Solucionario Calculo Diferencial Granville
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-Luego: x =0,1. Se sustituye este valor en la primera derivada.f''(xj-x'(x +2)(x - 2)f'(0,1)=(+0,1)2(0,1 +2)(0,1-2)f'(O,l)=( +)( +)( -)=" - ".Puesto que el signo de la derivada no cambia de signo=> No hay ni Mximos ni Mnimos.
MARCOS ANTONIO VALLADARES SOSAPRIMERA EDICiN
Valores Crticos: x- ; x- 2; x- 2.Para: x=Ox
-
20. + 20
;r 20.-2(-10)j
feO) - 2 f(3)
f (O) = 20 . Sustituyendo f (3) y f (O) en la funcin originar
feO) (0)3 + 5 (0)2- 4 (O) + 20 = O+ O - O+ 20 20
Luego, calculamos feO)
f(3) = (3)3 -5(3i - 4(3) + 20. 27 - 45 - 12 + 20 _ 47 - 57
f(3) = - ID
Primero calculamos f(3)
feS) _ c. f (O)_ - 2f(3)
a. rrn , 12rtn, (1)3_ 5 (1)2_ 4 (1) +20.1 - 5 -4+20. 21 -9:.
f(l) .12
b. feS) _ O
f(5) _ (5)3 - S (5)2- 4 (S)+ 20 = 125 - 125 - 20 + 20. O
1. Dado r(x) Xl - 5x2 - 4x + 20, demostrar que
Soluelonaro de Der .. das
bttp:/ /toboepl1.blog~pot.(Oln ~
~aotqlltlobos, .pobemoS'ijinete!
(.oOlllnii)\i) be
lo nete~ario para tngre~ar a la unibtrsilJab,
-
f(l/2 Tt) _ O
C. f(Tt)
'f(Tt) _ sen2(Tt) + cos Tt _ sen 3600 + cos 1800 O+ (-1).
b. f(lI2 n)
f(1/2 7t). sen~t:~ + cos fi-). sen Tt + COS ~Oo O+O.
feO) _ 1
feO) sen 2 (O) + cos (O) sen O+ cos O. O+ 1 _ 1
n. f (O)
S. Si f(8) _ sen 29 + cos 9_Hallar:
f(-2) 12
f(2) .12
e. f(-2)
f(-2).4 -2 (_2)2+ (_2)4.4 - 8 + 16.20-8.12
f(-l) _3
d. f(2)
f(2).4 _2(2)2+ (2)4 .4 - 8 + 16.20 - 8
c. f(-1),
f(-I).4 -2 (_1)2+ (_1)4.4 - 2 + 1 .5 - 2
.:~.~::;~:~Selucenarlo deDerlvadns ;:" ',-
feO) _ 4
b. f(l)
f(l) _4 - 2(1)2 + (1)4.4 - 2 + 1.5 - 2
f(J).3
n. feO)C(O) _ 4 - 2 (0)2+ (0)4.4 - O + O 4
2. SI f(x) 4'- 2x1+ x\ calcular:
f(7). 5. f(-I)
90 = 5(18)
90 _ 90
Sustituyendo, f(-I) y f(7) en la funcin original
f(7) = (7)3 - 5(7)2 - 4(7) + 20.343 - 245 - 28 + 20
f(7) & 363'- 273.90
Luego, calculamos f(7)
f(-I).18
f(-I).(-1)1-5(-1)2-4(-I)+20.-1-5+4+20.-6+24
Primero calculamos t( -1)
d. f(7) _5 f(-l)Soluciona ro de Derlvndas
-
5x'+xhhf(x + h) - f(x) _ x - x - h
(x + h)x
f(x + h) - f(x). X'- ex + h)(x + h) x
Luego: f(x + h) - f(x) = _1_ -_1x+h x
f(x +'h)'= _1 _x+h
Primero encontramos f(x + h) :
7, Dado f(x) .1.., demostrar que: f(x + 11)- f(x). - 1x x'+xh
Luego: f{x+ h) - f (x)
f(x + h) - f(x) =x3 + 3x2h + 3xh2 + h3 + 3x + 3h - (x3 + 3x)
f(x + h) - f(x) _ ,*-l + 3x2h + 3xh2+ h3 + 3x + 3h _ ,,3 - 3x
Efectuando: f(x + h) - f(x) _ 3x2h + 3h + 3xh2 + h3
f(x + h). (x + h)3+ 3(x + h)
Solucionarlo de Derlvadas
4
Primero encontramos f(x + h)
f(y + h). i -2y + 6 + 2(y - I)h + h2f(y + h) = (y + h)2 - 2(y + h) + 6
f(y+ h)& i+ 2yh + h2 - 2y - 2h + 6f'(y + h) = y2 - 2y + 6 + 2yh - 2h + h2
f(y+h)~i-2y+6+h(2y-I)+h2
r(y + 11)= y2 _ 2y + 6 + (2y -1)11 + 112
6, Dado f'(x) Xl + 3x, demostrar que
f(x + h) - f(x). 3(x2+ l)h + 3xh2+ h3
S, Dado f(y) & y2 - 2y + 6 , demostrar que:
Haciendo operaciones:
f(l+ 1)=t3_2!2_ Ilt+ 12
f(t+ 1).(t+ 1)3-5(t+ 1)2-4(t+ 1)+20
f'(t + 1) = 1,3+ 312+ 3t + 1 - 5(t2 + 2t + 1) - 4t - 4 + 20
f(t + 1) = t3+ 3t2 + 3t + 1 - 5t2 - 10t - 5 ' 4t - 4 + 20
..4, Dado f(x) x3 - 5x2 - 4x + 20, demostrar que:
f(n). -1
Solucounrto de Derivadas
;'
...,~.. ,", .
1..~ . ,,'
-
7Sustituyendo en : sen (x + 2h)
sen x (cos2h - sen2h) + cos x (2 sen h. cos 11)
sen x (1 - 2 sen+h) + cos x (2 sen h. cos h)
Por Trigonometra: {COS 2x cos2 X - sen2 x. I - 2sen2 x.sen 2x 2sen x .cos x,sen (x + y) = sen x.cos y + cos x .sen y.
sen (x + 2h) sen x . cos 2h + cos x sen 2h.
Primero encontramos f'(x + 2h)
f(x + 2h) - f(x). 2cos (x + h).(sen h)
11. Dndo : f(x) = sen x , demostrar que
Ahora calculamos eI>[!Y...ll), sustituyendo en : + (x). log~.(1 + yz II+ xJ
+(y) + $(z) = log 1'. - z+ z - f(1 + yz) - (y + z)~1+ y+Z+ yz(l+yz) + (y+z)
.v
~.
Sclucionario de Dervndas
:1,;':\ "" !'"".o.,.~.,.....
6
Luegocalculamos + (70) sustituyendo en 4>(x) : 4>(z) 10S( I - z].. L1+ z)
Primero calculamos+ (y) , sustituyendo en +(x): $(y) _ log(J....:...y)ll+ yJ
Si: $(x) a< ~ (y).$ (2) aY +z _. (y + 2)
10.Dado + (x)alog[l. x],demostrar que: el> (y) + + (2). +CY....Dl+x LI+yzJ
~ ~(z + 1).$(z) _ 3$(z)
9. si $(x). a" .demostrar que: $(y).eI>(z). +(y+ 2)
{
+(y).aY$(z) _ a'$(y).$ (z)=aY.a' .aY+z
Pero :+(z) = 4-",
+(z + 1)- (z+1)_42~1, Primero encontramos el> (z + 1)
$(2+ 1). ~(2)= 3~(2)
8. Dado ~(z) _ 4' ,dcmostl'nr que:
Solucionorio de Derivndns'.
-
98
lim ex 2+ 3x(0) + (0)1)o.x2+ o +m.[oC -lt-,x) - Wh~ol 2x+5(O) -j l2x+0 J lhJ (2-lt-) l2J
Se sustituye h ~O tanto en el numerador como en el denominador.
\
=> f(x+2h) - ((x) _ 2eos (x+h}, sen h .
2 sen h (cos (x + h) 2sen h .cos(x + h) _ 2cos (x + h). sen h.
,-
lim [4 (0\2+ 3(0) + 2]_ [Q..O.2] _ .l._-_1HO (O) + 2(0) - 6 lo +O- 6, - 6 3
2sen h (cos x.cos h - sen x.sen h)Se sustituye t -tO en el numerador y denominador,
Sustituyendo en :3. lim (4t2+3t+~ .,-.1.
..... 0 l2 + 2t - 6 3. , .
Perc.segn formuln: COSx.cos y - sen x.sen y = cos(x +y)
Factorando : 2sen h(eos x.cos h - sen x.sen h)
2eos x.sen h.cos h - 2sen x.sen'h 4x + S 'H+ 5 H+ S .xx. x r ; 00_4+0~402l2 + 3 2 + l 2 + 3 [2 + JJ (1) .x x x 00
sen x - 2sen x .sen'h + 2cos x .sen h .cos h - sen x
Dividiendo numerador y denominador por x y luego sustituyendo por IXHaciendo operaciones, simplificando y ordenando:
2. JjJl1 4x + S.2x __ 2x +3
=> f(x +2h) - f(x)osen x (1 -2 sen'h) +2cos x.senh.cosh-
DEMOSTRAR CADA UNA DE !.AS SIGUIENl'ES IGUAI..DAI>ES:f(x + 2h) o senx(1 - 2 sen2h) + 2cos x .sen h .cos h
PROBLEMAS.- paINAS 21 Y 22Luego: f(x) o sen x
Soluciennr lc de DerivadAsSoluclonnrio de Dertvadas.' 2sen x (1 - 2 sen h) + 2 cos x .sen h .cos h
~.:.:."
'. :'>,','., ./'1"' l,
" :
~;'7~:. ,:,r' .' .
" :
.6y. - 511x + 4x.tox + 2. (llX)l
. 24. Y= (2 - x) (1 - 2x)y + 6y _ (2 - (x + x)( I - 2 (x + x)]
y + y _ y _ (2 _ (x + 6x)](1 - 2(x + x)- (2 - x)(l - 2x
Lly _ (2 _x - 6x)(1 - 2x - 2.x) - (2 - x)(l - '2x)
y = (2 + (-x) + (-Llx)](1 + (-2x) + (-2.6x)] - (2 - 4x - x
lly =~ 4x - 4.11x- lt + ~2 ~ . ~ - b:lt + ~ . ~.
2.(X)1 _ -t-.+ ~ _~2
Eg__ 0- 2ab + 2b1e _ 2b1e - 2abde..!!i- 2b(be - a)de
Solucion.ro de Derivadas'
6e _ (b2) (60) - (2a) (b) + (2b2) (9)oe:>iI
38
ss. _~. (bl.(6f) -.2a.b + 2b1.9}69 ~
-Q 7'''''+ -Eb{l'+(b.A9)'- ~(ber -2.(b.AO)+2(b9)(b.AI'l)-.' + ~,t.&-
Ae_ (b.Ll9)2 -2a ( b..~) + 2(bO) (b.9)
Ae= bl(6e)l_ 2a(h :tJ.e) + 2(b9)(b .69). f""",,".,dl,ldld.~
lIe _.'. f-bO)'. (. b.A6)'.1 a.(-bO)+2.( b.bO)+2.(bQ).(b. AO)'
23. e _ (a - bO)lQ + 6e = (a - b (e + 69 )]2
Q + 6e - Q _ (a - b C9+ lle )1- (a - bol
toe _ (a - bO - b.69)1 - (a - bO)l
t:.Q _ (a + (-be) + (- b.1l9)f - (a - bei
ro: ~3ax1 + O + O+ 2b:\: + O+ e _ 38X2+ 2bx + edx
. .Y _ '3ax1+ 3ftx (O)+ a.(Oi + 2bx -1- b.(O).Ax + e
Y _~(3axl+ 3ax.ax + a.(ax) + 2bx + b.ax + e)6x ~
Fnctoriznndo y dividiendo p~r. Ax :
Solucln.rlo de Derlvnd.s-y- + Ay. rr .a[xl + 3xl~ + 3x(AXi + (x)) + b[x2 + 2x. X +
+ ex + C. Ax + d - (nx) + bx2 + ex + d)Ay. -ffltl + 38X2.AX+ 3ax .(AXl)+ a.(Ax)1+ -bltl + 2bx.Ax +
+ __ + c. Ax+ ..fr _8'Jt1 - 1m2 - -ffi! - -tI-
-
41
xy + y - y x + xa + b(x + X)2
y + t.y = x + 6.xa + b(x + X)2
y. Xa + bx'
ds , {3b[a + (bt)J2}.dt
ds e O+ Ja2b + 3blt2 +O+O+ 6abZtdt
ds _ 3a2b + 3blt2 + 6ab2tdt
ds = 3a2b + 6ab2t + 3blt2dt
ds _ 3b(a1 + 2abe + b2t2)dt .
6.s -Bt- {(bt)2 + 382b + 3blt2 + 38b2t.t + 3blt.t + 6ab2t}t.t --Bt-
s _ [b(0)2 + Ja2b + Jblt2 + 3ab2.CO) + 3blt.(0) + 6ab2t]
Faetornndo , dtvtdendo y slmpliflcando pnrn dt '.
bs _~) ..*'+ (MI)'+ ..... ~ .. 3a'(b61)'" ..;~~' ...3(bt)'(b/;,t) + 3a(bbl)'+ 3(bl)(Mlf ...6a(bl)(bbl) _-trJ - .... 'EI>tl- - ..;e(-b~2_-fbtrl
s _ (b61)'+ 3a'(MI) + 3(bt)'(bbl) + 3a(bbl)'''' 3 (bl)(bbl)' +6a{bl}(b61)
Soluclcnarto de Derivados
s. [a + bt + b6.tp - [al + 3a2bt + 3a(bt)2 + (bt)l]
40
s + t.s ~ [a + b (e+ t)p
s + t.s - s _ [a + b(t + t.t)p - (a + bti
26. S = (a + bt)3
f!.y = 2ACX + AD +'BC .dx
{y 2ACX + 0+ AD + BC 40
tJy_ = 2ACX + [AC (O) + AD +BC.. 0
{y= 2ACX + AC.t.x + AD + BC =6x-.0
{y _ "'l(= (2ACX +AC.t.x + AD + BC)x . ~
Factornndo y dividiendo paro Ax
BC.t.x + -BB- - -Aelt-' - ~- - -BQ- - -!l-l)..
6y = 2ACx.6.x +AC(X)2 + AD. (ex) + BC .x
-y- - -y- + 6y _ {Ax+ A.6x + B) (ex +C.t.x + D). (Ax + B) (ex + D)
t.y. -MOlt-l + ACx .ex + -A:I},... + Aex.t.x + AC(6X)' + AD(t.x,) + B ll
-
43
_ {-2ax - a (x)} " (x + D.X)2.X2
t;,y_. -f*!tt {-2ax - a (6xll(x + 6X)2. X2.~
~ .I:>x {-2ax - a (!:>x)} (x + xi. x2, (6X)
FActor.ndo dividiendo Ysimplificnndo paro 6X :
Ay _ - 2ax.Ax - a(Axi(x +D.xi X2
+ 2bx) ,Ax + a CAxi + bx2,(Axi}(x + Axi x'
,Ay _ fIlt' +~. + ~1.-6l< + .Jer,i~- 1I'lt~-blx-(x +D.x)' X2
::Hm).~ - a (AX)2 - 4!nti,ff&l(x + xi Xl
y {a+ bx2 + 2bx. X+ b.(X)2} (x') - {ax2+ bx' + 2ax .Ax(x + !:>xi X2
y. fa + b ex + 4X)2}
-
4S44
y _Cx+ x)2 (a + bx2) - {a + b (x + X)2}( X2)[a + b (x + x/] (a + bx2)
y + t.y - Y _ (x + IJ.X)2[a + b (x + llX)2J
~_ 2ax + a(O) .,~o la+b(x+O)2J(a+bx2)
Qy= . 2ax + Odx (a + bx2) (a + bx2)
29. ya X2a + bx2
y + y _ Cx+ X)2a+b (x + xi
tu _ (28X + a,x).. -sc [a+b(x+lJ.xiJ (a+bx2)
y _ ~ {2ax + aCx)}[a+ b (x + X)2J (a + bx2) ~
[a + b (x + X)2] (a + bx2) (1J.x)(lJ.x) {2ax + aCtox)}
Facterando, ividiendo y simplificando para 6x:~a - 2ax - O...-.0 X2.X2
Qy. _ 2axdx x"
IJ.Yc 2ax ,lJ.x+ a(x)2[a + b (x + x)2] (a + bx2)
k --2ax - a ( O )_.,-.0 (x + Oi.x2
Sbleiouario 'de DerivadosSolucionarlo de Derivadas
,
",:'
~".,.,,",, '","
,." .,':' , .'O"
r
; ,:; .
-
4647
a are tg (O) O.m.tgO.O.
\y' _3 _3x2 .3 _3(_1)2 3 - 3(1) 3 - 3 O
la curva y. xl + X bailar los puntos en los que la tanstparalela a la recta y .4x.
10 - 4 6; y. 6; => P (2, 6)m.-4 ; tga_-4;, a .arctg(-4) a .1042'
4. y.3 +3x-x3 ,siendox.-l
Sustituyendo x _ 2, en y
Sustituyendo x 2 Cilla ecuacin original.
