ) 4sin 2cosf x x x= - -

'( ) 3cosf x x=

2 si 2'( )

2 si 2

x xf x

x x

+ ³ -ì= í

- - < -î

34 bx--

2 6 si 2 o 4'( )

2 6 si 2 4

x x xf x

x x

- £ ³ì= í

- + < <î

4 4lim ( ) lim ( ) (4) 0x x

f x f x f- +® ®

= = =2 2

lim ( ) lim ( ) (2) 0x x

f x f x f- +® ®

= = =


13

Equació de la normal:

19. Hi ha algun punt de la gràfica de la funcióf(x) = log2 x que tingui recta tangent pa-

ral·lela a la bisectriu del primer quadrant idel tercer? Si la resposta és afirmativa, tro-ba l�equació d�aquesta recta tangent.

Bisectriu primer i tercer quadrants:

y = x ® m = 1.

El punt és

Equació de la recta tangent:

y � 0,53 = x � 1,44 ® x � y + 0,91 = 0

20. Justifica per què la gràfica de la funció f(x) = ln x no pot tenir ni màxims ni mínims.

Perqué la funció derivada, f '(x) = , no s�a-

nul·la per a cap valor real de x:

21. Calcula la derivada de les funcions se-güents:

a) f(x) =

b) f(x) = sin (3x + 5)

f'(x) = 3 cos (3x + 5)

c) f(x) = ln (cos x)

d) f(x) = (1 � x2)3

f'(x) = 3 (1 � x2)2 · (�2x) = �6x (1 � x2)2

e) f(x) = �cos3 x + 2

f'(x) = 3 cos2 x sin x

f) f(x) = sin (ln x)

g) f(x) = sin2 x + sin x2

f'(x) = 2 sin x cos x + 2x cos x2 = = 2 (sin x cos x + x cos x2)

h) f(x) =

i) f(x) =

j) f(x) = sin (cos (ln x))

k) f(x) = ln [sin (1 � x)]

l) f(x) = cos2 (1 � 3x)

f '(x) = 6 cos (1 � 3x) sin (1 � 3x)

22. Calcula la derivada de la funció f(x) = sin2

= x + cos2 x. Interpreta�n el resultat obtingut.

f '(x) = 0, perquè f(x) = sin2 x + cos2 x = 1

23. Troba l�equació de la recta tangent al gràfic

de la funció f(x) = 2 sin2 x en x = .


1 2 2 1 04 2

y x x yp pæ ö- = - ® - + - =ç ÷

è ø

4sin cos 24 4

p p= =

tg'( ) 4sin cos ; '4

f x x x m fpæ ö= = =ç ÷

è ø

p p p pæ ö æ ö= ® = × = × = ®ç ÷ ç ÷è ø è ø

2 12 sin 2 1 ,1

4 4 4 2 4x f

p4

cos(1 )'( ) cotg(1 )

sin(1 )

xf x x

x

- -= = - -

-

cos(cos(ln ))sin(ln )'( )

x xf x

x

-=

2

2 4 2 3

2( 4) 2 4'( )

( 4) ( 4)

x x xf x

x x

- + × -= =

+ +

2 2

1( 4)x ++

1 1 1'( )

ln10 2 1 2ln10 1f x

x x

- -= × =

- -

1 x--

cos(ln )'( )

xf x

x=

sin'( ) tg

cos

xf x x

x

-= = -

( )2 2 /3

2 23

1 2'( ) (1 ) 2

3 3 (1 )

xf x x x

x

- -= - × - =

-

3 21 x--

10, x

x¹ " Î ¡

1

x

æ öæ öç ÷ç ÷

è øè ø2

1 1, log (1,44, 0,53)

ln2 ln2;

2

1 1 1log

ln2 ln2 ln2x f

æ ö æ ö= ® =ç ÷ ç ÷è ø è ø

1 1 1'( ) 1 1

ln2 ln2f x x

x= ® × = ® =

2

1 1( ) log '( )

ln2f x x f x

x= ® = ×

3 1 3 06 6

y x x yp pæ ö- = - - Þ + - - =ç ÷

è ø


14

24. Indica per a quins valors de x és creixent lafunció f(x) = ln (x2 + 1). Per què? Té la gràfi-ca d�aquesta funció algun punt en el qual larecta tangent tingui pendent nul? Si la res-posta és afirmativa, de quin punt es tracta?

La funció es creixent per a xÎR+, ja que si x > 0es verifica f '(x) > 0.

La recta tangent a la gràfica de la funció tépendent mil en el punt (0,0).

25. Calcula la funció derivada de les funcionssegüents:

a) f(x) = x3 · cos x

f '(x) = 3x2 cos x + x3 (� sin x) == x2 (3 cos x � sin x)

b) f(x) = x · ln x + ln2 x + 1

c) f(x) = 7 cotg x + 3

d) f(x) =

e) f(x) =

f) f(x) = · (1 + x)

g) f(x) =

h) f(x) =

i) f(x) =

j) f(x) =

k) f(x) =

l) f(x) = (1 � x)3 · log2 x

26. Utilitzant la derivada logarítmica, demostra

que la derivada de la funció f(x) = és

f�(x) = .

'( ) '( ) '( )'( ) ( )

( ) ( ) ( )

f x g x g xf x f x

f x g x g x= - ® = -

( ) ln ( ) ln ln ln ( )( ) ( )

k kf x f x k g x

g x g x= ® = = -

2

'( )[ ( )]k g xg x

-- ××

( )k

g x

22

1(1 ) 3log

ln2

xx x

x

-æ ö= - - +ç ÷×è ø

= - - + - × × =2 32

1 1'( ) 3(1 ) log (1 )

ln2f x x x x

x

2 2 4

1 1 2

1 1 1

xx

x x xæ ö= + =ç ÷+ - -è ø

2 2

1 2 2'( )

2 1 1

x xf x

x xæ ö= + =ç ÷+ -è ø

2 21[ln(1 ) ln(1 )]

2x x= + - -

1/ 22 2 2

2 2 2

1 1 1 1( ) ln ln ln

21 1 1

x x xf x

x x x

æ ö æ ö+ + += = = =ç ÷ ç ÷- - -è ø è ø

2

2

1ln

1xx

++--

2 2

1(1 ) ln 1 ln

'( )(1 ) (1 )

x x x x xxf xx x x

- + - += =

- -

ln1

xx--

2

2 3

2 6

( 1)

x

x

+=

-

2 2 2

2 4

2( 1) 2 2( 1) 2'( )

( 1)

x x x xf x

x

- - + × - ×= =

-

2 2

2( 1)

xx

----

2

4 3

cos sin 2 cos 2sin'( )

x x x x x x xf x

x x

× - × -= =

2

sin xx

3sin3'( ) 3 tg3

cos3

xf x x

x= =

1 2cos3 5x

++

1 1 3'( ) (1 )

2 2

xf x x x

x x

-= + + =

x

2 2

(sin cos ) ( cos ) cos sin 1

(1 sin ) (1 sin )

x x x x x

x x

- + × - - +=

- -

2

(cos sin )(1 sin )'( )

(1 sin )

x x xf x

x

- - -=

-

sin cos1 sin

x xx

++--

2 2

2 3'( )

( 3 2)

xf x

x x

- +=

- +

2

13 2x x-- ++

2 2

2 2

sin cos 77

sin sin

x x

x x

- - -= =

cos( ) 7 3 '( )

sin

xf x f x

x= + ® =

1 1 2ln'( ) ln 2ln ln 1

xf x x x x x

x x x= + × + × = + +

2 0 0 (0) ln1 0x x f® = ® = ® = =

tg 2

20 '( ) 0 0

1

xm f x

x= ® = ® = ®

+

2 2

1 2'( ) 2

1 1

xf x x

x x= × =

+ +


15

Per tant:

27. La derivada de la funció f(x) = tg x es potexpressar f�(x) = 1 + tg2 x. Per què?

Perquè

En conseqüència:

28. Troba l�equació de la recta tangent al gràfic

de la funció f(x) = en x = 1. A quin

punt del gràfic d�aquesta funció la rectatangent és paral·lela a l�eix d�abscisses?

. El punt és

Equació recta tangent:

Recta tangent paral·lela a l�eix 0X ® mtg = 0 ®f ' (x) = 0

La recta tangent és paral·lela a l'eix d'abscis-ses en el punt (0, 0).

29. Comprova que la derivada de la funció:

f(x) = ln és f�(x) =

30. Calcula la derivada de les funcions:

a) f(x) = e3x · ln (x2 + 4)

b) f(x) = sin [cos (ex + 2)]

c) f(x) =

d) f(x) = tg (3x � 7)

e) f(x) = (x2 � 1)cos x

ln f(x) = cos x · ln (x2 � 1)

f) f(x) = ln

31. Donada la funció f(x) = x · ex, calcula f�(x).Escriu l�equació de la recta tangent a la grà-fica de f(x) en el punt on s�anul·la la sevaderivada. Indica raonadament si aquestafunció és creixent o decreixent en x = 0.

Punt: ; pendent: m = 0 ® equació tan-

gent:

f '(0) = 1 > 0 ® la funció és creixent en x = 0.

= -1

ey

æ ö- -ç ÷è ø

11,

e

-- = - × = -1 1( 1) 1 e

ef

= ® + = ® + = ® = -'( ) 0 e (1 ) 0 1 0 1xf x x x x

= + × = +'( ) e e e (1 )x x xf x x x

- - -= - = =

+ + +e e e 3 3

'( ) 1e 3 e 3 e 3

x x x

x x xf x

= + - = + -( ) ln(e 3) lne ln(e 3)x x xf x x

e 3e

x

x

++

2 cos 22

2 cos'( ) ( 1) sin ln( 1)

1x x x

f x x x xx

é ù= - - × - +ê ú-ë û

22

'( ) 2sin ln( 1) cos

( ) 1

f x xx x x

f x x= - × - + ×

-

2

3 ln3'( )

cos (3 7)

x

xf x =

-

× - + - -= = =

×2

e e e (e 1) e 1'( )

(e ) e e e

x x x x x

x x x xf x

e 1e

x

x

++

= - + +'( ) e cos(cos(e 2))sin(e 2)x x xf x

é ù= + +ê ú+ë û3 2

2

2e 3ln( 4)

4x x

xx

= + + =+

3 2 32

2'( ) 3e ln( 4) e

4x x x

f x xx

1

cos x=

2

1 cos cos 1 2cos'( )

2 1 sin 1 sin 2 cos

x x xf x

x x xæ ö= + = × =ç ÷+ -è ø

1 sin 1( ) ln [ln(1 sin ) ln(1 sin )]

1 sin 2

xf x x x

x

+= = + - -

-

1cos x

1 sin1 sin

xx

++--

2 2

20 2 0 0 (0) 0

( 1)

xx x f

x= ® = ® = ® =

+

1 1( 1) 2 0

2 2y x x y- = - ® - =

tg

2 1'(1)

4 2m f= = =

2 2

2 2 2 2

2 ( 1) 2 2'( )

( 1) ( 1)

x x x x xf x

x x

+ - ×= =

+ +

æ öç ÷è ø

11,

2

1(1)

2f =

2

2 1x

x ++

22

1'( ) 1 tg

cosf x x

x= = +

2

1

cos x=

22

2 2

1 sin'( ) i, 1 tg 1

cos cos

xf x x

x x= + = + =

2

'( ) '( )'( ) '( )

( ) ( ) [ ( )]

k g x kg xf x f x

g x g x g x

-= - × ® =


16

32. Una petita mostra de material radioactiuconté 1 bilió d�àtoms. A conseqüència dela desintegració, el nombre N d�àtoms de lamostra va disminuint a mesura que passael temps t. La funció N = f(t) que descriuaquesta situació és:

N = N0 · e�2t

N = f(t)= N0 · e�2t ® N = 1012 · e�2t

on N0 és el nombre inicial d�àtoms que hi ha

a la mostra i t, el temps transcorregut enanys. Es demana:

a) Quants àtoms hi haurà a la mostra quanhagin passat 10 anys? I quan n�haginpassat 100?

t = 5 anys ® N = f(5) = 1012 · e�10 == 45 399 930 àtoms

t = 10 anys ® N = f(10) = 1012 · e�20 == 2 061 àtoms

b) Quan és més ràpida la desintegració, als10 anys o als 100 anys?

N '(t) = �2N0 · e�2t

La desintegració és més ràpida per a t = 5anys, ja que:

N '(5) = �2 · 1012 · e�10 = �9,08 · 107 àt/sN '(10) = �2 · 1012 · e�20 = �4 122 àt/s

i, per tant, es compleix:

/N '(5)/ > /N '(10)/

33. Comprova que la derivada de la funció

f(x) = x2 · 5x s�anul·la en els punts i

x = 0.

f '(x) = 2x · 5x + x2 · 5x · ln5 = x · 5x (2 + x · ln5)x = 0

f '(x) = 0 ® x · 5x (2 + x · ln5)Z]

2 + x · ln5 = 0


a) f(x) = arc sin

b) f(x) = earc tg x

c) f(x) = ln [arc cos (x � 1)]

d) f(x) = arc tg � arc tg x

e) f(x) = · arc sin x

f) f(x) = arc cos (cos x)

f(x) = arccos(cosx) = x ® f '(x) = 1

35. Dedueix la derivada de la funció g(x) = ax

sabent que la seva funció inversa és f(x) = = loga x i suposant coneguda f�(x).

1

1 1'( ) ln

1 1'( ( ))ln

x

x

g x a af f x

a a

-= = =×

1 1( ) log '( )

lnaf x x f xa x

= ® = ×

2

2 2

arcsin arcsin 11

1 1

x x x x x

x x

- - + -= + =

- -

2

2 2

2 1'( ) arcsin 1

2 1 1

xf x x x

x x

-= + - × =

- -

21 x--

2 2 2 2 2

2 1 1 1 2

2(1 ) 1 1 1 1x x x x x

- - -= - = - =

+ + + + +

2

2 2 2 2

(1 ) 2 1

(1 ) (1 ) (1 ) 1

x

x x x x

- -= × - =

- + + - +

2 2 2

1 1 (1 ) ( 1) 1'( )

(1 ) 111

1

x xf x

x xx

x

- - + × -= × - =

- ++æ ö+ ç ÷-è ø

11

xx

++--

2

1

arccos( 1) 2x x x

-=

- -

2

1 ( 1)'( )

arccos( 1) 1 ( 1)f x

x x

-= × =

- - -

= × =+ +

arctgarctg

2 2

1 e'( ) e

1 1

xxf x

x x

2

1 2 2

(1 )4 (1 ) 41

x x

xx x xx

- -= × =

-- - --

22 2

2

1 2

(1 )(1 ) (1 )

(1 )

x

xx x

x

-= × =

-- - +-

22

1 1 (1 )( 1)'( )

(1 )11

1

x xf x

xx

x

- - + -= × =

-+æ ö- ç ÷-è ø

11

xx

++--

2

ln5x

-=

2ln5

x--

==


17

36. Donada la funció f(x) = , calcula f�(x),

f��(x) i f��(x).

37. Troba f(66)(x) i g(94)(x) per a les funcions f(x) = sin x i g(x) = cos x.

f(66)(x) = f''(x) = �sinxg(95)(x) = g(3)(x) = sinx

38. Per a la funció f(x) = 2x, calcula:

f�(x), f��(x), f��(x) i f(4)(x)

Observa amb detall les funcions que hasobtingut i dedueix l�expressió de la deriva-da f (n)(x).

Acabem

1. En quins punts de la gràfica de la funció

f(x) = la recta tangent és perpendicular a

la recta 4x + y � 2 = 0? Escriu les equacionsd�aquestes rectes tangents.

Els punts són i

Equacions de les rectes tangents:

2. Dibuixa en un paper mil·limetrat la gràficade la funció f(x) = �x2 + 8x. Tot seguit, fesuna estimació a partir d�aquesta gràficadels valors de f�(1) i f�(5). Calcula analítica-ment f�(1) i f�(5) i compara els resultats ambels anteriors.

f(x) = �x2 + 8x ® f '(x) = �2x +8f '(1) = �2 + 8 = 6; f '(5) = �10 + 8= �2

Cal comparar aquests valors amb els valorsobtinguts de manera experimental, a partir dela gràfica de la funció.

3. Representa gràficament la funció:

Aquesta funció és contínua en x = 0? I deri-vable? Justifica les respostes.

Fig. 2.6

Es compleix:

Per tant, la funció és contínua en x = 0.

0 si 0'( )

1 si 0

xf x

x

<ìí

³î

0lim ( ) (0) 0x

f x f®

= =

0 0lim ( ) 0; lim ( ) 0; (0) 0x x

f x f x f- +® ®

= = =

(( )) 0 si 0

1 si 0

xf x

x

<<ìì== íí ³³îî

4 4 0x y® - + =

æ ö- - = + ® - = + ®ç ÷è ø

1 1 12, : ( 2) 4 2 2

2 2 4y x y x

4 4 0x y® - - =

æ ö- + = - ® + = - ®ç ÷è ø

1 1 12, : ( 2) 4 2 2

2 2 4y x y x

12,

2æ ö-ç ÷è ø

12,

2æ ö-ç ÷è ø

( ) 1 12 ' 2 2,

2 2x f

æ ö= - ® - = ® -ç ÷è ø

( ) 1 12 2 2,

2 2x f

æ ö= ® = - ® -ç ÷è ø

2

1 1' '( ) 2

4m f x x

x= ® = ® = ±

2

1 1( ) '( )f x f x

x x

-= ® =

14 2 0 4 '

4x y m m+ - = ® = - ® =

1x

2( )

3

(4) 4

'( ) 2 ln2

''( ) 2 (ln2)( ) 2 (ln2)

'''( ) 2 (ln2)

( ) 2 (ln2)

x

xn x n

x

x

f x

f xf x

f x

f x

ü= ×ï

= × ï =ý= × ï

ï= × þ

3 2

2 4 2 2

96 384 96 ( 4)

( 4) ( 4)

x x x x

x x

- - - += =

- -

3 3

2 4

48 192 144 192

( 4)

x x x x

x

- - -= =

-

2 2

2 4

48 ( 4) (24 32)6

( 4)

x x x x

x

- - += =

-

2 3 2 2 2

2 6

48 ( 4) (24 32)( 4) 3 2'''( )

( 4)

x x x x xf x

x

- - + - × ×= =

-

2 2 2

2 3 2 3

8( 4) 32 24 32

( 4) ( 4)

x x x

x x

- - + += =

- -

2 2 2

2 4

8( 4) 8 2 2 ( )''( )

( 4)

x x x x hf x

x

- - + × × -= =

-

2 2

2 2 2 2

2 ( 4) 2 8'( )

( 4) ( 4)

x x x x xf x

x x

- - × -= =

- -

2

2 4x

x --


18

És a dir, f '(0�) = 0 i f '(0+) = 1 ® f '(0�) ¹ f '(0+)la funció no és derivable en x = 0.

4. Indica en quins punts és derivable la fun-ció:

Es derivable en tot R excepte en x = 0. Escompleix que f' (x) = 0 per a xÎR, x ¹ 0.

5. El gràfic d�una funció f(x) és el de la figura2.20. Sense calcular-ne l�expressió analíti-ca, representa gràficament la funció f�(x).

Fig. 2.7

6. Troba les derivades laterals en x = 5 de lafunció f(x) = |2x � 10|. És derivable enaquest punt? Per què?

f '(5+) = 2; f '(5�) = �2 ® f '(5+) ¹ f '(5�)

La funció no és derivable en x = 5.

7. Indica els intervals de creixement i decrei-xement i els punts estacionaris de la funció

f(x) = .

Df = R � {�2, 2}; f '(x) = 0 ® x = 0, f(0) = 0 ®® (0, 0)

Com que f '(x) > 0 per a x < 0, x ¹ �2 i f '(x) < 0per a x > 0, x ¹ 2, es compleix que:

La funció és creixent en els intervals (�¥, �2) i(�2, 0)

La funció es decreixent en els intervals (0, 2) i(2, +¥)

La funció presenta un punt estacionari a l'ori-gen de coordenades.

8. La funció f(x) = és creixent o decrei-

xent en x = 2? Justifica la resposta.

f '(2) = �4 < 0 ® f(x) és decreixent en x = 2.

9. Donada la paràbola d�equació f(x) = x2 � � 2x + 5, es considera la recta r que uneixels punts d�aquesta paràbola, les abscissesdels quals són x1 = 1 i x2 = 3. Troba l�equa-ció de la recta tangent a la paràbola que ésparal·lela a la recta r.

x1 = 1 ® f(x1) = f(1) = 4 ® (1, 4)x2 = 3 ® f(x2) = f(3) = 8 ® (3, 8)

La recta r conté els punts (1, 4) i (3, 8)

f '(x) = 2x � 2 i f '(x) = mr = 2 ® 2x � 2 = 2 ®x = 2

f(2) = 5 ® El punt de tangències és (2, 5)mtg = mr = 2


y � 5 = 2 (x � 2) ® y � 5 = 2x � 4 ®® 2x � y + 1 = 0

10. Aquesta és la representació gràfica de laderivada f�(x) d�una funció polinòmica f(x)(fig. 2.21).

a) Quin és el grau d�aquesta funció polinò-mica? Per què?

Grau 2. Perquè f '(x) és una funció polinò-mica de primer grau, ja que la seva repre-sentació gràfica és una recta.

b) Indica els intervals de creixement i de-creixement de la funció f(x).

f '(x) > 0 ® x > 2 ® Creixent: (2, +¥)f '(x) < 0 ® x < 2 ® Decreixent: (�¥, 2)

c) Té f(x) algun punt estacionari? Quin és?

Sí, x = 2, ja que f '(2) = 0.

11. Donada la funció f(x) = x · ex, resol les equa-cions f�(x) = 0 i f��(x) = 0.

- -= = =

- -(3) (1) 8 4

23 1 3 1r

f fm

2 2

3 3

2 2 2 2

( 1) ( 1)

x x x x

x x

- - -= =

- -

2 2 2

4 3

2 ( 1) 2( 1) 2 ( 1) 2

( 1) ( 1)

x x x x x x x

x x

- - × - - -= = =

- -

2

2( ) '( )

( 1)

xf x f x

x= ® =

-

2

2 2( 1)x

x --

2 2

2 2 2 2

2 ( 4) 2 8'( )

( 4) ( 4)

x x x x xf x

x x

- - × -= =

- -

2

2 4x

x --

2 10 si 5( ) 2 10 ( )

2 10 si 5

x xf x x f x

x x

- ³ì= - ® = í

- + <î

(( ))si 0

| |

0 si 0

xx

xf x

x

ìì ¹¹ïï== ííïï ==îî


19

f '(x) = ex + x · ex = ex (1 + x)f ''(x) = ex (1 + x) + ex = ex (2 + x)

f '(x) = 0 ® ex (1 + x) = 0 ® 1 + x =0 ® x = �1f ''(x) = 0 ® ex (2 + x) = 0 ® 2 + x =0 ® x = �2

12. Troba per a quin valor de a i b és contínua iderivable la funció:

� Contínua:

3 = a ® a = 3

� Derivable:

f '(1�) = f '(1+)3 = 2a + b ® b = 3 � 2a = 3 � 6 = �3


a) f(x) = sin4 [ln (x2 + 5)]

b)

c)

d)

e) f(x) = [1 + cos2 (1 � 3x)]2

f) f(x) = log2

g) f(x) = sec2 (x3 � 2)

h) f(x) = arc sin

= × × = =- -

2 3 1 3

24 3 2 2 (4 3 )x x x x

1 3 1( )

23 21

4

f xx x

= × × =-

32

x

2 3 2 36 tg( 2) sec ( 2)x x x= - × -

2 3 2 3

3 3 2 3

6 sin( 2) 6 tg( 2)

cos ( 2) cos ( 2)

x x x x

x x

- -= = =

- -

3 3 2

4 3

2cos( 2)sin( 2) 3'( )

cos ( 2)

x x xf x

x

- - ×= =

-

2 32 3

1( ) sec ( 2)

cos ( 2)f x x

x= - =

-

2 2

2 2

1 4 4

ln2 ( 4) ln2 ( 4)

x x

x x x x

- - -= × =

- × × -

2

1 1

ln2 4

x

x xæ ö= - =ç ÷-è ø

2

1 1 2 2'( )

2 ln2 4

xf x

x xæ ö= × - =ç ÷-è ø

22 2

1[2log log ( 4)]

2x x= - -

2 22 2

1[log log ( 4)]

2x x= - - =

1/ 22 2

2 22 2( ) log log

4 4

x xf x

x x

æ ö= = =ç ÷- -è ø

2

2 4x

x --

212[1 cos (1 3 )]cos(1 3 )sin(1 3 )x x x= + - - -

( 1) sin(1 3 ) ( 3)x× - × - × - =

2'( ) 2[1 cos (1 3 )] 2cos(1 3 )f x x x= + - × - ×

2 2

2 2 2

3 tg 2

2 cos 2

x x

x x

+=

+ +

2 2

2 2 2

1 2'( ) 3 tg 2

cos 2 2 2

xf x x

x x= + × × =

+ +

3 2( ) tg 2f x x== ++

2

2

sin 16

16

x x

x

- +=

+

2

2

2'( ) sin 16

2 16

xf x x

x= - + × =

+

2( ) cos 16f x x== ++

2( ln 2)( 1) ( 2)ln

2 ( 1) 1

x x x x x x x

x x x

+ + + - +=

+ +

2( ln 2)( 1) ( 2)ln

2 11

x x x x x x x

x xx

+ + + - ++= =

+

( ln 2) 1 ( 2) ln

2 11

x x x x x xx x

x

+ + + + ×-

+= =+

2 1ln 1 ( 2) ln

2 1'( )1

xx x x x

x xf xx

+æ ö+ + - + × ×ç ÷+è ø= =

+

( 2) ln( )

1

x xf x

x

++ ××==

++

3 2 2

2

8 sin [ln( 5)]cos[ln( 5)]

5

x x x

x

+ +=

+

2

12

5x

x× × =

+

3 2 2'( ) 4sin [ln( 5)]cos[ln( 5)]f x x x= + + ×

1 1lim ( ) lim ( ) (1)x x

f x f x f- +® ®

= =

3 si 1'( )

2 si 1

xf x

ax b x

£ìÞ = í

+ >î

2

3 si 1( )

( 1) si 1x x

f xax b x x

£ì= Þí + - >î

2

3 si 1( )

( 1) si 1

x xf x

ax b x x

££ìì== íí

++ -- >>îî


20

i) f(x) = arc tg

j) f(x) = 2arc sin x ·

k) f(x) = (x2 + 3)x + 5

l) f(x) = ln

m) f(x) =

n) f(x) =

o) f(x) =

p) f(x) = etg 3x ·

14. El nombre N de bacteris d�un determinatcultiu varia en funció del temps t expressaten hores, d�acord amb l�equació:

a) Quin és el nombre inicial de bacteris enel cultiu?

t = 0 ® N(0) = 10 bacteris.

b) En quin moment creix més de pressa elnombre d�aquests bacteris, quan t = 2 ho quan t = 4 h? Per què?

t = 2 h ® N '(2) = 5et = 4 h ® N '(4) = 5e2

N'(4) > N '(2) ® el nombre de bacteris creixmés de pressa per a t = 4 h.

15. Calcula les tres primeres derivades de lafunció f(x) = e3x. Dedueix l�expressió de laderivada enèsima f(n) d�aquesta funció.

f '(x) = 3e3x; f ''(x) = 9e3x; f '''(x) = 27e3x

f(n)(x) = 3ne3x

16. Tenint en compte que arc sec x = arc cos ,

calcula la derivada de la funció f(x) = arcsec x.De manera similar, pots calcular les deri-vades de les funcions g(x) = arc cosec x ih(x) = arc cotg x. Fes-ho.

2 2

2

1 1 1'( )

1 11

f xx x x

x

-æ ö= × - =ç ÷è ø --

= =1

( ) arccosec arcsinf x xx

2 2

2

1 1 1'( )

1 11

f xx x x

x

- -æ ö= × =ç ÷è ø --

1( ) arcsec arccosf x x

x= =

1x

= × × = ×/ 2 / 21' 10 e 5 e

2t tN

210 et

N == ××

é ù+ê ú= +ê ú+ë û

3 23

2 2 23

3 1 2e

cos 3 3 ( 1)

tg x x x

x x

-+ × + × =3 2 2 /31e ( 1) 2

3tg x x x

= × × × + +33 22

1'( ) e 3 1

cos 3tg xf x x

x

3 2 1x ++

2

6 4

5 3(2 6) 2 30'( )

(2 6) (2 6)

xf x

x x

- × + × -= =

+ +

3

1(2 6)x ++

= + -2 ln 3sin3e

2x x x

x

é ù= + × + × - × =ê úë û2 1 1

'( ) 2e 2ln sin3 ( 3)2

xf x x xx

2 2e ln cos32

x x x++ ++

= - 23cos cosecx x

2

4 2

3sin cos 3cos'( )

sin sin

x x xf x

x x

- -= = =

3

1sin x

1 1 1 1'( )

2 ln 2 lnf x

x x x x= × × =

1/ 2 1( ) ln(ln ) ln(ln )

2f x x x= =

ln x

2 5 22

2 ( 5)'( ) ( 3) ln( 3)

3x x x

f x x xx

+ +é ù= + + +ê ú+ë û

22

2 ( 5)'( ) ( ) ln( 3)

3

x xf x f x x

x

+é ù= + +ê ú+ë û

22

'( ) 2ln( 3) ( 5)

( ) 3

f x xx x

f x x= + + + ×

+

2 5 2ln ( ) ln( 3) ( 5)ln( 3)xf x x x x+= + = + +

æ ö-+ × = -ç ÷

- -è ø

arcsin arcsin

2 2

22 2 ln2

2 1 1

x xx x

x x

= × × × - +-

arcsin 2

2

1'( ) 2 ln2 1

1

xf x xx

21 x--

2 2

12 12

16 (3 2) 9 12 20x x x= =

+ + + +

2 2

1 3 1 3'( )

4 416 (3 2)3 21

164

f xxx

= × = × =+ ++æ ö+ ç ÷

è ø

3 24

x ++

1 3

2 (4 3 )x x=

-


21

17. Troba l�equació de la recta normal al gràficde la funció f(x) = x2 � 7x + 10 en els puntsd�ordenada nul·la.

f(x) = 0 ® x2 � 7x + 10 = 0 ® x1 = 2, x2 = 5 ®® (2, 0) i (5, 0)

� Punt (2, 0)

Equació recta normal:

� Punt (5, 0)

Equació recta normal:

18. Representa gràficament la funció f(x) = |x2 + 2|.Hi ha algun punt en el qual aquesta funcióno sigui derivable? Justifica�n la resposta.

Fig. 2.8

No. La funció és contínua i derivable a tot R.La seva gràfica és la mateixa que la de la fun-ció g(x) = x2 + 2, ja que f(x) > 0 per a tot xÎR.

19. Determina l�expressió algèbrica de la funcióf(x) que verifica les condicions següents:

a) f�(x) = 3

b) El seu gràfic passa pel punt (2, 10)

f(x) = 3x + n

f(2) = 10 ® 10 = 6 + n ® n = 10 � 6 = 4

Per tant, f(x) = 3x + 4

20. Indica raonadament perquè la funció

f(x) = , on a i b són nombres reals, no

pot tenir punts estacionaris.

La funció no pot tenir punts estacionaris, ja quef '(x) no s'anul·la per a cap valor de x real.

21. Se sap que la funció f(x) = ax2 + bx + 12 pre-senta un mínim en el punt (4, �4). Calcula ai b.

f(4) = �4 ® 16a + 4b + 12 = �4 ® 4a + b = �4f '(x) = 2ax + b; f '(4) = 0 ® 8a + b = 0

22. Dibuixa de manera aproximada el gràfic dela funció f(x) = ln |x|. Indica raonadament sihi ha algun punt en què aquesta funció nosigui derivable.

Fig. 2.9

La funció no és derivable en x = 0 perquè noexisteix f(0) i, per tant, no pot ser-hi contínua.

23. Justifica el motiu pel qual la funció f(x) =

= + no és derivable en x = 0.

Perquè no existeix f '(0).

De fet, com que no existeix , la funció

no és contínua en x = 0 i, per tant, no pot exis-tir f '(x).

24. Representa gràficament la funció f(x) = log2 x

i, a partir d�aquesta gràfica, dibuixa la fun-ció g(x) = |log2 x|. Per a quins valors de x noexisteix g�(x)? Per què?

Fig. 2.10

0lim ( )x

f x-®

1'( )

2 2f x = ®

x

4 41, 8

8 0

a ba b

a b

+ = - ü= = -ý

+ = þ

2'( )

( )

af x

x b

-=

-

ax b--

1 1 5( 5) 3 5 0

3 3 3y x y x x y= - - ® = - + ® + - =

tg

1'(5) 2 5 7 3

3nm f m= = × - = ® = -

1 1 2( 2) 3 2 0

3 3 3y x y x x y= - ® = - ® - - =

tg

1'(2) 2 2 7 3

3nm f m= = × - = - ® =

2 2

2

1 1 1'( )

1 11f x

x xx

-æ ö= × - =ç ÷ +è ø+

1( ) arccotg arctgf x x

x= =


22

La funció g(x) no és derivable en x = 1.Observa a partir de la gràfica que g'(1�) ¹ g '(1+).

25. La funció: f(x) = és deriva-

ble en x = 2? Per què?

f(2) = 3

Com que , la funció no és contí-

nua en x = 2. Aleshores, tampoc pot ser deri-vable en aquest punt.

2lim ( ) (2)x

f x f®

¹

® ® ®

-= = + =

-

2

2 2 2

4lim ( ) lim lim( 2) 4

2x x x

xf x x

x

2 4si 2

23 si 2

xx

xx

ìì --¹¹ïï

--ííïï ==îî


23

Comencem

� Troba i classifica les discontinuïtats que pre-

senta la funció y = .

la simplifica-

ció indica que a x = �1 hi ha una discontinuïtat

evitable. A l�expressió hi trobem una

discontinuïtat asimptòtica a x = 1.

� Una funció f(x) és tal que Df = R � {2, �3}.Què pots dir de la continuïtat de la funció enels punts x = 2 i x = �3?

f(x) no està definida a x = 2 i x = �3 ja queaquests valors no són del domini de la funció i,per tant, la funció no és contínua en aquestspunts.

� Considera la funció:

Què pots dir de la continuïtat en els punts x= 0 i x = 3?

f(0�) = 0 i f(0+) = 2 a l�esquerra i a la dreta de x =0 la funció presenta valors diferents, per tant, hiha una discontinuïtat de salt a x = 0. f(3�) = f(3+)i, per tant, a x = 3 la funció és contínua.

Exercicis

1. A partir de les funcions f(x) = x2 + 1 i g(x) =

x3 � 1, escriu les funcions f + g, f · g, i .

Són contínues? Raona la teva resposta.

(f + g)(x) = x2 + 1 + x3 � 1 = x3 + x2

(f · g)(x) = (x2 + 1)(x3 � 1) = x5 + x3 � x2 �1

Les dues funcions són contínues per ser poli-nomis.

presenta una discontinuïtat

asimptòtica a x = 1, valor que anul·la el deno-minador.

2. Descompon la funció y = 5x4 ex en tres fac-tors que siguin funcions contínues.

Es poden donar diferents resultats. Per exem-ple: f(x) = 5, g(x) = x3 i h(x) = ex.

3. La funció y = tg x és contínua? Recorda que

tg x es pot definir com a .

y = tg x = no és contínua en els valors

de x que fan cos x = 0 ® x = (2k + 1) , amb k

un nombre enter.

4. Considera les funcions f(x) = 2x � 1 i g(x) =

= x2 + 1. Escriu les funcions , , f ° g i g °

f. Raona si les funcions obtingudes sóncontínues.

és contínua.

presenta una discontinuïtat a

x = 0, valor que anul·la el denominador.

(g o f)(x) = 2x2 + 1 � 1 és contínua.

(g o f)(x) = (2x �1)2 + 1 és contínua.

5. Explica un fet quotidià que posi de manifestel teorema dels valors intermedis.

Per exemple, en una etapa ciclista els corre-dors passen per un quilòmetre determinat.

6. Considera la funció f(x) = 2x4 � 14x2 + 14x �1. Explica per què es pot aplicar el teoremade Bolzano en l�interval [0, 1]. Troba un va-lor aproximat a les centèsimes de c tal quef(c) = 0 en aquest interval.

La funció f(x) és contínua i verifica: f(0) = �1 if(1) = 1. Es verifica el teorema de Bolzano enl�interval [0,1]. Utilitzant la calculadora per tro-bar valors numèrics tenim que f(0,1) = 0,26,per tant, el valor c buscat es troba entre 0 i 0,1.El valor de c = 0,08 dóna f(0,08) @ 0.

7. Separa les quatre arrels reals de la funciósegüent:

f(x) = 2x4 � 13x2 + 15

+æ ö =ç ÷ -è ø

2 1( )

2 1x

g xx

f

æ ö -=ç ÷ +è ø

2

2 1( )

1

xfx

g x

gf

fg

p2

sin

cos

x

x

sincos

xx

æ ö +=ç ÷ -è ø

2

3

1( )

1

f xx

g x

fg

2 0

( ) 2 0 3

1 3

x x

f x x

x x

ìì <<ïï== ££ ££ííïï -- <<îî

=-1

1y

x

+ += = = ®

+ - -- 2

1 1 1

(1 )(1 ) 11

x xy

x x xx

2

11

xx

++--


25


En la funció tenim: f(1) = �5 i f(3) = 60 igual-ment per la paritat de les potències de x tenim:f(�1) = 4, f(�2) = �5 i f(�3) = 60. Els intervalsque separen les quatre arrels són: [1,2],[�1,�2], [2,3] i [�2,�3].

8. Calcula els valors de f(x) = x7 + 3x + 3 a x = = 0 i x = �1. Pots determinar si la gràfica dela funció talla l�eix de les abscisses en al-gun punt entre �1 i 0? Troba aquest puntamb una aproximació fins a les centèsimes.

f(0) = 3 i f(�1) = �1. Pel teorema de Bolzano enl�interval [�1,0] la gràfica de la funció talla enun punt l�eix de les abscisses. Calculant valorsnumèrics de la funció per a diferents valors dex de l�interval, s�obté c @ �0,87.

9. Considera la funció f(x) = x2 � 2x + 1. És unafunció contínua que té com a gràfica unaparàbola. Existeix un c tal que f(c) = 0? Ex-plica si en aquesta funció es pot aplicar elteorema de Bolzano en l�interval [0, 2].

La funció verifica f(1) = 0 ® c = 1. No es potaplicar el teorema de Bolzano en l�interval [0,2]ja que f(0) = 1 = f(2).

10. Troba el màxim i el mínim absoluts de lafunció f(x) = � x2 + 2x en l�interval [�1, 2].Representa gràficament la funció per aju-dar-te a trobar la solució.

En l�interval [�1,2] es verifica: f(�1) = �3, f(2) =0 i f(1) = 1 que és el màxim absolut i vèrtex dela paràbola. El mínim absolut es troba a x = �1,un dels extrems de l�interval.

11. Verifica si la funció f(x) = tg x té màxim i mí-

nim absoluts en l�interval . Raona la

teva resposta.

La funció f(x) = tg x no és contínua a x = . Té

mínim absolut a x = 0 ® f(0) = 0. No té màxim

absolut a x = per la discontinuïtat.

12. Troba els punts de la funció en

els quals no sigui derivable.

La funció no és contínua a x = 1 i x = �1, valorsque no són del domini; per tant, no és deriva-ble en aquests punts.

13. Considera la funció f(x) = 3x4 � 8x3 + 6x2.Troba�n els punts estacionaris i classifica�ls.

Calculem la derivada de la funció i la igualem a 0.

f'(x) = 12x3 � 24x2 + 12x ® 12x3 � 24x2 + 12x = 0

12x(x2 � 2x + 1)

Per x < 0 ® f'(x) > 0, i per x > 1 ® f'(x) > 0; pertant, a x = 0 hi ha un mínim relatiu.

Per x < 1 ® f'(x) > 0, i per x > 1 ® f'(x) > 0; pertant, a x = 1 hi ha un punt d�inflexió de tangenthoritzontal.

En ambdós casos es consideren valors de l�en-torn de 0 i 1, respectivament.

14. Interpreta el valor de la derivada de la fun-ció y = x3 � 1 en el punt x = 0.

La derivada y' = 3x2. En el punt x = 0 s�anul·lala derivada i per valors anteriors i posteriors de l�entorn de x = 0, la derivada és positiva. A x = 0 hi ha un punt d�inflexió de tangent horit-zontal.

15. Troba la derivada de les funcions f(x) = e2x ide g(x) = ln x. Tenen punts estacionarisaquestes funcions? Raona�n la resposta.

f'(x) = c2x · 2 i la funció no té punts estacionarisja que la derivada no s�anul·la per a cap valorde x. Igualment passa amb la funció g(x) = ln x,

ja que la derivada g'(x) = no s�anul·la.

16. Considera la funció f(x) = 2 sin x en l�inter-val [0, p]. Aplica-li el teorema de Rolle pertrobar un punt c tal que f�(c) = 0.

f(0) = 0 i f(p) = 0. El teorema de Rolle afirmaque hi ha un punt de l�interval (0,p) en el qualla derivada s�anul·la.

17. Esbrina si la funció verifica

les condicions del terorema de Rolle a l�in-terval [0, 2].

La funció presenta una discontinuïtat en elpunt x = 1; per tant, la funció no és contínua enl�interval [0,2] i no es pot aplicar el teorema deRolle.

18. Considera la funció f(x) = x3 � 3x2 en l�inter-val [0, 3] i aplica el teorema de Rolle enaquest interval. Quin és el punt c que pre-diu el teorema? Hi ha algun altre punt que

2

2( )

( 1)f x

x==

--

'( ) 2cos cos 0 (0, )2

f x x x xp

= ® = ® = Î p

1

x

= ® ==

- + = ® =1

22

0 00

2 1 0 1x xx x x

2

11

yx

==--

2

p

p2

0,2péé ùù

êê úúëë ûû


26

no pertany a (0, 3) en què també s�anul·li laderivada?

f(0) = 0 i f(3) = 0 ® es pot aplicar el teoremade Rolle. f'(x) = 3x2 � 6x ® 3x2 � 6x = 0 ®

® 3x(x � 2) =

c = 2 Î (0,3) i 0 Ï (0,3)

19. Demostra que a la funció f(x) = se li potaplicar el teorema del valor mitjà en l�inter-val (0, 1). Troba el punt c de l�interval enquè f�(c) = 1. Troba l�equació de la recta tan-gent a la corba en aquest punt.

f'(x) = és contínua en l�interval (0,1) i f(0) = = 0 ¹ f(1) = 1; per tant, es pot aplicar el teore-ma del valor mitjà.

Equació de la recta tangent: punt , m = 1

20. Demostra que la funció f(x) = és decrei-

xent en tot el seu domini.

. L�expressió de la derivada

per a qualsevol valor de x; per tant, la funció ésdecreixent.

21. Comprova que el punt c = és el punt on

es verifica el teorema de Cauchy per lesfuncions següents f(x) = 3x + 2 i g(x) = x2 +1 en l�interval [1, 4].

22. Troba els punts de la funció f(x) = x3 � 4x � 1que verifiquen f�(x) = 0. Classifica�ls i ex-

pressa els intervals de monotonia i conca-vitat.

f ''(x) = 6x ®

Mínim relatiu a

Màxim relatiu a

f ''(x) = 6x 0 ® x = 0 Punt d�inflexió

f(x) és creixent: i

decreixent:

convexa: (�¥,0); còncava: (0,+¥)

23. Estudia la primera i la segona derivada dela funció f(x) = ln (x2 + 1) per trobar possi-bles màxims o mínims relatius i punts d�in-flexió. Vés amb compte a l�hora d�interpretarels valors que anul·len la segona derivada.

f ''(0) > 0 ® a x = 0 hi ha un mínim relatiu

Els punts x = ±1 no són veritables punts d�infle-xió ja que la funció és còncava en tot el seudomini.

24. Troba els extrems relatius i els punts d�in-flexió de les funcions:

a) f(x) =

f '(x) = 1 � ® 1 � = 0 ® x2 � 1 = 0 ®

x = ±1

f ''(x) = ®

f ''(1) > 0 a x = �1 hi ha un mínim relatiuf ''(�1) < 0 a x = �1 a hi ha un màxim relatiuNo hi ha punts d�inflexió ja que

f ''(x) = ¹ 03

2

x

2

1

x

2

1

x2

1

x

1x

x++

22

2 2

2 2''( ) 2 2 0 1

( 1)

xf x x x

x

- += ® - + = ® = ±

+

2

2'( ) 2 0 0

1

xf x x x

x= ® = ® =

+

2 2,

3 3

æ ö-ç ÷

è ø

2,

3

æ ö+¥ç ÷

è ø

2,

3

æ ö-¥ -ç ÷

è ø

2

3x = -

2'' 0

3f

æ ö- < ®ç ÷

è ø

=2

3x

2'' 0

3f

æ ö> ®ç ÷

è ø

= - ® - = ® = ± = ±2 2 3 2'( ) 3 4 3 4 0

4 3f x x x x

æ öç ÷- è ø= = =

- æ ö-ç ÷è ø

5'

(4) (1) 9 3 25(4) (1) 15 5

'2

ff f

g gg

æ ö= ® =ç ÷è ø

5'( ) 2 ' 5

2g x x g

æ ö= ® =ç ÷è ø

5'( ) 3 ' 3

2f x f

52

-<

2

10

x

-=

2

1'( )f x

x

1x

= +1

4y x

æ öç ÷è ø

1 1,

4 2

= ® = ® =1 1 1

'( ) 142 2

f x cx c

x

x

==

1

2

02

xx


27

b) f(x) = x (x � 1)2 (x � 2)3

La funció és: f(x) = x(x � 1)2 � (x � 2)3.

f(x) = 4x2 � 11x + 8 ® f '(x) = 8x � 11 ®

8x � 11 = 0 ® x =

A x = hi ha un mínim relatiu i absolut; és

el vèrtex de la paràbola.

c) f(x) = ex · x

f '(x) = ex x + ex = ex(x + 1) ® x + 1 = 0 ®x = �1f ''(x) = ex(x + 1) + ex = ex(x + 2) ® x + 2 = 0® x = �2f ''(�1) = e�1 > 0 ®a x = �1 hi ha un mínim relatiu i a x = �2 hiha un punt d�inflexió.

d) f(x) = cos x amb x Î[0, 2p]

f '(x) = �sin x ® �sin x = 0 ® x =

f ''(x) = �cos x ®

f ''(0) < 0 ® a x = 0 hi ha un màxim relatiuf ''(p) > 0 ® a x = p hi ha un mínim relatiu

f ''(2p) < 0 ® a x = 2p hi ha un màxim rela-tiu

25. Calcula els límits següents:

a)

b)

c)

d)

26. Calcula els límits següents sabent que sónuna potència del nombre e.

Cal trobar l�exponent k de ek en cada cas.

a)

.

Derivant numerador i denominador tot apli-cant la regla de L�Hôpital, sobté k =2. Pertant, e2 és el resultat.

b)

c)

d)

Acabem

1. Raona la continuïtat de les funcions:

a) f(x) = ln (x2 + 1)

f(x) = ln(x2 + 1) és contínua per a tot ja quex2 + 1 > 0

b) f(x) = (sin x) · ex+1

f(x) = (sin x) · ex + 1 és contínua ja que és elproducte de dues funcions contínues.

23

2

33lim

1x

xe

x®¥= = ®

-

2

2

11 13 lnlim lim 11

3x x

x xk xx

x®¥ ®¥

-é ù+æ ö -= × = =ç ÷ê ú --è øë û

31

lim1

x

x

xx®®¥¥

++ææ ööçç ÷÷--èè øø

1

1ln 1

1ln 1 1lim lim 1x x

xk x e e

xx

®-¥ ®-¥

æ ö+ç ÷é ùæ ö è ø= × + = = ® =ç ÷ê úè øë û

1lim 1

x

x x®®¥¥

ææ öö++çç ÷÷èè øø

3

0

11 3lim 1

3x

x e®

+= = ®

0 0

3 ln(1 )ln(1 )lim lim

3x x

xk x

xx® ®

+é ù= × + = =ê úë û

3

0lim (1 ) x

xx

®®++

2 3ln

2 3 2 1lnlim lim 12 1x x

xx x

k xx

x®¥ ®¥

+æ öç ÷æ ö+ -æ ö è ø= × =ç ÷ç ÷-è øè ø

2 3lim

2 1

x

x

xx®®++¥¥

++ææ ööçç ÷÷--èè øø

2

3 20 0 0

1 2 2lim lim lim

33x x x

x x

xx x® ® ®

+= = = ¥

2 1limx

xx®®¥¥

++

2

0 0 0

2 22lim lim lim

1 cos sin cosx x x

x x

x x x® ® ®= = =

-

2

0lim

1 cosx

xx®® --

2

0 0 0

2

1 cos sin(sin cos ) 0lim lim lim1

cosx x x

x xx x

tgxx

® ® ®

-= = × =

0

1 coslim

tgx

xx®®

--

0 0

1lim lim 1

sin cosx x

x

x x® ®= =

0lim

sinx

xx®®

pp

0

2

11

8

11

8


28

c) f(x) =

f(x) = és contínua per a tot x ¹ �1.

Per a x = �1 presenta una discontinuïtatasimptòtica.

d) f(x) = cos2 x + cos x � 1

f(x) = cos2 x + cos x � 1 és contínua per sersuma de tres funcions contínues.

2. La funció f(x) = x2 + x + 1 és contínua. Expli-ca si es pot aplicar el teorema de Bolzanoen algun interval. Té alguna arrel l�equacióf(x) = 0?

L�expressió x2 + x + 1 > 0 per a tot x Î R i, pertant, no es pot aplicar el teorema de Bolzano il�equació f(x) = 0 no té cap arrel.

3. Dóna un raonament per tal de justificar quela funció f(x) = x5 + 5x3 + 2x talla l�eix de lesabscisses en un sol punt.

f(x) = x · (x4 + 5x2 + 2) ® f(x) = 0 ® x = 0, queés el punt on talla l�eix de les abscisses; x4 +5x2 + 2 > 0 per a tot x Î R i, per tant, la gràficano talla a cap altre punt l�eix de les abscisses.

4. Estudia la derivabilitat de la funció f(x) =

en el punt x = 0.

f(x) = és contínua per a tot x del domini:

Df = [�1,+¥)

no està definida a x = �1, per

tant, no és derivable en aquest punt. A no ésderivable.

5. Demostra que f(x) = és decreixent en

tot el seu domini.

per a tot x

del domini.

Si la derivada és negativa, la funció és decrei-xent.

6. Calcula les tres primeres derivades de f(x) =

= . Troba una expressió per a la derivadaenèsima.

; ;

; amb

an = �3n + 4

7. Troba l�equació de la recta tangent a la cor-ba següent: y = x3 � 3x en el punt d�abscis-sa �1.

Punt de tangència: P(�1,2); pendent: m = y ' (� 1). Equació de la recta: y = 2

8. Esbrina si f(x) = és creixent en tot el

seu domini. Què passa en el punt x = �1?

. La derivada és positiva i la fun-

ció és creixent per a x > �1; és negativa i la fun-ció decreixent per a x < �1. En el punt x = �1 hiha una discontinuïtat asimptòtica.

9. Calcula la derivada de les funcions se-güents:

a) y =

b) y = sin 3x · tg 3x

Simplifica les expressions obtingudes.

y = sin 3x · tg3x ® y' = 3 · cos 3x · tg3x +

+ sin 3x · = 3 · sin 3x ·

10. Raona per què la funció f(x) = 2x + cos x nopot tenir màxims ni mínims relatius.

f '(x) = 2 � sin x > 0 ja que �1 £ sin x £ 1 i la de-rivada no s�anul·la per a cap valor de x.

11. Classifica els possibles extrems relatius deles funcions:

a) f(x) = 2 sin x + cos 2x

f '(x) = 2 · cos x � 2 · sin 2x ®cos x � sin 2x = 0 ®

cos x � 2 · sin x · cos x = 0 ®

® cos x · (1 � 2 · sin x) = 0

x1 = , x2 = , x3 = , x4 = en [0,2p]

f ''(x) = �2 · sin x � 4 · cos 2x

5

6

p6

p3

2

p2

p

cos 01 2 sin

xx

=- × =

2

11

cos 3xæ ö+ç ÷è ø2

3

cos 3x

3 32

2 22 ' 3 2 ln2

4 2

x xx x

x xy y

- -- -= = = ® = - × ×

24

x

x

--

3

2'( )

( 1)f x

x=

+

2

1( 1)x

--++

1( ) ( )3

nan nn

af x x +=

83

5 2 1'''( )

3 3 3f x x

-- -æ ö= × ×ç ÷è ø

53

2 1''( )

3 3f x x

-= - ×

23

1'( )

3f x x

-=

13( )f x x=

3 x

2 2

2( 1) 2 2'( ) 0

( 1) ( 1)

x xf x

x x

- - -= = <

- -

21

xx --

1'( )

2 1f x

x=

+

1x +

1x ++

2

3

1

1

x

x

++

2

3

11

xx

++++


29

f '' > 0, a x =

hi ha un mínim relatiu

f '' > 0, a x =


f '' > 0, a x =

hi ha un màxim relatiu

f '' > 0, a x =

hi ha un màxim relatiu

b) f(x) = x4 e�x

f '(x) = 4x3 ·e�x + x4 · e�x(�1) = x3 · e�x(4 � x)

x3 · e�x(4 � x) = 0

f ''(x) = 3x2 · e�x(4 � x) � x3 · e�x(4 � x) � �x3 · e�x

f ''(0) = 0, a x = 0 hi ha un punt d�inflexió

f ''(4) < 0, a x = 4 hi ha un màxim relatiu

c) f(x) = x3 � 5x2 + 6x

f '(x) = 3x2 � 10x + 6 ® 3x2 � 10x + 6 = 0 ®

® x =

f ''(x) = 6x � 10

, a


, a

hi ha un màxim relatiu.

d) f(x) = x4 � x2

f '(x) = 4x3 � 2x ® 4x3 � 2x = 0 ®

® 2x(2x2 � 1) = 0

x1 = 0 x2 = x3 = �

f ''(x) = 12x2 � 2f ''(0) < 0, a x = 0 hi ha un màxim relatiu

; x = i x = �

hi ha màxims relatius.

12. Troba els extrems absoluts de f(x) = ex � 1en l�interval [�1, 1].

f(�1) = e�1 � 1 @ �0,63; f(1) @ 1,718

f '(x) = ex ® f(x) no té extrems relatius ja que ex ¹ 0, per tant, els extrems absoluts es trobenen els extrems de l�interval: a x = �1 hi ha elmínim absolut i a x = 1 el màxim absolut.

