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Cálculo I Integral (MAT201), Secc.675 3er Trimestre, 2do Semestre 2015; 2doParcial – 6taGuíaEstudio Documento elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363

SOLUCIONARIO – Guía Complementaria No.06: Criterios de Convergencia Página 1 de 17

6ta Guía de Estudio – 2do Parcial

Criterios de Convergencia para Series (Positivas y Alternantes)

SOLUCIONARIO – Guía Complementaria No.06 Comentarios Generales Ésta guía cumple única y exclusivamente la función de repaso o complemento de los temas que posiblemente serán evaluados en el segundo examen parcial, además, se establece que en ningún momento ésta guía de estudio pretende reemplazar el libro de texto y mucho menos, proporcionar un formato de los ejercicios que podrían ser evaluados en un examen; se hace ésta aclaración para evitar especulaciones y conjeturas desacertadas entre los estudiantes de ésta y las otras secciones de Cálculo I Integral, dado que ésta herramienta ha sido elaborada tomando como referencia diferentes textos de Cálculo y guías de universidades extranjeras, que a criterio del Catedrático (Autor), genera un valor agregado en el conocimiento de los futuros profesionales de la Ingeniería. Se le recuerda la importancia de trabajar con disciplina, perseverancia y honestidad cada ejercicio, dado que Ud. es el único responsable de su éxito o fracaso, el catedrático no es más que un facilitador del conocimiento, por lo tanto, ante cualquier inquietud no dude en consultarlo. Instrucciones Específicas: Para que el trabajo grupal sea aceptado y revisado por la totalidad del puntaje, el documento deberá cumplir las siguientes condiciones: a) Desarrollo en hojas blancas o rayadas (sin espiral) tamaño carta utilizando ambas caras de la

hoja. b) Formato de presentación conforme a lo estipulado en el silabo de curso (portada y todos los

demás elementos que apliquen según sea el caso). c) Los ejercicios deberán estar listados en el orden numérico correlativo de la guía. d) Todas las páginas que conformen el trabajo (excepto la portada) deberán estar etiquetadas con

su respectivo número de página en la esquina inferior derecha de las mismas y el formato será: “X de Y”, donde: X = página cualquiera; Y = número total de páginas que forman el trabajo.

e) Ser entregado en la fecha estipulada en el calendario del aula virtual. A.-) En los problemas del 1 al 38, determine si la serie es convergente o divergente.

econvergent3n

1totanlopor,1ntodoparacumplese

31

3n1

131porqueeconvergent

ygeometricaesque31

31

serieconordinariancomparació3n

1).1

1nnnn

1n

n

1nn

1nn

-----------------------------------------------------------------------------------------------------



141014

1n

1nln

231

finalmente

01n

1lim

11n

1limH'L

1n1nln

lim1n1nln

0limS

1n1nln

0

1n1nln

nnln

nnln

1n1nln

...44ln

33ln

33ln

22ln

22ln

10

1n1nln

nnln

nln1nlnn

1nln

atelescópicserie

141

67

121

61112

1S

161r

61

21a

61

21

61

21

23

121

2231

231

geométricaserie

n1n

ln231

n1n

ln231

).2

1nn

1n

1nn

n

nnnnn

1n1n

n1

1n1

1nn

1n

n

1n

n

1nn

n

1nn

n

1n1nn

n

1n1nn

n

1nn

1n

1n1nn

n

1nn

1n

1nn

n

------------------------------------------------------------------------------------------------------

0alimporqueadivergencilaparaomintérésimondelcriterio

elpordiverge2n

n1totanlopor;1

2nn

lim2n

n1limalim

2nn

1).3

nn

1n

n

n

n

nn

n

1n

n

------------------------------------------------------------------------------------------------------



alternasseriesdecriterioelporconverge2n

n1totanlopor

0

n21n

1lim

n1n

1

2nn

lim

0alim).2.4

2xtodopara02x

x2

2x

x2x2x1'