2 _x ; x. 2.Qy =.1:..&. !i{x-I). ~ .(1).U}.dx (x_I)2 dx (x_I)2 (x_I)2
Solucionandola ecuacin: 5 - 2x.o 1; 5 1 .2x.3. y. _4_ , siendo x 2x -1
m = y' 5 - 2x. 1.
m = Qy = _ l. m tg el = - 1. el = are tg - 1 # 135dx
y _ 5x - X2. Segn dato del problema tg 4S' - l.
y' = 5 - 2x. => m. 1.
fu:~2 __1 . (~) _ 2 - x = 2 - x = 2 - (3) = 2 - 3 = - 1 .dx -!-
6. Hallar el punto de 111C1ITVa y. sx - Xl en el que la nclinncde la tangente es de 45.
2. y. 2x - _!"Xl , siendo x = 32
DI.tga.-3; a.arctg(-3)=10826'5"
y'=) (1)1_ 6(1)03(1) - 6.3 -6.- 3
Sustituyendo: x _ 1, en y1. Y# X2 - 2, siendo x - 1,
Qy .2x = 2(1).2; tg el. 2. m; el. IITC tg 2.6326'5"
dx
y' 3x2 - 6x.Aplicando las Derivadas,hallar la pendlenle Y la inclinacin de laa cadauna de las curvas siguientes en el punto cuya abscisa se
SoluciOllado de DerivadasSolucionnrio de DerivadAs
-
49
Puntos de intercepcin:
e _126052' 11"
2 - (-2) _ 2 + 2. 4. - 4l + (2) (-2) I - 4 - 3 3
e _ mi - m2 =l+rn..m
'.1 =-2x =- 2(-1) =2
Cuando: x =-1
e _530 8'e = are tg _.1_3
tg El = m, - m2 = - 2 - 2 - ....:...i_ = :..._= _.1_l+ml.m2 1+(-2)(2) 1-4 -3 3
1112= 2
ml.-2(1)=-2
ml_ - 2x
Cuando: x _1
y _ X2 - 1y'.2x
y _ 1 _ X2y' = - 2x
Derivamos cada curva para encontrar sus pendientes:
X 2 2/2 ; x 2 1 ; x , 1
Soluclonnrto deDertvades
48
1 - X2 _ Xl _ 1 " 1 + I 2 + 2 2 2 2.x x = x =
Igualamos las 2 curvas.
b) L. pendiente y la inclinocl6nde ,. tangente a c.d. curvo, y elngulo formado por las fangentes en cacfnpunto de Intercepetn.
a) Los puntos de iutercepcin del par de curvas dado.
En cada uno de los siguientes problemas hallar:
3 Y _ x3 +Xy= X + X.
YI =(1)+(1) Y2 = (-li + (-1)
YI _ l + 1 Y2=-1 -1 =-2'.
YI.2 Yl. -2
~ p (1,2) ~ Pl (-1, -2)
En la curva reemplazamos X_ l.\
.3Xl + l _ 4 . Solucionando: x _ 1.
Cuando 2 rectas son paralelas sus pendientes son iguales.
Solucionarlo de Derivadas
-
8. are tg (0,6).3057'49"51
50
tg 8 4 - 1 _L. 3 0,61 +(4)(1) 1 +4 S
ntl.1
m21
Cuando: x 2
y'. 1 mi
tg8. mi - m2 :I 1+ ml.mz
mi- 4
mi = 2x
Derivamos cada curva para encontrar sus pendientes:
(x - 2) (x + 1) O. x ~2; x.-I
?x--x-2.0
Cuando x = -1(1)(2)
puntos de intercepcin:
2y. x .y.:X+2
Igualamos las 2 curvas en funci6n de "y" para encontrar susIntercepciones.
~rctg (3) .7133' 54" .
- 2 - (1)1+ (-2) (1)(1)
(2)
.-2-1 ..:.l._.3.1 - 2 -1
:FI(l,O) y Pl(-l,O)ml. 1
CUllndo: x ~- 1Solucionaro de Derivndns
Solution~rio de DerivndRs
y. X l.X - Y+ 2. O.
9.
-
53
...._,,~. 413 _ 3t 213) -Jl e13 _ 2t -1133
g_.Jv=_l_.dvdx 2.Jv dx
SOlucionado de Derivada
S2
.Q__(Z2) _ !L eL) _1 d (Z2) - _1 d(z7)dz 2 dz 7 2 7
12. g_ ( :z2 - Z7) _ z ' z'dz 2 7
a.!L(IS) - Sb.Q.(t) ,'s(5t') - 5b(3I'). Snt4 - ISbtldt dt
Q.(atl) - Q.(5br1)_ a.fL(rs) - 5b.Q.(e)dI di di dI
_ 3(1) - 2(3x2) _ 3 _ 6xl
11. g_(uf, 5btl). 5at" - 15bt2dt
!L
-
55.
. !L[.!l +Q_[b}+Q_ (e.x)dx .xJ dx dxL J
!L(Ji.+ lt + c.x .~dx x'*"'*" J
18. !L (JI + bx + cx~ = e -Ji.dx l x ) Xl
3e/(2.
b +2$ds , - a +- ~dt 2t.t
17. Q_(x2l3. 1\213)~1_xIIJdx 3
Q_(x2l3). Q_(a2l3)_ .l.x2ll, _ O _~XI/3 .~ ~ 3 3
1 I's, ..1,. X3l4.1 +'4..(:1).X1I4.,
"4- A'1
'-m.Q_(.{X)(RJ dx_ 2 4.(X3/4) + 4 Q_(X.'/4)
dx dx
1x.[x4Y._L+dx 4.[XQ_(2xJ/4) + 4.(4X'/4).dx dx
16. Q_(2xJ14+ 4X'/4) _ .1,X,/4 X)/4dx 2
2.i_. t 4/31 +..1.. 1213, _ Jlt 1/32 t -1/33 + 3
Solueionnrio de DerivAdos'.. Solucionario de Derivadas
+O + c.Q_(x). dx
S4
-
57
r _ (1 - 29)112
l!.((1 - 29)II2Jde
!l.L= - r.=l~d9 ,JI - 29
-r _ ,JI - 28
2x. ,faxa
2x. 5.raa21. adx 25. Fa
a
a112 al122xl12 al12
21dx
I\1ulliplicRnlo5 y dividimos por n1/1, n ("eln sumando:
ID::. al12 x 1/2 al12 X J12dx 2 2
Qy. al12._1 x 1121+ aI12..:..1.... x 1121dx 2 2
Qy. al12 .l!.(xl12) + al12 .i!..( x .112)dx dx dx
Soluciona.io d. De.lvad ..
56
2x.,axID:. adx 2.,fiiX
ds_ : +_b_ + 3c./Idt 2.t...t 2.,ft 2
ds .f~ +(...JLJ + !:kadI [2:(72] l2.tlllJ [2J
\
'l.
:'. '. i
Solucionnrlo de Derivadas
1,,'
'!J'. . f,'.. .,;. :ot' ~t. . 'J.._ .....1,1'... ".
:; (,.~(1'~:"1.
"""~:'~~"ti,-,
;.."
-
.1.(2 - 59)],1.1 . Q_(2- 59)5 de
.[3(2-5e)~(O-5).( 3 ](-+). s J +(2 - sei,sJS9
f (S) _ (2 SS)lJS f '(S) - 3{2 _ 5e)2Is
_(a'. Xl)" 1I2 .(0 - 2x)2
__L(a2 _xlr 1121.Q_(a1 - x')2 dx
../a1_ x'1
(4 _ 9X)11J3
_3(4 9x) .1IJ
..l.(4 - 9xr2/l (-,m.;5
Solucionftrio de Doriv.das
58
f'(x). (4 - 9X)If3
r-oo , _1 (4 - 9X)If3.I.Q_(4 - 9x).3 dx
f'(x) a _1(4 9x)'lIJ .(0 - 9)3
f'(x)= -3.(4 _9x)UJ
24. f (x) _ ~4 - 9x
r'( t ) = 3(2- 3t2)2 .(0 - 6t)
f'C t ) = 3(2 - 3t2)\-6t)
f '( t). -18t (2'_3(1)1
dr_- l'dS ,fI-28
23. f( t). (2 - 3)l f '(1). -181(2 - 3r)1
f'( t). 3(2 - 3t2)3.1.Q_(2- 3r)dt
dr _ - 1de (1_29)112
dr , (J .29)'112.(. ~)de ~dr = - (J - 29)'112de
dI' e _1 (1 2e)JnI.Q_(1 2S)de 2 de
Solucionario de Derivadas,.'~l.::.
-
61
y'_ 2a + 3bx2(a + bx)'12
y'. bx + 2a + 2bx2(a'+ bX/12
Y.bx + 2(3 + bx)2(a + bX)11l
y'. bx + 2Ca+ bx)"2{a + bX)11l2(a + bX)'12
y'. bx + (a + bX)1122(a + bx)'"
y'. xCa + bxrl12(b) + (a + bX)'122
y'. x. I .Ca+ bX)II2.I.d (a + bx) + (a + bX)"2(1)2 dx
y'-x ..!l(a+ bX)'12 + (a+ bx)II2.!l(X)dx dx
y.x (a +bx)112
y'" 2n + 3bx2(a + bx)'12
y_x.Ja+bx
y'. 3 [a +..lL)2 l..:.!!.l (2 -jI-)Xl [-!t4J
Solucionarlo d. Derivadas
60
y'. 3 (8 +..lL)J., . -(n +Jtl .X2 dx x J
Qy = 2 (ab~ [o (ob.x .1.1)]dx l x]
Qy=2 ( o..lLJ'[O o g_(b.x')dx L x dx J
Jb( - 2 (a o QJ . [ !lea) o .!lWldx l x dx dx x J
Qy = 2(no..lLJZ'1 .Q. [a o..Q)dx x dxx.)
...~
, ,'...;, '
f'(9) _ 03(2 o S9)lJS
27. y _(a o;J 2
'.~."
"Soluctonnre d. Dervadns
-
"63
x ..1.. (a' + X2)"1" .g_(8' + X2) _ (a' + x')Jn (ry'__ 1.2 Q;dx~------
x
x.g_(a1+ X')11l _ (a' + x2),n.4_(x)y'. dx dx
x
1y' - 8x'Ja' + x'
y_ Ja'+x'x
!.Ix. 4a'~dx (a1_X')'
(al _xl).sl(al +Xl)_(al + xI).g_(aI_Xl)9Y- dx dxdx (a2_ xli
~ = Cal_ x2)C2x) Cal+X2)(_ 2x)dx (a2 _ Xl)l
9Y' 2alx - 2lt1+ 2alx +2lt)dx (iXl)l
y' _ 4nIx(n' _x')'
Qy = _ 2adx (a + X)I
Qyc -a-*-a+-lt-dx (a + xl2
Solucionarlo I~p~rlvad.s
62
~. Ca+x)(I)Ca-x)(I)dx (a+ xi .
, y'. _ 2a.., (a + X)2
(a+x) .4_(a-x) - (a.x).4_(8+X)~= dx dxdx (a + X)2
31. y.~a+x
, , '
ds , t1 + (a2+ Il)lndt (a2 + rl"2ds = t2+ ~a2 + ~)1/2}2
(a + (2)112 ,
ds , t2 + ( a2 + (2)212(7+t')I~
ds , r2 + a2 + r( a2 + (2) 1/2
ds , al + 2t1'(al + ti)
ds t.g_(a2+ r)"2 + (a2+ r)ll2. dtdt dI dt
ds.t._J .( 02+ r)"2.1.g_(a' + t2)+ (al + r)If.!{I)dt 2 dt
ds _ ( al + rrl12.( al) + (al + r)112dt ' ~
30. s'. a2 + 2t2Jal+ p
s ( Jo' + t>
Soluclonnrio d. Derivados
-
6S
1
(a2 _ x') "2 + x'y'. (a2 - )(5'"
(a2 _ x2)
(al _X2)112.(82 _1Chl12 + X2y. (a_x2)112
(a2 _ X2)
y. x(a2 _ xljT
(a' - x~'I2 ..Q_(x) _ x.!L{(az _ x2)'/l}y'- dx dx
{(a' _X2)"Z} 2
(a' - X')"2(1) _x._L(al _ xZ)"2' ..Q_(a2_ x')}y'. 2 dx
(a2_x')/l
(a' - ,(2)'12. x.(a2 _ ,,')"112(_ ;xny'- 2------~~,r_-x>~~V~2~----
34. y. X.jnl - x'
y'. _alx1.jn' + x'
y'.
Setuclonarto d. Derivada.
64'
y'.
y'.
1
1
x(a2 + x\ln(~x) (82 + X2)112y'.__ -"~~---, -'-l _
X2
,x
x(a2 + x2rl12(2x) _ (a2 + X2)112y'. . 2
Sotuclonarlo de Derlvadas
-
67
_ e(l + ex )112_ di _ex )1122 (1 - ex)'12 2 (1 + ex )"2
(I+ ex )
(1 + ex)
(1 + ex)"2(l - ex)"'I2(_e) - (1 - ex)ll2(1 + cxyll2(e)2 2
(1 + ex)
(1 +cx)'' ..L.(I-
-
69
1
(al + X2)11l {a2_x2),,:!(a2 _ x')
2a'x
(a - x )
(al _ x')'i2,.L.(al+ xlr'I2(~x). (al +XI)III._, .(a'_xlrJII(_ ~x)-2- -2-
(0'_ ,,')'" ..1..(a'.. x')'"'.Jt(a'.. x') _(a' + x')Il2..1..(a'-x')'n.'.Jt(:2 dx 2 AA
Solucionarto de Derlvadns
68
,. ;".'_
.~:" .
;:,7
y': 2n'x(a' - x') J(a' - x')
.rly__ edx (1+ ex ) JI - c'x'
Q.y- -edx (1 + ex ) ..J(I - ex)(1 + ex)
!!y-~~~rP~~~==dx (1 +ex).J -ex .JI +ex
!!y. -edx (J - ex)ln(1 + ex )112(1 + ex)
!!y: -~edx r (J - ex)ln(1 + ex )112(1 + ex)
Q.y. 2 CI - ex)112(1 + ex )112dx (I+cx)
~ ~-e-elt-e+ex:
- c(\ + ClI.) - C( \ - ClI.)!!y.2 (1 - ex)lI} (1 + ex )Indx ( 1+ ex)
1
SOlllolOIlArlo de Derivadas
-
11
.:
Sustituyendo: y. ,J2px (2pX)'I2, en la derivada.
!!Y __1 . (2pX)'I2' .!l_(2px)dx 2 dx
y'._Ly
ds. 4dt (2 + 3t)z1J(2 _ 3t)413
ds = (2+ 3t)213(2- 3t)2/} =dt (2 - 31)21)
1
4
(2 - 3t) + (2 + 3~ds = (2 + 3t)2iJ(2 - 31) ) dt (2 - 3til3
Solutlonario de Derivad ..
10
(2 _3t)'0 + (2+ 3t)tllds _ (2 + 3t)!l (2 - 31)lildi (2 - 3t)jJ
(2 _ 3t)'13(2 - 31)21)+ (2 + 3~'1)(2 + 3d"ds _ (2 + 3021)(2 - 31) jdt (2 - 3t)V)
(2 _3t)1/3+Vl + (2 + 3t'+wds = (2 + 31)213(2 - 31)di (2 - 3t)213
s , (2 + 3t)11l(2.- 3t)l/3
(2 _ 3t)1Il.!l_(2 + 3t)11l _ (2 + 3t)IIl.!l_(2 - 31)1'3ds '" dt dtdt [(2 - 3t)I/J)2
38. s . )fiii..V2'-3t
_dy. 2 a2xdx (a2 - xl) .../(a' - .')
!l:i. 2 a2xdx (a~ - Xl) . ../(a' + x' (a'- x')
. . SolucloJlario de Derivadas
(2 _3t)II3 __1 .(2 + 3t)"213(+) - (2 + 3t)I/3._1 .(2 - 3t)"2I3(_~.------~----------~----~~-------dI (2 -
(2 _31J,nJ..,(2 + 3t),n'.!L(2 + 31) - (2 +31)Jn J..,(2 - 31)'Il-'.!L(2-~-------~----~~--~.---_------~---di
-
73
(2X)1I2+ (3X)II)
.J_.(2X)1/2.1.!L(2x) + ._1 .(3X)IIl.I.!L(3x)". 2 dx 3 dx
(2xyIl2(~) + (3xy%13(;)~ ..;..
f '(X)_ 1 + 1(2x) 1/2 (3X)1I3f(x) .J2x + ~
--wP . (2/3 lIl)lI2 ., y'ero. y. a x , SUSlltUtl1l0Sen .
3 (a213 _ Xl!)~ :V%
x
Elevando al cubo y sacando raJz cbica tanto al numerador Ydenominador.
y'_ ..;.. .(a2l) XV)II2( _ ~ X2/).,) __ (a2l3 _ X2lJ)1/2(x1l3'1) .1/)-r,. ..;..
Solucionarlo de Derlvndos
~ :~':l;",:"," .,.:< .'.r '.
y'.- sIi:Vx
'( b2 Jfu.. x.dx 112y'
b ( 2 2 )'/2 . 1 aSegn el problemB: y _ a x , _~...!L-.=a y b (a2 X2)112
Qy. - b.x.a.b.d b (
2 2 )'x 0.8 8 - X
2- b x.a.
y'.l.(a1l3 _ x1l3i12, :!L(alll - x1l3) 2 dx
y'. ~ .(a2/) _ x21)1/2~. ; X2l3'J
n
.' '1.'.
Qy = ,Q.J_.(a2 _ xl)'I2.I.!L(a2 _ x2) a .Q.._l .(al - xlr'I2(-dx a 2 dx a ~
Qy = _ bx . MultlpUCJlmOSy dividimos por: OO b"dx 1\ (ai _X2)lh
'.
40.. y = J!.. -la! - Xl. 11,'.
SoluciOnArlo de Derivada.