13. Estudia la monotonia i dóna els intervals decreixement i decreixement de les funcions:

a) f(x)= 1 � 2x � 3x2

f '(x) = �2 � 6x ® �2 � 6x > 0 ® � > x. La

funció és creixent; per x > � la funció és

decreixent. (�¥, � ) i (� , +¥) respectiva-

ment.

b) f(x) = x + sin x

f '(x) = 1 + cos x ³ 0, la funció és creixentper a tot x ¹ p en [0,2p]

c) f(x) = x2 � ln x2

f '(x) = 2x � . f(x) és creixent (0,+¥) i de-

creixent (�¥,0).

d) f(x) = x4 � x2

És la funció de l�exercici 11 d). Aprofitantels extrems relatius establim que f(x) és:

Creixent: i

Decreixent: i

14. Determina la concavitat i els punts d�infle-xió de les funcions:

En cada cas cal trobar els punts en els ques�anul·len les derivades primera i segona.

a) f(x) = x3 + 2x2 � 4x � 8

f '(x) = 3x2 + 4x � 4 ® 3x2 + 4x � 4 = 0 ®

x1 = �2 i x2 =

f ''(x) = 6x + 4 = 0 ®

x = � és un punt d�inflexió2

3

2

3

10,

2

æ öç ÷ç ÷è ø

1,

2

æ ö-¥ -ç ÷ç ÷

è ø

1,

2

æ ö+¥ç ÷ç ÷

è ø

1,0

2

æ ö-ç ÷ç ÷

è ø

2

x

1

3

1

3

1

3

1

3

1

2

1

2

1 1'' '' 0

2 2f f

æ ö æ ö= - >ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷

è ø è ø

1

2

1

2

2

02 1 0xx=

- =

5 7

3x

-=

5 7'' 0

3f

æ ö->ç ÷ç ÷

è ø

5 7

3x

+=

5 7'' 0

3f

æ ö+>ç ÷ç ÷

è ø

5 7

3

±

1

2

04

xx

==

5

6

p5

6

pæ öç ÷è ø

6

p6

pæ öç ÷è ø

3

2

p3

2

pæ öç ÷è ø

2

p2

pæ öç ÷è ø


30

f ''(�2) < 0 hi ha un màxim relaitu a x = �2

f '' > 0 hi ha un mínim relatiu a x =

f(x) és convexa (�¥,� ) i còncava (� ,+¥)

b) f(x) = x3 + 2

f '(x) = 3x2; f ''(x) = 6x ® x = 0 és un puntd�inflexió de tangent horitzontal i de canvide concavitat.

f(x) és convexa (�¥,0) i còncava (0,+¥).

c) f(x) = x + cos x

f '(x) = 1 � sin x i f ''(x) = cos x ® cos x =

0

convexa: (0, ); ( ,2p) i còncava: ( ,2p)

d) f(x) = x4 � x2

f '(x) = 4x3 � 2x

f ''(x) = 12x2 � 2 ® 12x2 � 2 = 0 ® x =

tenint en compte els extremes relatius de lafunció trobats a l�exercici 11 d) podem esta-blir:

f(x) és còncava: (�¥,� ) i ( ,+¥) i con-

vexa .

15. Calcula.

a) (1 � cos x)2x

És un limit del tipus eK.

e0 = 1

b) (sin x)tg x

És del tipus eK.

c)

d) x4 ln x

16. Determina els punts d�inflexió de la funciósegüent:

f(x) =

f '(x) =

f ''(x) = =

6x2 � 2 = 0 ® x = ±

Hi ha dos punts d�inflexió.

17. Calcula la primera i la segona derivada dela funció f(x) = (x � 1)3. S�anul·len les duesderivades en un mateix punt? Troba aquestpunt i explica de quin tipus és.

f '(x) = 3(x � 1)2; f ''(x) = 6(x � 1)

Les dues derivades s�anul·len per a x = 1. Enaquest punt hi ha una inflexió de tangent horit-zontal i de canvi de concavitat.

18. Considera la funció f(x) = x3 + x2 + bx + 7.Troba b de manera que la gràfica de la fun-

1

3

2

2 3

6 2

(1 )

x

x

-+

2 2 2

2 4

2(1 ) 2 2(1 ) 2

(1 )

x x x x

x

- + + × + ×+

2 2

2

(1 )

x

x

-+

2

11 x++

4

0lim 0

4x

x®

-= =

54

0 0 0 0

4 5

1ln

lim ln lim lim lim1 4 4x x x x

x xxx xx

x x

® ® ® ®= = = =

- -

0limx ®®

33

0 0

3lim lim(1 )( 3 ) 4

11

x xx x

x x

e ex e e

x

--

® ®

+= + + =

+

3

0lim

ln(1 )

x x

x

e e

x

-

®

-=

+

3

0lim

ln(1 )

x x

x

e ex

--

®®

--++

30

2

coslim 0 1

sinx

xe

xp®

= = ® =

2 2 2 2

coslnsin sinlim tg lnsin lim lim

1tgcos

x x x

xx xR x x

xx

p p p® ® ®

= = = =

2

limx

p®®

0

2

sin1 coslim 0

1

2

x

x

x

x

®

-= =

( )0 0

ln(1 cos )lim 2 ln(1 cos ) lim

12

x x

xK x x

x

® ®

-= × - = =

0limx ®®

1 1,

6 6

æ ö-ç ÷ç ÷

è ø

1

6

1

6

1

6±

3

2

p3

2

p2

p

1

2

23

2

x

x

p=

p=

2

3

2

3

2

3

2

3æ öç ÷è ø


31

ció tingui a x = 1 un punt d�inflexió de tan-gent horitzontal.

f '(x) = 3x2 + 2x + b f '(1) = 5 + b = 0 ® b = �5f ''(x) = 6x + 2 ® f ''(�5) ¹ 0 i no hi ha punt d�in-flexió.

19. Determina f(x) sabent que la derivada terce-ra és f��(x) = 24x, f(0) = 0, f�(0) = 1 i f��(0) = 2.

f(x) és un polinomi de quart grau ja que la ter-cera derivada és de primer grau:

f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + ef(0) = 0 ® e = 0

f '(x) = 4ax3 + 3bx2 + 2cx + df '(0) = 1 ® d = 0

f ''(x) = 12ax2 + 6bx + 2cf ''(0) = 2 ® 2c = 2 ® c = 1

f '''(x) = 24ax + 6b = 24x ® a = 1 i b = 0

Substituint: f(x) = x4 + x2 + x

20. Analitza la continuïtat i la derivabilitat de la

funció f(x) = si x ¹ 0 i f(0) = 0.

La funció presenta una discontinuïtat de salt ax = 0.

No és derivable a x = 0 ja que no és contínuaen aquest punt.

21. Raona si la funció f(x) = x6 � 6x2 + 3 té algu-na arrel entre 0 i 1. Troba aquest valor ambuna aproximació fins a les centèsimes.

Apliquem el teorema de Bolzano ja que:

f(0) = 3; f(1) = �2 i la funció és contínua.

Existeix un c Î [0,1] tal que f(c) = 0.

Utilitzant la canculadora per trobar valors nu-mèrics de la funció per valors de x de l�interval,s�obté com a valor aproximat c @ 0,72.

xx


32

Comencem

� A partir d�una taula de valors, representa grà-

ficament la funció . Dóna tota la

informació possible de la funció.

Df = R � {2}, Rf = R � {0}

Talla l�eix d�ordenades en el punt (0, �1). No éssimètrica ni respecte de l�eix d�ordenades ni res-pecte de l�origen. És decreixent en tot el seudomini. Per valors de x < 2 la funció és convexa,i per valors de x > 2 és còncava.

Exercicis

1. Estudia les simetries i indica els punts de

tall amb els eixos de la funció: .

Com que f (�x) =

= �f (x), la funció és imparella, per tant és simè-trica respecte de l�origen de coordenades.

f (x) = 0 ® = 0 ® x3 = 0 ® x = 0,

talla els eixos en l�origen.

2. Donada la funció dedueix-ne:

a) El domini i els tipus de discontinuïtats.

Df = R � {�1}, , presenta una

discontinuïtat asimptòtica en x = �1.

b) Les simetries.

En ser f(�x) = � , vol dir que f(�x) ¹ f(x)

i f(�x) ¹ �f(x), per tant la funció no és pare-lla ni imparella, la gràfica no és simètrica nirespecte de l�eix d�ordenades ni respecte del�origen.

c) Els punts de tall amb els eixos de coor-denades.

f(x) = 0 ® x � 1 = 0 ® x = 1, talla l�eix d�abs-cisses en el punt (1, 0).

f(0) = �1, talla l�eix d�ordenades en el punt(0, �1).

3. Troba el recorregut de la funció de l�exerci-ci anterior a partir del domini de la funcióinversa.

f �1(x) = ® Rf = Df�1 = R � {1}.

4. a) Per què una funció no pot ser simètricarespecte de l�eix d�abscisses?

Hi hauria valors de x que tindrien dues imat-ges.

b) Per què la gràfica d�una funció pot tallarcom a màxim per un punt l�eix OY?

Si tallés en més d�un punt l�eix OY, el valorx = 0 tindria més d�una imatge.

5. Justifica de manera raonada per què la grà-fica d�una funció no talla en cap punt unaasímptota vertical.

Si la gràfica tallés una asímptota vertical, hihauria valors de x que tindrien més d�una imat-ge, i per tant no seria una funció.

6. Demostra que les funcions polinòmiques notenen asímptotes de cap tipus.

En ser p(x) = ¥ , fa que no tingui asímpto-

tes verticals ni horitzontals, i com que

m = = ¥, tampoc en té d�obliqües.( )

limx

p x

x®¥

limx®¥

(1 )

(1 )

x

x

+-

1

1

x

x

+-

1

1lim

1x

x

x®-

-= ¥

-

1( )

3x

f xx

--==

++

3

2 2

x

x +

3 3 3

2 2 2

( )

( ) 2 2 2

x x x

x x x

- -= = - =

- + + +

3

2( )

2x

f xx ++

x �2 0 4 6

f (x) = 2/(x � 2) �1/2 �1 1 1/2

2( )

2f x

x --


33


7. Troba, si n�hi ha, els punts de tall de l�a-símptota obliqua i la gràfica de la funció del�exemple 1 apartat b.

No es tallen en cap punt, ja que l�equació

= x � 1, no té solució.

8. Troba les asímptotes de les funcionssegüents:

a)

Df = R � {�2, 2}

verticals: x = �2 i x = 2, horitzontal: y = 0, noen té d�obliqües.

b)

Df = R, no té asímptotes verticals

, tampoc no en té d�horit-

zontals.

asímptota obliqua: y = 2x

c)

Df = R, no té asímptotes verticals.

® asímptota horitzontal:

y = 0 per a x ® + ¥

® no té asímptota horit-

zontal per a x ® � ¥

® no té asímptotes obli-

qües.

d)

Df = R � {�3}; ® la recta x =

= �3 és una asímptota vertical.

® la recta y = �2 és una

asímptota horitzontal.

e)

Df = R � {5}; ® la recta x = 5

és una asímptota vertical.

no té cap asímptota horit-

zontal.

no té cap asímptota obliqua.

f)

Df = R � {�1}; ® la recta

x = �1 és una asímptota vertical.

® la recta y = 0 és una


9. Justifica la validesa o falsedat de les afirma-cions següents:

a) Si f(x) és creixent en el punt x = x0, ales-

hores f�(x0) > 0.

Fals. Per exemple la funció f(x) = x3 és crei-xent en tots els reals i en canvi f '(0) = 0

b) Si f(x) és decreixent en el punt x = x0,

aleshores f�(x0) £ 0.

Veritat, ja que si la funció és decreixent lafunció derivada no és positiva.

c) Si f(x) és creixent a l�esquerra del punt x = a i decreixent a la dreta del mateixpunt, aleshores x = a és un màxim.

Fals. En el punt x = a, pot haver-hi una dis-continuïtat asimptòtica.

10. Estudia els intervals de creixement i decrei-xement de les funcions següents:

a)

f '(x) = < 0 "xÎDf = R � {1}, la fun-

ció és decreixent en tot el seu domini.

2

2

( 1)x

--

1( )

1x

f xx

++==

--

2

3lim 0

( 1)x x®±¥=

+

21

3lim

( 1)x x®-= +¥

+

2

3( )

( 1)f x

x==

++

3 2

lim lim( 5) 5x x

x xm

x x x®±¥ ®±¥= = = ±¥

- -

3

lim5x

x

x®±¥= +¥

-

3

5lim

5x

x

x®= ¥

-

3

( )5

xf x

x==

--

3 4lim 2

2 6x

x

x®±¥

-= -

+

3

3 4lim

2 6x

x

x®-

-= ¥

+

3 4( )

2 6x

f xx

--==

++

2 1lim

exx

xm

x®-¥

-= = ¥

2 1lim

exx

xm

x®-¥

-= = ¥

2 1lim 0

exx

x®+¥

-=

2 1( )

x

xf x

e

--==

3

2 2 1

2 2lim 2 lim 0

1x x

x xn x

x x +®±¥ ®±¥

æ ö -= - = =ç ÷+è ø

3 2

2 2

2 2lim lim 2

( 1) 1x x

x xm

x x x®±¥ ®±¥= = =

+ +

3

2

2lim

1x

x

x®±¥= ±¥

+

3

2

2( )

1x

f xx

==++

2

3lim 0

4x

x

x®¥

+=

-

22

3lim

4x

x

x®

+= ¥

-22

3lim

4x

x

x®-

+= ¥

-

2

3( )

4x

f xx

++==

--

1

2-

2

4 2

x

x-


34

b)

Df = R, f '(x) = , f '(x) = 0 ® 2 � 4x2 =

= 0 ® x = ±1/

f '(�1) < 0 ® és decreixent en (�¥, �1/ ),

f '(0) > 0 ® és creixent en (�1/ ,1/ ) i

f '(1) < 0 ® és decreixent en (1/ , + ¥).

c)

Df = R +, f '(x) = , f '(x) = 0 ® ln x � 1 =

= 0 ® ln x = 1 ® x = e

f '(1) < 0 ® en l�interval (0,e) és decreixent,f '(e2) > 0 ® en l�interval (e, + ¥) és creixent.

d)

Df = R � {0}, f '(x) = ,

f '(x) = 0 ® x = 1f '(�1) < 0, f '(1/2) < 0 i f '(2) > 0 ® decreixen (�¥,0) i (0,1) i creix en (1, + ¥)

11. Contesta raonadament les preguntessegüents:

a) Per què igualem a zero la funció deriva-da, i resolem l�equació obtinguda, pertrobar els punts estacionaris?

En els punts estacionaris, la recta tangent ala gràfica de la funció és horitzontal, per tantel seu pendent ha de ser zero, i com queper definició el pendent de la recta tangenten un punt és la derivada de la funció enaquest punt, tenim que la derivada ha deser zero.

b) Per què una funció és creixent en unpunt del seu domini, quan la derivada enaquest punt és positiva?

Si f �(x0) > 0 ® mt > 0 ® la recta t és creixent® f(x) és creixent.

c) Per què en un punt d�inflexió de tangenthoritzontal la funció és creixent o decrei-xent, i en els màxims i mínims relatius no?

En els màxims i en els mínims canvia elcreixement de la funció, aquesta passa decreixent a decreixent, o a l�inrevés, en canvi

en els punts d�inflexió de tangent horitzontalno varia el creixement de la funció.

12. Esbrina els màxims, els mínims i els puntsd�inflexió de tangent horitzontal de les fun-cions:

a) f(x) = 3x4 � 6x2

La funció sent contínua i derivable en x = apassa de creixent a decreixent, ja que laderivada passa de positiva a negativa, pertant en x = a la funció presenta un màximrelatiu.

b) f(x) = x4 + 2x3

Per exemple la funció f(x) = �x2 en el punt x = 0.

c)

f'(x) =

f '(x) ¹ 0 "x Î Df ® no presenta cap puntestacionari

d)

13. Contesta raonadament les preguntes se-güents:

a) Una funció f(x) és còncava en l�intervalobert (a, b) i convexa en l�interval obert(b, c); vol dir això que en el punt d�abs-cissa x = b hi ha un punt d�inflexió?

No, pot ser que en el punt x = b hi hagi unadiscontinuïtat.

b) Si f�(x0) = f��(x0) = 0, podem estar segurs

que en x = x0 hi ha un punt d�inflexió detangent horitzontal?

No, ja que no n�hi ha prou que f�(x0) = f�(x0) == 0, si a més en x = x0 canvia la concavitatde la funció, aleshores sí que és un puntd�inflexió de tangent horitzontal.

14. Determina els punts d�inflexió en general iels intervals de concavitat i convexitat deles funcions següents:

a) f(x) = x3 � 2x2 + 4

La funció és convexa en (�¥, ), i és còn-

cava en ( + ¥), per tant x = és un punt

d�inflexió.

2

3

2

3

2

3

2

4( )

8f x

x==

++

2

e

(e 1)

x

x

--

e( )

e 1

x

xf x ==

--

2

2

e ( 1)x

x

-

e( )

x

f xx

==

2

ln 1

ln

x

x

-

( )ln

xf x

x==

2

22

2

2

2

2

2 4

(2 1)

x

x

-+

2

2( )

2 1x

f xx

==++


35

b) f(x) = x3(x � 4)

En (�¥, 0) i (2, + ¥) la funció és còncava, en(0, 2) és convexa, en x = 0 i x = 2 hi ha puntsd�inflexió.

c)

En els intervals (�¥, �2 ) i (0, 2 ) la fun-

ció és convexa, en (�2 , 0) i (2 , + ¥) és

còncava, x = �2 , x = 0 i x = 2 sónpunts d�inflexió.

d)

En (�¥, �2) i (�2, 0) és convexa, en (0, 2) i(2, + ¥) és còncava, té un punt d�inflexió enx = 0.

15. Troba l�equació de la recta tangent al gràficde les funcions següents en cada un delsseus punts d�inflexió:

a) f(x) = x3 � 3x2 + 2x

f '(x) = 3x2 � 6x + 2 ® f ''(x) = 6x � 6f ''(x) = 0 ® 6x � 6 = 0 ® x = 1m = f '(1) = 3 � 6 + 2 = �1y0 = f(1) = 1 � 3 + 2 = 0 ® P(1,0) y = �(x �1) ® y = �x + 1

b) f(x) = x(x � 1)3

f '(x) = 4x3 � 9x2 + 6x � 1 ®f ''(x) = 12x2 � 18x + 6f ''(x) = 0 ® 12x2 � 18x + 6 = 0 ®

x1 = 1, x2 =

m1 = f '(1) = 0y1 = f(1) = 0 ® P1(1,0)

y = 0

® y = x �

c) f(x) =

®

®

f ''(x) = 0 ® 3ex(3 � ex) = 0 ® 3 � ex = 0 ®ex = 3 ® ln3

y � = (x � ln3) ® y = x +

d) f(x) = e�x

f(x) = e�x = ® f '(x) = � ® f ''(x) = f(x) =

=

f ''(x) ¹ 0 "xÎDf ® no presenta cap puntd�inflexió

16. Determina els intervals de concavitat i con-vexitat de cadascuna de les funcions de l�e-xercici anterior.

a) punt d�inflexió: x = 1; Df = R(�¥,1) ® f ''(0) = �6 < 0 ® f(x) és inversa(1,+¥) ® f ''(2) = 6 > 0 ® f(x) és còncava

b) punts d�inflexió: x1 = 1, x2 = ; Df = R

(�¥, ) ® f ''(0) = 6 > 0 ® f(x) és còncava

( ,1) ® f ''(0,6) < 0 ® f(x) és convexa

(1,+¥) ® f ''(2) = 18 > 0 ® f(x) és còncava

c) punt d�inflexió: x = ln3; Df = R(�¥,ln3) ® f ''(0) > 0 ® f(x) és còncava(ln3,+¥) ® f ''(2) < 0 ® f(x) és convexa

d) no hi ha punts d�inflexió, Df = R(�¥,+¥) ® f ''(0) = 1 > 0 ® f(x) és còncava

17. Dibuixa el gràfic d�una funció que tingui unpunt d�inflexió de tangent horitzontal en elpunt x = 1, de manera que en aquest punt lafunció passi de còncava a convexa. Justifi-ca el creixement o decreixement de la fun-ció en el punt x = 1.

Resposta oberta. Per exemple:

1

2

1

2

1

2

1

ex

1

ex

1

ex

2 ln3

4

-1

4

1

4

1

2

0

1 '(ln3)

41 1

(ln3) ln3,2 2

m f

y f P

ü= = ïïýæ öï= = ® ç ÷ïè øþ

3

3e (3 e )''( )

(3 e )

x x

xf x

-=

+2

3e'( )

(3 e )

x

xf x =

+

1 1 e( )

31 3e 3 e1e

x

x x

x

f x -= = =+ ++

11 3e x--++

3

161

4

1

2x

æ ö-ç ÷è ø

+ =1 1

16 4y

2

2 2

1 1'

2 41 1 1 1

,2 16 2 16

m f

y f P

üæ ö= =ç ÷ ïïè ø ýæ ö æ öï= = - ® -ç ÷ ç ÷ïè ø è øþ

}

1

2

}

2( )

4x

f xx

==--

33

33

33

2

4( )

4x

f xx

==++


36

En el punt d�abscissa x = 1 la funció és decrei-xent.

18. Dibuixa les gràfiques de f�(x) i de f��(x) a par-tir de la gràfica de f(x) (fig. 4.18).

19. Si f��(x0) > 0, aleshores f(x) és còncava en

x = x0, però no recíprocament. Justifica-ho.

Si f(x) és còncava en x = x0 ® f '(x) és creixent

en x = x0 ® f ''(x0) > 0.

20. Donada la funció f(x) = x3, dibuixa, mitjan-çant una taula de valors, les gràfiques def(x), f�(x) i f��(x). Explica de manera raonadaquè passa en el punt x = 0.

En el punt x = 0 hi ha un punt d�inflexió de tan-gent horitzontal, on la funció és creixent, ipassa de convexa a còncava.

21. Considera les funcions dels apartats a) i b)de l�exercici 12: de cadascuna d�aquestes,dedueix-ne els màxims i els mínims aplicantel test de la segona derivada. Compara�n elsresultats.

a) f '(x) = 12x3 � 12x ® f ''(x) = 36x2 � 12f '(x) = 0 ® 12x3 � 12x = 0 ® x1 = 0, x2 = 1,x3 = �1f ''(0) = �12 < 0 ® en x = 0 hi ha un màximf ''(1) = 24 > 0 ® en x = 1 hi ha un mínimf ''(�1) = 24 > 0 ® en x = �1 hi ha un mínim

b) f '(x) = 4x3 + 6x2 ® f ''(x) = 12x2 + 12x

f '(x) = 0 ® 4x3 + 6x2 = 0 ® x1 = 0, x2 = �

f ''(0) = 0 ® en x = 0 hi ha un punt d�inflexióde tangent horitzontal

f '' = 9 > 0 ® en x = � hi ha un mínim

22. Dibuixa la gràfica d�una funció tal que:

a) Tingui un màxim i un mínim relatius, i notingui cap punt d�inflexió.

b) Tingui un punt d�inflexió i no tingui capmàxim ni cap mínim relatius.

23. a) A partir de les gràfiques dels exemples 4i 5, justifica les simetries, el recorregut i

3

2

3

2æ ö-ç ÷è ø

3

2


37

els màxims i mínims absoluts de cadauna de les funcions.

Exemple 4: La gràfica és simètrica respectede l�origen. Rf = R i no té ni màxim ni mínimabsoluts.

Exemple 5: La gràfica de la funció no éssimètrica ni respecte de l�eix d�ordenades nirespecte de l�origen. Rf = (0, + ¥), el punt(�1, 0) és un mínim absolut i no hi ha capmàxim absolut.

b) Justifica els punts d�inflexió de cadascu-na de les gràfiques dels exemples 2, 3 i 5.

Exemple 2: Hi ha dos punts d�inflexió, un en

x = aÎ(� , 0), ja que la gràfica en aquest

punt passa de convexa a còncava, i un altre

en x = b Î (0, ) on la gràfica passa de

còncava a convexa.

Exemple 3: Hi ha un punt d�inflexió en unpunt x < 2, on la gràfica passa de convexa acòncava.

Exemple 5: En un punt x = c Î (�1, 0) la grà-fica de la funció passa de còncava a conve-xa, per tant x = c és un punt d�inflexió, i en x > 1 n�hi ha un altre, donat que la gràficapassa de convexa a còncava.

24. Dibuixa la gràfica de les funcions:

a) f(x) = 6x2 � 2x3

Df = R. En ser una funció polinòmica no técap tipus d�asímptota.

f(x) = 0 ® 6x2 � 2x3 = 0 ® 2x2 (3 � x) = 0 ®x = 0, x = 3; talla els eixos en (0,0) i (3,0).f '(x) = 12x � 6x2

f '(x) = 0 ® 12x � 6x2 = 0 ® 6x (2 � x) = 0® x = 0, x = 2.f "(x) = 12 � 12xf "(0) = 12 > 0 ® a l�origen hi ha un mínim, f "(2) = �12 < 0 ® en el punt (2,8) hi ha unmàxim.

No presenta cap tipus de simetria. Rf = R,

no hi ha cap punt de la gràfica que sigui unmàxim o un mínim absoluts.

En l�interval (�¥, 1) és convexa, en (1, + ¥)és còncava. El punt (1, 4) és un punt d�in-flexió, no hi ha cap simetria. Rf = R, no hi

ha cap punt que sigui un màxim o unmínim absoluts.

b) f(x) =

Df = R � {0}, = �¥ ® x = 0 és una

asímptota vertical.

= 0 ® la recta y = 0 és una asímp-

tota horitzontal. No en té d�obliqües.

f(x) = 0 ® x � 1 = 0 ® x = 1, talla l�eix d�abs-cisses en el punt (1,0).

x = 0 ÏDf ® no talla l�eix d�ordenades.

f '(x) = , f '(x) = 0 ® �x + 2 = 0 ®

x = 2

En el punt (2,1/4) la funció presenta unmàxim.

No presenta simetries. Rf = (�¥,1/4], el punt

(2,1/4) és un màxim absolut, no té mínimabsolut.

És convexa en els intervals (�¥, 0) i (0, 3),és còncava en l�interval (3, + ¥), en el puntd�abscissa x = 3 hi ha un punt d�inflexió, no

3

2x

x

- +

2

1limx

x

x®¥

-

20

1limx

x

x®

-

2

1xx

--

1

2

1

2


38

hi ha simetries. Rf = (�¥, ), el punt (2, )

és un màxim absolut, no té mínim absolut.

c)

Df = R ® no té asímptotes verticals

® la recta y = 1/8 és una


No té asímptotes obliqües.

f(x) = 0 ® x2 � x = 0 ® x(x � 1) = 0 ® x = 0,x = 1; passa pels punts (0,0), (1,0)

f '(x) = , f '(x) = 0 ® 8x2 + 2x � 1 =

= 0 ® x = �1/2, x = 1/4.

En (�1/2,1/4) hi ha un màxim, en (1/4, �1/8)hi ha un mínim.

La gràfica no és simètrica ni respecte del�eix d�ordenades, ni respecte de l�origen.

Rf = [�1/8,1/4], el màxim i el mínim relatiussón també absoluts.

Considerem els punts d�abcissa a, b i c tals

que: a < � , � < b < 0 i c > 1, on la funció

canvia la concavitat, és còncava en (�¥, a)i (b, c) i és convexa en (a, b) i (c, + ¥), elspunts a, b i c són punts d�inflexió. La gràficano és simètrica ni respecte de l�eix d�orde-

nades ni respecte de l�origen. Rf = (� , ),

el punt (� , ) és un màxim absolut i el

punt ( , � ) és un mínim absolut.

d)

Df = R � {1}

= ¥ ® la recta x = 1 és una


= ¥ ® no hi ha asímptotes horit-

zontals.

la recta y = x + 4 és una asímptota obliqua.

f(x) = 0 ® x2 + 3x = 0 ® x = �3, x = 0; tallaels eixos en els punts (�3,0) i (0,0)

f '(x) = , f '(x) = 0 ® x2 � 2x � 3 =

= 0 ® x = �1, x = 3

Hi ha un màxim en (�1,1) i un mínim en(3,9).

No és simètrica ni respecte de l�eix d�orde-nades, ni respecte de l�origen.

Rf = R � (1,9), no té ni màxims ni mínims

absoluts.

2

2

2 3

( 1)

x x

x

- --

2 3 4lim lim 4

1 1x x

x x xn x

x x®¥ ®¥

æ ö+= - = =ç ÷- -è ø

( )2 3 3

lim lim 11 1x x

x x xm

x x x®¥ ®¥

+ += = =

- -

2 3lim

1x

x x

x®¥

+-

2

1

3lim

1x

x x

x®

+-

2 3( )

1x x

f xx

++==

--

1

8

1

4

1

4

1

2

1

4

1

8

1

2

1

2

2

2 2

8 2 1

(8 1)

x x

x

+ -+

2

2

1lim

88 1x

x x

x®¥

-=

+

2

2( )

8 1x x

f xx

--==

++

1

4

1

4


39

En l�interval (�¥, 1) és convexa i és còn-cava en (1, + ¥), no té cap punt d�inflexió.El recorregut és Rf = R � (1, 9), no éssimètrica ni respecte de l�eix d�ordenadesni respecte de l�origen. No hi ha ni màximni mínim absoluts.

A partir de les gràfiques dibuixades, infor-ma sobre la concavitat, els punts d�inflexió,les simetries, el recorregut i els màxims imínims absoluts de cada funció.

25. Dibuixa la gràfica de les funcions següents:

a) f(x) = x4 � 4x

Df = R. És una funció polinòmica, per tant noté cap tipus d�asímptota.x4 � 4x = 0 ® x = 0, x = ; talla els eixosen l�origen i en el punt ( ,0)f '(x) = 4x3 � 4, f '(x) = 0 ® 4x3 � 4 = 0 ®® x = 1f "(x) = 12x2, f "(1) = 12 > 0 ® en el punt (1, �3) hi ha un mínim.

b) f(x) =

Df = R � {0}

l�eix d�ordenades és una


la recta y = 1 és una asímp-

tota horitzontal. No en té d�oblíqües.f(x) = 0 ® x = 1, talla l�eix d�abscisses en elpunt (1,0)x = 0ÏDf ® no talla l�eix d�ordenadesf�(x) = 1/x2, no té cap punt estacionari. Comque f(x) > 0, "xÎDf; la funció és creixent entot el seu domini.

26. Observa la gràfica de la funció (fig. 4.28) idóna tota la informació possible de la fun-ció.

La recta y = x és una asímptota obliqua, lesrectes x = �a i x = a són asímptotes verticals.En el punt x = �b hi ha un màxim relatiu, en x = 0 hi ha un punt d�inflexió de tangent horitzon-tal i en x = b hi ha un mínim relatiu. Talla els eixosde coordenades en l�origen, el domini i el recorre-gut són Df = R � {�a, a} i Rf = R respectivament.És una funció imparella, ja que la gràfica és si-mètrica respecte de l�origen, no té ni màxim ni mínim absoluts. És creixent en (�¥, �b),(�a, a) i (b, + ¥), i és decreixent en (�b, �a) i(a, b), és convexa en (�¥, �a) i (�a, 0) i és còn-cava en (0, a) i (a, + ¥).

27. En l�exemple 6, troba el màxim a partir de lavariable y.

x = 30 � (3/2)y = f(y) = (�3/2)y2 � 20y ++ 17 000 ® f '(y) = �3y � 20f '(y) = 0 ® y = �20/3Ï[0,20)Per a y = 0 ® f(0) = 17 000 cm2. Per a y = 20 ®® f(20) = 16 000 cm2.La solució és y = 0 ® x = 30 cm.

28. Resol l�exemple 7 a partir de la variable r.

A = pr2 + c2

2pr + 4c = 1 ® c =

f(r) = r2 � pr + ® polinòmica de 2n

grau on a > 0, per tant tindrà un mínim.

f '(r) = r � p

f '(r) = 0 ® r � p = 0 ® p = m

Per construir la circumferència es necessita:

1

8 2+ p1

4

24

2

p + p

1

4

24

2

p + p

1

16

1

4

24

4

p + p

2 24(4 ) 4 1

16

r rp + p - p +=

2 2 22 21 2 1 4 4

4 16

r r rA r r

- p - p + pæ ö= p + = p + =ç ÷è ø

1 2

4

r- p1

lim 1x

x

x®¥

-= ®

0

1limx

x

x®

-= ¥ ®

1xx

--

3 4

3 4


40

2pr = 2p = = ; 0,44 m = 44 cm

La resta de filferro 1 � 0,44 = 0,56 m = 56 cmserà per construir el quadrat.

29. Descompon el nombre 36 en dos sumands,tals que el seu producte sigui màxim.

f(x) = x(36 � x) = 36x � x2, funció que té unmàxim.

f '(x) = 36 � 2x; f '(x) = 0 ® x = 18.

30. De tots els triangles rectangles amb hipote-nusa igual a 9 cm, calcula el d�àrea mésgran.

S = xy/2 i x2 + y2 = 81 ® y = .

f(x) = ® f '(x) =

®

f '(x) = 0 ® 81 � 2x2 = 0 ® x2 = 81/2 ® x = = 9/ cm

El valor x = 9/ cm maximitza l�àrea del trian-gle.

f(9/ ) = 81/4 cm2.

31. Demostra que de tots els rectangles de perí-metre 4p, el que té àrea màxima és el qua-drat de costat p.

L�àrea del quadrat de costat p és Sc = p2.

L�àrea d�un rectangle de perímetre 4p és Sr = (2p � q) q = 2pq � q2 com que (q � p)2 > 0

® q2 � 2pq + p2 > 0 ® p2 > 2pq � q2 ® Sc > Sr

32. El perímetre d�un rectangle és de 4m. Elsseus costats se substitueixen per semicir-cumferències exteriors, tal com indica eldibuix (fig. 4.31). Troba les dimensions delrectangle que facin que la superfície de lanova figura sigui mínima. Calcula aquestasuperfície mínima.

2x: costat gran del rectangle2y: costat petit del rectangle4x + 4y = 4 ® x + y = 1 ® y = 1 � xS = 2x · 2y + px2 + py2 = 4xy + p(x2 + y2) = = 4x(1 � x) + p[x2 + (1 � x)2] = 4x � 4x2 + + p(x2 + 1 � 2x + x2) = 4x � 4x2 + + p(2x2 � 2x + 1) = (2p � 4)x2 + (4 � 2p)x + p® f(x) = (2p � 4)x2 + (4 � 2p)x + pés una funció polinòmica de 2n grau, on a > 0® tindrà un mínim.f '(x) = 2(2p � 4)x + 4 � 2pf '(x) = 0 ® 2(2p � 4)x + 4 � 2p = 0 ® 2(2p � 4) x =

= 2p � 4 ® x = m

y = 1 � x = 1 � = m

S = 4xy + p(x2 + y2) = 4 · · + p =

= 1 + p = m2

Acabem

1. Dibuixa la gràfica de la funció f(x) = |x2 � x|.Estudia la continuïtat i la derivabilitat en elspunts x = 0 i x = 1.

En els punts x = 0 i x = 1 la funció és contínua,però no derivable.

2. Dibuixa, en cada cas, la gràfica d�una funcióque tingui una discontinuïtat asimptòtica enun punt, i que en aquest punt:

a) En canviï el creixement, però no la con-cavitat.

Respostes obertes, per exemple:

2

2

+ p1

2

1 1

4 4æ ö+ç ÷è ø

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

2

2

2

2

81 2

2 81

x

x

-

-

2 2 481 81

2 2

x x x x- -=

281 x-

4

p+ p

2

8 2

p+ p

1

8 2+ p


41

b) En canviï la concavitat, però no el creixe-ment.

Respostes obertes, per exemple:

3. Dibuixa la gràfica d�una funció que siguicontínua en tots els reals i que tingui unpunt x = x0 on canviï el creixement i la con-cavitat de la funció. En aquest punt és deri-vable la funció? Raona la resposta.

Resposta oberta, per exemple:

En el punt x = x0 la funció no és derivable, ja

que en aquest punt no existeix una única rectatangent a la gràfica.

4. Tenim una funció f(x) de la qual sabem quela seva derivada és positiva en tot x ¹ 2 i s�anul·la en x = 2, tal com indica la figura(fig. 4.32). Què pots dir de la funció f(x) en elpunt x = 2? Tindrà en aquest punt unmàxim, un mínim, un punt d�inflexió? Raonadetalladament la resposta.

En el punt x = 2 hi ha un punt d�inflexió de tan-gent horitzontal; ja que f '(x) > 0 "xÎDf i x ¹ 2,

per tant no canvia el naixement en el punt x = = 2, tot i que f '(2) = 0.

5. Sabem que la gràfica de la derivada f�(x)d�una funció f(x) és el que mostra el dibuix(fig. 4.33), s�anul·la en x = 1, x = 2 i x = 3.Digues quins valors de x corresponen amínims relatius de f(x). Explica el perquè dela teva resposta.

En el punt x = 1 la funció f '(x) s�anul·la i passade positiva a negativa, per tant la funció f(x)passa de creixent a decreixent, aleshores en x = 1 hi ha un màxim.

En el punt x = 0 també s�anul·la f '(x), però nocanvia de signe, continua sent negativa, pertant la funció f(x) és decreixent en aquest punt,aleshores en x = 0 hi ha un punt d�inflexió detangent horitzontal.

En el punt x = 3 tenim que f '(3) = 0, i la deriva-da passa de negativa a positiva, la funció f(x)passa de decreixent a creixent, aleshores en x = 3 hi ha un mínim.

6. Tenim una funció derivable f(x) definida pera x > 0, de la qual sabem que la seva gràficaés el que s�indica (fig. 4.34), l�eix d�ordena-des és asímptota vertical, la recta y = x ésasímptota obliqua i té un mínim en el punt x = 1. Fes un esquema senzill de la gràficade la funció f�(x) tot explicant raonadamentla resposta.


42

7. Sigui f(x) una funció derivable en tots elsreals.

a) Si sabem que f�(a) = 0, pots afirmar quef(x) té necessàriament un màxim o unmínim relatiu en el punt x = a?

No, ja que també podria ser un punt d�infle-xió de tangent horitzontal.

b) Si sabem que la derivada de f(x) és nega-tiva en tots els punts x < a i positiva entots els punts x > a, pots afirmar que f(x)té necessàriament un mínim relatiu en elpunt x = a?

Sí, ja que en ser derivable també és contí-nua, i això fa que necessàriament en x = ahi hagi un mínim relatiu.

8. Calcula el valor de k per tal que:

a) La funció f(x) = x e�kx tingui un màxim oun mínim relatiu en el punt x = 1.

f '(x) = e�kx(1 � kx)

f '(1) = 0 ® e�k(1 � k) = 0 ® 1 � k = 0 ® k = 1

b) La funció tingui límit 2

quan x ® +¥.

= 2 ® k2 = 1 ®

k = ±1

c) La funció f(x) = ln (kx2 + 1) sigui creixenten x = 1.

f '(x) = ; f '(1) > 0 ® > 0 ®

k < �1 o k > 0

9. Raona la certesa o la falsedat de les afirma-cions següents:

a) Dues funcions amb idèntica funció deri-vada són necessàriament idèntiques.

Fals, per exemple f(x) = x2 i g(x) = x2 + 2tenen la mateixa funció derivada i en canvisón diferents.

b) La funció f(x) = 2x + cos x és sempre crei-xent.

Veritat, ja que f '(x) = 2 � sin x és semprepositiva; perquè sin x £ 1 < 2 ® 2 � sin x > 0

c) La funció f(x) = 4x � sin x no té cap puntestacionari.

Veritat, ja que f '(x) = 4 � cos x no s�anul·la

per cap valor de x, perquè cos x ¹ 4 "xÎR

10. Determina els coeficients a i b de la funciósegüent f(x) = x3 + ax2 + bx, sabent que can-via de còncava a convexa en el punt x = 1 ique la recta tangent al gràfic de la funció enaquest mateix punt és horitzontal.

f '(x) = 3x2 + 2ax + b ® f ''(x) = 6x + 2af ''(1) = 0 ® 6 + 2a = 0 ® a = �3f '(1) = 0 ® 3 + 2a + b = 0 ® 3 � 6 + b = 0 ®b = 3f(x) = x3 � 3x2 + 3x

11. Determina els coeficients a i b de la funciósegüent f(x) = ax2 + bx + 2, sabent que larecta tangent al gràfic en el punt x = 1 és larecta y = �2x.

f '(1) = �2 ® 2a + b = �2f(1) = �2 ® a + b + 2 = �2 ® a + b = � 4a = 2, b = �6 ® f(x) = 2x2 � 6x + 2

12. Determina quins són els coeficients a, b i cde la funció f(x) = ax3 + bx2+ cx per tal queaquesta funció tingui un màxim relatiu en x = 0, un mínim relatiu en x = 1 i compleixi la

condició f(1) = � .

f '(0) = 0 ® c = 0f '(1) = 0 ® 3a + 2b + c = 0 ® 3a + 2b = 0f(1) = �1/2 ® a + b + c = �1/2 ® a + b = �1/2

D�on s�obté que a = 1, b = �3/2 ®f(x) = x3 � (3/2)x2

12

2

1

k

k +2

2

1

kx

kx +

2

2 2 2

2 2 2lim

( 1)x

x

kx k k®+¥= ®

+

2

2

2( )

( 1)x

f xkx

==++


43

13. Donada la funció , indica el seu

domini, els límits per a x ® 0 i x ® ¥, i lesasímptotes. Raona detalladament tot el quefas.

Df = R+ � {1} ® la recta x = 1 és una asímptota

vertical.

lim f(x) = 0, lim f(x) = + ¥.x®0+ x®+¥

14. Considerant la funció f(x) = �x3 + 3x2, trobal�equació de la recta tangent al gràfic en elpunt d�inflexió.

f '(x) = �3x2 + 6x ® f ''(x) = �6x + 6f ''(x) = 0 ® �6x + 6 = 0 ® x = 1

15. Dibuixa la gràfica de les funcions següents:

a) f(x) =

Df = R � {2}, les rectes x = 2 i y = 0 són una

asímptota vertical i una asímptota horitzontal,respectivament. Talla els eixos en els punts(3, 0) i (0, �3), i té un màxim en el punt (4, 1),ja que és decreixent en (�¥, 2) i (4, + ¥), icreixent en (2, 4).

b) f(x) =

Df = R � {-1}, la recta x = �1 és una asímp-

tota vertical, no en té d�horitzontals i la rectay = x � 2 n�és una d�obliqua. Passa per l�ori-gen de coordenades, els punts estacionarissón x = �3 i x = 0, i com que és creixent enels intervals (�¥, �3) i (�1, + ¥), i decreixenten (�3, �1), fa que en (�3, �27/4) hi hagi unmínim i en l�origen un punt d�inflexió de tan-gent horitzontal.

c) f(x) =

En ser una funció polinòmica, no té captipus d�asímptotes. Talla els eixos en elspunts (0,0) i (3,0). Els valors que anul·len laderivada són x = 0 i x = 2, en el punt (0,0) lafunció presenta un mínim i en (2,4/3) unmàxim, ja que és decreixent en (�¥,0) i (2, + ¥) i és creixent en (0,2).

d) f(x) = x3 � 3x

Df = R, no té asímptotes de cap tipus, talla els

eixos en (� ,0), (0,0) i ( ,0). Té un màximrelatiu en (�1, �2) i un mínim relatiu en el punt(�2,1), ja que és creixent en (�¥, �1) i (1, + ¥),i decreixent en (�1,1).

33

2 313

x x--

3

2( 1)x

x ++

2

4 12( 2)

xx

----

0

'(1) 3 2 3( 1)

(1) 2 (1,2) 3 1

m f y x

y f P y x

= = - = - ®üý= = ® ® = -þ

e( )

ln

x

f xx

==


44

e) f(x) =

Df = R � {2}, la recta x = 2 és una asímpto-

ta vertical, no en té d�horitzontals i la recta y = x + 4 és una asímptota obliqua. Passapels punts (�2,0) i (0,0), els valors x = 2 ±

± 2 anul·len la primera derivada, és crei-

xent en (�¥, 2 � 2 ) i (2 + 2 , + ¥), i

decreixent en els intervals (2 � 2 ,2) i

(2,2 + 2 ), per tant en el punt x = 2 � 2la funció presenta un màxim i en x = 2 +

+ 2 un mínim.

f) f(x) =

El domini és Df = R � {�2, 2}, les rectes

x = �2 i x = 2 són asímptotes verticals, larecta y = 0 és una asímptota horitzontal. Téun màxim relatiu en el punt (0, �2) i no té capmínim relatiu, ja que és creixent en els inter-vals (�¥, �2) i (�2, 0), i és decreixent en (0, 2) i (2, + ¥).

g) f(x) = x2 +

Df = R � {0}, l�eix d�ordenades és una

asímptota vertical, no en té d�horitzontals nid�obliqües. Talla l�eix d�abscisses en el punt

(� , 0), en x = 1 hi ha un punt estaciona-ri, que resulta ser un mínim ja que és decrei-xent en (�¥, 0) i (0, 1) i creixent en (1, + ¥).

h) f(x) =

Df = R � {�1,1}, les rectes x = �1 i x = 1 són

asímptotes verticals, la recta y = x és unaasímptota obliqua. Té un màxim i un mínim

relatius en x = � i en x = respectiva-ment, el punt (0, 0) és un punt d�inflexió detangent horitzontal, ja que és creixent en

(�¥, � ) i ( , + ¥) i decreixent en (� ,

�1), (�1, 1) i (1, ).

i) f(x) =

Df = R � {� 4}, la recta x = � 4 és una

asímptota vertical, no en té d�horitzontals nid�obliqües. Talla els eixos en l�origen, té unpunt estacionari en x = �2, com que és crei-xent en tot el seu domini, fa que en el punt

e4

xxx ++

3

333

33

3

2 1x

x --

3 2

2x

2

84x --

2

22

2

22

2

2 22

x xx

++--


45

(�2, �e�2) hi hagi un punt d�inflexió de tan-gent horitzontal.

j) f(x) =

Df = R � {0}, l�eix OY és una asímptota ver-tical, no n�hi ha de cap més tipus. No tallaels eixos en cap punt, f '(x) s�anul·la en x = ±1, en el punt (�1, �4) hi ha un màxim ien (1, 4) un mínim, ja que és creixent en(�¥, �1) i (1, + ¥), i decreixent en (�1, 0) i(0, 1).

16. A partir de la gràfica, dóna tota la informa-ció possible de les funcions dels apartats a,d, f i h de l�exercici anterior.

a) Df = R � {2}, les rectes x = 2 i y = 0 són una

asímptota vertical i una asímptota horitzon-tal respectivament. Talla els eixos en elspunts (3, 0) i (0, �3), té un màxim absolut enel punt (4, 1) i presenta un punt d�inflexió enx = 5. És decreixent en (�¥, 2) i (4, + ¥),creixent en (2, 4), és convexa en (�¥, 2) i (2, 5) i còncava en (5, + ¥). No és simètricani respecte de l�eix d�ordenades ni respectede l�origen, el recorregut és Rf = (�¥, 1).

d) Df = R, talla l�eix d�abscisses en (� , 0),

(0, 0) i ( , 0), té un màxim relatiu en (�1, �2) i un mínim relatiu en el punt (�2, 1),el punt (0, 0) és un punt d�inflexió. És simè-trica respecte de l�origen, és creixent en (�¥, �1) i (1, + ¥), decreixent en (�1, 1), ésconvexa en (�¥, 0) i còncava en (0, + ¥). Rf = R no hi ha ni màxim ni mínim absoluts.

f ) El domini és Df = R � {�2, 2}, les rectes

x = �2 i x = 2 són asímptotes verticals, larecta y = 0 és una asímptota horitzontal. Téun màxim relatiu en el punt (0, �2), no té capmínim relatiu ni cap punt d�inflexió. És crei-xent en els intervals (�¥, �2) i (�2, 0), i ésdecreixent en (0, 2) i (2, + ¥), és còncava en (�¥, �2) i (2, + ¥) i convexa en l�interval(�2, 2). És simètrica respecte de l�eix d�orde-nades, el recorregut és Rf = R, no hi ha cap

màxim ni cap mínim absoluts.

h) Df = R � {�1, 1}, les rectes x = �1 i x = 1 són

asímptotes verticals, la recta y = x és unaasímptota obliqua. Té un màxim i un mínim

relatius en x = � i en x = respectiva-ment, el punt (0, 0) és un punt d�inflexió de tan-

gent horitzontal, és creixent en (�¥, � ) i

( , + ¥) i decreixent en (� , �1), (�1, 1) i

(1, ), és convexa en (�¥, �1) i (0, 1) i còn-cava en (�1, 0) i (1, + ¥). És simètrica respec-te de l�origen, el recorregut és Rf = R, no té cap

màxim ni cap mínim absoluts.

17. Calcula els intervals de creixement i de de-creixement, els màxims i els mínims de lafunció següent:

Després fes un esquema senzill del gràfic.

És creixent en els intervals (�¥, �2 000) i (0, + ¥),i decreixent en l�interval (�2 000, 0). Els punts x = �2 000 i x = 0 són respectivament un màximi un mínim.

18. Considera la funció següent:

per a x > 0. Troba els valors de x tals que

ln1000( )

xf x

x==

2 1000( ) ex

f x x== ××

3

33

3

33

3

3

4 3xx

++


46

f�(x) = 0. Després fes un esquema senzill dela gràfica de f(x), i explica-ho.

f '(x) = , f '(x) = 0 ® 1 � ln 1 000x =

= 0 ® ln 1 000x = 1 ® 1 000x = e ® x = e/1 000 ® f(e/1 000) = 1 000/e.

En x = e/1 000 la funció passa de creixent adecreixent, per tant hi ha un màxim en el punt(e/1 000, 1 000/e)

19. Fes un esquema senzill de la gràfica de lafunció f(x) = ex + e�x que posi en evidènciaels límits quan x ® ¥ i els possibles màximsi mínims. Explica raonadament tot el quefas.

(ex + e�x) = + ¥

f '(x) = ex � e�x, f '(x) = 0 ® ex � e�x = 0 ® e2x = = 1 ® 2x = 0 ® x = 0 ® f(0) = 2

En el punt (0,2) hi ha un mínim ja que la funcióés decreixent en l�interval (�¥, 0) i creixent en(0, + ¥)

20. Troba dos nombres positius que sumant 30tinguin mínima la suma dels seus quadrats.

La funció que cal optimitzar és f(x) = x2 + (30 � � x)2 = 2x2 � 60x + 900

f '(x) = 4x � 60, f '(x) = 0 ® x = 15 és la solució,ja que minimitza la funció f(x).

21. La suma de totes les arestes d�un prismarecte de base quadrada és 36 cm. Calculales dimensions del prisma perquè tingui vo-lum màxim.

Considerem x el costat del quadrat de la base iy l�altura del prisma, tenim que:

8x + 4y = 36 ® y = 9 � 2x

V = x2y ® f(x) = x2(9 � 2x) = 9x2 � 2x3 ® f '(x) == 18x � 6x2, f '(x) = 0 ® x = 0, x = 3

Per a x = 0 dóna volum mínim, i per a x = 3 eldóna màxim, per tant les dimensions del pris-ma són x = y = 3 cm.

22. Es vol construir un recipient cilíndric, ambtapa, de volum 100 m3. Quines han de serles seves dimensions perquè s�utilitzi lamínima quantitat de material?

r : radi de la base, h: alçada del cilindre

és un mínim.

23. Entre tots els cilindres rectes de base circulari d�àrea total 6p m2, troba les dimensions delque té volum màxim i calcula aquest volum.

r : radi de la base, h: alçada del cilindre

2prh + 2pr2 = 6p m2 ®

V = pr2h = pr2 = pr(3 � r2) = 3pr � pr3

f(r) = 3pr � pr3 ® f '(r) = 3p � 3pr2

f '(r) = 3p � 3pr2 = 0 ® r2 = 1 ® r = 1 mf ''(r) = �6pr, f ''(1) = �6p < 0 ® és un màxim

V = pr2h = 2p m3 és el volum màxim

24. Troba les dimensions del triangle isòscelesd�àrea màxima, inscrit en una circumferènciade radi 10 dm. Calcula aquesta àrea màxima.

232 m

rh

r

-= =

23 r

r

-

2 26 2 3

2

r rh

r r

p - p -= =

p

32 2

3

100 100 400 m

50h

r= =

pp æ öp ç ÷pè ø

3

3

400''( ) 4 ,

50 400'' 4 12 0

50

f rr

f

= + p

æ ö= + p = p >ç ÷ç ÷pè ø

p

32

200 50'( ) 0 4 0 mf r r r

r= ® - + p = ® =

p

22

200 200( ) 2 '( ) 4f r r f r r

r r= + p ® = - + p

2 2 22

100 2002 2 2 2 2S rh r r r r

rr= p + p = p + p = + p

p

2 32

100100 mr h h

rp = ® =

p

limx®¥

2

1 ln 10 000x

x

-


47

Emprant les variables x, y del dibuix, tenim

base: b = 2x =10 dm

alçada: h = 10 + y = 10 + =

= 10 + = 10 + = 15 dm

S = bh = 10 · 15 = 75 dm2 és l�àrea

màxima

25. Una persona transporta un vidre molt primper un carrer en forma de L, de manera queuna de les parts del carrer té 4 m d�ampladai l�altra, 3 m. Quina serà la longitud màximaque podrà tenir el vidre per poder passar-hi?

Emprant les variable x, a del dibuix, tenim

l = l1 + l2 és la longitud del carrer

= 4cos3 a

a = 47,74º és un mínim per l�amplada delcarrer, per tant serà un màxim per la longituddel mirall.

= 4,46 + 5,40 = 9,86 m = 986 cm és la longitudmàxima que pot tenir el mirall

26. Considera una piràmide recta que té per ba-se un hexàgon regular d�1 cm de costat. L�al-tura d�aquesta piràmide mesura també 1 cm.Digues a quina distància de la base s�ha desituar un punt P sobre l�altura per tal que lasuma de les distàncies de P als vèrtexs dela piràmide sigui mínima.

és un mínim.

El punt P s�ha de situar a cm del centre

de la base.

27. Un triangle isòsceles de perímetre 27 cm giraal voltant de la seva altura, i engendra un con.Calcula la base del triangle perquè el congenerat tingui volum màxim, i determina�l.

1

35

1'(0,1) 0 ( ) decreix per x <

1351 35'(0,2) 0 ( ) creix per x >35

f f x

x

f f x

ü< ® ïï =ýï> ®ïþ

2 2 2 136 1 35 1 cm

35x x x x= + ® = ® =

2

2

6'( ) 0 1 0 6 1

1

xf x x x

x= ® - = ® = +

+

2 2

2 6'( ) 6 1 1

2 1 1

x xf x

x x= - = -

+ +

2( ) 6 1 1f x x x= + + -

3 4 3 4

cos47,74º sin47,74º 0,6724 0,7401l = + = + =

'(45º ) 2 0 ( ) decreix per 47,74º

8'(60º ) 6 3 0 ( ) neix per 47,74º

3

f f

f f

ü= - < ® a a <ïý

= - > ® a a < ïþ

33 3

3

sin 4 4 4tg tg 47,74º

3 3 3cos

a= ® a = ® a = ® a =

a

32 2

3sin 4cos'( ) 0 0 3sin

cos sinf x

a a= ® - = ® a =

a a

2 2

3 4 3sin 4cos( ) '( )

cos sin cos sinf x f x

a a= + ® = -

a a a a

1 2

3 4

cos sinl l l= + = +

a a

22

4 4sin

sinl

la = ® =

a

11

3 tg 3sin

sin sin cos

x xl

l

aa = ® = = =

a a a

tg 3 tg3

xxa = ® = a

331

2

1

2

25100 75-

2100 x-

3

98'(1) 10 0 ( )

99

és creixent en 5 35 3 és un màxim

62'(9) 10 0 ( )

19

és creixent en 5 3

f f x

xx

f f x

x

ü= + > ® ïïï< ï =ýï= - < ®ïï

> ïþ

2

2

100 2'( ) 0 10 0 5 3 dm

100

xf x x

x

-= ® + = ® =

-

3 2

2 4 2

2

2

200 4 2 (100 2 )'( ) 10 10

2 100 2 100

100 210

100

x x x xf x

x x x x

x

x

- -= + = + =

- --

= +-

2 4( ) 10 100f x x x x= + -

2

2 2 4

2 (10 )(10 ) (10 100 )

2

10 100 10 100

x yS x y x x

x x x x x x

+= = + = + - =

= + - = + -

2 2 2 210 100x y y x+ = ® = -


48

b = 2y = 2 · 5,4 = 10,8 cm és la base del cilin-dre

= 198,36 cm3

és el volum màxim.