2xx

;entonces,2n

n1defunciónuna

2xx

xfsea

initoinfelenedecrecientessiverificaraa).1.42n

n1).4

1n2

n

2n

2

2

2n

nn

22

2

22

2

2

1n2

n2

n1n

1n2

n

------------------------------------------------------------------------------------------------------

cocientedelcriterioporconverge

5

2ntotanlopor

,152

152

n1

1lim52

n1n

lim52

n51n2

lim22n55

521nlim

5

2n5

21n

lima

alim

;cocientedelcriterioelAplicando

5

2n).5

1nn

1n2

2

n

2

n2

2

n1n21n

nn2

n

n

1n2

1n

n2

nn

1n

n

1nn

1n2

------------------------------------------------------------------------------------------------------



divergenteconocidaserieunacontrabajó

sequeyalímiteelenncomparaciódecriteriopordiverge1n2

1totanlopor

021

n12

1lim

n1n

1

1n2n

lim

n1

1n21

limba

lim

definiciónpordivergente

yarmónicaesquen1

serieconlímiteelenncomparació1n2

1).6

1n

nnnn

n

n

1n1n

------------------------------------------------------------------------------------------------------

egralintladecriteriopor

nlnn1

entonces,divergenteesegralintlacomo

2ln2limwln2limxln2limdxxlnx

1lim

Cxln2Cu2duuduu

1

xdx

du

xlnu

dxxlnx

1

dxxlnx

1limdx

xlnx1

;siguienteloplantearpodemosnlnn

1

serielade,2enedecrecientycontinua,positivafunciónunaxlnx

1xfsea

*egralintcriterioelaplicarparanecesariasscondicionelasverificar,estudioComo*

nlnn1

).7

2n

ww

w

2w

w

2w

21

21

w

2w2

2n

2n

------------------------------------------------------------------------------------------------------



cocientedelcriteriopordiverge!2n

!n2totanlopor

,12123n1n

lim23n1n2

lim

!n2!n1n2n3n!n1n2n!n1n22

lim!n2!3n

!2n!1n22lim

!2n!n2

!21n!1n2

lima

alim


!2n!n2

).8

1n

n

nn

n

1n

nn

1n

nn

1n

nn

1n

n

1n

n

------------------------------------------------------------------------------------------------------

cocientedelcriterioporconvergeentotanlopor

1e1

1e1

n1n2n

lime1

ne1n

limneee1n

lim

en

e1n

lima

alim

;cocientedelcriterioelAplicandoen

en).9

1n

n2

2

2

n2

2

n21n

n2

n

n

2

1n

2

nn

1n

n

1nn

2

1n

n2

------------------------------------------------------------------------------------------------------



egralintladecriterioporenentonces,econvergentesegralintlacomo

e31

e1

31

031

e1

lim31

e

1lim

31

e31

lime31

lime31

limdxexlim

Ce31

Ce31

due31

dxx3du

xu

dxex

dxexlimdxex

;entonces,,1enedecrecientycontinua,positivafunciónunaexxfsea

1xtodopara0e

x32x'

e

x

;entonces,endefunciónunaexxfsea

en).10

1n

n2

1www

1

w

w

w

w

1

x

w

w

1x2

w

xuu

2

3

x2

w

1x2

w1x2

x2

x

3

x

2

1n

n2x2

1n

n2

3

3

3333

3

3

33

3

33

33

3

------------------------------------------------------------------------------------------------------

alternasseriesdecriterioporeconvergentesnlnn

11finalmente

edecrecientestotanlopor,2xtodopara0xlnx

1xln

xlnxx

1xxlnx'f

nlnn1

1serieladefunciónunaxlnx

1xfSeaaa).2.11

0nlnn

1lim

nlnn1

1limalim).1.11

nlnn1

1).11

2n

1n

22

2n

1nn1n

n

1n

nn

n

2n

1n



omintérésimondecriteriopordivergensentotanlopor.D.Nnsenlim

nsen).12

1nn

1n

------------------------------------------------------------------------------------------------------