~.'.
-
75
t._l .( a + bt)'I2' .4..(a + bt) _ (a + bl)I12.(1ds _ 2 dIdt 12
I.g_(a + bl)"2 _ (a + bt)1I2.4..(t)~= di dIdI I
s , (a + bt)1I2I
; s'; - (2a + bt)2e(a + bt)1I1s .,1a + btt
y'. 2a - bx2(a - bx)/2
bx + 2a - 2bxy'. (a _bx) 112(a - bX)212
2
y', bx(a _ bxy'/2 (a - bxy212+ 2(a - bxyl/22
y'. (a _bxy'/2 Ibx(a - bxy212+ 2}2 .
Soluciona ro de Derivadas
74
. y= X(a _ bx)tn
y = x .(a - bx)"/2.
'1= x.Q_(a - bx)"'1l + (a - bx)"'Il.g_(x)dx dx
y',X f-..LI (a - bxr'I2'.g_(a - bx) + (a - bxr'/2(I)l2 J dx
y'_f:..lU (a - bX)"I/2(a - bxr212 (- b) + (a - bX)'I/2L 2J .
y'. 2a - bx2(a - bx)3/2
44. y. x.Ja - bx
'1= _ 1_2x2 - 8x + 4x2 (1 + 2X2)2
y'. 2x1_8)( - 1(1+2l)2
"!j'. _(l +2x'1) - 12 - x)(4x)(1 + 2X2)2
(J + 2x2).!1.(2 - x) _ (2 - x).Q_(1+ 2X2)y'. dx dx
(1 + 2X2)
y'. (1 T 2X2)( - 1) - F-x)(4x) =(1 + 2x )2
y'. 2x1 - 8x .. 1(1 + 2Xl)1
Soluclonario de Derivadas
-
77
ds _ - (2a + bt)dt 2t2 (a + bt)'/2
\
-i-.:~:/:'
:
be - 3(a + be)3(a + bel2l)
o e2
ds = - 28 - btdi 2r (a + bl)1h
- 2a - btds _ 2(&+ bl)11ldt t2
Simpun,nnilo:
be _ (a + be)'/Jdr 3(a + be)2JJ.ae e2
be - 3(a + bal"Jea + bel1lJ'dr _ 3(a + belllJ_ 2
e
bt - 2a - ~ds _ 2(a + bt)dt t2
a.(a + ber1lJ(bl _(a + be)'/)3
bt - 2(a + ~'~_ 2(a+btl'dt ~
e.Q_(a + be)1/J _ (a + b9)'/J.Q_(e)dra de dede e2
9._1 .(a + be)'/Jol.Q_(a + be) _ (a + be)'/J.(l)dr= 3 dede al
bt _ (a + bt)'12ds _ -2-(-a_'+"'-b-t)~I/;:;-21dI t2
bt - 2(a + btl,n(a + ~ds _ 2(8 +' bt) I~d- t2I .
000
r' e3a + 2be)3e1 (a + be)W
r_\Ffr _ (a + bell/)
e
t.( a + btr'12 . (bl _(a + bt),nds _ 2 1dt
SOludonnl'O de DerivadasSolucionnrioode Derivadas
76
-
79
ds -[21 .J.] 1/2dt dI 7J
s'. (f + 1)e (2f _ 1)112
-:t= 4x+2dx (2 + 3x)2Il
.I!!- 2(2x+1)dx (2 + 3x)2/J
Qx_ x+2+h,dx (2 + 3xi/J
Qx _ x + (2 + 3x)dx (2 + 3x)2/J
'Qy_(x,_1 .(2 + 3X)'J3.1.Q_(2+ 3x~ + (2 + 3X)'f3(I)dx L 3 dx ')~ = f.{2 + 3~r2/JH-) + (2 + 3X)'J
Qy_~ +(2+3x)'131dx (f2+3x )213 J
y x ( 2 + 3x ) In
. -:t_ x,!L( 2 + 3x ) In + (2 + 3x) 1I3,!L(X)dx dx dx
y_x . .q' 2 + 3x y'. 2(2 X + 1)(2 + 3x)1I3
Soluclonario de D,ervadas
78
-:t = - X2+ 10x - 4x2dx . (5 - 2X)ln
Qy _10)( - SXldx (S 2x)1n
-:t = X2+ (S - 2X)'/2,{5 2x)lI2{ 2x)dx .(5 .2x)tn
-:t - x2 + 2x{S 2x)dx (5 2x)'/2
Qy _ Xl + (5 2x)'/2(2x)dx (5 2x),n
y _X2(S _ 2X)'12
-:t = x2,!L(S - 2X)'12 + (S - 2X)'12,!L(X~dx dx dx
-:t. (x2,_1 ,(S - 2X)'12",Q_(S - 2x~ + (S - 2x)'12(2x)dx l 2 . dx JQy _ xl{5 _2xr'll(o +> + (S 2x),n( 2x)dx ~
.!!r.-- Da + 2b9)d9 3el (a + b9)l/3
47. Ysx2.jS-2x ; y'= lOx-5x2(5 - 2X)112
dr , - la - 2b6ea 362 (a + b6)l/3
Souetonarlc de Derivadu
-
8180
I
~ (x + 2)'(x1 + 2)""2(-2-x 1 + (x2 + 2)'I2,2(x + 2)(1)~
_'(x + 2)l,.l.,(X1+ 2)"l",~(xl + 2) + (,,2 + 2)Ll2,2(x + 2)2",!!..(X2 dx dx
2 + 2~. ?"dI2(2t;t,)1
( x + 2 i,Q_( x, + 2 )"12+ (Xl + 2 )IIl,Q_( x + 2 )2dx dx
y'. 3x3 + 6x2 + 8x + 8(Xl + 2)1/2
y _ ( X + 2 )2 "Xl + 2
~ -..L[2t -J..] ,111,fL{(2t - t '2)dt 2 t dtds __l ,(21_r2)'II2,[2 _(_2,t02-1)dI 2
~_ I (2 + 2t ,3)dt 2(2t _ t ' )112
2 fr + 1). t-s,-. (2t) _ I)Iil
(13 +n
ds __l [21-ilI120I,fL (21-1)dt 2 t2J dt l 7)
Solucionnrio de Derivadas, Soluclonaro de Derivadas
,r
.....~.., "
-
8183
!!YD (1 + 2x)th(l + 3x)lldx ( I + 3x )m
1
x
= 3 (36)(5)
(1+ 3x)'1Y (1...,xl ,no Qy ~ (1 + 2x)ln (1 + 3x}2J)'dx ( 1+ 3x )ID
O ...3xl'll(! ...3xll!l ~'l+ 2xl,nO + 2xl ,n!Ix. (1 ...2xlli (1 ...3x):I:
Solutlonario de DerivadasSolucionario de Del'ivadns
'.
-
84
+ J_.12.!!y. _..L
dx 12
_4__6.!!y._L
dx 48
43(2)!!Y ..L+]_dx 48 48
\
__L + _4,_,_.3(2)2 3(2)1
fu _L+_I_dx 48 16
_ 2 + 4 3(2)61) 3(2)JI)
2 + 43(2)t) 3 (2)IiJ
I
//
2 + 43(2x)'1l ,3(2x)/l
2 + 43(2.4i'J 3(2.4)"5
2 + 4 a3(8)1/! 3(8) In
!!Y- 1 + Idx 3(x)3 2(X)kCuondo X _ 64,
fu- I + Idx 3(64)215 2(64) lA
fu: I + Idx 3(26}l/3 2(26) ~
!!Y- I + Idx 3(2)12IJ 2(2)62
.!!ya l' + Idx ,3(2)4 2(2)3
.!!y._L + _Ldx 3(16) 2(8)
__1 .(2X)IIl-I.Q_(2x)+ .1.(2X)2IJ-1.9_(2x)3 dx 3 dx
= (2xyl/l(2) + .1.( 2x )'1/3(2).3 3
y _ {2X)lIl+ (2x)213 ; X _ 4
_ Q_(2X)"l + Q_(2X)21Jdx dx
!!Y a j__ (X)11),1.dx + j__. (X) In,1.dxdx 3 dx 2 dx
ID: a (xr'J> (1) + (xyln (1)dx 3 2
Solucionado de Derivadas
85
Solucional'lo de Del'ivndas
", .
;..:::-'." .
'.~'\-:?'< .~-~:~~'.
-
87
x'1..356. y - r==#:=-=.J25 - Xl
y. 1 ( 25 - '1.2)'"2(25_'1.2)'12
_Qy._Ldx S
f!y. 8'dx (25)%
Qy. . 4(2)dx [9+ (4)(2)2] y;
gy . 8dx (9 + 16){
(25 - 9 in3Qy _ 4x Cuando r ; 2
dx (9 +4x2)9.
3Qy _ (9 + 4x\~ (+'1.)dx ~
+ '" .Cu.ndox.3(25 _ X2 ){2y (9 + 4x1)'11 ; x , 2
Qy. _1 .( 9 + 4'1.2)JoI".!L(9 + 4X2)dx 2 dx
55. Y = .J9 + 4x'
rtY ._2_dx 6
-_1 (25 _x2 rI12".!L(25 - '1.2)dx 2 dx'
Soluciona r lo de DerivadasSoluclonnrlo de Derivad,
86
-
89
Q.y _ _;?; x2 + (8 _x2)y,-dx ~.(8 - X2)X
Q.y __ x2 + (8 _X2) y, (8 _x2) y,dx (8 - X2) l'\
Qy _ _ X2 + (8 _X2)dx (8 - x2)'1'
Q.y _ x(8 - X2)")\ (-2x) + (8 - X2)\dx 2
4Y. x ._1.(8 - X2) :r..I. !L(8- X2) + (8 - x2)\(I)dx 2 dx
x.2'58. y. x..[8-X'-y. x (8 - x2)*
Q.y. x..4.(8 - x2)y, + (8 - X2)\. si(x)dx dx dx
.!lY - =..i1.dx 90
Qy.~dx 18(5)
Solucionarlo d. Derivadas
88
!!Y. -41dx 18(25) '"
Sustituyendo: x.3 en: dy/dx.4Y = - 32 - 3xdx 2X2,~6+ 3x)"l-
!!Y - 32 - 3(3}dx 2(3i[(I6 + 3(3)%
9:i _ - 32 - 9dx (2)(9)[16+9)")
31\ - 32 - 6xllx. 206 + 3111'"dx 2
3x -2 (16+ ~)ID:. 206 + 3x}'dx X2
3x - 2 (16 + 3x)I\(l6 + 3x}1\!!Y 206 +~x),adx x
3x _(16+3x)1I2!!Y. 206 + 3X)'12dx X2
x (16 + 3xy'12 ( 3 ) - (16 + 3x )'11!!Y. 2dx x
: .
x ,.l..(16 + 3x )1I1'.!!.(16+3.)- (l6 + 3x )'12(1)l!Y. ddx x
x.lL{16 + 31\ )"7 - (16 + 3x )'I2.lL(x)2:i. dx dxdx X2
Solucionarlo de Derivadas
"" . ; '.
.., ':'.
~.'-'
-
91
8(4 _9l
d 22QY_ 3(4 - X) (-2x)dx
y (4 _Xl) 3 ; X _ 3
Qy_ 3(4 - X2)30104..(4 - X2)dx dx
!lY.20dx
!ti. 7(16) + 8dx 2( 9 )1/2
!ti. 112+8dx 2(3)
Qy= llQdx 6
Solucionarlo de Del'iv.d,
!ti= 7 x + 4 x o sunlluye"do: x _l en!dx 2(1 + Xh"i
. 90
!:t:. 3 x' + 2x.(1 +x)~dx 2( 1+ )(l)il
!ti_3x' + c2x)(2) (1 + XJ)I/2(1 + X3)1/2dx oc 2(1 + xJ)'/2
!ti. 3x' +4x (1 + ~3)dx 2(1 + Xl) 12
!:t:_ x'(I +X\112 (3,,') + (1 + Xl)~ (2x)dx 2
!ti_x2,_1 , (1 + Xl)Y"I,Q.(1 + Xl) + (1 + x))\ (2x)dx 2 dx
59. Y _Xl .JI + x' ; X _ 2y.x2(I+X~~
!ti.X2,4..(1 + X3)\ + (1 + x3) 1I2,g_(X2)dx dx dl!- ...L.(.II)fI_y dx {5 - ~.l)y.{+....L.+ 1)1
->!- +
X -1- (3 + 2x)ln'(3+2x)lh
x + (3 + 2x)ln .(3 + 2X)112(3 + 2x )'i2
x + (3 + 2x)(3 + 2x )11l
-2x-I-10+4x.!h:. (5 - 2x )112dx (2x + 1)2
1
x._l .(3 + 2X)'I2I.Q_(3 + 2x) + (3 + 2X)112(1)2 dx
- x (3 + 2xyJI\t-) + (3 + 2X)11l~
- 2x - 1 - 2(5 - 2x)!h:. (5 _2X)'12dx (2x + 1)2
1
x.3y _ x ../(3 +21)
X (3 + 2x)In
x.g..(3 + 2X)11l+ (3 + 2X)IIl.s!..(X)dx dx
_ (2x + 1) - 2C5 - 2Xxn.C5 - 2X)1124Y. __ _:_._...LC5..:_-26.JX~)~1 _dx (2x + li
J
Solucionarlo d. Derivadas
95
Solucionado de Derivndn,
-
97
dy ..:.Ldx . 18
!h:- -ldx 2(3) (3)
-22[3J[3}J
ID'.- -2dx 2(3) (27)
Q:l- -g'_dx 2[3] f211
2(8 +1)"[10 - l)lIl-9
"2[4(2) +1)"(5(2)-1 JM-9
'Cuando x ..l
Soludon.ro de Derivad"s
96
"@l!-4-~Glt-5
Q:i _ 2(4x + 1)'/2 ISx . I),ndx (Sx!)
J
4IS,,_'1)1Il(5x_ !\1I2-5J4x+ 1)1I2(4x+ !l,n!Ix- 2(4x+I),nC5x_!)1Ildx . (Sx - 1)
'1 ':o....4 5x - Il - S( 4x + 1)!Ix _ 2(4x + n'" (5x - 1)''1dx (Sx-I)
4(Sx - l)'ll. SC4x+ I~nID! _ 214x +1)'12 2(Sx-!)'dx (Sx - I ) .
(5x _1)'12.4. (4x + 1)'12_ (4x + 1)'I2.!l..(5x. 1)112lIx. dxdx [(5x - 1)'121'
y.(4x+ n'll(5x _ 1)'17
x_264. y- MXiVSx--=-t
_:', .
!!Y- 12 _4dx ' 3
Seluclcunrio de Derivadas
-
9998
x(lO "x2) + x{x2-5)dv _ ~il (10 _X2)112dx (JO _x2)
1
I
Qy.___lLdx (1)(2)
Qy- S(1tdx (la - 32)3 (32_ 5)112
Qy= 15dx (10-9)Ji2(9_5)1f2
Qy _ 15dx (I)JI2(4)1i2
x(lO _x2)112 + x{xl _5)1/2Qy =. {x2 _S)112 (lO _ x2)112dx (10 - X2)
I
Cuando x , 3
(10 _x,),n ._L.(x' -5) lnl .!L(x' -5) _ (x' 5)'"._L. (10 - x,),n., -!l(
~'----_-----=~~~~~----~dx ----------------~~~--------------__1
Qy. (x2_5)1/} (10 _X2)112dx (10 _x2)
I
5x .(lO _ X2)112.Q_(X2'_ 5)1n. _ (x2 _ 5)J12.Q_(10 _ X2)112
Qy. dx dxdx f(lO - X2)1 2
I
; X _ 3 10x - *' + ,,' _5xQy _ (x2_5)12(10 _X2)"2dx (lO _X2)
1
y-.~Vlil7
65.
Solucio1l3rio de DerivadnsScluciounrlo de Derlv~dM$,
-
101
u.M+X)'
)
b-lt-b+l
-
du _ ( 1 x? yY> ( i;x )dx -2-
,Jh: = 1dx (1+ y' +.y')
x-,fi+~
du _ j_. (1 X2)>'>-l. Q_(I X2)dx 2 dx
Qy e +.S-dx +.S- (1 + y2 + y.)
u _,:;!
u._ (1 . x2)y,
ill!_Q_( 1 - Xl )y,dx dx
15 .15!!y + 15y2.ro:+ ISy' ..Q_y = 15dx dx dx
lS.ro: (1 +i + y') _.1Sdx
15(1).15.ro:+ 15.i.!!x+ 15./.ro:dx dx dx
ro: = - u2 + a2 u2dx (a2 _ U2)112
ro:. a2 2 u2dx (a2 _ u2)112
15.Q_(x) 15_!!x+ 5.3.l-I.9-.Y + 3.5.yS.I.Q:idx dx dx dx
"
!!x. - u2 + ( a2 ul )dx (a2 u2)ln
lSx _ lSy + sl + 3ys
ID:= u ( a2 _ i r11l( ~ u ) + ( a2 u2 )112dx ~
Q.y= (al_ 2 u2) _ (-20_dx (a2.u2)li2(1. X2)11f
Q.y. _x(a2_2u2)2ndx (a2 u2)112 (1 x2)1h
ID:.u ._1 (a2 _ u2 )112-1. Q_( al. ul) + (a2 - u2 )112( 1du 2 du
;'Sustit1uyc:ndo : s!.Y y. du en Q.yduo dx "dxro:. U . Q_(a2 .u2 )112 + (a2. u2 )112. Q_(U)
du du du
Solucionado de Derivad.s
. 103
Solucionndo de DerivadAs
-
105
2b1x. + 2aly2-'.!ti ~Odx
gy--.x.dx y
9. b2xl + a1yl = a2b1!!_(blx.2)+ !!_(a1y2) _ !!_(a1b1)dx dx. dx
Qy __ +xdx. +y
2x. + 2y.Qy. Odx
8. Xl + y2 r 22x + 2l1.!ti - d_(r)
dx dx.
gy ..2...dx y
SoludolariO de Derivadr
104
2y.Qy _ 2p (1)dx.
dv _ 6y2JJdx (3y"6 + 2)
7. yl ~ 2px
2y2.1.~. 2p.dx.dx dx
Qy _ 2:///2. 3y2lldx Jyl + 2yl/2
4;l. 2 yl12 Jy2l1dx ~ln (3y"6 + 2)
~;:.
l. II.gy+_I_ ...Qy2y 12 dx 3y2ll dx
1=fu:(1+1;).dx L2y,h 37)
~_ 1dx 1 + 1
2yiii3ym
~..... .:.t" i:-::
:,:.
dx. ..l. . yl12.1 Qy +_1 . y'Il.I. Qydx 2 dx . 3 dx
1.~. Qy + y'2/). siY2dx. 3 dx
'. f' :' ." :O>.,.!'"