28. Hem de construir un parterre en forma desector circular amb perímetre de 20 m.Calcula el radi del sector per tal d�obtenir-lod�àrea màxima.

2r + x = 20 m ® x = 20 � 2r

f(r) = 10r � r2 ® tindrà un màximf '(r) = 10 � 2r; f '(r) = 0 ® 10 � 2r = 0 ®r = 5 cm

29. Quin perímetre mínim pot tenir un sectorcircular de 25 m2 d�àrea?

és el perimetre mínin

30. Troba els punts de la gràfica de la funció y2 = 4x, tals que la distància al punt (4, 0)sigui mínima. Calcula aquesta distància.

y2 = 4x ® y = = 2 ® P(x, 2 ), Q(4, 0)

d(P, Q) = |QP®

| = =

= =

f(x) = ® f '(x) = ;

f '(x) = 0 ® x = 2 ® y = ± 2

En x = 2, f '(x) passa de negativa a positiva, pertant la funció f(x) passa de decreixent a crei-xent, en el punt x = 2 la funció presenta unmínim.

Els punts solució del problema són

P1(2, �2 ) i P2(2, 2 ).

31. Considera un dipòsit constituït per una se-miesfera de radi r a la qual s�ha afegit un ci-lindre circular del mateix radi r i d�altura h, talcom s�indica en la figura 4.35. Calcula r i hde manera que l�àrea total de les parets i dela tapa sigui de 5 m2 i tingui volum màxim.

2prh + pr2 + 2pr2 = 5 ® 2prh + 3pr2 = 5 ®

22 3 2 3

3 3 3

2 5 3 2

3 2 35 3 2 5 5

2 2 3 2 6

rV r h r r r

r

r r r r r

- p= p + p = p + p =

p

= - p + p = - p

25 3

2

rh

r

- p=

p

22

2

2

2

4 16

x

x x

-

- +2 4 16x x- +

2 4 16x x- +2 8 16 4x x x- + +

2 2( 4) (2 )x x- +

xx4x

50(5) 2 5 20 m

5P f= = × + =

3

100 4''( ) , ''(5) 0 és un mínim

5f r f

r= = > ®

22

50'( ) 0 2 0 25 5 mf r r r

r= ® - = ® = ® =

2

50 50( ) 2 '( ) 2f r r f r

r r= + ® = -

502 2P r x r

r= + = +

2 5025 m

2

xrx

r= ® =

2(20 2 )(10 ) 10

2 2

xr r rS r r r r

-= = = - = -

4 5(5,4) 729 5,4 108 5,46

V fp

= = × - × =

'(5) 0 ( )

creix en < 5,45,4 és un màxim

'(6) 0 ( )

decreix en > 5,4

f f y

yy

f f y

y

> ® üïï =ý

< ® ïïþ

486'( ) 0 5,4 cm

90f y y= ® = =

4 5

2

( ) 729 1086

486 90'( )

6 81 12

f y y y

y yf y

y

p= - ®

p -® =

-

2 2 2 2

22 2

2 4 5

1 1

3 3

1 27 2

3 2

1 1729 108 729 108

6 6

V y h y x y

yy y

y y y y

= p = p - =

-æ ö= p - =ç ÷è ø

= p - = p -

27 22 2 27 cm

2

yx y x

-+ = ® =


49

és un màxim.

32. Troba el punt de la paràbola y = 2x2 que estàmés a prop del punt (9, 0).

y = 2x2 ® P(x,2x2) és un punt de la paràbola

Q(9,0); ,

=

, f '(x) = 0 ®

8x3 + x � 9 = 0 ® x = 1

Si x = 1 ® y = 2x2 = 2 ® P(1,2)

33. Calcula els punts de la gràfica de la funció

següent en què la tangent té

pendent màxim.

g(x) = f '(x) = ® g'(x) = f "(x) =

g'(x) = 0 ® 6x2 � 2 = 0 ® x = ± 1/ . En x =

= �1/ hi ha un màxim de g(x), y = f(�1/ ) = = 3/4, el punt de la gràfica que dóna la solució

al problema és P(�1/ , 3/4).

34. Entre totes les rectes que són tangents a lagràfica de la funció f(x) = tg x, on x està

situada entre �i

, escriu l�equació de la

que té pendent mínim.

g'(x) = 0 ® 2 sin x = 0 ® sin x = 0 ® x = 0

35. Considera un triangle rectangle, de vèrtexs(0, 0), (x, 0) i (x, y), amb x > 0 i y > 0, i ambel vèrtex (x, y) sobre l�el·lipse d�equació x2 + 2y2 = 2, tal com s�indica en la figura4.36. Troba el punt (x, y) que fa que el trian-gle rectangle tingui àrea màxima.

36. Quina és l�àrea més gran que pot tenir unrectangle de costats paral·lels als eixos decoordenades inscrit a l�el·lipse d�equació4x2 + y2 = 1?

2 2 24 1 1 4x y y x+ = ® = -

2 1 12 2 2 2 1 1,

2 2x y P

æ ö= - = - × = ® ç ÷

è ø

'(0) 0

1( ) creix en

12 és un màxim

'(0,8) 0 21

( ) decreix en 2

f

f x y

yf

f x y

> ® üïï<ï

=ý< ® ïï

< ïþ

2 1'( ) 0 1 2 0

2f y y y= ® - = ® =

22 4

2

1 1 2( ) 2 2 '( )

2 2 2

yf y y y f y

y

-= - ® =

-

2 2 41 1 12 2 2 2

2 2 2S xy y y y y= = - = -

2 2 22 2 2 2x y x y+ = ® = -

0

(0) 1

(0) 0 (0,0)

m gy x

y f O

= = ü=ý= = ® þ

' 0 ( ) decreix 4

en 00 és un 2

mínim de ( )' 0 ( ) creix

4

en 02

g g x

xx

g xg g x

x

üpæ ö- < ®ç ÷ ïè ø ï

ïp- < < ï =ï

ýpæ ö ï> ®ç ÷ ïè ø

ïp ï< < ïþ

2 3

1 2sin( ) '( ) '( )

cos cos

xg x f x g x

x x= = ® =

2p

2p

3

33

3

2

2 3

6 2

(1 )

x

x

-+2 2

2

(1 )

x

x

-+

2

1( )

1f x

x==

++

'(0) 1 0

( ) creix en 1

1 és un mínim57'(2) 0

113( ) decreix en 1

f

f x x

xf

f x x

= - < ® üï® < ïï =ý= > ® ïï

® > ïþ

3

2 4

9 8'( )

81 18 4

x xf x

x x x

- + +=

- + +

2 4( ) 81 18 4f x x x x= - + +

2 281 18 4x x x- + +2 2 2(9 ) ( 2 )PQ x x= - + -

uuur2(9 , 2 )PQ x x= - -

uuur

21

5 35 3 2 1 m

12 22

rh

r

- p ×- p p= = = =p p pp ×

p

1''( ) 5 , '' 5 0f r r f

æ ö= - p = - p < ®ç ÷

pè ø

2 25 5 1 1'( ) 0 0 m

2 2f r r r r= ® - p = ® = ® =

p p

3 25 5 5 5( ) '( )

2 6 2 2f r r r f r r= - p ® = - p


50

és l�àrea màxima

37. La resistència de flexió d�una biga de secciórectangular és directament proporcional ala base i directament proporcional, també,al quadrat de l�altura d�aquesta secció.Calcula les dimensions que ha de tenir lasecció rectangular d�una biga fabricada apartir del tronc cilíndric d�un arbre que fa unmetre de diàmetre per tal que tingui unaresistència de flexió màxima.

x: base, y: alturax2 + y2 = 1 m2 ® y2 = 1 � x2

R = kxy2 = kx(1 � x2) = kx � kx3

f(x) = kx � kx3 ® f '(x) = k � 3kx2

és un màxim

38. La trajectòria d�un projectil disparat per uncanó d�artilleria situat a l�origen de coorde-nades és la paràbola f(x) = �k(1 + tg2 a)x2 + + (tg a)x, on k és una constant positiva quedepèn de les característiques del canó, i aés l�angle que formen l�eix de les x positivesi el canó. L�angle a se suposa comprèsentre 0 i 90 graus, tal com indica el dibuix(fig. 4.37). Calcula l�angle a per al qual laparàbola anterior talla l�eix de les x positi-ves al més lluny possible de l�origen.

f(x) = 0 ® �k(1 + tg2 a)x2 + x · tg a = 0 ®x[�k(1 + tg2 a)x + tg a] = 0

x = 0 ® O(0,0), l�altre punt, el que interessa és:

�k(1 + tg2 a)x + tg a = 0 ® x = és el

que cal optimitzar

g'(a) = 0 ® 1 � tg2 a =0 ® tg a = 1 ® a =45º

39. Per tal d�il·luminar una taula circular d�unmetre de radi, volem penjar del sostre del�habitació un llum situat en la vertical delcentre de la taula i que enfoqui cap avall.Digues a quina alçada hem de situar aquestllum respecte a la taula per tal que els puntsde la seva vora tinguin una il·luminaciómàxima. Si designem com a L el llum, quese suposa puntual, i com a P un punt qual-sevol de la taula, tal com indica el dibuix(fig. 4.38), la il·luminació I del punt P ésdonada per

I = K

on K és una constant que depèn de lescaracterístiques del llum, d és la distànciaentre P i L, i a és l�angle entre PL i la verti-cal.

Fig. 4.38

2

2 2 3 3

cos / 1h d h dI k k k

d d d d

a -= = = =

2

cosd

a

'(30º ) 0 ( ) creix 45º és un en 45º

'(60º ) 0 ( ) decreix màxim de ( )en 45º

g g

g g g

> ® a üïa =a <ý< ® a aï

a > þ

2

2 2

tg (1 tg )( ) '( )

(1 tg ) 1 tg

kg g

k

a - aa = ® a =

+ a + a

2

tg

(1 tg )k

a+ a

1 2base: m, alçada: m

33x y= =

2 1 21 1 m

3 3y x= - = - =

1 6''( ) 6 , '' 0

3 3

kf x kx f

æ ö= - = - < ®ç ÷

è ø

2 1'( ) 0 3 0

3f x k kx x= ® - = ® =

1 14 4 1

2 2 2S xy= = × × =

2 1 11 4 1 4

8 2y x= - = - × =

'(0) 0 ( )

1creix en

12 2 és un màxim

'(0,4) 0 ( ) 2 21

decreix en 2 2

f f x

x

xf f x

x

> ® üïï<ï

=ý< ® ïï

> ïþ

2 1 1'( ) 0 1 8 0

8 2 2f x x x= ® - = ® = ± = ±

22 4

2

4(1 8 )( ) 4 4 '( )

1 4

xf x x x f x

x

-= - ® =

-

2 2 42 2 4 4 1 4 4 4S x y xy x x x x= × = = - = -


51

2 3 1 11 1 m

2 2 2h d= - = - = =

'(1,2) 0

3( ) creix en

32 és un màxim'(1,3) 0 2

3( ) decreix en

2

f

f d dd

f

f d d

> ® üïï<ï =ý< ® ïï

> ïþ

2 2 3 3'( ) 0 3 2 0 m

2 2f d d d d= ® - = ® = ® =

2 2

3 4 2

1 3 2( ) '( )

1

d df d k f d k

d d d

- -= ® =

-


52

Comencem

� Escriu l�expressió algèbrica de cinc funcionsque tinguin per derivada la funció f(x) = 2x + 3.


F1(x) = x2 + 3x; F2(x) = x2 + 3x + 1;

F3(x) = x2 + 3x + 10; F4(x) = x2 + 3x � ;F5(x) = x2 + 3x � p

� Se sap que la derivada d�una funció G(x) ésg(x) = ex. Si la gràfica de la funció G(x) passapel punt (0,3), quina de les funcions se-güents és G(x)?

a) G(x) = ex + 3 b) G(x) = ex + 2 c) G(x) = ex � 3

G(x) = ex + 3, ja que G(0) = 3.

� Escriu l�equació de tres funcions que tinguinper derivada la funció f(x) = 2. Representa-les gràficament i comprova que pots obtenirla gràfica de cadascuna d�aquestes funcionsper translació d�una qualsevol de les altresdues.


F1(x) = 2x; F2(x) = 2x + 3; F3(x) = 2x � 2;

Figura 5.1

El vector = (0, 3) permet passar de la gràfica

de F1(x) a la de F2(x), i el vector , de la gràfi-

ca F2(x) a la de F1(x). El vector = (0, �2) tras-llada la gràfica de F1(x) a la de F3(x), i el vector

, la gràfica de F3(x) a F1(x). Finalment, el

vector = (0, �5), permet passar de la gràfica

de F2(x) a la de F3(x), e el vector , de la gràfi-ca de F3(x) a la de F2(x).

Exercicis

1. Escriu l�expressió general de les primitivesde cadascuna de les funcions següents:

a) f(x) = 3x2

F(x) = x3 + C

b) g(x) = sin x

G(x) = �cos x + C

c) h(x) = �5

H(x) = �5x + C

d) i(x) =

I(x) = ln x + C

2. Determina la funció primitiva de la funció:

f(x) = cos x

la gràfica de la qual passi pel punt de coor-denades .

F(x) = sin x + C

F = 4 ® 4 = sin + C ® 4 = 1 + C ® C = 3

F(x) = sin x + 3

3. Se sap que la funció:

és una primitiva de la funció f(x). Quina ésla funció f(x)?

4. Comprova que totes les primitives de lafunció f(x) = ln x són del tipus F(x) = x (ln x� 1) + C.

F '(x) = ln x � 1 + x = ln x + 1 �1 = ln x = f(x)

5. Si G1 i G2 són dues primitives d�una mateixa

funció g, es poden tallar els seus gràfics?Dibuixa la gràfica de la funció G1 sabentque passa pel punt (0, �4) si la gràfica de lafunció G2 és el de la figura 5.4.

1

x

2 2

2 2 2 2

2 ( 1) ( 1) 2 4( ) '( )

( 1) ( 1)

x x x x xf x F x

x x

- - + × -= = =

- -

2

2

1( )

1x

F xx

++==

--

2

p2

pæ öç ÷è ø

1x

t-r

tr

w-ur

wur

v-r

vr

2-


53


Fig. 5.2

No es poden tallar, ja que les expressions al-gebraiques de les funcions G1(x) i G2(x) només

es diferencien en una constant.

6. Calcula la derivada de les funcions se-güents i escriu-ne després les correspo-nents integrals indefinides:

a) f(x) = tg x

b) g(x) = 23x+5

c)

d) i(x) = ln2 x

7. Troba la derivada de les funcions següents:

a) f(x) = òx 3x dx

f '(x) = x3x

b) g(x) = òcos2 x dx

g'(x) = cos2 x

c) h(x) = ò(tg x � ln x) dx

h'(x) = tg x � ln x

d) i(x) = òx2 ex dx

i ' (x) = x2 ex

8. Un mòbil recorre una trajectòria rectilíniaamb una acceleració constant de 2 m/s2. Sesap que en el moment de començar acomptar el temps, v(0) = 3 m/s i s(0) = �5 m.

Troba les expressions de les funcions v =v(t) i s = s(t) corresponents al seu movi-ment.

Cal que recordis:

v(0) = 3 m/s ® 3 = 2·0 + C ® C = 3 m/sv(t) = 2t + 3 m/s

s(0) = �5 m ® �5 = 02 + 3·0 + C ® C' = �5 ms(t) = t2 + 3t � 5 m

9. Comprova que les derivades de les fun-cions següents:

F(x) = , n Î , n ¹ �1 i G(x) =

són, respectivament, f(x) = xn i g(x) = ax.

1'( ) ln ( )

lnx xG x a a a g x

a= × × = =

1'( ) ( 1) ( )

1n nF x n x x f x

n= × + = =

+

ln

xaa

R1

1

nxn

++

++

2( ) (2 3) 3 's t t dt t t C= + = + +ò

( ) 2 2v t dt t C= = +ò

( ) ( ) ( )derivant derivants s t v v t a a t== ¾¾¾¾¾¾¾¾®® == ¾¾¾¾¾¾¾¾®® ==

21 2ln 2ln'( ) 2ln ln

x xi x x dx x C

x x x= = ® = +ò

2

2 2 2

8

( 4) 4

x xdx C

x x

-® = +

- -ò

2 2

2 2 2 2

2 ( 4) 2 8'( )

( 4) ( 4)

x x x x xh x

x x

- - -= = ®

- -

2

2( )4

xh x

x==

--

3 5 3 5 3 5'( ) 2 3ln2 2 3ln2 2x x xg x dx C+ + += ® = +ò

2(1 )tg x dx tgx C+ = +ò

22 2

1 1'( ) 1

cos cosf x tg x dx

x x= = + ® =ò


54

10. Troba òx�1 dx.

11. Calcula les primitives següents:

a)

b)

c)

d)

12. Determina la primitiva de la funció f(x) = 1 +tg2 x la gràfica de la qual conté el punt

.

13. Calcula:

a)

b) ò-sin x cos2 x dx

c)

d)

e)

f)

14. Troba la primitiva de la funció f(x) = sin xcos x la gràfica de la qual passa pel punt

.

15. Justifica el motiu pel qual podem afirmarque no hi ha cap primitiva de la funció f(x) =

que presenti màxims ni mínims re-

latius en el seu domini.

Sigui F(x) una primitiva de f(x).

Per trobar els màxims i mínims relatius de F(x)cal resoldre l�equació F '(x) = 0. És senzill ob-servar que aquesta equació no té solució.

2

1'( ) ( )

( 2)F x f x

x= =

-

2

1

( 2)x --

2sin( ) 7

2

xF x = +

15 17

2 2C C® = + ® =

2sin15 15 2

2 2 2 2F C

pæ öç ÷pæ ö è ø= ® = + ®ç ÷

è ø

2sin( ) sin cos

2

xF x x xdx C= = +ò

p 15,

2 2ææ ööçç ÷÷èè øø

22

2sin cosln(1 sin )

1 sin

x xdx x C

x= + +

+ò

2

2sin cos1 sin

x xdx

x++òò

22

2 1ln 10

10

xdx x x C

x x

+= + - +

+ -ò

2

2 110

xdx

x x

++++ --òò

1

3C

x

-= +

-

12

2

1 ( 3)( 3)

1( 3)

xdx x dx C

x

-- -

= - = + =--ò ò

2

1( 3)

dxx --òò

2

2 2

arctg 1 (arctg )arctg

21 1

x xdx x C

x x= × = +

+ +ò ò

2

arc tgx1 + x

dxòò

32 cos

sin cos3

xx xdx C- = +ò

32 22 3(1 ) 2

(1 )3 3

2

xC x C

+= + = + +

12 2 22 1 2 (1 )x x dx x x dx+ = + =ò ò

22 1x x dx++òò

( ) tg 2F x x= +

3 3 tg 3 1 24 4

F C C Cp pæ ö = ® = + ® = + ® =ç ÷

è ø

2( ) (1 tg ) tgF x x dx x C= + = +ò

p,3

4ææ ööçç ÷÷èè øø

4 34( )3 3344 ln4

x x

xdx dx C

æ ö= = +ç ÷è øò ò

34

x

x dxòò

1/ 2 2 /335 /3

2 2 3 2

3

2 / 3 2

x x xdx dx x dx dx C

x x x

-- -

= = = = +-ò ò ò

3

2

xdx

xòò

7434 43 74

4

7 4 7

xx dx x dx C x C= = + = +ò ò

4 3x dxòò

34

4 3

1 1

3 3

xdx x dx C C

x x

-- -

= = + = +-ò ò

4

1dx

xòò

1 1lnx dx dx x C

x- = = +ò ò


55

16. Troba la primitiva de la funció f(x) = �sin xecos x la gràfica de la qual talla l�eix d�abscis-

ses en x = .

17. Calcula:

a) ò4x3 sin (x4 � 3) dx

b) dx

c) dx

d) dx

e) dx

f) ò(tg2 x + tg4 x) dx

18. Calcula:

a) ò(3x2 � 1) cos (x3 � x) dx

b) dx

c) ò3x2 sin x3 dx

d) dx

e) dx

f) dx

19. Determina les asímptotes de la funció:

F(x) = dx sabent que F(�2) = 2

Asímptota vertical: la recta x = �3

Asímptota horitzontal: la recta y = 3

3 8lim ( ) lim 3

3x x

xF x

x®¥ ®¥

+= =

+

3 0 3x x+ = ® = -

1 1 3 9 3 8( ) 3

3 3 3

x xF x

x x x

- - + + += + = =

+ + +

1( 2) 2 2 3

2 3F C C

-- = ® + = ® =

- +

1( 3) 1

1 ( 3)

xC C

x

-+ -= + = +

- +

22

1( ) ( 3)

( 3)F x dx x dx

x-= = + =

+ò ò

2

1

( 3)x ++òò

cos 1cos sin

2 2

xdx x dx x C

x x= × = +ò ò

cos

2

x

xòò

ln arcsin x C= +

2

2

1

1 1arcsin1 arcsin

xdx dxxx x

-= =-

ò ò

2

1

1 arcsinx x--òò

ln( 9)9

xx

x

edx e C

e= + +

+ò

9

x

x

ee ++òò

2 3 33 sin cosx x dx x C= - +ò

12 22(1 )

2 112

xC x C

+= + = + +

12 2

2

22 (1 )

1

xdx x x dx

x

-= × + =

+ò ò

2

2

1

x

x++òò

2 3 3(3 1)cos( ) sin( )x x x dx x x C- - = - +ò

3tg

3

xC= +

32 4 2 2 tg

(tg tg ) tg (1 tg )3

xx x dx x x dx C+ = + = +ò ò

21 tgln tg

tg

xdx x C

x

+= +ò

21 tg xtgx

++òò

24 2 2

2 2arctg

1 1 ( )

x xdx dx x C

x x= = +

+ +ò ò

4

21

xx++òò

ln lnln4 1 4

4ln4

x xxdx dx C

x x= × = +ò ò

ln4 x

xòò

tgtg tg

2 2

1

cos cos

xx xe

dx e dx e Cx x

= × = +ò ò

2cos

tgxexòò

3 4 44 sin( 3) cos( 3)x x dx x C- = - - +ò

cos( ) 1xF x e= -

cos20 0 0 1 1

2F e C C C

ppæ ö = ® = + ® = + ® = -ç ÷è ø

cos cos( ) sin x xF x xe dx e C= - = +ò

p2


56

20. Calcula:

a) ò(2x3 � 3x2 + 5x � 1) dx

b) dx

c) ò(32x � e4x + 1) dx

d) dx

e) ò(2x � 3)(2x + 3) dx

f) dx

g) dx

h) dx

21. Se sap que la gràfica d�una funció passapel punt P(1, 4) i que el pendent de la rectatangent en qualsevol punt d�aquesta gràficas�expressa mitjançant m(x) = 2x2 � 3x + 5.Determina l�expressió algèbrica d�aquestafunció.

22. Troba la primitiva de la funció f(x) =

que s�anul·la quan x = 2.

F(2) = 0 ® + C = 0 ® C = = �

F(x) =

23. Calcula òtg2 x dx.

Et suggerim que apliquis l�estratègia se-güent:

tg2 x = 1 + tg2 x � 1

24. Calcula:

a) ò5cos (3x � 2) dx

5sin(3 2)

3x C= - +

55cos(3 2) 3cos(3 2)

3x dx x dx- = - =ò ò

2( 1)tg x dx dx tgx C= + - = +ò ò

2 2( 1 1)tg xdx tg x dx= + - =ò ò

2 31( 1) 3

3x - -

313 3

3×

127

3

2 3 22 31 ( 1) 1

( 1)32 32

xC x C

-= + = - +

12 2 21

( ) 1 2 ( 1)2

F x x x dx x x dx= × - = × - =ò ò

2 1x x --

3 22 3 1( ) 5

3 2 6F x x x x= - + -

2 3 1(1) 4 5 4

3 2 6F C C= ® - + + = ® = -

2 3 22 3( ) (2 3 5) 5

3 2F x x x dx x x x C= - + = - + +ò

27ln 5 3

10x C- +

2 2

7 7 10

105 3 5 3

x xdx dx

x x= =

- -ò ò

2

75 3

xx --òò

21( )

3x x C= - +

3 2

2

2 2 1

3 33

x xdx x dx

x

- æ ö= - =ç ÷è øò ò

3 2

2

23

x xx

--òò

9ln 7 3

7x C= + +

9 9 7

(7 3) 7 7 3dx dx

x x= =

+ +ò ò

97 3x ++òò

349

3x x C= - +

2(2 3)(2 3) (4 9)x x dx x dx- + = - =ò ò

15 (2 1) 5

2 1 2(2 1)

xC C

x

-- -= × + = +

- -

22

5 52 (2 1)

2(2 1)dx x dx

x-= × - =

-ò ò

2

5

(2 1)x --òò

243 1

2ln3 4

xxe x C= - + +

2 41 12ln3 3 4

2ln3 4x xdx e dx dx× - × + =ò ò ò

2 4(3 1)x xe dx- + =ò

5ln

7x C+ +

2 5 2 5 1 2

7 7 7 7

xdx dx x

x x

+ æ ö= + × = +ç ÷è øò ò

2 57x

x

++òò

4 3 21 5

2 2x x x x C= - + - +

3 2(2 3 5 1)x x x dx- + - =ò


57

b) dx

c) dx

d) dx

e) dx

f) dx

g) dx

h) dx

i) dx

j) dx

25. Calcula:

a) òx sin x dx

b) òe2x sin x dx

22 ( cos 2sin )

sin5

xx e x x

e xdx C- +

= +ò

2 25 sin ( cos 2sin )x xe xdx e x x= - +ò

2 ( cos 2sin )xe x x= - +

2 2sin 4 sinx xe xdx e xdx+ =ò ò

24 sinxe xdx- ò

2 2 2sin cos 2 sinx x xe xdx e x e x= - + -ò

2 22( sin 2 sin )x xe x dx e x dx+ - ò

2 2sin cosx xe xdx e x= - +ò

2 2( ) '( ) 2

'( ) cos ( ) sin

x xr x e r x e

s x x s x x

= ® == ® =

2 2 2cos sin 2 sinx x xe xdx e x e xdx= -ò ò

2 2 2sin cos 2 cosx x xe xdx e x e xdx= - +ò ò

2 2( ) '( ) 2

'( ) sin ( ) cos

x xf x e f x e

g x x g x x

= ® == ® = -

2 sinxe xdx×ò

cos sinx x x C= - + +

sin cos cosx xdx x x xdx= - + =ò ò

( ) '( ) 1

'( ) sin ( ) cos

f x x f x

g x x g x x

= ® == ® = -

2

3 1 5 35

4 5 201 (5 )dx arctg x C

x= × = +

+ò

2 2

3 3 1

44 100 1 25dx dx

x x= =

+ +ò ò

2

34 100x++òò

3 3 23 32 (1 ) 4

(1 )33 92

xdx C x C

-= - × + = - - +

1 22 3 2 322 1 3 (1 )

3x x dx x x dx- = - - - =ò ò

2 32 1x x--òò

5arcsin3

3x C= +

2 2

5 5 3

31 9 1 (3 )dx dx

x x= =

- -ò ò

2

5

1 9x--òò

7arctg2

2x C= +

2 2

7 7 2

21 4 1 (2 )dx dx

x x= =

+ +ò ò

2

71 4x++òò

1 23 (5 8) 65 8

15 52

xC x C

+= × + = + +

1 23 35 (5 8)

55 8dx x dx

x

-= × + =

+ò ò

3

5 8x ++òò

3 231 (7 6) 2

(7 6)37 212

xC x C

-+ = - +

1 217 6 7 (7 6)

7x dx x dx- = × - =ò ò

7 6x --òò

ln 5xe e C= × - +

1

5 5 5

x x x

x x x

e e e edx dx e dx

e e e

+ ×= = =

- - -ò ò ò

1

5

x

x

ee

++

--òò

14cos

3x C

-= +

7sin 7 2 sin

33 2

x xdx

x x

×= =ò ò

7sin

3

x

xòò

1ln 5 12

5x C= - +

1 1 5

5 12 5 5 12

xdx dx

x x= =

- -ò ò

15 12x --òò


58

c) òln x dx

d) òx ln x dx

e) ò2x x dx

f) òarc sin x dx

g) ò(x + 2) e3x dx

h) dx

i) ò(3x + 2) cos x dx

j) dx

26. Ja has vist que, de vegades, cal aplicar enmés d�una ocasió el mètode d�integracióper parts. Et caldrà fer-ho en el càlcul de lesprimitives següents:

a) òx2 e5x dx

22

1 1 1 1

2 2 22x

xe x C x C

e- -æ ö æ ö= - + + = + +ç ÷ ç ÷

è ø è ø

2 21 1 1

2 2 2x xe x e C- -= - × - × + =

2 2 21 1

2 2x x xx e dx e x e dx- - -× = - × + =ò ò

2 2

( ) '( ) 1

1'( ) ( )

2x x

f x x f x

g x e g x e- -

= ® =

= ® = -

22

x

x

xdx x e dx

e-= ×ò ò

2x

xeòò

3 sin (3 2)sin 3cosxdx x x x C- = + + +ò

(3 2)cos (3 2)sinx xdx x x+ = + -ò

( ) 3 2 '( ) 3

'( ) cos ( ) sin

f x x f x

g x x g x x

= + ® == ® =

(3 2)cosx xdx+ò

1 1

ln33 ln3xx C

- æ ö= + +ç ÷è ø

1 13 3

ln3 ln3 ln3x xx

C- --- × + =

13 3 3

ln3 ln3x x xx

x dx dx- - --× = + =ò ò

( ) '( ) 11

'( ) 3 ( ) 3ln3

x x

f x x f x

g x g x- -

= ® =-

= ® =

33

x

x

xdx x dx-= ×ò ò

3x

xòò

3 31 52

3 3 3 3

x xe ex C x C

æ ö æ ö= + - + = + +ç ÷ ç ÷è ø è ø

3 31( 2)

3 3 3

x xe ex C= + - × + =

3 3 31 1( 2) ( 2)

3 3x x xx e dx x e e dx+ = + - =ò ò

3 3

( ) 2 '( ) 1

1'( ) ( )

3x x

f x x f x

g x e g x e

= + ® =

= ® =

2 1 221 (1 )

arcsin 12 1 2

xC x x x C

-+ × + = + - +

1 2212 (1 ) arcsin

2x x dx x x

-+ - - = +ò

1 22arcsin (1 ) arcsinx x x x dx x x-

= - × - = +ò

2arcsin arcsin

1

xxdx x x dx

x= - =

-ò ò

2

1( ) arcsin '( )

1'( ) 1 ( )

f x x f xx

g x g x x

= ® =-

= ® =

arcsin xdxò

2 1 2 2 1

ln2 ln2 ln2 ln2 ln2

x x xxC x C

× æ ö= - × + = - +ç ÷è ø

2 12 2

ln2 ln2

xx xxdx x dx= - - =ò ò

( ) '( ) 1

2'( ) 2 ( ) ln2xx

f x x f x

g x g x

= ® =

= ® =

2 1ln

2 2

xx C

æ ö= - +ç ÷è ø

2 21 1ln

2 2 2 2

x xxdx x C- = - + =ò

2 2 21ln ln ln

2 2 2

x x xx xdx x dx x

x= - × = -ò ò

2

1( ) ln '( )

'( ) ( ) 2

f x x f x x

xg x x g x

= ® =

= ® =

ln (ln 1)x x x C x x C= - + = - +

1ln ln lnxdx x x xdx x x dx

x= - × = - =ò ò ò

1( ) ln '( )

'( ) 1 ( )

f x x f x xg x g x x

= ® =

= ® =


59

.

b) ò x3 sin x dx

c) ò(x2 + 4) · 3x dx

d) ò x2 cos x dx

e) dx

2 1 2

ln2 ln2 ln2

x xx - --= -

2 22

ln2 ln2

x xx x

x dx dx- -

- -× = + =ò ò

22 2 22 2

ln2 ln2

xx xx

x dx x dx-

- -- ×= + ×ò ò

2( ) '( ) 2

2'( ) 2 ( )

ln2

xx

f x x f x x

g x g x-

-

= ® =

-= ® =

22 2

2x

x

xdx x dx-=ò ò

2

2x

xòò

2 sin 2 cos 2sinC x x x x x C+ = + - +

2 2cos sin 2( cos sin )x xdx x x x x x= - - + +ò

( ) '( ) 1

'( ) sin ( ) cos

r x x r x

s x x s x x

= ® == ® = -

cos sinx x x= - +


2 2cos sin 2 sinx xdx x x x xdx= -ò ò

2( ) '( ) 2

'( ) cos ( ) sin

f x x f x x

g x x g x x

= ® == ® =

2 cosx xdxò

22

3 2 24

ln3 ln3 (ln3)

x

x x Cé ù

= - + + +ê úë û

2

2 3 3

ln3 ln3 (ln3)

x xxC

æ ö×- - + =ç ÷

è ø

22 ( 4)3

( 4)3ln3

xx x

x dx+

+ = -ò

( ) '( ) 1

3'( ) 3 ( )

ln3

xx

r x x r x

s x s x

= ® =

= ® =

1 3

ln3 ln3

x

- ×

3 1 33 3

ln3 ln3 ln3

x xx x x

x dx x dx×

× = × - = -ò ò

2 2 3 2( 4) 3 ( 4) 3

ln3 ln3

xx xx dx x x dx+ × = + - ×ò ò

2( ) 4 '( ) 23

'( ) 3 ( )ln3

xx

f x x f x x

g x g x

= + ® =

= ® =

2( 4) 3xx dx+ ×ò

2(3 6)sinx x C+ - +

36 cos 6sin ( 6 )cosx x x C x x x+ - + = - + +

3 3 2sin cos 3 sinx xdx x x x x= - + +ò

( ) '( ) 1

'( ) sin ( ) cos

t x x t x

n x x n x x

= ® == ® = -

cos sinx x x= - +


23 sin 6 sinx x x xdx+ - ò

2 33( sin 2 sin ) cosx x x xdx x x+ - = - +ò

3 3sin cosx xdx x x= - +ò

2( ) '( ) 2

'( ) cos ( ) sin

r x x r x x

s x x s x x

= ® == ® =

2 2cos sin 2 sinx xdx x x x xdx= -ò ò

3 3 2sin cos 3 cosx xdx x x x xdx= - +ò ò

3 2( ) '( ) 3

'( ) sin ( ) cos

f x x f x x

g x x g x x

= ® == ® = -

3 sinx xdxò

2 5 2 5 5 5

5 2

1 2 1 1e e e e

5 5 5 25

1 2 2e

5 5 25

x x x x

x

x dx x x C

x x C

æ ö= - - +ç ÷è ø

æ ö= - + +ç ÷è ø

ò

5 5

( ) '( ) 1

1'( ) ( )

5x x

r x x r x

s x e s x e

= ® =

= ® =

5 5 5 5 51 1 1 1

5 5 5 25x x x x xxe dx xe e dx xe e= - = -ò ò

2 5 2 5 51 2

5 5x x xx e dx x e xe dx= -ò ò

2 5

2

5 5

( ) '( ) 2

1'( ) ( )

5

x

x x

x e dx

f x x f x x

g x e g x e

= ® =

= ® =

ò


60

f) ò(1 � x2) 23x dx

27. a) Resol l�equació F �(x) = 0 si F(x) = òex x (2+ x) dx.

Les solucions són x1 = 0 i x2 = �2

b) Calcula la primitiva de la funció f(x) = ex

x (2 + x) la gràfica de la qual passa perl�origen de coordenades.

28. Calcula amb els canvis de variable indicats:

a) dx amb x = 4t

b) dx amb = t

1 22 1 1 1( 2)

3 3

xx x x

-æ ö= - + = - +ç ÷è ø

33 ( 1)2 2 1

3 3

xtt C x C

æ öæ ö -ç ÷= + + = + - + =ç ÷ ç ÷è ø è ø

221

2 2 ( 1)1

x tdx tdt t dt

tx

+= = + =

-ò ò ò

2dx dt® = +

2 2 21 1 1x t x t x t- = ® - = ® = + ®

1x --1

x

x --òò

arcsin arcsin4

xt C C= + = +

2 2 2

1 1 14

16 16 16 1dx dt dt

x t t= =

- - -ò ò ò

2

1; 4 4

16dx x t dx dt

x= ® =

-ò

2

1

16 x--òò

2( ) xF x x e® =

(0) 0 0 0 0F C C= ® = + ® = ®

22 2x x xxe e C x e C- - + = +

22[( 1) ] 2x x x xx e e C x e xe- + - + = × + -

2 2( ) ( 2 ) ( 2 )x xF x e x x dx x x e= + = + -ò

( ) 1 '( ) 1

'( ) ( )x x

r x x r x

s x e s x e

= + ® =

= ® =

( 1) x xx e e= + -

( 1) ( 1)x x xx e dx x e e dx+ = + - =ò ò

2 2( 2 ) ( 2 ) 2 ( 1)x x xe x x dx x x e x e dx+ = + - +ò ò

'( ) ( )x xg x e g x e= ® =

2( ) 2 '( ) 2 2 2( 1)f x x x f x x x= + ® = + = +

2( 2 )xe x x dx+ =ò

2x® = -

( ) ( 2)

'( ) ( 2)

0'( ) 0 ( 2) 0

2 0

x

x

x

F x e x x dx

F x e x x

xF x e x x

x

= +

= +

== ® + =

+ =

ò

( )

32

2

2 2 21

3ln2 3ln2 3ln2

x xx C

é ùê ú= - + - + +ê úë û

( )

3 3

2

2 2 2

3ln2 3ln2 3ln2

x xxC

é ùê ú+ - + =ê úë û

2 32 3 (1 )2

(1 )23ln2

xx x

x dx-

- = +ò

3 3

( ) '( ) 1

1'( ) 2 ( ) 2

3ln2x x

r x x r x

s x s x

= ® =

= ® =

( )

3 3

2

2 2

3ln2 3ln2

x xx ×= -

3 3 31 12 2 2

3ln2 3ln2x x xx dx x dx= × - =ò ò

322

3ln2xx dx+ ×ò

2 3 2 31(1 )2 (1 ) 2

3ln2x xx dx x- = - × +ò

2

3 3

( ) 1 '( ) 2

1'( ) 2 ( ) 2

3ln2x x

f x x f x x

g x g x

= - ® = -

= ® = ×

2 3(1 )2 xx dx-ò

( )2

2

1 2 2

ln22 ln2 ln2x

x x Cé ù-ê ú= + + +ê úë û

2 2 1 2

ln2 ln2 ln2 ln2

x xxC

- -æ ö- ×+ - + =ç ÷

è ø

22 22

ln2

xx x

x dx-

- - ×= +ò

( ) '( ) 1

2'( ) 2 ( )

ln2

xx

r x x r x

s x s x-

-

= ® =

-= ® =


61

29. Aplicant el canvi de variable sin x = t, calcu-la:

òcos3 x dx

Si tens en compte la igualtat següent:

cos3 x = cos2 x cos x = (1 � sin2 x) cos x

la pots calcular sense canvi de variable.Fes-ho.

30. Calcula la integral ò dx utilitzant elcanvi de variable x = sin t o x = cos t. Arri-baràs a una integral del tipus:

òcos2 t dt o òsin2 t dt

respectivament. Et caldrà fer ús de les iden-titats trigonomètriques:

cos2 t = o sin2 t =

31. La integral dx és quasi immediata.

Calcula-la.

Comprova que arribes al mateix resultataplicant-hi el canvi de variable x2 + 3 = t.

32. Calcula:

a)

b)

2

3 2 11 6 7 6

3 39

xdx dx dx

x xx

-= + =

+ --ò ò ò

3 7 6 7 6

3 11 ( 6) 11 6

x B B

x A A

= ® = × ® == - ® - = × - ® =

3 2 ( 3) ( 3)x A x B x- = - + +

2

3 2

3 39

x A B

x xx

-= +

+ --

2

3 29

xdx

x

----òò

10

2C

x

-= +

-

12 ( 2)

10 ( 2) 101

xx dx C

-- -

= - = × + =-ò

= =- + -ò ò2 2

10 10

4 4 ( 2)dx dx

x x x

2

104 4

dxx x-- ++òò

2ln 3x C= + +

2 21 1ln 3 ln( 3)

2 2x C x C= + + = + + =

2 2

1 2 1 1ln

2 2 23 3

x x dtdx dx t C

tx x= = = + =

+ +ò ò ò

2 3 2x t dt xdx+ = ® =

2ln 3x C= + +

22 2

1 2 1ln( 3)

2 23 3

x xdx dx x C

x x= = + + =

+ +ò ò

2 3x

x ++òò

21( arccos 1 )

2x x x C= - - + - +

2sin cos 1( sin cos )

2 4 2

t t tC t t t C

æ ö= - - + = - + +ç ÷è ø

1 cos2 sin2

2 2 4

t t tdt C

- æ ö= - = - - + =ç ÷è øò

2 2 21 1 cos sin sinx dx t tdt tdt- = - - = - =ò ò ò

cos sinx t dx tdt= ® = -

C+

21 1( sin cos ) (arcsin 1 )

2 2t t t C x x x= + + = + - +

2sin cos sin cos

2 4 2 2

t t t t t tC C C+ = + + = + + =

1 cos2 1 cos2 sin2

2 2 2 2 4

t t t tdt dt

+ æ ö= = + = + +ç ÷è øò ò

2 2 21 1 sin cos cosx dx t tdt tdt- = - = =ò ò ò

sin cosx t dx tdt= ® =

1 cos22

t--1 cos22

t++

21 x--

3 2sin sinsin sin 1

3 3

x xx C x C

æ ö- + = - +ç ÷

è ø

2 2(1 sin )cos (cos sin cos )x xdx x x x dx= - = - =ò ò

3 2cos cos cosxdx x xdx= =ò ò

3 2sin sinsin sin 1

3 3

x xx C x C

æ ö= - + = - +ç ÷

è ø

= - = - = - + =ò ò3

2 2(1 sin ) (1 )3

tx dt t dt t C

3 3 2cos cos coscos

dtxdx x xdt

x= = =ò ò ò

sin coscos

dtx t dt xdx dx

x= ® = ® =


62

c)

d)

e)

f)

33. Calcula fent el canvi de varia-

ble x = t 6.

34. Calcula:

a)

æ ö= + + =ç ÷- -è øò ò2 25

55 5

xdx x dx

x x

2

5x

dxx --òò

t3 t2 + 1

�t3 � t2 t2 � t +1

� t2

+ t2 + tt

� t + 1� 1

3 6 62 2 3 6 6ln 1x x x C= - + - + +

3 22 3 6 6ln 1t t t t C= - + - + + =

3 2

6 ln 13 2

t tt t C

æ ö= - + - + + =ç ÷

è ø

32 1

6 6 11 1

tdt t t dt

t tæ ö= = - + - =ç ÷+ +è øò ò

= = =+ ++ò ò ò

55

2 3 2 33

1 16 6

tdx t dt dt

t t t tx x

3 6 2 6 33 ;x t t x t t= = = =]

6 56x t dx t dt= ® =

3

1dx

x x++òò

21ln 6 5

2x x C= - + +

- -= =

- + - +ò ò2 2

3 1 2 6

26 5 6 5

x xdx dx

x x x x

2

36 5

xdx

x x

---- ++òò

53ln 2 ln 3

2x x C+ - - - +

3 5 2 1ln 1

2 3 2dx dx x

x x

-+ + = - - +

- -ò ò

1 2 1 2

( 1)( 2)( 3) 1

xdx dx

x x x x

- -= +

- - - -ò ò

1 1 2 1 2

2 3 ( 1) 3

3 5 2 5 2

x A A

x B B

x C C

= ® - = × ® = -= ® - = × - ® == ® - = × ® = -

( 1)( 2)C x x+ - -

1 2 ( 2)( 3) ( 1)( 3)x A x x B x x- = - - + - - +

1 2

( 1)( 2)( 3) 1 2 3

x A B C

x x x x x x

-= + +

- - - - - -

3 26 11 6 ( 1)( 2)( 3)x x x x x x- + - = - - -

3 21 2 36 11 6 0 1, 2, 3x x x x x x- + - = ® = = =

3 2

1 26 11 6

xdx

x x x

---- ++ --òò

31 1

3ln 1 3ln lnx x

x C C Cx x

- -+ - + = + = +

3 3 33ln

( 1) 1dx dx dx x

x x x x

-= + = - +

- -ò ò ò

3 ( 1)

0 3 ( 1) 3

1 3 3

A x Bx

x A A

x B B

= - += ® = × - ® = -= ® = ® =

= = +- --2

3 3

( 1) 1

A B

x x x xx x

2

3dx

x x--òò

1ln 2

6x C+ + +

1 6 3 2ln ln 1

2 2 3dx x x

x+ = - - +

+ò

2 3 3 2 2 3

( 1)( 2) 1

xdx dx dx

x x x x x

- -= + +

- + -ò ò ò

0 3 ( 2) 3 2

1 2 3 2 3

2 1 6 1 6

x A A

x B A

x C C

= ® - = × - ® == ® - = × ® = -= - ® = × ® =

( 1)Cx x+ -

2 3 ( 1)( 2) ( 2)x A x x Bx x- = - + + + +

-= + +

- + - +

2 3

( 1)( 2) 1 2

x A B C

x x x x x x

2 3( 1)( 2)

xdx

x x x

---- ++òò

11 7ln 3 ln 3

6 6x x C= + + - +


63

b)

c)

d)

Acabem

1. Determina la funció f(x) sabent que la fun-ció F(x) = x2 ex + 2 n�és una primitiva.

2. Quina és la primitiva de la funció f(x) = 2x + + 5 que verifica la condició F(1) = 9? I la queverifica F�1(3) = �3?

3. Dos companys obtenen resultats diferentsen el càlcul de les primitives d�una mateixafunció. El primer obté:

òcos2 3x dx = i el segon,

òcos2 3x dx = sin6

2 12x x

C++ ++

sin62 12x x

C-- ++

2

12

11

22

2

( ) (2 5) 5

(1) 9 9 1 5 3( ) 5 3

(3) 3 3 9 15 9( ) 5 9

F x x dx x x C

F C CF x x x

F C CF x x x

-

= + = + += ® = + + ® = ®

® = + += - ® = - + ® = ®

® = + +

ò

2( ) '( ) 2 (2 )x x xf x F x x e x e xe x= = × + × = +

x2 + 9 x2 � 9

�x2 + 9 118

33

ln3

xx C

x

-= + +

+

3(ln 3 ln 3 )x x x C= + - - + + =

2

2

9 1 6 1 618

3 39

xdx x dx dx

x xx

+ -æ ö= + + =ç ÷+ -- è øò ò ò

1 ( 3) ( 3)

3 1 6 1 6

3 1 ( 6) 1 6

A x B x

x B B

x A A

= - + += ® = × ® == - ® = × - ® = -

1

( 3)( 3) 3 3

A B

x x x x= +

+ - + -

2

118

9dx

x+

-ò

2

2 2

9 181

9 9

xdx dx x

x x

+ æ ö= + = +ç ÷- -è øò ò

2

2

99

xdx

x

++--òò

1( 1) 1 12ln

1 1 1

x xC C

x x x

--+ + = - - +

- - -

12

( 1) 2ln 2ln 11

xx dx x x

--+ - = - - + +

-ò

22 2

1 2 2

1( 1)dx dx x dx dx

x xx x- -

= + + +--ò ò ò ò

2, 2A C= = -

0 1 1

1 1 1

2 1 2 4 4 2 2

1 1 ( 4) 4 ( 2) 2 2

x B B

x D D

x A B C D A C

x A B C D A C

= ® = ® == ® = ® =

= ® = × + + × + × ® + = - üý

= - ® = × - + × + × - + ® - - = - þ

2 2 2 21 ( 1) ( 1) ( 1)Ax x B x Cx x Dx= - + - + - +

2 2 2 2

2 2

( 1) ( 1) ( 1)

( 1)

Ax x Bx x Cx x Dx

x x

- + - + - +=

-

2 2

1

( 1)x x=

-

2 2 2 2

1

1( 1) ( 1)

A B C D

x xx x x x= + + +

-- -

2 2

1

( 1)dx

x x --òò

x3 � 4 x2 � 2x

�x3 � 2x2 x + 2

2x2 � 4

�2x2 + 4x4x � 4

222 2ln 2

2

xx x x C= + + - +

2

2 2( 2) 2

2

xx dx dx

x x

-= + + =

-ò ò

3

2 2

4 4 42

2 2

x xdx x dx

x x x x

- -æ ö= + + =ç ÷- -è øò ò

3

2

42

xdx

x x

----òò

x2 x � 5

�x2 + 5x x + 55x

�5x + 2525

2

5 25ln 52

xx x C= + + - +


64

Indica raonadament quin dels dos ha arri-bat a la resposta correcta.

El segon, ja que si , es

compleix que

4. Troba l�expressió de la funció F(x) la grà-fica de la qual passa pel punt (1, 1) sa-bent que el pendent de la recta tangent en qualsevol punt ve donat per la funció m(x) = 3x2 + 6x � 4.

5. Considera la funció .

Determina�n les asímptotes, sabent queF(0) = �3.

4x � 16 = 0 ® x = 4

Asímptota vertical x = 4

Asímptota horitzonal y =

6. Calcula:

a) ò(2x3 � 3x2 � 1) dx

b) ò(�3 · 3x + 4 cos x) dx

c)

d)

e) ò(4 + tg2 x)dx

f)

7. Calcula les integrals quasi immediates se-güents:

a) òcos 5x dx

b)

c) ò5 sin4 x cos x dx

d)

4ln 2 13

ln2x C= - +

22 2 4 2 ln24

ln22 13 2 13 2 13

x x x

x x xdx dx dx

+ ×= = =

- - -ò ò ò

222 13

x

x dx++

--òò

4 55sin cos sinx xdx x C= +ò

2

2

1 1 cosln tg

tgcos tg

xdx dx x C

xx x= = +ò ò

2

1

cos dx

x tgxòò

1 1cos5 5cos5 sin5

5 5xdx xdx x C= = +ò ò

2 4 2 1 4 2 4ln

7 7 7 7 7

xdx dx x x C

x x

- æ ö= × - = - +ç ÷è øò ò

2 47

xdx

x

--òò

tgx C+ +

2 2(4 tg ) (3 1 tg ) 3x dx x dx x+ = + + = +ò ò

1 1 3ln

4 2 4x x C

x= - + + +

22

2

1 2 3 1 1 1 3

4 2 44

x xdx x dx

xx-+ + æ ö= + × + =ç ÷

è øò ò

2

2

1 2 34x x

dxx

++ ++òò

216 ln

2x x x C= - + +

21 23 1 1

3x x

dx x x dxx x

-- + æ ö= - + =ç ÷è øò ò

2 3 1x xdx

x

-- ++òò

13( 3 3 4cos ) 4sin

ln3

xx x dx x C

+-- × + = + +ò

3 2 4 31(2 3 1)

2x x dx x x x C- - = - - +ò

17

4

-

17lim ( )

4xF x

®¥

-=

5(0) 3 3 17 4

45 17 20 17 68 17 48

( )4 4 4 16 4 16

F C C

x xF x

x x x

= - ® - = + ® = -

- - - + - += - = =

- - -

- -= = - = +

--ò ò2

2

5 5( ) 5 ( 4)

4( 4)F x dx x dx C

xx

2

5( )

( 4)F x dx

x==

--òò

3 2

(1) 1 1 1 3 4 1( ) 3 4 1

F C CF x x x x

= ® = + - + ® == + - +

2 3 2( ) (3 6 4) 3 4F x x x dx x x x C= + - = + - +ò

2 2 21 1 1 1(2cos 3 1) cos 3 cos 3

2 2 2 2x x x= + - = + - =

2 21 1 1cos(3 3 ) (cos 3 sin 3 )

2 2 2x x x x+ + = + - =

1 1 1'( ) cos6

2 2 2F x x= + = +

sin6( ) '

2 12

x xF x C= + +


65

e)

f) òx3 sin (x4 � p) dx

8. Calcula les integrals quasi immediates se-güents:

a) ò5tg x (1 + tg2 x) dx

b)

c)

d)

e)

f)

9. Troba la primitiva de la funció:

que verifica la condició .