cocientedelcriterioporconverge!nn3

totanlopor;1003n

1nlim3

n1n3

limn3!n1n

!n1n33lim

n3!1n!n1n3

lim

!nn3

!1n1n3

lima

alim


!nn3

).13

1n

2n

2n

2n2n

21n

n2n

21n

n2n

21n

nn

1n

n

1n

2n

------------------------------------------------------------------------------------------------------

econvergentes

21n2sen

totanlopor,1ntodoparacumplese21

21n2sen

121porqueeconvergent

ygeometricaesque21

21

serieconordinariancomparació

21n2sen

).14

1nnnn

1n

n

1nn

1nn

------------------------------------------------------------------------------------------------------

cocientedelcriterioporconverge

!nn3

totanlopor;131

5n31n

lim

!n5n32n3...8522n3...852!n1n

lim

2n3...852!n

21n32n3...852!1n

lima

alim


2n3...852!n

).15

1n

2n

n

nnn

1n

n

0n




sequeyalímiteelenncomparaciódecriteriopordiverge1n1n

totanlopor

01

n11n

11lim

n1n

1

1nnn

lim

n1

1n1n

limba

lim

definiciónpordivergenteyarmónicaesquen1

serieconlímiteelennComparació

n1

nn

1n1n

1n1n

).16

1n3

2

3

2

n3

3

3

3

n

3

2

nn

n

n

1n

3

2

3

2

1n3

2

------------------------------------------------------------------------------------------------------

.omintérésimondelcriterioelpordiverge21totanlopor

;01222lim21limalim

21).17

1n

n1n

01n

1

nn

1n

nn

n

1n

n1n

------------------------------------------------------------------------------------------------------

alternasseriesdecriterioporeconvergentes

1n1

finalmente

edecrecientestotanlopor,2xtodopara01xx2

1

1x

x21

x'f

1n1

serieladefunciónuna1x

1xfSeaaa).2.18

01n

1lim

1n1

limalim).1.18

1n1

).18

2n 2n

1n

22

2n

1n

n1n

n

1n

nn

n

2n

1n



alternasseriesdecriterioporeconvergentes

nnln

1Finalmente

0n

1lim

1n

1limH'L

nn2

lim

n21

n1

limH'Lnnln

lim).2.19

aacumpleseyinitoinfelenedecrecientesserielacuallodevistaen,epara

edecrecientesxftotanlopor,exo2xlncuando0x2

xln2x'f

entonces;nnln

1serieladefunciónunaxxln

xfsea).1.19

nnln

1).19

1n

n

nnnnn

n1n2

2

23

1n

n

1n

n

------------------------------------------------------------------------------------------------------

cocientedelcriterioporconverge5

5ntotanloPor

151

151

5n6n

lim51

5n56n

lim5n55

56nlim

55n

551n

lima

alim

;cocientedelcriterioelAplicando5

5n).20

1nn

nn1n

n

n

n

1n

nn

1n

n

1nn



1222

12123

112

3

nn

n1n

2

3finalmente

1011n

1lim1lim

1n1

1limS

1n1

1

1n1

n1

n1

1n1

...4

13

13

12

12

111

1n1

n1

1nnn

1nn1n

nn

n1n

atelescópicserie

123

212

23

2112

3S

12

1r

213a

21

32

13

2

13

2

3

geométricaserie

nn

n1n

2

3

nn

n1n

2

3).21

1n22

n

nnnn

1n1n1n2

n

1n

n

1nn

n

1nn

1n 2n

1n2

1n 2n

1n22

n

------------------------------------------------------------------------------------------------------



converge5n2n

1ntotanlopor,1ntodoparacumplese

n1

5n2n1n

12peconvergentypserieesquen1

serieconordinarianComparació

n1

nn

5n2nn

11n

5n2nn

11n

5n2nn

11n

5n2n1n

5n2n1n

).22

1n23

2

223

2

1n2

2323

2

23

22

23

22

23

2

1n23

2

------------------------------------------------------------------------------------------------------