$ohl4:lonnl"lo de Derivados
-
2 _ 3ax.Qy - 3ay + 3igydx dx
107
x3 _ 3axy + y3 _ O
,'3x2 - 3a[x.QY + y.W + 3y2.!!y. dx dx dx
. gy, - - !!Y __ _yl/~dx 77>
gy. _ )/11l_dx 77>
-+!!y. -3- XI/3dx +
-3- v"
2.gy.- 23yUl dx 3x"J
2 +3x")
j_x'W + ]_y .I/l. !!Y _ O3 3 dx
j_.X2l3-1+ j_.y2ll.1 Q_(a2ll)3 3 dx
11.
SoludOllario de Derivod,
106
gy,- -1 fYdx V-X
- 1?
1~
.\'!Yodx
.!!y 12yin dx ?
+ 1 .gy"O~ 2yln dx
~ 112 + ::C!:... !!Y = O2 2 dx
_1 . X,n.1 + _1 . yln.1 . gy O2 2 dx
Q_(xln) +Q_(yln) Q_(aln)dx dx dx
Solutioundo de' Del'ivadQs
-
109
1 + 2 XIIl.Qy + 2 yI12+Qy_02 yll2 dx 2 X 1/2 dx
+~XII2.Qy + ~yll2+Qy=O~ y"l dx ~ xll dx
1 + X"l. Qy + 112 + Qy O? dx ;1/2 dxQy(l + XI/2~ _ - 1 _ 1/2dxl ylilj n-
:y dx + 2rxlll.Q._(ylll)+ ylll. Q._(XIIl~+ Qy = Q._(a)',dx L dx dx j dx dx
1 + 2 (XII2._J. ylll.l. Qy + ylll. j_. XII2.~ + Qy _ Ol 2 dx 2 J ,dx
1+ 2(xln.y.1/2. Q.y+ in.x .I/~+ Q.y_Ol 2 dx 2 J dx
x + 2 . Xl/l . yln + y a
Soluc!ollRro de Deriv.das
108
!U.-x ( x + 2y )dx (Xl +..)
Qy_ .-3-x~x+2y)dx -3-(x +l)
Q.y ( X 2 + 2xy )dx (x2 +..)
13. Xl + 3[x2Y1 +1_el3x2 + 3(x2.Qy + y.Q._(x2)]+ 3y2. gy. g_(cJ)
dx dx dx dx
3x2+3(x2.Qy+2xyJ+3l.Qy .0dx dx
3x2 + 3x2 Qy+ 6xy + 3";. Q'ydx dx
3.Qy (Xl + i) = - 3x2 - 6xydx
Q.y= 3)\2 - 6xydx 3(x2 +..)
,
Qy. 3aX. 3x2dx 3(y- 8X)
Qy -3- (8~- X2)dx -3- (y ax)
Qy. (or - X2)dx (y -Ox)
3Q.y(y2 ax) _ Jay .3x2dx
Solucionnrlo'de Derivadas
-
axl _ 3b2xy + cyl = 1.3b2(x.Qy+y.Ql1+3cl!!Y- Q_(I)"L dx dxJ dx dx 3b1(x. Qy + y (1)1+ 3cl Q.yl dx J dx
111
X2 eX + 3y)(xl + l)
4xl + 4 (xl. Qy+ 3x2y'1+ 4yJ. Qy- Ol dx J dx
4xl + 4x1.gy+ 12x2y+ 4y1.Qy- Odx dx
4xl.Qy+4l.!!Y 12 x2y. 4xldx dx
4Qy ( xl + yl ) e 4 X2 (3y + x)dx
4 X2 (3v + X)4 (Xl + i)
4xl + 4 [x1.!!y+ y.Q_(xl)) + 4l.Qy - Odx dx dx
Q_(X~)+ Q_(4x1y) + Q_(l) = Q_(20)dx dx dx dx
Soluciona rlo de Der
110
.lIY(2y + a.xll2l_ 2x ~dxl 2.yII2J' 2xl
2x + ~gy. ~ __ .=.2X~n
-
113112
18.
yl12 + 1/2 xl12M:O.ID!1/2 1/2 dx2' 1/2 2.y .ydx .x .X 2.x . y
1'/2 + -v-~ XII2 . M =O2.xl/2.X 2.x 112...".. 1/2 dxdx 2.y .y
- b" ..Multiplitnndo a nmbos mtem J'O$ I)Or -
1 s: X11.2.Qy2 1/2 + 2 1/2 21'/2 dx .0__ x_ _x__
_x_ _J_1 1
-ilY: 3 (b2f -sx2 )dx 3 (cy : b2x )
ilY e -3- ( b1- ax2 )dx -3- (ey - b2x )
gy. (b\_BICI )dx (elb2x)
...i!!.._. X 1/2 gy+ 2xl/2 2yl/2 dx 20
y
'2 2 ')3 . Qy (ey- . b x). 3(b y ax:dx
v". I .xln-I . xll2._1 .ylll-I.gy'2 2 dI(
yi12.x 112 /(112.y,II2.41
+ 2 2 dx .0 _y
3ax2 3b2[x . gy + y] + 3ey ,gydx dx
3ax2 - 3b2x . gy . 3b2y + 3ey2 o ilYdx dx
3ey2 o gy . 3b1x o gy~Jb2y Jax2dx dx
Soluclollnrlo de Derivadns
I .. " ,
,,-
O"
... "
'" '
:~, :7,-
-
114
115
Qy (y _2x) _ 3(l- x2)dx2x +(x. gy + y. dXJ+ 4y.4,Y - Q_(28)dx dx dx dx
f!y _6xy. Qy'"3'; - 3x'dx dxz 2]. 28,x+xy+ y=,19.
HRlllr lA pendiente de cnda una de ln~ wi:ulentcli curvas en el punto
_6xy.Qy- 3'; +3';.Qy. Odx dx
~ .1.dx x
_ 3(2xy.Qy + .; (1)1+ 3';.Qy- Ol dx ) dx'
(2, - 1)
.-y.- _1_dx 2
~x,n.'12dx ~x3n.y~x)
Qy~ x,n.yY2dx xY2.y,n
Qy __ {2(2) + 3} __ C4 + 3) - -'1-- - _Ldx {2+4(3)} (2+12) -14- 2
En el pun to (2 , 3)= _ (2x + y)(x + 4y)
x .Qy + 4y . 9.Y. - 2x - ydx dx(X + 4y) _(2x + y)
+ X Qy + y(l) + 4y. Qy. O. 2x + x . 4.Y + y + 4y . =dx dx dx d:4.Y.
dx
Solucionlll'io de DerivadosSoluciQllarlo de Derivndas
(2,3)
-
117
.2r-x~.s!.Y +LJ-2y. Qx. ~y~ dx 2x 1/2 dx
2~
In 1/2d 112 .112 ~_ X .y .gy+y .x .. (1) -2y.~.O2 dx 2' , dx
_2.X'I2.y'l2_y2.52
_ 2 [x 11l.!L(y"2)+ v" .!L(x 'Il~ - 2y.s!.Y = !L(S2)dx dx dx j dx dx
1) _ 2 (x 112._1 .(ylll.').Qx + y'12._L.(x'/2').dil- 2y.Qx, OL 2 dx 2 dxJ dx
__ '
'm D ~ _+ (-3-)dx +(~)
ID. ~ . 2(9)1/2dx 3(4)"2
m.'!!y. _ 213(3)]1ndx 3[2(2)'1l
Solucionarlo de Derivadas
116
~=_ 2(3y)'12, En.lpu"IO(2,3)dx 3 (2X)'1l
- 1~. (2X)'12dx 3
2(3 y) l2
_23~.sIx- - I2( 3y)'h dx (2x)'i'l
. I +__L. ..I!v O(2x)i 2(3 y) ti' "" '
21. '$ + FY _5 ; (2, 3)(2x) 112+ (3y)'12 S
_1 .(2X)I12'.~2x) + _1 (3y)IIl'.!L(3y) ', !L(S)2 dx 2 dx dx
C:zxrln.w + (3y r"'.(3).!IY =O+ 2., dx
,
m~~= -3dx (-1)(- 5)
m=.Qy.-...J_dx 5
m~~D (1-4)dx (-1)( -1 - 4)
.~I.. ,~~.-.. '"~.~~
,.-,.:..
,:;1'
o' l~!
Solucionarlo de Derivadas~.: -;-(l- X2) (1- x') '. En el punto (2,3)dx +y(y - 2x) y(y - 2x)m.~. f(_1)2_(2)2]
dx (-1)[ -1 - 2 (2)
.... tI,;;.." .-: :0.:'
-
119
ax.Qy _ ay + 6ay.lti =0dx dx
(1) - a (x:Qy+ YJ+ 6aylti Ol dx . dx
.dx - a (x.Qy + Y.dx,') + 3a.2y.Qy Q_(3al)j" dx l dx dx) dx dx
(a, a)
m. _1L(4)(3)
111.
m. _~31l-_24/2 (3))
m = _..gr2,,-ln~(;..2l~-2..I)l.Ll_[2l/2.22/2(3))
m = _-Hr1:._.m-f,(3~2'-T-,J1)1.L1 -[2!/2 .1:m.21/2(3)]
Solucionarlo de Derivadas
118
Soc."do rncloreomun: Qy (1'1/2+ 2y')_ 2x _.:i!:.dx l_y1/2 J Xl12
1/2 2 d 2 1/2.JL_.Qy + y.QY- X _.:J_yll2 dx dx X1/2
'Soh.iclnnl'o' dc.Dc"vndas
2x -.i!:_ ~ xl/2: f!y + 2y.QyX 1/2 yl/2 dx dx
-
121
1/2
x,ln . Qy + 4y. Qy = 2x. 3 XI/2,yll22yl/2 dx dx 2
Qy(. X3/1 + 4YI = 2x . 3 X1/2.yI/2L2yl/2 J 2
2x.,L:.!!y. 3xl'2.y"'2 .4y.!!:L_02y"1 dx 2 dx
2 G 1'1 d 3 112 'l. x , ll..,QY + .X .y 4y.!y.0, 2ylll dx 2 dx
Solucioll0l'io d. Derlvad.s
2x'(1). X312.y.'Il.Qy + yll2.3.xI/1 4y.Qy_ O2 dx 2 dx
110
.'
m=~--:.L. dx 5
m e gy = - 2+2 -; _L.dx S+~ S
2 1m. Qy~ a 3adx a(Sa}
a.Qy {6y - x} _ ay' 3x2dx
6aY.Qy - ax.Qy _ ay . 3x1dx, dx
Soluclonodo de Del'ivntl.s".
gy. a.y - 3X2 . En.l punto (1,.)dx a(6y x)
m.Qy- a(al-3(aidx a(6.6 a)
1'. .
312 1121d 112 3 3(1.'J 4 d2x.dx. x ._L.Y .gy + y '-' x . y.gy-
dx 2 dx 2 dx dx.,,/'
.~~.'..'.. ,"(:)" ' .~-;"".'"~:'':" ....... , , :. "
..~.'.
,.;.i~:
~.. '
-
123
2x + 2y.!!.Y, + 2(1) +s!Y.dx dx,"':J'" (IV -12( 1) - 6.!!.Y,+ O - O, dx ' dx
2x + 2y.J.l.y+ 2.g, + !!y -!Ldx dx dx dx'L"".' N.n, Il,~ . 6,b: +d.(25) - O
dx dx dx
25, DemostrRr que IRSparbolas y' _2px + 1" Yy' - p'- 2Jl!ngulorecto.
. 12x 6y + 2S O
DerivRndQ:
Demostrar que las circunferencias x' +y' - J2x - 6y + 2S OXl + y' + 2x + y. 10. son tRngentes en el punlo ('2.1 l
x
),' p' - 2px
y
2 parnbolQs son pel'pendiculares, sea que se cortan eu r. recto. porque el producto de SIlS pendientes es Iguol a - 1 '
'm. -..:.IL - + I,-p-...R-" L-p
-.p. _'. 1.P
::) In J.l.y. ...!l.. . ..JI_.dx y ipm.!!Y ..!l.. -_lL.dx y p
Soludon"I'io de DerIvadasPero: y.tp
~ . .lJl.. .dx 2y
m-jy-_.R.dx y
2y .jy_O - 2p.s!K - 2pdx dx
1_ p2 - 2px2y .lI:i O - 2p.d3
dx dx
Deriyando !
Sustiruyendo x _ O en,y- - py - p::) P (O p); P (O - p)
,l. ..',-' ...... ",,,.~.,
"J".lI:i-~ -.p..dx 2y y
2y .!!y _ 2pdx
2y.jy _ 2p(l} + Odx
yl. 2px + pl2y,!!y _ 2p.~ + ll(P'}
dx dx dx
Deriyando :
2px + p~ p' - 2px2px + 2px _ pl _ pl O4px _ Ox. 0------"
,gy.2._,dx 8
Qy ...w- dx *
gy. 10dx 8 +8
. ,:-1.
-:
.{::'Solucionarlo de Derivadas
Q.y. 06 -6\ (1).dx {(2612) + 8}
Q,y. (10)(1).dx { 2) + 8 }
-
12S124
+ y.dx} + 4y.!!x. 2.(28)dx dx dx
00y = 2x t}
cada curva para encontrar sus pendientes:
PI (2,4) }puntos de intercepcinP2(-2,-4)
y _'2(2).4
Y - 2(-2) = - 4
y = 2xSi sus pendientes son iguales => estas curvas SOI1
Sustituyendo el valor de x en t}
Sustituvendo el valor de y 2x en O
- x (2x) + 2(2x)1 _ 28m, _gy _- 2dx
- xy + 2/- 28 O.2x e!Ix - 212 ~ 1) ..:.........o~
d. (2(1)+1) (2H)
(-2,- 4)Qy D - 2(x + 1)dx (2y+ 1)
Qy(2y+ 1)'.-dx
2Qy (y - 3) _ 2(6 - x)dx
Qy. 4- (6 - x) _ (6 - x)dx 4- (y - 3) (y - 3)
- xy +2yl _282y oQy+ Qy _ - 2x -dx dx
2Yogy-60Qy= 12-2xdx dx
y2x+2Yogy+2+
dx2x + 2y ogy - 12 - 60gy O
dx dx'~'.~..
Sclueionarlo de Derivadas~~.r.!!.""JOque ngulo corta In recta y_ 2x ,n la curva x' - xy + 2yl 18 o
'Solllcion.,oio de Derivadas
En el punto (2 ,En el punto (2 , 1)
~ _ (6 - xl _ (6 - 2) ..s...dx (y - 3) (1 - 3) -2
\
-
127
(x-ri + ~ - 1 ea b
El centro de la elipse es el origen (0,0)
El semi eje principal de la elipse es: a p/2
El lado recto de f} ser la mitad 2p
Si el lado recto es 2p, por grfico obtenemos que F(p/2,O:
Si y2 4px O es el doble de:l.2px f}
El lado recto de O es 4p
y' _4px
-;..:.. d. l. parbcla y' .lpx es el centro el. IIn. elipse. El foe
!':lf!"b'lI'l,ol.es un extremo de uno de los ejes principale. d. la ellp
~P'"""U'. y In elipse se COItOIlen ngulo recto. Hallar la ccuacAY
PROBLEMAS ADIClONALES
Soluclonarod. Derivada.
126
e_63 26' 6"
e.are (g(2)tg a. 2,
20 --L= 21 + (O) (2) 1 + O .
tg a = m, -mL _. 1 +rnr.m,
m, =~_ Odx
~~ 4-2(2) _ 4+4 ---.=O.dx 4(-4)-(-2) -16+2 .14
~ e y - 2x . Sustituyendo el punto P (-2 4).dx 4y - x
gy{4y_x} .y.2xdi'. O 'dx
2y.b'\~ ~- 2X.8'2dx
Qy__ ~X.8,2 --*dx ~y.b,2 a y
Soluclonnrlo de Dervadns
\
-
131
ID: - ~b~" - b;.dx ;.y ay.