10. Calcula per parts les integrals següents:

a) òx2 sin 3x dx

f (x) = x2 ® f '(x) = 2x

g ' (x) = sin 3x ® g(x) =

b) òcos (ln x) dx

sin(ln )x dxò

cos(ln ) cos(ln ) sin(ln )x dx x x x dx= +ò ò

1( ) cos(ln ) '( ) sin(ln )

'( ) 1 ( )

f x x f x xx

g x g x x

= ® = - ×

= ® =

cos(ln )x dxò

21 2 2cos3 sin3 cos3

3 3 9x x x x x C

æ ö= - + + +ç ÷è ø

2cos

27x C+ + =

2 21 2sin3 cos3 sin3

3 9x xdx x x x x= - + +ò

( ) '( ) 1

1'( ) cos3 ( ) sin3

3

r x x r x

s x x s x x

= ® =

= ® =

1 1sin3 cos3

3 9x x x= +

1 1cos3 sin3 sin3

3 3x xdx x x xdx= - =ò ò

2 21 2sin3 cos3 cos3

3 3x xdx x x x xdx= - +ò ò

1cos3

3x-

2 sin3x xdxò

tg( ) xF x e=

tg4 0

4F e e e C e e C C

ppæ ö = ® = + ® = + ® =ç ÷è ø

tgtg tg

2 2

1( )

1 sin cos

xx xe

F x dx e dx e Cx x

= = × = +-ò ò

p4

F eææ öö ==çç ÷÷èè øø

tg

2( )1 sin

xef x

x==

--

2

1 1 1sin cosdx C

x xx= +ò

2

1 1sin dx

xxòò

21(1 ln )

12x C= + +

22(1 ln ) 1 1

(1 ln )4 4

xdx x dx

x x

+= + × =ò ò

2(1 ln )4

xdx

x

++òò

10sin x C= +

5cos 110 cos

2

xdx x dx

x x= × =ò ò

5cos xdx

xòò

2

2

7 77 ( 4)

48 16dx x dx C

xx x

- -= - = +

-- +ò ò

2

78 16

dxx x-- ++òò

3 1 231 (1 ) 1

112 1 2 6

xC x C

-= - × + = - - +

22 3 1 2

3

1 13 (1 )

4 34 1

xdx x x dx

x

--= × - - =

-ò ò

2

24 1

xdx

x--òò

tgtg 2 5

5 (1 tg )ln5

xx x dx C+ = +ò

41cos( )

4x= - × - p

3 4 3 41sin( ) 4 sin( )

4x x dx x x× - p = × - p =ò ò

3x2 x + 7

�3x2 � 21x 3x � 21� 21x

21x + 147147

2321 147ln 7

2x x x C= - + + +

23 1473 21

7 7

xdx x dx

x xæ ö= - + =ç ÷+ +è øò ò

237

xdx

x ++òò


66

c) òx3 ln x dx

d) òe4x cos 4x dx

e) ò(x � 1) 5x dx

f) òln2 x dx

11. Comprova que:

ò(x2 � 2x � 1) ex dx = (x2 � 4x + 3) ex + C

12. Calcula les integrals següents, fent ús encada cas del canvi de variable indicat:

a) dx, x = 2 sin t

22 sin2 2arcsin 42 2

x xt t C x C= + + = + - +

1 cos2 sin24 4

2 2 2 4

t t tdt C

æ ö æ ö= + = + + =ç ÷ ç ÷è ø è øò

2 1 cos24 cos 4

2

ttdt dt

+= = =ò ò

2 24 4 4sin 2cosx dx t tdt- = - × =ò ò

2sin 2cosx t dx tdt= ® =

24 x dx-ò

24 x--òò

2( 2 1) xx x e= - -

2 2( 4 3) (2 4 4 3)x xx x e x x x e+ - + × = - + - + =

2( 4 3) ' (2 4)x xx x e C x eé ù- + + = - +ë û

2 2( 2 1) ( 4 3)x xx x e dx x x e C- - = - + +ò

2(ln 2ln 2)x x x C= - + +

2 2ln ln 2( ln )xdx x x x x x C= - - + =ò

1( ) ln '( )

'( ) 1 ( )

r x x r xx

s x s x x

= ® =

= ® =

ln ln lnxdx x x dx x x x= - = -ò ò

2 1( ) ln '( ) 2ln

'( ) 1 ( )

f x x f x xx

g x g x x

= ® =

= ® =

2 2ln ln 2 lnxdx x x xdx= -ò ò

5 11

ln5 ln5

x

x Cæ ö= - - +ç ÷è ø

1 1 1( 1)5 5

ln5 ln5 ln5x xx= - - × =

1 1( 1)5 ( 1)5 5

ln5 ln5x x xx dx x dx- = - - =ò ò

( ) 1 '( ) 1

1'( ) 5 ( ) 5

ln5x x

f x x f x

g x g x

= - ® =

= ® =

( 1)5xx dx-ò

4 41cos4 (sin4 cos4 )

8x xe xdx e x x C= + +ò

4 412 cos4 (sin4 cos4 )

4x xe xdx e x x= +ò

4 cos4xe xdx-ò

4 4 41 1cos4 sin4 cos4

4 4x x xe xdx e x e x= + -ò

4 4 41sin4 cos4 cos4

4x x xe xdx e x e xdx= - +ò ò

4 4( ) '( ) 4

1'( ) sin4 ( ) cos4

4

x xr x e r x e

s x x s x x

= ® =

= ® = -

4 sin4xe xdxò

4 4 41cos4 sin4 sin4

4x x xe xdx e x e xdx= - =ò ò

4 4( ) '( ) 41

'( ) cos4 ( ) sin44

x xf x e f x e

g x x g x x

= ® =

= ® =

4 cos4xe xdxò

( )4

3

1( ) ln '( )

'( ) ( )4

f x x f xx

xg x x g x

= ® =

= ® =

4 41 1ln

4 4 4 4

x xC x C

æ ö- × + = - +ç ÷è ø

4 43 31ln ln ln

4 4 4

x xx xdx x x dx x= - = -ò ò

[ ]cos(ln ) sin(ln )cos(ln )

2

x x xx dx C

+= +ò

[ ]2 cos(ln ) cos(ln ) sin(ln )x dx x x x= +ò

cos(ln )x dx-ò

cos(ln ) cos(ln ) sin(ln )x dx x x x x= + -ò

sin(ln ) sin(ln ) cos(ln )x dx x x x dx= -ò ò

1( ) sin(ln ) '( ) cos(ln )

'( ) 1 ( )

r x x r x xx

s x s x x

= ® = - ×

= ® =


67

b) dx, x = 3t

c) dx, = t

d) dx, x = 6t

13. Calcula la integral dx mitjançant

el canvi de variable . Aquesta inte-

gral, però, es quasi immediata. Calcula-latambé sense fer canvi de variable.

14. Troba la primitiva de la funció

la gràfica de la qual passa pel punt (2, 2).

15. Calcula les integrals següents:

a)2

2

52 2

xdx

x --òò

x + 2 x � 1

�x + 1 13

( ) 3ln 1F x x x= + -

2 2 3ln1 0C C= + + ® =

3ln 1

(2) 2

x x C

F

= + - +

=

( ) 2 31

1 1

xF x dx dx

x x

+ æ ö= = + =ç ÷- -è øò ò

2( )

1x

f xx

++==

--

7 3arctg

6 2

xC= +

2

7 2 1 7arctg

4 3 61dt t C

t= × = + =

+ò

22

7 1 27

4 34 9 4 99

dx dtx t

= × =+ + ×

ò ò

2 2

3 3x t dx dt= ® =

7 2 3 2 7 3arctg

34 3 6 21

2

xdx C

x= × = +

æ ö+ ç ÷è ø

ò

2 2

7 7 1

44 9 31

2

dx dxx

x

= =+ æ ö+ ç ÷

è ø

ò ò

23

x t==

2

74 9x++òò

12arcsin6

xC C+ = +

2 2

6 112 12 12arcsin

6 1 1dt dt t

t t= = = +

- -ò ò

2 2

12 126

36 36 366 6

dx dtx t

x t dx dt

= =- -

= ® =

ò ò

2

12

36 x--òò

t2 t2 � 1

�t2 � t2 1+ 1

12 ln

1

xx

x

-= + +

+

1 12 ln

1 2 1

x tdx t C

x t

æ ö-× = + + =ç ÷- +è ø

ò

2

1 1 1 1ln 1 ln 1 ln

2 2 2 11

t tdt t t

tt

-× = - - + =

+-ò

1 1 2 1 21 1 ( 2) 1 2

t A At B B

= ® = × ® == - ® = × - ® = -

1 ( 1) ( 1)A t B t= + + -

2 2

1 ( 1) ( 1)

1 11 1

A B A t B t

t tt t

+ + -= + =

- +- -

2 2 2

1 11

1 1 1

tdt dt t dt

t t tæ ö= + = +ç ÷- - -è øò ò ò

2

2 2

11

1 1

t

t t= +

- -

2

2 22 2

1 1

t ttdt dt

t t× =

- -ò ò

12 2

2x t dt dx dx xdt tdt

x= ® = ® = =

1

xdx

x -ò

x1

xx --òò

arctg3

xC= +

2 2

3 13 arctg

9 9 1dt dt t C

t t× = = + =

+ +ò ò

3 3x t dx dt= ® =

2

3

9dx

x+ò

2

39 x++òò


68

b)

c)

d)

e)

f)

16. Calcula òsin2 x dx i òcos2 x dx a partir de lesigualtats següents:

sin2 x + cos2 x = 1i cos 2x = cos2 x � sin2 x

� 3x + 5 3x � 1

� 3x � 1 � 14

4ln 3 1

3x C+ - +

5 3 41

3 1 3 1

xdx dx x

x x

- æ ö= - + = - +ç ÷- -è øò ò

1ln 7

56x C+ + +

2

1 1 1ln ln 1

7 8( )( 7)dx x x

x x x= - + - +

- +ò

5 33 1

xdx

x

----òò

0 1 ( 7) 1 7

1 1 8 1 8

7 1 56 1 56

x A A

x B A

x C C

= ® = × - ® = -= ® = × ® == - ® = × ® =

1 ( 1)( 7) ( 7) ( 1)A x x Bx x Cx x= - + + + + -

1

( 1)( 7) 4

A B

x x x X X= +

- + +

2

1

( )( 7)dx

x x x-- ++òò

x2 � 1 x2 + 4x

� x2 � 4x 1� 4x � 1

2

2

1 1 15ln ln 4

4 44

xdx x x x C

x x

-= - - + +

+ò

2

4 1

444 1 ( 4)

0 1 4 1 4

4 15 ( 4) 15 4

x A B

x xx xx A x Bx

x A A

x B B

- -= +

++- - = + +

= ® - = × ® = -= - ® = × - ® = -

2

4 1

4

xx dx

x x

- -= +

+ò

2

2 2

1 4 11

4 4

x xdx dx

x x x x

- - -æ ö= + =ç ÷+ +è øò ò

2

2

14

xdx

x x

--++òò

3

4( 2)C

x- +

+

1 3 1 1 2ln 2 ln

16 4 2 16 2

xx C

x x

-- + - × + = -

+ +

3 2

1 1ln 2

162 4 8

xdx x

x x x

-= - -

+ - -ò

1 16B® = -

1 31 4 4 1 16 6

4 2B B- = - - ® - = - - ®

( )

2 1 16 1 16

2 3 ( 4) 3 4

0 1 4 ( 4) 2

x A A

x C C

x A B C

= ® = × ® == - ® - = × - ® =

= ® - = × + × - + × -

21 ( 2) ( 2)( 2) ( 2)x A x B x x C x- = + + - + + -

3 2 2

1

2 22 4 8 ( 2)

x A B C

x xx x x x

-= + +

- ++ - - +

(simple)(doble)

22

xx

== -

3 22 4 8 0x x x+ - - =

3 2

1

2 4 8

xdx

x x x

-+ - -ò

3 2

12 4 8

xdx

x x x

--++ -- --òò

2 172ln 10 25

5x x C

x= - + - +

-

2

2

2 102 17 ( 5)

10 25

xdx x dx

x x

--= + - =

- +ò ò

2 2

4 20 117

10 25 ( 5)

xdx dx

x x x

-= = =

- + -ò ò

2 2

4 3 4 3 17 17

10 25 10 25

x xdx dx

x x x x

- - - += =

- + - +ò ò

2

4 310 25x

dxx x

---- ++òò

5x2 2x2 � 2

�5x2 + 5 55 2

2

5 1 5 1 11 ln

2 2 2 11

xdx x C

xx

æ ö-æ ö+ = + +ç ÷ç ÷ +-è ø è øò

2

1

1 111 ( 1) ( 1)

1 1 2 1 2

1 1 ( 2) 1 2

A B

x xxA x B x

x A A

x B B

= +- +-

= + + -= ® = × ® == - ® = × - ® = -

2 2

2 2 2

5 5 5 11

2 22 2 1 1

x xdx dx dx

x x xæ ö= = +ç ÷- - -è øò ò ò


69

17. Troba una primitiva de la funció següent:

Suggeriment: descompon la fracció en su-ma de dues fraccions del mateix denomina-dor i fixa�t en el canvi de variable utilitzat enl�exercici 13.

Com que ens demanen una primitiva, fem, perexemple, C=0.

18. Un mòbil es desplaça sobre l�eix OX de ma-nera que la seva acceleració ve donada perl�equació següent:

a = 2t + 1 m/s2

Si per a t = 0 es verifica v(0) = �2 m/s i x(0) =10 m, troba les expressions de les funcionsvelocitat v = v(t) i posició x = x(t) correspo-nents a aquest mòbil.

19. Un mòbil descriu un moviment vibratoriharmònic simple l�acceleració del qual s�ex-pressa per l�equació a = �36 cos 3t cm/s2.

Si a l�instant inicial es verifica v(0) = 0 cm/si x(0) = 4 cm, troba les expressions de les

funcions velocitat v = v(t) i posició x = x(t)d�aquest mòbil.

20. Calcula .

Indicació: multiplica primer numerador i de-nominador per l�expressió conjugada deldenominador.

21. Calcula .

Indicació: multiplica primer numerador i de-nominador per 1 + sin x.

22. Troba la primitiva de la funció

2

1( )

( 2)f x

x

--==

--

1tg

cosx C

x= + +

2 2

1 1 sin

1 sin cos cos

xdx dx

x x xæ ö= + =ç ÷- è øò ò

2

1 1 1 sin 1 sin

1 sin 1 sin 1 sin cos

x x

x x x x

+ -= × =

- - +

1 sindx

x--òò

3 31( 1) ( 1)

3x x Cé ù= + - - +

ë û

3 2 3 21 ( 1) ( 1)3 322 2

x xC

é ù+ -= - + =ê ú

ê úë û

1( 1 1)

21 1

dxx x dx

x x= + - - =

+ + -ò ò

1 1 1 1

21 1

x x x x

x x

+ - - + - -× =

+ - -

1 1

1 1 1 1x x x x= ×

+ + - + + -

1 1

dx

x x++ ++ --òò

4cos3 (cm)x t=( )0 4 4 4 ' ' 0x C C= ® = + ® =

12sin3 4 3sin3 4cos3 'x tdt tdt t C= - = - = +ò ò

( ) cm0 0 0 12sin3

sv C v t

æ ö= ® = ® = - ç ÷è ø

12sin3t C= - +

36cos3 12 3cos3v tdt tdt= - = - =ò ò

3 21 12 10 (m)

3 2x t t t= + - +

(0) 10 ' 10x C= ® =

3 22( 2) 2 '

3 2

t tx t t dx t C= + - = + - +ò

2 m2

sv t t= + -

( )0 2 2v C= - ® = -

2(2 1)v t dx t t C= + = + +ò

1arctg

2 2

xC+ +

2 22

1 1 2ln( 4) 2 ln( 4)

4 ( 2) 1x dx x

x= + + × = + +

+ò

2 2 2

2 1 2 1

4 4 4

x xdx dx dx

x x x

+= + =

+ + +ò ò ò

2

2 1( )

4x

f xx

++==

++

2 1 cos2 1 sin2sin

2 2 4

x xxdx dx x C

-= = - +ò ò

2 1 cos2 1 sin2cos

2 2 4

x xxdx dx x C

+= = + +ò ò

22 1 sin

sin2

xx

-=

22 22

2 2

1 cossin cos 1cos ;

sin cos cos2 2

xx xx

x x x+ü+ = =ý- + = þ


70

la gràfica de la qual té per asímptota horit-zontal la recta y = 2.


a) ò(tg5 x + tg7 x) dx

b)

c)

d)

e)

f)

g) òcos x

h)

24. Determina la primitiva de la funció

la gràfica de la qual conté el punt (4, 0).Anomena F(x) aquesta funció i calcula

F(x) i F(x).

Dibuixa de manera aproximada la gràfica dela funció F(x).

2

3

(4) 0 0 2ln1 0

( ) 2ln 3 ln( 3)

lim ( ) lim ( )x x

F C C

F x x x

F x F x-®¥ ®

= ® = + ® =

= - = -

= = -¥

2( ) 2ln 3

3F x dx x C

x= = - +

-ò

3limx --®®

3limx ++®®

2( )

3f x

x==

--

3 23(arcsin ) 2

(arcsin )3 3

2

xC x C= + = +

1 22 2

arcsin 1(arcsin )

1 1

xdx x dx

x x= × =

- -ò ò

2

arcsin1

xdx

x--òò

6 565(7 sin ) 5

(7 sin )6 65

xC x C

+= + = + +

1 55cos 7 sin cos (7 sin )x xdx x x dx+ = + =ò ò

5 7 sin xdx++

x4 x2 + 1

�x4 � x2 x2 � 1

� x2

� x2 + 11

3

arctg3

xx x C= - + +

42

2 2

11

1 1

xdx x dx

x xæ ö= - + =ç ÷+ +è øò ò

4

21x

dxx++òò

1ln 1 2tg

2x C= + +

2

2

121 cos

2 1 2tgcos (1 2tg )

dx xdxxx

×= =

++ò ò

2cos (1 2tgx)

dxdx

x ++òò

x

2 2

3 1 3 ln3 arctg3

ln3 ln31 3 1 (3 )

x x

x xdx

x

×= =

+ +ò ò

2

31 3

x

x dx++òò

1 1ln 2 ln 3

3 4x x C- + + + +

1 1ln 1

( 1)( 2)( 3) 2dx x

x x x= - -

- + +ò

1 1 12 1 12

2 1 ( 3) 1 3

3 1 4 1 4

x A A

x A B

x C C

= ® = × ® == - ® = × - ® = -= - ® = × ® =

( 1)( 2)C x x+ - +

1 ( 2)( 3) ( 1)( 3)A x x B x x= + + + - + +

1

( 1)( 2)( 3)dx

x x x=

- + +ò

2

1

( 1)( 5 6)dx

x x x=

- + +ò

2

1

( 1)( 5 6)dx

x x x-- ++ ++òò

2tg x C= +

2 2

1 12

cos 2 cos

dxdx

x x x x= × =ò ò

2cos

dx

x xòò

6tg

6

xC= +

5 7 5 2(tg tg ) tg (1 tg )x x dx x x dx+ = + =ò ò

1 1 2 3lim 2 2 2

2 2 2x

xC C

x x x®¥

-æ ö+ = ® = ® + =ç ÷- - -è ø

22

1 1( 2)

2( 2)dx x dx C

xx--

= - - = +--ò ò


71

Fig. 5.3

25. Troba l�expressió algèbrica de la funció F(x)que verifica les condicions següents:

a) F �(x) = 2x � 6

b) La gràfica de la funció F(x) presenta unmínim en el punt d�ordenada �1.

26. Aplicant el mètode d�integració per parts,calcula òcos2 x dx.

Cal que tinguis en compte que cos2 x = cosx cos x i que sin2 x = 1 � cos2 x. Compara elresultat amb el que has obtingut a l�exercici16.

sin cos sin2

2 4 2 4

x x x x xC C= + + = + +

2 sin coscos

2 2

x x xxdx C= + + =ò

22 cos sin cosxdx x x x= +ò

2 2(1 cos ) sin cos cosx dx x x x xdx= - = + -ò ò

2 2cos sincos sin sincosxdx x xdx x= + = +ò ò

2cos cos cos

( ) cos '( ) sin

'( ) cos ( ) sin

xdx x xdx

f x x f x x

g x x g x x

= ×

= ® = -= ® =

ò ò

2

Mínim '( ) 0 2 6 0 3

(3) 1 1 9 18 8

( ) 6 8

F x x x

F C C

F x x x

® = ® - = ® == - ® - = - + ® =

= - +

( ) 2(2 6) 6F x x dx x x C= - = - +ò


72

Comencem

� Considera un triangle rectangle de catets 3cm i 4 cm respectivament. Calcula�n l�àrea.Situa en una referència cartesiana el trianglerectangle de manera que el vèrtex de l�anglerecte coincideixi amb l�origen de coordena-des i els catets amb els semieixos positius,respectivament. Aplica el procediment quehem utilitzat abans: troba una primitiva de lafunció que té per gràfica la recta que conté lahipotenusa. Comprova que obtens el mateixresultat.

Àrea del triangle

Equació de la recta AB:

F(4) � F(0) = � 6 + 12 = 6

Obteniu el mateix resultat.

Exercicis

1. Representa gràficament la funció f(x) = � x2 ++ 8x en l�interval [0, 4]. Calcula les sumesinferior i superior per estimar l�àrea sota lacorba en aquest interval. Pots prendre n = 8.

f(x) = �x2 + 8x

Una estimació es la mitjana d�aquests valors:

2. Calcula, en l�interval [0, 4], l�àrea sota lagràfica de la funció f(x) = � x + 5. Fes-ne unagràfica i justifica per què pots calcularexactament aquesta àrea.

f(x) = �x + 5

3. Considera la funció:

de l�exemple 1. Fes una partició de l�interval[0, 3] en 12 subintervals. Calcula la suma deles àrees inferior i superior.

Comprova que l�estimació feta abans és co-rrecta.

La mitjana de les dues sumes és: A=7,635 u2.

(3) 8,32fù

+ =úû

3 7 9 5 11(2)

2 4 4 2 4f f f f f f

æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö+ + + + + + +ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø è ø è ø

1 1 1 3 5(1)

4 4 2 4 4sS f f f f fé æ ö æ ö æ ö æ ö= + + + + +ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ê è ø è ø è ø è øë

116,95

4f

ùæ ö+ =ç ÷úè øû

5 3 7 9 5(2)

4 2 4 4 2f f f f f f

æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö+ + + + + + +ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø è ø è ø

1 1 1 3(0) (1)

4 4 2 4iS f f f f fé æ ö æ ö æ ö= + + + + +ç ÷ ç ÷ ç ÷ê

è ø è ø è øë

2

( ) 12x

f x == ++

25·5 1·1 2412

2 2 2A u= - = =

285

2A u=

7 93(4)

2 2f f

ùæ ö+ + =ç ÷ úè ø û

1 1 3 5(1) (2) (3)

2 2 2 2sS f f f f f fé æ ö æ ö æ ö= + + + + + +ç ÷ ç ÷ ç ÷ê

è ø è ø è øë

7 77(3)

2 2f f

ùæ ö+ + =ç ÷úè øû

1 1 3 5(0) (1) (2)

2 2 2 2iS f f f f f fé æ ö æ ö æ ö= + + + + + +ç ÷ ç ÷ ç ÷ê

è ø è ø è øë

2

3( ) 3

42

F x xx

= - +

33 ( )

4y x f x= - + =

23·46cm

2=


73


4. Representa gràficament la funció següent:f(x) = �ex. Expressa la integral definida def(x) en l�interval [0, 1]. Encara que no po-

dem calcular la integral , coincideix

aquesta integral amb l�àrea entre la corba il�eix OX en el mateix interval? Raona la tevaresposta.

f(x) = �ex

i l�àrea no coincideix amb la in-tegral.

5. Utilitza les propietats lineals c) i d) de la in-tegral definida per expressar

com a suma d�integrals.

Totes les integrals són zero per tenir a = b =3.

6. L�expressió no és una integral, enca-

ra que ho sembli. Explica el perquè d�a-questa afirmació.

La funció no és contínua a [�1,1] i per

tant, no existeix la integral en aquest interval.

7. Raona la certesa o no de cadascuna de lessumes següents:

a)

La igualtat és falsa. Cada una de les inte-grals sumants és 0 i la suma diferent de 0.

b)

La igualtat és certa. El primer sumant és 0,

però els altres dos corresponen a intervalsconsecutius com el de la integral suma.

8. Troba la derivada de cadascuna de les fun-cions següents:

, ,

i

La derivada de cada funció és la funció a inte-grar. N�hi ha prou en canviar la t per x.


a)

b)

c)

La primitiva per parts dues vegades:

d)

e) 4

0tgxdx

p

òò

cos( ) 1 10

2 2 2

- -pæ ö- = - =ç ÷è ø

/ 2/ 2

/ 2/ 2

cos2 cossin2

2 2

xxdx

pp

-p-p

- - pé ù= = -ê úë ûò

2

2

sin2xdxp

p--òò

02

1

5e ( 2 2) 2

ex x x

-é ù- + = -ë û

22e e ( 2 2)x x x x+ = - +

2 2e 2 e e e 2 ex x x x xx x dx x xé ù= - - = - +ë ûò

2 2e e 2 ex x xx dx x x dx= - =ò ò

0 2

1exx dx

--òò

11

2 2

ln 2 ln42

dxx

x- -

é ù= - - =ë û-ò

1

2 2dx

x-- --òò

272 6

00

( 1) 2187( 1)

7 7

xx dx

é ù++ = =ê ú

ë ûò

2 6

0( 1)x dx++òò

2

1'( )

1J x

x=

+

3 2 2'( ) 5 ; '( ) 3 ; '( ) cos ;F x x x G x x H x x= - = =

3

2( )1x

dtJ x

t==

++òò2

2( ) cos

xH x tdt== òò

2

2( ) 3

xG x t dt== òò3

0( ) ( 5 )

xF x t t dt== --òò

2 3 4 42 2 2 2

2 2 3 2x dx x dx x dx x dx++ ++ ==òò òò òò òò

2 3 4 42 2 2 2

2 3 4 2x dx x dx x dx x dx++ ++ ==òò òò òò òò

1( )f x

x=

1

1

dxx--òò

23 32 3

3 3

3 32

3 3

3 2 35

12 0

5

xx dx x dx

x dx dx

æ ö+ - = +ç ÷

è ø

+ - =

ò ò

ò ò

23 3

33 2

5x

x dxææ öö

++ --çç ÷÷èè øø

òò

e 0 Rx x- < " Î

1

0exdx--òò


74

f)

g)

h)

Cal dividir el numerador pel denorminador:

10. Calcula i l�àrea sota la corba de

la funció f(x) = cos x dx en l�interval [0, p].Coincideixen els dos resultats? Raona lateva resposta.

No coincideix els dos resultats ja que en l�inter-

val [o, p] la funció f(x)=cos x s�anul·la

11. Expressa i calcula l�àrea entre la gràfica dela funció f(x) = (x � 1) (x2 � x � 6) i l�eix OX.La funció talla l�eix 0X en els punts x = �2,x = 1, x = 3

12. Calcula l�àrea entre la gràfica de la funciósegüent f(x) = x3 � 3x i l�eix OX.

La funció talla l�eix 0X en els punts:

i presenta simetria imparell i l�àrea es pot ex-pressar:

13. Calcula l�àrea de la regió compresa entreles gràfiques de les funcions f(x) = x2 ig(x) = � x2 + 8.

Punts d�intersecció:

232 6432

3 3u= - =

232 2

22

2(2 8) 8

3

xA x dx x

--

é ù= - = - =ê ú

ë ûò

8 2x+ ® = ±

2 2( ) ( )f x g x x x= ® = - +

29 9 92 u

4 2 2= - + =

04 20 3

33

32 ( 3 ) 2

4 2

x xA x x dx

--

é ù= - = - =ê ú

ë ûò

3, 0 i 3x x x= - = =

16 5918 u

3 3æ ö- - =ç ÷è ø

16 81 454 10 12 18 18

3 4 2æ ö æ ö- + - - + - - + -ç ÷ ç ÷è ø è ø

34 3 2

1

2 5 1 2 56 6

4 3 2 4 3 2

x x xx

é ù æ ö+ - - + = - - + -ê ú ç ÷è øë û

14 3 2

2

2 55 6) 6

4 3 2

x x xx dx x

-

é ù- + = - - + +ê ú

ë û

1 33 2 3 2

2 1( 2 5 6) ( 2A x x x dx x x

-= - - + + - -ò ò

.2

a xp

=

2/ 2[sin ] 1 1 2 ux p

p+ = + =

/ 2 / 200 / 2

cos cos [sin ]A xdx xdx xp p p

p= + =ò ò

[ ]0 0

cos sin sin sin0 0xdx xpp

= = p - =ò

0cos xdx

p

òò

ln56 6,8

2= + =

42

2

ln 1 ln15 ln38 2

2 2 2

x ù- æ öú+ = + - + =ç ÷ú è øû

3 24 4

2 22 2 21 1

x x xdx x dx

x x

éæ ö ê= + = +ç ÷- - êè ø ëò ò

34

22 1x

dxx --òò

11/ 22

1

1 (1 )2 2 0

2 1/ 2

x

-

é ù+= = - =ê ú

ê úë û

1 1 2 1/ 2

1 12(1 )

1

xdx x x dx

x

-

- -= + =

+ò ò

1

1 21

xdx

x-- ++òò

1ln5 0,8

2= =

44 2

222

1 1 1ln 1 ln15 ln3

2 2 21

xdx x

xé ù= - = - =ê ú- ë ûò

4

22 1x

dxx --òò

2lncos ( lncos0) ln 0,346

4 2

p= - - - = - = -

/ 4 / 4 / 4

00 0

sinln cos

cos

xtgxdx dx x

x

p p pé ù= = - =ë ûò ò


75

14. Representa gràficament les funcions f(x) =

x2 + 4x i g(x) = . Calcula l�àrea de la regió

compresa entre les dues gràfiques.


15. Representa gràficament la funció f(x) = ln xen l�interval [1, e]. Calcula l�àrea sotaaquesta corba en aquest interval.

16. La funció f(x) = x2 � x4 presenta simetria pa-rell en la seva gràfica. Pots comprovar-ho.Calcula l�àrea sota aquesta corba i l�eix OX.Pots fer-ho calculant només una integral?Fes-ho així i t�estalviaràs càlculs.

f(x) talla l�eix 0X en els punts: x = �1, x = 0 i x = 1. Per la simetria parell de la funció l�àreaes pot expressar per:

17. Calcula l�àrea ombrejada de la figura 6.21.Les funcions representades són:

i g(x) = � x2 + 2x

Intersecció de les gràfiques:

Cal calcular també l�àrea en l�interval

18. Calcula el volum que genera la paràbola y == x2 en girar a l�entorn de l�eix OX en l�inter-val [0, 3]. Fes-ne la representació gràfica.

19. Dibuixa la gràfica de la funció f(x) = sin x enl�interval [0, p]. Calcula el volum del cosque genera en girar a l�entorn de l�eix de lesabscisses.

23

2

sin2

2 2 2

xx u

pp pé ù= - =ê úë û

2

0 0

1 cos2sin

2

xV xdx dx

p p -= p = p =ò ò

353 4 3

00

243

5 5

xV x dx u

é ù= p = p = pê ú

ë ûò

226

25u=

2 /5 23 2 3 2

0 2 /5

5 3 5 3

12 2 12 2

x x x xdx x x

é ù é ù= - + + - + =ê ú ê ú

ë û ë û

2 22 /5 2

0 2 /5

5 12 4 5 12 4

5 4

x x x xA dx dx

- + - += + =ò ò

2 22( 2) 5 12 4

24 4

x x xx x

- - ++ - =

20, :

5é ùê úë û

22( 2) 2

2 i 24 5

xx x x x

-= - + ® = =

2( 2)( )

2x

f x--

==

24 u

15=

13 51 2 4

00

1 12 ( ) 2 2

3 5 3 5

x xA x x dx

é ù= - = - = - =ê ú

ë ûò

[ ]e e 2

11ln ln e e (0 1) 1 uA xdx x x x= = - = - - - =ò

1 e

y = ln x

2 3 x

022

5 / 2

3 125

4 48

xu

-

ù- =ú

û

30 2 2

5 / 2

34 2

2 3

x xA x x dx x

-

éæ ö= + - = + -êç ÷è ø ë

ò

3 50 i

2 2

xx x= ® = = -

2( ) ( ) 4f x g x x x= ® + =

y = x2 + 4x

y = x32

32x


76

y

x0

( )22

4

xy

-=

22y x x= - +

3

2y x=

2 4y x x= +

y = ln x

1 2 e 3 x

20. Considera la recta d�equació y = 2x en l�in-terval [0, 2]. Si gira a l�entorn de l�eix de lesabscisses, quin cos genera? I si consideresque ho fa en l�interval [1, 3], de quin cos estracta? Calcula el volum de cadascun d�a-quests cossos.

La funció y = 2x en l�interval [0,2] genera uncon i en l�interval [1,3] un tronc de con.

Volum del con:

Volum del tronc de con:

21. Expressa i calcula el volum del cos generatper una circumferència de centre (3, 0) iradi 5.

El cos generat és una esfera i el seu volum no-més depén del radi. Podem situar la circumfe-rència centrada a l�origen de coordenades:

Acabem

1. Calcula la derivada de F(x) = .

F�(x) = 0 ja que F(x) és una constant.

2. Calcula F �(1) si F(x) = .

F�(1) = 0. Al substituir x per 1, F és una cons-tant.


a)

b)

c)

d)

4. Calcula: . Per trobar la primitiva

és necessari que apliquis el mètode d�inte-gració per parts dues vegades.

5. Calcula l�àrea compresa entre la gràfica de

la funció f(x) = , l�eix de les abscisses i

les ordenades corresponents a x = 1 i x = 2.

6. Troba una primitiva de la funció

f(x) =

i calcula la integral d�aquesta funció en l�in-terval [3, 5].

Cal dividir el numerador pel denominador:

532 2

3

1224 8ln( 21 8ln 3

3 3

xx x x u

é ù+ - - - = -ê ú

ë û

8ln 2x- -

32 28

2 4 42 3

xx x dx x x

xæ ö+ - - = + - -ç ÷-è øò

3

2 2x

x x-- --

2 2 2

11

1ln ln2A dx x u

xé ù= = =ë ûò

1x

12 222

10e ( 2 2) 10e

ex x x -

-

-é ù- + = - =ë û

2e e ( 2 2)x x x xù- = - +ûò

2 2 2e e 2 e e 2 ex x x x xx dx x x x xé= - = - -ëò ò

1 2

2

xx e dx--òò

11

400

1 1

2 2 4 81

xdx arc tg x

x

p pé ù= = =ê ú+ ë ûò

1

40 1x

dxx++òò

3ln3= -

44

2 2

33 ln 1 3(ln3 ln1)

1dx x

xé ù= - - = - - =ë û-ò

4

2

31

dxx--òò

262 5

00

1 (2 3 )(2 3 ) 224

3 6

xx dx

é ù-- = - = -ê ú

ë ûò

2 5

0(2 3 )x dx--òò

ln2) 0- =

11 2

211

1 1ln( 1) (ln2

2 21

xdx x

x--

- é ù= - + = - -ê ú+ ë ûò

1

21 1x

dxx--

--++òò

3 1

1(cos 2 )

xt t dt

++++òò

3

1(cos 2 )t t dt--òò

3500

3u

p=

535 2

00

2 (25 ) 2 253

xV x dx x

é ù= p × - = p - =ê ú

ë ûò

2 2 2 225 25x y y x+ = ® = -

333 2 3

11

4 1044

3 3

xV x dx u

é ù p= p = p =ê ú

ë ûò

232 2 3

00

4 324

3 3

xV x dx u

é ù p= p = p =ê ú

ë ûò


77

7. Representa gràficament la funció f(x) == (x � 2) ex en l�interval [2, 3]. Calcula l�àreasota aquesta corba en aquest interval.

La primitiva per parts:

8. En una comarca un riu adopta la forma de

la funció f(x) = x3 � x2 + x (fig. 6.25) i és ta-

llat per un camí que té la direcció positivade l�eix OX. Prenent com a unitat el km, cal-cula el valor del camp comprès entre el riu iel camí si el preu és de 300 e l�hectàrea.

9. Calcula l�àrea limitada per la gràfica de lafunció següent y = x2 � 3x i l�eix OX.

Les interseccions amb l�eix 0X són: x = 0 i x = 3

10. Troba l�àrea de la zona limitada per les fun-cions f(x) = x3 i g(x) = 2x. Fes-ne una gràfica.

L�àrea està formada per dues regions iguals:

11. Troba l�àrea compresa entre les funcions

y = x2 i y = .


12. Calcula l�àrea determinada per la funció f(x) = x3 � x i l�eix de les abscisses.

Punts d�intersecció amb l�eix 0X:

La funció presenta simetria imparell.

13. Troba els punts de tall amb l�eix de les abs-cisses de la funció f(x) = x3 � 2x2 � 5x + 6 iexpressa i calcula l�àrea compresa entre lagràfica de la funció i aquest eix.

Punts de tall:

1 33 2 3 2

2 1( 2 5 6) ( 2A x x x dx x x

-= - - + + - -ò ò

( ) 0 2, 1 i 3f x x x x= ® = - = =

21

2u=

14 21 3

00

1 12 ( ) 2 2

4 2 4 2

x xA x x dx

é ù= - = - = - =ê ú

ë ûò

3 0 0, 1x x x x- = ® = = ±

21 2 1

3 3 3u= - =

13 3

1 2

0

0

2( )

3 3

x xA x x dx

é ù= - = - =ê ú

ê úë ûò

2 0 i 1x x x x= ® = =

x

242 3 2 2

00

2 ( 2 ) 2 24

xA x x dx x u

é ù= - = - =ê ú

ë ûò

y = x3

y = 2x

1

2

3

4

�1

�1

�2

1 2

3( ) ( ) 2 0, 2f x g x x x x x= ® = ® = = ±

33 23 2 2

00

3 9( 3 )

3 2 2

x xA x x dx u

é ù= - = - =ê ú

ë ûò

10 000 �=

21 100 100Km 100 ha Preu: 300 1

3 3 3× = × =

21Km

3=

24 3 22 3 2

00

1

4 16 3 2

x x xA x x x dx

é ùæ ö= - + = - + =ê úç ÷è ø ë û

ò

14

3 2 2 2

2e ( 3) e exA x ué ù= - = - =ë û

e e ( 3)x x x x- = -

( 2)e ( 2)e e ( 2)ex x x xx dx x dx x- = - - = - -ò ò


78

32

= +4

-x

y x x

14. Calcula utilitzant el canvi de va-

riable: x = 2 sin t.

La primitiva:

15. Demostra que l�àrea d�un cercle de radi r ésdonada per A = p r2. Per fer-ho considerauna circumferència centrada a l�origen deradi r de la qual només tindràs en compte lasemicircumferència positiva. Calcula l�àreasota aquesta corba i tindràs l�àrea del semi-cercle de radi r.

Circumferència:

Àrea del semicercle:

Canvi de variable:

Àrea del cercle:

16. Determina els valors de a, b i c en el polino-mi P(x) = ax2 + bx + c si verifica P(1) = 4,

P�(1) = 8 i P(2) + 15P(0) = 0. Representa lafunció i calcula l�àrea compresa entre lacorba i l�eix OX.

P(1) = a + b + c = 4 P�(x) = 2ax + bP�(1) = 2a + b = 8P(2) + 15P(0) = 4a + 2b + c + 15c = 0

Al resoldre el sistema s�obté:

a = 3, b = 2 i c = �1

és una paràbola que talla

l�eix 0X en els punts

17. Calcula l�àrea entre la corba i

les rectes x = 0, x = i l�eix OX.

18. Fes la gràfica de la funció f(x) = sin x en l�in-terval [0, 2p] i calcula l�àrea compresa entreaquesta gràfica i les ordenades correspo-

nents a x = i x = .

19. Representa les funcions y = sin x i y = cos x

en una mateixa gràfica en l�interval .

Calcula l�àrea compresa entre les dues fun-cions en aquest interval.

0,2péé ùù

êê úúëë ûû

[ ]3 3

4 24

44

2 2sin cos 2

2 2A xdx x u

p p

pp= = - = + =ò

34p

4p

2 2

14 0,122

2

arctgu u= ;

1/ 221/ 2

400

21

x arctgxA dx

x

é ù= = =ê ú+ ë û

ò

12

4( )1

xf x

x==

++

240

27u=

( )1/3 1/32 3 2

113 2 1A x x dx x x x

--é ù= + - = + - =ë ûò

1 2

1 i 1

3x x= = -

2( ) 3 2 1P x x x= + -

2 2 222

r r up

× × = p

2 2

4 4 2r r u

p p pæ ö= + =ç ÷è ø

/ 22/ 22 2

/ 2/ 2

1 cos sin2

2 2 4

t t tr r

pp

-p-p

+ é ù= = + =ê úë ûò

/ 2 / 22 2 2 2

/ 2 / 21 sin cos cosA r t tdt r t dt

p p

-p -p= - = =ò ò

sin cosx r t dx r tdt= ® =

2 2r

rA r x dx

-= -ò

2 2 2 2 2x y r y r x+ = ® = -

[ ]1 / 22

004 2 2x dx t t

p- = + = pò

1 cos2 4 cos24 2 2

2 2 2

t tdt t t t

+ æ ö= = + = +ç ÷è øò

2 24 1 sin cos 4 cost tdt tdt= - = =ò ò

24 4sin 2cost t dt® -ò2cosdx tdt=

24 2sinx dx x t- ® = ®ò

2 2

04 x++òò

34 3 2

1

2 5 2536

4 3 2 12

x x xx u

é ù+ - - + =ê ú

ë û

14 3 2

2

2 55 6) 6

4 3 2

x x xx dx x

-

é ù- + = - - + +ê ú

ë û


79

Les dues funcions es tallen en donant

dues regions d�àrees A1 i A2:

20. Representa les funcions y = ex i y = e�x enuna mateixa gràfica. Calcula l�àrea limitadaper les dues corbes i la recta x = 1.

21. Considera la funció f(x) = ln x. Calcula l�àreasota aquesta corba en l�interval [1, 2]. Potsfer el mateix en l�interval [0, 2]? Raona�n laresposta.

(La primitiva per parts ja s�ha fet anteriorment)No es pot calcular l�àrea en l�interval [0,2] per-que la funció f(x) = lnx no és contínua a x = 0.

22. Calcula l�àrea entre la gràfica de la funciósegüent f(x) = 2x ln x en l�interval [a, 1]. Potser a un nombre negatiu? I a = 0? Per què?

Cal fer la primitiva per parts:

Cal que a > 0 ja que no existeixen el logaritmede a < 0 i de a = 0.

23. Troba el valor de a si sabem que l�àrea en-tre la paràbola y = x2 + ax i la recta y + x = 0és 36 u2.

Interseccions de les dues gràfiques:

24. Calcula el volum de l�el·lipsoide generat per

l�el·lipse d�equació en girar a

l�entorn del seu eix major.

En l�equació de l�el·lipse

25. Representa gràficament la funció f(x) = sin xen l�interval [�p, p]. Raona quin és el valor

de la integral sense calcular-la.

El valor de la integral: ja que

f(x)= sin x és una funció que presenta simetriaimparell en aquest interval.

26. Demostra que no és necessari calcular laprimitiva de la integral següent:

Estudia la simetria que pot presentar la grà-fica de la funció que s�ha d�integrar.

La funció presenta simetria

imparell en l�interval [�1, 1], és a dir,

i per tant la integral és 0.

( ) 0 [ 1, 0) i ( ) 0 a (0, 1]f x a f x< - >

2

( ) e sin2xf x x x= -

21

1( e sin2 ) 0xx x dx

---- ==òò

sin 0xdxp

p-=ò

sin xdxp

p--òò

3(24 24) 48 u= p + = p

42 34

44

9 39 9

16 16

x xV dx x

--

æ ö é ù= p - = p - =ç ÷ ê ú

è ø ë ûò

22 9

4 i 916

xa y= = -

2 2

116 9x y

++ ==

3(1 ) 216 1 6 5a a a+ = ® + = ® =

3(1 )36

6

a+= =

(1 )3 2 3 3

0

(1 ) (1 ) (1 )

3 2 3 2

ax a x a a

- +é ù+ - + +

+ = + =ê úë û

( )(1 ) 2 2

01 36

aA x a x dx u

- +é ù= + + =ë ûò

( )21 20 i 0 i 1x x ax x x x a= - ® + + = = = - +

2x ax+ =

12 21 1 1(ln ) ln

2 2 2a

A x x a aé ù æ ö= - = - - -ç ÷ê úë û è ø

22 2 21

2 ln ln ln2

xx xdx x x x x x

x= - = -ò ò

12 ln

aA x xdx= ò

22ln2 1 0,386 u= - @

[ ]2 2

11ln ln 2ln2 2 ( 1)A xdx x x x= = - = - - - =ò

1 2e e 2 1,085 u-= + - @

( )1 1

00e e e ex x x xA dx- -é ù= - = + =ë ûò

22 21 1 2 2

2 2A u= - + + - = -

[ ] / 2

2 / 4

2sin 1

2A x

p

p= = -

[ ] / 4

1 0

2cos 1

2A x

p= - = - +

/ 2

2 / 4cosA xdx

p

p= ò

/ 4

1 0sinA xdx

p= ò

4x

p=


80

27. Calcula el volum generat per la funció f(x) == x3 + 1 en girar a l�entorn de l�eix OX en l�in-terval [0, 2].

28. Considera la corba d�equació 4x2 + y2 = 1.Defineix la funció y = f(x) associada aaquesta funció. Quin és el seu domini? Enaquest domini, calcula el volum del cos quegenera en girar a l�entorn de l�eix OX.

29. Calcula l�àrea del recinte limitat pels gràficsde les dues funcions següents (fig. 6.26):f(x) = x3 � 2x, g(x) = x2, quan considerem no-més valors de x £ 0.

En la regió negativa és l�interval:

30. Considera un recinte tancat limitat per laparàbola d�equació y = � x2 + 1 i la recta ho-ritzontal d�equació y = a (fig. 6.27), on a ésun número més petit que 1 (que pot ser po-

sitiu o negatiu). Determina el valor de a per

tal que l�àrea d�aquest recinte valgui .

Interseccions:

31. Fent el canvi de variable u = ex, calcula laintegral:

32. Tenim una funció y = f(x) de la qual l�únicacosa que sabem és que la seva gràfica ésaproximadament la que s�indica a la figura6.28. Fes un esquema senzill de la gràfica

de la funció . Raona molt de-

talladament la resposta.0

( ) ( )x

g x f t dt== òò

[ ]2

cos sin 1 1 0u u u= - + = - =p

p

2 2

e sine sinlu x x

ludx u udu= =ò ò

p p

p p

1 1 2 2ln i ln2 2

x u x u= ® = = ® =p p

p p

e ee

x x

x

duu du dx dx= ® = ® =

p

p

ln

ln2

e sinex xdxòò

2 1a= ® = -

3 34 8 2(1 ) (1 ) 2 2 1

3 3a a a- = ® - = ® - =

133

1

4(1 )

3 3

a

a

xx ax a

-

- -

é ù-+ - = -ê ú

ë û

( )1 2

1

8 21

3

a

aA x a dx

+

- += - + - =ò

2 1 1x a x a- + = ® = ± -

8 23

25

12u=

( )04 3

0 3 2 2

11

24 3

x xA x x x dx x

--

é ù= - - = - - =ê ú

ë ûò

[ ]1, 0-

32 i 1x= = -

3 21 2( ) ( ) 2 0, 2 f x g x x x x x x= ® - = ® = =

3V u= p

1 1 1 1

2 6 2 6æ ö= - + +ç ÷è ø

p

( )1/ 23

1/ 2 2

1/ 21/ 2

41 4

3

xV x dx x

--

é ù= - = - =ê ú

ë ûòp p

2 1 1( ) 1 4 en l'interval ,

2 2f x x

é ù= - -ê úë û

27 4 73

0

2 2 1988 2

7 4 7 7

x xx u

é ù æ ö= + + = + + =ç ÷ê ú

ë û è øp p p

( ) ( )2 223 6 3

0 01 2 1V x dx x x dx= + = + + =ò òp p


81

La gràfica de la figura de l�enunciat

és el de g�(x) i la que donem és la de g(x). Enels punts x = 0, x = 2 i x = 4 hi ha extrems rela-tius.

33. Calcula l�àrea del recinte limitat per lesdues paràboles d�equacions:

y = x2 � 2x i y = �x2 + 4x

Interseccions:

218 27 9 u= - =

( )33

3 2 2

00

22 6 3

3

xA x x dx x

é ù= - = - =ê ú

ë ûò

2 3x =1 0x =

2 2 22 4 2 6 0x x x x x x- = - + ® - =

'( ) ( )g x f x=

1 2 3 4 5

y

x


82

Comencem

� Com s�anomenen dos vectors que tenen elmateix mòdul, la mateixa direcció i sentitscontraris? I el vector que resulta de fer-ne lasuma?

Vectors oposats. Vector mil.

� Dos vectors que tenen diferent direcció, te-nen també diferent sentit? Justifica la tevaresposta.

Els sentits de dos vectors només es poden com-parar si aquests vectors tenen la mateixa direcció.

� El vector del pla és un representant delvector = (4, �5). Si les coordenades delpunt A són (�2, 4), quines són les coordena-des del punt B? Resol l�exercici analítica-ment i gràficament.

Anomenem B(x,y). Es compleix:

Exercicis

1. Indica en cada cas com identificaries a par-tir de les seves coordenades:

a) Un punt de l�eix X

(x,0,0)

b) Un punt de l�eix Y

(0,y,0)

c) Un punt de l�eix Z

(0,0,z)

d) Un punt del pla XY

(x,y,0)

e) Un punt del pla XZ

(x,0,z)

f) Un punt del pla YZ

(0,y,z)x, y i z Î IR

2. Dibuixa uns eixos de coordenades i repre-senta-hi els punts següents:

A(5, 3, 2) B(�4, 6, �3) C(0, 0, �6) D(2, �5, 0)

3. Digues les coordenades dels punts se-güents:

a) El punt P que es troba a l�eix X a distàn-cia 3 de l�origen de coordenades en elsentit negatiu de l�esmentat eix.

P(�3,0,0)

b) El punt Q que es troba en el pla YZ a dis-tància 5 de l�origen de coordenades i talque el vector forma un angle de 30°amb el sentit positiu de l�eix Y.

c) El punt R situat en el pla XZ a distància 4de l�origen i tal que la recta que passaper O i per R forma un angle de 60° ambel sentit positiu de l�eix Z.

4. Donat el vector = (2, 4, 3), dibuixa en unseixos de coordenades el seu representant

rv

( )(4 sin 60º, 0,4 cos 60º ) 2 3,0,2R =

5 3 5(0,5 cos 30º,5 sin 30º ) 0, ,

3 2Q

æ ö= ç ÷ç ÷

è ø

OQuuur

(4, 5) ( 2, 4)

4 2 2

5 4 1

(2, 1)

v AB x y

x x

y y

B

= ® - = + -= + ® =

- = - ® = --

uuurr

rv

uuurAB


83


que té per origen el punt A(3, 2, 4). Quinessón les coordenades de l�extrem d�aquestvector?

Si B(xyz), ® (2,4,3) = = (x � 3, y � 2, z � 4)

2 = x � 3 ® x = 5; 4 = y � 2 ® y = 6; 3 = z � 4 ® z = 7

L�extrem del vector és el punt B(5,6,7).

5. Determina els components cartesians i elmòdul de cadascun dels vectors següents:

a) amb A(�3, �1, 5) i B(2, �4, �1)

b) amb C(0, �4, 1) i D(�3, 5, �6)

c) amb E(1, �1, 3) i F(�2, 3, �1)

d) amb G(�6, 10, 3) i H(�5, 8, �1)

6. Representant el vector = (2, �6, �1) amborigen al punt M, s�obté el punt N(1, 0, �4).Determina les coordenades de M.

Anomenem M(x,y,z). Si , es verifica:

(2, �6, �1) = (1 �x, �y, �4 �z)

Per tant:

2 = 1 � x ® x = �1�6 = �y ® y = 6�1 = �4 � z ® z = �3

M(�1, 6, �3)

7. Quins són els components del vector nul? Iel seu mòdul?

8. Els vectors i són equipol·lents. SiP(0, �1, 3), Q(3, 4, 1) i S(�4, �2, 1), esbrinales coordenades del punt R.

Anomenem R(x,y,z)

® (3,5,�2) = (�4 � x, �2 � y, 1 � z)3 = �4 � x ® x = �75 = �2 � y ® y = �7

�2 = 1 � z ® z = 3R(�7,�7,3)

9. Els punts P, Q, R i S de l�exercici anteriordeterminen un paral·lelogram? Raona�n laresposta.

Sí, perquè si els vectors són equiva-lents, també ho són els vectors . Pertant, unint mitjançant segments els punts P, Q,R i S s�obté un quadrilàter que té els costatsiguals i paral·lels dos a dos.

10. Dos vectors oposats tenen el mateix mòdul,la mateixa direcció i sentits contraris. Quinarelació s�estableix entre els components dedos vectors oposats? Determina els com-ponents i el mòdul del vector oposat delvector = (�1, 3, �4).

Els components respectius de dos vectors opo-sats són nombres reals que també son oposats.

11. Donats els punts A(2, 4, 5) i B(4, 6, t), calcu-

la el valor de t sabent que | | = 3.

L�exercici té dues possibles solucions.

12. Considera un punt P i el vector = (2, �3,5). Si les coordenades de Q són (1, 2, �1) iel vector posició del punt P és equipol·lental vector , troba les coordenades delspunts P i R.

Les coordenades del punt P són (2, �3, 5).

QRuuur

QRuuur

2 2

1 2

3 10 33 3 10 24

0 6 i 4

AB t t t t

t t

= ® - + = ® - + == ® = =

uuur

( )2

2

(2,2, 5) 4 4 5

10 33

AB t AB t

t t

= - ® = + - =

= - +

uuur uuur

uuurAB

(1, 3,4); 26v v- = - - =r r

rv

i PR QSuuur uuur i PQ RS

uuur uuur

PQ RS=uuur uuur

RSuuur

PQuuur

(0,0,0); 0O O= =ur ur

v MN=uuuurr

rv

(1, 2, 4) 21GH GH= - - ® =uuur uuur

GHuuur

( 3,4, 4) 41EF EF= - - ® =uuur uuur

EFuuur

( 3,9, 7) 139CD CD= - - ® =uuur uuur

CDuuur

(5, 3, 6) 70AB AB= - - ® =uuur uuur

uuurAB

vr

v AB=uuurr


84

Anomenem (x,y,z) les coordenades del punt R.Es compleix la igualtat: (2, �3, 5) = (x � 1, y � 2,z + 1)

2 = x � 1 ® x = 3�3 = y � 2 ® y = �15 = z + 1 ® z = 4

Les coordenades del punt R són (3, �1, 4).

13. Donats els vectors = (2, �4, 5), = (�5, 7,�1) i = (�5, 2, 3), troba els componentsdels vectors:

a)

b)

c)

d)

14. Si és un vector de l�espai i k, h ÎÎ ÂÂ, de-mostra que es verifica:

a)

b)

15. Els vectors = (�2, 3, 1) i = (4, �6, �2), tenen la mateixa direcció? I el mateix sen-tit? Quina relació hi ha entre els seus mò-duls?

Tenen la mateixa direcció i sentit contrari, jaque es verifica que = �2 , o, el que és el ma-

teix, . Per tant:

16. Determina el vector unitari en la direcció isentit de cadascun dels vectors següents:

a)

b)

c)

d)

e)

f )

17. Si el vector és unitari, quins

valors pot tenir v3?

18. Si = + , es verifica | | ££ | | + | |.

a) Interpreta geomètricament aquesta des-igualtat.

Si i tenen diferent direcció, els seg-ments que representen els vectors , i determinen un triangle. Per tant, qualsevoldels costats d�aquest triangle ha de ser méspetit que la suma dels altres dos costats.En particular, | | = | | + | |.

b) Indica en quin cas particular es verificala igualtat.

Si i tenen la mateixa direcció i el mateixsentit, es compleix la igualtat | | = | | + | |.b

rar

srb

rar

br

ar

sr

sr

br

arb

rar

br

ar

sr

br

ar

sr

2 2 23 3 3

3

4 1 51 1

9 9 94 2

9 3

v v v v

v

= + + = ® + = ® =

= ® = ±

r

3

2 1, ,

3 3v v

ææ öö== --çç ÷÷èè øø

r

3 45 , ,0

5 5f u

-æ ö= ® = ç ÷è ø

r r

( 3,4,0)f == --r

1 1 13 , ,

3 3 3e u

æ - ö= ® = ç ÷

è ø

r r

(1,1, 1)e == --r

2 2 13 , ,

3 3 3d u

- -æ ö= ® = ç ÷è ø

r r

( 2,2, 1)d == -- --r

2 2 3 2 25 , ,

5 5 5c u

æ ö-= ® = ç ÷ç ÷

è ø

r r

(2 2,3, 2 2)c == --r

3 45 , ,0

5 5b u

-æ ö= ® = ç ÷è ø

r r

(3, 4,0)b == --r

1 3 214 , ,

14 14 14a u

-æ ö= ® = ç ÷

è ø

r r

(1, 3,2)a == --r

12

2q p p q= ® =r r r r1

2p q= -r r

rp

rq

qr

pr

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

, ,

, ,

, ,

, ,

kh a kh a a a

kh a kh a kh a

k ha k ha k ha

k ha ha ha k ha

× = × =

= =

= =

= =

r

r

( ) ( )k h a k h a×× ×× == ×× ××r r

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )

1 2 3

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3

, ,

, ,

, ,

, , , ,

, , , ,

k h a k h a a a

k h a k h a k h a

ka ha ka ha ka ha

ka ka ka ha ha ha

k a a a h a a a ka ha

+ × = + × =

= + + + =

= + + + =

= + =

= + = +

r

r r

( )k h a k a h a++ ×× == ×× ++ ××r r r

ar

( ) (2,1,1)a c b a c b- - = - + =r rr r r r

( )a c b-- --rr r

( )1 11 73 3 1, ,

2 2 2a b c

-æ ö- - + = -ç ÷è ø

rr r

1( 3 3 )

2a b c-- -- ++

rr r

3 2 2 ( 6,22, 3)a b c- + - = - -rr r

3 2 2a b c-- ++ --rr r

(2,1,1)a b c+ + =rr r

a b c++ --rr r

cr b

rar


85

19. Demostra que el conjunt de totes les fun-cions reals que s�anul·len en el punt x0,amb les operacions habituals de suma defuncions i producte d�un nombre real peruna funció, té estructura d�espai vectorial.