sequeyalímiteelenncomparaciódecriteriopordivergen1

tantotanlopor

;011x1seclim

x1

x1

x1sec

limH'Lx

1x

1tanlim

00

n1

n1tan

limba

lim

definiciónpordivergenteyarmónicaesquen1serieconlímiteelennComparació

n1

tan).23

1n

22

n2

22

nn

nn

n

n

1n

1n

------------------------------------------------------------------------------------------------------

omintérésimondelcriteriopordivergen1nsenFinalmente

0x;nn

1x

01x

xsenlim

n1

n1sen

limn1nsenlimalim

n1nsen).24

1n

0xnnn

n

1n



cocientedelcriterioporconvergee

!ntotanloPor

10e

1nlim

!ne

e!n1nlim

!ne

e!1nlim

e

!ne

!1n

lima

alim

;cocientedelcriterioelAplicandoe

!n).25

1nn

1n2n1n2n

n

n1n

n

n

n

1n

nn

1n

n

1nn

2

2

2

2

2

2

2

2

------------------------------------------------------------------------------------------------------

cocientedelcriterioporconverge5

1ntotanloPor;1

51

151

1n2n2n

lim51

1n5552n2n

lim1n5511n

lim

51n

511n

lima

alim


51n

).26

1nn

2

2

2

n21n

n2

n21n

n2

n

n

2

1n

2

nn

1n

n

1nn

2

------------------------------------------------------------------------------------------------------



egralintladecriteriopor

nnln

entonces,econvergentesegralintlaComo

8466.021

22ln

00

0w1lim

1w

1limH'L

wwln

lim**

21

22ln

limw1

wwln

limx1

xxln

limdxx

xlnlim

x1

xxln

x1

xxln

xdx

xxln

I

x1vx

dxdu

dxxdvxlnu

dxx

xln

dxx

xlnlimdx

xxln

;entonces,,2enedecrecientycontinua,positivafunciónunax

xlnxfsea

2xtodopara0x

xln21x

x2xlnxx

x2xlnxx1

'x

xln

;entonces,n

nlndefunciónuna

xxln

xfsea

nnln

).27

2n2

www

ww

w

2w

w

2 2w

22

2

w

2 2w2 2

2

344

2

2

2n22

2n2

------------------------------------------------------------------------------------------------------

convergene

totanlopor,1ntodoparacumplesen1

ne

12peconvergentypserieesquen1

serieconordinarianComparació

ne

).28

1n2

n1

22

n1

1n2

1n2

n1



alternasseriesdecriterioporeconvergentesncosh

1Finalmente

01

ncosh1

lim).2.29

aacumpleseyinitoinfenedecrecientesxf,1xtodopara0xcoshxsenh

x'f

entonces;ncosh

1serieladefunciónuna

xcosh1

xfsea).1.29

ncosh1

).29

1n

n

n

n1n2

1n

n

1n

n

------------------------------------------------------------------------------------------------------

alternasseriesdecriterioporeconvergentes5n

n1Finalmente

0n

1lim

21

1n2

1limH'L

5nn

lim).2.30

aacumpleseyinitoinfenedecrecientesxf,5xtodopara05xx2

x5x'f

entonces;5n

n1serieladefunciónuna

5xx

xfsea).1.30

5nn

1).30

1n

n

nnn

n1n2

1n

n

1n

n

------------------------------------------------------------------------------------------------------

omintérésimondelcriteriopordivergen1nsenFinalmente

001

54

53

1lim

54

53

1lim

515

1

435

limalim

435

).31

1n

nnnn

nn

nnn

n

nn

n

nn

n

1nnn

n



econvergentconocidaserieunacontrabajó

sequeyalímiteelenncomparaciódecriterioporconvergen

n1sen

totanloPor

0x;nn

1x

01x

xsenlim

n1

n1sen

limn1nsenlim

nn1n

n1sen

limba

lim

123peconvergentypserieesque

n

1serieconlímiteelennComparació

n

1nn

1nn

1

nn

1sen).33

1n

0xnnnn

n

n

1n 23

23

1n

------------------------------------------------------------------------------------------------------