Aben la pendiente d. laNormalsu:
.1 -4_*- -Normal.-;; ~ b-,
o'Y
y
1 rocoso De-mostrar qUtlt "d~una thpst con os . ete
Se une un punlO cualquiera P t 1 urva en "P" nG,lIloS B&udos Iguestas rectas rorman con la norma a 1\ e
.Suponiendo la e~uaci6n de l. elipse:
b'x' + a''; - .'b . . do:Encontrando su pendiente, dcn van o.2b'x + 2.'Y,dY " O
dx
r ,p...~9a+3blr , J9.1+ 3b'
'2
. 1clr lo sustituimosComo nos piden hallar el radio de eu, .lci lo de centre ( 2a , O )., 3b'/4 en la ecuacin de circu
x al2/ y I- . ._9a' + 3b'(x-2a) + y - 4
, " ,,,1;y .~"-"!(..4. 4
_3a'b'4
" 'b' ,',,'! 1 .'b! . a y lO a ..Lv...+ay- > 4
+ a2yl_ a2b2
l;f + a2y2 - a2b2
Solucion3t'10 de Derivadas
130
Como en la ecuacin de la elipse hay 2 incgnitas "x" y "y".sustituirnos el valor d. x _A Y encontrarnos el valor de y.
2.
Tornamos la ecuacin de la elipse:b2 + a2 a2b2igualamos O y f)b'\2 + a2yl. a2b2b2x2 + a2l.2ab2x~ 2ab2x _ 1I2bz
Como el circulo corta 'en ngulo recto a la elipse, tomampendientes.mI ' m2. - 1
(x - 2a)y
m2 dy = -+(x-2a) _ -. ~y
2 (x-2a) +2y,Qx. Odx
Derivando:2 (x-2a) + 2y ..Qy. d (rZ)
dx
Solucionarlo de DerivndnsLuego se toma a la ecuacin del circulo y se obtiene su perldien~tcuyo centro es (2a,O).
( x _ 2a )2 +( y _0)2 r2}( x - 2a)2 + y r2
-
133
!jI , ,
a2y ( x+c) _b2xy(b2X )(,~ I cl!(X+C)(bx+a\2(x' e)(b x)
IilIt!.o r
1I
:1'1, ,
I!
_";'
tg a - er (9' ex r.bJ! 8ft r
Slmpucendo:
"
tg a x~(e')+ a1cy"litj b xc + a'b' - "~it~
tg a . e'xy + a'eyalb' b2xc
Solueionnrlo de Derivadastg a - xy ~al bl)+n'e~
b'xl - b xc+ (albl . bx')
-,
132,
Sustltuyende estos valores O y #} en tg a
PCI'O dt la eeuaeln de 111elipse ~
b'x' + ft')" a'b' , despejamos .')"
.'y' . 'b' . b'x' Oy segn la relaci de la elipse:
.' b' +e'a'. b' _e' #}
b'xy - (a'y'(x-e)'tg a (x-e)b2x)
b2x(x-e) + a2vl(b'x)(x -e)
tg ,a. b2xr - a2xy + a2etb2x _ b2xc + a2y "
tg ex. ,x~ (b2 - a2) + a'cib x Z b2xe + a2y
..::L'ntg o ; x-e b1x
,1+'~J'~-,,':.
Seluclonnro de DerivadasSegn el grAneo:
.,..: .
,)~
Aplicando la frmula de un ngulo formado por 2 rectas:cg9. ,nlnl, .
11'" 11\,.lnJPrimero para el ngulo a,
Pendiente FP - ~ -L ; Pendiente F'P -X..:...Q_ ___J___x - e x - c x (- e) x + e
-
134 .135
~.---dx A
B.~ +A.~= B +A.dY-Odx dx dx
~ I..~A2 b'e
-
137
Bx + Ay oAB ;B[~l+ A (~1-ABX ~ .i..Sustituyendo ahora.el valor de "x" y "y"en O
A
2 B 2 -o. 2X -lL=- - a .-0- - a
,JATP7 A. -& A
I
. X_, Ja1$' +A'b'A.b2
{L.q.q.d. (Lo que se quedo dOO10.51", r) }.X_ a~y. Ab2
a2.B.A.b1
Com~ @) esta en funcinde "y", e!ltoncesreemplazamosde-y en "x".
y.__!L ~B
Como AB est dividiendo, ahora lo pasamos a multiplicar.
a2.B2 + A2.b2 ~ ABAB
136
alB + Ab2 AB. Sacando el m.e.m.A B
y. A.b1,JAl.Bi
yo ...(.b1..k.B
Soluclolla"o de DerivadasSoluclOllorlo de Derlvadns
-
l39
41 (2y - x ) y - 4x ;Qy. y - 4x . Pero: P(3.2}dx dx 2y - x
4x - x.41- y + 2y41 Odx 'dx
4x - x.41- y(l) + 2y41. Odx dx
4x - (x.41+ y.dl\.1+ 2y41 Q_(I6)l dx dxJ dx dx
DerlvDndo para encontrar In pendleul~:
2x1- xy +i.16; (3,2)x+7y-37.0
Ecuacin de la Normal:y _y. __ .L (x - x.) y - 5. - _1(x - 2)
mi 77y - 35. - x + 2
Ecuacin de la tangente:y - y, = m (x - x.)y-S _ 7 (x - 2) ; y - 5. 7x - 14. O7x - Y = - 9. O
m. 7 _ 7 .7.7.m(3-2i (}2-1
m Qy_ 7 Pero: P (2,5)dx (3 - xl
7(3 - xiQy.6-~+~+1dx (3-xl
SolucionAdo de Del'h'ad.$
138
(3-x).L(2x+ 1) - (2x + 1).L(3-x)41. d dxdx (3-x,f
Qy_ (3-x)(2)-(2x+I)(-11.dx (3_X)1
3. y _ 2x + 1 ; (2,5)3-x
9y. 18 - x + 2 ; x + 9 y - 18 - 2 _ O. ~ x + 9y - 20 ~
Ecuacin de la Normal:y _y, - l(x - x.) y - 2 - -_L(x- 2)
mi 9
Ecuacin de )a Tangente:y - y,.;m (x - x.)y - 2 ~9 (x - 2)y-2.9x-18O.9,x-y-18+2-09x:Y-J6.0
m 41 3 (2)%- 3 _ 12 - 3 9dx
41- 3x%- 3 :Sustiluyendo: P(2.2l en la derivada o n"n,di",,,..1:dx
Hallar las ecuaciones de la tangente y de la normallas curvas siguientes en el punto dado .
PROBLEMAS. PGINA 56
Solueionnrio de T>eriv~dn$
~.," ,:1. e-~.,',.... .':,' ..... ;;,: ..";~...
,.,.....t.-
'. " .
;:~.'..',;.. ".,' ..;. .:.' .
-
141
Ecuacn de la Tangente:y _y, _m(x - x.) en el punto P (x.. y,)
y _ y, .:..l22..(x - x.)a2y,
m.-*.ay
. Obtener las ecuacionesde la tangente Yde In l101'0181 ena la elipseb'x' + a'/ "lb'.
Derivando la curva: b1J(2+ a2l.a2b22b2x + 2a2y.Qy. d (a1b2)
dJ( dJ(
2b2x + 2a2y.Qye O ; 2a~.Qy. - 2b2xdx dx
Qy. _~b2X ~ _ b2xdx ~a2y 7Y
2y +4 J( - 1 _2y + 4 ::::> x - 2y - 5 - O
y+2._1 (x-l)2
y_y,.-! (X-XI) ;y-(-2) .-:..L(x-l)-2
Sotuclona"o d.Derivndas
Ecuacin de lA Tangente:_y, m (x - x.)
y _(-2). - 2 (x - 1)Y+ 2. - 2x + 22x + y +2 - 2 O2x +y e OEcuacin de la Normal:
_--- -----
140
m. 2 _ 2 _ - 2 ~m(-2)+ 1 -1
m. Qy. -.r _2_. Pero: P(I,-2)dx ~ (y + 1) (y + 1)
2y.gy+2.!!y-4.0 ; 2.gy(y+ 1).4dx dx dx
2y.gy +2_gy - 4(1} + o. Odx dx
2y.gy + 2.ID: - 4.~ +Q_(4). Odx dx dx dx
2 '5. y + 2y - 4x + 4 O .
x. lOy + 17 O,"
-1 O(y - 2) - (x - 3) ; - I Oy + 20 - x + 3 .
Ecuacin de la Normal;y _ y, ~ .-:..L(x - x.) ; y - 2 .-:..L(x - 3 )
m, -10
\
Ecuacin de la Tangente:y _ y, ~m(x - x.) . Sustituyendo: m. - 10 y P(3,2).y-2~-IO(x-3) ;y-2.-IOx+3010x + y - 32 _ O
m~~. 2-4(3) _ 2-12 .~.-!O_mdx 2(2) - 3 4 - 3 1
~ _ y - 4x . Peto: P (3,2)dx 2y - X
Soludonndo de Derlvadnsi-..",
-
143
x,.y - X,.y,. y,.X y,.X,Y'x _ x,y = x,y, y,x,. Ordenando: y,x - x.y = lt,y.-lt,y,x - x,y D O o tambin: x,y - y,x - O
X, (y - y,) YI (x - x.)y - y, = .1!.(X, x.)x,
y y, _ -_L(K - x.)~y,
y - y, -_L(X - x,)m,
Ecuacin de la Normal:
C 2,">omo: YI +XI .XI +YI .r,:::) X,X +y,y _r
pero:{x' ...y' _r2 , 1
XI + Ya - r
YI(Y - y,) e - x,(x- X,)YI'Y _ y'.YI _ - XIX + X,.X,
2 2YI'Y - YI e- X"X + XI
2 2XIX + YIY e y, + XI
Solucionario de Del'ivad,.s
Ecuaclu de IRTnugente:y'- YI m (x - XI)y. YI.2l(x - XI)
y,
142
!!.Y _ - ~ _ -ll. Ahora la pendiente en P (x yl)dx ?:y y
2x + 2y.dy. O
b2 b' 2 'x,.y - -X,.y, a a y,.x - a-y,.x,... 2 2 .,a")',.x,- ~ x'J'. a l"X - b-;,.yx,.y, _ (a - b ) _ a .y,.x - b .X,.y..Ordenando:a l. y l' x-b 2. x ,. y_x ,. y ,\(82 - b2)
7. Hallar las ecuaciones de Inkangcnte y la Normal,longitudes de la subtnngente y In sub-normal, en
," punto (XI,y,) de la circunferencia Xl + yl _.2.
Primeramente derivabdo la curva: Xl + l- r2.
y-y,.n.(X-x,)b1
.'., x,,
EcuAcin de la Normal:y _y, ~__1 (x - x.) y - y, ~..:.L(x - x.)
m, _~2X,R y,
bl1 1 1:::) X,X + a y,y ~ a b
-
144145
Ahora demostraremos que "P" es igual 8 lA sub-normal.
_YI - I (x - x.)_a ..:..L (x - a)
2_a) _ - (x - a)_2a = - x + a+ 2'1 -Za - a. O+2y - 3a. O
_.y, _a = 2 (x - a)- a _ 2x - 2a_y_2a+3.0-y-a.O
__L(2x) en el punto (a, a)a
y - y, m(x - x.)y - y, =..E. (X - x.)
y,y.y, - y,.y, p.x - p.x,
2y.y, - y, '_ p.x - p.x,Pero, la ecuacin de la parbola: {y2 . 2px
.' '. y,-.2px,~ y.y, - Zpx, _ p.x - p.x, .y:y, -'2px, + px, - p.x.'Oy.y, - p.x, - p.x O (~cuaci6n de la tangente)
Luego encontrando la intercepcin de la tangente, con ely _O x. - x, => las coordenadas de T (- x O)Las coordenadas de M (x"O) => demostraremos que TOTO. J 10 -(-XI) + (O - O)'J _ J(X,)' _ X, TOOM .J{{x, - O>, + {O - O)l} _ ffiJl x,
~TO _ OM
2 1 2- X - .x--a aE~uncinde la tangente:
ay. Xl ; (a, a)ID! -7!-p (1) ..p.., ~ m = ..p..dx -7!-y y, y,
.~-)'I.PP)'1
)bt.euI:r los ecuaciones de In Tangeute y la Normal, y las longitlldesl. sub-tnngente YIn sub-no"nlal de cada UIIOde las siguientes cur-en los puntos indicados,
Derivando para obtener la pendiente en P'(x., YI)y2 = 2px2y,Qy _2p.dx
dx dx
_ y"OI, .sabiendo quem. L':::) 011_ L .YI YI8. Demostrar que In sub-tnngeute de In pnrbolo y' _2px
por el vrtice, y que In sub-normnl es constante e euol n ,
Soludon.do de Derivad.sSoluelennt'lo de Detvnd ns
Segn grfico: MN sub-normal........:..... ";,:t'.' . t .~:I.j .....:",;-;."'~.:.' .....':.,''';',' :-, .. :,'
~:.
.... "
',',',
,"Y',.H" ,
,'. '1,
,. ,1., .. ,.:,'.r
..' ...' .; .
..
-
141
1j:cuacin de la Normal: ~'Y-YI.(:1..)(,(-X1) ;y-3- -1 (x-2), ,lm.J - 3
2(y - 3) .1.. (x - 2)
33)' - 9 - 2x - 4O o 2x - 3y + 9 - 4 _2x - 3y + S =O
_3) _ - 3 (x - 2) ; 2y - 6 - 3x + 6
3x +2)' - 6 - 6. O.3x + 2y -12 - O
y- 3. :J_ (x - 2)2
8" + 8y.Qy- Odx
m = Qy _ - 4&-" _ - 9x - 9(2) - 4&- .:2.dx -8-y 4y 4(3) ~,2
8x + 8y,Qy = Q_(72)dx dx
9X2+ 4/ o 72; (2,3)
Derivando para obtener la pendiente en P(2,3)
Solucionado de Derivad.s
146
'y -2 _(1j (x - 5)S(y - 2) _ - S (x - 5)'5y - 10. - 8" + 408x + 5y - 10- 408x + Sy- 50 o O
ECUAcin de l. Normal.
y- y, .~I (x - x.) ; y - 20ml(x - 5)..- ln S'
.',
y-y,om(x-x,) ,y- 2 = J..(x - 5)
sS(y - 2) _ 5(x - 5)8y_160Sx_25.5J_8y_25+16.5x-Sy-'oO
Ecuacin de la Tangente:
h.1y _.Lo_S_o m,8- y dx 4y 4(2) 8
2x - 8y.Q:ioOdx
Derivando para obtener la pendiente en P(S,2)
y"m,. (a) (2) o 2a .
lO, Xl - 4y' _9; (5,2)~'
)
Longitud de In Sub-normal:, '.1
y,.a} Y, .J!..111'02 m. 2l&ngitll!1 de I~ sub-!an~:
Sohicionnrio de Derivadas
-,
-
149
Ahora enconto1unos Laintercepcin de la tangente con el eje "x''.Cuando y O; 4x + y - 25 O
+ 0- 25. O_25
y_s-4y+l5
~~~~EU~~:~~---4----~~--~Xy _y, In (x - x.)_5 - 4(x - S)-5_-4x+20 '+ y - 5 - 20.0+y - 25.0
,n.nvnmn. paro encontrar la pendiente en P(S.5) . 6 - 2x
. Calcular el rea del tringulo que (ornun el eje de las "x", y l.tangente y la normal. 1. curva Y_6x - x'en el punto (5,5),
.........
2) _ x - 3+4_x-3_x 2y -34_.2y - 7 O
(-2) ..:...!..(x - 3)-2
m,
SoluciOnArlo de Del'iv.das
148
m.Qya V -_::..1(~2=..r..)_2 2_____ . " __ -2
o'. dx x + 2y 3 + 2(-2) 3 - 4 - I
Ecuacin de la Tangente:y - y, m (x - x.) "y - (-2) -2(x - 3)y + 2. -2x + 62x + y + 2 - 6. O
2x + y -4. O
ID:: (x + 2y) ydx
x.Qy + y(l) +2Y.ID:: _ O ; x.Q:x:+ y + 2y.ID::o Odx dx dx dx
x.ID:: + y + 2y.Qy. Odx dx
x.ID:: + YM + 2Y.ID:: + O= Odx dx dx
12. xy + yl +2. O; (3,- 2).Derivando para obtener la pendiente en P(3, 2)
Longitud de InSub-normal:
m,.y,_[ =tJ (3)0'; .,;':)
Longitud de InSub-tangente:
Setuelennrlo de Derivadas
-
150
2y,Qy. O- !~; 2y.ID! = - 1dx dx dx
MN. J(O - O)'+ (- 18- 13/4)'. Je- 85/4)'.85/4.
14. Hallar el rea del t"~lIgnlo que forman el eje de las. "y",la tangente y In normnl a la curva y' 9 - x en el puntot;erivamos para encontrar In pendiente en el punto (5,2).y .9 -x
, El intercepto de la normal con el eje "y"Cuando x O; 4x - y. 18 O4(O} - Y - 18. OO-y-18.0_18.y.-18N(O,-18) .Calculando la distancia MN base del tli~ngulo.
; 4x - y 18 Orea del Tringulo PMN b. h Base. 85
2 4~ (85) (5) (1) 425 unidades'.2 4(2) -8-
(~_(_15)}1+(0_0)1 4
y _2 = ..:J_(x - 5):.L4
Ecuacin de la Normal:y _YI = ..:J_(x - x.)