� Si f, g Î F, (f + g) (x0) = f(x0) + g(x0) = 0 + 0 == 0 ® f + g Î F.

� Si f Î F i l Î IR, (lf)(x0) = (lf)(x0) l · 0 = 0 ®® lf Î F.

� L�element neutre 0(x) = 0 pertany a F, ja que0(x) = 0.

� Si f Î F, existeix l�element oposat �f Î F, jaque (�f)(x0) = �f(x0) = �0 = 0.

20. Considera els vectors següents:

= (2, �1, 3) i = (�1, 3, �2)

Troba el vector ÎÎV3 que verifica 3 � 2 =

= .

21. Considera un vector no nul ÎÎV3. Provaque el conjunt de vectors de V3 de la formak · , k ÎÎ ÂÂ amb les operacions suma i pro-ducte per un nombre real té estructura d�es-pai vectorial. No oblidis que (V3, +, ·) ja ésun espai vectorial. Interpreta geomètrica-ment el conjunt de vectors estudiat.

a)

Si k, h Î IR,

b)

Si h Î IR,

El conjunt S està format per tots els vectorsque tenen la mateixa direcció.

22. Troba els nombres reals l1 i l2 que verifi-quen la condició l1(2, �3) + l2(�1, 2) = (0, 0).

23. Donats els vectors 1 = (�3, 1, 5), 2 = (2, �5,3) i 3 = (4, 0, �1), troba en cada cas el vec-tor que resulta de fer-ne les combinacionslineals següents:

a) � 1 + 3 2 � 3

b) 2 1 � 2 � 3 3

c) �2( 1 �2 2) + 4 3

d) 3 1 � ( 2 � 2 3)

24. Expressa el vector = (2, �4, �1) en combi-nació lineal dels vectors 1 = (1, �2, 3), 2 =

(4, 1, 2) i 3 = (1, 0, 0).

La solució del sistema és l1 = 1, l2 = �2 i l3 = 9.

25. Donats els vectors { 1, 2, �, n}, indicaraonadament si són certes o falses les afir-macions següents:

a) Cada vector i és combinació lineal detots ells.

Cert, perquè, per exemple:

b) El vector també és combinació lineald�aquests vectors.

Cert, perquè:

26. Donats dos vectors no nuls de V3, quinacondició geomètrica s�ha de verificar per-què un d�ells sigui combinació lineal de l�al-tre? Quina relació cal que hi hagi entre elsrespectius components d�aquests dos vec-tors? Passa el mateix amb dos vectors nonuls de V2?

Els dos vectors han de tenir la mateixa direc-ció, és a dir, s�han de situar sobre la mateixarecta o sobre rectes parel·leles.

Els components respectius d�aquests vectorshan de ser proporcionals:

1 1 10 0.n n nv v= l + + l ® l = = l =r r r

K K

0r

1 1 1 2 2 1 21,

0n n

n

v v v v= l + l + + l ® l = l = =

= l =

r r r rK K

rv

rv

rv

rv

1 2 32 9v v v v= - +r r r r

1 2 3

1 2

1 2

2 4

4 2

1 3 2

l l ll l

l l

= + +ìï- = - +íï- = +î

( ) ( ) ( ) ( )1 2 32, 4, 1 1, 2,3 4,1,2 1,0,0- - = l - + l + l

1 1 2 2 3 3v v v vl l l= + +r r r r

rv

rv

rv

rv

( ) ( )1 2 3 1 2 33 2 3 2 3,8,10v v v v v v- - = - + = -r r r r r r

rv

rv

rv

( )( )

1 2 3 1 2 32 2 4 2 4 4

30, 22, 2

v v v v v v- - + = - + + =

= - -

r r r r r r

rv

rv

rv

( )1 2 32 3 20,7,10v v v- - = -r r r

rv

rv

rv

( )1 2 33 5, 16,5v v v- + - = -r r r

rv

rv

rv

rv

rv

rv

( ) ( ) ( )1 2

11 2

1 2

2, 3 1,2 0,0

2 2 00

3 2 0

l l

l ll l

l l

- + - =

- = ü= =ý- + = þ

( ) ( )h kv kh v S= Îr r

( )+ = + Îr r r

kv hv k h v S

rv

rv

( )13 2 3 2 2

35 1

0, ,3 3

x w v x v w x v w

x

- = ® = + ® = + ®

-æ ö® = ç ÷è ø

r r r r r r r r r

r

rv

wr

xr

xr

wrr

v


86

Amb dos vectors no nuls de v2 passa exacta-ment el mateix.

27. Esbrina si són linealment dependents o li-nealment independents els conjunts devectors següents:

a) = (2, �1, 3) i =

linealment dependents

b) = (�1, 0, 2), = (2, 0, �4) i = (3, �1, 5)

linealment

dependents

c) = (1, �2, 4), = (0, 2, 1) i = (�1, �3, 0)

El sistema no té solució ® linealment inde-pendents.

d) = (1, �3), = (2, 1) i = (�4, �9)

l1 = 2; l2 = �3; ® linealment dependents.

e) = (1, 0, 0), = (0, 1, 0), = (0, 0, 1) i

= (2, �3, 5)

l1 = 2; l2 = �3; l3 = 5 ® linealment depen-

dents.

28. Existeix algun valor de k que faci que elsvectors = (3, 2, 2) i = (6, �4, k) siguin li-nealment dependents? Justifica la respos-ta.

No, perquè independentment del valor de k,

29. Troba p perquè els vectors següents: =(1, 2, �3), = (3, 0, �4) i = (2, 1, p) siguinlinealment dependents. Per a quins valorsde p aquests mateixos vectors són lineal-ment independents?

Si p = �7/2 ® vectors linealment dependents.Si p ¹ �7/2 ® vectors linealment independents.

30. Justifica que si A, B i C són tres punts deÂÂ3 i els vectors i són linealment de-pendents, aleshores aquests tres punts es-tan alineats. Esbrina si els punts A(3, �4, 1),B(2, �1, 4) i C(0, 5, 10) es troben sobre lamateixa recta.

Si els vectors i són linealment depen-dents, vol dir que tenen la mateixa direcció.Per tant, els punts A, B i C han d�estar alineats.

Es compleix que ® els punts A, B i

C se situen en la mateixa recta.

31. Se sap que els punts P, Q i R estan alineats.Si P(1, �2, 3) i Q(4, 1, 5), determina les co-ordenades x i y del punt R sabent que laseva coordenada z és 9.

Les coordenades del punt R són (10,7,9).

( )13 1 7

2y y= - ® =

( )13 4 10

2x x= - ® =

( ) ( )3,3,2 4, 1,4

12 4

2

PQ k QR k x y

k k

= × ® = - -

= × ® =

uuur uuur( )4, 1,4QR x y= - -

uuur( )3,3,2PQ =

uuur

12

AB BC=uuur uuur

( )2,6,6BC = -uuur

( )1,3,3AB = -uuur

BCuuur

ABuuur

CDuuuruuur

AB

1 1 3 73 4 2

2 2 2 2p = - × - × = - - = -

1 2

12

l l= =

1 2

1

1 2

2 3

1 2

3 4p

l ll

l l

= +ìï =íï = - -î

( ) ( ) ( )1 22,1, 1,2, 3 3,0, 4p = l - + l -

3 1 1 2 2u u ul l= +r r r

r3u

r2u

r1u

3 26 4

¹-

r2v

r1v

4 1 1 2 2 3 3e e e el l l= + +r r r r

r4e

r3e

r2e

r1e

1 2

1 2

4 2

9 3

l ll l

- = +ìí- = - +î

( ) ( ) ( )1 24, 9 1,3 2,1l l- - = - +

3 1 1 2 2d d dl l= +r r r

r3d

r2d

r1d

1

1 2

1 2

1

3 2 2

0 4

ll l

l l

- =ìï- = - +íï = +î

( ) ( ) ( )1 21, 3,0 1, 2,4 0,2,1l l- - = - +

3 1 1 2 2c c cl l= +r r r

r3c

r2c

r1c

2 1 3 2, 0b b ba b a b= + ® = - = ®r r r

r3b

r2b

r1b

1 2 3a ka k= ® = - ®r r

2 1, , 1

3 3ææ öö-- --çç ÷÷èè øø

r2a

r1a

( ) ( )1 2 3 1 2 3

31 2

1 2 3

, , , ,v k w v v v k w w w

vv vk

w w w

= × ® = ®

® = = =

r r


87

32. Comprova que els vectors 1 = (1, 2, �1), 2

= (2, 1, 0) i 3 = (�1, 3, 1) són linealment in-dependents. Expressa el vector = (5, 2,�3) en combinació lineal dels vectors 1, 2 i

3.

Per tant,

33. Donats els vectors = (6, 4, �2) i = (�3,�2, 1):

a) Troba el valor de ll que verifica = ll · .

b) Comprova després que | | = |ll| · | |.

Efectivament, es compleix que .

34. Indica raonadament si són certes o falsesles afirmacions següents:

a) En V2, qualsevol conjunt format per dosvectors linealment independents és base.

Certa

b) En V3, qualsevol conjunt format per dosvectors linealment independents és base.

Falsa

c) Si la dimensió d�un espai vectorial V(dim V) és n, n + 1 vectors d�aquest es-pai sempre són linealment dependents.

Certa

d) Tant en V2 com en V3, una recta que con-tingui l�origen és un subespai vectorialde dimensió 1.

Certa

e) En V3, un pla és un subespai vectorial dedimensió dos.

Falsa

35. Esbrina si els vectors 1 = (1, 0, �3), 2 = (2,�1, 1) i 3 = (0, �2, 3) són base de V3.Si la resposta és afirmativa, troba els com-ponents del vector = (3, 2, 4) en aquestabase.

Els vectors , i són base de v3, ja que sónlinealment independents.

Els components de en la base

són .

36. Considera un vector Î V2 els components

del qual en la base B = { 1, 2} són (3, �2).Es demanen els components d�aquest ma-teix vector en la base B� = { 1, 2}, sabentque:

1 = 4 1 � 2 i 2 = 1 � 3 2

Els components de en la base són (10,3).

37. Els components del vector en la base for-mada pels vectors 1 = (1, 2, �1), 2 = (2, 1,0) i 3 = (�1, 3, 1) són (2, �3, 4).

a) Expressa el vector en combinació linealdels vectors , i .

b) Troba els components de en la base ca-nònica.

38. Per a quins valors de t els vectors 1 = (3,�4, t), 2 = (1, 1, 2) i 3 = (0, 2, �1) formenuna base de V3?

Els tres vectors han de ser linealment indepen-dents.

ur

ur u

r

( ) ( ) ( )( )

2 1,2, 1 3 2,1,0 4 1,3,1

8,13,2 .

v = - - + - =

= -

r

1 2 32 3 4v v v v= - +r r r r

rv

rv

rv

{ }1 2,B u u=r r

vr

( ) ( )1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

3 2 3 4 2 3

12 3 2 6 10 3

v v v u u u u

u u u u u u

= - = - - - =

= - - + = +

r r r r r r r

r r r r r r

ur

urr

vur

urr

v

ur

ur

rv

rv

rv

31 32 27, ,

11 11 11æ ö- -ç ÷è ø

{ }1 2 3, ,B v v v=r r r

vr

1 2 3

31 32 27; ;

11 11 11

- -l = l = l =

1 2

2 3

1 2 3

3 2

2 2

4 3 3

= l + lìï = -l - líï = - l + l + lî

( ) ( ) ( ) ( )1 2 33,2,4 1,0, 3 2, 1,1 0, 2,3= l - + l - + l -

1 1 2 2 3 3v v v vl l l= + +r r r r

3vr

2vr

1vr

rv

rv

rv

rv

v wl=r r

2l =

14w =r

56 2 14v = =r

wrr

v

( ) ( )6,4, 2 3, 2,1 2l l- = - - ® = -

wrr

v

wrr

v

1 2 32w v v v= + -r r r r

1 2 32; 1; 1l = l = l = -

1 2 3

1 2 3

1 3

5 2

2 2 3

3

= l + l - lìï = l + l + líï- = -l + lî

( ) ( ) ( ) ( )1 2 35,2, 3 1,2, 1 2,1,0 1,3,1- = l - + l + l -

1 1 2 2w v vl l= + +r r r

rv

rv

rv

wr

rv

rv

rv


88

l1 = �2/7, l2 = 6/7

Els vectors , i són base si

39. Els punts A(1, �2, 1), B(0, 0, �1), C(�2, �1, 3)i D(1, �1, 4) són coplanaris?

Els punts A, B, C i D no són coplanaris, per-què, per exemple els vectors , i sónlinealment independents.

El sistema no té solució ® els tres vectors sónlinealment independents.

40. En la base B = {(1, 1, �2), (3, �1, 4), (5, �2,0)}, els components d�un vector són (2,�3, 0). Determina els components d�aquestmateix vector en la base canònica i en labase B� = {(1, 0, �2), (2, �3 �1), (�2, 1, 0)}.

La solució del sistema és

Per tant, els components del vector en la

base B són

41. Ens diuen que els components d�un vectoren la base B = {(1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, �1)}

són (2, 1, 2) i que els components d�aquest

mateix vector en la base B� = {(2, 1, 0), (0, 0,1), (�1, 1, 0)} són (1, 0, 2). És això possible?Per què?

En el primer, els components del vector en labase canònica són:

I en el segon cas, són:

Aixó no és possible, ja que si fos així, obtin-dríem dues ternes de components diferentsper al mateix vector en la base canònica, iaixò no té cap sentit.

42. Justifica cadascuna de les afirmacions se-güents:

a) Si el producte escalar de dos vectors éspositiu, l�angle que formen és agut i siés negatiu, l�angle és obtús.

b) Si dos vectors tenen la mateixa direcciói sentit, el producte escalar d�aquestsdos vectors és igual al producte delsseus mòduls.

c) Si dos vectors tenen la mateixa direcciói sentit contrari, el producte escalar d�a-quests dos vectors és igual al productedels seus mòduls amb signe negatiu.

43. Donat el punt V(3, �5, 7), calcula les projec-cions ortogonals del vector = sobreels eixos de coordenades.

Sobre l�eix 0X, 3; sobre l�eix 0Y, 5; sobre l�eix0Z, 7.

44. Considera el vector = (3, �4, 5). Calculaels angles que forma amb els sentits nega-tius dels tres eixos de coordenades.

� Angle que forma el vector (3,�4,5) amb elvector (�1,0,0)

3cos 115,10º (eix X)

5 2a a-

= ® =

rv

OVuuuurr

v

cos180ºa b a b a b= = -r r rr r r

g

cos0ºa b a b a b= =r r rr r r

g

Si 0 cos 02

a b < ® < ® < <rr

gp

a a p

Si 0 cos 0 02

a b > ® > ® < <rr

gp

a a

vr

( ) ( ) ( )2,1,0 2 1,1,0 0,3,0v = + - =r

( ) ( ) ( ) ( )2 1,0,0 0,2,0 2 0,0, 1 2,2, 2v = + + - = -r

vr

rv

67 10 25, , .

9 9 3v

æ ö= ç ÷è ø

rvr

3

253

l =

2

10,

9l =1

67,

9l =

1 2 3

2 3

1 2

7 2 2

5 3

16 2

l l ll l

l l

- = + -ìï = - +íï- = - -î

( ) ( ) ( )( )

1 2

3

7,5, 16 1,0, 2 2, 3, 1

2,1,0

l l

l

- - = - + - - +

+ -

( ) ( ) ( )2 1,1, 2 3 3, 1,4 7,5, 16v = - - - = - -r

rv

1 3

2

2 2 3

aa b

a b

- = -ìï = +íï- = +î

( ) ( ) ( )1,2, 2 3,1,2 + 0,1,3a b- - = -

( ) ( ) ( )1,2, 2 3,1,2 0,1,3AB AC AD= - - = - =uuur uuur uuur

ADuuur

ACuuur

ABuuur

19, .

2t t IR¹ Î3u

r2u

r1u

r

2 6 191 2

7 7 2t t

æ ö- = × - + × ® =ç ÷è ø

1 2

1 2

1 2

0 3

2 4

1 2t

l ll l

l l

= +ìï = - -íï- = +î

( ) ( ) ( )1 20,2, 1 3, 4, 1,1,2tl l- = - +3 1 1 2 2u u ul l= +

r r r


89

� Angle que forma el vector (3,�4,5) amb elvector (0,�1,0)

� Angle que forma el vector (3,�4,5) amb elvector (0,0,�1)

45. i són dos vectors de mòduls respectius2 i 4. Sabent que formen un angle de 60°,calcula k perquè el vector + k sigui per-pendicular a .

46. Se sap que els vectors = (2, �1) i = (w1,w2) ÎÎ V2 són ortogonals.

a) Quina condició verifiquen els compo-nents del vector ?

b) Troba el vector sabent que el seu mòdulés 5 i analitza les solucions obtingudes.

Hi ha dues solucions que són dos vectors opo-sats:

47. Resol les mateixes qüestions de l�exercicianterior, amb els vectors = (1, 2, �1) i =(w1, w2, w3) ÎÎ V3 i | | = 5. Comenta les dife-rències que has trobat en relació amb l�e-xercici anterior i fes-ne una interpretaciógeomètrica. Et solucionaria el problema siet diguessin que el vector es troba en elpla YZ? Per què?

Si i són perpendiculares:

En aquest cas, no és possible determinar elvector que ens demanen, ja que el sistema:

té infinites solucions. Hi ha, per tant, infinitsvectors de mòdul 5 que són perpendicularsal vector .Si es troba en el pla YZ, w1 = 0 i, per tant, síque es pot determinar el vector. De la mateixamanera que en l�exercici anterior, s�obtenendos vectors oposats:

Acabem

1. Determina les coordenades dels punts se-güents:

a) El punt P que es troba a l�eix Z a distàn-cia 5 de l�origen de coordenades en elsentit negatiu d�aquest eix.

P(0, 0, �5)

b) El punt Q que es troba en el pla XY a dis-tància 6 de l�origen de coordenades i talque el vector forma un angle de 210°amb el sentit positiu de l�eix X.

c) El punt R situat en el pla XZ a distància 4de l�origen de coordenades i tal que lesprojeccions ortogonals del vector sobre els eixos X i Z siguin iguals. Hi hamés d�un punt que verifiqui aquestescondicions?

Hi ha 4 punts que verifiquen la condició del�enunciat

2. Els components del vector són (�2, 4, 3).Es demana:

a) Les coordenades del seu extrem B si sesitua el seu origen en el punt A(4, �3 , 6).

Anomenem B(x,y,z)

rv

( )

( )4 4cos315º,0,4sin315º

2 2,0, 2 2

R Þ

Þ -

( )

( )3 4cos225º,0,4sin225º

2 2,0, 2 2

R Þ

Þ - -

( )

( )2 4cos135º,0,4sin135º

2 2,0,2 2

R Þ

Þ -

( ) ( )1 4cos45º,0,4sin45º 2 2,0,2 2R Þ

ORuuur

( ) ( )6cos210º,6sin210º,0 3 3, 3,0Q Þ - -

QCuuur

( ) ( )1 20, 5,2 5 i 0, 5, 2 5w w= = - -r r

wr v

rwr

1 2 3

2 2 21 2 3

0

25

w w w

w w w

+ - =ìïí

+ + =ïî

wr

1 2 30 2 0v w w w w= ® + - =r r

g

wr

vr

wr

wr w

rrv

( ) ( )1 25,2 5 i 5, 2 5w w= = - -r r

1 25; 2 5w w= ± = ±

2 1

2 21 2

2

25

w w

w w

=ìïí

+ =ïî

( )1 2 2 10 2 1 0 2v w w w w w= ® + - = ® =r r

g

wr

wrr

v

2 1cos60º 0 4 4 2 0

24 4 0 1

v k w v k

k k

+ × × = ® + × × × = ®

® + = ® = -

r r r

( ) 0 0v kw v v v kv v+ = ® × + × =r r r r r r r

g

rv

wrr

v

wrr

v

5 2cos 135º (eix Z)

25 2g g- -

= = ® =

4cos 55,55º (eix Y)

5 2b b= ® =


90

= ® (�2,4,3) = (x � 4, y + 3, z � 6)

�2 = x � 4 ® x = 2

4 = y + 3 ® y = 1

3 = z � 6 ® z = 9

B(2,1,9)

b) Les coordenades del seu origen C si tél�extrem en el punt D(0, 4, �2).

Anomenem C(x,y,z)

= ® (�2,4,3) = (�x, 4 � y, � 2 � z)

�2 = �x ® x = 2

4 = 4 � y ® y = 0

3 = �2 � z ® z = �5

C(2,0,�5)

c) Els components del vector unitari que téla mateixa direcció que el vector i sentitcontrari.

3. Els punts A(3, 1, �2), B(5, 6, 4) i C(0, 4, �2)són tres vèrtexs consecutius d�un paral·le-logram. Determina les coordenades delquart vèrtex D i indica raonadament de quintipus de paral·lelogram es tracta. Calcula�nl�àrea.

S�ha de verificar que = . AnomenemD(x,y,z)

(2,5,6) = (�x, 4 � y, �2 � z)2 = x ® x = �25 = 4 � y ® y = �16 = 2 � z ® z = �8

Les coordenades del quart vèrtex són D(�2,�1, �8)Es tracta d�un rombe, ja que el paral·lelogramen estudi té els quatre costats iguals i els seusangles són rectes.

Es verifica:

D�altra banda, ® els vectors i

no són perpendiculars.Les diagonals d�aquest rombe mesuren:

i la seva àrea és:

4. Donats els vectors i k , k ÎÎ R, estableix larelació que hi ha entre els seus mòduls.

5. Si = (1, �2, 1), = (3, 0, �4) i = (�2, 5, 1),determina:

a) � (2 � 3 )

b) ( · ) ·

c) · ( + )

d) L�angle format per i

6. Considera dos vectors no nuls 1 i 2 ÎÎ V3.Prova que el conjunt de vectors de la formal1 1 + l2 2 amb l1 i l2 Î R, amb les opera-cions suma i producte per un nombre real,és un subespai vectorial de V3. Fes-ne la in-terpretació geomètrica considerant lesdues possibilitats:

Anomenem S aquest conjunt de vectors.

a) Que 1 i 2 tinguin la mateixa direcció.

Si 1 i 2 tenen la mateixa direcció, qualse-vol vector de la forma l1 1 + l2 2 també tin-drà aquesta direcció. Els vectors conside-rats se situen sobre la mateixa recta o so-bre rectes paral·leles.

b) Que tinguin diferent direcció.

Si 1 i 2 tenen diferent direcció, aquestsdos vectors determinen un pla en què es

rv

rv

rv

rv

rv

rv

rv

rv

( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 2� Si ,IR v v v v Sm Î m l + l = ml + ml Îr r r r

( ) ( )( ) ( )

1 2 1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 1 2 2 2

� Si ' i ' , ' '

' '

IR v v v v

v v S

l l Î l + l + l + l =

= l + l + l + l Î

r r r r

r r

rv

rv

rv

rv

cos 94,68ºa b

a ba a×

= ® =rrrr

br

ar

( ) 12a b c+ = -rr r

g

cr

br

ar

( ) ( )2, 5, 1a b c× = - -rr r

g

cr

br

ar

( ) ( )2 3 2 3 11,13,12a b c a b c- - = - + = -r rr r r r

cr

br

ar

cr

br

ar

( )2 2 2 21 2 3, ,kv k v v v k v= = ×

r r

( ) ( )1 2 3 1 2 3, , , ,kv k v v v kv kv kv= =r

( ) 2 2 21 2 3 1 2 3, ,v v v v v v v v= ® = + +

r r

rv

rv

23 2 11 233

2A u

×= =

49 49 144 242 11 2BDd BD= = + + = =uuur

9 9 3 2ACd AC= = + =uuur

ADuuur

ABuuur

0AB AD ¹uuur uuur

g

65AB AD DC BC= = = =uuur uuur uuur uuur

DCuuur

ABuuur

( )1 1 2 4 3, ,

29 29 29 29 29u v v

- æ - - ö= × - = × = ç ÷

è ø

r r r

29v =r

CDuuur

vr

ABuuur

vr


91

troben tots els vectors de la forma l1 1 +l2 2.

7. Troba t perquè el vector = (3, �4, 1) siguicombinació lineal dels vectors 1 = (1, 4, �2)i 2 = (5, 2, t). Per a quins valors de taquests tres vectors formen una base deV3?

La solució del sistema és i

®

.

Perquè els tres vectors formin una base de v3

han de ser linealment independents, i això suc-ceeix si t ¹ �17/8.

8. Expressa el vector = (3, 4) en combinaciólineal dels vectors 1 = (1, 0), 2 = (0, 1) i 3 =(2, 0). Té solució única el sistema que resul-ta? Com són entre ells els vectors 1, 2 i

3? Formen una base de V2?

Aquest sistema té infinites solucions. Són de laforma:

l1 = 3 � 2l2; l2 = 4; l3 = l3 (l3 Î IR)

(per a cada valor de l3 s�obté una solució parti-cular del sistema).

Els vectors , i són linealment depen-

dents, per tant, no formen base de v2.

9. Esbrina si els vectors 1 = (3, 5, �1), 2 = (1,2, �1) i 3 = (0, 1, 1) són base de V3. En casafirmatiu, troba els components del vector

= (1, 3, �5) en aquesta base.

Els tres vectors són base, ja que són lineal-ment independents.

10. Els components de en la base B = { 1, 2,

3} són (2, �1, 3). Determina els compo-nents del vector en la base B� = { 1, 2, 3}sabent que:

1 = 1 � 3, 2 = � 1 + 2 + 3 i 3 = 2 1 + 3

Cal expressar els vectors de la base B en com-binació lineal dels vectors de la base B�.

11. Se sap que els vectors següents:

= (1, 2, �1) i = (b1, b2, b3)

són perpendiculars. Si el vector es trobasituat en el pla YZ i és unitari, troba�n elscomponents. Interpreta les solucions obtin-gudes.

El vector és del tipus = (0,b2,b3)

El sistema:

te dues solucions:

Hi ha dues solucions, són els vectors oposats:

12. Donats els vectors 1 = (3, �4, 5) i 2 = (1, 2,�3), calcula la projecció ortogonal de 1 so-bre 2.

Anomenem OP aquesta projecció:

13. Troba una expressió que et permeti calcularles coordenades del punt mitjà del segmentd�extrems els punts A(a1, a2, a3) i B(b1, b2, b3).

Anomenem M(x,y) aquest punt. Es verifica:

2 1

1

20 42 2

5 2 2

v vOP

v= = = =

r rgr

rv

rv

rv

rv

( ) ( )1 20, 5,2 5 i 0, 5, 2 5b b= = - -r r

2 35; 2 5b b= ± = ±

2 3

2 22 3

2 0

1

b b

b b

- =ìïí

+ =ïî

2 3

2 22 3

0 2 0

1 1

a b a b b b

b b b

- ® × = ® - =

= ® + =

r rr r

r

br

br

br

br

ar

( )1 2 3 1 3 1 2

1 3 1 2 3

1 12 3 2

3 3

2 1 7 53

3 3 3 3

7 5, 1,

3 3

a u u u v v v v

v v v v v

a

æ ö= - + = + + - - +ç ÷è ø

æ ö+ + = - - +ç ÷è øæ ö= - -ç ÷è ø

r r r r r r r r

r r r r r

r

1 1 3 3 1 3 2 1 2

1 1 2 1; ;

3 3 3 3u v v u v v u v v= + = - + = +r r r r r r r r r

1 1 2

2 1 2 3

3 1 32

v u u

v u u u

v u u

= -ìï = - + +íï = +î

r r r

r r r r

r r r

ur

urr

vur

ur

urr

vur

urr

v

rv

rv

rv

ur u

rur

ar

1 2

1 2 3

1 2 3

1 3

3 5 2

5

= l + lìï = l + l + líï- = -l - l + lî

( ) ( ) ( ) ( )1 2 31,3, 5 3,5, 1 1,2, 1 0,1,1- = l - + l - + l1 1 2 2 3 3v v v v= l + l + l

r r r r

rv

rv

rv

rv

3ur

2ur

1ur

1 3

2

3 2

4

l ll

= +ìí

=î

( ) ( ) ( ) ( )1 2 33,4 1,0 0,1 2,0= l + l + l

1 1 2 2 3 3v u u u= l + l + lr r r r

ur u

rur

ur

ur

urrv

178

t-

=

2

89

l =1

139

l -=

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

3 5 3 5

4 4 2 2 2

1 2 1 2t z

= l + l = l + lì ìï ï- = l + l Þ - = l + lí íï ï= - l + l = - l + lî î

( ) ( ) ( )1 23, 4,1 1,4, 2 5,2, tl l- = - +1 1 2 2v v vl l= +

r r r

rv

rv

rv

rv

rv


92

14. Les coordenades de dos vèrtexs consecu-tius d�un paral·lelogram són A(2, 3, �1) iB(0, �4, �3). Si el centre d�aquest paral·lelo-gram es localitza en el punt P(�1, 2, �2), de-termina les coordenades dels altres dosvèrtexs i la mesura dels seus angles.

Anomenem C(c1,c2,c3) i D(d1,d2,d3) aquestsdos vèrtexs que no coneixem, de manera queels vèrtexs A, B, C i D són consecutius. Ales-hores:

� P és el punt mitjà entre A i C ® C(�4,1,�3)� P és el punt mitjà entre B i D ® D(�2,8,�1)

c1 = 4; c2 = 1; c3 = �3

d1 = �2; d2 = 8; d3 = �1

Per tant,

15. Troba les coordenades de divisió del seg-ment d�extrems els punts P(3, 6, �3) i Q(9,�6, 0) en tres parts iguals.

Anomenem R i S els punts les coordenadesdels quals hem de determinar.

6 = 3r1 � 9 ® r1 = 5�12 = 3r2 � 18 ® r2 = 23 = 3r3 + 9 ® r3 = �2

6 = 27 � 3s1 ® s1 = 7�12 = �18 � 3s2 ® s2 = �23 = �3s3 ® s3 = �1.Els punts són R(5,2,�2) i S(7,�2,�1).

16. Demostra que el baricentre d�un triangle devèrtexs els punts A(a1, a2, a3), B(b1, b2, b3) iC(c1, c2, c3) està situat en el punt G de coor-denades:

Anomenem G(x,y,z) el baricentre. Si M és elpunt mitjà del costat AB, es compleix:

3 3 33 3 32

3

a b cc z z a b z

+ +- = - - ® =

2 2 22 2 22

3

a b cc y y a b y

+ +- = - - ® =

1 1 11 1 12

3

a b cc x x a b x

+ +- = - - ® =

3 32 2 ,2 2

a ba by z

++ ö- -ø

( ) 1 11 2 3, , 2 ,

2

a bc x c y c z x y

+æ- - - = -çè

3 31 1 2 2, , i 22 2 2

a ba b a bM GC MG

++ +æ ö =ç ÷è ø

uuur uuuur

3 3 31 1 1 2 2 2, ,3 3 3

a b ca b c a b cG

++ ++++ ++ ++ ++ææ ööçç ÷÷èè øø

( ) ( )1 2 33 6, 12,3 3 9 , 6PQ SQ s s s= ® - = - - - -uuur uuur

( ) ( )1 2 33 6, 12,3 3 3, 6, 3PQ RS r r r= ® - = - - +uuur uuur

�� 124º; 56ºA C B D= =; ;

( )4,5,0AD = -uuur

( )2, 7, 2AB = - - -uuur

8 35 27�cos57 41 57 41

� 124º

AB ADA

AB AD

A

- -= = = ®

× ××

®

uuur uuurg

uuur uuur

;

( ) 31 2 341,2, 2 , ,

2 2 2

dd d - +- +æ ö- - = ç ÷è ø

( ) 31 2 22 21,2, 2 , ,

2 2 2

cc c ++ +æ ö- - = ç ÷è ø

3 31 1 2 2, ,2 2 2

a ba b a bM

++ +æ ö= ç ÷è ø

3 33 3 3 32

2

a bz a b z z a b z

+- = - ® = + ® =

2 22 2 2 22

2

a by a b y y a b y

+- = - ® = + ® =

1 11 1 1 12

2

a bx a b x x a b x

+- = - ® = + ® =

( ) ( )1 2 3 1 2 3, , , ,x a y a z a b x b y b z- - - = - - -

AM MB=uuuur uuuv


93

Comencem

� Cada 100 g de producte d�un determinat ali-ment conté 0,06 g de vitamina A, 0,3 g de vi-tamina B i 0,2 g de calci. Anàlogament, un al-tre aliment conté 0,1 g de vitamina A, 0,2 gde vitamina B i 0,15 g de calci, també percada 100 g. Escriu la matriu corresponent.

� La representació matricial d�una xarxa detransport per carretera, segons el convenianterior, és donada per la matriu:

Dibuixa un esquema que hi estigui relacio-nat.


Exercicis

1. Escriu les matrius següents:

a) A = (aij) i = 1, 2, 3, 4; j = 1, 2, 3 per aij = .

b) B = (bij) d�ordre (2, 4) sabent que bij == (�1)i + (�1)j.

c) C = (cij) de tres files i tres columnes pera cij = ji.

2. Indica els vectors que determinen cadascu-na de les matrius de l�exercici anterior.

a) = (1, 2, 3, 4),

i

b) = = (�2, 0) i = = (0, 2)

c) = (1, 1, 1), = (2, 4, 8) i = (3, 9, 27)

3. Escriu una matriu que representi 2 vectorsde V2, i una altra que representi 4 vectorsde V3. Indica l�ordre de cadascuna.


La matriu A és d�ordre (2, 2) i la matriu B d�or-dre (3, 4).

4. Escriu una matriu A d�ordre (3, 4).


a) Troba�n la matriu oposada i la matriutransposada. Comprova que la matriuoposada de la transposada és igual a lamatriu transposada de l�oposada.

1 0 0

1 1 1

1 1 1

1 1 1

t A

æ öç ÷- -ç ÷=ç ÷- -ç ÷

- -è ø

1 1 1 1

0 1 1 1

0 1 1 1

A

- -æ öç ÷- = -ç ÷ç ÷-è ø

1 1 1 1

0 1 1 1

0 1 1 1

A

- -æ öç ÷= - -ç ÷ç ÷- -è ø

-æ öç ÷= -ç ÷ç ÷è ø

1 1 1 1

1 1 1 0

1 1 1 1

B-æ ö

= ç ÷è ø

1 1

1 1A

wr

vr

ur

dr

br

cr

ar

1 2 4w = , ,1,

3 3 3æ öç ÷è ø

r1 3v = ,1, ,2

2 2æ öç ÷è ø

r

ur

1 2 3

1 4 9

1 8 27

C

æ öç ÷= ç ÷ç ÷è ø

2 0 2 0

0 2 0 2B

- -æ ö= ç ÷

è ø

1 1/ 2 1/ 3

2 1 2 / 3

3 3 / 2 1

4 2 4 / 3

A

æ öç ÷ç ÷=ç ÷ç ÷è ø

ij

0 1 0 1

0 0 0 1

1 0 0 0

0 0 1 0

ææ ööçç ÷÷çç ÷÷çç ÷÷çç ÷÷èè øø

0,06 0,3 0,2

0,1 0,2 0,15

æ öç ÷è ø


95


� (tA) = t(�A) =

b) Comprova que t (tA) = A.

t(tA) = = A

5. Donades les matrius següents:

A = i B =

Troba els valors de x, y, z i t sabent que A == B.

(1) 2x = 4y(2) 3z = �t(3) x � y = z(4) 2y = 3x + 4

De (1) i (4) ® x = �2, y = �1, substituint a (3) ®z = �1, i substituint a (2) ® t = 3.

6. Escriu una matriu quadrada d�ordre 3 quesigui triangular superior. Indica els vectorsde V3 que defineixen la matriu. Calcula�n latraça.


= (2, 0, 0), = (3, �1, 0) i = (�1, 2, 1)

tra(A) = 2 � 1 + 1 = 2

7. Escriu una matriu quadrada d�ordre 4 quesigui alhora simètrica i antisimètrica. Hi hamoltes matrius que tinguin aquesta carac-terística?

La matriu quadrada nul·la d�ordre quatre. No-més aquesta.

8. Qualsevol matriu diagonal és simètrica? Iantisimètrica? Justifica�n les respostes.

Sí, ja que si A és una matriu diagonal ® tA = A® A és simètrica.

No, perquè si és una matriu diagonal, els ele-ments de la diagonal principal no són zero, iper tant no pot ser antisimètrica.

9. Per què han de ser zero els elements de ladiagonal principal d�una matriu antisimètri-ca?

Perquè sigui una matriu antisimètrica, els ele-ments de la diagonal principal han de verificarque aii = �aii, d�on s�obté que aii = 0.

10. Tenim la matriu:

a) Com és aquesta matriu?

És una matriu simètrica.

b) Troba la matriu transposada de la matriuoposada.

c) Com són entre elles la matriu que hastrobat en l�apartat anterior i la matriu ini-cial?

Són oposades.

d) Es pot enunciar, en aquest sentit, algunapropietat general?

En una matriu simètrica, la transposada del�oposada coincideix amb la matriu oposa-da.

11. Donades les matrius:

A = B =

C =

a) Comprova les propietats de la suma i delproducte de matrius.

Suma:

� associativa:

A + (B + C) = (A + B) + C =

0 0 1

2 2 6

3 2 6

F

HGG

I

KJJ

0 3 1

3 1 2

1 1 4

--ææ ööçç ÷÷çç ÷÷çç ÷÷--èè øø

1 1 1

2 1 3

0 2 2

--ææ ööçç ÷÷--çç ÷÷çç ÷÷èè øø

1 2 1

1 0 1

2 1 0

--ææ ööçç ÷÷çç ÷÷çç ÷÷èè øø

- - - -

- -- -

- - -

F

H

GGGG

I

K

JJJJ

6 2 1 4

2 4 1 2

1 1 0 1

4 2 1 3

6 2 1 4

2 4 1 2

1 1 0 1

4 2 1 3

ææ ööçç ÷÷-- --çç ÷÷çç ÷÷--çç ÷÷

--èè øø

wr

vr

ur

2 3 1

0 1 2

0 0 1

A

-æ öç ÷= -ç ÷ç ÷è ø

4

3 4

y t

z x

--ææ ööçç ÷÷++èè øø

2 3

2

x z

x y y

ææ ööçç ÷÷--èè øø

1 1 1 1

0 1 1 1

0 1 1 1

- -æ öç ÷- -ç ÷ç ÷- -è ø

1 0 0

1 1 1

1 1 1

1 1 1

-æ öç ÷-ç ÷ç ÷-ç ÷

-è ø


96

� existència d�element neutre:

A + O = O + A = = A, sent O

la matriu quadrada nul·la d�ordre tres.

� existència d�element simètric:

A + (�A) = (�A) + A = O,

sent �A =

� commutativa:

A + B = B + A =

Producte:

� associativa:

(AB)C = A(BC) =

� distributiva:

A(B + C) = AB + AC =

(A + B)C = AC + BC =

b) Prenent el valors k = 2 i h = �3, compro-va les propietats del producte d�un nom-bre per una matriu.

2(A + B) = 2A + 2B =

5A = 2A + 3A =

2(3A) =

1A = = A

c) Amb el mateix valor de k de l�apartat an-terior, comprova les propietats de latransposició de matrius.

t(A + B) = tA + tB =

t(2A) = 2(tA) =

t(AB) = (tB)(tA) =

t(A2)+ = (tA)2 =

12. Amb les matrius de l�exercici anterior, cal-cula:

a) 2A � 3B + 4C

b) AB + C

c) 3A � CB

d) C(A � 2B)

e) A3

f) (BC)2

- - -

-

F

HGG

I

KJJ

10 6 26

132 10 186

112 8 136

-F

HGG

I

KJJ

4 11 4

4 3 4

11 1 3

-- -

- -

F

HGG

I

KJJ

13 3 11

0 8 4

0 10 8

-- -- -

F

HGG

I

KJJ

9 7 10

2 8 1

3 5 4

-F

HGG

I

KJJ

5 0 10

4 4 3

1 2 5

-

-

F

HGG

I

KJJ

5 11 9

20 1 1

8 8 10

5 1 1

1 3 4

1 1 3

--

F

HGG

I

KJJ

-F

HGG

I

KJJ

5 1 0

3 3 3

9 1 1

-F

HGG

I

KJJ

2 2 4

4 0 2

2 2 0

0 1 2

3 1 3

0 4 2

-F

HGG

I

KJJ

1 2 1

1 0 1

2 1 0

-æ öç ÷ç ÷ç ÷è ø

6 12 6

6 0 6

12 6 0


5 10 5

5 0 5

10 5 0


0 6 0

2 2 8

4 6 4

æ öç ÷-ç ÷ç ÷è ø

9 3 6

7 0 17

11 5 16

æ öç ÷ç ÷ç ÷-è ø

2 7 16

2 1 6

3 2 5

æ öç ÷-ç ÷ç ÷-è ø

18 0 37

10 1 11

10 2 10

æ öç ÷-ç ÷ç ÷è ø

0 3 0

1 1 4

2 3 2

-F

HGG

I

KJJ

1 2 1

1 0 1

2 1 0

- -- -

- -

F

HGG

I

KJJ

-F

HGG

I

KJJ

1 2 1

1 0 1

2 1 1


97

13. Es diu que dues matrius A i B commutenquan AB = BA. Comprova, amb matriusquadrades d�ordre 3, que:

Respostes obertes. Per exemple:

a) Una matriu diagonal commuta amb qual-sevol matriu del seu mateix ordre.

A = B =

AB = BA =

b) Si I és la matriu unitat, IA = AI = A.

IA = AI =

14. Siguin A i B dues matrius quadrades d�or-dre 2, tals que:

A = (aij); a11 = a22 = 1, a12 = 2, a21 = 0

B = (bij); b11 = b22 = a12, b12 = b11 + 1, b21 = 0

a) Escriu les dues matrius.

A = B =

b) Les matrius A i B commuten?

Sí, ja que AB = BA =

c) Comprova que (A + B) (A � B) = A2 � B2.Per què creus que passa això? Justifi-ca�n la resposta.

(A + B)(A � B) = A2 � B2 =

Si commuten, vol dir que AB = BA, d�on te-nim que:

(A + B)(A � B) = AA + BA � AB � BB = A2 +BA � BA � B2 = A2 � B2

15. Demostra que si A i B no commuten, ales-hores (A + B)2 ¹ A2 + 2AB + B2.

Si no commuten, tenim que AB ¹ BA, i per tantBA + AB ¹ 2AB, d�on:

(A + B)2 = (A + B)(A + B) = AA + BA + AB + BB =A2 + BA + AB + B2

16. Siguin A, B i C matrius quadrades d�ordre 3i no nul·les.

a) És possible que AB doni la matriu nul·lad�ordre 3?

Sí, ja que el producte de dues matrius nonul·les pot donar la matriu nul·la.

b) Si es verifica que AB = AC, podem asse-gurar que B = C?

No, AB = AC ® AB � AC = 0 ® A(B � C) = 0i pot ser que A ¹ 0 i B � C ¹ 0 d�on B ¹ C.


A = i B =

calcula els productes AB i (tB) (tA).

AB = (tB)(tA) =

18. Calcula els determinants d�ordre 2 se-güents:

a) = �1

b) = 1

c) = 13/21

d) = 0

19. Considera les matrius: A = ,

B = i C = .

Calcula |A|, |B|, |C| i |A + B + C|.

|A| = 19, |B| = 26, |C| = 2, |A + B + C| = 17.

3 5 1

2 3 1

1 0 4

--ææ ööçç ÷÷--çç ÷÷çç ÷÷èè øø

2 1 4

1 1 7

1 1 3

--ææ ööçç ÷÷--çç ÷÷çç ÷÷--èè øø

1 3 1

2 0 3

4 1 2


e 1

1 e

x

x

--

2 13 53 47 5

--

cos sin

sin cos

a aa a

--

2 1 2

2 2 1

--

++

- -FHG

IKJ

33 47

11 3

--

FHG

IKJ

33 11

47 3

8 5

9 0

6 2

ææ ööçç ÷÷--çç ÷÷çç ÷÷èè øø

3 5 2

1 7 4

--ææ ööçç ÷÷--èè øø

- --

FHG

IKJ

3 8

0 3

2 7

0 2FHG

IKJ

2 3

0 2FHG

IKJ

1 2

0 1FHG

IKJ

1 1 1

1 1 1

1 1 1

--

-

F

HGG

I

KJJ

2 2 2

1 1 1

3 3 3

--

-

F

HGG

I

KJJ

2 0 0

0 1 0

0 0 3

F

HGG

I

KJJ

1 1 1

1 1 1

1 1 1

--

-

F

HGG

I

KJJ


98

20. Comprova les igualtats següents:

a) = (t � 1)(t � 5)

= t2 � 6t + 5 = (t � 1)(t � 5)

b) = (y � x)(z � x)(z � y)

=yz2+x2z+xy2�x2y�xz2�y2z

(y � x)(z � x)(z � y) = yz2 � xz2 + x2z � y2z ++ xy2 � x2y.

21. Resol les equacions:

a)

x3 + 3x2 = 0 ® x = 0, x = �3

b)

�6x � 4 = �10 ® x = 1

22. Considera els vectors de V3, = (�1, 2, 1),

= (2, 3, �2) i = (0, �1, 3); i calcula:

D (� + + , � + , + � )

23. Considerant la matriu A de l�exemple ante-rior, calcula |A| i |A*|. Quina relació s�esta-bleix entre els dos determinants?

|A| = �14, |A*| = 196, |A*| = |A|2

24. Sigui A = (aij) una matriu quadrada d�ordre

3, definida per aij = i � j + 1. Troba la matriuA* i comprova que t(A*) = (tA)*.

A* =

t(A*) = (tA)* =

25. Sigui B la matriu definida pels vectors == (1, 2) i = (�1, 1) de V2.

a) Troba B*.

B* =

b) Les matrius B i B* commuten? Justifi-ca�n la resposta.

No, perquè BB* = i

B*B =

c) Calcula |B|, |B*|, |BB*| i |B*B|.

|B| = |B*| = 3, |BB*| = |B*B| = 9.

26. Calcula el determinant

a) Per la regla de Sarrus.

10 + 2 + 12 � 15 = 9

b) Desenvolupant-lo pels elements de lasegona fila.

�(�2) + 3 · 4 + 5(�1) = 2 + 12 � 5 = 9

c) Desenvolupant-lo pels elements de latercera columna.

c) �2(�7) + 5(�1) = 14 � 5 = 9.

27. Desenvolupa, per la columna o la fila mésadequada, els determinants:

a)

3a columna ® �135

b)

3a fila ® �20

c)

2a fila ® �16

3 1 5

0 2 0

1 1 1

--

--

2 1 6

3 1 7

0 0 4

----

3 2 0

3 9 5

6 5 0

----

3 1 2

1 3 5

2 1 0

----

- -FHG

IKJ

3 3

3 0

0 3

3 3

--

FHG

IKJ

1 2

1 1

-æ öç ÷è ø

rv

ur

1 2 1

2 4 2

1 2 1

-- -

-

F

HGG

I

KJJ

1 2 1

2 4 2

1 2 1

-- -

-

F

HGG

I

KJJ

(3,0,0) 3 3 1( 3, 2,6) ; 0 2 6(1,6, 4) 0 6 4

2 63 3(8 36) 84

6 4

u v uu v wu v w

- + + = -üï- + = - - - =ýï+ - = - -þ

-= = - = --

r r rr r rr r r

wr

vr

ur

wr

vr

ur

wr

vr

ur

wr

vr

ur

1 4= 10

1

x x

x x

-- ++--

++

1 1 1

1 1 1 = 0

1 1 1

x

x

x

++++

++

2 2 2

1 1 1

x y z

x y z

2 2 2

1 1 1

x y z

x y z

2 10 5

1

t t

t t

- -+

2 10 5

1

t t

t t

-- --++


99

28. Comprova amb determinants d�ordre 3 i uti-litzant la regla de Sarrus les propietats a),b), c), g) i j).


a)

=

= 3

b) = 3; = �3

c) = 6; 2 · = 2 · 3 = 6

f ) = 1

g) = 3

= + = 2 + 1 = 3

29. Esbrina, emprant determinants, la depen-dència o independència lineal dels vectorssegüents:

a) = (3, 1, 2), = (�1, �1, 2), = (0, 2, �3)

b) = (�1, 1, 4), = (2, 1, 1), = (�2, 0, 2)

c) = (1, 0, �1), = (�2, 2, 1), = (1, 2, �2)

d) = (1, 1, �1), = (1, �1, 1), = (�1, 1, 1)

30. Utilitzant determinants, troba els valors dea, per tal que els vectors de V3 següents si-guin linealment dependents:

a) = (1, 1, a), = (2, �3, �2), = (5, a, �8)

b) = (1, �3, 2), = (2, 1, a), = (2, �13, 13)

31. Calcula el determinant següent, calculantnomés un determinant d�ordre 2:

Resposta oberta. Per exemple, deixant la 1afila igual i canviant les altres dues per f2' = f2 +

+ f1 i f3' = f3 � f1 i desenvolupant-lo pels ele-

ments de la segona columna nova queda:

� = �12

32. Troba el rang de les matrius següents:

a) A =

b) B =

c) C =

d) D =

rang A = 2, rang B = rang C = rang D = 3

2 1 1

1 2 1

3 1 0

--ææ ööçç ÷÷-- --çç ÷÷çç ÷÷èè øø

3 1 5

1 2 5

2 1 0

5 2 1

ææ ööçç ÷÷çç ÷÷çç ÷÷--çç ÷÷èè øø

3 1 2 5

1 2 1 2

1 1 0 1


3 1 2

1 2 1

1 1 0


3 65 6- -

2 1 4

1 1 2

3 1 2

---- --

1 2 23 1 13 7 35; 7 35 02 13

5

a aa

a

- - = + + = ®

® = -

wr

vr

ur

2

21 2

1 2 51 3 2 17 30;

2 85

2 17 30 0 , 62

a a aa

a a a a

- = + +- -

+ + = ® = - = -

wr

vr

ur

1 1 14 0

1 1 1linealment independents

1 1 1

-= - ¹ ®-

-

wr

vr

ur

1 2 10 2 2 0 linealment dependents1 1 2

-= ®

- -

wr

vr

ur

1 2 21 1 0 0 linealment dependents4 1 2

- -= ®

wr

vr

ur

3 1 010 0

1 1 2linealment independents

2 2 3

-= - ¹ ®-

-

wr

vr

ur

1 1 1

1 1 0

0 1 1-

1 1 1

1 2 0

0 3 1-

1 2 1

1 3 0

0 4 1-

1 2 1

1 3 0

0 4 1-

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 1 1

1 1 0

0 1 1

--

1 1 1

2 2 0

0 1 1

--

1 1 1

1 1 0

1 0 1

--

1 1 1

1 1 0

0 1 1

--

1 1 0

1 1 1

1 0 1

--

1 1 1

1 1 1

0 1 1

--


100

33. Considera la matriu A = . Tro-

ba els valors de a pels quals rang A ¹ 3.

|A| = 0 ® �a2 + 3a � 2 = 0 ® a = 1, a = 2

34. Sigui A una matriu quadrada regular. De-mostra:

a) Si AX = B, aleshores X = A�1B

AX = B ® A�1(AX) = A�1B ® (A�1A)X = A�1B® IX = A�1B ® X = A�1B

b) Si XA = C, aleshores X = CA�1

XA = C ® (XA)A�1 = CA�1 ® X(AA�1) = CA�1

® XI = CA�1 ® X = CA�1

c) Aplica-ho a les matrius:

A = ; B =

i C = .

X = A�1B =

X = CA�1 =

35. De les matrius:

A = ; B =

i C = .

a) Indica�n una que tingui inversa.

La matriu A.

b) Troba aquesta inversa. Fes-ne la com-provació.

A�1 = AA�1 = A�1A =

36. Amb les matrius de l�exercici anterior, trobauna matriu X tal que AX � B = C.

X = A�1(C + B) =

37. Troba la inversa de la matriu:

A =

i comprova-ho.

Calcula |A�1| i compara-ho amb |A|. Què ob-serves?

A�1 =

AA�1 = A�1A =

|A�1| = �1/11 = 1/|A|

38. Troba una matriu B, tal que BA = (1 2 0), es-sent A la matriu de l�exercici anterior.

B = (�10/11 6/11 9/11)

39. Comprova que la inversa de

A = és A�1 =

Demostra que |A�1| =

40. Amb les matrius A i B, comprova:

(BA)�1 = (A�1)(B�1) i (AB)�1 = (B�1)(A�1)

A = ; B =

0 0 1

0 1 0

1 0 0

ææ ööçç ÷÷çç ÷÷çç ÷÷èè øø

3 1 2

0 1 1

1 1 2


( ) ( )1

2 2

1

1 1

d b da bcA

c aad bc ad bc

ad bc A

- - -= × = =

-- -

= =-

1A

1 d b

c aad bc

--ææ ööçç ÷÷---- èè øø

a b

c d

ææ ööçç ÷÷èè øø

1 0 0

0 1 0

0 0 1

F

HGG

I

KJJ

6

11

8

11

1

118

11

7

11

5

117

11

2

11

3

11

- -

-

- -

F

H

GGGGGG

I

K

JJJJJJ

1 2 3

1 1 2

3 4 2


4 0 47

41

7

4

- -FHGG

IKJJ

1 0

0 1FHG

IKJ

1 01

2

1

4

-FHGG

IKJJ

3 2 1

1 1 1

--ææ ööçç ÷÷èè øø

1 2 3

0 3 0


1 0

2 4


5

13

3

1311

13

4

1316

13

7

13

-

-

-

F

H

GGGGGG

I

K

JJJJJJ

-

- -

F

HGGG

I

KJJJ

5

13

14

13

11

131

13

8

13

1

13

1 0

2 1

3 1

ææ ööçç ÷÷-- --çç ÷÷çç ÷÷èè øø

1 4 1

0 2 1

--ææ ööçç ÷÷--èè øø

2 3

1 5


1 1

1 1

2 1 1

a

a a

ææ ööçç ÷÷++ --çç ÷÷çç ÷÷--èè øø


101

Acabem


A = , B = i

C = troba, si existeix, la ma-

triu X:

a) 2A � B + X = C

b) X � 3B = A � C

c) XB = C

d) AX = B

2. Sigui A = troba una altra matriu

quadrada B d�ordre 2 tal que AB = 3A.