divergenteconocidaunaconcomparadoseraldiverge

ncosnn1

totanloPor

,1ervalointelenntodoparacumplesen2ncosnnncosnn

1n21

:verificardebemoscualelpormotivo

divergenteesquen21

serielautilizarpodemosordinariancomparaciódecriterioelPor

nncosn0quecumplese

initoinfelenxcosfunciónladeentocomportamieliónconsideracenTomando

ncosnn1

).34

1n2

22

2

1n2



econvergentlmentecondicionaesestudiadaseriela,convergeaydivergea/R

econvergentesnlnn

11,alternasseriesdecriteriosdosloscumplenseComo

0

nnln1n

1lim

nlnn1

lim

0alimqueverificar).2.B

edecrecientesserielatotanlopor,afirmativaesddesigualda;1n

1nln

n1nnln1nln1nln1nnlnnnlnn

11nln1n

1aainitoinfelenedecrecientesserielaqueverificar).1.B

alternasseriesdeCriterioBPARTE

divergentenlnn

1entonces,divergenteconocidaserie

unaconcomparadasidohanlnn

1serielayafirmativaesddesigualdalaComo

;0nln0nln0nnlnnnnlnnnlnn

1n1

divergentearmónican1

acomparativconocidaSerienlnn

1

ordinariancomparaciódeCriterioAPARTE

alternasseriesdecriteriorecomiendasenlnn

11a)B

ncomparaciódecriteriorecomiendasenlnn

1nlnn

11a).A

:deadivergencioiaconvergenclaestudiarasealternaesserieestaComo

nlnn1

1).36

1nn

1nn

1n

1n

nn

nn

n1n

1n

1n

1n1n

1n

1n

1nn

1n1n

1n

1nn

1n

1n

------------------------------------------------------------------------------------------------------



.tambiéndiverge12entoncesdivergen1

como

02ln2ln2lim

n1

n12ln2

limH'L00

n1

12lim

ba

lim

:verificardebemoscualelpormotivo

divergenteesquen1

serielautilizarpodemosdirectancomparaciódecriterioelpor

1212).38

1n

n

n1

n2

2n

1

n

n1

nn

n

n

1n

n1

1n

n

Bibliografía Utilizada en la Conformación Teórica y Selección/Solución de los Ejercicios Planteados 1. Purcell, E. (2009). Cálculo 1, 1ª ed. México. Pearson Educación. 2. Sánchez, G.; Castro, J. (2001). Cálculo Integral (Ejercicios y Problemas), 1ª ed. Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores

de Monterrey (ITESM). México. Thomson Editores 3. Stewart, J. (2002). Cálculo, Trascendentes Tempranas, 4ª ed. México. Thomson Editores. 4. Zill, D. (1994). Cálculo con Geometría Analítica, 1ª ed. México. Grupo Editorial Iberoamericana. 5. Stewart, J. (2008). Cálculo de una Variable, Trascendentes Tempranas, 6ª ed. México. Cengage Learning Editores. 6. Edwards, H.; Penney, D. (2008). Cálculo con Trascendentes Tempranas, 7ª ed. México. Pearson Educación. 7. Thomas, G. (2010). Cálculo Una Variable, 12ª ed. México. Pearson Educación. 8. Larson, R. (2010). Cálculo 1 de Una Variable, 9ª ed. México. McGraw-Hill Educación. 9. Zill, D. (2011). Cálculo de Una Variable. Trascendentes Tempranas, 4ª ed. México. McGraw-Hill Educación. 10. Cálculo Diferencial e Integral. Ingeniería Matemática; Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas. Universidad de Chile.

Santiago de Chile. 11. Carrasco, P.; Torres, G. (2008). Matemáticas IV – Cálculo Integral, 1ª ed. México. Cengage Learning Editores. 12. Cortes, I. (1978). Cálculo Elemental. Universidad Nacional Experimental de Táchira. Táchira, República Bolivariana de

Venezuela. 13. Rojas, D. Matemáticas II: Ingeniería Mecánica y Química. Instituto Universitario de Tecnología “José Antonio Anzoátegui”.

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Monterrey (ITESM). México. Limusa, Grupo Noriega Editores. JCLZ1209® D.R.2015

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