1111
El illtercepto con el eje "y".. Cuando x _ O; x + 4y - J3 O0+4y-13. O4y. 13. y. 13. M(O ,13/4)
4
- 4 (y - 5) - (x - 5)- 4y + 20 - x + Sx - 4y + 20 - 5 Ox - 4y + 15. OAhora encontramos la ntercepcin de laNormal con el eje de lasCuandoy.O ; x-4y+ 15.0x-4(0)+ 15.0x-O+ 15.0x.-15 :::> M(-15,O}Calculando la distancia MN base del tringulo,
_ 2) - (x - 5)_8.-x+5
x +4y - 8 - 5 Ox + 4y -13. O
y - 5 ..:...L(x - 5}-4
. Ecuacin de In Normal:y - y, ..:...L(x - x.)
m,
SOlucionAro de Derivadas
ID! ..:...L ..:..L :.Ldx 2y 2(2) 4
Solnccnarle de Derivadas
151
N (25/4, O)x ; 2S .. 4
-
153
2.6_ y ~}Xl. 32 -l ~
7
-y. 32 - .;7
7 (6 - y) 32 - y'
Primero encontramos los puntos de intercepcin.
tg e.::.l!.. -4 e. are tg
-
155
3x - 2 _ O1) (x+ 1) (x - 2) O
x.O
-3y. 2x
- 3x - 2). O
_3(i). 2x
154
m,. - 2x'_ - 2( 1 ) _ - 2.
m,.:.l.It..-7( I ).;L.y 5 5
Concluimos enccntrandc ~I ngulo de ir'llcl'ccpci6n PQrQ (1,5)
El valor de Ins pendientes df cad. eurva en (J,S)
G. are tg (0,1034482758621). S 54' 22".
ConchlinlOS encenrrandc ti Angulo de Jnrel'cepcln POI'R(2,2).
Ige. m,-mt -1-(-71 4+7 _ ]_.O.I03~148:21l +m,.m, ) + (1)(-4) 1+ (2B) 29
m, - Qy. -MlS. -..:.1L - 7e i!) - 7.dx i!y y i!
7x'+y2.32614x + 2y.Qy. O
dx
m, Qy. O- 2x. - 2x - 2(2) - 4dx
Ahora encontramos las pendientes de cada curva, tra,08Jfl!1lpara esto con los valores positivos, M(J ,5) ; N(2,2)Pata N(2,2).
-4 e are tgW. 0,1578947368421.8 58' 21"19
_7/5 + 2 3/5 .._j_1+14/5 19(5 19
- 7/5 - (- 2)1+ (-2)(-7(5)
SOlucionArlo de Derivadas
.x2 32_y2 _ 32-4 _~_4. -4 x_2. =>7 7, 7
y. S} Sustituyendo en O y f9 los valores de "y".y.2 x'.6-y.6- S.I. x. l. => M J(I,
. M 1.(-1,
.; . 7y +42 - 32 O
.; -7y+ 10.0(y - 5 )(y - 2 ) O
Soluelonario de Oer iv~da$
-
157156
+ 12x - 3x2 2x)12(1)-6x-6x2.12-6x_6x2;6(-2+x+x2).06 (x' + x - 2) O6 (x + 2)(x - 1) O(x + 2) O )C _ - 2
. (x - 1). O ; x _+ 1
Luego: Para x 3, se toma un nmero mayal'pequeo,este se sustituye en la primera derivada.x > 3 3,1f'(x). (x - 3)(x - 1).f '(x) (3,1 - 3)(3,1 - 1) = (+ )(+) _ " + ".Este signo positivo seria el segundo resultadoPuesto que el signo de la derivada cambia de " -la funci6n tiene un valor Mnimo.Para saber cuanto es este valor Mnimo, ree:mp,la.z@valor crtico: X 3 en f(x).f(x) x) - 6X2 + 9x.f(3). 3) - 6(3)2 +9(3).27 - 54 +27. 54 - 54. O=:) ell~x 3 hay un Mnimo. O.Tomando el otro valor critico: x _ 1.
saber cunto es este valor Mximo, reemplazamos elcrtico, x 1 en f (x)) 6 2_x - X + 9x
.1)-6(1i+9(1).1-6t9.4.x _ 1hay 1111 Mximo. 4
-Para: x .3, se toma un nmero menor ase sustituye en la primera derivada.x < 3 ~2,9.f'(x). (x - 3)(x - 1)r'(x).( 2,9 - 3)( 2,9 - l ). (- 0,1 )( + 1,9)= - 0,19 .Paro esta clase de resultados, no es necesario k.__numrico, solamente interesa el signo.Asi en el caso: (- 0,1)(+ 1,9)_ "-" ..Este slgno llcgnlivo lo almacenamos CODlO un primer
Lueao: para x. 1, se toma un nmero mayor que 1, el msttl>:q~leo,este se sustituye en la primera derivada
> I 1,1_ (x - 3) (x - 1)- (1,1-3)(1,1 - 1)~ (-){+) _ " - ". Este signo negativo es
egundo resultado. Puesto que el signo de la derivada cambia" +" " "1 f '6 ti 1M'a - , a unci n lene un va or " aximo".
tom~ un nmero menor que 1, el ms pequeo, est se sustihla pnmera derivada.< 1 .0,9
(x - 3)(x - 1) (0,9 -3) (0,9 -1) ( - ) ( - ) " + "signo" + " es el primer resultado.
1. x3 - 6,,2 + 9xPrimeramente derivamos:f(x) x3 - 6X2 + 9x.
.. f'(x) _ 3x2 - 12x+ 9.Luego igualamos la primera derivada igual a cero.f'(x). 3x2- 12x* 9. 3(x' - 4x + 3). O.f'(x). (x - 3)(x - 1). O de donde:
x _ 3 ; x = 1, estos serian los valores crticos.
Soluc.ionnrio de Der-ivadas
'.
,'.- .\ -;.
:.;.
t'".
.......~.:~.~ ., r': ~..,,;".-"" '.,
'..' .
-
159
Luego:x > - 3 _ - 2,9. .Se sustituye este valor en la primera derivada.f'(x) _ (x + 3)(3x - S)f'(x). (-2,9 + 3)[3(- 2,9) - 5)f'(x). (+ 0,1)( - 5,7 - 5)
) '1 "f'(x) (+ )( - - .
"J + 2x1_ lsx - 20f(x) xJ + 2x2 - 15x - 20f '(x) ~ 3x2 + 4x - 15f'(x) (3X)2+ 4(3x) - 4~ - f'(x). (+x + -9-) (3x - : = O
3 " If '() (x+ 3)(3x - 5).x - x. _3 } Valores crticos.(x + 3) O , x ,(3x - 5) = O ; x _ 5/3
Para: x = - 3.
.( < - 3 - - 3,1. la nri . derivada.Se sustituye este valor en a primeraf'ix) (x + 3) (3" - 5)f '(x) _ (- 3,1 + 3)(3(- 3,1) - 5]- f'(x). (- 0,1) (- 9,1 - 5) _
( ) ,,+"f'(x). (-) - .
2,,3 +3l + 12" - 4f(x) = 2xJ + 3x1 + 12x - 4.f'(x). 6x2 + 6x + 12.f'(x) - 6(x2 + ~ + 2). e uede factorizar, ::> la funcrEl trinomio (x + x + 2) .no ~ .p .no tiene ni Mximos niMnimos.
. f(I).10+12-3-2~17.. 1 hayun M{n:lmo .17.::>enx. ,
Solucionario de Derivndas
158
Sustituimos x , l en f{x) para encontrar el valor numricoMximo.f'(x}; 10+ 12x - 3x2 _ 2xJf(I).IO.+ 12(1)-3(1)2_2(1)J
Se sustituye este valor en la primera derivada:f '(x) _ - 6(x +2) (x - 1)f'(x). - 6(1,1 + 2)(1,1 - 1)f'(x) _ - 6( +)( + ) = " _ "Puesto que el signo de la derivada cambia de " + " a " _ "funcin tiene un valor Mximo.
,i"l' "-'po ..._ .' ara: x .1.. x-< 1 a,9. .
Se sustituye este valor en ia primera derivada.f.'(x). - 6(x + 2)(x _ 1)f'(x). - 6(0,9 + 2)(0,9 - 1)f'(x) - (+)(_) " + ".Luego:x>I.I,1.
Sustituimos x e - 2 en f{x) para encontrar el valor nUllnen!Mnimo.f(x). 10+ 12x _3x2 _2xJf{-2). 10+ 12("2)- 3(_2)2- 2(-2if(-2).10-?4-12+ 16.26-36.- 10.f(-2). - lO.~.en x.: 2 hay un Mnimo. -10.
:,oluclon3rio d. Oer lvndasLuego: x - 2. - 1,9.Se sustituye este valor en la primera derivada.f'(x) ~ - 6(x + 2)(x - 1)f'(x). - 6 (- (,9 + 2)(- 1,9 - 1)f'(x).-(+)(_)."+".Puesto que el signo de 111derivada cambia de " _ ". "funcin tiene un valor Mnimo.
\.
)'
."
-
161
paral: )(0.91Se sustituye este valor en la primera derivada.x < - , .f'Cx) _4x(1 + x) (1 - x)f '(O 9) 4 (O 9) (1 + 0,9)(! - 0,9)f'(0:9).( +)(+)(+)-" +"
:x.Ox < O. - 0,1 .' dSe sustituye este valor en la primera deriva a.f'(x). 4x(1 - Xl)f'(- O1). 4x(I + x)(1 - x)f'C- 0:1) _4(- 0,1)[1 + (-0,1)[1 - (-0,1)f'(- O1). (- 4,1)(1 - 0,1)(1 + 0,1)f'C-O:1). ( - )( +)( + ) - .. - ".Luego' x> O- 0,1 . dSe sus~ituye este valor en la primeraderiva a.f'(x).4x(1 +x)(l-x)f'(O,I) _ 4(0,1)(1 +0,1)(1 - 0,1)
f'(O,i) _ (+ 4,4)C+ l,l)(~ O,~:, {'(O,I) ~ (+)( +)( +). + . bi d "_lO a .. +"
Puesto que el signo de la den~ada cam la ela funcin tiene un valor Mnimo .
. . O f (x) para encontrar el valor Mnimo.Sustrtullnos X _ en1 f(x).2x -x
f (O) _ 2(0)2 - (O)'feO) _ O-O. . .=:> en x _ O existe un MlDllno = O
2x2 - i2 4(X) 2x - x ) 4x - 4x
'CX).4xC1- X2)= O.0 ;x.o
1 _ x2 O ; 1 _ ,,_2 _ 1 ; X - 1Valores Crticos: x O,x 1, J( - 1
Solucionado de De"vadas
160
Sustituimos x 5/3 en f (x) para encontrar el valor M"".,..f(x) x) + 2X2- 15x -20 .f( 513). (5/3)+ 2 (5/3)2 - J 5(5/3) -20f( 5/3). 125127+ 2(25/9) - 75/3 - 20f( 5/3) 125/27 + 50/9 - 675/27 - 540/27f( 5/3) _ 125/27 + 150127- 675127 - 540127f( 5/3).275/27 - 1215127f( 5/3). - 940/27:::) en x 5/3 hay un Mnirno - 940127
Luego: x 5/3 6/3Se sustituye este valor en la primera derivada.f'(x) = (x + 3)(3x - 5)f'(x) = (6/3 + 3)[3'(6/3) - 5Jf'Cx). (6/3 + 9/3)[3(6/3) - 5)J. (15/3)(18/3 -1513)f'(x)~(+)(+)_"+ "Puesto que el signo de la derivada cambia de " - " " +funcin tiene un valor Mnimo
Para: x .5/3x
-
163
2 If(x) = x - x +f '(x) _4x) - 2x _Of'(X)=4Xr2- ~j=O
.2 + 1x - x .
Luego: x> 1 : 1,1.Se sustituyeeste valor en la primera derivada,f '(x) = 4 [(1,1) - l]C'(x) = 4 (1,331 - 1), ()(+) "+"f (x). + = bi d " " " + "puesto que el signo de la derivada cam la e - afuncin tiene un valor Mnimo.
f ( ) ontrar el valor MinimSustituimos x 1 en x, para ene .fOO~-~ .f(l). (1)' - 4(1)f(I)=1-4.-3,f(1)=-3.~ en x _ 1existe un Mnimo - - 3
x' - 4xf(x)=x4-4xf'(x) 4x) - 4 2f'(x) # 4(xJ _ 1)_O ; Xl - 1 _ (x: I)(x + X + 1) O(x2 + X + 1) _ O, no se puede factorzar.(x - 1) _ O ~ x = 1
Para: x _ 1x < 1 - 0,9 " dSe sustituye este valor en la pnmera deriva a.f'(x) = 4 (x3 - 1)f'(x) _ 4 [(0,9)3 - 1)f'(x) _ 4 [(0,729 - 1]C'(x)=(+)( -)." -".
Solucionarlo de Der-ivad
162
Luego: x> -1 - 0,9Se sustituye este valoren la primera derivada.f'(x)_ 4x(1 + x)(1 - x)('( - 0,9).4 (- 0,9)[ I + (-0,9)[1 - (- 0,9)f'( -0,9). (-3,6)(1 - 0,9)(1 + 0,9)f'(- 0,9).( -)( +)(+)." -"Puesto que el signo de la derivada cambia de " + " a " la Funcin tiene un valor Mximo.Como colofn, sustituimos x _ - 1 en f(x) para encontrarvalor Mximo.f(x) = 2x2 _ X4'f(-I) _ 2(.1)2 - (_1)4~ 2 - I _ 1::::> en x _ - 1 existe nn Mximo. 1
Paro: x _- 1x 1 1,1.Se sustituye este valor en la primera derivada.f'(x) _ 4x(J +x)(1 - x)f'(I,J).4{l,I)(1 + 1,1)(1- 1,1)f'(I,I).(+)(+)(-). _.Puesto que el signo de la derivada cambia de " + " a " -Funcin tiene un valor Mximo.
-
165
Luego: x > - 0,7071 - 0,69Se sustituye este valor en la 1raderivada,f'(x) 4x(x2 - In) _Of'(- 0,69) = 4(-0,69)[(- 0,69i - 112]f'(- 0,69) e (- 2.76)(0.4761 - 0,5)f'(- 0,69).( -)( -)." +"
x < - 0,7071.... - 0,71Se sustituye este valor en la primeraderivada,
f'(x). 4(- 0,71){(- 0,71)2- In]f'(x). (-2,84)(0,5041 - 0,5)f '(x) ( - )( + ) " - "
Para: x _4. -1.414213562373 - 0,70710678118652 2
.: ". '.' .':::)'en x . .Ji_ hay un Minimo .l.2 4
f(,J2I2). JQ. - -- - Jl_.*=.l.16 16 16 * 4
Sustituimos x .[i., en 1\x) para encontrar el valor Mnimof (x) x' - X2 + 1 '1\.J'ii2) (.,fin)" - (.,fin)2 + 1f(.,f2n.) (.ffi4 -4 + 1 - 22 -.1.. + 1 -..1. - -- + J._
24 2 16 4 16 16 16
Luego: X> 0,7071.. , .0,71.Se reemplaza este valor en f '(x)f '(x) _ 4(0,71)[(0,71)2 - 1/2)f '(x) = (2,84)(0,5041 - 0,5]f '(x) - ( + )( + ) - " + "Puesto que el signo de la derivada cambia de " - " a " + " lafuncin tiene un valor Mnimo,
Solucionario de Deriv.das
164
)07001 'f'( )' ..,- 0,7.Se sustitux 4x(x2 _ 112) O ye este valor cola p ,f:(x) _ 4(0.7) [(0,7)t_ il2) nmerarx. (2,8)[(0,49 - 05)
x ( + )( - ) c " - :,
=>cnx.OhayunML' nxune = 1Para:.'t _+ Ff_
..Y.:_ 1,414213562372 . 2 3.0,7071067811865\
;xc+'2'V a:..:JI ,."" - - -ll1PRl'n:xcO __ o.i 2 2Se sustituye este 'vf:(x). 4X()(2 _ II2)a~~ en la primera derivada.f,(x). 4(- 0,1)[(_ 0,152_ 1f(x).(-44)[001 ]f'() , , -1)
X '(-)(_)'''+''.
Lueeo: y O..... > 01 l if:(x). 4(0,1)[(0:li8_ ~fal que la anrerior se reem I.,(x). (0,4)(0,01 _ 1) . paza en f(x). (+ ) ( _):= " _ "
Puesto que el si' .. fu ' gno de la de' d -nCI n tiene.un'vnjor '1" . ~lva a cambia de " ... " " . IY.lllXJtno. n - 11
Sustituimos v O .f()" "- enf(x) ,x _)( _X2 + 1 . ,pnl'n'CIlCOntl'a' 1f(O). (0)4 _ (O 2~ -s , I C valor lYI~iYn."f (O)._ 1. .) 1 O - 0+ I
X.1X2
Valorcs Cl'ticos: X O
. X2 =_1 =...l_ ..Ji.2 .J2 2
Solucionarlo de D Ier vl1dlls
X O .)(2 1t -_"" O
2.'.
-
167
Luego: x > - 1 - 0,9Se sustituye este valor en la primera derivadaf'(x) = (- 0,9)(- 0,9 -2)(- 0,9 + 1)
Para: " _- 1x 2 2,1Se sustituye este valor en la primera derivada.f'(x) = x(x -2)(x + 1)['(x) = (2,1)(2,1 -2)(2,1 + 1)(+)(+)(+)."+"Puesto que el signo de la derivada cambia de " - " a " +funcin tiene un valor Mnimo.
Sustituimos x en f(x) para encontrar el valor Mximf(x) 3x4 - 4xJ - 12x2f(x) = 3(0)4- 4(Oi - 12(Oif(x) = -0- = Cuando: ' {x_O
Mximo. O
Soluclonarlo d. Derivadas
166
8. 3)(4 - 4xJ _ 12)(2f(x}; 3x4 - 4xJ _ 12x2f'(x). 12xJ - 12x2_24xf'(x) = 12x(x2-x - 2) _O'f:(x) a X (x - 2)(x + 1)Valores Crticos: x-O, x 2', =,X ... -1.Para: x ; Ox
-
169
10. 3x5 - 20x3f(x) 3x' - 20x)f'(x) 15x - 60X2f'(x). 15x2(x2 - 4). Of'(x). x2(x + 2)(x - 2). OX2 O ; x _ Ox+2.0 ;x.-2"
,Sustituimos x 4 en f(x) para encontrar el valor Mnimo,f(x) x' - 5xf(4). (4)' - 5(4)'f(4). 1024 - 1280. - 256=> en x .4 exIste un Mnimo _ - 156
Puesto que el signo dc la derivada cambia de " - " a " + " lafuncin tiene un vnloi Muimo.