B =

3. Calcula el determinant d�una matriu quadra-da A d�ordre 3, definida per les condicions:

aij = 3 (i = j), aij = 1 (i ¹ j)

A = ® |A| = 20.

4. Resol l�equació següent:

= 0

�6x2 + 3x = 0 ® x = 0, x = 1/2.

5. Demostra que les arrels del polinomi se-güent són 4, 8 i �12.

p(x) =

p(x) = x3 � 112x + 384 = (x � 4)(x � 8)(x + 12).

6. Calcula:

7. Troba les matrius inverses de:

A = , B = i

C = .

2 4 3

0 1 1

2 2 1

ææ ööçç ÷÷--çç ÷÷çç ÷÷--èè øø

2 2 3

1 1 0

1 2 1

ææ ööçç ÷÷--çç ÷÷çç ÷÷--èè øø

1 2 3

0 1 2

0 0 1


5 9

4 17FHG

IKJ

1 4

1 2 1 0 2 3

3 1 1 1 0 1

1 1

ææ ööçç ÷÷--ææ öö çç ÷÷××çç ÷÷ çç ÷÷--èè øø çç ÷÷

--èè øø

8 8

8 4

4 4

x

x

x

2 1 2 1

2 1 3 1 4

3 1 4 6 1

x x x

x x x

x x x

++ ++++ ---- --

3 1 11 3 11 1 3

FHGG

IKJJ

3 0

0 3FHG

IKJ

3 4

1 2

ææ ööçç ÷÷-- --èè øø

-

-

-

F

H

GGGGGG

I

K

JJJJJJ

1 1 5

3

20 8

3

20 1

-

- -

-

F

H

GGGGGG

I

K

JJJJJJ

1

7

3

7

5

73

7

2

7

6

725

21

47

21

57

21

20 8 2

18 8 22

4 6 16

-F

HGG

I

KJJ

12

7 1 4

2 0 1

0 6 5

- -- -

-

F

HGG

I

KJJ

1 2 2

2 1 0

3 2 4

ææ ööçç ÷÷-- --çç ÷÷çç ÷÷--èè øø

4 1 0

2 1 3

1 2 1


1 1 3

1 0 2

2 1 1

--ææ ööçç ÷÷çç ÷÷çç ÷÷--èè øø

- -

-

-

F

H

GGGGGG

I

K

JJJJJJ

1

6

1

3

1

21

6

2

3

1

21

20

1

2

(AB)�1 = (B�1)(A�1) =

-

-

- -

F

H

GGGGGG

I

K

JJJJJJ

1

20

1

21

2

2

3

1

61

2

1

3

1

6

(BA)�1 = (A�1)(B�1) =


102

Fes-ne la comprovació.

A�1 = B�1 =

C�1 =

AA�1 = A�1A = BB�1 = B�1B = CC�1 = C�1C =

=

8. De les matrius:

A = , B = i

C =

indica�n una que tingui inversa i troba-la.

Troba una matriu X tal que XA + B = 2C.

La matriu A, A-1 = ;

X = (2C � B)A-1 =

9. Les matrius:

A = i B =

commuten? Justifica�n la resposta.

Sí, ja que AB = BA =

10. Decideix, segons els valors de k, el rang dela matriu:

k2 � 5k + 6 = 0 ® k = 2, k = 3.

Si k ¹ 2 i k ¹ 3, el rang és 3; i si k = 2 o k = 3,aleshores el rang és 2.

11. Troba el rang de les matrius següents:

A = B =

C = D =

rang A = 3, rang B = 2, rang C = 2 i rang D = 3.

12. Troba An si:

A =

Si n és parell An = I, si n és senar An = A.

1

1

a a

a a

--ææ ööçç ÷÷++ --èè øø

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 0

1 1 0

ææ ööçç ÷÷çç ÷÷çç ÷÷--çç ÷÷

--çç ÷÷çç ÷÷--èè øø

1 5 3 2 2

2 3 1 1 2

0 7 5 3 2


2 1

3 2

1 1

1 2

ææ ööçç ÷÷-- --çç ÷÷çç ÷÷--çç ÷÷èè øø

1 1 1 1

3 2 1 1

5 3 3 2


21

1 2 4

1 3 9

k kææ ööçç ÷÷çç ÷÷çç ÷÷èè øø

ac bd ad bc

bc ad bd ac

- +- - - +

FHG

IKJ

c d

d c


a b

b a


7 2 111 13 52 9 2

- --

- -

FHGG

IKJJ

1 0 00 1 02 4 1- -

FHGG

IKJJ

3 2 1

1 4 1

1 1 1

--ææ ööçç ÷÷-- --çç ÷÷çç ÷÷èè øø

1 2 3

1 1 3

0 3 0


1 0 0

0 1 0

2 4 1


1 0 0

0 1 0

0 0 1

F

HGG

I

KJJ

- -

-

- -

F

H

GGGGGG

I

K

JJJJJJ

1

12

5

6

7

121

6

2

3

1

61

6

1

3

1

6

1 4 3

1 5 3

1 6 4

- -- -

-

F

HGG

I

KJJ

1 2 7

0 1 2

0 0 1

--

F

HGG

I

KJJ


103

Comencem

� Les edats de tres nens sumades de dues endues donen 6, 8 i 12 anys, respectivament.Troba les edats de cada nen.

El sistema és:

Es pot resoldre per reducció.

La solució és: 1, 5 i 7 anys respectivament.

� Resol el sistema següent:

Per substitució s�obté: x = 1, y = 2, z = 3.

Exercicis

1. Esbrina si (0, 1, 2) és la solució d�algun delssistemes següents:

Substituir x = 0, y = 1 i z = 2 en cada una deles equacions de cada sistema. Si es verifi-quen les tres alhora, és solució:

a)

No

b)

Sí

c)

Sí

d)

No

2. Aplica les propietats de l�equivalència desistemes fins a arribar a un d�esglaonat, pertrobar la solució dels sistemes següents:

a)

(�4/5, �1/5, 1)

b)

(1, 1, 0)

3. Aplica el mètode de Gauss per resoldre, siés possible, els sistemes següents. Explicaen cada cas de quin tipus de sistema estracta.

a)

Posem la segona equació en primer lloc idividim la tercera per 2 per aplicar Gauss:

el sistema és incompatible.

b)

Posar la segona equació en primer lloc. Espot esquematitzar el procés representantles files de les successives matrius: F1, F2,F3 ® F1, F'2 = F2 � 3F1, F'3 = F3 � � 2F1 ® F1, F'2, F3'' = F'3 � 2F'2 ® Compati-ble determinat: (5, 7, 6)

3 3 0

2 2 3

2 2 3 6

x y z

x y z

x y z

-- ++ ==ììïï -- ++ ==ííïï ++ -- ==îî

1 2 2 3 1 2 2 3

3 3 1 0 0 3 5 9

1 1 3 2 0 3 5 5

1 2 2 3

0 3 5 9

0 0 0 4

- -æ ö æ öç ÷ ç ÷- ® - - ®ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷- - - -è ø è ø

-æ öç ÷® - -ç ÷ç ÷è ø

3 3 0

2 2 3

2 2 6 4

x y z

x y z

x y z

-- ++ ==ììïï -- ++ ==ííïï ++ -- == --îî

2

1

9 9

x y z

x z

z

- + + =ìï + =íï =î

2

3 0

2 3 5 2

x y z

x y z

x y z

-- ++ ++ ==ììïï -- ++ ==ííïï-- ++ -- == --îî

0

5 1

3 3

x y z

y

z

+ + =ìï- =íï =î

0

2 3 2 1

2 3

x y z

x y z

x y z

++ ++ ==ììïï -- ++ ==ííïï ++ -- == --îî

3 2

3 1

0

x z

x y

y z

++ ==ììïï ++ ==ííïï ++ ==îî

2 4 2 0

2 0

4 3

x y z

y z

x y z

-- ++ ==ììïï-- ++ ==ííïï-- ++ ++ ==îî

2 0

3 2 1

5 1

x y z

y z

x y z

-- ++ ==ììïï -- == --ííïï ++ -- == --îî

2 0

3 1

2 2

x y

x y

x y z

-- ==ììïï ++ ==ííïï -- ++ ==îî

6

4

5

x y z

x z

y z

++ ++ ==ììïï ++ ==ííïï ++ ==îî

6

8

12

x y

x z

y z

+ =ìï + =íï + =î


105


c)

Posar la segona equació en primer lloc.

F1, F2, F3 ® F1, F'2 = F2 � 3F1, F'3 = F3 � 2F1

® F1, F'2, F3'' = F'3 � 2F'2 ® Compatible de-terminat: (�3, �3, 0)

d)

F1, F2, F3 ® F1, F'2 = F2 + F1, F'3 = F3 � F1

® F1, F'2, F3'' = F'3 � F'2 ® Compatible de-terminat: (1/20, 27/2, 3/5).

4. Si en un sistema de tres equacions i tres in-cògnites substitueixes una equació per laque resulta de sumar les tres, obtens unsistema equivalent? Raona la teva respos-ta.

Sí. La suma de les tres equacions és una com-binació lineal d�elles i el sistema que en resultaés equivalent al donat.

5. Escriu dues equacions lineals amb tres in-cògnites. Afegeix una tercera equació demanera que el sistema format per aquesta iles altres dues sigui compatible indetermi-nat.

La tercera equació cal que sigui una combina-ció lineal de les dues donades. Per exemple:

6. Resol els sistemes següents en cas que si-guin compatibles:

a)

Posar la segona equació en primer lloc: F1,F2, F3 ® F1, F'2 = F2 � 3F1, F'3 = F3 � F1 ®Compatible indeterminat ja que F'2 = F'3.Les solucions expressades en funció de z,són: x = (7z � 17)/4 , y = (3z � 5)/4, z.

b)

Posar la tercera equació en primer lloc: F1,

F2, F3 ® F1, F'2 = F2 � 2F1, F'3 = F3 � 3F1 ®F1, F'2, F3'' = F'3 � F'2 ® Compatible deter-

minat: (7/5, 1/5, 1)

c)

Per reducció. Compatible determinat:x = 37 i y = �26

d)

Per reducció. Compatible determinat:x = 51/74 i y = �64/37.

7. Aplica el teorema de Rouché als sistemessegüents i troba la solució dels que siguincompatibles.

a)

M' =

çMç= 4, rang M = rang M' = 3, per tant el sis-tema és compatible determinat. Es pot re-soldre per Gauss: (5, 2, 4).

b)

|M| = 11, rang M = rang M' = 3, per tant elsistema és compatible determinat. Es potresoldre per Gauss: (52/11, 59/11, 10/11)

c)

|M| = �6, rang M = rang M' = 3, per tant elsistema és compatible determinat. Es potresoldre per Gauss: (5, 4, �1)

d)

|M| = �12, rang M = rang M' = 3, per tant elsistema és compatible determinat. Es potresoldre per Gauss: (�1/12, �1/4, 4/3).

3 0

1

3 2

x y

x y z

x y z

-- ==ììïï ++ ++ ==ííïï-- ++ -- == --îî

2 15

5 5 16

4 20

x y z

x y z

x y z

++ -- ==ììïï -- ++ ==ííïï ++ ++ ==îî

11

2 5

3 2 24

x y z

x y z

x y z

++ ++ ==ììïï -- ++ ==ííïï ++ -- ==îî

1 1 1 7

1 1 1 3

1 1 1 1

-æ öç ÷-ç ÷ç ÷-è ø

7

3

1

x y z

x y z

x y z

-- ++ ==ììïï ++ -- ==ííïï-- ++ ++ ==îî

12 10

14 5 1

x y

x y

-- ==ììíí ++ ==îî

2 15

3 4 7

x y

x y

-- ==ììíí-- ++ ==îî

2 4

3 4 4

3 2 4

x y z

x y z

x y z

++ ++ ==ììïï ++ -- ==ííïï ++ ++ ==îî

3 5 3 1

3 2 2

3

x y z

x y z

x y z

-- ++ ==ììïï -- ++ ==ííïï ++ -- == --îî

2 1

2 3

2 4

x y z

x y z

x y z

+ + =ìï - - =íï - + =î

2

3 2 0

5 1

x y z

x y z

x y z

++ ++ ==ììïï -- ++ ==ííïï ++ -- ==îî

3 3 0

2 2 3

2 2 3 12

x y z

x y z

x y z

-- ++ ==ììïï -- ++ ==ííïï ++ -- == --îî


106

8. Comprova que aquests sistemes són in-compatibles:

a)

|M| = 0. Hi ha un determinant de segon or-dre diferent de 0, per tant, rang M = 2 i rangM' = 3 ja que el determinant que s�obté enorlar amb la columna de termes indepen-dents és diferent de 0. El sistema és incom-patible.

b)

rang M = 2 i rang M' = 3. Igual que l�apartatanterior.

9. Contesta veritat o fals a cadascuna de lesafirmacions següents:

a) Un sistema de tres equacions i tres in-cògnites és sempre compatible determi-nat.

És fals. Depèn dels rangs de les matrius M'M'.

b) Un sistema compatible indeterminat ténomés dues solucions.

És fals. Si és indeterminat té infinites solu-cions.

c) La matriu del sistema de dues equacionsi tres incògnites és de rang 3.

És fals. Com a màxim és de rang 2, ja quenomés es pot considerar un determinant desegon ordre.

d) Un sistema és incompatible quan té mésequacions que incògnites.

És veritat. Coincideixen els rangs de lesmatrius i no hi ha cap determinant d�ordresuperior a 3.

10. Escriu els sistemes següents en forma ma-tricial i troba�n la solució, si són compati-bles, utilitzant la matriu inversa:

a)

|M| = 45, per tant existeix la matriu inversa ipodem trobar la solució:

Solució: (2, �1, 0)

b)

|M| = 13, per tant existeix la matriu inversa ipodem trobar la solució:

La solució: (1, 2, 3).

11. Escriu un sistema de dues equacions ambtres incògnites. Posa�l en forma matricial.Té inversa, la matriu del sistema? És unsistema compatible i determinat? Raona lesteves respostes.

Per exemple:

En notació matricial:

La matriu M és (2, 3), no és quadrada i no téinversa. No es pot resoldre el sistema peraquest mètode.

12. Escriu en forma matricial el sistema:

El pots resoldre utilitzant la matriu inversa?Raona la teva resposta.

i |M| = 0, per tant, M no té inversa i no es potresoldre el sistema per aquest mètode.

2 1 2 0

1 2 1 1

1 1 1 1

x

y

z

-æ öæ ö æ öç ÷ç ÷ ç ÷- - =ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ç ÷ ç ÷è øè ø è ø

2 2 0

2 1

1

x y z

x y z

x y z

-- ++ ==ììïï-- ++ -- ==ííïï ++ ++ ==îî

3 2 1 1

1 1 1 3

x

y

z

æ öæ ö æ öç ÷ =ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è øç ÷

è ø

3 2 1

3

x y z

x y z

+ + =ìí

+ + =î

5 4 3 6 11

7 3 1 7 213

11 1 4 5 3

x

y

z

-æ ö æ öæ ö æ öç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷= - =ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷- -è ø è øè ø è ø

1 1 1 6

3 1 2 7

2 3 5 5

x

y

z

-æ öæ ö æ öç ÷ç ÷ ç ÷- =ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ç ÷ ç ÷è øè ø è ø

6

3 2 7

2 3 5

x y z

x y z

x y z

++ ++ ==ììïï -- ++ ==ííïï ++ -- ==îî

17 4 5 3 21

1 13 5 1 145

10 5 5 7 0

x

y

z

-æ ö æ öæ ö æ öç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷= - - = -ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷-è ø è øè ø è ø

2 1 11 3 23 1 5

317

-

-

FHGG

IKJJFHGG

IKJJ = -

FHGG

IKJJ

xyz

2 3

3 2 1

3 5 7

x y z

x y z

x y z

++ -- ==ììïï ++ ++ == --ííïï -- ++ ==îî

0

2 2 1

3 3 2

x y z

x y z

x z

++ -- ==ììïï -- -- ==ííïï -- ==îî

2 2

3 2 4 1

3 5 4

x y z

x y z

x y z

-- ++ ==ììïï ++ -- ==ííïï ++ -- ==îî


107

13. Resol el sistema següent en forma matricial:

i |M| = 7,

La solució és: x = 11/7 i y = �1/7.

14. Comprova que els sistemes següents sónde Cramer i troba�n la solució utilitzantaquest mètode:

Per comprovar si els sistemes següents són deCramer, calculem el determinant D de la matriudel sistema. Si és diferent de 0, es pot aplicaraquest mètode. Calculem els determinants co-rresponents a cada incògnita, tot i que per tro-bar la tercera incògnita, també podem substiturles altres dues en una de les equacions.

a)

D = 4, Dx = 12, Dy = 4 i Dz = 4; x = Dx/D = 3, y= Dy/D = 1 i z = Dz/D = 1.

b)

D = 8, Dx = 40, Dy = 24 i Dz = 16. La solucióés: (5, 3, 2)

c)

D = �5, Dx = 5, Dy = 0 i Dz = �5. La solucióés: (�1, 0, 1)

d)

D = 2, Dx = 5, Dy = 3 i Dz = 0. La solució és:(5/2, 3/2 , 0)

e)

D = �11, Dx = �96 i Dy = 10. La solució és:(96/11, �10/11)

f)

D = 1, Dx = 5 i Dy = �3. La solució és: (5, �3).

15. Considera el sistema següent i mira si elpots resoldre pel mètode de Cramer.

Si es considera el sistema es

pot resoldre per Cramer ja que D = 7 ¹ 0. Lasolució és: (1/7 + z, 18/7 + z, z).

16. Raona, i resol en cas que sigui possible, elssistemes següents pel mètode de Cramer.

a)

D = 26. Es pot resoldre per Cramer. Dx = Dy

= Dz = 0 per tenir una columna de zeros. És

compatible determinat i la solució és la tri-vial: (0, 0, 0).

b)

D = 0 . Es pot considerar el sistema:

D' = 3, Dx = = �3z,

Dy = = 3z.

Compatible indeterminat i la solució: (�l, l, l).

17. Resol els sistemes homogenis següents:

a)

D = 6, Dx = Dy = Dz = 0.

Compatible determinat: (0, 0, 0)

0

2 0

0

x y z

x y z

y z

-- ++ ==ììïï ++ -- ==ííïï -- ==îî

2 3

1 3

z

z

--

3 1

3 2

z

z

- -

2 3

2 3

x y z

x y z

- = -ìí

- + =î

2 3 0

2 3 0

0

x y z

x y z

x y

-- ++ ==ììïï-- ++ -- ==ííïï ++ ==îî

0

2 3 0

5 0

x y z

x y z

x y z

++ ++ ==ììïï -- ++ ==ííïï ++ -- ==îî

2 3 8 5

2 5

x y z

x y z

+ = +ìí

- + = +î

2 3 5 8

2 5

5 3 2 7

x y z

x y z

x y z

++ -- ==ììïï-- ++ -- ==ííïï -- -- == --îî

2

2 3 1

x y

x y

++ ==ììíí ++ ==îî

3 6

8 16

x y

x y

++ ==ììíí -- ==îî

1

3 2

2 2 5 8

x y z

x y

x y z

-- ++ ==ììïï-- ++ ==ííïï ++ ++ ==îî

2 1

2 3 3 1

3 5 2

x y z

x y z

x y z

++ ++ ==ììïï ++ ++ ==ííïï -- ++ ==îî

3 4 1

2 6 1

3 2

x y z

x y z

x y z

-- -- ==ììïï ++ -- ==ííïï ++ -- ==îî

3

2 2 3 1

2 2

x y z

x y z

x y z

++ -- ==ììïï -- -- ==ííïï ++ -- ==îî

111 3 21 72 1 3 17

7

x

y

æ öç ÷æ ö æ öæ öç ÷= =ç ÷ ç ÷ç ÷- -ç ÷è ø è øè ø ç ÷è ø

1 3 2

2 1 3

x

y

-æ öæ ö æ ö=ç ÷ç ÷ ç ÷

è øè ø è ø

3 2

2 3

x y

x y

-- ==ììíí ++ ==îî


108

b)

D = 0.Compatible indeterminat: (l, �1/4 l, �3/4 l)

c)

D = 2, Dx = Dy = Dz = 0.Compatible determinat: (0, 0, 0)

d)

D = 0.Compatible indeterminat: (l, �2l, �l)

e)

D = �24, Dx = Dy = Dz = 0.Compatible determinat: (0, 0, 0).

18. Estudia la compatibilitat dels sistemes se-güents i resol els que siguin compatibles.

a)

|M| = |M'| = 0. Rang M = rang M' = 2 i el sis-tema és compatible indeterminat i es pot re-soldre per Gauss. Les solucions es podenexpressar: ((4 + l)/3, l, (19 + 7l)/3).

b)

|M| = 0 i |M'| = �26. Rang de M = 2 i rang M'= 3. El sistema és incompatible.

c)

|M| = �6. Rang M = rang M' = 3. El sistemaés compatible determinat. Es pot resoldreper Cramer perquè té ja D = |M| = �6: Dx =18, Dy = �12 i Dz = 12. La solució és: (�3,2,�2)

d)

|M| = |M'| = 0. Rang M = rang M' = 2 i el sis-tema és compatible indeterminat i es pot re-soldre per Gauss. Les solucions es podenexpressar: (�5 � 7l, �3 � 2l, l).

e)

|M| = �3. Rang M = rang M' = 3. El sistemaés compatible determinat. La solució és: (2,�2, 3).

f)

|M| = 5. Rang M = rang M' = 2. El sistemaés compatible determinat. La solució és:(�2, 3).

19. Discuteix els sistemes següents segons elsvalors del paràmetre k:

a)

Si fem |M| = 0 ® k = 3. Per aquest valor,|M'| = 0 i rang M = rang M' = 2 i el sistemaés compatible indeterminat. Per k ¹ 3 éscompatible determinat.

b)

Si fem |M| = 0 ® k = 2. Per aquest valor,|M'| = 0 i rang M = rang M' = 2 i el sistemaés compatible indeterminat. Per k ¹ 2 éscompatible determinat i té la solució trivial.

c)

Si fem |M| = 0 ® k = 0. Per aquest valor,|M'| = 2. Per k = 0 el sistema és incompati-ble ja que rang M = 2 i rang M' = 3. Per k ¹0 és compatible determinat.

0

3 2 5

2 3

x y z

x y kz

x y z

++ ++ ==ììïï ++ ++ ==ííïï ++ -- ==îî

0

2 0

2 0

x y z

x y z

kx y z

++ ++ ==ììïï ++ ++ ==ííïï ++ ++ ==îî

2 1

2 3 2

2 3

x y z

x y z

kx y z

-- ++ ==ììïï ++ -- ==ííïï -- -- ==îî

2 7

2 4

5 7

3 3

x y

x y

x y

x y

-- == --ììïï ++ ==ïïíí ++ == --ïïïï ++ == --îî

2 3 5

2 5

5 11

x y z

x y z

x y z

++ -- == --ììïï ++ -- == --ííïï ++ ++ ==îî

2 4 6 2

2 3

3 4

x y z

y z

x y z

-- ++ ==ììïï ++ == --ííïï -- ++ ==îî

2 3 0

3 3

3 5

x y

x z

x y z

++ ==ììïï ++ ==ííïï ++ -- ==îî

2 3 9

4 1

6 2 8

x y z

x y z

x y

-- ++ ==ììïï ++ -- == --ííïï -- ==îî

6

2 3 9

4 5 22

x y z

x y z

x y z

++ ++ ==ììïï -- ++ ==ííïï ++ ++ ==îî

0

3 5 0

2 4 0

x y z

x y z

x y

-- -- ==ììïï ++ ++ ==ííïï-- ++ ==îî

3 0

2 2 0

0

x y z

x y z

x z

++ -- ==ììïï-- -- ++ ==ííïï ++ ==îî

0

0

0

x y

y z

x z

++ ==ììïï ++ ==ííïï ++ ==îî

0

2 3 0

4 5 0

x y z

x y z

x y z

++ ++ ==ììïï -- ++ ==ííïï ++ ++ ==îî


109

d)

Si fem |M | = 0 ® k = �6. Per aquest valor,|M'| = �7. Per k = �6 el sistema és incompa-tible ja que rang M = 2 i rang M' = 3. Per k ¹�6 és compatible determinat.

e)

Si fem |M| = 0 ® k = 8. Per aquest valor,|M'| = 8. Per k = 8 el sistema és incompati-ble ja que rang M = 2 i rang M' = 3. Per k ¹8 és compatible determinat.

f)

Per k = �1 el sistema és incompatible. No-més serà compatible determinat si rang M =rang M' = 2. Això implica que |M'| = 0 ® k = 2

± . Només és compatible determinat peraquests dos valors de k. Per valors dife-rents d'aquests és incompatible.

20. En una granja hi ha porcs, vaques i cavalls,en total 54 animals. El nombre de vaques

representa del nombre de porcs, i el de

cavalls, del de vaques. Quants animals hi

ha de cada classe a la granja?

Nombre de porcs: x, nombre de vaques: y,nombre de cavalls: z.

Es pot resoldre per substitució:

La solució: 24 porcs, 18 vaques i 12 cavalls.

21. La suma de les edats de tres persones és100 anys. Troba l�edat de cadascuna d�ellessi saps que la del mig té 10 anys més que lamés petita, i que la més gran té tants anyscom les altres dues juntes.

Edat més gran: x, edat del mitjà: y, edat méspetita: z.

Es pot resoldre per substitució: 50, 30 i 20anys respectivament.

22. En un nombre de tres xifres la suma d�a-questes és 10. La xifra de les desenes és 3 iquan s�inverteix l�ordre d�aquestes xifres,s�obté un altre nombre que excedeix el pri-mer en 495 unitats. Troba aquest nombre.

xyz ® 100x + 10y + z

El nombre és 136.

23. L�edat d�en Pere és el doble de l�edat de laMaria. Fa 7 anys la suma de les edats eraigual a l�edat actual d�en Pere. Troba lesdues edats.

Edat d'en Pere: x, edat de Maria: y.

Solució: 28 i 14 anys respectivament.

24. Les edats d�una nena, el seu pare i la sevaàvia sumen 100 anys. Calcula aquestesedats sabent que la diferència entre l�edatdel pare i la de la seva filla és la meitat del�edat de l�àvia i que 14 vegades l�edat de lanena és el doble de l�edat del pare.

Edat de la nena: x, edat del pare: y, edat de l�à-via: z.

Solució: 5, 35 i 60 anys respectivament.

25. D�un nombre de tres xifres se sap que:

· Sumant la xifra de les centenes amb lade les unitats s�obté la xifra de les des-enes.

· Les tres xifres sumen 10.

· Si s�inverteix l�ordre de les xifres, s�obtéun altre nombre 297 unitats major.

100

/ 2

14 2

x y z

y x z

x y

+ + =ìï - =íï =î

2

7 7

x y

x y x

=ìí

- + - =î

10

3

100 10 (100 10 ) 495

x y z

y

x y z z y x

+ + =ìï =íï + + - + + =î

100

10

x y z

y z

x y z

+ + =ìï = +íï = +î

54

3 / 4

2 / 3

x y z

y x

z y

+ + =ìï =íï =î

23

34

6

1

2

2

x ky

x ky k

x y

-- ==ììïï ++ ==ííïï ++ ==îî

2 1

2 2

4 0

x y z

kz z

x z

++ ++ ==ììïï ++ ==ííïï ++ ==îî

2 3

3 8 2

3 5 3

x y z

x y z

x y kz

++ ++ ==ììïï -- ++ ==ííïï ++ ++ ==îî


110

Calcula el nombre.

xyz ® 100x + 10y + z

El nombre és 154.

Acabem

1. Estudia la compatibilitat dels sistemes se-güents i resol els que siguin compatibles.

a)

|M| = 23 ® rang M = rang M' = 3 i el sistemaés compatible determinat. La solució: (1,�2, 3)

b)

|M| = �18 ® rang M = rang M' = 3 i el siste-ma és compatible determinat. La solució:(3, 3, 3)

c)

|M| = �18 ® rang M = rang M' = 3 i el siste-ma és compatible determinat. La solució:(5, 7, 1)

d)

|M| = 14 ® rang M = rang M' = 3 i el sistemaés compatible determinat. La solució: (1, 5,9)

e)

|M| = 63 ® rang M = rang M' = 3 i el sistemaés compatible determinat. La solució: (1/3,4, 2)

f)

|M| = 30 ® rang M = rang M' = 3 i el sistemaés compatible determinat. La solució: (4, 6,1/2)

g)

|M| = 95 ® rang M = rang M' = 3 i el sistemaés compatible determinat. La solució: (2, 5,3)

h)

|M| = 0 ® rang M = rang M' = 2 i el sistemaés compatible indeterminat. La solució:(�2l, �l, l)

i)

|M| = 27 ® rang M = rang M' = 3 i el sistemaés compatible determinat; es pot resoldreper reducció o Gauss. La solució: (1/3, 1/3,1/3).

j) El sistema següent està escrit en la for-ma matricial: AX = B. Per resoldre�l caltrobar la matriu de les incògnites, la qualcosa implica el càlcul de la matriu inver-sa A�1 si existeix. També es pot resoldremultiplicant les matrius i escrivint el sis-tema en la forma més usual i resoldre�lper qualsevol dels mètodes.

Multipliquem les matrius i obtenim el siste-ma:

rang M = rang M ' = 3 ® compatible deter-minat.

2 1

2 4 5 0 11

3 3 2

x z

y y z M

x y z

+ = üï+ + = = -ýï- + = þ

1 0 2 1

2 4 5 0

3 1 3 2

x

y

z

ææ ööææ öö ææ ööçç ÷÷çç ÷÷ çç ÷÷==çç ÷÷çç ÷÷ çç ÷÷çç ÷÷çç ÷÷ çç ÷÷--èè øøèè øø èè øø

3 0

0

2 5 0

x y z

x y z

x y z

++ ++ ==ììïï -- ++ ==ííïï ++ ++ ==îî

(1 3) (1 3) 1

(1 3) (1 3) 1

(1 3) (1 3) 1

x y z

y z

x y z

ìì ++ -- ++ ++ ==ïïïï ++ ++ ++ -- ==ííïï -- ++ ++ ++ ==ïïîî

2 5 3 12

3 2 5 1

7 4 2 0

x y z

x y z

x y z

-- ++ == --ììïï ++ -- ==ííïï -- ++ ==îî

3 3

6 2 8

18 5 2 10

x y z

x y z

x y z

++ -- ==ììïï-- ++ ++ ==ííïï -- ++ == --îî

2 9

2 4 4

2 6 1

x y z

x y z

x y z

++ -- ==ììïï -- ++ ==ííïï -- -- == --îî

2 3 16

3 2 10

2 3 4

x y z

x y z

x y z

++ -- == --ììïï ++ -- == --ííïï -- ++ == --îî

12

8

6

x y

y z

x z

++ ==ììïï ++ ==ííïï ++ ==îî

3

2 3 15

3 12

x y z

y z

x y

-- ++ ==ììïï ++ ==ííïï ++ ==îî

2

2 3 5 11

5 6 29

x y z

x y z

x y z

++ ++ ==ììïï ++ ++ ==ííïï -- ++ ==îî

10

100 10 (100 10 ) 297

x z y

x y z

z y x x y z

+ =ìï + + =íï + + - + + =î


111

Per Cramer: Dx = 1; Dy = 7 i Dz = �6

2. Raona per què tots els sistemes següentssón compatibles. Expressa la solució d�a-quells que siguin indeterminats.

a)

b)

c)

Són sistemes homogenis i tenen com a mínimla solució trivial. c) és compatible indeterminatja que |M | = 0. Les solucions: (0, l, l).

3. En una granja hi ha 1300 caps de bestiardistribuïts en tres corrals de manera que larelació entre el nombre d�animals del pri-

mer corral i el del segon és i la relació

entre el nombre d�animals del segon i tercer

és . Calcula quants animals hi ha en cada

corral.

Nombre de caps en el primer corral: x, nombrede caps en el segon: y, nombre de caps en eltercer: z.

Per substitució es resol fàcilment. La solució:475, 450 i 375 caps de bestiar respectivament.

4. Un constructor compra tres parcel·les ipaga 150 �/m2, 180 �/m2 i 200 �/m2, respecti-vament. Calcula la superfície de cada unasabent que entre les tres fan 1870 m2, queel preu total de l�operació és de 336000 � ique el preu de la tercera parcel·la represen-ta les tres quartes parts del preu de les al-tres dues juntes.

m2 la 1a parcel·la: x, m2 la 2a parcel·la: y, m2 la3a parcel·la: z

Cal simplificar les equacions abans de resoldreel sistema. La solució: 500 m2, 650 m2 i 720m2.

5. Considera el sistema:

Troba els valors de m pels quals el sistemano és de Cramer. Resol el sistema peraquest mètode quan m = �1.

No és de Cramer si D = 0 Þ m = 3 i m = 1. Perm = �1, D = 8 i el sistema és compatible deter-minat. La solució: (1/4, 1/4, 4).

6. Discuteix el sistema següent segons el va-lor del paràmetre m. Expressa la solució ge-neral pel valor de m que el faci compatibleindeterminat.

Fer |M| = 0 ® m1 = 1 i m2 = �2

Per m = 1 ® rang M = 2 i rang M ' = 3 ® siste-ma incompatible.

Per m = �2 ® rang M = rang M ' = 2 ® sistemacompatible indeterminat.

Es per resoldre per gauss i s�obté:

7. Discuteix el sistema següent segons els va-lors de t i prova de resoldre�l quan siguicompatible:

Per a t = 4 rang M = rang M' = 2 i el sistema éscompatible indeterminat. Les solucions: ((�5 +14l)/2), (�3 + 8l)/2, l). Per t ¹ 4 és incompati-ble ja que rang M = 2 i rang M' = 3.

5 11 9

3 5 2

2 4 2 1

x y z t

x y z

x y z

-- ++ ==ììïï -- ++ ==ííïï -- ++ ==îî

4 3 2 3, ,

3 3

+ l + læ ölç ÷è ø

2

2( 1)

x my z m

x y mz m

mx y z m

++ ++ == ++ììïï ++ ++ == -- ++ííïï ++ ++ ==îî

4

3 5

4

x my z

x y z

mx y z

++ ++ ==ììïï ++ ++ ==ííïï ++ ++ ==îî

1870

15 000 18 000 20 000 33 600 000

20 000 3 / 4(15 000 18 000 )

x y z

x y z

z x y

+ + =ìï + + =íï = +î

1300

/ 19 /18

/ 6 / 5

x y z

x y

y z

+ + =ìï =íï =î

65

1918

0

2 2 2 0

2 0

x y z

x y z

x y z

++ -- ==ììïï ++ -- ==ííïï -- ++ ==îî

2 3 0

3 0

6 8 0

x y z

x y z

x y z

-- -- ==ììïï-- ++ -- ==ííïï-- -- ++ ==îî

0

2 3 2 0

0

x y z

x y z

x y z

++ ++ ==ììïï -- -- ==ííïï -- -- ==îî

1 7 6, , .

11 11 11x y z

-= = =


112

8. Un antiquari compra tres peces d�art per 2milions d�euros. Confia a vendre-les ambuns guanys del 20%, del 50% i del 25%, res-pectivament, amb la qual cosa obtindria unbenefici de 0,6 milions. Però en una sub-hasta ha aconseguit uns guanys del 80%,del 90% i del 85%, respectivament, fet que liha representat un benefici de 1,7 milions. Aquin preu va comprar cada peça?

Preu 1a peça: x, 2a: y i 3a: z milions de ptes.

Solució: 5, 5 i 10 milions respectivament.

9. Analitza�n la compatibilitat i resol el sistemasegüent. Demostra que hi ha infinites solu-cions que tenen els tres valors de les in-cògnites positius.

Compatible indeterminat ja que rang M = rangM' = 2. Una expressió de les solucions és:((37l + 10)/5 , (1 � 4l)/5, l). Cal resoldre lesinequacions que donen les solucions en nom-bres positius. Pels valors de l tal que 0 < l <1/4 les infinites solucions són positives.

10. Per a quin valor de k el sistema és compati-ble? Troba�n la solució.

Resolvem el sistema format per les 3 primeresequacions:

rang M = rang M ' = 3 ® compatible determinat

Per Cramer:

D = 6; Dx = 6, Dy = 12, Dz = 18

x = 1; y = 2; z = 3

Substituim aquesta solució en la 4 cta equació:

1 + 2 � 6 = k Þ Per k = �3 el sistema és com-patible.

11. Considera les equacions:

2x � y + z = 0 i 3x � 2y � z = 3

Escriu una tercera equació que, amb lesdues anteriors, formi un sistema que sigui:

a) Compatible determinat.

Resoldre el sistema format per les duesequacions que és indeterminat i escriureuna tercera equació que verifiqui una solu-ció particular: 5x + y � 5z = 9

b) Compatible indeterminat.

Qualsevol combinació lineal de les duesequacions: 5x � 3y = 3

c) Incompatible.

Com l�anterior però amb el terme indepen-dent diferent: 5x � 3y = 9.

12. Les tres xifres d�un nombre sumen 18. Si aaquest nombre li restem el que resulta d�in-vertir l�ordre de les seves xifres, s�obté 594.Troba aquest nombre si sabem que la xifrade les desenes és la mitjana aritmètica deles altres dues.

xyz ® 100x + 10y + z

Solució: El nombre és 963.

13. Per la festa major, un noi va a tres especta-cles diferents. El primer dia va dues vega-des a l�espectacle X, una al Y i l�altra al Z, ies gasta 130 �. El segon dia va tres vega-des al X i una al Y i es gasta 180 �. El tercerdia va un cop a cada espectacle i es gastanomés 80 �. Quin era el preu de cada es-pectacle?

X, Y, Z preus dels espectacles respectivament:

Solució: X = 500 ptes., Y = 300 ptes. i Z és gra-tis.

14. Troba l�edat de tres germans sabent que eltriple de l�edat del primer menys el doble del�edat del segon més l�edat del tercer fan 22anys, l�edat del primer menys la del segonmés el doble de la del tercer fan 8 anys, i eldoble de la del primer més la del segonmenys la del tercer fan 20 anys.

2 1300

3 1800

800

X Y Z

X Y

X Y Z

+ + =ìï + =íï + + =î

18

100 10 (100 10 ) 594

2

x y z

x y z z y x

x zy

+ + =ìïï + + - + + =í

+ï =ïî

3 8

2 3

0

2

x y z

x y z

x y z

x y z k

-- ++ ==ììïï -- ++ ==ïïíí ++ -- ==ïïïï ++ -- ==îî

3 1

5 5 1

8 7 2

x y z

x y z

x y z

-- ++ ==ììïï-- ++ ++ == --ííïï ++ ++ ==îî

20

1,2 1,5 1,25 26

1,8 1,9 1,85 37

x y z

x y z

x y z

+ + =ìï + + =íï + + =î


113

x, y , z les tres edats.

Solució: 9, 3 i 1 anys respectivament.

15. Troba la solució dels sistemes següentsque siguin compatibles:

a)

|M| = |M '| = 0 ® Sistema compatible inde-terminat ja que rang M = rang M ' = 2. Pre-nem les dues primeres equacions:

y = l, x = �3 + 2l, z = 4 + 2x � 3y = �2 + l

Solució: (�3 + 2l, l, �2 + l).

b)

rang M = 2 i rang M ' = 3 ® Sistema incom-patible.

c)

rang M = rang M ' = 2 ® Sistema compati-ble indeterminat. Prenem les dues primeresequacions:

y = l, x = 5 � 2l, z = 3x + l � 4 = 11 � 5l

Solució: (5 � 2l, l, 11 � 5l)

16. Discuteix els sistemes següents segons elsvalors del paràmetre l.

a)

Observant el sistema es pot concloure: Si l= 3 tenim: rang M = rang M ' = 1 ® sistemacompatible indeterminat amb dos graus dellibertat. Si l ¹ 3 ® sistema compatible de-terminat.

b)

|M| = 0 per a qualssevol valor de l. Per l =1 el determinant de 2n ordre és 0. Pe tant:

Per l = 1 ® rang M = rang M ' = 1 ® siste-ma compatible indeterminat amb dos grausde llibertat.

Per l ¹ 1 ® rang M = rang M ' = 2 ® siste-ma compatible indeterminat amb un graude llibertat.

c)

|M| = 0 ® l1 = �1 i l2 =

Per l1 = �1 ® rang M = rang M ' = 2 ® sis-tema compatible indeterminat.

Per l2 = ® rang M i rang M ' = 3 ® sis-

tema incompatible.

3

4-

3

4-

5

2 1

2 2 3 5 1

x y z

x y z

x y z

l ll l

-- ++ ==ììïï ++ ++ ==ííïï ++ -- == ++îî

2 3

4 6 2 2

6 9 3 3

x y z

x y z

x y z

l ll l

l l l

++ ++ ==ììïï ++ ++ ==ííïï ++ ++ ==îî

3 1

9 9

3 1

x y z

x y z

x y z

ll l

l

++ ++ ==ììïï ++ ++ ==ííïï ++ ++ ==îî

3 4

2 5

5 5 14

x y z

x y

x y z

++ -- ==ììïï ++ ==ííïï ++ -- ==îî

3 5

2 5 7

10 8 9

x y z

x y z

x y z

++ -- ==ììïï -- ++ ==ííïï ++ -- ==îî

2 3

2 3 4

2 5 4

x y

x y z

x y z

-- == --ììïï-- ++ ++ ==ííïï ++ -- ==îî

3 2 22

2 8

2 20

x y z

x y z

x y z

- + =ìï - + =íï + - =î


114

Comencem

� Donades dues rectes que tenen la mateixadirecció, quants plans hi ha que siguin per-pendiculars a les dues rectes a la vegada?

Hi ha infinits plans, que són paral·lels.

� Donats un punt i un pla que no el contingui,quantes rectes hi ha que passin pel punt i si-guin perpendiculars al pla?

Una única recta.

� Donats un punt i una recta que no el conté,quants plans hi ha que passin pel punt i con-tinguin la recta?

Un únic pla.

Exercicis

1. Determina tres punts de la recta:

r: (x, y, z) = (4, �2, 5) + l(�3, 1, �2)

r : (x,y,z) = (4,�2,5)+ 1(�3,1,�2)l = 0 ® A(4,�2,5)l = 1 ® B(1,�1,3)

l = �1 ® C(7,�3,7)

2. Escriu les equacions paramètriques de larecta que passa pel punt P(3, �2, 4) i té la di-recció del vector = (2, �3, 3).

3. Determina l�equació vectorial i les equacionscontínues de la recta que passa per l�origende coordenades i pel punt P(�1, 4, �2).

equació vectorial: (x,y,z) = l(�1,4,�2) "lÎR

equacions contínues:

4. Determina la recta que passa pels puntsP(2, 0, �1) i Q(3, 1, 1), i comprova que contéel punt R(5, 3, 5).

5. Escriu l�equació vectorial de cadascuna deles rectes que determinen els eixos de co-ordenades.

L�eix OX: (x, y, z) = l (1, 0, 0), l�eix OY: (x, y, z)= m(0, 1, 0), l�eix OZ: (x, y, z) = g(0, 0, 1).

6. Un vector director d�una recta és = (�2, 3, �1).Troba els components d�un altre vector di-rector d�aquesta recta que sigui unitari.

7. Sigui = (3, �5, �2) un vector director d�unarecta. Esbrina el valor que tenen v1 i v2 per

tal que el vector = (v1, v2, 3) també siguiun vector director de la mateixa recta. Es-criu el vector com a combinació lineal delvector .

1

2

3 92

5 15

2

v

v

a

a

= = -

= - =

1

2

3

5

23 2

3

v

v

aa

a a

ìï =ï

= -íïï = - ® = -î

1 2(3, 5, 2) ( , ,3)u v v v= ® - - =r r

a a

vr

ur

vr

ur

2 3 1, ,

14 14 14

æ ö= - -ç ÷

è ø

1 1,( 2,3, 1)

14v u

u= × = - - =

r rr

4 9 1 14u = + + =r

ur

5 2 3(5,3,5) 5 1

32

R- =ì

ï® í +=ïî

(2,0, 1) 1: 2

(1,1,2) 2

P zr x y

v

- ü +- = =ý

þr

(2,0, 1)(1,1,2)

(3,1,1)

Pv PQ

Q

- ü= =ý

þ

uuurr

1 4 2x y z

= =- -

( 1,4, 2) ( 1,4, 2)

0(0,0,0)

P v p OP ü- - ® = = = - - ïýïþ

uuurrr

3 2

2 3

4 3

x

y

z

= + lìï = - - líï = + lî

ur


115


8. Determina tres punts del pla següent:

p: (x, y, z) = (6, �1, 3) + l(2, �4, 5) + + µ(1, 0, �7)(x,y,z) = (6,�1,3) + l(2,�4,5) + m(1,0,�7)l = m = 0 ® A(6,�1,3)l = 0, m = 1 ® B(7,�1,�4)l = 1, m = 0 ® C(8,�5,8)

9. Determina l�equació general del pla que té

el vector = (2, �2, 5) com a vector orien-tador i que passa pels punts P(0, �2, 3) iQ(1, 1, 4).

10. Escriu les diferents equacions del pla quepassa pel punt A(3, �1, 2) sabent que elsvectors que determinen la seva orientaciósón = (2, 5, �3) i = (4, 1, 3).

Equació vectorial: (x, y, z) = (3, �1, 2) ++ l(2, 5, �3) + m(4, 1, 3).

Equacions paramètriques:

y =

Equació general: x � y � z � 2 = 0

Equació canònica:

11. Demostra que el pla que té per equació ge-neral By + Cz + D = 0 és paral·lel a l�eix OX.

By + Cz + D = 0 ® y = �D/B � (C/B)z

(x, y, z) = (0, �D/B, 0) + l(1, 0, 0) + m(0, �C, B),el vector 1 = (1, 0, 0) que determina la direc-

ció de l�eix OX, és un vector orientador del pla,per tant el pla és paral·lel a l�eix OX.

12. Comprova que les equacions vectorials se-güents:

(x, y, z) = (1, 2, 3) + l(1, �1, 0) + µ(�1, 0, 1)(x, y, z) = (0, 0, 6) + r(0, �1, 1) + s(2, �1, �1)són del mateix pla.

(x,y,z) = (1,2,3) + l(1,�1,0) + m(�1,0,1)

(x,y,z) = (0,0,6) + r (0,�1,1) + s (2,�1,�1)

Com que dóna la mateixa equacio general, ésel mateix pla.

13. Determina un punt i els vectors orientadorsdel pla que té per equació general:

x � 3y + 2z � 5 = 0

14. Emprant l�equació general del pla, com-prova que els punts P(1, 2, �1), Q(3, 1, 2),R(1, �1, 0) i S(0, �2, �1) són coplanaris.

S(0,�2,�1) ® 2 + 3 � 5 = 0 ® S és del pla quedeterminen els punts P, Q i R, per tant els qua-tre punts són coplanaris.

15. Troba dos vectors associats al pla següent:

3x � 2y + 2z + 5 = 0 que siguin unitaris.

1 1(3, 2,2)

17

3 2 2, ,

17 17 17

u nn

= - × = - × - =

æ ö= - -ç ÷

è ø

rrr

1 1 3 2 2(3, 2,2) , ,

17 17 17 17v n

n

æ ö= × = × - = -ç ÷

è ø

rrr

9 4 4 17n = + + =r

3 2 2 5 0 (3, 2,2)x y z n- + + = ® = -r

(1,2, 1) 1 2 0

(2, 1,3) 2 1 3 0 4

(0, 3,1) 1 3 1

3 5 0

P x

u y x y

v z

z

- -üï= - ® - - - = ® - -ýï= - +þ

- - =

rr

(1,2, 1)(0, 3,1)

(1, 1,0)

Pv PR

R

- ü= = -ý

- þ

uuurr

(1,2, 1)(2, 1,3)

(3,1,2)

Pu PQ

Q

- ü= = -ý

þ

uuurr

5 3 2 5 3 2

(5,0,0);

(3,1,0), ( 2,0,1)

x y z x

y y P

z z

u v

l ml lm m

= + - = + -ü üï ï= ® =ý ýï ï= =þ þ

= = -r r

0 2

1 1 0 6 0

6 1 1

x

y x y z

z

- - = ® + + - =- -

1 1 1

2 1 0 0 6 0

3 0 1

x

y x y z

z

- -- - = ® + + - =-

er

12 2 2

x y z+ + =

- -

3 2 4

1 5

2 3 3

x

y

z

= + l + mìï = - - l + míï = - l + mî

vr

ur

(0, 2,3) 2 10 17 3

(2, 2,5) 2 2 38 18 0

(1,3,1) 3 5 1

P xx y

u yz

v z

- ü= ® - -ï= - ® + -ý

- + =ï= -þ

rr

(0, 2,3)(1,3,1)

(1,1,4)

Pv PQ

Q

- ü= =ý

þ

uuurr

ur


116

16. Troba l�equació general del pla que passa pelpunt (�3, �2, 1) i és perpendicular a una rectaque té la direcció del vector = (0, 3, 1).

17. Donat el pla p: 5x + 3y � 2z � 8 = 0 i el puntP(3, 4, �2), troba l�equació de la recta quepassa per P i és perpendicular al pla p.

18. Troba l�equació general i les equacions pa-ramètriques del pla que passa pel punt (0, 0, 3) i és perpendicular a l�eix OZ.

P(0,0,3) ® 3 + D = 0 ® D = �3p: z � 3 = 0 equació general

19. Donada la recta:

troba un punt i un vector director.

d�on s�obté:

20. Escriu les equacions paramètriques i contí-nues de la recta de l�exercici anterior.

Equacions paramètriques:

Equacions contínues:

21. Troba un punt i un vector director de cadas-cuna de les rectes

s: 2x = y � 1 = 2z

d�on

sóbté:

22. Escriu la recta r: (x, y, z) = (�3, �2, 4) + l(2,2, �5) com a intersecció de dos plans.


De tenim:

23. Considera les dues equacions següents:

a) Digues per a quins valors de k aquestesdues equacions representen una recta.

Perquè determinin una recta, els dos plansno han de ser paral·lels. Considerant quesón paral·les, tenim:

Per tant, si , els dos plans determi-

nen una resta.

b) Per a k = �1 és una recta? En cas afirma-tiu, escriu-ne les equacions contínues.

si és una recta1

12

k = - ¹ ®

12

k ¹ -

1 11

2 2k

kk k

= - = ® = --

5

2 2

kx y z

kx y kz

-- ++ ==ììíí-- ++ ++ ==îî

3 21 0

2 23 4

5 2 7 02 5

x yx y

x zx z

+ + ü= ® - + = ïïý+ - ï= ® + + =ï- þ

3 2 42 2 5

x y z+ + -= =

-

(0,1,0), (1,2,1)Q v =r

: 2 1 2 11/ 2 1/ 2

x zs x y z y= - = ® = - =

( 1,0,4), (1,1,0)P u- =r

11 0 1

: si 4 4

4

xx y x y

r y yz z

z

= - +ì- + = = - +ì ì ï® = ® =í í í= =î î ï =î

ll l

1 0:

4

x yr

z

-- ++ ==ììíí ==îî

13 1411 115 13 11

x y z- += =

-

135

11

1413

11

11

x

y

z

ì = - lïïï

-í = + lïïï = lî

13 14, ,0 i ( 5,13,11)

11 11P v

æ ö- = -ç ÷è ø

r

3 5 4 13resolent el sistema:

3 2 1 11

5 14 13;

11 11 11

x y zx

x y z

z y z

- = - ü= -ý

+ = + þ

- = - +

3 4 5:

3 2 1 0

x y zr

x y z

- + =ìí

+ - - =î

3 4 5:

3 2 1 0

x y zr

x y z

-- ++ ==ììíí ++ -- -- ==îî

equacions paramètriques

3

x

y

z

= üï= ýï= þ

lm

(0,0,1) 0n v z D= = ® + =r r

eix : (0,0,1)OZ v =r

(5,3, 2): 5 3 2 8 0

(3,4, 2)

3 4 2:

5 3 2

x y z v n

P

x y zr

-p + - - = ® = = ü®ý

- þ- - +

® = =-

rr

: 3 5 0y zp + + =

( 3, 2,1) 6 1 0 5P D D- - ® - + + = ® =

(0,3,1) 3 0n u y z D= = ® + + =r r

ur


117

Substituim per k = �1:

obtenim:

no es poden escriure lesequacions contínues per-què el 3r component delvector director és zero.


a) Determina�n un punt Q i un vector direc-

tor .

b) Escriu l�equació general del pla que pas-sa pel punt P(�4, �2, 3) i té per vectors

orientadors i .

c) Comprova que és el mateix pla que hemobtingut a l�exemple 4.

Comparant les dues equacions generals,s�observa que efectivament és el mateixpla.

25. A partir de l�expressió del feix de plans, de-termina l�equació general del pla que passaper l�origen de coordenades i conté la rectasegüent:

, escrivim, el feix de plans:

a(x � z + 1) + b (y + 3z � 2) = 0

Imposem que passi per l�origen:

O(0,0,0) ® a � 2b = 0 ® a = 2b2b (x � z + 1) + b (y + 3z � 2) = 0

2(x � z + 1)+ y + 3z � 2 = 02x � 2z + 2 + y + 3z � 2 = 0

p: 2x + y + z = 0

26. Escriu l�equació del feix de plans que conte-nen la recta que passa pels punts P(5, 7, 4) iQ(4, 3, �1). Comprova que el sistema definitper tres plans qualssevol del feix és compa-tible indeterminat amb un grau de llibertat ique la solució d�aquest sistema és la rectaPQ.


a(4x � y � 13) + b (5x � z � 21) = 0

Efectivament és un sistema compatible inde-terminat amb un grau de llibertat, ja que rangM = rang M� = 2.La resolució del sistema dóna: (x,y,z) = (5,7,4) ++ l(1,4,5) que és la recta que passa per P i Q.

Acabem

1. Justifica la certesa o la falsedat de cadas-cuna de les afirmacions següents:

a) Els plans següents: Ax + By + Cz + D = 0i (x, y, z) = = (x0, y0, z0) + l(A, B, C) ++ µ(v1, v2, v3) són perpendiculars.

Veritat. Un dels vectors orientadors del se-gon pla és el vector associat del primer.

b) La recta (x, y, z) = (x0, y0, z0) + l(u1,u2,u3) iel pla Ax + By + Cz + D = 0 són perpendi-culars si els vectors = (u1, u2, u3) i == (A, B, C) són linealment dependents.

