Solucionario Del Parcial ,Mate 3
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JOHN CAMPOS MARTINEZ 20150221G SECCION N
PARCIAL MATE III solucionario 2016-1
1. Existe el siguiente lite!lim
(x , y)(0,0)(x|y|+x ) =0
. "usti#$ue su
res%uesta.
Solucin:D!o >0>0/ "#$%&'(") y|(x , y)|
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sea :u=(cos , sin )
Po. !+nicin !+ li3i*+ :
Du f(x0 ) 6
f(x0+!cos , y0+!sin )f(x0 )! 0
lim
f(x0+!cos , y0+! sin )!
" (! )=
Co3o +, !i#+.+nci7l+8 +n*onc+, o. l .+9l !+ l c!+n-"
#(! )= fx(x , y )cos +f y(x , y ) sin
Po. lo *n*o: Du f(x0 ) 6 "#(! )
Du f(x0 )=(fx , fy)(cos , sin)
Co3o :u= (cos , sin )
En*onc+,: f(x , y )=
(f
x(x , y ) , f
y(x , y )
)
R++3ln!o:Du f(x0 )= f(x0 ) .u .
. (eterine las ecuaciones intrnsecas (e la lice es)rica.
S+ ,u +cucin !i#+.+ncil: 1$
2+ (
d$
ds)
2
$4%2=R2
. ;u+ ,+ un
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Hc+3o, : $=1
'yreepla(ando
R2'2
' tan& d'
A .++3ln!o ?
s2+1/%2 6 R
2tan&
2
A
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3 &eterine la ecuaci*n 'ectorial (e to(os los %untos $ue (eterinan
las tangentes tra4a(as (e la eli%sex
2
a2+y
2
b2=1 (es(e un %unto
exterior si estas son %er%en(iculares.
5L7CI8
r= ( acost ;bsent)
r*=(asent;bcost)
|r *|=a2 sen2 t+b2cos2 t
r * r * += 1
a2 sen2 t+b2cos2t(asent;bcost)
+=1
(u+9o clcul3o, +l lo. !+ l:
l2=a2+b2(a2cos2t+b2 sen2t)
l=a2
sen2
t+b2
cos2
t
En*onc+, !+l 9.co o7*+n+3o,
r r+ lr *
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r (acost ;bsent)+a2 sen2t+b2 cos2 t 1a2 sen2 t+b2 cos2 t
(asent; bcost)
r(a (costsent) ; b (sent+cost))
6. 9allar los 'alores (e las constantes a, b y c tales $ue la (el
(ireccional (e la )unci*n escalar f:A c R3 R (e#ni(a %or
f(x , y , ( )=ax y 3+by(+ c (2x3 en el %unto (1,2,1) tenga el 'alor :xio
(e 6 / la (irecci*n %aralela al e;e
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s (t)=-
t
|r (u )|du
s (t)=17e t
s
17(cos(4 ln( s17 ));sen(4 ln( s17 )))
La ecuaci*n %olar (e una cur'a sua'e C es r= f() . 9alle ) si un
arco cual$uiera $ue une (os %untos (istintos (e la cur'a tienenlongitu( %ro%orcional a la (i)erencia (e las (istancias (el origen (e los
(os %untos.
5L7CI8
r ( )= ( fcos , fsen )
fsen;f*sen+ fcosf
*cos
r
*
=
|r *|=f*2+ f2
s=
1
f*2+ f2 dt
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s*=f*2+ f2 $1&
(u+9o:
r( )r(1 )=$s
s
f( ) f(1 )=$
s*=$f * $2&
D+ $1& > $2& :
$2f *
2=f *2+ f2
$21 f*=f
R+,oli+n!o:
$21 ln f=+c
f( )=c . e
$21
B. &a(a la )unci*n escalar f:Ac R2 R/(=f(x , y ) con (eri'a(as
%arciales continuas asta segun(o or(en. 5i u=x+y ;v=xy calcule
.2(
. x2.
2(
. y2 .
5oluci*n+
S+ (x=d(
du+ d(
dvd
2
(d x
3=d2
(d u
2+2 d2
(dudv
+ d2
(d v
2
S+d(
dy=d(
dud(
dv
d2(
d y3=d
2(
d u22 d
2(
dudv+d
2(
d v2
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En*onc+,:2(
x2
2(
y2=
d2(
d u2+2
d2(
dudv+
d2(
d v2(
d2(
d u22
d2(
dudv+
d2(
d v2)
.2(
.x
2.
2(
. y
2=4 d
2(
dudv
Si+n!o (=f(u+v2 ;uv2 )=f(u , v)
10. 7na %artcula se ue'e a lo largo (e la %ar:ola x2+c (yx )=0 (e
tal anera $ue las co%onentes ori4ontal / 'ertical (el 'ectoraceleraci*n son iguales . 5i in'ierte T uni(a(es (e tie%o en ir (es(e
el %unto (c ,0) al %unto (0,0) . DCu:nto tie%o in'ertir: en ir (es(e
(c ,0) a la ita( (el caino (c
2,c
4) .
SO(BCION
x2+cycx=0
2x x
*
+c y*
c x*
=0 $1&
2 (x*2+x x * *)+c y * *c x * *=0 $2&
D+ $1& > $2& :
x*2+x x * *=0
x*+x
d x*
dx=0
R+,oli+n!o: xx /=$1
xdx
dt=$1
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0
t
$1dt=c
x
xdx+$2
$1 t=
(
x2
2
c2
2
)+$2
P. x=0y t=0$2=0
P. x=0y t=+ $1=c2
2+
En*onc+, :
P. x=c
2y t=0 t=
3
4+