Luego: x > 4 4,1.Sustituimos este valor en la primera derivada,f'(x). 5x3(x - 4)f'(x). 5(4,1)3(4,1 - 4)roo , (+ 5)(68,921)(+ 0,1)f'(x). (+)(+)(+)." +"
Sustituimos x Oen f(x) para encontrar el valor Mximo.f(x) x' - 5xfeO) (0)' - 5(0)4. O- O. O=> en x O hay un Mximo. O .PAra: x ; 4x en x - 1 exist e uu MinillJo o _ 5
., .. '
-
f'(x). 2(x - a)(x2+ ax + a2) _ O171
3 al2 3 2a3 _ 2(x3 _ a3) . Fnctorando: x -f '(x) = x - - - 2X X
2 2 3X +--X
2 2 3f(x)=x +_ax
2 3-1f(x) = x + 2a . .1.1)['(x) 2x + (2a \( - I~~x_ 2x _ 2a3 f'(x) - 2)( + - (2a)(x ) - X2
11.
l ' . 64~ en x .2 existe unl\ mrmo _ _ '
Para: x = 2
x < 2 = 1,9 . en la primera derivada.Se sustituye este va 01f'(x) x2(x + 2) (x - 2)f'(1,9) _ (l,9f(l,9 + 2)(1,9 - 2)
) " ", ) (+)(+)(- = -f (1,9 1 I!i!.deriv
2 2 1 Se sustituye este valor en aLuego: x > _ , .'() x2(x + 2)(x - 2)~,(;,I).(2,1)2(2,1+ 2)(~:~-})f'(21).'(+)(+)(+)= bi de" "a"+'
' el signo de la derivda cam la _Puesto que . lnimo. , .funcin tiene un vaIO~(~lpara encontrar el valor MinimSustituirnos x = 2 en
5 O 3[() 3x - 2 x . 64(x e )5 20 (2)3 96 _ 160 = _ f(2) = 3(2 - =[(2) - 64.
Sotuclonarto de Der'lvadas8) 96 + 160 = 64.3( -32)-20(- .-f(-2). . ,. 64
2 existe un Mximo _ .~ en x __
170
Sustituimos x = - 2 en f(x) para encontrar el valor Mximo . f(x) = 3xs - 20x.F.f(- 2) = 3 (-2i - 20(-2)3.
Puesto que el signo deJa derivada cambia de" + "a" _" la"\ funcin tiene un valor'Mximo,
Luego: x > - 2 = - 1,9.Se SUstituye este valor en la 113 derivada.f'(x) = x2(x + 2)(x _2)f'(- 1,9)= (-1,9lc- 1,9 + 2)(-1,9 _2).f'(- 1,9). (+)( +)( _)." _".
Para: X _ - 2x
-
t ia 1" derivada.. este va or en- O 9a. Se sustituyeLuego: x> - a. ,
f '(x) 2x) t 2a)x
" tiJ + 2a) _ - 1.8a) + 2a) .l...l. -f'(x). 2(- O,9a - (_O,9ai (_)x
" 11 I. d "+"a .. ,. de la derivada cambia ePuesto que el signo . mo.funcin tiene un-valor MnxI
173
"+"f '(x) = l..:l..( - )
- 2,662a3 + :;-I,331a3
. J= 2( - 1,331a3) + 2a =
-1,33Ia11 )3 + 2a3f'(x).2(-1, a 3
(- 1,la)
1 1m derivada.Para: x - a tituye este valor en a- 1 18. Se sus Ix en x a existe un Mnimo _ 3aJ
fea) (a)2 + 2a)a
x
Sustituimos x a en ttx) para encontrar el valor Mnimo.tri) _ X2 + 2a1
Luego: x a = 1,1aSe SUstituye este valor en la l lA delivada.f'(x) e 2 (x - a) (Xl + ax + al)f'(l,la) - 2(1,la - a)[(I,Ja)2+ a(I,la) + a2)Jf'(I,la)=2(+)(+)k" +"Puesto que el signo de la derivada cambia de " _ " a " + "
:. la funcin tiene Un valOl' Mnimo.
x - a ~ O; x , n (vnlo,' crtico)22.X + ax + a = O no se puede factomar.Para: x ; a.x < a 0,9a.Se Sustituye este valor en la Plimera derivada.f '(x) 2(x - a)(x2 + ax + a2)f'(0,9a) k [2(0,9a - a)][(O,9ai+ a(0,9a) + a2)Jf '(0,9a) = 2 ( - ) ( + ) k " _ "
So/llcionnrio efeDel'ivadns
L
;" ' . ..~., .t>.
-
175
Sustituimos x a en f(x) para encontrar el valor Mnimo.f(x) M x2+_L
X2
Puesto que el signo de la derivada cambia de " - " a " + "la funcin tiene un Mnimo.
f'(x) = l...l- "+,,(+)
f'(x) = 2,9282a4 - 2a41,331 a3
f'(x) = 2CI,Iat - 2a4(1,lai
f'(x) = 2(1,464184) - 2a41,331a3
Luego: x > a = 1,1aSe sustituye este valor en la primera derivada.f'(x) _ 2X4 - 2a4
x3
f'(0,9a) -U-"-"C +)
f'(0,9a) _ 1,3122a4 - 2a40,729a3
f'(0,9a) _2(0,9at - 2a4(0,9a)3
f'(0,9a) _ 2 (0,656Ia4) - 2a40,729a3
Solucionarlo de Derivadas
174\
PIll'S: X. aTomamos Un X< aSe susliruye eSle I = 0,9af '( va oren la .x) = 2X4 _ 2a4 pnmera derivada.
XJ-,
)( ,::-r . ('X2 _ a2 _ o a.l Imaginario)v2 2A _ aXa
==> en x ~_a hay un Mximo. _ 3a
((-a) = 2(-a) - aJ . 2 J_= - a - a 2 (_a)2 1- - a - a - 3a. a
. -_ ......
-
177
f'(x) _ (x2 + a2).a - ~ax)'2x. (x2 + a2)
f'(x). fI*~+al._2fI*~(x2 + a2)2
f'(x)_ al_ ax2 _ (Xl + a2i
(x2 + a2).4_(ax) _ (ax).4_(x2 + a2)f'(x) _ dx dx
(x + a)
Derivando:
3.X14.
:::> en x _ - a hay un Mnimo _ 201
2 2 2 1.f (- a) e 8 + 8 a.
2 4f(x). X +JL .X2
f(-a).(-a/+ ....L..a2 +~(- 8)2 7'
Sustituimos x - a en f (x) para encontrar el valor Mini,
Puesto que elsigno de la derivada cambia de" - " a" -+funcin tiene un valor Mnrno,
Solucionorio de DerIvadas
176
-ti = " + 11( - )
f'(- 0,9a). 0,86093442a4 _ 2a4. - 0,72963
Luego: x > -a. - 0,98. Se sus'i'uye estevaloren la 1"derivado.
f'(-I,la)_1...l_" _". (-)
f'(-I,la) _ 2(-l.lat _284(-I,la)3
f'(-I,la). 2(1,464Ia41-28'- 1,3318
f'(-1,18). 2,928284_ 2~4. - 1,331 a3
'.
Para: x _ - aX
-
179x ; - 2a2a + x ; O
x.Ox(2a + x). O
2(1)f '(x). 2x(x + al : -(x + a) "
2 _ 2ax + X2 _ x(2a +~) Of'(x) 2x2 + 2a~; x - (x + a)1 (x + a)
(x + a)
f '(x) - (x + a)
X2
x +8
2) 2 d (x + a)(x + a),Q_(x x ' ._dx dx
f(x)
x+a15.
M '10 -1/2hay 1111 mm =:> en x _ - a
, de DerivndasSolucionArlo
. valor en la I!l! derivad O9a. Se sUSlltuye este ,Luego: x > - a e ,3 ax2 3 II + .,
f'(x):a - l. (_09aial-0,8Ia . d' "_"a"+"laf'(- O,9a) a a de la derivada cambia ePuesto que el SignO. ,
.. tiene un MlOlnlO."W1ClOn M' . oL' , Ivalor mimo.en f(x) para encontrar eSustituimos x a
=> en x - a hay un M:\ximo 1/2Pnra:x._1Ix a. 1,1aSe sustituye este valoren f'(x)f'(x) = al _ax:Zf'(I,la).a3 -a(J,la)2.a3_1.2Ial~(_)Puesto que el signo de la derivada cambia de " +funcin tiene un Mximo,
V:llm'esCdticos: (x. 11; x ; _a}Para: x _ ax < 11 c,O,9a'Se sustituye este valor en Ill"primera derivada.f'(x) e al _ax2f '(0.9a) al - a (0,9ai a~_0.81 a3 " + "
(Xl + a2)2(0) ~ O=> f'(x).al -8X2 O
f'(x). a(a2 - X2). Oa (a + x) (a - x) Oa+x.O ; X ..... aa-x.O ; av x o x.a
,
....Solucionarlo de Derivadas
-
181
Para: x _ O)o.-O,la fO(x)Este valor se reemplaza en
2f'(x). 2a x 2 00 "f O( -O !a) = 2a (,0, I a). -
, laza en f'(x).. O! Este valor se reempLuego: x > O= ,a.
f'(x).2a2x 1 )-" +" " 01 ,,+f'(O,la) - 2a (O,la -M' imo el signo va de - a
fu . 'n nene un 1111 ,La ncio
x_O
Valor Crtico: x O
(x2 + a2lJ2x) - x2(2x) f (x) = - (x + i)2 .
2 ~;f'(x)- ~~+2a X-2 (xl + a2)
f '(x) _ 2a2x 2 e O(Xl + a2)
f'(x). 2a2x _ O
Solcionario de Deriv:ldas
-'
180
~ustituimos x e O en f(x), para encontrar el valor Mnirno ...f{x) _L_ =-- _O.
x+a O+a
~ en x = O hay un Mnimo. OPara: x.-2ax < -20 _ - 2,1aSe sustituye este valor en la primera derivada.fO(x) = x (2a + x)fO(-2,la). (-2,la)[2a + (-2,1a) (- 2,la)(28 _2,la)((-2,10) = (-)(_) ~ " +" \:Luego: x -2a. -1,90
\ Se sustituye este valor en la I!l! derivadaf '(x) x(2a + x)fO(-109a) e (-1 ,9a)[2a + (- I,9a)JfO(-1,9a)~(-109a)(20 -109a).( _)( +).00 _"La funcin tiene un Mxmo, el signo va de 00 + " a 00 _ 00X -Za se sustituye en f(x).
trx) L. {-2a)1 4a2 - 4ax + a -2a + a . - 8
~ en X _ - 2n existe un Mximo __ 411.
Valores Cdticos: x _ O; x _ - 2 o.Para: x _ Ox < O_ - O,la .Se sustituye este valor en la primera derivada.fO(x). x(2a + x)fO(-Oola). (- 0,(8)[23 + (- Oola)JfO(-Oola)c(-)(+)~ 10 _ 10
Luego: l' > 0_ O,la. Se sustituye este valor en la II!!f '(x) _'x(2a + x)fO(b,la) _ (0,la)(2a + O,la) .. (+)( +) _ "+ ".
. La funcin tiene un Mnimo, el signo va de 10 _ 10 10 + 10.
.-
Solucionarlo de Derivadas,.~.
.:)~
.. ,,_,'
,.'~..'.....
-
P3l'a:x.-2x < - 2 -2,1Se reemplaza este valor en f '(x).f'(x). 2(2 + x)(x - 1)(2x + 1)f'(-2,1) _ 2[2 + (-2,1)](-2,1 - 1)[2(-2,1) + 1]
183
f'(x):(2+X)2.2(I_X)1-'.(-1)+(I-X)2.2(2+X)2.'f'(x): -2(2 + x)2.(1 - x) + 2(1 - x)2.(2 + x)f'(x)=-2(2+x){I-x)[2+x -O-x)]f'(x): -2(2 + x)(1 - x) (2 + x- 1+x). - 2(2 + x)(1 - x)(2xf'(x): 2(2 + x}(x - 1)(2x + 1) = O2+X:0 ; x:-2x-I:O ; x.12x + 1 O ; X - InValores Crticos: x _ - 2; x.1 ; x _ - 1/2
18. (2+ X)2 (1 - X)lftx) (2 + xi (1 - x)2f'(x) =(2 + x)l. Q_(I- x)2+ (1 - x)l. Q_(2+ xi
dx dx
f(x) _ (0)1+ 2al : 2al ~ 2(0)2 + a2 7
::::> en x _ O hay un Mximo. 2
Sustituimos x _ O en ftx)f(x) _ X2 + 2al
X2 + a2
f'(x) _2alx['(_ O,la). _2a2(_ O,la) = " +"Luego: x O 0,1a. Se reemplaza este valor en f''(x)f'(x) _2alxf'{O,la) _ -2a\0,la) - " -"La funcin tiene un Mximo, el signo va de " + "a "-"
Solucionado de Deriv.das
182
x _ O valor crticoPara: x _ O.'1: < D. - D,laI Se reernpla za este valor en f '(x)
f(x) _ X2 + 2aiX2 + a2
~ en .'1: O hay un Mnimo. O
17. Xl + 2a2X2 + a2
....:......
Solucionaro deDerivadns
x - o se sustiruye t1()en x para encontrar el valorf(x) x2 "'Huml~.:
xl + a2
-
SS
Se sustituye ~ - 1/22en f(x).f(x) = (2 + x) (1 - x\ 'S 2f(- 0,5) G [2 + (- 0i5)] [1 - (; 0'dJS)2 (1,5)2. (1,5)4.5,0625f(- 0,5). (2 - 0,5) (1 + 0,5) = , '"f(x) 5,0625 h' UD Mximo _ 5,0625:::::> en x - 1/2 ay
2 )3' 19. (2 + x~ (1 - Xlf(x). (2 + x). Pd-(~)-x)3 + (1 _ xlQ_(2 + xif '(x) (2 + x) . - dx
dx
i 2(2+ xi-',Q_(2 + x)f'(X)=(2+x;Z,3(1-X)2,dd~I-X)+(I-X , dx
'2 )2(_I)+2(I_x)3(2+x)(I)f'(x)," 3 (2 ++x~~~I-~X)2+ 2(1 _ x)3(2 + x)f'(x).-3(2 ) )2(-3(2+x)+2(I-x)]f'(x) D (2 + XII-x )2( _ 6 _ 3x + 2 _2x]f '(x) = (2 + x - X 2f'(x).(2+x)(I-x) (-4-5x)
Para: x - - 1/2 laza este valor en f'(x)x < - 1/2 - 0.6. Se reemp
f:(x). 2(~~~~(-_~6~~(_~,2_1)(2(-0,6) + 1]~,~:~:~~:(2)(2 - 0,6](- 0,6 -}~-..',2+ 1]f'(-0,6) ( + )( + ) ( - ) ( - )
Luego: x > - 1/2 - 0,4 , ,Se sustituye este valor en : ~x)f'(x) D 2(2+ x)(x - 1)(2x"" 0)4 _ 1)[2(- 0,4) + 1)rt- 0,4). (2)[2 + ~~j~~(~_'1)[- 0,8 + 1]f '(- 0,4) (2)[2 -, ,:"f'(- 0,4). (+)(+) (-)(+):" - de" +" a " _ "La funcin tiene un Mximo va
Solucionario de Derlvadas
184
Se Sustituye x = 1 en f(x)f(x) (2 + X)20 _ X)2f(l) = (2 + 1)2(1 - 1)2. (3)2 (0)2. (9)(0). =:> en x 1 hay un Mnimo. O
Luego: x 1 _ 1,1Se reemplaza este valor en f '(x)f'(x)~2(2 + x)(x - 1)(2x+ 1)f'(I,I).(2)(2 + 1,1)(1,1 -1)[2(1,1)+ IJf'( 1,1) ( + )( + )( + )( + ). " + "La funcin tiene un Mnimo va de " _ " a " + "
Luego: x > - 2 - 1,9Este valor se reemplaza en f'(x)f'(x). 2(2 + x)(x - 1)(2x + 1)f'(-1,9). 2(2 + x)(x - 1)(2x + 1)f~(-1,9).2[2+(-1,9)J(_1,9_1)[2(_I,9)+ IJf'(-I ,9) = ( 2 )(2 - 1,9)(- 1,9 _ 1)(-3,8 + 1)f'(-/,9). (+)(+)( _)( _)." + ".La nlflcin tiene un Mnimo va de " _ " a "+"I ,
/ ',Se Sustituye x - 2 en f(x)f(x) = (2 + X)2 (1 _ X)2f(-2) - [2 + (-2)f [1 - (_2)J2,f(-2) = (2 -2i(J +2i = (0)2(3)2 = (0)(9). =:> en x , - 2 hay IIn Mnimo. OPara: x.1x < 1 ~ 0,9 , .Se reemplazlI este 'valor en f'(x).['(x). 2(2 + x)(x - 1)(2x + 1)f'(0,9) = (2) (2 +0,9) (0,9 - 1)[2(0,9)+ IJf '(0,9) ~ ( +)( + )( _)( + ) " _"
f'(-2,1). 2(2 - 2,1)( - 2,1 - 1)(- 4,2 + 1)f'(-2,1). (+)( _)( _)( _). "_ "
Soluciollario de Derivndas
-
187
, de DerivadasSoluclonarte+) H+lI ,
f'(-I ,9)~ ( ~)( + )( 1\1~imO,el signo cambia deLa funcin tiene un .