Veritat. Si i són linealment depen-dents, vol dir que tenen la mateixa direcció,

vr

ur

rvu

r

1, 0 4 13 0

0, 1 5 21 0 és el sistema

1, 1 8 0

x y

x z

x y z

a = b = ® - - = üïa = b = ® - - = ýïa = - b = ® + - - = þ

75 4 13 0

44

5 5 21 05

yx x y

zx x z

- ü- = ® - - = ïïý- ï- = ® - - =ïþ

7 4(1,4,5)5

4 5(5,7,4)

y zv PQx

P

ü - -= - = ï - = =ýïþ

uuurr

(5,7,4)( 1, 4, 5)

(4,3, 1)

PPQ

Q

ü= - - -ý

- þ

uuur

1 0:

3 2 0

x zr

y z

- + =ìí

+ - =î

1

2 3

x z

y z

== -- ++ììíí == --îî

( 4, 2,3) 4 9 3

( 9, 4,1) 2 4 2 0

( 3, 2, 3) 3 1 3

7 15 3 11 0

P x

u y

v z

x y z

- - + - -üï= - - ® + - - = ®ýï= - - - - -þ

® - + - =

rr

( 4, 2,3) ( 3, 2, 3)

( 7, 4,0)

Pv PQ

Q

- - ü= = - - -ý

- - þ

uuurr

PQuuur

ur

7 9

4 4 ( 7, 4,0); ( 9, 4,1)

x

y Q u

z

ll

l

= - - üï= - - - - = - -ýï= þ

r

2 1 7 9 , 4 4

3 5

x y zx z y z

x y z

- = - ü= - - = - -ý

- = - - þ

ur

2 1 0:

5 3 0

x y zr

x y z

-- ++ -- ==ììíí -- ++ ++ ==îî

12

7

x

y

z

ll

= üï= - - ýï= - þ

5

2 2

x y z

x y z

- - + =ìí

+ - =î


118

i per tant la recta té la direcció d�un vectorperpendicular al pla, aleshores, la recta ésperpendicular al pla.

c) Si és un vector director d�una recta; ,un vector associat a un pla i · = 0, larecta i el pla són perpendiculars.

Fals. Si � = 0, o bé la recta i el pla sónparal·lels o el pla conté la recta.

d) Si A · B · C ¹ 0 i A · B · C · D = 0, el pla: Ax ++ By + Cz + D = 0 talla els eixos de coor-denades només a l�origen.

Veritat. Es dedueix que D = 0, per tant elpla passa pel l�origen.

2. Els punts P(p1, p2, p3), Q(q1, q2, q3) i R(r1, r2, r3)

defineixen un pla si no estan alineats. Justi-fica que la seva equació general es pot ex-pressar així:

Considerem els vectors orientadors:

= = (q1 � p1 , q2 � p2 , q3 � p3) i

= = (r1 � p1 , r2 � p2 , r3 � p3)

Amb el punt P(p1, p2, p3) i el punt X(x, y, z)

que és un punt qualsevol del pla, tenim el vec-

tor = (x � p1, x � p2, x � p3) que és un vector

del pla, per tant el vector és combinació li-

neal dels vectors i , és a dir, els vectors

, i són linealment dependents, d�on te-

nim que D( , , ) = 0.

3. Demostra que el pla d�equació Ax + By = 0conté l�eix OZ.

Ax + By = 0 ® (x, y, z) = l(�B, A, 0) + m(0, 0, 1)

Per l�equació vectorial tenim que el vector 3 == (0, 0, 1), que és el vector que determina l�eixOZ, és un vector orientador del pla, per tant elpla és paral·lel a l�eix OZ, a més el pla passaper l�origen, ja que D = 0, aleshores el pla pas-sa per l�eix OZ.

4. Escriu l�equació canònica i general del plaque passa pels punts P(�3, 0, 0), Q(0, 4, 0) iR(0, 0, �5). Indica�n dos vectors orienta-dors.

Equació canònica:

Equació general: 20x � 15y + 12z + 60 = 0

= = (3, 4, 0) i = = (3, 0, �5)

5. Donades les equacions:

" l i m Î R

a) Comprova que es tracta d�un pla.

De les equacions paramètriques es de-dueix:

que són dos rec-tes linealment independents, per tant deter-minem un pla.

b) Troba�n els punts de tall amb els eixosde coordenades.

P(3,0,0) de les equacions paramètriques,és el punt on talla l�eix OX.

Per trobar els altres dos punts:

talla l�eix OY

talla l�eix

OZ

6. Donats els punts P(1, 2, 3), Q(1, 1, 1) i R(2, 0, 4), busca les equacions paramètri-ques de la recta que passa pel punt P i ésperpendicular al pla que passa pels trespunts.

1 5(5,2, 1)

2 2(1,2,3)

3

xw n

yP

z

ll

l

= +ì= = - ü ï® = +ý í

þ ï = -î

rr

-üï= - - ® - - - = ®ýï= - - -þ

® + - - =

(1,2,3) 1 0 1

(0, 1, 2) 2 1 2 0

(1, 2,1) 3 2 1

5 2 6 0

rr

P x

u y

v z

x y z

(1,2,3) (1, 2,1)

(2,0,4)

Pv PR

Q

ü= = -ý

þ

uuurr

ü= = - -ý

þ

(1,2,3) (0, 1, 2)

(1,1,1)

uuurrPu PQ

Q

660 0,0,5 5x y z R

æ ö= = ® = - ® -ç ÷è ø

0 3 (0, 3,0)x z y Q= = ® = - ® -

3 1 3

1 2 0 2 2 5 6 0

0 2

x

y x y z

z

- -= ® - - - =

-

(3,3,0) i ( 3,2, 2)u v= = - -r r

ml mm

3 3 3

3 2

2

x y

y

z

== ++ --ììïï == ++ííïï == --îî

PRuuur

vr

PQuuur

ur

13 4 5

x y z+ + =

- -

er

vr

ur

PXuuur

vr

ur

PXuuur

vr

ur

PXuuur

PXuuur

PRuuur

vr

PQuuur

ur

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

0

x p q p r p

y p q p r p

z p q p r p

-- -- ---- -- -- ==-- -- --

nr

ur

rnu

rrnu

r


119

7. Indica les condicions que han de compliren cada cas els coeficients A, B, C i D del�equació general del pla, de manera queaquest:

a) Sigui paral·lel al pla determinat per OX iOZ.

Pla paral·lel a l�eix OX ® A = 0Pla paral·lel a l�eix OZ ® C = 0

b) Talli els tres semieixos de coordenadespositius en punts equidistants de l�ori-gen.

Punt de tall amb l�eix OX: y = z = 0 ®

Punt de tall amb l�eix OY: x = z = 0 ®

Punt de tall amb l�eix OZ: x = y = 0 ®

Per tant:

8. Troba l�equació general del pla que passapel punt P(�4, �2, 3) i conté la recta d�equa-ció:

(x, y, z) = (1, �2, �2) + l(2, 1, 2)

P(�4,�2,3)(x,y,z) = (1,�2,�2) + l(2,1,2) ® Q(1,�2,�2), =

= (2,1,2)

9. Determina els valors de a que fan que elsdos plans d�equacions:

ax + y + z � 3 = 0 i (a + 2)x + ay + az = 5

siguin paral·lels.

d�on a2 = a + 2 ® a2 � a � 2 = 0 ® a1 = 2,

a2 = �1

10. Troba l�equació canònica del pla que passapel punt (�3, 1, 4) i és perpendicular alsplans:

2x � 5y + 3z + 5 = 0 i 7x � y + 3z = 21

són

els vectors orientadors.

11. Escriu les equacions contínues de la rectaque passa pel punt P(2, �3, 5) i té la mateixa

direcció que la recta

ho escrivim en forma de sistema:

resolent, s�obté:

Podem prendre com a vector director de la rec-

ta:

12. Troba l�equació general del pla que conté larecta:

considerant que un dels vectors que deter-

2 3 6

2 0

x y z

x y z

++ -- ==ììíí -- ++ ==îî

- ü - + -® = =ý

= - - - -þ

(2, 3,5) 2 3 5

( 12, 2,5) 12 2 5rP x y z

u

( 12, 2,5)u = - -r

24

5y z= -

12,

5x z= -

4 2

2 3 12 6

x y z

x y z

- = - - üý

+ = - þ

2 4 0

2 3 6 12

x y z

x y z

-- ++ ++ ==ììíí ++ ++ ==îî

610

461

0 15 61 4 61 5 61 1161

011

y z x

x y zx z y

x y z

ü= = ® = - ïïï= = ® = + + =ý -ïï

= = ® = ïþ

( 3,1,4) 3 2 7

(2, 5,3) 1 5 1 0 4 5

(7, 1,3) 4 3 3

11 61 0

P x

u y x y

v z

z

- +üï= - ® - - - = ® - -ýï= - -þ

- + =

rr

1

2

2 5 3 5 0 (2, 5,3)

7 3 21 0 (7, 1,3)

x y z u n

x y z v n

- + + = ® = = - üý

- + - = ® = = - þ

rr

rr

+ + - = üý

+ + + - = þ

=+

3 0

( 2) 5 0

1perquè siguin paral·leles:

2

ax y z

a x ay az

a

a a

- - +üï= ® + = ®ýï= - - -þ

® - + - =

( 4, 2,3) 4 2 1

(2,1,2) 2 1 0 0

(1,0, 1) 3 2 1

4 7 0

rr

P x

u y

v z

x y z

(5,0, 5) (1,0, 1)PQ v= - ® = -uuur r

ur

D D D D D D

A B C A B C± = ± = ± ® = =

Dz

C= ±

Dy

B= ±

Dx

A= ±

Pla paral·lel Pla paral·lel a l'eix

a l'eix 0 i :

Pla paral·lel 0

a l'eix 0

OX AOX OZ

A COZ C

üï® = ïýï = =ï® = þ


120

mina l�orientació del pla és un vector direc-tor de la recta:

13. Donats el pla p: x + y � 2z + 1 = 0 i la recta:

escriu l�equació vectorial del pla que ésperpendicular al pla p i conté la recta r.

escrivim el sistema i el

resolem:

14. Considera la recta r que passa pel punt decoordenades (1, 1, 2) i té el vector de com-ponents (1, 1, 1) com a vector director. Con-sidera el vector de components (1, 1, a) idigues si per a algun valor de a existeix unpla que conté r i és perpendicular a . Encas afirmatiu, escriu l�equació cartesianadel pla.

r: (x,y,z) = (1,1,2) + l(1,1,1)

han de ser ortogonals, per tant

Per tant, tenim:

P(1,2,2) ® 1 + 1 � 4 + D = 0 ® D = 2x + y � 2z + 2 = 0 ® x + y � 2z = �2

(1,1, 2) 2 0n v x y z D= = - ® + - + =r r

0 2 0 2v u a a× = ® + = ® = -r r

(1,1, ) (1,1,1) 1 1 2v u a a a× = × = + + = +r r

0v u× =r r

(1,1, )

(1,1,1)

v a

u

= üý

= þ

rr

vr

vr

- ü= - + - +ï= - ®ý

+ -ï= - þ

(4, 4,0)( , , ) (4, 4,0) (1,1, 2)

(1,1, 2)(1, 2,1)

(1, 2,1)

rr

Px y z

u

v

lm

4 3 4 2( , , ) (4, 4,0) (1, 2,1)

2 12 4

x y zx y z

x y zl

+ = - ü= - + -ý

- = + þ

4 3 2 4 0:

2 4 12 0

x y zr

x y z

+ + - =ìí

- - - =î

p + - + = ® = = -: 2 1 0 (1,1, 2)rr

x y z u n

4 3 2 4 0:

2 4 12 0

x y zr

x y z

++ ++ -- ==ììíí -- -- -- ==îî

üæ ö -ç ÷ïè øï + -ï= ® - - ®ý

- - =ï= - ïïþ

1212 6 1 2, ,0 55 520 56

(1,1,1) 1 325 54 05

(2, 3,1)1 1

rr

xP

x yu y

zv

z

2 12( 1)

3 3 2 1 2

(2, 3,1)

y y zx z x v

+= = + ® = = ® =

- -= -

r

2 3 6 2 6 3 ( , , )

2 0 2

12 6, ,0 (1,1,1)

5 5

x y z x y zx y z

x y z x y z

l

+ - = + = +ü ü® =ý ý- + = - = -þ þ

æ ö= +ç ÷è ø

22( 1)

3y

x z== == ++--


121

Comencem

� Dóna la interpretació geomètrica de les so-lucions dels sistemes següents:

a)

Resolem el sistema: rang M = rang M' = 3 iel sistema és compatible determinat i la so-lució (12, �21, �7) correspon a les coordi-nades d'un punt. Els tres plans son concor-rents en un punt.

b)

Rang M = rang M' = 2 i el sistema és com-patible indeterminat. Els tres plans tenenuna recta en comú l'equació de la qual espot donar amb el sistema format per lesequacions de dos dels tres plans.

Exercicis

1. Dos plans o són paral·lels o són secants.Considera els plans d�equacions:

pp1: 2x + 3y + z = 0pp2: �x + ky � 4z = 2

Raona si poden ser paral·lels per a algunvalor de k.

Condició de paral·lelisme: que no

es verifica ja que independement del

valor de k: els dos plans no poden ser pa-ral·lels per cap valor de k.

2. Determina m i n per tal que els dos plans si-guin paral·lels.

pp1: 6x � my + 4z = �9pp2: 9x � 3y + nz = n

Condició de paral·lelisme:

.

Per aquests valors els dos plans són paral·lelsno coincidents.

3. Estudia la posició relativa dels tres plans:

pp1: �2x + y + z = 1pp2: x � 2y + z = 1pp3: x + y � 2z = 1

Estudiem els rangs: rang M = 2 i rang M' = 3.El sistema és incompatible, però els plans nosón paral·lels, per tant, són secants dos a dos.

4. Considera els plans d�equacions: x + y � 2z ++ 1 = 0 i �x � y + 3z = 0. Justifica que són se-cants. Escriu l�equació d�un tercer pla quepassi per la recta que determinen aquestsdos. És únic aquest pla? Raona la teva res-posta.

Els dos plans no són paral·lels ja que

, per tant, són secants. La recta

intersecció és:

Qualsevol combinació lineal de les dues equa-cions és un pla que conté aquesta recta, pertant, aquest pla no és únic.

5. Troba la intersecció de la recta determinadapels punts P(1, 2, 1) i Q(1, 6, 0) i el pla d�e-quació:

x � y + 3z = 2

Equació de la recta PQ:

Intersecció: ® Punt: (1, 2, 1)

6. Estudia la posició relativa de la recta:

i el pla d�equació x � 3y + z = 0.

ll

3

: 1

5

x

r y

z

==ììïï == ++ííïï ==îî

=ìï = + lïí

= - lïï - + =î

1

2 4

1

3 2

x

y

z

x y z

1

2 4

1

x

y

z

=ìï = + líï = - lî

3

1

x

y

z

= l= - - l= -

2 1:

3 0

x y zr

x y z

+ - = -ì üí ý

- - + =î þ

1 1 2

1 1 3

-= ¹

- -

6 4 92 i 6

9 3

mm n

n n

- -= = ¹ ® = =

-

2 1

1 4¹

-

2 3 1

1 4k= =

- -

4 2 3

5 3 1

3 2 5

x y z

x z

x y z

-- ++ ==ììïï ++ ==ííïï-- ++ -- == --îî

3 2 1

5 2

2 3

x y z

x y z

x y

++ -- ==ììïï -- ++ == --ííïï ++ ==îî


123


Intersecció:

0 ¹ �2 indica que el sistema és incompatible.

La recta i el pla són paral·lels.

7. Determina quina és la posició relativa delpla d�equació 3x � 2y + z = 3 i la recta d�e-quació:

Recta en paramètriques:

Intersecció amb el pla: per substitució:

Són secants i el punt d'intersecció:

8. Considera la recta r: i estu-

dia la posició relativa respecte del pla d�e-quació:

2x + 8y � 5z + 26 = 0

Podem considerar el sistema format per lestres equacions:

rang M = rang M� = 3

El sistema és compatible determinat: la recta iel pla són secants.

9. Comprova que les rectes r i s són secants i escriu l�equació general del pla que lesconté.

Les rectes no són paral·leles:

Considerem aquests dos vectors i un tercerformat amb un punt de cada recta: =

= (4, �1, 0) que és el mateix que el vector di-rector de la primera recta, per tant els tres vec-tors estan en un mateix pla i són secants.

L'equació del pla:

10. Determina la posició relativa de les rectes ri s en cada cas:

a)

No són paral·leles: (1, �3, 1) ¹ k (5, 4, 1)

les rectes

s�encreuen.

b)

vector

® les

rectes s�encreuen.

11. Troba la posició relativa de les rectes r, de-terminada pels punts P(1, �1, 0) i Q(�2, 3, 1),i s, paral·lela a l�eix OX i que passa pel puntR(0, 1, �3).

Vector director de la recta r: = (�3, 4, 1); vec-tor director de la recta s: = (1, 0, 0). No sónparal·leles. Vector = (�1, 2, �3)PR

uuur vr u

r

( )1 1 0

0 1 1Det , , 0

3 132

2 2

u v PQ- -= ¹- -

-

r r uuur

130, 1,

2PQ

-æ ö= -ç ÷è ø

uuur

= mì= lì ïï ï = m=í ílï ï= - l = +î ïî

: 1 :5 3

9 22 2

xx

yr y s

z z

2 9 0: :

1 2 2 5

x z x yr s

y x y z

++ == ++ ==ìì ììíí íí== -- ++ ++ ==îî îî

( )= ¹ ®- -1 5 5

Det , , 03 4 5

1 1 0

r r uuuru v PQ

( )5, 5,0PQ = -uuur

= + mìï = - + míï = mî

4 5

: 3 4

x

s y

z

= - + lìï = - líï = lî

1

: 2 3

x

r y

z

1 0 5 4: :

3 2 4 3 0

x z x zr s

y z y z

-- ++ == -- ==ìì ììíí íí++ == -- ++ ==îî îî

7 4 2

0 4 5 7 01 1 3

2 0 2

x

x y zy

z

+= ® + + - =- - -

-

PQuuur

PQuuur

( ) ( )4, 1,0 2, 3,2- ¹ l -

ll

7 43 2

: 1 : 2 3 2

2

xx y z

r y s

z

== -- ++ìì++ --ïï == -- == ==íí --ïï ==îî

3

3 2 1 0

2 8 5 26 0

x z

x y

x y z

+ =ìï + - =íï + - + =î

3

3 2 1 0

x z

x y

++ ==ììíí ++ -- ==îî

5 5,1,

2 2æ ö-ç ÷è ø

( ) ( )+ l - × l + - + l = ® l =3 1 3 2 2 3 3 1/ 2

= + lìï = líï = - + lî

1 3

2

3

x

y

z

13

3 2x y

z--

== == ++

3 3 3 5 0® l - - l + =

3

1

5

3 0

x

y

z

x y z

= lìï = + lïí

=ïï - + =î


124

s�en-

creuen.

12. Escriu l�equació del pla que determinen lesrectes

i la que té de direcció el vector = (6, 2, �1)i passa per l�origen de coordenades.

Vector director de r :

= .

Les rectes són paral·leles. Els dos vectors nopoden ser orientadors del pla. En prenem un,el i el format per un punt de cada recta:

.

Equació del pla:

13. Verifica que les rectes r i s són coplanàries.Són paral·leles? Si no és així, troba el puntd�intersecció.

Vector director de r : = (0, 1, 1), vector direc-tor de s: = (1, 0, 1). ¹ k i les rectes no sónparal·leles.

Intersecció

® Punt: (1, 1, 0)

14. Considera els vectors , i de l�exercici11 i estableix la relació que puguis trobarentre ells.

Els tres vectors ja han estat considerats en l�e-

xercici 11. Els tres vectors són linealment inde-pendents.

15. Comprova que els tres plans que confor-men els tres eixos de coordenades carte-sianes són perpendiculars dos a dos.

Els tres plans tenen de vectors associats res-pectivament els tres eixos de coordenades:

1 = (1, 0, 0); 2 = (0, 1, 0) i 3 = (0, 0, 1)

Dos a dos són perpendiculars tal com es com-prova amb el producte escalar: 1 · 2 = 0;

1 · 3 = 0 i 2 · 3 = 0

16. Troba k per tal que les dues rectes r i s si-guin perpendiculars. Hi ha algun valor de kper tal que aquestes rectes siguin secants?

Condició de perpendicularitat: producte escalardels dos vectors directors nul:

(�1, 3, 1) · (1, �1, k) = �1 � 3 + k = 0 ® k = 4

Condició de secants:

17. Considera el pla pp d�equacions paramètri-ques:

Troba l�equació de la recta perpendicular app que passa per l�origen de coordenades.

El vector associat al pla és el vector director dela recta perpendicular al pla.Equació del pla:

Equació de la recta:

18. Troba l�equació del pla mitjaner del segmentdeterminat pels punts P(1, 3, 0) i Q(�1, 5, �2).

2

2

x

y

z

= - lìï = - líï = lî

( )2, 2,1n v= = - -ur r

3 1 0

0 2 2 6 01 1

0 2

x

x y zy

z

- -= ® - - + + =-

-

3

:

2

x

y

z

ll mm

== --ììïïpp == --ííïï ==îî

2

3

41 2 1 3

3k k

l = -m = -

-- - = - ® =

1

3 3

1 1 k

- l = m üïl = - - mýï- + l = + m þ

13 1

: 3 : 1

1

xy z

r y s xk

z

ll

l

== --ìì++ --ïï == == ==íí --ïï == -- ++îî

re

re

re

re

re

re

re

re

re

PRuuur

vrr

u

= + müï+ l = l = m = - ®ýï+ l = + mþ

1 2

2 1 1

1 1

ur

vr

ur v

r

1 2

: 2 : 1

1 1

x x

r y s y

z z

ml

l m

== == ++ìì ììïï ïï== ++ ==íí ííïï ïï== ++ == ++îî îî

6 0

50 12 30 02

21 1

x

x y zy

z

- = ® + - =

-

50, ,1

2

-æ öç ÷è ø

ur

- -æ ö æ ö® = - =ç ÷ ç ÷è ø è ø

1 13,1, 2 3,1, (6,2, 1)

2 2

ruv

r

ru

3

5:

21

12

x

r y

z

l

l

l

ììïï ==ïïïï == -- ++ííïïïï

== --ïïîî

( )- -

= ¹ ®

-

3 1 1

det , , 0 i 4 0 2

1 0 3

r r uuuru v PR r s


125

Per pla mitjaner s�entén el perpendicular alsegment pel seu punt mitjà.

Punt mitjà: (0, 4, �1); vector = (�2, 2, �2) = Equació del pla: �2x + 2y � 2z + D = 0 conté elpunt (0, 4, �1): 8 + 2+ D = 0 ® D = �10 ®® �2x + 2y �2z �10 = 0 ® �x + y � z � 5 = 0

19. Troba el peu de la perpendicular traçada pelpunt P (1, �1, 0) al pla d�equació:

x � y + 3z = � 2

El peu de la perpendicular és la intersecció dela recta i el pla: P�

recta:

Punt:

20. Troba la projecció ortogonal de l�origen decoordenades sobre la recta d�equacions:

Pla perpendicular a la recta per l�origen i laseva intersecció amb la recta és la projeccióortogonal.

recta:

pla: x + y + z = 0

Projecció de l�origen:

O�: (1, 0, �1)

21. Calcula les coordenades del punt simètricdel punt P(5, 0, �1), respecte de la recta r:

El punt P i el seu simètric P� determinen unsegment en el que el punt mitjà P� és la projec-ció de P sobre r.La projecció és el punt intersecció del pla per-pendicular a r per P i la recta r :x + 2y � z + D = 0 per P(5, 0, �1) ® D = �6 ®® x + 2y � z � 6 = 0

el simètric P�:

22. Donada la recta r: i el pla

pp: x � 2y + z + 3 = 0, troba les equacions dela recta r� projecció ortogonal de la recta rsobre pp.

La recta r� és la intersecció del pla p amb el plaperpendicular a ell que conté la recta r. Equa-ció d'aquest pla:

23. Troba l�equació del pla que passa pel puntintersecció dels plans:

pp1: x + y � 2z �5 = 0pp2: 2x � 3z + 1 = 0pp3: x + 2y � z = �1

i és paral·lel al pla x + y + z � 2 = 0.

Resoldre el sistema per trobar el punt:

Pla paral·lel:

D = 18 ® x + y + z + 18 = 0

24. Esbrina la posició relativa dels plans:

2x + y � z + 2 = 0

i x � 3y � z = �1

Si es tallen, troba l�equació de la recta pa-ral·lela a la seva intersecció, que passa pelpunt P(2, �1, 1).

Els plans no són paral·lels, són secants:

Recta paral·lela per P(2, �1, 1) ® (x, y, z) == (2, �1, 1) + l (�4, 1, �7)

( )4,1, 7v® = - -r

1 4

7

x

y

z

= - - l= l= - l

+ - + =ì üí ý

- - = -î þ

2 2 0:

3 1

x y zr

x y z

5 230 12 0

3 3x y z D D+ + + = ® - + - + =

2 55 23

2 3 1 12, ,3 3

2 1

x y z

x z P

x y z

+ - = ü-ï æ ö- = - -ý ç ÷

è øï+ - = - þ

+ - =ìí

- + + =î

2 4 0' :

2 3 0

x yr

x y z

1 1 1

0 2 4 02 2 2

2 1

x

x yy

z

-= ® + - =- - -

-

21

2 2y z

x--

-- == ==--

4 10 2, ,

3 3 3

- -æ öç ÷è ø

-æ öl + + × l + l - = ® l = ® ç ÷è ø

5 11 5 51 2 2 6 0 ' : , ,

6 6 3 6P

12 1y z

x -- == ==--

1 2 0 1l - + l - + l = ® l =

1

2

x

y

z

= lìï = - + líï = - + lî

1

2

x y

x z

-- ==ììíí -- ==îî

7 7 12' : , ,

11 11 11P

- -æ öç ÷è ø

-+ l + + l + l = - ® l =

41 1 9 2

11

1

1

3

x

y

z

= + lìï = - - líï = lî

rn

uuurPQ


126

25. Considera el pla x + y + z = 3 i la recta,

Digues si la recta talla el pla en un punt, siestà continguda en el pla, o bé si la recta iel pla són paral·lels.

La recta en paramètriques:

vector director:

vector associat al pla: = (1, 1, 1)

· = 0 ® la recta i el pla són paral·lels.

26. Determina l�equació de la recta que passapel punt P(1, 2, 0), és paral·lela al pla d�e-quació 3x � y + z = 2 i talla la recta:

El vector director de la recta està determinatper P i un punt arbitrari de la recta donada:

La condició de paral·lelisme amb el pla és:

Equació de la recta:

27. Determina quina és l�equació del pla que

conté la recta és paral·lel al

vector d�extrems P(4, 0, 1) i Q(0, 2, �1) i pas-sa per P.

Els vector orientadors del pla son el vector direc-tor de la recta: = (3, 2, 1) i el = (�4, 2, �2)i passa per P.

Equació del pla:

28. Considera les rectes:

on a és un nombre real. Comprova que lesdues rectes es tallen per a qualsevol valorde a. Troba a, si és possible, per tal que lesdues rectes siguin perpendiculars.

Trobem la intersecció de les dues rectes:

La solució del sistema indica que les rectes estallen per a qualsevol valor de a.Les rectes seran perpendiculars si:

Acabem

1. Determina l�equació del pla que passa perP(1, 2, 1) i conté la recta intersecció delsplans:

pp: x � 2y + z = 3 i el pla YZ

Recta intersecció:

P(1, 2, 1) i el punt de la recta (0, 0, 3) donen: = (1, 2, �2)

Equació del pla amb , i P:

1 0 1

0 6 2 3 02 1 2

1 2 2

x

x y zy

z

-= ® - + - =-

- -

ur

vr

ur

( )0

0,1,2

3 2

x

y v

z

=

= l ® =

= + l

r- + =ì üí ý

=î þ

2 3

0

x y z

x

1 2a = +

( ) ( )1, 1, 2 1, ,1 0a- × =

2

0

m =l =

2

2

2 2

a

ìm = + lïï® -m = - + l ®íï m = + lïî

= m= -m ®

= m

2

x

y

z

0

2 0

x y

x z

+ =ì üï ïí ý

- =ï ïî þ

0

2 0

( , , ) ( 2, 2, 2) (1, , 1)

x y

x z

x y z al

++ ==ììïïíí

-- ==ïïîî

== -- ++

4 4 3

0 3 7 5 02 2

1 2 1

x

x y zy

z

- -= ® - - - =

- -

uuurPQv

r

1 23 2

x yz

++ --== ==

( ) ( ) - -æ ö= + - lç ÷è ø

3 11, , 1,2,0 , 5,

4 4x y z

3 11, 5,

4 4v

- -æ ö= -ç ÷è ø

r

( ) ( )- × l - - - l - - l = ® l =1

3, 1,1 1, 4 4 , 2 3 04

0n v× =ur r

( )= l - - - l - - l1, 4 4 , 2 3rv

2 4

2 3

x

y

z

= l üï= - - lýï= - - l þ

+ - =ì üí ý

- + = -î þ

0:

2 2 2

x y zr

x y z

vr

0

2 2 2

x y z

x y z

++ -- ==ììíí -- ++ == --îî

rnv

rur

1 3, ,1

2 2v

-æ ö= ç ÷è ø

r

+ lì =ïï

- lí =ïï

= lî

31 2

4: 7 6

4

x

ry

z

2 6

5 8 1

x y z

x y z

-- -- ==ììíí-- ++ ++ ==îî


127

2. Estudia la posició relativa de la recta:

i el pla pp: 3x + 2y � z = �3.

Recta en paramètriques:

Substituim en l�equació del pla: 3(�2 + 3l) ++ 2 · 2l � (3 + 2l) = �3

. La recta i el pla són secants. El punt

d�intersecció és: .

3. Considera les rectes:

on a és una constant. Comprova queaquestes dues rectes són secants per aqualsevol valor de a i determina el valor dea per tal que siguin perpendiculars.

Al considerar y = 1 en la recta r', s�obté x = 1 i z= 1 per a qualsevol valor de a. Les rectes sónsecants i es tallen en el punt (1, 1, 1).

Per ser perpendiculars: (1, 0, 1) · (2, 1, a) = 0 ®® a = �2

4. Comprova que les rectes:

són paral·leles i escriu l�equació del pla queles conté.

Vector director de r: = (1, 1, 1). Vector direc-tor de la recta s: = (1, 1, 1). Per tant, són pa-ral·leles.

Per l�equació del pla cal un vector determinatper un punt de cada recta: P(1, 0, 2) i P�(5, 2, 0)® = (4, 2, �2)

Equació del pla:

5. Escriu l�equació de la recta que passa perl�origen de coordenades i és paral·lela a larecta:

Cal trobar l�expressió de la recta en paramètri-ques tot resolent el sistema:

vector director: = (1, 9, 5)

Recta paral·lela per l�origen:

6. Sigui r la recta d�equacions:

troba l�equació cartesiana del pla que contéla recta r i és perpendicular al pla y = 0.

Un dels vectors orientadors del pla és el vectorassociat del pla perpendicular: = (0, 1, 0).L�altre vector i el punt els trobem en la recta r.

Equació del pla:

7. Troba les equacions de la recta que passapel punt P(�1, 0, 0) i és paral·lela als plans:

pp1: 2x � y � z + 1 = 0 i pp2: x + 3y + z = 5

La recta és paral·lela a la intersecció dels dosplans:

Equació de la recta paral·lela:

8. Considera l�equació:

(x + y + z)2 + (3x � y + 2z � 1)2 = 0

( ) ( ) 3 7, , 1,0,0 1, ,

2 2x y z

-æ ö= - + lç ÷è ø

3 71, ,

2 2v

æ ö® = -ç ÷è ø

r

32 1 0 223 57

12

x

x y z yx y z

z

= lìï

- - + = ïì = - l® ®í í+ + =î ïï = - + lî

= ® - + =1 0

0 00 1

1 0

x

x zy

z

( )= lì

+ - =ì ï® = =í í+ - =î ï = lî

0: 0 1,0,1

2 2 0

rxx y z

r y vx y z

z

rn

0

2 2 0

x y z

x y z

++ -- ==ììíí ++ -- ==îî

( ) ( ), , 1,9,5x y z = l

vr

16 9

9 5

x

y

z

= lìï = - + l ®íï = - + lî

3 2 3 5 3 2 3 5

4 7 5 9

x y z x y z

x y z x z

- + = - + =ì ì®í í

- + = - + = -î î

3 2 3 5

4 7

x y z

x y z

-- ++ ==ììíí -- ++ ==îî

1 1 4

0 2 3 4 01 2

2 1 2

x

x y zy

z

-= ® - + - + =

- -

'uuuurPP

ur v

r

5: 1 2 i :

2

x zr x y z s

y z

-- ==ìì-- == == -- íí -- ==îî

1 1: i ': 1

1 2

x z x zr r y

y a

==ìì -- --== -- ==íí ==îî

4 12 45, ,

11 11 11P

-æ öç ÷è ø

6

11l =

2 3

2

3 2

x

y

z

= - + lìï = líï = + lî

2 3:

3 2 2x y z

r++ --

== ==


128

Raona i dóna una interpretació geomètricadels punts P(x, y, z) que verifiquen aquestaequació. No cal desenvolupar els quadrats.

L�equació consta d�una suma de dos quadratsque és 0. Només pot ser aquest valor si es ve-rifica.

el que equival a la intersecció de dos plans noparal·lels, per tant, els punts P(x, y, z) són dela recta intersecció.

9. Calcula els valors de m i n per tal que el pla:

pp: nx + my � z � 2 = 0

contingui la recta:

Es trien dos punts qualssevol de la recta, perexemple: P(0, �3, 4) i R(3, 3, 1) que han de serdel pla:

�3m � 4 � 2 = 0 ® m = �23n + 3m � 1 � 2 = 0 ® n = 3

10. Troba l�equació de la recta projecció orto-gonal de:

sobre el pla d�equació:

2x + 2y � z + 6 = 0

La projecció ortogonal de r sobre el pla, és laintersecció d'aquest pla amb el pla que contéla recta i és perpendicular al pla donat.

Equació del pla:

La recta projecció és:

11. Escriu l�equació del pla perpendicular a larecta que passa pels punts P(2, �1, 3) iQ(�3, 1, �2) i que conté el punt mitjà delsegment PQ.

Vector associat al pla: = (�5, 2, �5)

Punt mitjà del segment PQ:

Equació del pla: �5x + 2y �5z + D = 0

�5x + 2y � 5z = 0

12. Considera una recta r d�equacions:

i el pla pp d�equació

A��x + B��y + C��z + D�� = 0

Digues què significa geomètricament que elsistema que s�obté considerant les tresequacions sigui incompatible. Digues quèsignifica geomètricament que aquest siste-ma sigui compatible determinat o indeter-minat.

Si el sistema format per les tres equacions ésincompatible, la recta i el pla són paral·lels. Siel sistema és compatible determinat, el pla i larecta són secants, tenen un punt en comú. Siel sistema és compatible indeterminat, la rectaestà continguda en el pla.

13. Determina si la recta i el

pla 3x + 2y + 5 = 0 són paral·lels. Es troba larecta continguda en el pla?

Si la recta és paral·lela al pla, el vector directorha de ser perpendicular al vector associat

al pla. Comprovem-ho:· = (2, �3, 5) · (3, 2, 0) = 6 � 6 = 0 ® Són pa-

ral·lels.La recta està continguda en el pla si, en aquestcas, qualsevol punt de la recta és del pla:P(3, 1, �1) ® 3 · 3 + 2 · 1 + 5 = 16 ¹ 0 ® larecta no està continguda en el pla.

14. Considera la recta r que té com a equa-cions:

i la r�, que té com a equacions:

. Comprova que les dues

rectes s�encreuen. Dóna les coordenadesd�un punt P de r i un punt Q de r� que verifi-

1 11

2 2y z

x-- --

-- == ==

3

: 4

6

x

r y

z

lll

== ++ììïï == ++ííïï == ++îî

rnv

r

rnv

r

3 1 12 3 5

x y z-- -- ++== ==

--

0:

' ' ' ' 0

Ax By Cz Dr

A x B y C z D

++ ++ ++ ==ììíí ++ ++ ++ ==îî

1 15 2 0 5 0 0

2 2D D

-æ ö- + × - × + = ® =ç ÷è ø

1 1,0,

2 2æ ö-ç ÷è ø

uuurPQ

+ - + =ìí

- + + + =î

2 2 6 0' :

13 19 12 12 0

x y zr

x y z

21 17 2

0 13 19 12 12 015 11 2

1 1

x

x y zy

z

+= ® - + + + =+

-

= - + lì- + =ì ï® = - + lí í

- + + + =î ï = lî

21 172 5 9

: : 15 112 3 3 0

xx y z

r r yx y z

z

2 5 9:

2 3 3 0

x y zr

x y z

-- ++ ==ììíí-- ++ ++ ++ ==îî

2 3 0:

4

x yr

x z

-- -- ==ììíí ++ ==îî

0

3 2 1 0

x y z

x y z

+ + =ìí

- + - =î


129

quin la condició que la recta PQ sigui laperpendicular comuna a r i a r�.

Esbrinem el valor del determinant format pelsvectors directors i i el = (�2, �3, �5)

les rectes s�encreuen.

Punts arbitraris de cada recta:

Condició de perpendicularitat:

Els punts són: P (3, 4, 6) i Q (3, 5, 5)


determina a per tal que existeixi un pla quecontingui aquesta recta i que sigui perpen-dicular al vector (1, 1, 1). Escriu l�equaciócartesiana d�aquest pla.

Qualsevol pla que sigui perpendicular al vectorés de la forma: x + y + z + D = 0.

Si restem les dues equacions que donen larecta r, obtenim: 2x � 5y = �13 independent dea. Ssubstituïm en el pla qualsevol punt que ve-rifiqui aquesta condició i obtenim diferentsplans paral·lels. Si substituim el punt (1, 3, 0)tenim el pla x + y + z � 4 = 0.

16. Determina k per tal que existeixi un pla quecontingui la recta:

i que sigui perpendicular al vector (�6, 8, k).

El vector director de la recta cal que sigui per-pendicular al (�6, 8, k)

Equació del pla: �6x + 8y + 30z + D = 0 pel puntde la recta (5, 2, 0): �6x + 8y + 30z + 14 = 0�3x + 4y + 15z + 7 = 0

17. Discuteix la posició relativa dels plans:

pp1: ax + y + az = 0

pp2: (a + 3)x + y + z = 1

segons els valors de a ¹¹ 0.

Els plans són paral·lels o secants. Condició de

paral·lelisme:

a2 + 3a = a ® a2 + 2a = 0 ® a = 0 i a = �2

La solució es a = �2 ja que una condició és a ¹ 0.

Per a = �2 els dos plans són paral·lels.

Per a ¹ �2 els dos plans són secants.

18. Sigui el punt P1(1, 0, �1), P2 el punt simètricde P1 respecte del pla d�equació x � 2y = 0 iP3 el simètric de P2 respecte del pla d�equa-ció x + 2y + z = 1. Troba l�equació generaldel pla que determinen els punts P1, P2 i P3.

El pla cal que contingui un dels punts, perexemple P1, i que els vectors orientadors si-guin, per exemple i .

és proporcional al vector associat al pri-mer pla: (1, �2, 0)

és proporcional al vector associat al se-gon pla: (1, 2, 1)

Equació del pla:

19. Troba a i b per tal que els tres plans se-güents passin per una mateixa recta:

pp: x + 2y � z = 1pp�: 2x + y + az = 0pp��: 3x + 3y � 2z = b

El sistema format per les equacions dels tresplans ha de ser compatible indeterminat derang 2. Per tant, els dos determinants de 3r or-dre han de ser nuls:

i

1 2 1

0 1 i 12 1 0

3 3

a b

b

= ® = - =1 2 1

02 1

3 3 2

a

-=

-

1 1 1

0 2 4 6 02 2

1 0 1

x

x y zy

z

-= ® - - + + =-

+

2 3

uuuurP P

1 2

uuuurPP

2 3

uuuurP P1 2

uuuurPP

1

3 1/ 1 1 1 3

a a a a a

a a a= = ® = =

+ +

1a


( )33, ,1 6,8, 18 12 0 30

2k k k

-æ ö × - = - - + = ® =ç ÷è ø

5 3

2 6 1 3 32 3, ,1

2 2 3 6 2 2

x

x y zy v

x y zz

= + lìï- - =ì -ï æ ö® = - l =í í ç ÷- - = è øî ï

= lïî

r

2 6 1:

2 2 3 6

x y zr

x y z

-- -- ==ììíí -- -- ==îî

vr

vr

2 ( 5) 2 3 13:

2 3

x a y z ar

ay z a

++ -- -- == --ììíí -- ==îî

2 i 0m = l =

ü× = ® - + m - l - + m - l - + m - l = ïý

× = ® - + m - l - + m - l - + m - l = ïþ

0 2 3 2 5 2 0

0 2 6 4 2 10 4 2 0

r uuur

r uuurv PQ

u PQ

( )2 , 3 2 , 5 2PQ = - + m - l - + m - l - + m - luuur

( ) ( )3 ,4 ,6 , 1 ,1 2 ,1 2P Q+ l + l + l + m + m + m

1 1 2

2 01 2 3

1 2 5

-= - ¹ ®-

-

1 1

uuuurPQu

rvr


130

20. Hi ha algun valor de k pel qual els quatreplans tinguin un punt en comú? Si és així,troba aquest punt.

pp: x + 2z � 3 = 0pp�: 3x + y + z = �1pp��: 2y � z + 2 = 0pp��: x � y + kz + 5 = 0

El sistema format pels quatre plans ha de sercompatible determinat, és a dir, de rang 3.Si resolem el sistema format per les tres prime-res equacions.

Substituïm aquesta solució en la quarta equa-ció per trobar k.

�1 + 2k + 5 = 0 ® k = �2

21. Considera la recta:

Digues si el punt (6, 2, 2) es troba en la rec-ta paral·lela a r que passa per l�origen decoordenades.

Recta paral·lela per l�origen:

El punt (6, 2, 2) no es troba en aquesta recta.

22. a) Explica la relació que hi ha entre el vec-tor associat a un pla i un vector directord�una recta perpendicular a aquest.

El vector associat a un pla i el vector direc-tor d�una recta perpendicular són linealmentdependents.

b) Troba l�equació del pla que conté el punt(1, 1, 0) i és perpendicular a la recta r:

Equació del pla: x + 5y + 3z + D = 0 per (1, 1, 0)x + 5y + 3z �6 = 0

23. Estudia la posició relativa de les rectes r i r�

Els vector directors: i = (1, 0, �1)

no són proporcionals, per tant, les rectes nosón paral·leles.Estudiem el determinant format pels vectors ,

i � amb un punt de cada recta:

les rectes s�encreuen.

24. Considera la recta:

i el pla pp:

2x � 5y + az + 2 = 0

Determina els valors de a i b per tal que:

Podem estudiar els rangs de les matrius delsistema format per les tres equacions:

a) r i pp siguin secants. Troba el punt d�in-tersecció.

rang M = rang M' = 3 ®

Per qualsevol a ¹ 1 i b qualsevol el sistemaés compatible determinat i té de solució les

3 1 2

0 11 4 1

2 5

a

a

-¹ ® ¹

-

3 2 1

4

2 5 2

x y z

x y z b

x y az

- + =ìï + + =íï - + = -î

3 2 1 0:

4 0

x y zr

x y z b

-- ++ -- ==ììíí ++ ++ -- ==îî

12 1

21 01 1

02 41 1 0

-

= ¹ ®

-

1 1' , ,0

2 4PP

- -æ ö= ç ÷è ø

uuuur

uuurPPu

r vr

uræ ö= ç ÷

è ø

12, ,1

2

rv

ì = + lï = mì- + =ï ì ï® =í í í= + l + + =îï ï = -mîï

= lî

12

2 3 3 0: ' : 01 1

4 04 2

x xx y z

r r yy x y z

zz

2 1 4 1:

4 23 3 0

':4 0

x yr z

x y zr

x y z

-- --== ==

-- ++ ==ììíí ++ ++ ==îî

( )1,5,3v u® = =r r

= lì+ - = -ì ï® = - + l ®í í

- + =î ï = lî

2 1: 1 5

2 13

xx y z

r yx y z

z

2 1 0:

2 1 0

x y zr

x y z

++ -- ++ ==ììíí -- ++ -- ==îî

5

2

x

y

z

= lìï = líï = lî

( )= - + lì

- - =ì ï® = - + l ® =í í- + =î ï = lî

1 53 1

: 2 2 5,2,13 5

rxx y z

r y vx y z

z

3 1:

3 5

x y zr

x y z

-- -- ==ììíí -- ++ ==îî

1

0

2

x

y

z

= -==

2 3

3 1

2 2

x z

x y z

y z

+ = üï+ + = - ýï- = - þ


131

coordenades del punt d�intersecció queserà diferent segons els valors que es de-nin a a i b.

b) r i pp siguin paral·lels.

rang M ¹ rang M'

Per a a = 1 ® rang M = 2

Estudiem el determinant amb la columnade termes independents:

Si 13b � 39 = 0 ® b = 3

rang M' = 2

Si a = 1 i b ¹ 3 el sistema és incompatible ila recta és paral·lela al pla.

c) La recta r estigui continguda en el pla pp.

Si a = 1 i b = 3, rang M = rang M' = 2 i larecta està continguda en el pla.

-= -

- -

3 1 1

13 391 4

2 5 2

bb


132

Comencem

� Calcula la distància entre els parells depunts següents:

a) P(2, �3); Q(1, 2)

b) R(0, 0); S(3, 4)

c) T(5, �3); U(11, 5)

� Quina és la condició analítica que verifiquentots els punts P(x, y) del pla que es troben adistància 3 del punt C(1, �2)? Quina figuradeterminen aquests punts?

(x � 1)2 + (y + 2)2 = 9Una circumferència: la de centre en el punt C(1, �2) i radi r = 3.

� Donats els punts P(1, �3) i Q(4, q), calcula qperquè es verifiqui d(P, Q) = 5. Interpreta ge-omètricament les solucions obtingudes aju-dant-te de la representació gràfica.

Hi ha dos punts Q1 i Q2 d'abscissa 4 que disten5 unitats del punt P(1, �3). Els dos punts se si-tuen sobre la recta x = 4 i, juntament amb elpunt P, determinen un triangle isósceles.

Exercicis

1. Calcula la distància entre els parells depunts següents:

a) P(1, �1, �3) i Q(4, 2, 0)

b) R(0, �2, 5) i S(1, �3, 2)

c) T(4, �2, 1) i U(1, 1, 2)

d) V(5, �3, 7) i W(6, �2, 8)

2. Si la distància entre els punts P(2, �1, 3) iQ(t, 1, 2) és 3, calcula el valor de t. Quantspunts Q verifiquen aquesta condició?

Hi ha dues solucions:

Q1(0, 1, 2) i Q2(4, 1, 2)

3. Per a quin valor de t és mínima la distànciaentre els punts P i Q de l�exercici anterior?Quin és el valor d�aquesta distància mínima?

Derivem aquesta expressió respecte de t iigualem a zero:

La distància és mínima per a t = 2, i el valord'aquesta distància mínima és:

mín( , ) 5d P Q =

'( , ) 0 2 0 2d P Q t t= ® - = ® =

- -= =

- + - +2 2

2 4 2'( , )

2 4 9 4 9

t td P Q

t t t t

= - +2( , ) 4 9d P Q t t

=® - = ® - =

=12

2

04 0 ( 4) 0

4

tt t t t

t

- + = ® - + = ®2 24 9 3 4 9 9t t t t

= - + + = - +2 2( , ) ( 2) 4 1 4 9d P Q t t t

( 2, 2, 1)PQ t= - -uuur( , ) 3d P Q PQ= =

uuur

= =uuuur

( , ) 3d V W VW

= =uuur

( , ) 19d T U TU

= =uuur

( , ) 11d R S RS

= =uuur

( , ) 3 3d P Q PQ

y

x

P (1, –3)

Q (4, 1)

x = 4

Q (4, –7)

1

2

=+ + = ® + - =

= -12 2

2

16 18 25 6 7 0

7

qq q q q

q

+ + + =29 6 9 5q q

= = + + =uuur 2 2( , ) 3 ( 3) 5d P Q qPQ

( , ) 10d T U TU= =uuur

( , ) 5d R S RS= =uuur

= =uuur

( , ) 26d P Q PQ


133


4. Donat el triangle que té com a vèrtexs elspunts A(�1, 2, �4), B(4, 1, 6) i C(0, 3, 4), tro-ba les coordenades del baricentre G. Si Més el punt mitjà del costat AB, comprovaque es verifica d(G, C) = 2 · d(M, G).

Es compleix que

5. Donats els punts P(3, �6, 9) i Q(6, 3, �6), tro-ba les coordenades del punt R alineat ambP i Q de manera que es verifiqui:

Quina és la relació que hi ha entre d(R, Q) id(P, R)? Comprova la teva resposta fent-neel càlcul.

Anomenem R(x, y, z)

3 = 3x � 9 ® 12 = 3x ® x = 49 = 3y + 18 ® �9 = 3y ® y = �3�15 = 3z � 27 ® 12 = 3z ® z = 4

Les coordenades del punt R són (4, �3, 4)

Es compleix que d(R, Q) = 2 · d(P, R)

6. El triangle de vèrtexs els punts A(1, 2, 0),B(3, 2, 1) i C(1, �4, 0) és rectangle en A.

Comprova-ho:

a) Mitjançant el producte escalar.

b) Aplicant el teorema de Pitàgores.

7. Calcula el perímetre del triangle que s�obté

unint els punts de tall del pla 3x + 4y + 3z �� 12 = 0 amb els eixos de coordenades.

Eix OX: (4, 0, 0) ® punt PEix OY: (0, 3, 0) ® punt QEix OZ: (0, 0, 4) ® punt R

perímetre:

8. Calcula la distància del punt P(2, �3, �1) a larecta r: (x, y, z) = (1, �2, 1) + ll(2, 1, �3).

Equació del pla p que conté el punt P i és per-pendicular a r:

p: 2x + y � 3z � 4 = 0

Intersecció del pla p amb la recta r: punt P'

x = 1 + 2l; y = �2 + l; z = 1 � 3l2 (1 + 2l) + (�2 + l) � 3 (1 � 3l) � 4 = 02 + 4l � 2 + l � 3 + 9l � 4 = 0

14l = 7 ® l =

9. Determina la distància del punt P(�1, �3, �1)a la recta:

Interpreta el resultat obtingut.

Les coordenades del punt P verifiquen cadas-cuna de les equacions dels dos plans que de-terminen la recta r, la qual cosa significa que elpunt P pertany a la recta recta. Aleshores:Si P Î r ® d(P, r) = 0.

10. Donada la recta r: (x, y, z) = (0, 1, �2) + + ll(2, 0, �1) i el punt P(1, 0, �1), troba unaexpressió que et doni la distància d entreaquest punt P i un punt Q qualsevol de larecta r en funció del paràmetre l. Calculadesprés d(P, r) buscant el valor de l quefaci mínima la funció d = f(l).

Les coordenades d�un punt Q qualsevol són:Q = (2l, 1, �2, �l)

4 3 5 0:

2 5 0

x yr

y z

-- -- ==ììíí ++ ++ ==îî

10 10( , ) ( , ') ' 4 2

d P r d P P PP= = = =uuuur

3 1' 0, ,

2 2PP æ ö= ç ÷

è ø

uuuur

1 1 1 3 1' 1 2 , 2 ,1 3 2, ,

2 2 2 2 2P æ ö æ ö=+ × - + - × - -ç ÷ ç ÷

è ø è ø

1

2

0 4D= ® = -

( )2, 3, 12 3 0 4 3 3Px y z D D- -+ - + = ¾¾¾¾® - + + =

5 4 2 5 10 4 2PQ QRPR+ + = + + = +uuur uuuruuur

2 2241 5 36BC ACAB= + ® = +

uuur uuuruuur

= = =5; 6; 41uuur uuuruuurAC BCAB

(2,0,1) (0, 6,0) 0AB AC× = × - =uuur uuur

0AB AC× =uuur uuur

( , ) 35d P R PR= =uuur

( , ) 140 2 35d R Q RQ= = =uuur

= ® - = - + -3 (3,9, 15) 3( 3, 6, 9)uuur uuurPQ PR x y z

3uuur uuurPQ PR==

66 2 ( , ) 2 ( , )

2d G C d M G= × ® = ×

6( , )

2d M G MG= =

uuuur

( , ) 6d G C GC= =uuur

(1,2,2)G®

+ ++ + + +æ ö ®ç ÷è ø

3 3 31 1 1 2 2 2, ,3 3 3

a b ca b c a b cG


134

, amb

Derivem respecte de l:

11. Donat el triangle que té com a vèrtexs elspunts P(0, 0, 0), Q(2, 5, 0) i R(3, 2, �4), calcu-la�n l�altura relativa al vèrtex P. Quant vall�àrea d�aquest triangle?

L�altura relativa al vèrtex P és la distància entreel punt P i la recta que determinen els punt Q iR. Anomenem r aquesta recta.

r: (x, y, z) = (2, 5, 0) + l(1, �3, �4)

Pla p que conté P i és perpendicular a r:

Punt P' intersecció entre el pla p i la recta r:

2 + l � 3(5 � 3l) � 4 · (�4l) = 02 + l � 15 + 9l + 16l = 0

26l = 13 ® l =

Per a aquesta altura, la base del triangle és:

12. Calcula la distància del punt P(2, �3, 5) alpla que té com a equació:

p: x � 2y � 2z + 7 = 0

13. Dedueix una expressió general que et per-meti calcular la distància entre l�origen decoordenades i un pla del qual coneixes l�e-quació cartesiana.

14. El pla d�equació 2x � 2y + z + D = 0 es trobaa distància 2 de l�origen de coordenades.Troba D i interpreta el nombre de solucionsobtingudes.

Es verifica:

Hi ha dos plans que compleixen la condicióque estableix l'enunciat:

2x � 2y � z + 6 = 0 i 2x � 2y + z � 6 = 0

Evidentment, es tracta de dos plans paral·lels.

15. Quina és la distància entre el punt P(2, 0, �1)

i el pla que conté la recta = = iel punt (5, �1, 0)?

L'equació del pla p és:

16. Calcula la distància entre els parells de rec-tes següents:

a) r: (x, y, z) = (5, �1, 8) + ll(1, 0, 2)

Les coordenades d'un punt genèric P de larecta r són de la forma:

P(5 + l, �1, 8 + 2l)

I les d'un punt genèric P' de la recta s:

P'(2 + 3m, 2 � m, �1 + 4m).

' ( 3 3 ,3 , 9 4 2 )PP = - + m - l - m - + m - luuuur

2 3

: 2

1 4

x

s y

z

mm

m

== ++ììïï == --ííïï == -- ++îî

3 9310 5 18( , )3193 93

d P + -p = = =

2 8 5 18 0x y z® - - - =

3 8 16 8 2 2 0z y z x® - - - + - = ®

1 2

03 2 2

4 1 0

x y z- +

= ®-

2z

--2

2y ++1

3x --

1

2

62 6

634 4 1

DD DD

D

== = ® =

= -+ +

2 2 2 2 2 2

0 0 0( , )

A B C D Dd O

A B C A B C

× + × + × +p = =

+ + + +

2 2( 3) 2 5 7 5( , )

31 4 4d P

- - - × +p = =

+ +

2

326 10 32 65

2 2 2Pb h

A u××

= = =

26b QR= =uuur

90 3( , ) ( , ') 10

4 2Ph d P r d P P= = = =

1 3 1 5 7' 2 , 5 , 4 , , 2

2 2 2 2 2P æ ö æ ö= =+ - - × -ç ÷ ç ÷

è ø è ø

1

2

3 4 0x y z® - - =

( )0,0,0: 3 4 0 0Px y z D Dp - - + = ¾¾¾¾® = ®

14 70

5 5= =

2

mín

11( ) ( ) 5 2 3

55d Pr d PQ æ ö= = × - × + =ç ÷

è ø

'( ) 0 5 1 0 1/ 5d PQ = ® l - = ® l =

2 2

10 2 5 1'( )

2 5 2 3 5 27 3d PQ

l - l -= =

l - l + l - +

25 2 3= l - l +

2 2 2( ) (2 1) 1 ( 1)d PQ = l - + + -l - =

(2 1,1, 1)PQ = l - -l -uuur

( )d PQ PQ=uuur


135

Per tant,

b) r: (x, y, z) = ll(2, �1, �1)

Procediment de la mateixa manera que enel cas de l'apartat anterior, s'obté:

17. Comprova que la recta:

r: (x, y, z) = (2, �3, 0) + ll(1, 0, �2)

és paral·lela al pla p: 2x + 5y + z � 3 = 0. Tro-ba després la distància entre la recta r i elpla p.