Se sustituye x - 2 e~ f(x)f(x).(2,..x)2(12-x) 2 3
f(-2) (2 + ~-)2~1[!;~i:~O)( 3)J Of(-2).(2- O
2 existe un Mnimo.=> en x.-Para: x " - 4/5" - 0,8
x < - 4/,5. - 0,9 lor en f'(x)Se sustituye este va 2 _ 4 _ 5x)f'(x) , (2 + x)(1 - x ) \ _(-O 9)]2(- 4 _ 5(- 0,9)f:(- 0,9). [; _~~~i~)I(o,912 [: 4 + 4,5)f (-0.9) [ (') (+) "+".f'(- 0,9). (+) + - 7
' x > - 4/5 _ - O,Luego. lor en f'(x) .Se sustituye este va 2 _ 4 _ 5x)f'(x).(2+x)(I-x) ( -(-07)2[-4- 5(-0,7)f' (-0,7). (2 ~J-7~'r~)~(6,7)2['_4 + 3.5] ,f'(-0,7). [2, "_"f'(- 0,7). (:-)( + )~~;imo el signo va de" +":La funcin ~e;es~nsustiruye ~ f{x)x - 4/5 e - , ' J
f ("x) - (2 +xr g0;;)2 [1 _ (_ 0,8)3 ,f(-0,8)=[2 i 1+08)3f (-0,8) " [2 .~'~J)J ci 44) (5,832) =8,39808f (- 0,8) (1,2) : ,,'1ximo 8,398084/5 existe un=> en x _ - .
2/3, 20. b + c(x - a~Jf(x) b + c(x - a) a)2/3f'(x). Q_(b)+ c.Q_(x-
dx dx
2/J,' d (x - a)f'(x). 0+ c,l(x - a) 'dx3
186
Luego: x> - 2 __ 1.9SUstituyendo este valor en f'(x)('(X)0(2+X)(1_X)2(_4_ 5x)('(-1,9) e (2 + (-1,9)J [1,- (-1,9)]2 I- 4 _ 5(-1,9)]f'(-I,9). (2 - 1,9] [1+ 1,9]2[_ 4 + 9,5]
Nota, (no es IIecesa,'io elevlI" (+)' pues si~",pre es positivo; .Pe,'o si Cllaudo ( - )',Pllts al eJeva"se 111cuadrado se ace " +
f'(x). (2 +x)( 1- X )2 ( _4 _ 5x). O(2 + x) - O ; x , _ 2(/ - x) O~ 1 - x ; x , 1- 4 - 5x O ; 5x. - 4 ; x , _4/5Valo,'cs Crticos: X -] ; x ; _ 2 ; x. _ 4/5Panl: X. 1x < 1_0.9SUstituyendo este vlllor en f '(x),f'(x). (2 + x)(1 - X )2(_ 4 _ 5x)('(0.9) o (2 +0,9)(1 - 0,9 )2 [_ 4 _ 5(O,9)J('(0,9). (2 + 0,9)( 1 - O,9l [_4 _4,5Jf'(O,9). (+)( + )2( _J. (+)( + J( _J." _"lLllego: x > 1 1.1Sustituyendo este valor en f'(x)ri, (2 + x)(I - xi (_4 _ 5x)f'(I.l). (2 + 1,1)(1 - 1,1 )2 [_4 _ 5(1,1)Jf'(I,I)0(2 + 1,1)(1 - 1,1i [-4 - .s,5Jf'(I,I) _ (+)( _)( _)2. (+ )( _)( +) , " _"La funcin no tfene ni MXiJ!lQnI Mnlllli!. no hoy cambio dePara: x _ - 2,
x < - 2 - , 2,1, SUstituyendo este valor en f '(x),f'(x) = (2 + x)(I - X)2 (_ 4 _ 5x)('(-2,1). [2 + (-2,1)J[I'- (-2,I)J2 : 4 _5(-2,I)J('(-2,1). [2-2,11fl +2,IJ2'[-4+10,51('(72, 1) ~ ( -) (+)2 (+ ). " _"
..... ., \ft'" UCJ"vndns
'J\
;.
.,
-{
.. /'.~,
'.
-
189
VJ O1 _ - 3(x - e) -f'(x) b.
)Vl Of '(x) = - 3(x ur O['(x) - (x - e) VJ)j/2 OJ/2f'(x). (x - e) ('(x) = ex - e). Ox-coa; x.e
IIIf(x) = a - b(x - e)
) 113f'(x) _ Q_(a) - b .Q_(x - edx dx
. )1/l.1 d (x - e)f '(x) O - b ._L. (x - e . dx3 .Vl(1) _b = O
f'(x). -.!!..(x- e) 3(x _c)2l3
21.
d It 11 a "+". Mnimo, va e -La funcin tiene un trar el valor Mnimo.
a Se reemplaza en f(x), para enconx - 11Jf(x) - b+ e(x - a)VJ b+ e(Oi'J _ b+ O= bfea) b + c(a - a)
=> en x = a existe un MJnimo - bIIJa - b(x - e)
U+"f'(x) = ....+
++ ,,+"._0, f '(x)= 2e
3YO,1a
f'(x). 2e )I/j3(1,la - a
Solucionado de Derivadas
.. .w__
i88
f'(x) _ 2c3(x-a)lll
Luego: x > a , 1,la. Se sustituye este valor en f '(x)
f '(x) .. + 2c ' ... ". La ra12cubica de un negarivo es negativo.3J!-O,Ja
f'(x). 2c. 3(0,98 _8)1/3
Se sustituye este valor en f'(x)f'(x) '" 2c
3(x - a) Ii'l
Parn: x _ ax< a. 0,99
3(x - a)I/J _O2cf'~X) -F-t-]-
~
3 (x - a) I/J (2c) (O)3(x-a)IIJ.0(x _n)I/J _ O[(x -a) 1/J1l OJ(x -a) O ; x ; 11
Si ['(x) - O,se anulan los valores criticos; por tanto hacemoS:-l_
['(x) '.
SoluclonArio de Derivndasf'(x). ff]
-
191
f'(-2,1). [2+.- '[1-(-2,1)](2+(-2,1)
I/l 2 1)2/3 (2.1 - 1), (2 - 2,1)" (1 + , _f(-2). (1+2,1)(2-2,1)
1 . 'o _ 12x. ,A.Valores Crttccs: x - - ,
Para: x , - 2 I a este valor en f'(x)2 1 Se reemp 81..x
-
""
Pnrn: x - 1x < - 1 _- 1,1. Se sustituye este valor en f'(x)
Se reemplaza x 1 en f(x){(x). (2 + x)'/J(I . x)"Jf(l) _ (2 + 1)"1(1 -'Ifl_ (3 )"3( CJ)2I3.O::::> en x 1 hay un Mlnimo O
La funcin tiene un Mnimo va de "- "a "+"
f'(I,I)-U-" +"( - )
f'(I,I).(+)(+)(-)( - )
. ,
{'( 1,1). (+) ( )11}( _ ) , Haciendoftnificios paro solucionar (_)lJI(.)(+)
f'(I,I).(+H( - )11iI( -)( - )
f'(I,I).(+)(+)IiI( _)( - )
f'(x). (2 + x)~( 1 - x)V)(_ x - 1)(1 - x)(2 + x)
f'(I,I). (2 + I,))~(1 - 1,1)213(_ 1,1 - I}(1 - 1,1}(2+ 1,1)
,Luego: x > 1_ 1,1. Se remplaza este valor en f;(x)
f'(O,9) _ (+)( +)( - ) -..L:.l. - "-"(+}(+) (+)
SoludonnJ"lo de Derivadas
192
Pan: x, 1~< I .0,9, Se remplaza este valor en f'(x)t '(x). (2 + X}'/l( I _ X}2/J(_ x: 1)
(1 - x)(2 + x) ,
f'(0,9) = (2+0,9)"J(1 -O,9)2IJ(_O,9_1)(1 - 0,9)(2 + 0,9)
f'(O,9) _ (2 + 0,9)IIl(l - O,9)Vl(_0.,9_ 1)(1 - 0.9}(2 + 0,9)
Luego: x > - 2 - 1,9 .Se reemplaza este valor en f'(x)
f'(x) = (2 + xlI/le I - X)2Ile_ x - 1)(J - x)(2 + x)
f'{-1,9). [2+(-1,9)J"3(1-(-1,9)J2Il[_(_1,9)_I](l-x)(2+x)
('(-1,9).(2_ 1,9)"J(I ~ 1,9}2IJ(I,9_1)[1 - (-1,9)](2 + (-1,9)J '
f'(-1,9) _ (+) 1/3(+)211( +) - (+)( +)( +) i.:!:.l." +(1+1,9)(2-1,9) (+)(+) (+)
La (unci" no combo d 1MiJllnto en x _ :2, In e. ~no, por rnnto no tiene ni MxImo nI
f'(-2) -1..:J.. ~ " +"(-)
f' (-2).(_ )11l( + )213( +)(+)(-)
f'(-2). (-)(+)(+) -1..:J..-"+"(-) (-)
..."
Sollloionndo de Derivada.
-
19S
a - 3x _ O ; a _ 3x ; 3x _ a ; x allValores Crticos: x , - a; x , 8; X_ - 812; X. alJ}
. PHI'a: x _ - ax < -a. 1,1a, Se reemplaza este valor en f '(x) .
. f'(x). (a+ x)(a . x)2 (2x + alea - 3x)f'(.I,la). (a+(-I,la)}{a-(.I,la)}' (2(-I,la)+alla-3(-I,la)}.0
1,la). (a - 1,la)(a + 1,la)21' 2,2a+ a)(a + 3,3a). Of'(.I,la). (_)(+)2(_)(+)." +",
2
CtlmbilldoJ.,1stguotll~lClor: (3x a) y anulandoel signo negativo.f'(x) = (a + x) (a - x-(2x + a) (a 3x) c O.(a+x).O => x.-nn.x.O => OcX2x + a _ O => x ~
f'(x) _ xCa -1- xfQ_(a. x) + (a - xi,Q_[x(a + xi]dx dx
f'(x) x(n + x)'. 3(a. x)}", !l(a - x) + (a - x)}[x . !lea+ x)1 + (a + x)' . !ldx dx d,
f' (x). x(a + x)'. 3(. xi( - 1) + (a - x)'!" , 2(8+ X)'" + (a+ )1(1~1f'(x) _ 3X(8 + x.2(a - x)' + (a - x) (2x(a + x) + (a + x) ]f '(x) = -3x(a + x)2(a x)' + (a x) (a + x) (2x + a + x)f'(x) _ 3x(a + x)2(a xi + (a x) (a + x)(a + 3x)Faaorixando: (a + x) (a - X)2f'(x) _ (a + x) (a - X)2 (3x(a +' x) + (a; x) (a + 3x)} .01f'(x).(a+x)(a-x)l {_~.3x2+a +~llx3x}f'(x) = (a + x) (a - xi { _6X2 -ax + a2} = OCambindole el signo alfactor: l6x2 - nx + a2}f'(x} = (a + x)(a . xi {6x2 + ax - a2} O.f'(x) _. (a + x)(a X)2(2x + a) (3x a). O.
Suponiendo que: u. x(a + X)2 y v ; (a X)3, aplicamos laderivada del producto: y'. U.v' + v.u'
Solucionarlo de Derivadas
194
x -1 se sustituye en ((x) para clcular el valor Mxnnf(x). (2 + x)"J(1 x)2n ,f(.I). [2 + (.I)IIJ(I . (_1)213f(l) _ [2.1)"3[1 + I]W. ( 1 }"J( 2 )2I~. ':;4=> en x _.' 1 hay un Mximo _ ~
23, x (a + x)2~a _ x)Jf(x). x(a + x) (a- x)
La funcin tiene un Mximo va de " + " a " . "
f' (.O,Q) _ (+) 113( + )VJ ( .) = U =" "(+)(+) (+)
f'(x). (2 + x)ln( 1 - xlV)(. x - 1)(1 x)(2 + x)
f'( 0,9). (2+ (0,9)1/3 (l . (_0,9))2/3(. (0,9) J)(1 + 0,9)(2.0,9)
f'(- 0,9). (2 - O,9)1/3( 1 +O,9)2IJ( + 0,91)(1 + 0,9)(2 0,9)
Luego: x > -1 = 0,9 . Se reemplaza este valor en f '(x).
f'(x). (2 + x)"J(1 x)2/) (x l)(l . x){2 + x)
f'(J,I). (2 + (.I,I)}UJ(I. (I,I~2/3(. (1,1) I)[1(I,J)J[2+(J,I))
f'(I,I). (21,1)"3 (1+ I,fl f+ J,I 1)(1 + 1,1) (21,1)
f'(.I,I). (+)"J(+)213(+).W."+"(+)(+) (+)
.Seluctennrtc d. Derivadas
.-
-
x. al3 se sustituye en f(x) para encontrar el valor Mximof(x) _ x(a + X)2 (a _x)'
Para: x a/3 _ 0,33 ... ax < O,33a. 0,32a. Se reemplaza este valor en f '(x)f'(x) (a + x)(a _X)2 (2x + a) (a - 3x)('(0,32a) .{a + (O,32a)}{a _ (O,32apl{2(O,32a) + a} (a - 3(O,32a)}f'(O,32a) _ (a + 0,32a) (a - O,32a) (0,64a + a) (a _O,96a)f'(0,32a). (+)( + )2( +)( +). ,,+ lO
Luego: x> al3 _ 0,34a. Se reemplaza este valor en f'(x)f'(x) =(a + x)(a - x)2(2x + a) (a - ~x)f'(0,348) .{a + (0,34a)} (a - (O,34a)}2(2(O,34a) +a}(a - 3(O,34a)}f'(0,34a) (a + 0,348)(a - 0,34a)2(0,68a + alea - 1,02a)f'(O,34a). (+)( + )2( +)( - ) " - "La funcin tiene un Mximo, va de " + lO " - "
=:> en x - n/2 existe un Mnimo _ - 27 a' _.c64
Dividiendo tanto .1 numerador y denominador para 15.625f(- 0,5a) - 421875 - 27 a6
1'000000 64
x - 012 _ - O,Sa.Se reemplaza en f{x)f(x) x(a + xi (a - xif(- 0,5a). (- 0,5a){a. + (- 0,5a)}2{a - (-0,5a)})f(- O,5a) ~ (- 0,5a)(a - 0,5a)1(a + 0,5a)Jf(- 0,58). (- 0,58)( O,58f( 1,5ai.f{- 0,5a). (-0,5a)( 0,25a2)( 3,37583)f(- O,5a) = - 0,421875 _-421.875 a6
1'000.000
Soluclonnrlo de Derivadas'(_O,4a) {a+ (- O,4a)}{a - (- 0,4a)}' (2(- O,4a) + a}{a - 3 (- O,4a)}f'(- O,4a) = {ti _0,4a)(a + O,4a)2( - 0,8a + a) (a + 1,2a)f'(- 0,4a) - (+)( + i( +)( +) -" + "La funcin tiene un Mnimo va de lO - " 8 " + ",
._---,......_--
196
Luego: x > - a - O9 S lf'(x) ( + )(- 'la. e reemp aza este valoren f'(x), a x a - x) (2x + a)(a - 3x)~,~~~9;!)(a{... (-~,9a (a - (- O,~a)}l (2(- O,9a) + al(a-f'(- 0'9 ). (a - ,9a)(a +O,9a) (-l,8a + a)(a + 2,7a)
'~.' .+)(+)(-)(+)."_10La funcin tiene un Mximo va de " + lO a " _ "X - a se sustituye en f(x){(x) _ x(a + X)l (a _x) para encontrar el valor delf(-a). (-a) {a + (-a) 1{a - (-a))'fe-a) _ (-a) {a - a)l (a + a)' .. (- a) (0)(2a)J O=> en x _ a existe un Mximo _ Para: x _ ax < a. 0,93Se reemplaza este valor en ('(x)f:(x) _ (a + x)(a - x)2(2x + a) (a o 3x),~g,;a? -la + (O,9a)} {a o (0,9a)}2 (2{O,9a) + a) {a-f'(0'9 a) (a + 0,9a~(a - O,9a)2(1,8a + a) (a - 2,7a)
, a _ +)( +) (..)( _) _ (+){ +)( +)( _) _ lO _ lO
Luego:x>a_l,la .Se reemplaza este valor en f'(x):(x). (a + x)(a - x)1(2x + a)(a - 3x)f,~:,:a~-/a+(I,la)} (a-(I,18)}2{2(1,la)+a} {a-3(1f'(I'la) _(a+ 1,lai(a-I,la)2(2,2a+a)(a-3,3a) .
.' a - +)(-) (+)(-)-(+)(+)(+)(-)a"-"PSI a x a la funcin no tiene Mximos ni M' .no cambian los signos. numos,Para: x _ - al2 _ - 0,511X < -al2 O 68 SI'"f" - , . e reernp aza este valor en f'(x),(x) _ (a + x)(a - x)2(2x + alea - h)f (-0,6a) (a + (o O6a)} ( (O '['(-06) ( , a- - ,6a)} (2(.0,6a)+a}{a-3{_f'(- 0'68). (a -)0,6a)}a + O,68}2{- 1,2a + alea + 1,8a)
,a. + (+)(_)(+)."_"Luego: x > - af2 4 S{'() ( - - 2 ' a. e reemplaza este valor en
x a + x) (a - x) (2x + a)(a