El vector director de la recta i el

vector associat al pla han de ser

perpendiculars. En efecte:

18. La distància entre els plans p1: 3x + 2y + 4z

� 12 = 0 i p2: 3x + 2y + 4z + D = 0 és 3. Cal-cula D i interpreta geomètricament el nom-bre de solucions obtingudes.

Considerem un punt qualsevol d'un dels dosplans, per exemple, el pla p1: P(0, 0, 3).

Donat un pla, hi ha dos plans paral·lels a aquesti, per tant, paral·lels entre ells que es troben auna distància determinada del pla inicial.

19. Calcula la distància entre els plans:

p1: 5x � 4y � 2z + 3 = 0 i

p2: (x, y, z) = (1, 0, �2) + ll(2, 1, 3) + mm(0, 1, � 2)

Analitza�n prèviament la posició relativa.

Els plans són paral·lels, ja que el vector asso-ciat a p1 és perpendicular a cadascun dels vec-tors directors de p2:

(5, �4, �2) · (2, 1, 3) = 0(5, �4, �2) · (0, 1, �2) = 0d(p1, p2) = d(p2, p1) =

20. Determina la posició relativa de la recta:

i el pla p: x � 2y + z + 2 = 0. Quina és ladistància entre r i p?

La solució del sistema:

és x = 2, y = 4, z = 4

això vol dir que la recta r i el pla p es tallen enel punt P(2, 4, 4). Aleshores:

d(r, p) = 0

21. Considera les rectes r: = =

i s: (x, y, z) = (0, �3, 4) + ll(�1, 2, 1).

Comprova que r i s s�encreuen. Troba l�equa-ció del pla que conté s i és paral·lel a r i cal-cula la distància entre la recta r i aquest pla.

Pla que conté s i és paral·lel a r :

p: �6x � z + 4 + 2y + 6 � 4z + 16 � 3y � 9 � x = 0p: �7x � y � 5z + 17 = 0 ® 7x + y + 5z � 17 = 0

22. Troba l�angle format per les rectes:

r: (x, y, z) = (2 � l, 1 + 2l, l) is: (x, y, z) = (1, 1, �2) + m(2, �3, �5)

El vector director de la recta r es i

el vector director de la recta s,

13cos 30,58

6 38u v

u v

×a = = ® a = °×

r r

r r

= - -(2, 3, 5)rv

= -( 1,2,1)ru

47 47 4721 1 10 17( , ) 31549 1 25 75 5 3

d r - + - -p = = = =+ +

3 4

: 01 2 1

2 1 3

x y z+ -

p =-

-

23

z ++--

11

y --32

x ++

3 10 0

2 4 0

2 2 0

x y

y z

x y z

- + =ìï

- - =íï - + + =î

3 10 0:

2 4 0

x yr

y z

-- ++ ==ììíí -- -- ==îî

12 4 455 4 31525 16 4 45

+ += = =+ +

1 212 3 29; 12 3 29D D= - + = - -

12 3 29 12 3 29D D® + = ± ® = - ±

212( , ) 3 3 2912

9 4 16Dd P D

+p = = ® = ®++ +

2 2 5( 3) 3 14 7 30( , )

154 25 1 30d r

× + - -p = = =

+ +

2 2 0u n× = - =r ur

= (2,5,1)rn

= -(1,0, 2)ru

66( , )

6d r s =

3 1:

4 2 2x y z

s-- ++

== ==-- --

( , ) ( , ') 3'd r s d P P PP= = =uuuur

' (2,2, 1)PP = -uuuur

11 5 21 2

26 11 48 1

m - l = l = -üý

m - l = m =þ

' 3 3 2( 9 4 2 ) 0

' 3( 3 3 ) (3 ) 4( 9 4 2 ) 0

r

s

PP v

PP v

ü^ ®- + m - l + - + m - l = ïý

^ ® - + m -l - -m + - + m - l = ïþ

uuuur uur

uuuur uur


136

23. Donat el pla p: 3x � y + 2z � 1 = 0 i la recta

calcula l�angle que formen.

Vector director de la recta:

Vector associat al pla:

24. Calcula l�angle format pels plans:

p1: 4x � 3y + z + 7 = 0 ip2: (x, y, z) = (1, 0, 0) + l(2, �1, 0) + m(1, 3, �2)

Expressem el pla p2 en la forma Ax + By + Cz ++ D = 0

Vector associat al pla p1:

Vector associat al pla p2:

25. Considera la mateixa recta i el mateix pla del�exercici 23.

a) Troba l�equació de la recta r�, projeccióortogonal de la recta r sobre el pla p.

Tingues en compte que la recta r� és laintersecció entre el pla p i un altre pla p�que conté r i és perpendicular a p.

Equació del pla p� que conté r i és perpendi-cular a p.

Recta r', intersecció entre els plans p i p':

b) Calcula l�angle format per les rectes r i r�i comprova que és el mateix que l�angle

format per la recta r i el pla p que hastrobat a l�exercici anterior.

Angle que formen les rectes r i r':

Vector director recta r ®vector director recta r' ®

26. Donats els vectors = (2, �4, 1) i = (1, 3, �2),calcula�n el producte vectorial i comprovaque el nou vector que has obtingut és per-pendicular al vector i al vector .

27. Calcula l�angle format pels vectors = = (�1, 3, 4) i = (2, 0, 1) a partir de:

a) del seu producte escalar;

b) del seu producte vectorial.

28. Determina tots els vectors de mòdul 4 que

són perpendiculars als vectors = (3, 0, �1)

i = (1, 1, 0). Interpreta el nombre de solu-cions obtingudes.

Vector unitari que té la mateixa direcció i sentit

que el vector 1

1 1 31, ,

11 11 11r u r

r

-æ ö® = × = ç ÷è ø

r uur rr

(1, 1,3)r® = -r

1 2 3

3 2 133 0 1

1 1 0

e e e

r p q e e e= ´ = = - + ®-

uur uur uur

r ur ur uur uur uur

qr

pr

126sin 79,90

26 5v w

v w

´a = = ® a = °×

r ur

r ur

sinv w v w= a´r ur r ur

1 2 33 9 6e e e= + -uur uur uur

1 2 3

1 2 3 23 8 61 3 4

2 0 1

e e ev w e e e e´ = = + - + =-

uur uur uurr ur uur uur uur uur

2cos 79,90

26 5v w

v w

×a = = ® a = °r urr ur

wr

vr

( ) (5,5,10) (1,3, 2) 5 15 20 0vu v × = × - = + - =´rr r

( ) (5,5,10) (2, 4,1) 10 20 10 0uu v × = × - = - + =´rr r

1 2 3

1 2 35e 5e 10e2 4 1

1 3 2

e e eu v´ = = + +-

-

uur uur uurr r uur uur uur

vr

ur

vr

ur

285cos 10,08

21 3990u v

u v

×a = = ® a = °×

r r

r r

= - -( 37, 11,50)rv

= -(2,1, 4)ru

( ) ( )1 1' : , , , ,0 37, 11,50

2 2r x y z æ ö= + m - -ç ÷

è ø

3 2 1 0'

2 16 5 9 0

x y zr

x y z

- + - =ìí

+ + - =î

' : 2 16 5 9 0 2 16 5 9 0x y z x y zp - - - + = ® + + - =2 4 2 2 12 3 3 4 4 8 0x z y z y x® - - + - - + - - + =

2 1

' : 02 1 4

3 1 2

x y z- -

p = ®-

-

1 2

1 2

3cos 85,94

26 69

n n

n n

×a = = ® °

uur uur

uur uur

2(2,4,7)n =

uur1

(4, 3,1)n = -uur

2 4 7 2 0x y z® + + - =

2

1

: 0 2 2 6 4 02 1 0

1 3 2

x y z

x z z y

-

p = ® - + + + = ®-

-

3sin 10,08

21 14

u n

u n

×a = = ® a = °r ur

r ur

(3, 1,2)n = -r

= -(2,1, 4)ru

2 1:

2 1 4x y z

r-- --

== ==--


137

Vector unitari que té la mateixa direcció i sentit

contrari que el vector

Hi ha dos vectors que compleixen les condi-cions de l'enunciat de l'exercici:

Es tracta de dos vectors oposats i perpendicu-

lars al pla que determinen els vectors .

29. Quant ha de mesurar l�angle que formendos vectors per tal que el mòdul del seuproducte vectorial sigui màxim?

a = 90º. En aquest cas:

30. Donats els vectors = (2, 0, �1) i = (1, 1, �2),comprova que els vectors x i x tenenel mateix mòdul, la mateixa direcció i sen-tits contraris.

Es senzill veure que es tracta de dos vectorsoposats.

31. Considera el pla determinat pels punts P(1, 2, �1), Q(3, �2, 1) i R(0, 2, �3). Utilitza elproducte vectorial per determinar-ne el vec-tor associat i troba l�equació cartesiana d�a-quest pla.

Equació cartesiana del pla:

32. Donats els vectors = (1, 3, �2), = (�1, 0, 2)i = (2, �1, 3), comprova que es verifiquenles propietats del producte vectorial abansesmentades.

a) Anticommutativa

b) Distributiva respecte de la suma de vec-tors:

c) Producte per un nombre real:

33. Amb els mateixos vectors de l�exercici an-terior, esbrina si es verifica la igualtat:

x ( x ) = ( x ) x

No es verifica, ja que:

En canvi, .

34. Utilitza l�expressió en forma de determinantdel producte vectorial per demostrar que si

i són linealment dependents, x = .

Suposem que .

35. Raona la validesa de l�afirmació següent:

Si i són dos vectors linealment inde-pendents, els vectors { , , x } formenuna base de V3.

L'afirmació és correcta, perquè en ser i dos vectors linealment independents, el vector

x és perpendicular al pla que generanaquests dos vectors.Per tant, els vectors , i x també són li-nealment independents, i, en conseqüència,formen una base de V3.

36. Calcula l�àrea del paral·lelogram que es potobtenir a partir dels vectors = (1, 4, �3) i == (3, �2, 4).

1 2 3

1 4 3

3 2 4

e e e

v w´ = =-

-

uur uur uur

r ur

A v w= ´r ur

rwu

r

vrr

uvrr

u

vrr

u

vrr

u

vr

ur

vr

ur

vr

ur

1 2 3

1 2 3

1 2 3

e e e

o ov v v

v v v

= l = l × =

uur uur uur

r r

1 2 3

1 2 3

1 2 3

e e e

u v v v v v v

v v v

´ = l ´ = =l l l

uur uur uur

r r r r

u v= lr r

0r

vr

ur

vr

ur

( ) (3, 12, 6)wu v ´ = - -´urr r

( ) (17, 5,1)u v w´ = -´r r ur

wr

vr

ur

wr

vr

ur

( ) (6 ,0,3 )u v u vu vl = l ´ = ´ l = l l´r r r rr r

( ) (13, 7, 4)u u v u wv w´ = ´ + ´ = - -+r r r r urr ur

( ) (6,0,3)u v v u´ = - =´r r r r

wr

vr

ur

8 4 2 8 0D x y z® = - ® + - - =

(1,2, 1)4 2 0 4 2 2 0Px y z D D-+ - + = ¾¾¾¾® + + + = ®

( 1,0, 2)v PR= = - -r uuur

(2, 4,2) (1, 2,1)u PQ= = - ® -r uuur

1 2 3

1 2 34 2 (4,1, 2)1 2 1

1 0 2

e e en e e e n= = + - ® = --

- -

uur uur uurur uur uur uur ur

( 1, 3, 2)v u´ = - - -r r

(1,3,2)u v´ =r r

ur

vr

vr

ur

vr

ur

sin90v w v w v w= ° =´r ur r ur r ur

i p qur ur

2 2

4 4 12, ,4

11 11 11w u

- -æ ö= - = ç ÷è ø

uur uur

1 1

4 4 12, ,4

11 11 11w u

-æ ö= = ç ÷è ø

uur uur

1 1 3, ,

11 11 11

-æ ö-= ç ÷è ø

2

1r u r

r® = - × =

r uur rr


138

37. Els punts A(0, 1, 0), B(2, �1, �3) i C(�1, 3, 2)són tres vèrtexs consecutius d�un paral·le-logram. Es demana:

a) Les coordenades del quart vèrtex D.

Anomenem D(x, y, z)

2 = �1 � x ® x = �3

�2 = 3 � y ® y = 5

�3 = 2 � z ® z = 5

Les coordenades del quart vèrtex són

D(�3, 5, 5)

b) L�àrea del paral·lelogram.

c) La distància entre la recta r que contéels punts A i B, i la recta r� que conté elspunts C i D.

La distància d(r, r') coincideix amb l'alturadel paral·lelogram ABCD. Si prenem com abase d'aquest paral·lelogram el costat DC,es compleix:

A = base · altura ® A =

38. Calcula, fent ús del producte vectorial, ladistància entre el punt P(1, 0, �2) i la rectaque conté el punt Q(2, �1, 3) i és paral·lela ala recta:

(x � 1, y, z + 2) = l(1, 0, �3)

39. Calcula, fent ús del producte vectorial, ladistància entre el punt P(2, 0, �1) i la recta rdeterminada pels plans x + y � z + 3 = 0 i x �y � 3z � 5 = 0.

Equació de la recta r:

z = t, x = 2t + 1, y = �t � 4r: (x, y, z) = (1, �4, 0) + t(2, �1, 1)

40. Determina la mesura de les tres altures deltriangle que té com a vèrtexs els punts O(0, 0, 0), P(1, 2, 3) i Q(�2, 1, �1).

Altura relativa al vèrtex 0: distància entre elpunt 0 i la recta que passa pels punts P i Q.

Seguint el mateix procediment, s'obté:

Altura relativa al vértex

Altura relativa al vèrtex 5 42

14QQ h® =

5 2

2PP h® =

75 5 3 5 78

2626 26O

PQ POh

PQ

´= = = =uuur uuur

uuur

1 2 3 3 2 1 1 2 33 4 6 9 8 5 5 5e e e e e e e e e= + + - - - = - - +uur uur uur uur uur uur uur uur uur

1 2 3

3 1 4

1 2 3

e e ePQ PO´ = =- - -

- - -

uur uur uuruuur uuur

99 33 66( , )

26 2

u QPd P r

u

´= = = =r uuur

r

1 3 2 3 2 1 1 2 38 2 4 3 3 9e e e e e e e e e= + + + + - = - - +uur uur uur uur uur uur uur uur uur

1 2 3

2 1 1

1 4 1

e e e

u QP´ = =-

-

uur uur uur

r uuur

3 0

3 5 0

x y z

x y z

+ - + =ìí

- - - =î

74 37 185( , )

510 5

u QPd P r

u

´= = = =r uuur

r

(3,8,1) 74u QP u QP´ = ® =´r uuur r uuur

3 2 2 1 1 2 33 5 3 3 8e e e e e e e= + + + = + +uur uur uur uur uur uur uur

1 2 3

1 0 3

1 1 5

e e eu QP´ = =-

- -

uur uur uurr uuur

( 1,1, 5)QP = - -uuur

(1,0, 3)u = -r

3 3 17( , ')

1717

Ad r r

DC= = =uuur

( , ')d r rDC ×uuur

29 3A uAB AD= = =´uuur uuur

(2, 1,2)AB AD´ = -uuur uuur

1 22 2e e e= - +

uur uur uur1 3 2 3 2 110 8 9 6 10 12e e e e e e= - + + - - + =

uur uur uur uur uur uur

1 2 3

2 2 3

3 4 5

e e eAB AD´ = =- -

-


( 3,4,5)AD = -uuur

; (2, 2, 3)A ABAB AD= = - -´uuuruuur uuur

(2, 2, 3) ( 1 , 3 , 2 )AB DC x y z= ® - - = - - - -uuur uuur

2(10, 13, 14) 465v w A u´ = - - ® =r ur

1 2 310 13 14e e e= - -uur uur uur

1 3 2 3 2 116 2 9 12 4 6e e e e e e= - - - - - =uur uur uur uur uur uur


139

41. Els punts R(3, �4, 2), S(1, 0, �1) i T(0, �2, 3),estan alineats? Si la resposta és no, trobal�àrea del triangle que determinen.

No, ja que .

42. Utilitza el producte vectorial per trobar unvector associat al pla que conté els puntsM(1, �2, 1), N(3, 1, �1) i P(7, 7, �5). Interpretael resultat que obtinguis.

S'observa que , o també,

Per tant, . És així perquè elstres punts M, N i P estan alineats, i, en conse-qüència, no determinen cap pla.

43. Donats els vectors = (2, �4, 1), = (1, 3, �1)

i = (0, 2, �3), calcula:

a) � ( x )

b) � ( x )

c) � ( x )

d) 3 � (2 x )

44. Els vectors , i verifiquen = 2 � .Pots calcular-ne el producte mixt sense es-pecificar-ne l�ordre? Si la resposta és afir-

mativa, quant val? Justifica cadascuna deles respostes.El producte mixt dels tres vectors , i ésigual a zero, ja que es tracta de tres vectorsque són linealment dependents. En calcular eldeterminant, una fila seria combinació de lesaltres dues.

45. Se sap que el producte mixt de tres vectorsés diferent de zero. Què pots afirmar res-pecte d�aquests vectors?

Que són linealment independents.

46. Esbrina, utilitzant el producte mixt, si elspunts P(1, 2, �1), Q(3, 2, 1), R(0, 1, 3) i S(�3, 1, 0) són coplanaris.

Són coplanaris, ja que per exemple,

,

i això vol dir que es tracta de tres vectors quesón linealment dependents.

47. Utilitza el producte mixt per calcular el valorde t que fa que els vectors = (1, �1, 3), == (2, 3, �4) i = (t, 2, �1) siguin linealmentdependents. Expressa després el vector en combinació lineal dels vectors i .

�3 + 12 + 4t � 9t � 2 + 8 = 0 ® �5t + 15 = 0 ®® t = 3

(3, 2, �1) = l1 (1, �1, 3) + l2 (2, 3, �4)

La solució del sistema és l1 = l2 = 1

Aleshores:

48. Calcula l�àrea total i el volum de la piràmideque té com a vèrtexs els punts P(2, 3, 1),Q(4, 1, �2), R(2, 3, 5) i S(�2, �1, 3).

L'àrea total de la piràmide és la suma de lesàrees dels triangles que en determinen les ca-res

At = APQR + APQS + APRS + AQRS

1 2 3

1 28 82 2 3

0 0 4

e e ePQ PR e e´ = = - - ®- -

uur uur uuruuur uuur uur uur

(2, 2, 3); (0,0,4)PQ PR= - - =uuur uuur

u v w= +r r ur

1 2

1 2

1 2

3 2

2 3

1 3 4

= l + lìï = -l + líï- = l - lî

1 1 3

0 02 3 4, ,

2 1

v w u

t

-

= ® =é ù -ë û-

r ur r

wr

vr

ur

ur

wr

vr

0, ,PQ PR PS =é ùë ûuuur uuur uuur

wr

vrr

u

wr

vr

ur

wr

vr

ur

( )3 1442p q r× = -úr ur r

rr

rq

rp

( ) 24r p q× = -´r ur ur

rq

rp

rr

( ) 24p r q× =úr r ur

rq

rr

rp

( ) 24p q r× = -úr ur r

rr

rq

rp

rr

rq

rp

n MN MP o= ´ =ur uuuur uuuur r

3MP MN=uuuur uuuur

1

3MN MP=uuuur uuuur

(6,9, 6)MP = -uuuur

(2,3, 2)MN = -uuuur

21 285

2 2A uRS RT= =´

uuur uuur

(10,11,8) 285RS RT RS RT´ = ® =úuur uuur uuur uuur

1 2 310 11 8e e e= + +uur uur uur

1 3 2 3 2 14 4 9 12 2 6e e e e e e= - + + + + =uur uur uur uur uur uur

1 2 3

2 4 3

3 2 1

e e e

RS RT´ = =- -

-


1

2A RS RT= ´

uuur uuurRS ST¹ l ×uuur uuur


140

El volum de la piràmide és:

49. Troba el volum del paral·lelepípede format apartir dels vectors:

= (4, �3, 5), = (1, 0, �3) i = (�3, 5, �1)

50. a) Determina les coordenades dels vèrtexsde la piràmide limitada pels eixos de co-ordenades i el pla d�equació:

3x + 4y + 2z � 12 = 0

x = y = 0 ® z = 6

3x + 4y + 2z � 12 = 0 y = z = 0 ® x = 4

x = z = 0 ® y = 3

Els vèrtexs de la piràmide són:

O(0, 0, 0) P(4, 0, 0) Q(0, 3, 0) i R(0, 0, 6)

b) Calcula�n el volum.

51. Considera les rectes següents:

r: (x, y, z) = (5, �1, 8) + l(1, 0, 2)

a) Comprova que s�encreuen.

S'encreuen, ja que no tenen cap punt encomú i no són paral·leles.

b) Calcula de tres maneres diferents la dis-tància que les separa.

Nota: L'apartat b) d'aquest exercici noméss'ha resolt mitjançant el procediment indicaten l'apartat.

, , 9( , ) 3

3

PQ u vd r s

u v

é ùë û= = =´

uuur r r

r r

(2, 2,1) 3u v u v´ = - ® =´r r r r

3 2 2 1 2 36 4 2 2e e e e e e= - + - + - +uur uur uur uur uur uur

1 2 3

1 0 2

3 1 4

e e e

u v´ = =

-

uur uur uurr r

3 3 9

9 18 12 6 91 0 2, ,

3 1 4

PQ u v

- -

= = + - - =é ùë û-

uuur r r

(5, 1,8); (2,2, 1) ( 3,3, 9)P Q PQ- - ® = - -uuur

2 2 1:

3 1 4x y z

s-- -- ++

== ==--

31 172 12, ,

6 6V uOP OQ OR= = × =é ùë û

uuur uuur uuur

4 0 0

720 3 0, ,

0 0 6

OP OQ OR = =é ùë ûuuur uuur uuur

355, ,V uu v w= =é ùë ûr r ur

4 3 5

25 27 3 60 551 0 3, ,

3 5 1

u v w

-

= = - - + =é ù -ë û- -

r r ur

wr

vr

ur

31 1 3264, ,

6 6 3V uPQ PR PS= = × =é ùë û

uuur uuur uuur

250,5tA u;

224 12 2 4 29 u= + +

24 2 24 8 2 4 29tA u= + + + =

21 18 29 4 29

2 2QRSA uQR QS= = × =úuur uuur

8 29QR QS =úuur uuur

(24, 32,16)QR QS´ = -uuur uuur

1 3 2 3 2 110 4 42 12 10 14e e e e e e= + - + + +uur uur uur uur uur uur

1 2 3

2 2 7

6 2 5

e e e

QR QS´ = =-

- -


( 2,2,7); ( 6, 2,5)QR QS= - = - -uuur uuur

21 116 2 8 2

2 2PRSA uPR PS= = × =úuur uuur

16 2PR PS =úuur uuur

( 16, 16,0)PR PS® ´ = - -uuur uuur

1 2 3

2 116 160 0 4

4 4 2

e e e

PR PS e e´ = = - ®

- -

uur uur uur

uuur uuur uur uur

(0,0,4); ( 4, 4,2)PR PS= = - -uuur uuur

21 124 12

2 2PQSA uPQ PS= = × =úuur uuur

24PQ PS =úuur uuur

1 2 316 8 16e e e= - + -uur uur uur

1 3 2 3 2 14 8 12 8 4 12e e e e e e= - - + - - - =uur uur uur uur uur uur

1 2 3

2 2 3

4 4 2

e e ePQ PS´ = =- -

- -


(2, 2, 3); ( 4, 4,2)PQ PS= - - = - -uuur uuur

214 2

2PQRA uPQ PR= =úuur uuur

8 2PQ PR =úuur uuur

( 8, 8,0)PQ PR® ´ = - -uuur uuur


141

52. Comprova que els punts A(1, 0, 0), B(2, 5, 3),C(�2, �4, 7) i D(�1, �2, �5) no són coplana-ris. Calcula el volum de la piràmide que de-fineixen i troba la distància entre les ares-tes AB i CD.

No són coplanaris, ja que .

Equació de la recta que conté l'aresta AB:

r: (x, y, z) = (1, 0, 0) + l(1, 5, 3)

Equació de la recta que conté l'aresta CD:

r': (x, y, z) = (�1, �2, �5) + m(1, 2, �12)

Les rectes r i r' s'encreuen. Per qualsevol delsprocediments analitzats en aquesta unitat s'obté:

53. Determina la posició relativa de les rectes:

Si les rectes r i s s�encreuen, utilitza el pro-ducte mixt per calcular la distància que lessepara.

Les rectes r i s s'encreuen.

54. Calcula l�àrea total i el volum del paral·lele-pípede que es pot obtenir a partir dels vec-tors = (2, �1, 0), = (1, 2, �3) i x . Dequin tipus de paral·lelepípede es tracta?

Anomenem

Es compleix que . per tant, els vectors

verifiquen:

a) Són perpendiculars dos a dosb) Tenen el mòdul diferent

En conseqüència, el paral·lelepípede és unortòedre.

55. Els punts O(0, 0, 0), P(2, 3, �1) i Q(1, �2, 3)són tres vèrtexs d�una piràmide. Quina és lacondició analítica que han de verificar lescoordenades (x, y, z) del quart vèrtex Rper tal que el volum d�aquesta piràmide si-gui 14 u3? Fes-ne la interpretació geomètri-ca.

7x � 7y � 7z = 84 ® x � y � z � 12 = 0

7x � 7y � 7z = �84 ® x � y � z + 12 = 0

Es tracta de dos plans que són paral·lels entresi i paral·lels al pla determinat pels punts O, P iQ. La distància entre cadascun d'aquestsplans i el pla definit pels punts O, P i Q és pre-cisament l'altura de la piràmide corresponent.

114 847 7 7 7 7 7

6x y z x y z= ® =- - - -

4 9 2 3 6 7 7 7z y x x z y x y z= - - + - - - = - -

2 3 1

1 2 3, ,OP OQ OR

x y z

-

= =é ù -ë ûuuur uuur uuur

(2,3, 1) (1, 2,3) ( , , )OP OQ OR x y z= - = - =uuur uuur uuur

31; 14, ,

6V V uOP OQ OR= =é ùë û

uuur uuur uuur

35 14 70 70V u= × × =

( ) 2 22 70 116,81 5 14 tu A u= ®+ + ;

( )2 5 14 5 70 14 70tA = =× + × + ×

5; 14; 70u v w= = =r r ur

, i wr r uuru v

0u v× =r r

(3,6,5)w u v= ´ =ur r r

(3,6,5)u v´ =r r

1 3 3 2 1 2 33 4 6 3 6 5e e e e e e e= + + + = + +uur uur uur uur uur uur uur

1 2 3

2 1 0

1 2 3

e e e

u v´ = =-

-

uur uur uur

r r

vr

ur

vr

ur

33 33 2( , )

105 2d r s = =

( 4,3, 5) 5 2u v u v´ = - - ® =´r r r r

1 3 2 3 2 1 1 2 36 2 3 4 3 5e e e e e e e e e= - - + + + - = - + -uur uur uur uur uur uur uur uur uur

1 2 3

2 1 1

1 3 1

e e e

u v´ = =- -

uur uur uur

r r

1 3 4

1 24 3 4 6 3 332 1 1, ,

1 3 1

PQ u v

-

= = - - - + - - = -é ù - -ë ûuuur r r

, ,( , )

PQ u vd r s

u v

é ùë û=´

uuur r r

r r

(1, 3,4); ( 2, 1,1); (1,3,1)PQ u v= - = - - =uuur r r

2i : 1

3y

s x z++

== == --

1 1: 3

2 1x y

r z++ --

== == ++-- --

13 510( , ')

170d r r =

31 1 39117, ,

6 6 2V uAB AC AD= = × =é ùë û

uuur uuur uuur20 18 70 24 75 14 117= + - - - + = -

1 5 3

3 4 7, ,

2 2 5

AB AC AD = =é ù - -ë û- - -

uuur uuur uuur

(1,5,3); ( 3, 4,7); ( 2, 2, 5)AB AC AD= = - - = - - -uuur uuur uuur

0, ,AB AC AD ¹é ùë ûuuur uuur uuur


142

Acabem

1. Troba la distància del punt (3, 4, 5) a la rectad�equació

amb

2. Es demana l�equació del pla que conté l�eixOX i dista 6 unitats del punt P(0, 10, 0).

Equació general del pla: Ax + By + Cz + D = 0.

El pla conté l�eix OX ® un dels punts del pla ésl�origen de coordenades ® D = 0.

Vector associat al pla és normal al

vector , un dels vectors directors delpla.

Per tant, el pla que hem de trobar és de la for-ma By + Cz = 0.

Com que el punt P(0, 10, 0) dista 6 unitats d�a-quest pla, es compleix:

Hi ha dos plans que verifiquen les condicionsestablertes a l�enunciat d�aquest exercici:

p1: 3y + 4z = 0 i p2: �3y + 4z = 0

3. Determina un punt de la recta:

r: (x, y, z) = (1, �1, �2) + l(2, 3, 2)

que equidisti dels plans:

3x + 4y � 1 = 0 i 4x � 3y � 1 = 0

És única la solució?

Interpreta geomètricament el resultat quehas obtingut.

Les coordenades d�un punt genèric P de larecta r són:

P(x, y, z) ® P(1 + 2l, �1 + 3l, �2 + 2l)

S�ha de verificar:

d(P, p1) = (P, p2)

Si

Si

Hi ha dos punt solució. Els plans p1 y p2 sónperpendiculars i la recta r té un punt d�intersec-ció amb cadascun d�ells.

4. Considera el punt P(1, 1, 3) i la recta:

r: (x, y, z) = (l, 2 + l, 2l)

Troba:

a) L�equació del pla perpendicular a la rec-ta r que conté el punt P.

L�equació general d�un pla perpendicular ala recta r és x + y + 2z + D = 0. Com queaquest pla ha de contenir el punt P(1,1,3),es compleix:

1 + 1 + 6 + D = 0 ® D = �8 ®® x + y + 2z � 8 = 0

b) El punt intersecció d�aquest pla amb larecta r.

x = l; y = 2 + l; z = 2l; x + y + 2z � 8 = 0

2

4 9 29 42, ,

17 17 17 17P

- - -æ öl = ® ç ÷è ø

1

8 35 5 22, ,

19 19 19 19P -æ öl = ® ç ÷

è ø

818 2 6

1918 2 6

418 2 6

17

l - = -l + ® l ==l - -l +

-l - = l - ® l =

4(1 2 ) 3( 1 3 ) 1

5

+ l - - + l -=

3(1 2 ) 4( 1 3 ) 1

5

+ l + - + l -=

( )2 2 23

100 364

B B CB C® = ® = ±+

2 2

2 2

10 6 10 6B B B CB C

× = ® = ± + ®+

× = ® =0 0r rn u A

= (1,0,0)ru

= ( , , )rn A B C

876( , ) 146

6d P r = =

6u =r

(26, 14, 2) 876u QP u QP´ = - - ® =´r uuur r uuur

1 2 326 14 2e e e= - -uur uur uur

1 3 2 3 2 120 6 4 8 10 6e e e e e e= + - - - + =uur uur uur uur uur uur

1 2 3

1 2 1

4 6 10

e e e

u QP´ = =-

uur uur uur

r uuur

(4,6,10)QP =uuur

(1,2, 1); ( 1, 2, 5); (3,4,5)u Q P= - = - - - =r

( , ) u QPd P ru

´=

r uuur

r

1 2 51 2 1

x y z++ ++ ++== ==

--


143

El compliment simultani de les quatre equa-cions ens duu a una altra equació que enspermet trobar el valor del paràmetre l quecorrespon al punt d�intersecció entre la rec-ta i el pla:

l + 2 + l + 4l � 8 = 0 ® l = 1l = 1 ® x = 1, y = 3, z = 2

El punt és P'(1, 3, 2).

c) La distància del punt P a la recta r.

5. Donades les rectes:

r: x = y = zi s: (x, y, z) = (1, 1, �1) + l(2, �1, 1)

es demana:

a) L�equació de la recta perpendicular a r ia s.

Un punt P genèric de la recta r és P(m, m, m)i un punt P' genèric de la recta s,

P'(1 + 2l, 1 � l, �1 + l).

El vector

ha de ser perpendicular al vector i

al vector .

Per tant: .

Les dues igualtats anteriors ens condueixenal sistema:

la solució del qual és .

Per tant, tenim que:

La recta perpendicular a les rectes r i s ésla recta que conté els punt P i P'. Té perequació:

b) La distància entre les rectes r i s.

6. Determina els vectors de mòdul 2 que sónalhora perpendiculars als vectors (2, �2, 3) i(3, �3, 2).

Si representem per un d�aquestsvectors, s�ha de complir alhora:

(v1, v2, v3) · (2, �2, 3) = 0 ® 2v1 � 2v2 + 3v3 = 0

(v1, v2, v3) · (3, �3, 2) = 0 ® 3v1 � 3v2 + 2v3 = 0

La solució del sistema format per aquestes tres

equacions és:

Hi ha dos vectors que verifiquen les condicionsde l�enunciat de l�exercici:

7. Calcula l�angle que formen les rectes:

i s: (x, y, z) = (1, 2, �3) + l(�3, �4, 5)

El vector director de la recta r és i el

de la recta s, .

Els dos vectos són perpendicular ® a = 90º

8. Calcula l�àrea del triangle que té com a vèr-texs els punts O(0, 0, 0), P(1, 1, 0) i Q puntintersecció de la recta (x, y, z) = (�1 + 2l, �1 ++ 3l, �2 + l) amb el pla XY.

Q: punt intersecció de la recta (x, y, z) == (�1 + 2l, �1 + 3l, �2 + l) amb el pla z = 0.�2 + l = 0 ® l = 2 ® Q(3, 5, 0)

, amb

212 1

2A u= × =

(0,0,2) 2OP OQ OP OQ´ = ® =´uuur uuur uuur uuur

1 2 3

3 3 35 3 21 1 0

3 5 0

e e eOP OQ e e e´ = = - =

uur uur uuruuur uuur uur uur uur

(1,1,0) i (3,5,0)OP OQ= =uuur uuur1

2A OP OQ= ´

uuur uuur

× = - - + =9 16 25 0r ru v

= - -( 3, 4,5)rv

= (3,4,5)ru

1 1 1:

3 4 5x y z

r-- ++ ++

== ==

( ) ( )1 2 i v2, 2,0 2, 2,0v = = - -r r

3 1 20, 2v v v= = = ±

2 2 21 2 32 4v v vv = ® + + =r

1 2 3( , , )v v v v=r

126 3 14( , ) ( ') ' 7 7

d r s d PP PP= = = =uuuur

3 3 3( , , ) (2,1, 3), ,

7 7 7x y z æ ö= + l -ç ÷

è ø

3 3 3 9 6 6 6 3 9; ' ; PP', , , , , ,

7 7 7 7 7 7 7 7 7P P

- -æ ö æ ö æ ö=ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø

uuur

1 3,

7 7l = m =

2 3 1

3 0

l - m = -ìí

l - m =î

' 0 i ' 0PP u PP v× = × =uuuur uuuurr r

(2, 1,1)v = -r

(1,1,1)u =r

' (1 2 ,1 , 1 )PP = + l - m - l - m - + l - muuuur

( , ) ( , ') 5'd P r d P P PP= = =uuuur


144

9. Troba l�angle que formen les rectes:

r: x = y = z

Vector director recta r :

Vector director recta s:

Com que , les dues rectes són perpen-diculars ® a = 90º.

10. Troba els vèrtexs de la piràmide triangularque determinen els plans

y = 0, z = 0, x � y = 0 i 3x + 2y + z � 15 = 0

i calcula�n el volum.

Vèrtex O

x = y = z = 0 ® O(0, 0, 0)

Vèrtex A

x = 5, y = z = 0 ® A(5, 0, 0)

Vèrtex B

x = y = 0, z = 15 ® B(0, 0, 15)

Vèrtex C

x = y = 3, z = 0 ® C(3, 3, 0)

El volum de la piràmide es calcula:

, on

11. Anomenem pla paral·lel mitjà a dos plansparal·lels aquell pla els punts del qual equi-

disten d�aquests dos plans. Determina l�e-quació del pla paral·lel mitjà als plans 2x ++ 2y + z � 4 = 0 i 2x + 2y + z + 10 = 0.

L�equació del pla que ens demanen ha de serdel tipus 2x + 2y + z + D = 0.Si P(x, y, z) és un punt d�aquest pla, s�ha decomplir la igualtat:

d(P, p1) = d(P, p2)

2x + 2y + z � 4 = �2x � 2y � z � 104x + 4y + 2z + 6 = 0 ® 2x + 2y + z + 3 = 0

12. Troba la condició analítica que verifiquentots els punts de R3 que disten 2 unitats delpla d�equació 3x + y � z = 0.

Representem per P(x, y, z) un d�aquests punts.

Són punts que pertanyen a dos plans paral·lelsal pla que ens donen i que es trobem a distàn-cia 2 (equidisten) d�aquest pla, que és el plaparal·lel mitjà dels altres dos.

13. Determina l�angle format per:

a) La recta x = y = i el pla y = 0.

b) Els plans 3x � 5 = 0 i 2x � y + z + 2 = 0.

14. Calcula la distància del punt P(3, �5, 6):

a) A l�origen de coordenades.

b) A cadascun dels plans XY, XZ i YZ.

pla XY: 6pla XZ: 5pla YZ: 3

( , ) 70d O P OP= =uuur

= = -

×a = = = ® a = °

1 2

1 2

1 2

(3,0,0); (2, 1,1)

6 6cos 35,3

33 6

r r

r r

r r

n n

n n

n n

==

×a = = ® a = °

(1,1,2)

(0,1,0)

1sin 24,1

6

r

r

rrr r

u

n

u n

u n

2z

3 2 11 032

11 3 2 11 0

x y zx y z

x y z

+ - - =+ -=

+ - + =

2 2 4 2 2 10x y z x y z=+ + - + + +

2 2 4 2 2 10

3 3

x y z x y z+ + - + + +=

31 75225 37,5

6 2V u= × = =

5 0 0

2250 0 15, ,

3 3 0

u v w = =é ùë ûr r ur

(5,0,0)

(0,0,15)

(3,3,0)

u OA

v OB

w OC

= =

= =

= =

r uuur

r uuur

ur uuur

1, ,

6V u v w= é ùë û

r r ur

0

0

3 2 15 0

z

x y

x y z

=ìï

- =íï + + - =î

0

0

3 2 15 0

y

x y

x y z

=ìï

- =íï + + - =î

0

0

3 2 15 0

y

z

x y z

=ìï

=íï + + - =î

0

0

0

y

z

x y

=ìï

=íï - =î

0u v× =r r

( 1,0,1)v = -r

(1,1,1)u =r

+ =ì® = + m -í

=î

1: ( , , ) (1,0,0) ( 1,0,1)

0

x zs s x y z

y

1i :

0

x zs

y

++ ==ììíí ==îî


145

c) A cadascun dels tres eixos de coordena-des.

eix

eix

eix

15. a) Calcula l�àrea total i el volum del paral·le-

lepípede generat pels vectors i

de la figura 12.36.

V = 3 · 5 · 4 = 60 u3

Nota: cal observar que l�àrea i el volum d�a-quest ortòedre es poden determinar de ma-nera molt senzilla, ja que se�n coneixen lestres dimensions.

b) Determina l�angle que formen les rectesOT i QS.

les rectes OTi SQ són perpendiculars ® a = 90º.

16. Determina l�equació dels plans de vectorassociat = (1, 2, �3) i que disten 3 unitatsde l�origen de coordenades.

Els plans de vector associat són dela forma x + 2y � 3z + D = 0.

La distància de l�origen de coordenades a und�aquest plans és 3. Aleshores:

Hi ha dos plans solució:

i

17. Calcula l�àrea total i el volum de la piràmidelimitada pels plans x = 0, y = 0, z = 0 i 2x ++ 3y + 4z � 12 = 0.

Els vèrtexs de la piràmide són els punts:

O(0, 0, 0) A(6, 0, 0) B(0, 4, 0) i C(0, 0, 3)

Àrea de la piràmide:

Volum de la piràmide:

18. Esbrina la longitud del segment projeccióortogonal del segment que té com a ex-trems els punts A(2, 4, 1) i B(1, �2, 5) sobreel pla 2x + y � z = 0.

Si representem per l la longitud del segment,es compleix:

on a és l�angle que forma la recta que contéels punts A i B amb el pla 2x + y � z = 0.

, amb i (2,1, 1)n = -ur

( 1, 6,4)AB = - -uuur

sin AB n

AB n

×a =×

uuur ur

uuur ur

cosl AB= × auuur

3172 12

6V u= × =

6 0 0

720 4 0, ,

0 0 3

OA OB OC = =é ùë ûuuur uuur uuur

1, ,

6V OA OB OC= é ùë û

uuur uuur uuur

26 2927 27 3 29

2A u= + = +

1044 6 29AB AC = =´uuur uuur

1 3 212 24 18 (12,18,24)e e e= + + ®uur uur uur

1 2 3

6 4 0

6 0 3

e e e

AB AC´ = =-

-

uur uur uur

uuur uuur

( 6,4,0); ( 6,0,3)AB AC= - = -uuur uuur

272

AB AC´= +uuur uuur

6 3 6 4 4 3 1

2 2 2 2A AB AC

× × ×= + + + =´

uuur uuur

2 3 3 14 0x y z+ - - =2 3 3 14 0x y z+ - + =

3 143

14 3 14

DD

D

==

= -

(1,2, 3)n = -ur

nr

9 25 16 0OT SQ× = - + - = ®uuur uuur

( 3,5, 4)SQ = - -uuur

(3,5,4)OT =uuur

, ,V OP OQ OR= é ùë ûuuur uuur uuur

22 12 2 15 2 20 94A u= × + × + × =

2 2 2A OP OQ OQ OROP OR= + +´ ´´uuur uuur uuur uuuruuur uuur

ORuuur

, OP OQuuur uuur

2 23: 34OZ d x y= + =

2 22: 45 3 5OY d x z= + = =

2 21: 61OX d y z= + =


146

19. Quina és la condició que han de verificarels vectors associats a dos plans que sónperpendiculars? Expressa-la analíticamentutilitzant els seus components.

Els vectors associats també han de ser per-pendiculars:

pla p1: Ax + By + Cz + D = 0 ®

pla p2: A'x + B'y + C'z + D' = 0 ®

20. Troba l�equació de la recta projecció orto-gonal de la recta (x, y, z) = (1, �2, �4) + + l(3, 2, �1) sobre el pla 3x � 2y + z � 2 = 0.

Determinem l�equació del pla que conté la rec-ta (x, y, z) = (1, �2, �4) + l(3, 2, �1) i és per-pendicular al pla 3x � 2y � z � 2 = 0.

D�aquest pla, en coneixem el punt (1, �2, �4) idos vectors directors: (3, 2, �1) i (3, �2, 1)

La recta que ens demanen és la recta intersec-ció dels plans 3x � 2y + z � 2 = 0 i

y + 2z + 10 = 0.

21. Donats els vectors = (3, �2, 4) i = (1, 4, �2),troba:

a) El seu producte vectorial.

b) Un vector unitari perpendicular als dosvectors.

Hi ha dos vectors unitaris que compleixenaquesta condició:

� El que té la mateixa direcció i el mateix

sentit que el vector

� El que té la mateixa direcció que el vec-

tor , però el sentit contari

c) L�àrea del paral·lelogram que es pot di-buixar a partir de i .

d) El volum del paral·lelepípede que s�obtéa partir dels vectors , i x .

22. Calcula l�angle que formen dues de les dia-gonals d�un cub. Per més comoditat, situaun dels vèrtexs del cub a l�origen de coor-denades i considera�l d�aresta unitat.

Considerem la recta r que conté la diagonaldeterminada pels vèrtexs (0, 0, 0) i (1, 1, 1), i larecta s que conté la diagonal determinada pelsvèrtex (1, 0, 0) i (0, 1, 1).

Vector director de la recta

Vector director de la recta

L�angle a que formen les diagonals del cub ve-rifica:

23. Troba els punts de la recta que passa perA(�1, 0, 1) i B(1, 2, 3) que distin 3 unitats delpunt C(2, �1, 1). Interpreta geomètricamentel nombre de solucions obtingudes.

L�equació de la recta r que conté els punts A i Bés: (x, y, z) = (�1, 0, 1) + l(1, 1, 1) ® (x, y, z) == (�1 + l, l, 1 + l)

1cos 70,53

3u v

u v

×a = = ® a = °r r

r r

( 1,1,1)s v® = -r

(1,1,1)r u® =r

32 110 2 110 440V u= × =

vr

ur

vr

ur

22 110A uu v= =´r r

vr

ur

6 5 71, ,( 12,10,14)

110 110 1102 110

- -æ ö- - = ç ÷

è ø

u v´r r

6 5 71, ,( 12,10,14)

110 110 1102 110

-æ ö- = ç ÷

è ø

u v´r r

440 2 110u v = =´r r

( 12,10,14)u v´ = -r r

1 2 312 10 14e e e= - + +uur uur uur

1 2 3 3 2 14 4 12 2 6 16e e e e e e= + + + + - =uur uur uur uur uur uur

1 2 3

3 2 4

1 4 2

e e e

u v´ = =-

-

uur uur uur

r r

vr

ur

( 6, 10,0) ( 5, 6,3)= - - + m - -

3 2 2 0( , , )

2 10 0

x y zx y z

y z

- + - =ì® =í

+ + =î

1 2 4

0 2 10 03 2 1

3 2 1

x y z

y z

- + +

= ® + + =-

-

× = ® × + × + × =' 0 ' ' ' 0r rn n A A B B C C

=' ( ', ', ')rn A B C

= ( , , )rn A B C

× =' 0r rn n

29cos 53 29

53l AB= × a = × =

uuur

2 174 29cos 1 sin

318 53a = - a = =

12sin

53 6a =

×


147

La distància entre el punt C (2, �1, 1) i un puntP qualsevol de la recta r ve donada per l�ex-pressió:

Per tant, per a un punt P de r que es troba adistància 3 del punt C, es compleix:

Com que el punt C no pertany a r, hi ha dospunts que verifiquen la condició de l�enunciat:

l1 = 1 ® P1(0, 1, 2)

24. Determina la distància de la recta:

a cadascun dels eixos de coordenades.

La recta r es pot expressar en la forma:

r: (x, y, z) = (2, 2, 0) + l(1, �1, 1)

D�altra banda, l�eix OX té per equació:

(x, y, z) = m(1, 0, 0)

La distància entre la recta r i l�eix OX es potcalcular mitjançant l�expressió:

amb

Fent els càlculs, s�obté:

Amb el mateix procediment es calculen les al-tres dues distàncies que es demanen. S�obte-nen els resultats següents:

Distància entre la recta r i l�eix OY ®

Distància entre la recta r i l�eix OZ ®

25. Donat el triangle que té com a vèrtexs elspunts A(�3, 4, 0), B(3, 6, 3) i C(�1, 2, 1), tro-ba la mesura dels seus angles. Pertany l�o-rigen de coordenades al pla que contéaquest triangle?

Pel mateix procediment s�obté:

Equació del pla que conté els punts A, B i C

No hi pertany, ja que D ¹ 0.

26. Donades les rectes:

r: x � 1 = y + 2 = z � 3i s: (x, y, z) = (1 � l, 2l, 3 + 2l)

localitza dos punts, un de cada recta, talsque la distància entre ells sigui mínima.

Un punt P genèric de la recta r ès de la forma:

P(1 + l', �2 + l', 3 + l')

i un punt P' genèric de la recta s té per coorde-nades:

P'(1 � l, 2l, 3 + 2l)

Perquè es verifiquin les condicions de l�enun-ciat cal localitzar PÎr i P'Îs tals que el vector

sigui perpendicular a cadascun dels vec-tors directors de lesdues rectes.

Com que ,

El sistema:

té per solucions .

En conseqüència:

4 2 7' , ,

3 3 3P sæ ö Î-ç ÷

è ø

4 5 10, ,

3 3 3P r-æ ö Îç ÷

è ø

1 1 i '

3 3l = l = -

3 3 ' 2

3 9 ' 4

l - l =ìí

l - l =î

' 0 3 9 ' 4PP v× = ® l - l =uuuur r

' 0 3 3 ' 2PP u× = ® l - l =uuuur r

= -l - l - l + l - l + l' ( ', 2 2 ', 2 ')uuuurPP

= = -(1,1,1) i ( 1,2,2)r ru v

'PPuuuur

3 4

0 2 3 06 2 3

2 2 1

x y z

x z

+ -

= ® - + =

-

µ µ25,2 i 96,4B C= ° = °

µ µ11 11cos 58,4

2149 9

AB ACA A

ACAB

×= = = ® = °

×

uuur uuur

uuuruuur

(6,2,3); (2, 2,1)AB AC= = -uuur uuur

2 2

2

2 2 22

22d = = =

(0,1,1) 2u v u v´ = ® =´r r r r

2, ,PQ u v =é ùë ûuuur r r

(0,0,0), (2,2,0), (1, 1,1), (1,0,0)P Q u v= - =r r

, ,PQ u vd

u v

é ùë û=´

uuur r r

r r

4:

2 0

x yr

x y z

-- ==ììíí ++ -- ==îî

2 2

1 2 1 4, ,

3 3 3 3P æ öl = ® -ç ÷

è ø

12

2

13 4 1 0 1

3

l =® l - l + =

l =

( ) ( )2 2 2 33 1+ + l = ®l - l +

( ) ( )2 2 2( , ) 3 1d C P CP= = + + ll - l +uuur


148

27. Els punts A(1, 2, 3), B(2, 4, �1) i C(3, 2, 3)són tres vèrtexs consecutius d�un paral·le-logram. Calcula�n l�àrea i la mesura dels an-gles que formen les seves diagonals. Dequin tipus de paral·lelogram es tracta?

Representem per D(x, y, z) el quart vèrtex delparal·lelogram.

Es compleix:

1 = 3 � x ® x = 22 = 2 � y ® y = 0�4 = 3 � z ® z = 7

Per tant, D(2, 0, 7)Angle que formen les diagonals:

les diagonals són perpendicu-lars ® a = 90º

El paral·lelogram és un rombe, ja que:� té les diagonals perpendiculars� els costats no són perpendiculars

� els costats són iguals

28. Troba la distància del punt P(1, 2, �4) al pla

que conté la recta = y = i és

paral·lel a la recta s:

Equació vectorial de la recta s:

(x, y, z) = (�1, �1, 0) + m(4, 2, 1)

Equació general del pla p que ens demanen:

29. Determina l�angle que forma la recta:

r: x + 1= =

amb el pla p que conté el punt (2, 1, 1) i larecta s: x � 1 = y = z + 2.

Equació general del pla p:

Hem considerat com a vectors directors del plap el vector director de la recta s i el vector de-terminat pels punts (2, 1, 1) i (1, 0, �2), amb-dós pertanyents a p.

On és un vector director de la recta r

i , el vector associat a p.

30. Calcula la distància entre el punt P(1, 2, �1)i el punt P� simètric de P respecte del plaque conté el punt (4, 1, 0) i és paral·lel al plax � 3y + z � 5 = 0.

Equació del pla p que conté el punt (4, 1, 0) iés paral·lel al pla x � 3y + z � 5 = 0:

x � 3y + z � 1 = 0

Equació de la recta r que passa per P i és per-pendicular a p:

(x, y, z) = (1, 2, �1) + l(1, �3, 1)

(x, y, z) = (1 + l, 2 � 3l, �1 + l)

Punt intersecció Q entre la recta r i el pla p:

1 + l � 3 (2 � 3l) + (�1) + l � 1 = 0 ®

El punt Q és punt mitjà entre P i P'. Aleshores:

7 11 14 11( , ') 2 ( ) 2 2

11 11d P P d PQ PQ= = = × =

uuur

7 18 1 4, ,

11 11 11 11Q -æ ö® l = ® ç ÷

è ø

(4,1,0)3 0 4 3 0 1x y z D D D- + + = ¾¾¾® - + = ® = -

= -(1, 1,0)rn

= (1,3,2)ru

1 7sin 22,2

77u n

u n

×a = = = ® a = °r ur

r ur

2 1 1

0 1 01 1 1

1 1 3

x y z

x y

- - -

= ® - - =

12

z ++23

y --

68 68 2855 28 32 13( , )285285 285

d P - - -p = = =

1 1

0 5 14 8 13 02 1 3

4 2 1

x y z

x y z

- -

= ® - + - =-

2 1 0

2 1 0

x y

y z

-- -- ==ììíí -- ++ ==îî

13

z --1:

xr

z

----

( )BC CDAB DA= = =uuur uuuruuur uuur

( )0AB AD× ¹uuur uuur

0AC BD× = ®uuur uuur

(2,0,0); (0, 4,8)AC BD= = -uuur uuur

(1,2, 4) (3 ,2 ,3 )AB DC x y z= ® - = - - -uuur uuur

2 3

2

8 4 (0, 8, 4)

64 16 4 5

e e AB AC

A uAB AC

= - - ® ´ = - -

= = + =´

uur uur uuur uuur

uuur uuur

1 2 3

1 2 4

2 0 0

e e eAB AC´ = =-


(1,2, 4) (2,0,0)AB AC= - =uuur uuur


149

31. Calcula l�àrea del triangle els vèrtexs del qualsón els punts intersecció del pla 2x + y + 3z == 6 amb els eixos de coordenades. Escriul�equació de la recta que conté cadascundels costats d�aquest triangle.

Vèrtexs del triangle:

A(3, 0, 0) B(0, 6, 0) C(0, 0, 2)

Recta que conté el costat AB:

(x, y, z) = (3, 0, 0) + l1(�1, 2, 0)

Recta que conté el costat AC:

(x, y, z) = (3, 0, 0) + l2(�3, 0, 2)

Recta que conté el costat BC:

(x, y, z) = (0, 0, 2) + l3(0, �3, 1)

216 14 3 14

2A u= × =

(12,6,18) 504 6 14AB AC AB AC´ = ® = =´uuur uuur uuur uuur

1 2 3

1 3 212 18 63 6 0

3 0 2

e e eAB AC e e e´ = = + +-

-

uur uur uuruuur uuur uur uur uur

( 3,6,0) ( 3,0,2)AB AC= - = -uuur uuur

1

2A AB AC= ´

uuur uuur


150

ISBN: 84-481-3899-6

SOLUCIONARI Unitat 1 - · PDF fileSOLUCIONARI Unitat 1. 7]. En quin dels tres intervals...

Documents

Transcript of SOLUCIONARI Unitat 1 - · PDF fileSOLUCIONARI Unitat 1. 7]. En quin dels tres intervals...